제5장 · 음수

이 장

원본 코드	R1-W05
선행 내용	제4장 · 소수와 분수의 연결
요지	음수는 수직선 위의 위치, 뺄셈은 그 위의 이동이다. \((-)\times(-)=(+)\) 는 별도로 정한 규칙이 아니라 분배법칙의 귀결이다.

도입

기온이 영하 \(5\) 도라는 표현, 통장 잔액이 마이너스라는 표현, 지하 \(2\) 층이라는 표현은 모두 일상에서 통용된다. 음수는 새로 도입되는 낯선 수가 아니라 이미 일상적으로 사용되고 있는 수이다.

그러나 같은 내용을 기호로 적은 다음 식은 일상적 판단만으로는 곧바로 처리되지 않는다.

\[-5 - (-8) = \ ?\]

이 식에 대해 빈번하게 나타나는 답은 \(-13\) 이다. \(-5\) 에서 \(8\) 을 뺀 것으로 읽은 결과이다. 이 답은 무작위한 오류가 아니라 다른 식을 정확히 계산한 결과이다. 이러한 오류가 발생하는 이유와 실제 답이 \(3\) 인 근거를 이 장에서 밝힌다.

먼저 규칙을 사용하지 않고 답을 확인한다. 카드값이 \(5\) 만 원 남아 있는 상태를 통장 기준으로 적으면 \(-5\) 이다. 여기서 카드사가 \(8\) 만 원어치 청구를 취소하면 갚아야 할 금액이 그만큼 줄어든다. 빚을 없애는 것은 이득이다. 즉 \(-8\) 을 빼는 것은 \(+8\) 을 받는 것과 같다. \(-5\) 에서 시작해 \(8\) 만 원의 이득이 생기면 \(3\) 만 원이 남는다. 답은 \(3\) 이다.

규칙을 모르는 상태에서도 이 상황 설명으로는 답이 나온다. 이 장에서 할 일은 이 상황과 종이 위의 기호를 연결하는 것이다. 사용하는 도구는 세 가지이다. 온도는 \(0\) 을 기준으로 한 위아래, 빚은 \(0\) 을 기준으로 가진 것과 갚을 것, 수직선은 그 둘을 하나로 나타낸 그림이다. 계산이 막히면 이 셋 중 하나로 돌아간다.

이 장을 한 문장으로 요약하면 다음과 같다. 음수는 수직선 위의 위치이고, 뺄셈은 그 위의 이동이다. 그리고 \((-)\times(-)=(+)\) 는 별도로 정한 규칙이 아니라 분배법칙의 귀결이다.

음수는 0의 왼쪽에 있는 수

음수는 새로운 종류의 수가 아니다. 수직선에서 \(0\) 의 왼쪽에 있는 수이다.

여기에 규칙 하나가 따라붙는다. 오른쪽에 있을수록 큰 수이다. 따라서 \(-3\) 과 \(-7\) 중에서는 \(-3\) 이 더 크다. \(-3\) 이 오른쪽에 있기 때문이다. 숫자만 보면 \(7\) 이 \(3\) 보다 크므로 \(-7\) 이 더 커 보이지만, 위치로 읽으면 혼동이 생기지 않는다. 영하 \(3\) 도는 영하 \(7\) 도보다 높은 온도이다. 온도계를 세워 놓으면 \(-3\) 이 위쪽, 곧 더 큰 쪽에 있다.

수직선 위에서는 두 가지 동작만 필요하다.

\[+ \ \Rightarrow \ \text{오른쪽으로 간다} \qquad - \ \Rightarrow \ \text{왼쪽으로 간다}\]

덧셈은 오른쪽, 뺄셈은 왼쪽

\(-5\) 에서 시작한다. 오른쪽으로 \(3\) 칸 이동하면 \(-4, -3, -2\) 를 거쳐 \(-2\) 에 도착한다.

\[-5 + 3 = -2\]

왼쪽으로 \(3\) 칸 이동하면 \(-6, -7, -8\) 을 거쳐 \(-8\) 에 도착한다.

\[-5 - 3 = -8\]

여기서 확인할 점이 있다. \(-5 + 3\) 은 \(-2\) 이다. 더했으나 결과는 여전히 음수이다. 그리고 그 값은 \(-8\) 이 아니라 \(-2\) 이다. 부호가 서로 다른 두 수가 만나면 한쪽은 오른쪽, 다른 한쪽은 왼쪽 이동이므로 서로 상쇄한다. 어느 쪽으로 얼마나 이동했는지만 확인하면 된다.

수직선으로 셀 수 있을 만큼 작은 수라면 직접 짚어 확인할 수 있다. 그러나 수가 커지면 그 방법을 쓸 수 없다. 그래서 이 이동을 두 줄 규칙으로 옮겨 적는다. 요점은 크기와 부호를 분리해서 다루는 것이다. 크기를 먼저 정하고, 부호를 나중에 붙인다.

• 부호가 같으면: 두 크기를 더하고, 그 부호를 그대로 붙인다.

• 부호가 다르면: 큰 크기에서 작은 크기를 빼고, 크기가 큰 쪽의 부호를 붙인다.

\(-5 + 3\) 으로 확인한다. 부호가 다르다. 크기는 \(5\) 와 \(3\) 이고, 그 차는 \(5 - 3 = 2\) 이다. 크기가 큰 쪽은 \(-5\) 이므로 부호는 마이너스이다. 따라서 \(-2\) 이다. 수직선에서 짚어 얻은 결과와 같다. \(-5 - 3\) 은 \(-5\) 와 \(-3\) 을 더하는 것이므로 부호가 같은 경우이다. 크기를 더해 \(5 + 3 = 8\), 부호는 그대로 마이너스이므로 \(-8\) 이다.

이번에는 수직선에서 직접 셀 수 없는 크기를 다룬다. 카드 잔액이 \(-45{,}000\) 원인 상태에서 \(60{,}000\) 원을 갚는 경우이다.

\[-45{,}000 + 60{,}000\]

부호가 다르다. 크기는 \(45{,}000\) 과 \(60{,}000\) 이고, 그 차는 \(60{,}000 - 45{,}000 = 15{,}000\) 이다. 크기가 큰 쪽은 \(+60{,}000\) 이므로 부호는 플러스이다. 답은 \(+15{,}000\) 이다. “빚을 다 갚고 \(15{,}000\) 원이 남는다”는 설명과 같은 답을 절차로 얻은 것이다. 수직선 모형은 그대로 유지되며, 직접 세던 과정을 두 줄 규칙이 대신한다.

여기서 말한 “크기”에는 이름이 있다. 절댓값이다. 부호를 떼고 남는 것, 곧 수직선에서 \(0\) 까지의 거리이다. 기호로는 양옆에 작대기를 세워 쓴다.

\[|-7| = 7 \qquad |7| = 7 \qquad |-45{,}000| = 45{,}000\]

거리에는 방향이 없으므로 절댓값은 음수가 되지 않는다. 두 줄 규칙을 이 이름으로 다시 쓰면 다음과 같다. 부호가 다르면, 절댓값의 차를 구하고 절댓값이 큰 쪽의 부호를 붙인다. 이 문장은 이후에도 다시 사용된다. 제15장에서 인수분해의 부호를 판정할 때 “부호가 다르면 합은 절댓값이 큰 쪽의 부호를 따라간다”는 형태로 그대로 다시 나온다.

몇 개를 더 이동으로 읽는다.

\[-3 + 7 = 4, \qquad -3 - 7 = -10, \qquad 4 - 9 = -5\]

\(-3\) 에서 오른쪽으로 \(7\) 칸이면 \(4\), 왼쪽으로 \(7\) 칸이면 \(-10\) 이다. \(4\) 에서 왼쪽으로 \(9\) 칸이면 \(-5\) 이다. 암산으로 처리하지 않고 수직선을 그려 위치를 짚어 확인하는 것이 이 장의 연습이다.

마이너스가 두 개 나란히 올 때

도입에서 제시한 식으로 돌아간다.

\[-5 - (-8) = \ ?\]

이 절이 이 장의 핵심이다. 먼저 확인할 사항이 있다. 뺄셈 기호가 두 개 있는 것이 아니다. 앞의 \(-\) 는 “빼라”는 연산 기호이고, 괄호 안의 \(-\) 는 그 수 자체가 음수라는 표시이다. 모양은 같지만 역할이 다르다.

이 식은 세 가지 방법으로 읽을 수 있고, 셋 다 같은 답을 준다. 셋 중 어느 하나를 사용해도 결과는 동일하다.

① 이동으로 읽기. \(-5\) 에서 출발해 \(-8\) 을 뺀다. 빼기는 왼쪽 방향이다. 이때 왼쪽으로 이동하는 양이 \(-8\) 이다. \(-8\) 만큼 왼쪽으로 가는 것은 \(8\) 만큼 오른쪽으로 가는 것과 같다. 방향을 두 번 뒤집으면 원래 방향으로 돌아오기 때문이다.

\[-5 - (-8) = -5 + 8 = 3\]

② 차이로 읽기. 제1장에서 뺄셈을 “차이”로 해석했다. \(a - b\) 는 “\(b\) 에서 \(a\) 까지 어느 방향으로 얼마나 가야 하는가”이다. \(-5 - (-8)\) 은 “\(-8\) 에서 \(-5\) 까지”이다. 수직선에서 \(-8\) 에서 \(-5\) 로 가면 오른쪽으로 \(3\) 칸이다. 따라서 \(+3\) 이다.

③ 빚으로 읽기. 도입의 카드값 상황이다. 빚 \(5\) 만 원(\(-5\))에서 빚 \(8\) 만 원(\(-8\))을 없앤다. 없앤 만큼 이득이므로 \(+8\) 이고, 결과는 \(3\) 이다.

도입에서 제시한 \(-13\) 이 나오는 이유는 다음과 같다. 괄호 안의 마이너스를 읽지 않고 \(-5 - 8\) 로 처리한 것이다. \(-5 - 8 = -13\) 은 정확한 계산이다. 다만 그 식이 풀어야 할 식이 아니었을 뿐이다.

세 가지 읽기를 한 줄로 정리하면 다음과 같다.

\[a - b = a + (-b)\]

빼기는 반대 부호를 더하는 것이다. 이 한 줄에 의해 뺄셈이라는 동작이 사라지고 모두 덧셈이 된다. 부호가 두 개 나란히 오는 네 가지 모양을 표로 모으면 다음과 같다.

쓰인 모양	같은 뜻	예
\(a + (+b)\)	\(a + b\)	\(5 + (+3) = 8\)
\(a + (-b)\)	\(a - b\)	\(5 + (-3) = 2\)
\(a - (+b)\)	\(a - b\)	\(5 - (+3) = 2\)
\(a - (-b)\)	\(a + b\)	\(5 - (-3) = 8\)

표에서 확인되는 규칙은 하나이다. 부호가 같으면 플러스, 다르면 마이너스. 다만 이 표는 암기 대상이 아니다. 판단이 서지 않으면 수직선으로 돌아가 확인한다. 표는 계산 속도를 높이는 도구이며 이해를 대체하지 않는다.

예를 확인한다.

\[-2 - (-6) = -2 + 6 = 4, \qquad -10 + (-4) = -10 - 4 = -14\]

\(-6\) 을 빼는 것은 \(+6\) 을 더하는 것이다. \(-2\) 에서 오른쪽으로 \(6\) 칸이면 \(4\) 이다. 두 번째 식은 반대 경우이다. 연산은 더하기이지만 더하는 값이 음수이다. 오른쪽으로 \(-4\) 만큼 이동하는 것은 왼쪽으로 \(4\) 칸 이동하는 것이므로 결과는 \(-14\) 이다. 빚 \(10\) 만 원에 빚 \(4\) 만 원이 더해진 경우에 해당한다.

마지막으로 하나를 더 확인한다.

\[6 - (-6) = 12\]

뺄셈을 했는데 결과가 커졌다. \(-6\) 에서 \(6\) 까지 수직선에서 몇 칸인지 세면 \(12\) 칸이다. 두 수의 거리가 \(12\) 라는 뜻이다. 제1장에서 “나눴는데 커졌다”를 확인했다면, 여기서는 “뺐는데 커졌다”를 확인한다. 수의 범위가 넓어지면서 규칙의 적용 범위도 함께 넓어진다.

곱셈의 부호

곱셈은 같은 것을 여러 번 더하는 연산이다. 따라서 양수와 음수의 곱은 반복 덧셈으로 처리된다.

\[3 \times (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12\]

\(-4\) 를 세 번 더하면 \(-12\) 이다. 빚 \(4\) 만 원짜리 청구서가 세 장이면 빚은 \(12\) 만 원이다. 순서를 바꿔도 답은 같다.

\[(-4) \times 3 = -12\]

곱셈에서 순서를 바꿔도 답이 같다는 성질(교환법칙)은 양수에서 성립하며, 음수에서도 그대로 성립한다.

문제가 되는 것은 음수와 음수의 곱이다. 규칙을 제시하기 전에 구체적인 상황으로 확인한다.

매달 \(4\) 만 원씩 자동이체로 빠져나간다고 하자. 매달의 변화량은 \(-4\) 만 원이다. 지금 잔액을 \(0\) 이라 하면, \(3\) 개월 뒤에는 \(3 \times (-4) = -12\), 곧 \(12\) 만 원이 줄어 있다. \(3\) 개월 전의 시점은 \(-3\) 개월이며, 그때의 잔액은 지금보다 \(12\) 만 원 많았다.

\[(-3) \times (-4) = +12\]

빠져나가는 돈(\(-\))을 시간을 거꾸로(\(-\)) 돌려서 보면 그만큼 더 있었다는 뜻이다. 결과는 플러스이다.

동일한 결론을 다른 상황으로도 확인할 수 있다. 카드값 \(4\) 만 원짜리 청구서가 \(3\) 장 취소된 경우이다. 취소도 마이너스이고, 빚도 마이너스이다. 결과는 \(12\) 만 원의 이득이다. 빚을 없애는 것은 버는 것과 같다. 도입의 카드값 상황이 곱셈으로 확장된 것이다.

음수 곱하기 음수는 왜 양수인가

앞 절의 상황 설명은 결과를 확인하는 예시이다. 이 절에서는 \((-3) \times (-4)\) 가 \(+12\) 일 수밖에 없음을 여섯 줄로 유도한다. 사용하는 것은 이미 성립하는 사실들뿐이다.

1줄. 무엇에 \(0\) 을 곱하든 \(0\) 이다. 양수에서 성립하는 사실이며, 음수에서도 유지되어야 한다.

\[(-3) \times 0 = 0\]

2줄. \(0\) 을 다르게 표현한다. \(4\) 와 \(-4\) 를 더하면 \(0\) 이다. 수직선에서 오른쪽으로 \(4\) 칸 갔다가 왼쪽으로 \(4\) 칸 오면 제자리이기 때문이다.

\[0 = 4 + (-4)\]

3줄. 1줄의 \(0\) 자리에 2줄을 대신 넣는다. 같은 값끼리 바꿔 넣은 것이므로 값은 여전히 \(0\) 이다.

\[(-3) \times \big(4 + (-4)\big) = 0\]

다음 줄에서 사용하는 것이 분배법칙이다. 성립 이유를 넓이 모형으로 확인한다. 가로 \(2\), 세로 \(8\) 인 직사각형의 넓이는 \(2 \times 8 = 16\) 이다. 세로 \(8\) 을 \(3\) 과 \(5\) 로 잘라 두 조각으로 나눈다.

조각	가로	세로	넓이
위 조각	\(2\)	\(3\)	\(2 \times 3 = 6\)
아래 조각	\(2\)	\(5\)	\(2 \times 5 = 10\)
합	\(2\)	\(3 + 5 = 8\)	\(6 + 10 = 16\)

자르기 전의 넓이도 \(16\) 이고, 잘라서 각각 구한 넓이의 합도 \(16\) 이다. 전체를 잘라 각각 구해 합해도 전체와 같다. 이것이 분배법칙이며, 세로셈에서 이미 사용해 온 동작이다. \(2 \times 18\) 을 \(2 \times 10\) 과 \(2 \times 8\) 로 나눠 더하는 계산이 이에 해당한다.

\[2 \times (3+5) = 2\times3 + 2\times5 = 16\]

이 직사각형 모형은 제13장에서 곱셈 공식을 세울 때 그대로 다시 사용된다. 여기서는 “잘라서 구해도 같다”는 한 문장을 사용한다.

4줄. 괄호 안의 두 항에 각각 곱해서 전개한다. 이것이 넓이 모형으로 확인한 분배법칙이다. \(2 \times (3+5) = 2\times3 + 2\times5\) 와 같은 동작이다. 이 법칙은 양수에서 성립하며, 음수에서도 동일하게 유지되도록 한다. 수의 범위가 넓어질 때 기존 규칙을 그대로 보존하는 것이 원칙이기 때문이다.

\[(-3) \times 4 \ + \ (-3) \times (-4) \ = \ 0\]

5줄. 앞의 항 \((-3) \times 4\) 는 반복 덧셈으로 이미 \(-12\) 로 정해졌다. 그 값을 그대로 넣는다.

\[(-12) \ + \ (-3) \times (-4) \ = \ 0\]

6줄. \(-12\) 에 더해서 \(0\) 이 되는 수는 \(12\) 뿐이다.

\[(-3) \times (-4) = 12\]

따라서 \((-3) \times (-4)\) 는 \(12\) 여야만 한다. 임의로 정한 값이 아니라 다른 값이 불가능한 것이다.

\((-3) \times (-4) = -12\) 라고 두면 5줄이 \(-12 + (-12) = -24\) 가 되어 \(0\) 이 아니게 된다. 그러면 “무엇에든 \(0\) 을 곱하면 \(0\)”이라는 사실이 깨지거나 분배법칙이 깨진다. 두 성질은 모두 유지되어야 하는 기본 성질이다. 따라서 결과는 \(+12\) 이다.

이 유도의 결론은 \((-)\times(-)=(+)\) 가 별도로 정한 규칙이 아니라 기존 성질에서 따라 나온 결과라는 점이다. 계산은 다음 절의 표로 수행하고, 유도는 그 표를 잊었을 때 결과를 복원하는 경로이다.

부호 규칙 표와 나눗셈

곱셈과 나눗셈의 부호는 표 하나로 정리된다.

\(\times\) 또는 \(\div\)	뒤가 \((+)\)	뒤가 \((-)\)
앞이 \((+)\)	\((+)\)	\((-)\)
앞이 \((-)\)	\((-)\)	\((+)\)

한 줄로 줄이면 덧셈의 표와 같은 문장이 된다. 부호가 같으면 플러스, 다르면 마이너스. 셋 이상을 곱할 때는 부호를 하나씩 따지지 않고 개수를 센다.

\[\text{음수 부호가 짝수 개} \ \Rightarrow \ (+) \qquad \text{홀수 개} \ \Rightarrow \ (-)\]

예를 들어 \((-2) \times (-3) \times (-4)\) 는 마이너스가 세 개, 곧 홀수이므로 답은 음수이다. 크기는 \(2 \times 3 \times 4 = 24\) 이므로 결과는 \(-24\) 이다. 크기를 먼저 구하고 부호를 나중에 붙이는 절차를 따른다. 두 가지를 동시에 처리하면 오류가 발생하기 쉽다.

나눗셈은 곱셈의 역연산이다. \(-12 \div (-4)\) 는 “\(-4\) 에 무엇을 곱해야 \(-12\) 가 되는가”로 되돌려 확인한다. \((-4) \times 3 = -12\) 이므로 답은 \(3\) 이다.

\[-12 \div (-4) = 3, \qquad -20 \div 5 = -4, \qquad 36 \div (-9) = -4\]

부호 규칙 표는 곱셈과 나눗셈에 동일하게 적용된다. 표를 두 개 기억할 필요가 없다.

다음 사항을 구분한다. 덧셈의 부호 규칙과 곱셈의 부호 규칙을 섞으면 안 된다.

\[(-3) + (-4) = -7 \qquad (-3) \times (-4) = +12\]

같은 두 수인데 결과의 부호가 다르다. 덧셈에서는 “마이너스 두 개면 플러스”가 성립하지 않는다. 빚에 빚을 더하면 빚의 크기는 커진다. “마이너스 두 개면 플러스”는 곱셈과 나눗셈에서만 적용되는 문장이다. 기호를 먼저 소리 내어 읽고 계산을 시작하면 이 오류를 피할 수 있다.

두 예제로 확인한다.

\[(-24) \div (-6) \times (-2)\]

왼쪽부터 순서대로 계산한다. 먼저 \((-24) \div (-6) = 4\) 이다(부호가 같으므로 플러스, 크기는 \(24 \div 6 = 4\)). 그다음 \(4 \times (-2) = -8\) 이다.

곱셈이 덧셈보다 먼저인 이유와 같은 우선순위끼리 왼쪽부터 계산하는 이유는 제7장에서 정리한다. 여기서는 **”이미 묶여 있는 것(곱셈·나눗셈)을 먼저 풀고, 같은 우선순위끼리는 쓰인 순서대로”**라는 문장만 사용한다.

\[-3 - (-7) + (-5)\]

곱셈이 없으므로 전부 덧셈으로 바꾼다. \(-(-7)\) 은 \(+7\) 이고, \(+(-5)\) 는 \(-5\) 이다. 그러면 \(-3 + 7 - 5\) 가 된다. \(-3\) 에서 오른쪽으로 \(7\) 칸 가면 \(4\), 거기서 왼쪽으로 \(5\) 칸 가면 \(-1\) 이다.

괄호가 무엇을 묶는가

부호가 걸린 수를 제곱할 때, 괄호의 유무에 따라 결과가 달라진다.

\[(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4 \qquad -2^2 = -(2 \times 2) = -4\]

\((-2)^2\) 은 “\(-2\) 를 두 번 곱한 것”이다. 마이너스가 괄호 안에 있으므로 제곱에 함께 걸리고, 음수 두 개를 곱했으므로 결과는 양수이다. 반면 \(-2^2\) 은 “\(2\) 를 제곱한 다음 마이너스를 붙인 것”이다. 마이너스가 괄호 밖에 있으므로 제곱에 걸리지 않는다. 따라서 \(-(2 \times 2) = -4\) 이다.

괄호가 마이너스를 안에 넣었는지 밖에 두었는지가 두 식의 유일한 차이이다. 지수가 어디까지 걸리는지는 제7장에서 연산 순서와 함께 정리한다. 여기서는 두 식을 다르게 읽는 것으로 구분한다. 하나는 “마이너스 이를 두 번 곱한 것”, 다른 하나는 “이를 제곱한 다음 마이너스를 붙인 것”이다.

빈번한 오류

\(-5 - (-8)\) 을 \(-13\) 으로 읽는다

마이너스 기호 두 개의 역할이 다르다는 것을 학습하지 않은 상태에서 발생한다. 앞의 것은 “빼라”는 동작이고, 뒤의 것은 “이 수는 \(0\) 보다 작다”는 표시인데, 두 기호의 모양이 같아 하나로 뭉뚱그려 읽힌다. 여기에 “마이너스 마이너스는 플러스”라는 구호만 함께 저장되어 있으면 적용할 자리를 판단하지 못한다.

“빼기는 반대 부호를 더하는 것”으로 고쳐 쓰면 해결된다. \(-5 - (-8) = -5 + 8 = 3\) 이다. 수직선에서는 \(-5\) 에서 오른쪽으로 \(8\) 칸이다. \(-5 - 8\) 로 읽어 \(-13\) 을 얻은 것은 틀린 계산이 아니라 다른 식을 푼 것이다.

확인 문제: \(-2 - (-9)\). (답: \(7\). \(-2\) 에서 오른쪽으로 \(9\) 칸.)

\((-)\times(-)=(+)\) 를 규칙으로만 외운다

근거 없이 저장된 규칙은 적용 범위를 잃는다. “마이너스 두 개면 플러스”가 곱셈 전용이라는 조건이 함께 저장되지 않으면, 마이너스가 두 개 보이기만 해도 적용되어 \((-3) + (-4) = 7\) 같은 오류로 이어진다.

\((-)\times(-)=(+)\) 는 규칙이 아니라 분배법칙의 결론이다. \(-12\) 에 무엇을 더해야 \(0\) 이 되는지 묻는 여섯 줄을 따라가면 답이 \(12\) 뿐이라는 결론에 이른다. 빚 \(4\) 만 원짜리 청구서 \(3\) 장이 취소되면 \(12\) 만 원 이득이라는 상황으로 결론을 먼저 확인할 수도 있다.

확인 문제: \((-5) \times (-2)\) 는 얼마이고, 왜 양수인가? (답: \(10\). “분배법칙이 유지되려면 그 값밖에 없어서” 또는 “빚을 취소하면 이득이라서”.)

덧셈 규칙과 곱셈 규칙을 섞는다

새 규칙이 옛 규칙을 덮어쓰면서 발생한다. 곱셈의 부호 규칙을 학습한 직후, 두 절차가 “음수 두 개 사이의 처리”로 뭉쳐 저장되면서 \((-3) + (-4) = 7\) 이나 \((-3) \times (-4) = -12\) 같은 혼동이 늘어난다.

규칙 이름으로 판단하지 않고 돈 모형으로 되돌리면 구분된다. 빚 \(3\) 만 원에 빚 \(4\) 만 원이 더 생기면 빚은 \(7\) 만 원, 곧 \(-7\) 이다. 덧셈에서는 마이너스가 두 개여도 결과는 마이너스이다. 두 식을 소리 내어 읽으면 차이가 드러난다. “마이너스 삼 더하기 마이너스 사”와 “마이너스 삼 곱하기 마이너스 사”는 다른 동작이다.

\[(-3) + (-4) = -7 \qquad (-3) \times (-4) = +12\]

확인 문제: \((-3) + (-4)\) 와 \((-3) \times (-4)\) 를 연달아. (답: \(-7\) 과 \(12\).)

\(-2^2\) 과 \((-2)^2\) 을 같은 것으로 본다

괄호가 무엇을 묶는지 확인하지 않는 습관에서 발생한다. 지수가 마이너스까지 걸리는지 여부를 판단하지 못하면, 계산기에 그대로 입력했을 때 결과가 달라진다.

\((-2)^2\) 은 “\(-2\) 를 두 번 곱한 것”이므로 \((-2)\times(-2) = 4\) 이고, \(-2^2\) 은 “\(2\) 를 제곱한 다음 마이너스를 붙인 것”이므로 \(-(2\times2) = -4\) 이다. 괄호가 마이너스를 안에 넣었는지 밖에 두었는지가 유일한 차이이다. 지수를 언제 먼저 계산하는지는 제7장에서 정식으로 다룬다.

확인 문제: \((-3)^2\) 과 \(-3^2\). (답: \(9\) 와 \(-9\).)

연습문제

계산기를 사용하지 않는다. 헷갈리는 문항은 수직선을 그려 확인한다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

1. A 계산하라. (1) \(-7 + 3\) (2) \(-7 - 3\) (3) \(5 - 11\)

2. A 계산하라. (1) \(-4 + (-9)\) (2) \(-4 - (-9)\) (3) \(12 - (-5)\)

3. A 계산하라. \(-5 - (-8)\)

4. A 계산하라. (1) \((-3) \times (-4)\) (2) \((-6) \times 5\) (3) \(7 \times (-8)\)

5. A 계산하라. (1) \(-12 \div (-4)\) (2) \(-20 \div 5\) (3) \(36 \div (-9)\)

6. B 계산하라. (1) \((-2) \times (-3) \times (-4)\) (2) \((-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1)\)

7. B 계산하라. \(-3 - (-7) + (-5)\)

8. B 계산하라. \((-24) \div (-6) \times (-2)\)

9. B \((-2)^2\) 과 \(-2^2\) 을 각각 계산하고, 왜 답이 다른지 한 줄로 쓰라.

10. B 어젯밤 기온이 영하 \(6\) 도였고, 오늘 낮에 \(9\) 도가 되었다. 기온은 몇 도 올랐는가? 식을 세워서 답하라.

11. B 통장 잔액이 \(-32{,}000\) 원이다. \(50{,}000\) 원을 입금하면 잔액은 얼마가 되는가?

12. C 잠수함이 해수면 기준 \(-120\) m 지점에 있다. 먼저 \(45\) m 상승한 뒤, 다시 \(80\) m 하강했다. 최종 위치는?

13. C \((-3) \times (-4) = 12\) 인 이유를 분배법칙을 써서 설명하라. (이 장에서 본 여섯 줄을 떠올릴 것. 세 줄로 줄여 써도 좋다.)

정답과 해설

1. (1) \(-4\) (2) \(-10\) (3) \(-6\) — 셋 다 수직선 이동으로 확인 가능. (3)은 \(5\) 에서 왼쪽 \(11\) 칸.

2. (1) \(-13\) — 빚에 빚을 더한 경우이다 (2) \(5\) — \(-4 + 9\). 이렇게 틀린다: \(-13\) 이라고 쓴다. 괄호 안의 마이너스를 읽지 않은 것이다. (1)과 (2)를 나란히 놓고 비교하는 것이 이 문항의 목적이다. (3) \(17\) — \(12 + 5\)

3. \(3\) — \(-5 + 8\). 이 장의 핵심 문항이다.

4. (1) \(12\) (2) \(-30\) (3) \(-56\)

5. (1) \(3\) — 부호가 같으므로 양수 (2) \(-4\) (3) \(-4\)

6. (1) \(-24\) — 마이너스 세 개, 홀수이므로 음수 (2) \(1\) — 마이너스 네 개, 짝수이므로 양수

7. \(-1\) — \(-3 + 7 - 5\)

8. \(-8\) — 왼쪽부터: \((-24) \div (-6) = 4\), 그다음 \(4 \times (-2) = -8\). 이렇게 틀린다: 뒤쪽 \(\times(-2)\) 를 먼저 계산해 \((-24) \div 12 = -2\) 로 답한다. 곱셈과 나눗셈은 왼쪽부터 순서대로이다.

9. \((-2)^2 = 4\), \(-2^2 = -4\). 예시 답안: “\((-2)^2\) 은 \(-2\) 를 두 번 곱한 것이라 부호가 짝수 개여서 양수가 되고, \(-2^2\) 은 \(2\) 를 제곱한 \(4\) 에 마이너스를 붙인 것이라 음수다.” — 괄호가 마이너스까지 묶는지 여부가 유일한 차이이다. 지수를 다루는 제7장의 선행 확인 문항이다.

10. \(15\) 도 올랐다 — \(9 - (-6) = 9 + 6 = 15\). 이렇게 틀린다: \(9 - 6 = 3\). “몇 도 올랐는가”는 두 수의 차이이고, 차이는 수직선에서 두 점 사이의 칸 수이다. \(-6\) 에서 \(9\) 까지는 \(15\) 칸이다.

11. \(18{,}000\) 원 — \(-32{,}000 + 50{,}000\). 빚을 다 갚고 \(18{,}000\) 원이 남는다. 절차로 확인하면, 부호가 다르므로 절댓값의 차 \(50{,}000 - 32{,}000 = 18{,}000\) 을 구하고 절댓값이 큰 쪽인 \(+50{,}000\) 의 부호를 붙여 \(+18{,}000\) 이다. 이 크기는 수직선을 그려 직접 셀 수 없다. 두 줄 규칙이 필요한 자리가 이런 경우이다.

12. \(-155\) m (수심 \(155\) m) — \(-120 + 45 - 80 = -155\). 상승은 \(+\), 하강은 \(-\) 이다. 이렇게 틀린다: \(-120 + 45 + 80 = 5\) (하강을 양수로 넣은 경우) 또는 \(-120 - 45 - 80\) (상승을 음수로 넣은 경우). 문제를 읽으면서 각 동작 옆에 부호를 먼저 적는 절차를 따르면 이런 오류를 막을 수 있다.

13. 예시 답안(세 줄 버전): “\((-3) \times 0 = 0\) 이고 \(0 = 4 + (-4)\) 이므로 \((-3) \times (4 + (-4)) = 0\) 이다. 분배법칙으로 전개하면 \((-12) + (-3)\times(-4) = 0\) 이다. \(-12\) 에 \(12\) 를 더해야 \(0\) 이 되므로 \((-3)\times(-4) = 12\) 다.” — 핵심은 분배법칙을 유지하려면 그 값밖에 없다는 결론에 도달하는 것이다. “빚을 취소하면 이득이라서”만 쓴 경우는 부분 정답이다. 유도까지 함께 적으면 완전한 답이 된다.

추가 연습문제

총 \(30\) 문제이다. 덧셈·뺄셈과 곱셈·나눗셈이 의도적으로 섞여 있다. 각 문항의 기호를 먼저 소리 내어 읽고 계산을 시작한다. 헷갈리면 수직선을 그려 확인한다.

덧셈·뺄셈 기본 — 각 문항 옆에 “오른쪽 몇 칸” 또는 “왼쪽 몇 칸”을 함께 적는다.

1. \(-6 + 2\) 2. \(-6 - 2\) 3. \(3 - 8\) 4. \(-9 + 9\) 5. \(-4 + 10\) 6. \(2 - 15\) 7. \(-7 - 7\) 8. \(-1 + (-1)\)

부호가 두 개 나란히 올 때 — 먼저 부호 규칙 표로 식을 고쳐 쓰고(예: \(-3 - (-5) = -3 + 5\)), 그다음 계산한다.

9. \(-3 - (-5)\) 10. \(6 - (-4)\) 11. \(-8 - (-8)\) 12. \(-2 + (-7)\) 13. \(5 + (-12)\) 14. \(-10 - (-3)\) 15. \(0 - (-6)\) 16. \(-15 - (-20)\)

곱셈·나눗셈 — 크기를 먼저 구하고, 부호를 나중에 붙인다.

17. \((-4) \times 3\) 18. \((-5) \times (-6)\) 19. \(8 \times (-7)\) 20. \((-9) \times (-9)\) 21. \(-18 \div 3\) 22. \(-24 \div (-8)\) 23. \(45 \div (-9)\) 24. \((-2) \times (-3) \times (-5)\)

혼합·문장제·설명 — 25~27번의 연산 순서는 제7장에서 미리 가져와 사용하는 것이다. “이미 묶여 있는 것(괄호·곱셈·나눗셈)을 먼저 풀고, 같은 우선순위끼리는 쓰인 순서대로.” 근거는 다음 장에서 확인한다.

25. \(-5 + 3 \times (-2)\) (곱셈을 먼저 한다)

26. \((-12) \div (-4) - 7\)

27. \((-3) \times (4 - 9)\) (괄호를 먼저 한다)

28. 새벽 기온이 영하 \(8\) 도였는데 낮 동안 \(14\) 도가 올랐다. 낮 기온은 몇 도인가?

29. 카드 잔액이 \(-45{,}000\) 원이다. \(60{,}000\) 원을 갚으면 잔액은 얼마인가?

30. \((-3) \times (-4) = 12\) 인 이유를 두 문장으로 쓰라. 이 장에서 본 분배법칙 유도를 떠올리거나, 빚 취소 상황을 써도 좋다.

정답과 해설

1. \(-4\) 2. \(-8\) 3. \(-5\) 4. \(0\) 5. \(6\) 6. \(-13\) 7. \(-14\) 8. \(-2\)

2. \(2\) 10. \(10\) 11. \(0\) 12. \(-9\) 13. \(-7\) 14. \(-7\) 15. \(6\) 16. \(5\)

• 11번 보충: \(-8 - (-8) = -8 + 8 = 0\). 자기 자신을 빼면 \(0\) 이다. 수직선에서는 제자리이다.

• 14번 보충: \(-10 - (-3) = -10 + 3 = -7\). 이렇게 틀린다: \(-13\). 괄호 안의 마이너스를 흘린 경우이다. 9번과 나란히 놓고 비교할 것.

• 16번 보충: \(-15 - (-20) = -15 + 20 = 5\). 빚 \(15\) 만 원에서 빚 \(20\) 만 원을 취소받으면 \(5\) 만 원이 남는다.

17. \(-12\) 18. \(30\) 19. \(-56\) 20. \(81\) 21. \(-6\) 22. \(3\) 23. \(-5\) 24. \(-30\)

• 24번 보충: 마이너스가 두 개(짝수)로 보이지만 실제로는 \((-2)\), \((-3)\), \((-5)\) 로 세 개이다. 홀수이므로 음수이다. 크기는 \(2 \times 3 \times 5 = 30\) 이므로 답은 \(-30\) 이다. 부호 개수를 셀 때 마지막 항을 빠뜨리는 오류가 빈번하다.

25. \(-11\) — 곱셈 먼저: \(3 \times (-2) = -6\). 그다음 \(-5 + (-6) = -11\). 이렇게 틀린다: 왼쪽부터 순서대로 계산해 \((-5+3) \times (-2) = 4\) 로 답한다. 곱셈이 덧셈보다 먼저이다.

26. \(-4\) — 나눗셈 먼저: \((-12) \div (-4) = 3\). 그다음 \(3 - 7 = -4\).

27. \(15\) — 괄호 먼저: \(4 - 9 = -5\). 그다음 \((-3) \times (-5) = 15\). 분배법칙으로 전개해도 같다: \((-3)\times4 + (-3)\times(-9) = -12 + 27 = 15\).

28. 영상 \(6\) 도 — \(-8 + 14 = 6\). 수직선에서 \(-8\) 에서 오른쪽으로 \(14\) 칸이다.

29. \(15{,}000\) 원 — \(-45{,}000 + 60{,}000 = 15{,}000\). 빚을 다 갚고 \(15{,}000\) 원이 남는다. 절차로는 절댓값의 차 \(60{,}000 - 45{,}000 = 15{,}000\) 에, 절댓값이 큰 쪽인 \(+60{,}000\) 의 부호를 붙인다.

30. 예시 답안: “\((-3) \times 0 = 0\) 인데 \(0\) 은 \(4 + (-4)\) 이므로, 분배법칙으로 전개하면 \((-12) + (-3)\times(-4) = 0\) 이 된다. \(-12\) 에 \(12\) 를 더해야 \(0\) 이 되므로 \((-3)\times(-4)\) 는 \(12\) 일 수밖에 없다.” 또는 “빚 \(4\) 만 원짜리 청구서 \(3\) 장이 취소되면 \(12\) 만 원 이득이다. 마이너스를 마이너스만큼 없애면 플러스가 된다.”

요약과 다음 장

이 장의 핵심은 두 문장이다. 음수는 수직선 위의 위치, 뺄셈은 그 위의 이동. 그리고 \((-)\times(-)=(+)\) 는 별도로 정한 규칙이 아니라, 분배법칙을 계속 유지하려면 그렇게 될 수밖에 없는 결론이다.

뺄셈을 이동으로 해석하면 \(-5 - (-8)\) 과 같은 식도 절차대로 처리된다. 크기를 먼저 구하고 부호를 나중에 붙이면 곱셈·나눗셈의 부호가 꼬이지 않는다. 판단이 서지 않을 때에는 온도, 빚, 수직선 중 하나의 모형으로 돌아가 확인한다.

제6장에서는 비와 비율, 백분율을 다룬다. \(30\%\) 할인, 연 이자 \(4\%\), 팁 \(15\%\) 와 같이 일상에서 자주 접하는 표현이 그 대상이다. 다음 질문을 미리 제시한다. \(20\%\) 올랐다가 다시 \(20\%\) 내리면 원래 가격으로 돌아오는가? 답은 다음 장에서 확인한다.