제6장 · 비·비율·백분율

제6장 · 비·비율·백분율#

이 장

원본 코드

R1-W06

선행 내용

제5장(음수)

요지

퍼센트는 “\(100\) 당 몇”이고, 모든 퍼센트 문제의 핵심은 기준량(무엇에 대한 %)을 찾는 것이다. 퍼센트 변화는 더하기가 아니라 곱하기다.

도입#

할인 스티커의 “\(30\%\) 할인”, 식당 영수증의 “팁 \(15\%\)”, 은행 문자의 “연 이자 \(3\%\)”는 서로 다른 상황에 쓰이지만 모두 하나의 동일한 계산 구조를 따른다. 이 구조는 시험 문제에 한정되지 않고 금액 계산에 그대로 사용된다.

다음 상황을 먼저 검토한다. \(100{,}000\) 원짜리 물건이 지난달에 \(20\%\) 올랐고, 이번 달에 다시 \(20\%\) 내렸다. 현재 가격은 얼마인가?

\[100{,}000 \text{ 원} \ \xrightarrow{\ 20\% \text{ 인상}\ } \ ? \ \xrightarrow{\ 20\% \text{ 인하}\ } \ ?\]

가장 빈번한 오답 중 하나는 “\(100{,}000\) 원, 제자리”이다. 오른 만큼 내렸으므로 상쇄된다는 판단이다. 정수의 덧셈과 뺄셈에서는 이 판단이 성립한다. 그러나 실제로 계산하면 \(96{,}000\) 원이고, 원래 금액보다 \(4{,}000\) 원이 적다.

제자리가 아닌 이유는 이 장 뒷부분에서 계산으로 확인한다. 그에 앞서 퍼센트의 정의를 다시 정리한다. 이 장의 핵심 물음은 하나이다. 무엇에 대한 퍼센트인가.

비, 비율, 백분율은 한 가지를 세 가지로 쓴 것#

먼저 비를 정리한다. 커피를 내릴 때 원두와 물의 비를 \(1:8\) 로 맞춘다고 한다. 원두가 \(25\) g일 때 필요한 물의 양은 다음과 같다.

\[25 \times 8 = 200 \text{ (g)}\]

\(1:8\) 은 “원두 \(1\) 에 물 \(8\)”이라는 관계를 나타낸다. 중요한 것은 \(25\) 와 \(200\) 이라는 개별 값이 아니라 두 양 사이의 관계가 \(1:8\) 이라는 사실이다. 이 관계를 하나의 수로 나타낸 것이 비율이다.

\[\text{비율} = \frac{1}{8} = 0.125\]

이 \(\dfrac{1}{8}\) 이 무엇을 무엇으로 나눈 값인지 확인한다. 원두를 물로 나눈 값이다. 기준을 물이 아니라 전체로 잡으면 값이 달라진다. 커피 한 잔은 원두 \(1\) 과 물 \(8\), 합쳐서 \(9\) 이기 때문이다.

\[\text{물에 대한 원두의 비율} \ = \ \frac{1}{8} \qquad (\text{기준량이 물 } 8)\]
\[\text{전체에 대한 원두의 비율} \ = \ \frac{1}{9} \qquad (\text{기준량이 전체 } 9)\]

정의를 한 문장으로 정리한다. 비율은 언제나 (비교하는 양) \(\div\) (기준량)이고, 기준량을 무엇으로 잡느냐에 따라 값이 달라진다. 같은 커피 한 잔에서 \(\dfrac18\) 과 \(\dfrac19\) 가 모두 나오는 것은 둘 중 하나가 틀려서가 아니라 기준이 다르기 때문이다. 이 장의 핵심 물음인 “무엇에 대한 퍼센트인가”가 여기에서 이미 한 번 적용되었다.

앞의 \(25 \times 8 = 200\) 은 둘 중 어느 기준을 쓴 것인지 확인한다. 물이 원두의 \(8\) 배라는 관계, 곧 기준량이 원두인 경우이다. 원두 \(25\) g은 전체의 \(\dfrac19\) 이고, 물은 원두의 \(8\) 배이므로 \(25 \times 8 = 200\) g이다. 전체는 \(25 + 200 = 225\) g이고, 이는 \(25 \times 9\) 와 같다.

그런데 \(0.125\) 는 크기가 바로 파악되지 않는다. 그래서 분모를 \(100\) 으로 고정하기로 약속한 것이 백분율이다. per cent, 곧 “\(100\) 당 몇”이라는 뜻이다. 한국어로는 백분율, 곧 \(100\) 으로 나눈 비율이다.

\(10 \times 10\), 곧 \(100\) 칸짜리 정사각형을 생각한다. 위에서 세 줄을 칠하면 칠해진 칸은 \(30\) 개이다.

100칸 중 30칸이 30퍼센트

전체가 \(100\) 칸이므로 칠한 부분은 \(\dfrac{30}{100}\) 이고, 이것을 \(30\%\) 라고 쓴다. 퍼센트 기호는 \(\dfrac{1}{100}\) 을 줄여 쓴 표기이다. 새로운 개념이 아니라 새로운 표기이다.

그래서 같은 수를 세 가지 표현으로 쓸 수 있다.

\[30\% \ = \ \frac{30}{100} \ = \ 0.3\]

왼쪽에서 오른쪽으로 갈 때는 \(100\) 으로 나누고, 오른쪽에서 왼쪽으로 갈 때는 \(100\) 을 곱한다. 소수점이 두 칸 이동한다.

퍼센트 문제의 유형은 셋뿐이다#

퍼센트 문제는 겉으로는 종류가 많아 보이지만, 실제로 등장하는 자리는 셋이다.

\[\text{전체(기준량)} \qquad \text{부분(비교량)} \qquad \text{비율}\]

퍼센트 문제는 이 셋 중 둘을 주고 나머지 하나를 묻는다. 따라서 유형은 세 가지이다. 같은 세 수(\(300\), \(45\), \(15\%\))를 반복해 사용하면 세 유형이 하나의 관계에서 갈라져 나온다는 점이 분명해진다.

부분을 묻는다. “\(300\) 의 \(15\%\) 는?”

\[\text{부분} = \text{전체} \times \text{비율} \qquad 300 \times 0.15 = 45\]

비율을 묻는다. “\(45\) 는 \(300\) 의 몇 퍼센트?”

\[\text{비율} = \frac{\text{부분}}{\text{전체}} \qquad \frac{45}{300} = 0.15 = 15\%\]

전체를 묻는다. “어떤 수의 \(15\%\) 가 \(45\) 다. 그 수는?”

\[\text{전체} = \frac{\text{부분}}{\text{비율}} \qquad \frac{45}{0.15} = 300\]

세 식은 서로 다른 식처럼 보이지만 실제로는 하나의 식이다. \(\text{부분} = \text{전체} \times \text{비율}\) 하나이다. 모르는 자리가 어디인지에 따라 곱셈이 되거나 나눗셈이 된다. 특히 세 번째, “부분을 알고 전체를 구하는” 유형에서는 부분에서 전체로 갈 때 나눗셈을 사용한다는 점이 핵심이다.

두 가지를 직접 계산한다. 물건값 \(45{,}000\) 원의 \(12\%\) 는 얼마인가. 전체가 \(45{,}000\), 비율이 \(0.12\) 인 첫 번째 유형이다.

\[45{,}000 \times 0.12 = 5{,}400 \text{ (원)}\]

검산 방법은 다음과 같다. \(10\%\) 는 소수점을 한 칸 옮겨 \(4{,}500\) 원이다. \(12\%\) 는 그보다 커야 하므로 \(5{,}400\) 원은 타당하다. \(10\%\) 를 먼저 구해 어림하면 계산기 없이도 크게 어긋난 답을 걸러낼 수 있다.

다음은 두 번째 유형이다. 전체 \(25\) 명 중 \(15\) 명이 참석했다면 참석률은 다음과 같다.

\[\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6 = 60\%\]

부분 \(15\) 를 전체 \(25\) 로 나눈다. 기준량이 분모다. 약분하면 \(\dfrac{3}{5}\), 소수로 \(0.6\), 퍼센트로 \(60\) — 세 표현이 모두 같은 수를 가리킨다. \(\dfrac{7}{20}\) 처럼 분모가 \(100\) 이 아닌 분수는 분자와 분모에 같은 수를 곱해 분모를 \(100\) 으로 만들면 바로 퍼센트가 된다. \(\dfrac{7}{20} = \dfrac{35}{100} = 35\%\). 퍼센트로 바꾸는 일은 결국 “분모를 \(100\) 으로 맞추는 일”이다.

할인 계산 — 뺄셈 대신 남은 비율을 곱한다#

정가 \(40{,}000\) 원인 물건을 \(30\%\) 할인할 때의 지불액을 구한다. 계산 방법은 두 가지이다.

\[\text{(가) 빼기: } \ 40{,}000 - 40{,}000 \times 0.3 = 40{,}000 - 12{,}000 = 28{,}000\]
\[\text{(나) 남은 비율 곱하기: } \ 40{,}000 \times 0.7 = 28{,}000\]

답은 같지만 (나)가 더 효율적이다. 이유는 두 가지이다. 첫째, 계산이 한 번으로 끝난다. 둘째, \(30\%\) 할인이 \(70\%\) 를 지불한다는 뜻임을 계산 과정에서 매번 확인하게 된다. 할인율이 아니라 지불 비율로 환산해 계산하는 것이 이 장의 두 번째 요점이다.

\[30\% \text{ 할인} \ \Rightarrow \ \times 0.7 \qquad 20\% \text{ 할인} \ \Rightarrow \ \times 0.8 \qquad 15\% \text{ 인상} \ \Rightarrow \ \times 1.15\]

인상도 같은 구조이다. \(15\%\) 올린다는 것은 원래 값 \(100\%\) 에 \(15\%\) 를 더하는 것이므로 \(115\%\), 곧 \(\times 1.15\) 이다. 팁도 같은 구조여서, 밥값 \(48{,}000\) 원에 팁 \(15\%\) 를 더하면 \(48{,}000 \times 1.15 = 55{,}200\) 원이다.

역방향 계산 — 곱한 인자로 나눈다#

앞에서는 정가에서 지불액으로 가는 한 방향만 다루었다. 실제 상황에서는 반대 방향이 더 자주 필요하다. 영수증에 찍힌 금액에서 정가를 구해야 하고, 부가세가 포함된 결제액에서 세전 금액을 구해야 한다. 방법은 하나이다. 곱셈으로 얻은 값은 같은 인자로 나누어 되돌린다.

\[40{,}000 \ \xrightarrow{\ \times 0.7\ } \ 28{,}000 \ \xrightarrow{\ \div 0.7\ } \ 40{,}000\]

\(30\%\) 할인가에서 정가로 갈 때 \(\times 1.3\) 이 아니라 \(\div 0.7\) 인 이유는 정가에서 지불액으로 갈 때 곱한 인자가 \(0.7\) 이기 때문이다. 되돌릴 때는 갈 때 사용한 그 인자로 나눈다. 부가세도 같은 방식으로 처리된다.

\[30{,}000 \ \xrightarrow{\ \times 1.1\ } \ 33{,}000 \ \xrightarrow{\ \div 1.1\ } \ 30{,}000\]

여기에 \(\times 0.9\) 를 적용하면 \(33{,}000 \times 0.9 = 29{,}700\) 원이 되어 값이 맞지 않는다. 붙일 때의 \(10\%\) 는 \(30{,}000\) 원의 \(10\%\)(\(3{,}000\) 원)인데, \(\times 0.9\) 는 \(33{,}000\) 원의 \(10\%\)(\(3{,}300\) 원)를 빼는 계산이기 때문이다. 기준량이 다르다.

되찾은 값은 반드시 검산한다. 되찾은 값에 원래 인자를 다시 곱해서 주어진 값이 나오는지 확인하면 된다. \(60\%\) 할인가 \(26{,}000\) 원에서 정가를 되찾으면 \(26{,}000 \div 0.4 = 65{,}000\) 원이고, 검산은 \(65{,}000 \times 0.4 = 26{,}000\) 으로 일치한다. 이 검산으로 미지수를 세우지 않고도 답을 확인할 수 있다.

증가율의 기준은 언제나 “변하기 전”#

\(40\) 에서 \(50\) 으로 늘었을 때의 증가율을 구한다. 빈번한 오답은 \(20\%\) 이지만, 맞는 값은 \(25\%\) 이다.

\[\text{증가율} = \frac{\text{변화량}}{\text{기준량}} = \frac{50 - 40}{40} = \frac{10}{40} = 0.25 = 25\%\]

분자는 늘어난 양 \(10\) 이다. 판단이 갈리는 곳은 분모로, \(40\) 과 \(50\) 중 어느 것을 쓰는가이다. 문장은 “\(40\) 에서 \(50\) 으로”이므로 출발점은 \(40\) 이다. 변하기 전 값이 기준량이고, 기준량이 분모다.

반대 방향의 변화율은 다음과 같다.

\[50 \ \longrightarrow \ 40 \ : \quad \frac{50 - 40}{50} = \frac{10}{50} = 0.20 = 20\%\]

\(40\) 에서 \(50\) 은 \(25\%\) 증가, \(50\) 에서 \(40\) 은 \(20\%\) 감소이다. 변화량은 같은 \(10\) 이지만 퍼센트는 다르다. 기준이 다르기 때문이다. 이것이 “무엇에 대한 퍼센트인가”라는 물음의 뜻이다.

한국어에는 기준량을 지목하는 문법이 들어 있다. “\(A\) 에서 \(B\) 로”, “\(A\) 에 대해”, “\(A\) 의 몇 퍼센트” — 조사 앞에 놓인 \(A\) 가 기준량이고, 기준량은 언제나 분모다. 계산을 시작하기 전에 문장에서 그 조사를 찾아 기준량을 먼저 표시한다.

20% 올랐다 20% 내리면 제자리가 아니다#

도입에서 제시한 물음으로 돌아온다. \(100{,}000\) 원짜리 물건이 \(20\%\) 올랐다 다시 \(20\%\) 내렸을 때의 가격을 한 단계씩 계산한다.

\[100{,}000 \times 1.2 = 120{,}000\]
\[120{,}000 \times 0.8 = 96{,}000\]

결과는 \(96{,}000\) 원이고 \(100{,}000\) 원이 아니다. 차이는 \(4{,}000\) 원이다. 그 이유는 막대로 나타내면 확인된다.

20% 인상 후 20% 인하 막대 비교

올릴 때의 \(20\%\) 와 내릴 때의 \(20\%\) 는 서로 다른 금액이다. 올릴 때는 \(10\) 만 원의 \(20\%\) 이므로 \(2\) 만 원이고, 내릴 때는 \(12\) 만 원의 \(20\%\) 이므로 \(2\) 만 \(4\) 천 원이다. 같은 “\(20\%\)”라는 표기가 붙어 있어도 크기가 다르다. 기준량이 도중에 바뀌었기 때문이다.

순서를 바꿔도 결과는 같다.

\[100{,}000 \times 0.8 = 80{,}000 \qquad 80{,}000 \times 1.2 = 96{,}000\]

인하가 먼저인지 인상이 먼저인지는 결과에 영향을 주지 않는다. 결과를 결정하는 것은 곱셈 인자이다.

\[1.2 \times 0.8 = 0.96\]

\(1.2\) 와 \(0.8\) 은 서로 상쇄되지 않는다. 상쇄되려면 두 인자의 곱이 \(1\) 이어야 하는데 실제 곱은 \(0.96\) 이다. 퍼센트 변화는 더하기가 아니라 곱하기다. \(+20\) 과 \(-20\) 이 \(0\) 이 되는 것은 정수의 덧셈에서 성립하는 성질이고, 퍼센트 변화에는 적용되지 않는다.

다만 “퍼센트 변화는 항상 손해”라는 뜻은 아니다. 예컨대 어떤 값이 \(25\%\) 올랐다 \(20\%\) 내리면 \(1.25 \times 0.8 = 1.00\) 으로 정확히 원래 값이 된다. 핵심은 변화의 방향이 아니라 기준량이 도중에 바뀐다는 사실 하나이다.

단리와 복리 — 기준량이 매년 커진다#

기준량이 도중에 바뀌는 구조는 이자 계산에서도 나타난다.

원금 \(100\) 만 원을 연 \(5\%\) 로 \(2\) 년 예금한다고 한다. 이자를 붙이는 방식은 두 가지이다.

단리는 이자를 원금에만 붙인다. 기준량이 \(100\) 만 원으로 고정된다.

\[1{,}000{,}000 \times 0.05 = 50{,}000 \quad (\text{1년 차 이자})\]
\[1{,}000{,}000 \times 0.05 = 50{,}000 \quad (\text{2년 차 이자 — 기준량은 여전히 } 100 \text{만 원})\]
\[\text{2년 뒤 잔액} \ = \ 1{,}000{,}000 + 50{,}000 \times 2 \ = \ 1{,}100{,}000 \ \text{원}\]

복리는 이자를 그때까지 불어난 금액에 붙인다. 1년이 지나면 잔액이 \(105\) 만 원이므로, 2년 차의 기준량은 \(100\) 만 원이 아니라 \(105\) 만 원이다.

\[1{,}000{,}000 \times 1.05 = 1{,}050{,}000 \ \text{원} \quad (\text{1년 뒤})\]
\[1{,}050{,}000 \times 1.05 = 1{,}102{,}500 \ \text{원} \quad (\text{2년 뒤})\]

두 잔액의 차이는 \(1{,}102{,}500 - 1{,}100{,}000 = 2{,}500\) 원이다. 이 \(2{,}500\) 원은 1년 차에 붙은 이자 \(50{,}000\) 원에 2년 차에 다시 \(5\%\) 가 적용된 값이다.

\[50{,}000 \times 0.05 = 2{,}500\]

여기에서도 기준량이 도중에 바뀐다. 앞 절의 인상·인하 예에서는 기준량이 커지면서 최종 금액이 원래보다 줄었고, 복리에서는 기준량이 커지면서 잔액이 늘어난다. 부채에 복리가 적용되면 같은 구조로 갚아야 할 금액이 늘어난다. 결과를 결정하는 것이 변화의 방향이 아니라 기준량이라는 점은 여기에서도 동일하다.

기호로 정리한다. 원금 \(P\), 연이율 \(r\), 기간 \(n\) 년일 때,

\[\text{단리} \ = \ P(1 + rn) \qquad \text{복리} \ = \ P(1+r)^n\]

\(P = 1{,}000{,}000\), \(r = 0.05\), \(n = 2\) 를 대입해 확인한다. 단리는 \(1{,}000{,}000 \times (1 + 0.05 \times 2) = 1{,}000{,}000 \times 1.1 = 1{,}100{,}000\) 원이다. 복리는 \(1{,}000{,}000 \times 1.05^2 = 1{,}102{,}500\) 원이다. 한 단계씩 계산한 값과 일치한다.

단위환산 — 단위를 분수처럼 약분한다#

퍼센트가 “\(100\) 당 몇”이라면, 환율은 “\(1\) 달러당 몇 원”, 속도는 “\(1\) 시간당 몇 km”이다. 셋은 같은 구조이므로 하나의 방법으로 처리된다. 바꾸려는 단위를 분수의 분자와 분모에서 약분하는 방법이다.

\[250 \ \text{달러} \times \frac{1{,}300 \ \text{원}}{1 \ \text{달러}} = 325{,}000 \ \text{원}\]

달러가 분자와 분모에서 약분되고 원만 남는다. 곱셈과 나눗셈 중 어느 것을 쓸지 판단할 때는 없애려는 단위가 약분되는 쪽을 선택하면 언제나 맞다. 반대 방향도 마찬가지이다.

\[650{,}000 \ \text{원} \times \frac{1 \ \text{달러}}{1{,}300 \ \text{원}} = 500 \ \text{달러}\]

속도도 같다. 시속 \(72\) km를 초속으로 바꾼다. \(1\) km \(= 1{,}000\) m, \(1\) 시간 \(= 3{,}600\) 초이므로 분자와 분모를 각각 바꾸면 된다.

\[72 \ \text{km/h} \ = \ \frac{72{,}000 \ \text{m}}{3{,}600 \ \text{초}} \ = \ 20 \ \text{m/s}\]

시속 \(72\) km는 초속 \(20\) m이다. 마일도 같은 방법으로 환산한다. \(1\) 마일은 약 \(1.6\) km(정확한 값은 \(1.609\) 이고, 어림 계산에는 \(1.6\) 을 사용한다)이므로,

\[60 \ \text{mile/h} \times 1.6 = 96 \ \text{km/h}\]

미국 고속도로 표지판의 \(60\) 은 시속 \(96\) km에 해당한다.

빈번한 오류#

“\(20\%\) 올랐다가 \(20\%\) 내리면 제자리”

\(100 \to 120 \to\) “\(100\)”이라고 쓰거나, “\(30\%\) 할인받고 나중에 \(30\%\) 오르면 원래 가격”이라고 말한다. 원인은 퍼센트를 더하고 빼는 수로 이해한 데 있다. \(+20\) 과 \(-20\) 이 상쇄된다는 것은 정수 범위에서는 성립하는 성질이다. 그러나 퍼센트 변화의 실체는 곱하는 인자(\(\times 1.2\), \(\times 0.8\))이고, 이 둘은 상쇄되지 않는다(\(1.2 \times 0.8 = 0.96\)). 더 근본적인 원인은 기준량이 도중에 바뀐다는 점을 확인하지 않은 데 있다. 올릴 때 기준은 \(100\), 내릴 때 기준은 \(120\) 이다. 같은 “\(20\%\)”라는 표기가 서로 다른 금액을 가리키고 있다.

확인 문제: \(50{,}000\) 원이 \(10\%\) 올랐다가 \(10\%\) 내리면 얼마인가? (답: \(49{,}500\) 원. \(50{,}000 \times 1.1 \times 0.9\). \(500\) 원이 줄어든다.)

기준량을 잃어버린다

“\(40\) 에서 \(50\) 으로의 증가율”을 \(\dfrac{10}{50} = 20\%\) 로, “\(250\) 만 원에서 \(275\) 만 원”을 \(\dfrac{25}{275}\) 로 계산한다. 즉 분자는 맞고 분모가 틀린다. “퍼센트는 둘 중 하나로 나누는 것”까지는 기억하지만 어느 쪽으로 나누는지가 빠져 있다. 두 수가 함께 주어지면 큰 쪽을 분모로 쓰는 경우가 많다(\(100\%\) 를 넘지 않는 값이 나오기 때문이다). 문장의 “에서 / 에 대해 / 의”가 기준량을 지목한다는 사실을 확인하면 된다. 조사 앞에 놓인 수가 기준량이고, 기준량은 언제나 분모다.

확인 문제: \(80\) 에서 \(100\) 으로의 증가율과 \(100\) 에서 \(80\) 으로의 감소율을 각각 구하라. (답: \(25\%\) 와 \(20\%\). 기준이 각각 \(80\) 과 \(100\) 으로 다르다.)

퍼센트와 퍼센트포인트를 섞는다

금리가 \(2\%\) 에서 \(3\%\) 로 올랐을 때 “\(1\%\) 올랐다”고 쓴다. 퍼센트 자체가 다시 퍼센트로 변할 수 있다는 이중 구조를 확인하지 않은 결과이다. 두 문장은 서로 다른 것을 재고 있다.

\[\text{“} 1 \ \text{퍼센트포인트 올랐다”} : \ 3 - 2 = 1 \quad \text{(뺄셈)}\]
\[\text{“} 50\% \ \text{올랐다”} : \ \frac{3-2}{2} = 0.5 \quad \text{(비율)}\]

퍼센트포인트는 뺄셈, 퍼센트는 나눗셈이다. 뉴스에서 “금리가 \(1\%\) 올랐다”고 하는 경우, 대개 \(1\) 퍼센트포인트를 잘못 표현한 것이다.

확인 문제: 실업률이 \(4\%\) 에서 \(5\%\) 로 갔다. (1) 몇 퍼센트포인트 올랐나? (2) 몇 퍼센트 올랐나? (답: (1) \(1\) 퍼센트포인트 (2) \(25\%\).)

할인액과 지불액을 헷갈린다

\(40{,}000\) 원의 \(30\%\) 할인가를 \(12{,}000\) 원이라고 쓴다. 계산 자체는 정확하지만 구한 값이 문제가 요구한 값과 다르다. \(12{,}000\) 원은 할인액이고, 문제가 물은 것은 지불액이다. “퍼센트가 나오면 곱한다”는 절차만 남고 무엇을 묻는지 읽는 단계가 빠진 것이므로, 계산 연습만으로는 교정되지 않는다. 할인 문제는 처음부터 다음과 같이 읽는다. “\(30\%\) 할인”은 “\(70\%\) 를 낸다”는 뜻이다. 할인율을 확인하는 즉시 \(100\) 에서 빼서 지불 비율로 바꾸면, 곱셈 한 번으로 계산이 끝나고 할인액과 지불액을 혼동하지 않는다.

확인 문제: 정가 \(60{,}000\) 원인 물건의 \(25\%\) 할인가는? (답: \(45{,}000\) 원. \(60{,}000 \times 0.75\).)

연습문제#

계산기를 사용하지 않는다. 막히는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. 각 문항에서 기준량을 먼저 표시한 뒤 계산을 시작한다. 무엇에 대한 퍼센트인지 확인하지 않고 계산한 답은 값이 맞더라도 절반만 푼 것이다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

  1. A 백분율로 바꿔라. (1) \(0.24\) (2) \(0.07\) (3) \(1.5\) (4) \(\dfrac{3}{8}\)

  2. A 소수로 바꿔라. (1) \(65\%\) (2) \(8\%\) (3) \(120\%\) (4) \(0.5\%\)

  3. A 계산하라. (1) \(600\) 의 \(15\%\) (2) \(2{,}400\) 의 \(25\%\) (3) \(50\) 의 \(8\%\)

  4. A 정가 \(35{,}000\) 원인 신발을 \(20\%\) 할인한다. 지불할 금액은?

  5. A 어떤 모임의 \(25\) 명 중 \(15\) 명이 여성이다. 여성의 비율은 몇 퍼센트인가?

  6. A 월급이 \(250\) 만 원에서 \(275\) 만 원으로 올랐다. 인상률은 몇 퍼센트인가?

  7. B 식사값이 \(48{,}000\) 원이다. 팁 \(15\%\) 를 더하면 모두 얼마를 내는가?

  8. B 부가세 \(10\%\) 가 붙어서 \(33{,}000\) 원을 결제했다. 부가세를 붙이기 전 값은 얼마인가?

  9. B \(60\%\) 할인해서 \(26{,}000\) 원에 팔고 있다. 정가는 얼마인가?

  10. B 원금 \(200\) 만 원을 연 \(3\%\) 단리로 \(2\) 년 예금하면 이자는 모두 얼마인가?

  11. B \(1\) 달러 \(= 1{,}350\) 원이다. (1) \(40\) 달러는 몇 원인가? (2) \(108{,}000\) 원은 몇 달러인가?

  12. B 시속 \(108\) km로 달리는 차는 초속 몇 m로 움직이는가?

  13. C 어떤 주식이 첫날 \(25\%\) 오르고 다음 날 \(20\%\) 내렸다. 이틀 뒤 가격은 처음보다 오른 것인가 내린 것인가, 몇 퍼센트인가? (계산 결과에 따라 판단한다.)

  14. C 어떤 가게가 “\(30\%\) 할인 후 추가 \(10\%\) 할인”이라고 광고한다. 이것은 \(40\%\) 할인과 같은가? 정가 \(50{,}000\) 원인 물건으로 확인하고, 실제로는 몇 퍼센트 할인인지 구하라.

정답과 해설

  1. (1) \(24\%\) (2) \(7\%\) (3) \(150\%\) (4) \(37.5\%\) — \(\dfrac{3}{8} = 0.375\), 소수점을 두 칸 옮긴다. (3)에서 보듯 퍼센트는 \(100\%\) 를 넘을 수 있다. \(150\%\) 는 기준량의 \(1.5\) 배이다.

  2. (1) \(0.65\) (2) \(0.08\) (3) \(1.2\) (4) \(0.005\) — 빈번한 오류: (4)를 \(0.05\) 로 쓴다. \(0.5\%\) 는 \(\dfrac{0.5}{100}\) 이므로 \(0.005\) 이다. 소수점 두 칸이다.

  3. (1) \(90\) (2) \(600\) (3) \(4\)

  4. \(28{,}000\) 원 — \(35{,}000 \times 0.8\). 빈번한 오류: \(35{,}000 \times 0.2 = 7{,}000\) 원이라고 쓴다. 이 값은 할인액이고 지불액이 아니다.

  5. \(60\%\) — \(\dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5} = 0.6\)

  6. \(10\%\) — \(\dfrac{275 - 250}{250} = \dfrac{25}{250} = 0.1\). 빈번한 오류: \(\dfrac{25}{275} \approx 9.1\%\). 기준은 오르기 전 금액이다.

  7. \(55{,}200\) 원 — \(48{,}000 \times 1.15\). 팁만 따로 구하면 \(7{,}200\) 원이다.

  8. \(30{,}000\) 원 — 붙일 때 곱한 인자가 \(1.1\) 이므로 되돌릴 때는 \(1.1\) 로 나눈다. \(33{,}000 \div 1.1 = 30{,}000\). 검산: \(30{,}000 \times 1.1 = 33{,}000\) 으로 일치한다. 빈번한 오류: \(33{,}000 \times 0.9 = 29{,}700\). 붙일 때의 \(10\%\) 기준은 \(30{,}000\) 이고 뺄 금액은 \(3{,}000\) 이다. 도입에서 다룬 오류와 같은 구조이다.

  9. \(65{,}000\) 원 — \(60\%\) 할인이면 \(40\%\) 를 낸 것이므로 \(26{,}000 \div 0.4 = 65{,}000\).

  10. \(120{,}000\) 원 — 단리는 매년 원금에만 붙는다. \(2{,}000{,}000 \times 0.03 \times 2\). 한 해 이자 \(60{,}000\) 원이 두 번이다.

  11. (1) \(54{,}000\) 원 — \(40 \times 1{,}350\) (2) \(80\) 달러 — \(108{,}000 \div 1{,}350\)

  12. \(30\) m/s — \(\dfrac{108{,}000 \ \text{m}}{3{,}600 \ \text{초}}\). 시속을 \(3.6\) 으로 나누면 초속이다.

  13. 정확히 제자리, \(0\%\) — \(1.25 \times 0.8 = 1.00\). 처음이 \(100\) 이었다면 \(125\) 를 거쳐 정확히 \(100\) 으로 돌아온다. 요점: “퍼센트 변화는 항상 손해”인 것은 아니다. \(20\%\) 내린 것을 되돌리려면 \(20\%\) 가 아니라 \(25\%\) 를 올려야 한다. 결정 요인은 변화의 방향이 아니라 기준량이 다르다는 사실 하나이다.

  14. 같지 않다. \(50{,}000 \times 0.7 = 35{,}000\), 다시 \(35{,}000 \times 0.9 = 31{,}500\) 원이다. \(40\%\) 할인이었다면 \(50{,}000 \times 0.6 = 30{,}000\) 원이므로 \(1{,}500\) 원 비싸다. 실제 할인율은 \(\dfrac{50{,}000 - 31{,}500}{50{,}000} = 0.37\), 곧 \(37\%\) 이다. 곱셈 인자로 보면 \(0.7 \times 0.9 = 0.63\) 이므로 \(63\%\) 를 내는 것, 즉 \(37\%\) 할인이다. 빈번한 오류: \(30 + 10 = 40\) 으로 더한다. 퍼센트는 더하는 대상이 아니다.

추가 연습문제#

모두 실생활 상황(할인·이자·세금·환산)이다. 여기에서도 각 문항의 기준량을 먼저 표시한 뒤 계산을 시작한다.

백분율 기본

  1. 백분율로 바꿔라. (1) \(0.4\) (2) \(0.08\) (3) \(\dfrac{1}{4}\) (4) \(\dfrac{7}{10}\)

  2. 소수로 바꿔라. (1) \(30\%\) (2) \(5\%\) (3) \(250\%\)

  3. \(800\) 의 \(20\%\) 는?

  4. \(1{,}500\) 의 \(40\%\) 는?

  5. \(60\) 은 \(200\) 의 몇 퍼센트인가?

  6. 어떤 수의 \(30\%\) 가 \(210\) 이다. 그 수는?

  7. \(12\) 는 \(48\) 의 몇 퍼센트인가?

할인

  1. 정가 \(20{,}000\) 원인 물건을 \(25\%\) 할인하면 얼마를 내는가?

  2. 정가 \(45{,}000\) 원인 물건을 \(40\%\) 할인하면 얼마를 내는가?

  3. 정가 \(120{,}000\) 원인 코트를 \(15\%\) 할인하면 얼마를 내는가?

  4. 정가 \(80{,}000\) 원인 물건을 \(68{,}000\) 원에 샀다. 할인율은 몇 퍼센트인가?

  5. \(30\%\) 할인해서 \(21{,}000\) 원에 팔았다. 정가는 얼마인가?

  6. 정가 \(50{,}000\) 원인 물건에 대해 두 가게가 다르게 판다. A가게 “\(20\%\) 할인 후 쿠폰 \(6{,}000\) 원 추가 할인”, B가게 “\(30\%\) 할인”. 어느 쪽이 얼마나 싼가?

  7. 정가 \(60{,}000\) 원인 물건에 “\(30\%\) 할인 후 추가 \(10\%\) 할인”이 붙었다. 최종 가격은? 그리고 이것은 전체로 보면 몇 퍼센트 할인인가?

증가율·감소율·이자

  1. \(20\) 에서 \(25\) 로 늘었다. 증가율은?

  2. \(25\) 에서 \(20\) 으로 줄었다. 감소율은?

  3. 월세가 \(50\) 만 원에서 \(56\) 만 원으로 올랐다. 인상률은?

  4. 원금 \(100\) 만 원을 연 \(5\%\) 단리로 \(2\) 년 예금했다. 이자 총액과 \(2\) 년 후 잔액은?

  5. 원금 \(100\) 만 원을 연 \(5\%\) 복리로 \(2\) 년 예금했다. \(2\) 년 후 잔액은?

  6. 18번과 19번의 잔액 차이는 얼마이고, 그 차이가 어디서 생겼는지 한 문장으로 쓰라.

세금·환산·함정

  1. 물건값 \(45{,}000\) 원에 부가세 \(10\%\) 가 붙는다. 총 결제액은?

  2. 총 결제액이 \(22{,}000\) 원이고 여기에 부가세 \(10\%\) 가 포함되어 있다. 부가세는 얼마인가?

  3. \(1\) 달러 \(= 1{,}300\) 원일 때, (1) \(250\) 달러는 몇 원인가? (2) \(39{,}000\) 원은 몇 달러인가?

  4. 시속 \(72\) km는 초속 몇 m인가?

  5. 어떤 상품이 재작년 가격에서 작년에 \(10\%\) 오르고, 올해 \(10\%\) 내렸다. 재작년 가격이 \(200{,}000\) 원이었다면 지금 가격은 얼마인가? 재작년과 비교하면 몇 퍼센트 달라졌는가?

정답과 해설

  1. (1) \(40\%\) (2) \(8\%\) (3) \(25\%\) (4) \(70\%\)

  2. (1) \(0.3\) (2) \(0.05\) (3) \(2.5\)

  3. \(160\) 4. \(600\) 5. \(30\%\) 6. \(700\) 7. \(25\%\)

  4. \(15{,}000\) 원 — \(20{,}000 \times 0.75\)

  5. \(27{,}000\) 원 — \(45{,}000 \times 0.6\)

  6. \(102{,}000\) 원 — \(120{,}000 \times 0.85\)

  7. \(15\%\) — 깎인 금액 \(12{,}000\) 원, 기준량은 정가 \(80{,}000\) 원이다. \(\dfrac{12{,}000}{80{,}000} = 0.15\). 빈번한 오류: \(\dfrac{12{,}000}{68{,}000}\). 할인율의 기준은 언제나 정가다.

  8. \(30{,}000\) 원 — \(21{,}000 \div 0.7\). 빈번한 오류: \(21{,}000 \times 1.3 = 27{,}300\). 붙일 때와 뗄 때의 기준량이 다르다(\(20\%\) 사례와 같은 구조이다).

  9. A가게가 \(1{,}000\) 원 싸다. A: \(50{,}000 \times 0.8 = 40{,}000\), 쿠폰을 빼면 \(34{,}000\) 원이다. B: \(50{,}000 \times 0.7 = 35{,}000\) 원이다. 요점: 정액 할인(쿠폰)과 정률 할인(퍼센트)은 성질이 다르다. 정가가 더 높은 물건에서는 B가 더 싸다. 정가를 바꾸어 확인할 수 있다.

  10. \(37{,}800\) 원, 전체로는 \(37\%\) 할인 — \(60{,}000 \times 0.7 \times 0.9 = 37{,}800\). 곱셈 인자 \(0.7 \times 0.9 = 0.63\) 이므로 \(63\%\) 를 낸 것, 곧 \(37\%\) 할인이다. 빈번한 오류: \(30 + 10 = 40\%\).

  11. \(25\%\) — \(\dfrac{5}{20}\)

  12. \(20\%\) — \(\dfrac{5}{25}\). 15번과 답이 다른 이유는 기준량이 \(20\) 인지 \(25\) 인지의 차이이다.

  13. \(12\%\) — \(\dfrac{6}{50}\)

  14. 이자 \(100{,}000\) 원, 잔액 \(1{,}100{,}000\) 원 — 단리는 매년 원금 \(100\) 만 원에만 \(5\%\) 가 붙는다. \(50{,}000 \times 2\).

  15. \(1{,}102{,}500\) 원 — \(1{,}000{,}000 \times 1.05 \times 1.05\)

  16. 차이 \(2{,}500\) 원. 예시 답안: “1년 차에 붙은 이자 \(50{,}000\) 원에 대해 2년 차에 다시 \(5\%\) 가 붙었기 때문이다(\(50{,}000 \times 0.05 = 2{,}500\)).” 요점: 복리는 기준량이 매년 커지는 계산이다. 이 장에서 다룬 “기준량이 바뀐다”가 여기에서도 그대로 적용된다.

  17. \(49{,}500\) 원 — \(45{,}000 \times 1.1\)

  18. \(2{,}000\) 원 — 세전 금액은 \(22{,}000 \div 1.1 = 20{,}000\) 원, 세액은 \(22{,}000 - 20{,}000 = 2{,}000\) 원이다. 빈번한 오류: \(22{,}000 \times 0.1 = 2{,}200\) 원. 부가세의 기준량은 결제액이 아니라 세전 금액이다.

  19. (1) \(325{,}000\) 원 (2) \(30\) 달러

  20. \(20\) m/s — \(\dfrac{72{,}000}{3{,}600}\)

  21. \(198{,}000\) 원, \(1\%\) 하락 — \(200{,}000 \times 1.1 \times 0.9 = 198{,}000\). 곱셈 인자는 \(1.1 \times 0.9 = 0.99\) 이다. 요점: 앞에서 다룬 \(20\%\) 의 경우 \(4\%\) 가 줄었고, \(10\%\) 의 경우 \(1\%\) 가 줄어든다. 변화율이 클수록 감소폭도 커진다. 처음 값이 무엇이든 원래 값으로 돌아오지 않는다(단, 오르는 폭과 내리는 폭이 같을 때).

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 한 문장이다. 무엇에 대한 퍼센트인가. 퍼센트는 “\(100\) 당 몇”을 나타내는 표기이고, 모든 퍼센트 문제는 기준량을 확정하는 순간 풀린다. 유형은 셋뿐이며(\(\text{부분} = \text{전체} \times \text{비율}\) 하나에서 갈라져 나온다), 할인은 “남은 비율”을 곱하는 계산이고, 증가율의 기준은 언제나 변하기 전 값이다.

가장 중요한 결론은 다음과 같다. 퍼센트 변화는 더하기가 아니라 곱하기다. \(20\%\) 올렸다 \(20\%\) 내리면 \(96\) 이지 \(100\) 이 아니다. \(1.2 \times 0.8 = 0.96\) 이기 때문이다.

이 장에서 다룬 오류의 형태 — “따로따로 계산해서 더하면 된다”는 판단 — 는 제7장에서 다른 형태로 다시 나타난다. \(\sqrt{9+16}\) 이 \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\) 인지 확인하면, 실제 값은 \(\sqrt{25} = 5\) 이다. 다음 장에서는 지수와 제곱근, 그리고 연산의 순서를 다룬다.