제26장 · 도함수의 정의

내용

제26장 · 도함수의 정의#

이 장


원본 코드	R3-W06
선행 내용	제25장 — 극한의 계산
요지	도함수는 접선의 기울기이자, 차분몫의 극한이다.

도입#

앞에서 따로 다룬 두 계열의 내용이 이 장에서 결합된다.

한쪽에서는 \(f(x)=x^2\) 의 \(x=1\) 근처 평균변화율을 표로 계산했다. 값이 \(3,\ 2.5,\ 2.1,\ 2.01,\ 2.001\) 로 \(2\) 에 접근했다. 곡선 위 두 점을 잇는 직선(할선)의 기울기가, 두 점이 가까워질수록 한 점에서 접하는 직선(접선)의 기울기 \(2\) 에 접근함을 확인한 것이다. 다른 쪽인 제25장에서는 표 없이 계산만으로 극한을 구하는 방법을 다루었다. 인수분해와 약분을 거쳐 \(\lim_{h\to0}\dfrac{(3+h)^2-9}{h}=6\) 과 같은 값을 직접 구했다.

앞의 표는 \(h\) 가 양수인 쪽만 다루었다. 제25장에서 극한이 존재하려면 양쪽에서 접근한 값이 같아야 한다는 조건을 제시했으므로, 음수 쪽을 채워 다시 제시한다. 차분몫 \(\dfrac{(1+h)^2-1}{h}\) 을 \(h\) 가 음수일 때와 양수일 때 나란히 계산한 것이다.

\(h\)	\(-0.1\)	\(-0.01\)	\(-0.001\)	\(\to 0 \leftarrow\)	\(0.001\)	\(0.01\)	\(0.1\)
차분몫	\(1.9\)	\(1.99\)	\(1.999\)	\(\mathbf{2}\)	\(2.001\)	\(2.01\)	\(2.1\)

왼쪽에서 접근해도 \(2\), 오른쪽에서 접근해도 \(2\) 이다. 양쪽 극한이 일치하므로 극한이 존재한다. 제25장의 판정 조건을 여기서 그대로 적용한 것이다.

이제 접선의 기울기를 구하는 이 계산에 정식 명칭과 기호를 부여한다.

\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

이 식은 미적분의 기본 정의이며, 이후 내용의 대부분이 이 식에서 유도된다. 식 자체에 새로운 요소는 없다. 분자는 \(y\) 의 변화량, 분모는 \(x\) 의 변화량이므로 이는 기울기 공식이다. 추가된 것은 \(\lim\) 하나이고, 이 극한이 할선을 접선으로 바꾼다. 이 장의 내용은 이 한 가지로 요약된다.

\(x^2\) 의 도함수가 \(2x\) 이며 지수를 앞으로 내려 곱하면 된다는 규칙을 이미 알고 있는 경우가 있다. 그 규칙은 실제로 존재하며 다음 장에서 정식으로 다룬다. 다만 정의 없이 규칙만 기억하면 그 규칙은 근거를 알 수 없는 공식이 되고, 근거 없이 외운 공식은 오래 유지되지 않는다. 정의로 몇 개를 직접 구해 보면 규칙이 계산의 결과임이 드러나고, 결과로 이해한 규칙은 잊더라도 다시 유도할 수 있다. 또한 이 과정 뒤에 나오는 \(\sin x\), \(e^x\), \(\ln x\) 에는 “지수 내리기”가 적용되지 않는다. 그때 사용하는 것이 이 장의 정의다. 규칙이 적용되지 않는 함수에서는 정의가 유일한 출발점이다. 그러므로 규칙보다 정의를 먼저 다룬다.

할선에서 접선으로#

도함수의 정의는 새로운 식이 아니라, 할선의 그림을 식으로 옮겨 적은 것이다. 곡선 위에 두 점을 놓는다.

\(P\) 는 관심 대상인 점으로, 가로 위치가 \(x\), 높이가 \(f(x)\) 이다. \(Q\) 는 \(P\) 에서 오른쪽으로 \(h\) 만큼 이동한 점으로, 가로 위치가 \(x+h\), 높이가 \(f(x+h)\) 이다. 가로 방향 이동량은 \((x+h)-x=h\) 이며, 이것이 분모가 \(h\) 인 이유다. 세로 방향 변화량은 \(f(x+h)-f(x)\) 이며, 이것이 분자의 형태가 그러한 이유다.

\[\text{할선 } PQ \text{ 의 기울기} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

이것을 차분몫이라 한다. 차분몫은 기울기 공식, 즉 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값이다.

이제 \(h\) 를 줄인다.

\[h \to 0 \quad \Longleftrightarrow \quad Q \text{ 를 } P \text{ 쪽으로 민다} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{할선} \to \text{접선}\]

\(h\) 를 \(0\) 으로 보내면 \(Q\) 가 \(P\) 에 접근하고, 할선이 접선에 접근한다. 극한 기호가 수행하는 조작이 이 두 점을 일치시키는 과정이다.

한 가지를 명확히 해 둔다. \(h\) 는 양수여도 음수여도 된다. \(h<0\) 이면 \(Q\) 가 \(P\) 의 왼쪽에 위치하며, 이때는 가로 방향 이동량 \(h\) 도 음수이고 세로 방향 변화량 \(f(x+h)-f(x)\) 도 부호가 함께 바뀐다. 분자와 분모가 둘 다 부호를 바꾸므로 그 몫인 기울기는 같은 방식으로 얻어진다. 그림에서는 \(Q\) 를 오른쪽에 그렸지만, 왼쪽에서 접근해도 할선이 접선에 접근하는 것은 동일하다. 도입의 표가 이를 보여준다. \(h\) 를 음수 쪽에서 \(0\) 으로 보내도, 양수 쪽에서 보내도 차분몫이 같은 값 \(2\) 로 접근했다. 양쪽 극한이 일치해야 극한이 존재한다는 제25장의 조건이 여기서 그대로 요구된다.

정의의 세 구성 요소#

정의를 세 조각으로 나누고 각 조각에 이름을 붙인다.

\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

조각	그림에서	하는 일
\(f(x+h) - f(x)\)	세로 변화	높이의 변화량
\(h\)	가로 변화	가로 방향 이동량
\(\lim_{h\to0}\)	\(Q\) 를 \(P\) 에 일치시킴	할선을 접선으로
\(f'(x)\)	접선의 기울기	결과이며 \(x\) 의 함수이다

마지막 줄이 핵심이다. \(f'(x)\) 는 수가 아니라 함수다. \(x\) 를 입력하면 그 점에서의 접선 기울기를 출력한다. 명칭이 ‘도함수’인 것은 함수에서 유도된 함수라는 뜻이다.

여기서 두 가지를 구별한다.

\[f'(3) \ \text{— 수 하나. } x=3 \text{ 에서의 접선 기울기. 미분계수}\]

\[f'(x) \ \text{— 함수. 모든 점의 답을 한꺼번에. 도함수}\]

앞의 수치 실험에서는 \(x=1\) 에서 표 하나, \(x=3\) 에서 표 하나, \(x=2\) 에서 또 하나를 점마다 새로 작성해야 했다. 여기서는 기준점을 \(x\) 라는 문자로 둔다. 그러면 한 번의 계산으로 모든 점의 값을 얻는다. 문자를 사용하는 이유는 항상 이것이다.

정의로 \(x^2\) 미분하기#

정의를 처음으로 직접 적용한다. 계산은 항상 네 단계로 진행된다.

\[\text{①}\ f(x+h)\text{ 쓰기} \ \to\ \text{②}\ f(x+h)-f(x)\text{ 정리} \ \to\ \text{③}\ h\text{ 로 약분} \ \to\ \text{④}\ h\to0\]

① \(f(x+h)\) 를 쓴다. \(x\) 자리에 \(x+h\) 를 대입한다.

\[f(x+h) = (x+h)^2\]

② 분자를 만들고 전개한다.

\[f(x+h) - f(x) = (x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2\]

\(x^2\) 이 소거되었다. 이 소거는 항상 일어나며, 이것이 이 계산이 성립하는 이유다.

③ \(h\) 로 나누고 약분한다.

\[\frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h\]

분자를 항이 아니라 인수로 묶은 다음 약분한다. 약분이 가능한 이유는 \(h \ne 0\) 이기 때문이다. \(h\) 는 \(0\) 으로 접근하는 값이지 \(0\) 이 아니다.

④ \(h \to 0\) 을 적용한다. \(2x+h\) 는 다항식이므로 직접 대입한다.

\[f'(x) = \lim_{h\to0}(2x+h) = 2x\]

\[f(x) = x^2 \ \Longrightarrow \ f'(x) = 2x\]

값을 확인한다. \(x=1\) 을 대입하면 \(2\) 로, 앞의 표가 가리킨 값과 일치한다. \(x=3\) 이면 \(6\), \(x=2\) 면 \(4\) 이다. 세 번 따로 계산했던 값을 한 줄로 모두 얻는다.

기울기에서 접선의 방정식까지. 도함수의 첫 번째 활용이 이것이다. \(x=3\) 에서 \(f'(3)=6\) 이므로, 그 점에서의 접선은 기울기가 \(6\) 이고 점 \((3,9)\) 를 지나는 직선이다(\(f(3)=9\)). 직선을 세우는 방법은 제21장에서 다루었다. 기울기를 넣고, 점을 대입해 절편을 결정한다.

\[y = 6x + b \ \xrightarrow{\ (3,9) \text{ 대입}\ } \ 9 = 6\cdot3 + b = 18 + b \ \Longrightarrow \ b = -9\]

\[\text{접선: } y = 6x - 9\]

검산은 대입으로 한다. \(x=3\) 을 다시 넣으면 \(y = 18-9 = 9\) 로 접점의 높이와 일치한다.

한 줄로 줄여 쓰는 표기도 있다. 기울기 \(m\) 인 직선이 점 \((x_1,y_1)\) 을 지날 때

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

라고 쓰는 것을 점-기울기형이라 한다. 새로운 공식이 아니라 앞의 두 줄(기울기를 넣고 점을 대입해 절편을 결정하는 과정)을 한 줄로 줄인 것이다. 위 접선을 이 꼴로 쓰면 \(y - 9 = 6(x-3)\) 이고, 괄호를 풀면 \(y = 6x - 9\) 로 같은 결과가 된다.

정의로 직접 미분하기: 직선·삼차·유리식#

같은 네 단계를 세 함수에 적용한다. 계산의 부담은 미분 자체가 아니라 그 안에 포함된 대수 조작에 있다. 그리고 ③에서 \(h\) 는 반드시 약분된다. 약분되지 않으면 ②에 오류가 있다는 뜻이며, 이것이 자체 검산이 된다.

직선 \(f(x) = 3x + 1\) — 가장 간단한 경우.

\[f(x+h) - f(x) = \big(3(x+h)+1\big) - (3x+1) = 3h, \qquad \frac{3h}{h} = 3 \ \longrightarrow \ f'(x) = 3\]

직선의 도함수는 그 직선의 기울기다. 정의는 이미 알려진 사실과 일치한다. \(y=5x-2\) 를 넣으면 도함수가 상수 \(5\), 즉 원래 직선의 기울기로 나오고, 수평선 \(y=7\) 을 넣으면 \(0\) 이 나온다. 직선은 모든 점에서 기울기가 같고 수평선은 기울기가 \(0\) 이므로 결과가 일치한다. 정의가 기존 결과와 모순되지 않음을 보이는 첫 사례다.

삼차 \(f(x) = x^3\) — 전개가 필요한 경우.

\[(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3\]

\[f(x+h)-f(x) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3\]

\(x^3\) 이 소거되고, 남은 항에는 모두 \(h\) 가 하나 이상 포함된다. 그러므로 다음 단계가 가능하다.

\[\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2\]

\[f'(x) = \lim_{h\to0}(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2\]

\[f(x) = x^3 \ \Longrightarrow \ f'(x) = 3x^2\]

유리식 \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) — 통분이 필요한 경우.

\[f(x+h) - f(x) = \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \frac{-h}{x(x+h)}\]

분모를 곱해 통분한다. 분자에서 괄호를 풀 때 부호에 주의한다. \(x-(x+h)=x-x-h=-h\) 로, 음의 부호가 괄호 안 전체에 적용된다. 이제 \(h\) 로 나누는데, 분수를 분수로 나누는 것이므로 역수를 곱한다.

\[\frac{1}{h} \cdot \frac{-h}{x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+h)}\]

\[f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2}\]

\[f(x) = \frac{1}{x} \ \Longrightarrow \ f'(x) = -\frac{1}{x^2}\]

결과는 음수다. \(y=\dfrac1x\) 는 감소하는 곡선이므로 접선 기울기가 항상 음수이고, 부호가 이와 일치한다. 부호가 그래프와 맞는지 확인하는 것이 가장 간단한 검산이다.

결과의 비교 — 규칙의 관찰#

이 장에서 정의로 구한 네 결과를 나란히 놓는다.

\[3x+1 \ \Longrightarrow \ 3\]

\[x^2 \ \Longrightarrow \ 2x\]

\[x^3 \ \Longrightarrow \ 3x^2\]

\[\frac{1}{x} \ \Longrightarrow \ -\frac{1}{x^2}\]

가운데 두 줄을 본다. \(x^2\) 에서 \(2x\), \(x^3\) 에서 \(3x^2\) 이다. 여기서 규칙이 관찰된다. 지수가 앞으로 나오고 하나 줄어든다. 주어진 규칙이 아니라 직접 계산해서 확인한 규칙이다. 다음 장에서 이 규칙에 이름을 붙이고 항상 성립하는 이유를 밝힌다. 다음 장의 규칙은 이 네 줄의 일반화다.

네 번째 줄도 확인한다. \(\dfrac1x\) 은 “지수 내리기”가 곧바로 보이지 않는다. 그러나 \(\dfrac1x = x^{-1}\) 로 고쳐 쓰면, \(-1\) 을 앞으로 내리고 지수를 하나 줄여 \(-1 \cdot x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}\) 을 얻는다. 결과가 일치한다. 규칙이 음의 지수까지 적용됨을 정의로 확인한 것이다.

표기법 — 동일한 대상의 네 가지 표기#

같은 대상을 가리키는 표기가 네 개이며, 네 표기 모두 실제로 사용된다.

표기	읽는 법	만든 사람	강조하는 것
\(f'(x)\)	에프 프라임 엑스	라그랑주	함수에서 함수가 나온다
\(\dfrac{dy}{dx}\)	디 와이 디 엑스	라이프니츠	비율이라는 점 (세로 변화량 나누기 가로 변화량)
\(\dfrac{d}{dx}f(x)\)	디 디엑스 에프 엑스	라이프니츠	미분 연산 자체
\(\dot{y}\)	와이 닷	뉴턴	시간에 대한 변화율 (물리에서)

표기가 여러 개인 이유는 다음과 같다. 뉴턴과 라이프니츠가 거의 같은 시기에 각각 미적분을 구성했고, 두 사람의 관심 대상이 달랐기 때문이다. 뉴턴은 시간에 따라 움직이는 물체를 다루었고(그래서 점 하나로 시간 미분을 표시했다), 라이프니츠는 무한히 작은 변화량의 비를 다루었다(그래서 분수 형태의 기호를 만들었다).

\[\frac{dy}{dx} \ \leftarrow \ \frac{\Delta y}{\Delta x} \text{ 에서 } \Delta \text{ 를 무한히 작게 한 것}\]

\(\dfrac{dy}{dx}\) 는 분수가 아니지만, 분수의 형태를 가진 것은 우연이 아니다. 원래 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) 였던 것을 무한히 작게 만든 표기이기 때문이다. 라이프니츠의 표기가 널리 채택되어 오늘날 대부분 이 표기를 쓴다. 이 책에서는 \(f'(x)\) 를 주로 사용한다. 나머지 표기는 식별할 수 있으면 된다.

빈번한 오류#

지수를 내리는 규칙만 알면 정의는 필요 없다고 본다

그 규칙은 실제로 존재하며 다음 장에서 정식으로 다룬다. 문제는 정의 없이 규칙만 기억하면 그것이 근거를 알 수 없는 공식이 되어 쉽게 잊힌다는 점이다. 또한 규칙은 규칙이 적용되는 형태로 고쳐 쓴 뒤에만 사용할 수 있다. \(\sqrt x\) 나 \(\dfrac1x\) 은 지수가 드러나 있지 않아 곧바로 내릴 수 없고, \(\sin x\), \(e^x\) 에는 지수 내리기가 성립하지 않는다. 이때 사용하는 것이 정의다. 규칙이 적용되지 않는 함수에서는 정의가 유일한 출발점이다.

확인 문제: 정의를 써서 \(f(x)=x^2+3x\) 의 도함수를 구하라. (답: \(2x+3\). 네 단계가 모두 있어야 한다.)

약분하기 전에 \(h=0\) 을 대입한다

차분몫에 곧바로 \(h=0\) 을 대입하면 \(\dfrac00\) 이 되어 계산이 진행되지 않는다. 이것은 순서의 문제다. 약분이 먼저이고 극한이 나중인데 순서를 바꾼 것이다.

\[\text{틀린 순서: } \frac{2xh+h^2}{h} \ \xrightarrow{\ h=0\ } \ \frac{0}{0} \quad (\text{막힘})\]

\[\text{맞는 순서: } \frac{2xh+h^2}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x+h \ \xrightarrow{\ h \to 0\ } \ 2x\]

약분은 \(h \ne 0\) 일 때만 가능한 조작이다. 그러므로 ④단계 전까지 \(h \ne 0\) 을 유지한다. \(h=0\) 을 대입하면 약분이 성립하지 않는다.

확인 문제: \(\dfrac{3xh+h^2}{h}\) 를 정리하고 \(h\to0\) 을 적용하라. (답: \(3x+h \to 3x\).)

\((x+h)^2 = x^2 + h^2\) 으로 전개한다

“덩어리를 각각 따로 처리해도 된다”는 판단에서 나온다. 수치 대입으로 반례를 확인할 수 있다. \(x=1,\ h=1\) 이면 \((1+1)^2 = 4\) 인데 \(1^2 + 1^2 = 2\) 다. 넓이 그림으로 보면 한 변이 \(x+h\) 인 정사각형이 네 조각으로 나뉜다.

\(x^2\), \(xh\), \(xh\), \(h^2\) 네 조각이고, \(xh\) 조각이 두 개이므로 \(2xh\) 다. 이 두 조각은 누락할 수 없으며, 넓이의 합에 그대로 포함된다. 그리고 도함수 \(2x\) 는 정확히 이 두 조각에서 나온다.

확인 문제: \((x+h)^2 - x^2\) 을 전개하고 \(h\) 로 묶어라. (답: \(2xh+h^2 = h(2x+h)\).)

\(f'(x)\) 와 \(f'(3)\) 을 구별하지 못한다

수치 실험에서는 점 하나마다 수 하나를 구했다. 그 경험 때문에 “변화율은 수”라는 인식이 남기 쉽다. 그러나 \(f'(x)=2x\) 는 수를 입력하면 그 점의 접선 기울기를 출력하는 함수이고, \(f'(3)=6\) 은 그 함수가 내놓은 **값 하나(수)**다.

\[3 \ \longrightarrow \ \boxed{f'(x) = 2x} \ \longrightarrow \ 6, \qquad 5 \ \longrightarrow \ \boxed{f'(x) = 2x} \ \longrightarrow \ 10\]

함수와 함숫값은 서로 다른 대상이다. 점의 개수와 무관하게 도함수 하나로 모든 점의 기울기를 얻는다.

확인 문제: \(f(x)=x^2\) 일 때 \(f'(x)\) 와 \(f'(5)\) 를 각각 답하라. (답: \(2x\)(함수)와 \(10\)(수). 두 답은 종류가 다르다.)

연습문제#

계산기는 거의 사용하지 않는다. 답보다 과정이 대상이며, 답만 맞고 네 단계가 없으면 절반만 푼 것이다. 막힌 경우 어느 단계에서 막혔는지 — 전개·통분·약분·극한 중 하나이다 — 한 단어로 옆에 기록한다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A 정의를 써서 \(f(x) = x^2\) 의 도함수를 구하라. (네 단계를 다 쓸 것)
A 정의를 써서 \(f(x) = 2x + 7\) 의 도함수를 구하라.
A 정의를 써서 \(f(x) = -3\) 의 도함수를 구하라.
A 정의를 써서 \(f(x) = 3x^2\) 의 도함수를 구하라.
B 정의를 써서 \(f(x) = x^2 - 4x\) 의 도함수를 구하라.
B 정의를 써서 \(f(x) = x^3\) 의 도함수를 구하라. (전개를 직접 할 것)
B 정의를 써서 \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) 의 도함수를 구하라.
B \(f(x) = x^2\) 의 그래프 위 점 \((3, 9)\) 에서의 접선의 기울기와 접선의 방정식을 구하라.
B 공을 자유낙하시킨다. \(t\) 초 후 낙하거리가 \(s(t) = 5t^2\) 미터다. 정의를 써서 \(s'(t)\) 를 구하고, \(t=3\) 에서의 순간속도를 답하라.
B 반지름 \(r\) 인 원의 넓이는 \(A(r) = \pi r^2\) 이다. 정의를 써서 \(A'(r)\) 을 구하라. 그 결과가 원의 무엇과 같은지 쓰고, 그 이유를 한 줄로 추측하라.
C 정의를 써서 \(f(x) = \sqrt{x}\) 의 도함수를 구하라. (힌트: 유리화)
C 정의를 써서 \(f(x) = x^4\) 의 도함수를 구하라. 그다음 \(x^2\), \(x^3\), \(x^4\) 의 결과를 나란히 놓고 \(x^n\) 의 도함수를 예상하라.

정답과 해설

\(\mathbf{f'(x) = 2x}\) — \(\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \dfrac{2xh+h^2}{h} = 2x+h \to 2x\)
\(\mathbf{2}\) — \(\dfrac{2(x+h)+7-(2x+7)}{h} = \dfrac{2h}{h} = 2\)
\(\mathbf{0}\) — \(\dfrac{-3-(-3)}{h} = \dfrac{0}{h} = 0\). 빈번한 오류: \(\dfrac00\) 이라고 쓰고 멈춘다. 분자는 \(0\) 이지만 분모 \(h\) 는 \(0\) 이 아니다. \(\dfrac{0}{h} = 0\) 이며, 이는 부정형이 아니다.
\(\mathbf{6x}\) — \(\dfrac{3(x+h)^2-3x^2}{h} = \dfrac{6xh+3h^2}{h} = 6x+3h \to 6x\)
\(\mathbf{2x-4}\) — \(\dfrac{(x+h)^2-4(x+h)-(x^2-4x)}{h} = \dfrac{2xh+h^2-4h}{h} = 2x+h-4 \to 2x-4\)
\(\mathbf{3x^2}\) — \((x+h)^3 = x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\) 이므로 \(\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h} = 3x^2+3xh+h^2 \to 3x^2\). 빈번한 오류: \((x+h)^3 = x^3+h^3\). 가운데 두 항이 이 문제의 핵심이다. \(x=1\), \(h=1\) 로 확인하면 왼쪽 \(8\), 오른쪽 \(2\).
\(\mathbf{-\dfrac{1}{x^2}}\) — \(\dfrac{1}{x+h}-\dfrac1x = \dfrac{-h}{x(x+h)}\), 이것을 \(h\) 로 나누면 \(\dfrac{-1}{x(x+h)} \to -\dfrac{1}{x^2}\). 부호 확인: \(y=\dfrac1x\) 는 감소하는 곡선이므로 음수가 맞다.
기울기 \(\mathbf{6}\), 접선 \(\mathbf{y = 6x - 9}\) — \(f'(x)=2x\) 이므로 \(f'(3)=6\). 점 \((3,9)\) 를 지나고 기울기 \(6\) 인 직선: \(y - 9 = 6(x-3)\), 즉 \(y = 6x - 9\). 검산: \(x=3\) 을 넣으면 \(y=9\) ✔
\(\mathbf{s'(t) = 10t}\), \(t=3\) 에서 \(\mathbf{30}\) m/s — \(\dfrac{5(t+h)^2-5t^2}{h} = \dfrac{10th+5h^2}{h} = 10t+5h \to 10t\). \(t=3\) 이면 \(10 \times 3 = 30\) m/s. 점마다 표를 작성하던 계산을 한 줄로 대체한다.
\(\mathbf{A'(r) = 2\pi r}\) — \(\dfrac{\pi(r+h)^2 - \pi r^2}{h} = \dfrac{\pi(2rh+h^2)}{h} = \pi(2r+h) \to 2\pi r\). 이것은 원의 둘레다. 추측: 반지름을 아주 조금 늘리면 넓이는 바깥 테두리를 따라 얇은 띠만큼 증가한다. 그 띠의 넓이는 (둘레) 곱하기 (두께)이므로, 두께로 나눈 변화율이 둘레가 된다. (이 관계는 이후 적분에서 다시 다룬다.)
\(\mathbf{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) — 켤레 \(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\) 를 곱한다. \(\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h} \cdot \dfrac{\sqrt{x+h}+\sqrt x}{\sqrt{x+h}+\sqrt x} = \dfrac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)} = \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt x} \to \dfrac{1}{2\sqrt x}\). 제25장에서 극한을 구할 때 사용한 유리화가 그대로 적용된다.
\(\mathbf{4x^3}\) — \((x+h)^4 = x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4\) 이므로 차분몫은 \(4x^3+6x^2h+4xh^2+h^3 \to 4x^3\). 나란히 놓으면 \(x^2 \to 2x^1\), \(x^3 \to 3x^2\), \(x^4 \to 4x^3\). 예상: \(x^n \to n\,x^{n-1}\). 다음 장에서 이 예상이 성립함을 증명한다. 7번의 \(\dfrac1x = x^{-1} \to -x^{-2}\), 11번의 \(\sqrt x = x^{1/2} \to \dfrac12 x^{-1/2}\) 도 같은 형태임을 함께 확인하면 규칙의 적용 범위가 분명해진다.

추가 연습문제#

모든 문항을 정의로 푼다. 규칙을 알고 있어도 사용하지 않는다. 네 단계(① \(f(x+h)\) ② 빼기 ③ \(h\) 로 약분 ④ \(h\to0\))를 매번 모두 기록한다.

\(f(x) = x^2\)
\(f(x) = 4x - 1\)
\(f(x) = 10\)
\(f(x) = 2x^2\)
\(f(x) = x^2 + 1\)
\(f(x) = x^2 + 2x\)
\(f(x) = 3x^2 - x\)
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\)
\(f(x) = -x^2\)
\(f(x) = x^3\)
\(f(x) = x^3 + x\)
\(f(x) = \dfrac{1}{x}\)
\(f(x) = \dfrac{3}{x}\)
\(f(x) = \sqrt{x}\) (켤레를 곱한다 — 유리화)
1번, 10번, 12번, 14번의 결과를 아래 표에 거듭제곱 꼴로 다시 써넣고, 마지막 줄의 규칙을 예상하라. (\(\dfrac1x = x^{-1}\), \(\sqrt x = x^{1/2}\) 로 고쳐 쓰는 방법은 지수법칙에서 다루었다. 필요하면 해당 부분을 참조한다.)

\(f(x)\)

거듭제곱 꼴

\(f'(x)\)

거듭제곱 꼴

\(x^2\)

\(x^2\)

\(x^3\)

\(x^3\)

\(\dfrac1x\)

\(x^{-1}\)

\(\sqrt x\)

\(x^{1/2}\)

\(x^n\)

\(x^n\)

?

?

정답과 해설

\(\mathbf{2x}\) — \(\dfrac{2xh+h^2}{h} = 2x+h \to 2x\)
\(\mathbf{4}\) — \(\dfrac{4h}{h} = 4\)
\(\mathbf{0}\) — \(\dfrac{10-10}{h} = \dfrac{0}{h} = 0\). 빈번한 오류: \(\dfrac00\) 이라 쓰고 멈춘다. 분모 \(h\) 는 \(0\) 이 아니다.
\(\mathbf{4x}\) — \(\dfrac{2(x+h)^2-2x^2}{h} = \dfrac{4xh+2h^2}{h} = 4x+2h \to 4x\)
\(\mathbf{2x}\) — 상수 \(+1\) 은 빼는 과정에서 소거된다. 그래프를 위로 \(1\) 만큼 평행이동해도 기울기는 변하지 않는다. 정의가 이 사실을 그대로 반영한다.
\(\mathbf{2x+2}\)
\(\mathbf{6x-1}\) — \(\dfrac{3(x+h)^2-(x+h) - (3x^2-x)}{h} = \dfrac{6xh+3h^2-h}{h} = 6x+3h-1 \to 6x-1\)
\(\mathbf{2x-6}\) — 상수 \(+5\) 는 소거된다
\(\mathbf{-2x}\) — 부호에 주의한다. \(-(x+h)^2 + x^2 = -2xh-h^2\)
\(\mathbf{3x^2}\) — \((x+h)^3 = x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\). 빈번한 오류: \((x+h)^3 = x^3+h^3\). 가운데 두 항이 답의 핵심이다.
\(\mathbf{3x^2+1}\)
\(\mathbf{-\dfrac{1}{x^2}}\)
\(\mathbf{-\dfrac{3}{x^2}}\) — 12번과 같은 과정에 \(3\) 이 곱해져 나온다
\(\mathbf{\dfrac{1}{2\sqrt x}}\) — 켤레 \(\sqrt{x+h}+\sqrt x\) 를 곱하면 분자가 \(h\) 가 되어 \(\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt x} \to \dfrac{1}{2\sqrt x}\)

| $f(x)$ | 거듭제곱 꼴 | $f'(x)$ | 거듭제곱 꼴 |
|---|---|---|---|
| $x^2$ | $x^2$ | $2x$ | $2x^1$ |
| $x^3$ | $x^3$ | $3x^2$ | $3x^2$ |
| $\dfrac1x$ | $x^{-1}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $-1 \cdot x^{-2}$ |
| $\sqrt x$ | $x^{1/2}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt x}$ | $\dfrac12 x^{-1/2}$ |
| $x^n$ | $x^n$ | **$n\,x^{n-1}$** | **$n\,x^{n-1}$** |

**예상 규칙: $(x^n)' = n\,x^{n-1}$.** 네 줄 모두에서 "앞의 수가 원래 지수와 같고, 새 지수는 하나 줄었다"가 성립한다. 정수뿐 아니라 음수와 분수 지수에서도 성립함을 직접 확인한 것이 이 문항의 핵심이다. 다음 장에서 이 예상이 항상 성립하는 이유를 밝힌다.

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 다음 한 줄이다.

\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

도함수는 접선의 기울기이자 차분몫의 극한이다. 모든 미분은 네 단계 — \(f(x+h)\) 쓰기, 빼기, \(h\) 로 약분, \(h\to0\) — 로 진행되며, ③에서 \(h\) 가 약분되는 것이 자체 검산이 된다. 그리고 \(f'(x)\) 는 수가 아니라 함수라는 것, 즉 한 번의 계산으로 모든 점의 값을 얻는다는 것이 이 장의 개념적 전환이다.

정의로 구한 네 결과 — \(3x+1 \to 3\), \(x^2 \to 2x\), \(x^3 \to 3x^2\), \(\dfrac1x \to -\dfrac{1}{x^2}\) — 를 나란히 놓으면 규칙 하나가 관찰된다. 지수가 앞으로 나오고 하나 줄어든다는 것이다. 다만 정의에 의한 계산은 함수마다 대수 조작이 필요해 효율이 낮다. 제27장에서 그 규칙 \((x^n)' = n\,x^{n-1}\) 에 이름을 붙이고, 항상 성립하는 이유를 밝힌다. 제27장의 규칙은 새로 주어지는 것이 아니라 이 장에서 얻은 계산 결과를 일반화한 것이다. 그리고 정의는 이후에도 계속 사용된다. \(\sin x\), \(e^x\) 처럼 지수 내리기가 적용되지 않는 함수를 만나면 다시 이 정의로 돌아온다.

\(f(x)\)	거듭제곱 꼴	\(f'(x)\)	거듭제곱 꼴
\(x^2\)	\(x^2\)
\(x^3\)	\(x^3\)
\(\dfrac1x\)	\(x^{-1}\)
\(\sqrt x\)	\(x^{1/2}\)
\(x^n\)	\(x^n\)	?	?