제27장 · 미분 규칙 ① — 거듭제곱·상수·합#
이 장
원본 코드 |
R3-W07 |
선행 내용 |
제26장 — 도함수의 정의 |
요지 |
거듭제곱은 지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다. \((x^n)' = nx^{n-1}\). |
도입#
앞 장에서 \(x^2\) 의 도함수를 정의로 구했다. \((x+h)^2\) 을 전개하고, \(h\) 로 나누고, \(h \to 0\) 의 극한을 취하는 여러 단계를 거쳐야 했다.
정의에 의한 미분은 이처럼 계산량이 많다. 여기에 한 경우를 더 추가한다.
이를 정의로 계산하려면 \((x+h)^{10}\) 을 전개해야 한다. 항은 열한 개이고, 계수는 \(1, 10, 45, 120, 210, 252, \ldots\) 로 이어진다. 손으로 전개하기에는 계산량이 과도하다.
따라서 직접 전개하는 대신 이미 얻은 결과에서 규칙을 추정한다. 앞 장에서 정의로 구한 결과는 세 개다. \(x\) 의 도함수는 \(1\), \(x^2\) 의 도함수는 \(2x\), \(x^3\) 의 도함수는 \(3x^2\) 이다. 이 세 결과만으로 \(x^{10}\) 의 도함수를 추정하는 것이 이 장의 출발점이다.
이 장은 규칙을 먼저 제시하지 않는다. 표를 하나 만들고 그 표를 채우는 과정에서 규칙을 도출한 뒤, 그 규칙이 언제나 성립하는 이유를 확인한다.
표에서 규칙을 도출한다#
앞 장에서 정의로 구한 세 줄을 나란히 놓고, 그 아래를 비워 둔다.
\(f(x)\) |
\(f'(x)\) |
어디서 나왔나 |
|---|---|---|
\(x^1\) |
\(1\) |
정의로 (지난 장) |
\(x^2\) |
\(2x\) |
정의로 (지난 장) |
\(x^3\) |
\(3x^2\) |
정의로 (지난 장) |
\(x^4\) |
? |
|
\(x^5\) |
? |
|
\(x^{10}\) |
? |
|
\(x^n\) |
? |
위 세 줄은 다른 곳에서 인용한 것이 아니라 정의로 직접 구한 결과다. 네 번째 줄인 \(x^4\) 의 도함수는, 세 결과의 형태로부터 \(4x^3\) 으로 추정된다. 추정의 근거를 문장으로 옮기면 다음과 같다. “지수가 앞으로 내려오고, 지수는 하나 줄어든다.” 이 문장이 이 장에서 다루는 규칙이다. 다만 형태가 그럴듯하다는 것만으로 규칙이 성립하지는 않으므로 확인이 필요하다.
추정을 확인한다#
\(x^4\) 을 정의로 미분한다.
\((x+h)^4\) 을 전개한다.
\(x^4\) 항이 서로 소거되고, 남은 식을 \(h\) 로 나눈다.
\(h \to 0\) 의 극한을 취한다. \(h\) 가 곱해진 항은 모두 \(0\) 이 되고, 한 항만 남는다.
추정한 값과 일치한다. 표의 네 번째 줄이 채워졌다.
규칙이 항상 성립하는 이유 — 두 번째 항만 남는다#
지수를 \(n\) 으로 일반화하기 전에, 전개식의 각 항이 어디에서 나오는지를 센다. 앞 장에서는 \((x+h)^3\) 의 전개식을 결과로만 제시했으나, 이를 직접 유도할 수 있다.
괄호가 셋이다. 곱을 전개한다는 것은 각 괄호에서 \(x\) 또는 \(h\) 를 하나씩 골라 곱한 것을 전부 더한다는 뜻이다. 괄호마다 두 가지씩이므로 경우의 수는 \(2\times2\times2 = 8\) 이다. 여덟 가지를 모두 나열하면 다음과 같다.
첫째 괄호 |
둘째 괄호 |
셋째 괄호 |
곱한 결과 |
|---|---|---|---|
\(x\) |
\(x\) |
\(x\) |
\(x^3\) |
\(h\) |
\(x\) |
\(x\) |
\(x^2h\) |
\(x\) |
\(h\) |
\(x\) |
\(x^2h\) |
\(x\) |
\(x\) |
\(h\) |
\(x^2h\) |
\(h\) |
\(h\) |
\(x\) |
\(xh^2\) |
\(h\) |
\(x\) |
\(h\) |
\(xh^2\) |
\(x\) |
\(h\) |
\(h\) |
\(xh^2\) |
\(h\) |
\(h\) |
\(h\) |
\(h^3\) |
세 가지 경우로 분류된다. 셋 모두 \(x\) 를 고르면 \(x^3\) 이고, 이는 한 가지다. \(h\) 를 정확히 하나 고르면 \(x^2h\) 이며, 어느 괄호에서 고르는지에 따라 세 가지이므로 합하면 \(3x^2h\) 가 된다. \(h\) 를 둘 이상 고른 나머지 경우는 전부 \(h^2\) 이상의 인수를 포함한다. 정리하면 다음과 같다.
앞 장에서 결과로만 제시했던 전개식이며, 여기서는 경우의 수를 세어 유도한 것이다.
이제 지수를 \(n\) 으로 일반화한다. 괄호가 \(n\) 개로 늘어날 뿐 절차는 동일하다. 일반화하면 이 현상이 언제나 일어나는 이유가 드러난다. \((x+h)^n\) 을 전개하면 다음과 같다.
첫 항은 항상 \(x^n\) 이며, \(h\) 를 하나도 고르지 않은 경우다. 두 번째 항은 \(h\) 를 정확히 하나 고른 경우인데, \(h\) 를 고르는 괄호가 \(n\) 가지이므로 \(n\) 개가 모여 \(n\,x^{n-1}h\) 가 된다. \(x^n\) 은 뺄셈에서 소거되고, \(h\) 로 나누면 두 번째 항에서만 \(h\) 가 약분되어 \(h\) 를 포함하지 않는 항이 된다. 나머지 항은 \(h\) 를 적어도 하나씩 포함하므로 \(h \to 0\) 에서 전부 \(0\) 이 된다. 극한에서 남는 것은 언제나 두 번째 항 하나다.
도입에서 제기한 \(x^{10}\) 의 도함수도 이 규칙으로 구한다.
추정과 결과가 일치한다. 다만 이 결론은 추정이 아니라 위의 세는 논증에 근거한 결과이며, 그 차이가 이 장의 핵심이다.
예제 1. \(y = x^7\)
지수를 앞으로 내리고, 지수에서 \(1\) 을 뺀다. 절차는 이 두 단계다.
음의 지수·분수 지수도 같은 규칙#
\(n\) 이 자연수인 경우에 대해 규칙을 확인했다. \(n\) 이 음수이거나 분수인 경우에도 같은 규칙이 성립한다.
다만 근거의 범위를 명시한다. 앞에서 사용한 논증 — 괄호 \(n\) 개에서 \(x\) 또는 \(h\) 를 하나씩 고른다 — 은 \(n\) 이 자연수일 때만 의미를 갖는다. 괄호를 \(-2\) 개나 \(\dfrac12\) 개 나열할 수는 없기 때문이다. 그러나 자연수가 아닌 지수에 대한 근거가 전혀 없는 것은 아니다. 제26장에서 정의로 직접 구한 두 결과가 이미 확인된 사례에 해당한다.
둘 다 “지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다”는 규칙과 정확히 일치한다(제26장 마지막 표가 이 내용이다). 자연수가 아닌 지수 전체에 대한 증명에는 도구가 더 필요하므로 뒤에서 다루고, 이 장에서는 정의로 확인된 이 두 경우를 근거로 삼아 규칙을 확장해 사용한다.
정의에 의한 확인
정의에 따라 \(\dfrac{1}{x^2}\) 을 미분하여 \(-2x^{-3}\) 이 되는지 확인하라. 통분 연습을 겸한다. (해답 흐름: \(\dfrac{1}{(x+h)^2}-\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2-(x+h)^2}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{-2xh-h^2}{x^2(x+h)^2}\) 이고, \(h\) 로 나누면 \(\dfrac{-2x-h}{x^2(x+h)^2}\), \(h\to0\) 에서 \(\dfrac{-2x}{x^4} = -\dfrac{2}{x^3} = -2x^{-3}\).)
규칙을 적용하기 전에 선행 절차가 하나 있다. \(\dfrac{1}{x^2}\) 이나 \(\sqrt{x}\) 는 아직 거듭제곱 꼴이 아니므로, 지수 하나를 갖는 꼴로 고쳐 써야 규칙을 적용할 수 있다.
이 고쳐 쓰기가 이 장에서 오류가 가장 자주 발생하는 지점이다. 이 단계에서 막힌다면 원인은 미분이 아니라 지수법칙(제12장)이다. \(\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}\), \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) 로 바꾸는 변환이 수행되지 않는 것이며, 미분 규칙 자체의 문제가 아니다. 두 문제는 서로 다른 문제이고, 지수 표기의 변환은 미분보다 먼저 해결할 수 있다.
원래 모양 |
지수 꼴로 고쳐 쓰면 |
규칙 적용 |
다시 원래 모양으로 |
|---|---|---|---|
\(\dfrac{1}{x}\) |
\(x^{-1}\) |
\(-1 \cdot x^{-2}\) |
\(-\dfrac{1}{x^2}\) |
\(\dfrac{1}{x^2}\) |
\(x^{-2}\) |
\(-2x^{-3}\) |
\(-\dfrac{2}{x^3}\) |
\(\sqrt{x}\) |
\(x^{1/2}\) |
\(\dfrac{1}{2}x^{-1/2}\) |
\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
이 표에서 핵심 단계는 두 번째 칸이다. 미분은 세 번째 칸이며, 규칙 하나로 처리된다. 오류가 발생하는 지점은 언제나 두 번째 칸, 곧 지수법칙이다.
규칙의 결과는 그래프로 검산할 수 있다. \(y = \dfrac{1}{x}\) 는 오른쪽으로 갈수록 내려가는 그래프이므로 기울기는 항상 음수여야 한다. 답 \(-\dfrac{1}{x^2}\) 은 \(x^2\) 이 항상 양수이므로 앞의 마이너스에 의해 항상 음수이며, 그래프와 일치한다. \(y = \sqrt{x}\) 는 증가하되 증가가 점점 완만해지므로 기울기는 양수이면서 점점 작아져야 한다. 답 \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) 는 \(x\) 가 커지면 분모가 커져 값이 작아지며, 이 역시 그래프와 일치한다. 규칙과 그림이 어긋나지 않는다.
예제 2. \(y = \dfrac{1}{x^4}\)
먼저 지수 꼴로 고쳐 쓰고, 미분은 그다음이다.
지수 계산에서 \(-4 - 1 = -5\) 이다. 이 지점에서 부호 오류가 자주 발생한다. \(-4\) 에서 \(1\) 을 빼면 \(-3\) 이 아니라 \(-5\) 이다. 수직선에서 \(-4\) 의 왼쪽으로 한 칸 이동한 위치가 \(-5\) 이다.
예제 3. \(y = \sqrt[3]{x}\)
여기서는 \(\dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{2}{3}\) 이라는 분수 뺄셈이 필요하다. \(1 = \dfrac{3}{3}\) 으로 고쳐 쓴 다음 빼면 계산 오류를 피할 수 있다.
한 가지를 덧붙이면, 변수 문자가 바뀌어도 규칙은 동일하다. \(t^4\) 의 도함수는 \(4t^3\) 이다. 문자는 변수의 이름이며, 규칙은 이름에 의존하지 않는다. 이후 시간을 다룰 때는 \(t\) 를 사용하지만, 이름이 바뀌어도 규칙은 바뀌지 않는다.
상수·상수배·합의 미분#
거듭제곱 규칙 하나로는 \(3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\) 같은 다항식을 다룰 수 없다. 상수가 있고, 계수가 붙어 있고, 여러 항이 더해져 있기 때문이다. 세 가지 규칙을 그래프와 함께 확인한다.
상수의 미분은 0#
\(y = 5\) 의 그래프는 높이 \(5\) 인 수평선이다.
이 직선의 기울기는 \(0\) 이다. \(x\) 가 아무리 변해도 \(y\) 는 증가하지도 감소하지도 않는다. 도함수는 기울기이므로, 상수함수의 도함수는 \(0\) 이다. 별도의 계산 없이 그래프에서 결과가 나온다.
앞 장에서 \(5x + 1\) 을 정의로 미분했을 때 \(+1\) 이 결과에 남지 않은 것도 같은 이유다. 상수는 그래프의 높이만 바꾸고 기울기는 바꾸지 않는다. 그래프를 위아래로 평행이동해도 경사는 변하지 않는다.
상수배는 밖으로 나온다#
\(y = 3x^2\) 은 \(y = x^2\) 을 세로로 \(3\) 배 늘린 그래프다. 세로로 \(3\) 배 늘리면 같은 거리를 가는 동안 \(3\) 배 높이 올라가므로 기울기도 \(3\) 배가 된다. 따라서 상수배는 미분 기호 밖으로 나온다.
합의 미분은 각 항의 도함수의 합#
욕조에 수도꼭지가 두 개 있고, 하나는 분당 \(3\) 리터, 다른 하나는 분당 \(2\) 리터로 물을 공급한다. 이때 물이 차는 속도는 분당 \(5\) 리터이며, 두 속도의 합과 같다. 두 꼭지의 공급량이 서로 영향을 주지 않기 때문이다. 함수의 합에서도 같은 관계가 성립한다. \(f\) 의 변화율과 \(g\) 의 변화율은 서로 간섭하지 않으므로, 합의 변화율은 두 변화율의 합이다.
네 규칙으로 다항식을 미분한다#
이제 규칙 넷을 한자리에 모은다.
이 네 규칙으로 모든 다항식을 미분할 수 있다. 각 항을 따로 미분한 뒤 다시 더한다.
예제 1. \(y = 5x^3\)
\(5\) 는 밖으로 나오고, \(x^3\) 만 미분한다.
예제 2. \(y = 4x^3 - 7x^2 + 2x - 9\)
한 항도 건너뛰지 않고 순서대로 미분한다. \(4x^3\) 은 \(12x^2\), \(-7x^2\) 은 \(-14x\) 이다. 부호는 항에 포함시켜 함께 처리한다. \(2x\) 는 \(x\) 의 도함수가 \(1\) 이므로 \(2 \times 1 = 2\) 이다. 마지막 \(-9\) 는 상수이므로 도함수는 \(0\) 이다.
예제 3. \(y = \dfrac{2}{x^2}\)
먼저 지수 꼴로 고쳐 쓴다. \(\dfrac{2}{x^2} = 2 \cdot \dfrac{1}{x^2} = 2x^{-2}\).
예제 4. \(y = 3\sqrt{x}\)
합과 달리 곱은 항별로 분리되지 않는다#
앞에서 \((f+g)' = f' + g'\) 가 성립함을 확인했다. 합에서는 각 항을 따로 미분한 뒤 더하면 된다. 그러나 곱에 대해서는 \((f \cdot g)' = f' \cdot g'\) 가 성립하지 않는다.
반례는 다음과 같다. \(x \cdot x^3\) 을 두 방법으로 미분한다. 지수법칙으로 합치면 \(x \cdot x^3 = x^4\) 이므로 도함수는 \(4x^3\) 이다. 반면 \(x\) 와 \(x^3\) 을 각각 미분해 곱하면 \(1 \cdot 3x^2 = 3x^2\) 이다. \(x = 1\) 을 대입하면 앞의 값은 \(4\), 뒤의 값은 \(3\) 으로 두 값이 다르다. 곱에서는 각 인수를 따로 미분해 곱하는 방법이 성립하지 않는다.
곱의 미분 규칙은 제28장에서 다룬다. 이 장에서 확인한 사실은, 곱에서는 각 인수를 따로 미분해 곱하는 방법이 성립하지 않는다는 것이다.
빈번한 오류#
\(\dfrac{1}{x^2}\), \(\sqrt{x}\) 를 지수 꼴로 고쳐 쓰지 못한다
\(x^8\) 은 즉시 미분하면서 \(\dfrac{1}{x^2}\) 에서는 계산을 진행하지 못하는 경우, 원인은 미분이 아니라 지수 표기다. \(\dfrac{1}{x^2}\) 과 \(x^{-2}\) 가 같은 식이라는 인식이 확립되지 않은 상태다. \(x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}\) 을 학습했더라도 “음의 지수를 보면 분수로 바꾼다”는 한 방향으로만 익혔다면, 여기서 필요한 반대 방향의 변환이 수행되지 않는다. 이 경우 미분 규칙이 아니라 지수법칙(제12장)을 복습해야 한다.
확인 문제: \(\dfrac{3}{x^2}\) 을 미분하라. (답: \(-\dfrac{6}{x^3}\). 중간에 \(3x^{-2}\) 로 고쳐 쓴 줄이 있어야 한다. 그 줄이 없으면 답이 맞아도 절차가 완성된 것이 아니다.)
상수와 상수배를 혼동한다
\(5x\) 를 미분해서 \(0\) 이라 쓰거나, \(5\) 를 미분해서 \(5\) 라 쓰는 오류다. “상수는 사라진다”는 문장만 기억하고 무엇이 상수인지를 구분하지 못한 것이다. \(5x\) 의 \(5\) 와 \(y = 5\) 의 \(5\) 는 표기상 같은 \(5\) 이지만, 미분에서의 역할이 다르다.
왼쪽은 수평선이므로 기울기가 \(0\) 이고, 오른쪽은 기울기가 \(5\) 인 직선이다. 두 경우 모두 \(5\) 가 나타나지만, 하나는 높이이고 다른 하나는 기울기다. 미분은 기울기를 구하는 연산이므로 높이는 결과에 영향을 주지 않는다. 판별 기준은 하나다. \(x\) 가 곱해져 있는지 확인한다. 곱해져 있으면 상수배이고, 곱해져 있지 않으면 상수다.
확인 문제: \(y = 8x - 8\) 을 미분하라. (답: \(8\). 두 개의 \(8\) 중 \(x\) 가 곱해지지 않은 \(-8\) 만 사라진다.)
지수에서 1을 뺄 때 음수 계산이 어긋난다
\(x^{-2}\) 을 미분해서 \(-2x^{-1}\) 이라 쓰는 오류다. \(-2 - 1\) 을 \(-1\) 로 계산한 것이며, 정답은 \(-3\) 이다. 규칙 자체는 적용했으나 산술 한 단계에서 어긋난 것이므로, 원인은 미분이 아니라 음수의 뺄셈이다. 수직선에서 \(-2\) 의 왼쪽으로 한 칸 이동한 위치가 \(-3\) 이다. 분수 지수도 동일하다. \(\dfrac{1}{2} - 1\) 은 \(1 = \dfrac{2}{2}\) 로 통분하여 \(-\dfrac{1}{2}\) 이다. 통분 한 줄을 반드시 쓴다.
확인 문제: \(x^{-3}\) 과 \(x^{1/3}\) 을 각각 미분하라. (답: \(-3x^{-4}\), \(\dfrac{1}{3}x^{-2/3}\).)
덧셈의 규칙을 곱셈에 그대로 적용한다
이 오류는 다른 오류보다 반복해서 나타난다. \((f+g)' = f' + g'\) 가 실제로 성립하기 때문이다. 합에서 항별로 계산해도 된다는 것을 확인한 직후에는, 같은 방식이 곱에도 적용된다고 추정하기 쉽다. 그러나 곱에서는 성립하지 않는다. 곱의 미분 규칙은 제28장에서 다룬다.
확인 문제: \((x+2)(x-3)\) 을 두 방법으로 미분하라. 전개하면 \(x^2 - x - 6\), 미분하면 \(2x - 1\). 각 괄호를 따로 미분해 곱하면 \(1 \times 1 = 1\). (답: 두 답이 다르고, 맞는 것은 전개해서 미분한 \(2x - 1\).)
연습문제#
계산기를 사용하지 않는다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. 특히 지수 꼴로 고쳐 쓰지 못해 막힌 문항은 미분이 아니라 지수법칙(제12장)에 해당하므로, 그 옆에는 표시 대신 “지수”라고 적어 두면 복습할 지점이 분명해진다. A 기본 · B 표준 · C 도전.
A미분하라. (1) \(x^8\) (2) \(x^{20}\) (3) \(x\)A미분하라. (1) \(y = 9\) (2) \(y = -\dfrac{1}{2}\)A미분하라. (1) \(6x\) (2) \(-2x^5\) (3) \(\dfrac{x^3}{3}\)A미분하라. \(y = 4x^3 + 7x^2\)A미분하라. \(y = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\)B\(x^{-4}\) 을 미분하라. 그다음 같은 함수를 \(\dfrac{1}{x^4}\) 이라고 쓰고 다시 미분하라. 두 답이 같은지 확인하라.B미분하라. (1) \(\dfrac{2}{x^3}\) (2) \(\sqrt{x}\) (3) \(5\sqrt{x}\)B\(y = \dfrac{x^4 - x^2}{x^2}\) 을 미분하라. (먼저 약분해서 정리한다.)B\(f(x) = (x+2)(x-3)\) 을 미분하라. (먼저 전개한다.)B물체의 위치가 \(s(t) = 5t^2 + 3t\) 로 주어진다(\(s\) 는 미터, \(t\) 는 초). \(t = 2\) 초일 때의 속도를 구하라. 단위를 붙여 답하라.B반지름 \(r\) 인 원의 넓이는 \(A = \pi r^2\) 이다. \(\dfrac{dA}{dr}\) 를 구하고, 그 결과가 원의 무엇인지 한 줄로 설명하라.C\(f(x) = x^3 - 3x + 1\) 의 그래프에서 접선의 기울기가 \(0\) 이 되는 \(x\) 를 모두 구하라.C\(x \cdot x^3\) 을 두 가지 방법으로 미분하라. ① 지수법칙으로 \(x^4\) 으로 합친 뒤 미분한다. ② \(x\) 와 \(x^3\) 을 각각 미분해서 곱한다. 두 답이 같은가? 다르다면 어느 쪽이 맞는가?
정답과 해설
(1) \(8x^7\) (2) \(20x^{19}\) (3) \(1\) — (3)은 \(x = x^1\) 이므로 \(1 \cdot x^0 = 1\).
(1) \(0\) (2) \(0\) — 둘 다 상수다. \(-\dfrac{1}{2}\) 은 분수이지만 \(x\) 가 곱해져 있지 않으므로 상수이며, 그래프는 수평선이다.
(1) \(6\) (2) \(-10x^4\) (3) \(x^2\) — (3)은 \(\dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2\). 계수 \(\dfrac{1}{3}\) 과 내려온 \(3\) 이 곱해져 \(1\) 이 된다.
\(12x^2 + 14x\)
\(12x^3 - 4x + 5\) — 이 장의 핵심 문항이다. 상수항 \(-7\) 이 사라졌는지 확인하라. 빈번한 오류: 답에 \(-7\) 을 그대로 남긴다.
둘 다 \(-4x^{-5} = -\dfrac{4}{x^5}\). 같은 함수를 다르게 표기한 것이므로 답도 같다. 다르게 나왔다면 표기 변환에서 틀린 것이지 미분에서 틀린 것이 아니다.
(1) \(-\dfrac{6}{x^4}\) — \(2x^{-3}\) 으로 고쳐 쓴 뒤 \(2 \cdot (-3)x^{-4}\). (2) \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) (3) \(\dfrac{5}{2\sqrt{x}}\)
\(2x\) — 먼저 약분: \(\dfrac{x^4-x^2}{x^2} = x^2 - 1\). 그다음 미분하면 \(2x\). 빈번한 오류: 분자와 분모를 각각 미분해서 \(\dfrac{4x^3-2x}{2x}\) 라고 쓴다. 분자와 분모를 각각 미분하는 규칙은 없다(분수의 미분 규칙은 다음 장에서 다룬다). 지금은 약분해서 다항식으로 만든 다음에만 미분한다.
\(2x - 1\) — 전개하면 \(x^2 - x - 6\), 미분하면 \(2x - 1\). 빈번한 오류: 각 괄호를 미분해서 \(1 \times 1 = 1\). 이 오류는 다음 장의 주제다.
\(23\) m/s — \(s'(t) = 10t + 3\), \(s'(2) = 23\). 단위를 포함해야 완전한 답이다. 위치가 미터, 시간이 초이므로 그 변화율의 단위는 초당 미터다.
\(\dfrac{dA}{dr} = 2\pi r\). 이것은 원의 둘레다. 설명 예시: 반지름을 아주 조금 늘리면 원 둘레를 따라 얇은 띠가 하나 생긴다. 그 띠의 넓이는 둘레 곱하기 두께이므로, 넓이의 변화율이 곧 둘레가 된다. 이 관찰은 뒤의 적분에서 다시 사용된다.
\(x = 1\) 과 \(x = -1\) — \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 0\) 에서 \(x^2 = 1\). \(x = 1\) 만 답하고 끝내는 것이 빈번한 오류다. 제곱해서 \(1\) 이 되는 수는 둘이다.
① \(x \cdot x^3 = x^4\) 이므로 도함수는 \(4x^3\). ② 각각 미분하면 \(1\) 과 \(3x^2\), 곱하면 \(3x^2\). 두 답이 다르다. \(x = 1\) 을 넣으면 ①은 \(4\), ②는 \(3\). 맞는 것은 ① 이다. ②의 방법, 곧 “각각 미분해서 곱하기”는 성립하지 않는 방법이다. 그 이유와 곱의 미분 규칙은 다음 장에서 다룬다. 이 장에서 확인할 사실은, 곱에서는 각 인수를 따로 미분해 곱하는 방법이 성립하지 않는다는 것이다.
추가 연습문제#
음의 지수·분수 지수 문항(\(17\)~\(24\))은 먼저 지수 꼴로 고쳐 쓴 줄을 남긴 뒤 미분한다. 고쳐 쓴 줄이 노트에 남는 것이 최종 답을 내는 것보다 중요하다.
거듭제곱 규칙
\(x^7\) 2. \(x^{15}\) 3. \(x\) 4. \(x^{40}\) 5. \(t^6\) 6. \(s^{11}\) 7. \(x^{101}\) 8. \(x^2\) (앞 장에서 정의로 구했던 함수다. 규칙을 적용한 계산과 정의에 의한 계산의 소요 시간을 비교한다)
상수·상수배·합차
\(y = 7\) 10. \(y = -3\) 11. \(y = 5x\) 12. \(y = -4x^3\) 13. \(y = \dfrac{x^4}{2}\) 14. \(y = x^2 + x\) 15. \(y = 3x^2 - 5x + 2\) 16. \(y = 6x^3 + 4x^2 - x + 9\)
음의 지수·분수 지수
\(x^{-3}\) 18. \(x^{-1}\) 19. \(\dfrac{1}{x^2}\) 20. \(\dfrac{1}{x^5}\) 21. \(\sqrt{x}\) 22. \(x^{3/2}\) 23. \(\dfrac{3}{x}\) 24. \(\sqrt[3]{x}\)
혼합·응용
\(y = 2x^3 - \dfrac{1}{x}\) 을 미분하라.
\(y = \dfrac{x^3 + x}{x}\) 을 미분하라. (분수를 그대로 미분하지 말고 먼저 정리하라.)
\(y = x^2(x+3)\) 을 미분하라. (먼저 전개하라.)
\(f(x) = 4\sqrt{x} + \dfrac{2}{x^2}\) 을 미분하라.
\(f(x) = x^3 - 3x\) 의 그래프에서 \(x = 2\) 인 점의 접선의 기울기를 구하라.
이 장에서 \((f+g)' = f' + g'\) 가 참임을 확인했다. 그렇다면 \((f \cdot g)' = f' \cdot g'\) 도 참인가? ① 먼저 예상을 한 줄로 쓰라. ② 그다음 \(f(x) = x\), \(g(x) = x\) 로 놓고 양쪽을 실제로 계산해서 비교하라. (힌트: \(f \cdot g = x \cdot x\) 를 먼저 정리한다.)
정답과 해설
\(7x^6\) 2. \(15x^{14}\) 3. \(1\) 4. \(40x^{39}\) 5. \(6t^5\) 6. \(11s^{10}\) 7. \(101x^{100}\) 8. \(2x\)
\(0\) 10. \(0\) 11. \(5\) 12. \(-12x^2\) 13. \(2x^3\) 14. \(2x+1\) 15. \(6x-5\) 16. \(18x^2+8x-1\)
\(-3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}\) 18. \(-x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}\) 19. \(-\dfrac{2}{x^3}\) 20. \(-\dfrac{5}{x^6}\) 21. \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) 22. \(\dfrac{3}{2}x^{1/2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}\) 23. \(-\dfrac{3}{x^2}\) 24. \(\dfrac{1}{3}x^{-2/3}\)
\(6x^2 + \dfrac{1}{x^2}\) — \(\dfrac{1}{x} = x^{-1}\) 이고 앞에 마이너스가 붙어 있으므로 \(-(-1)x^{-2} = +x^{-2}\). 빈번한 오류: 부호를 두 번 뒤집어야 하는 것을 한 번만 뒤집어 \(-\dfrac{1}{x^2}\) 이라고 쓴다.
\(2x\) — 먼저 약분하면 \(\dfrac{x^3+x}{x} = x^2 + 1\). 미분하면 \(2x\). 분수를 그대로 미분하는 규칙은 아직 없으며, 다음 장에서 다룬다.
\(3x^2 + 6x\) — 전개하면 \(x^3 + 3x^2\). 빈번한 오류: \(x^2\) 과 \((x+3)\) 을 각각 미분해서 \(2x \cdot 1 = 2x\). 이 오류가 다음 장의 주제다.
\(\dfrac{2}{\sqrt{x}} - \dfrac{4}{x^3}\) — \(4x^{1/2} + 2x^{-2}\) 로 고쳐 쓴 뒤 각각 미분한다. \(4 \cdot \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = 2x^{-1/2}\), \(2 \cdot (-2)x^{-3} = -4x^{-3}\).
\(9\) — \(f'(x) = 3x^2 - 3\), \(f'(2) = 12 - 3 = 9\). 빈번한 오류: \(f(2) = 2\) 를 답으로 쓴다. 묻는 것은 함숫값이 아니라 기울기, 곧 도함수의 값이다.
② 계산: \(f \cdot g = x \cdot x = x^2\) 이므로 \((f \cdot g)' = 2x\). 한편 \(f' \cdot g' = 1 \cdot 1 = 1\). \(2x\) 와 \(1\) 은 같지 않다. (\(x = 1\) 을 넣으면 \(2\) 와 \(1\).) 따라서 \((f \cdot g)' = f' \cdot g'\) 는 거짓이다. 예상을 먼저 기록하고 계산으로 검증하는 것이 이 문제의 목적이다. 곱의 미분 규칙은 다음 장에서 넓이 그림과 함께 다룬다.
요약과 다음 장#
이 장의 핵심은 규칙 넷이다. 거듭제곱은 지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다(\(x^n \to nx^{n-1}\)), 상수는 미분하면 \(0\), 상수배는 밖으로 나오고, 합은 항마다 따로 미분해서 더한다. 이 넷으로 모든 다항식을 미분할 수 있다.
한 가지를 다시 정리한다. \(\dfrac{1}{x^2}\) 이나 \(\sqrt{x}\) 에서 계산이 진행되지 않는다면, 원인은 미분이 아니라 지수법칙(제12장)이다. \(x^{-2}\), \(x^{1/2}\) 로 고쳐 쓰는 두 번째 칸을 넘기면 미분은 규칙 하나로 끝난다.
마지막으로 남은 문제는 곱의 미분이다. 합은 미분을 그대로 통과했다. 그러나 \(x \cdot x^3\) 을 두 방법으로 미분했을 때 두 결과가 갈라졌다. 곱에서는 각 인수를 따로 미분해 곱하는 방법이 성립하지 않는다. 곱의 미분 규칙은 제28장에서 넓이 그림과 함께 다룬다.