제3장 · 분수 ② — 곱셈·나눗셈

제3장 · 분수 ② — 곱셈·나눗셈#

이 장

원본 코드

R1-W03

선행 내용

제2장 — 분수의 의미와 덧셈·뺄셈

요지

분수의 곱셈은 넓이(조각의 조각)이고, 나눗셈은 “안에 몇 번 들어가나”이다 — 그래서 역수를 곱한다.

도입#

분수 나눗셈은 흔히 **”뒤집어 곱한다”**는 한 문장으로 제시된다. 이 규칙 자체는 옳다. 그러나 뒤집는 이유가 함께 제시되는 경우는 많지 않다. 근거 없이 절차만 기억한 내용은 유지되지 않으며, \(20\) 년 정도가 지나면 분수 나눗셈이 가장 먼저 남지 않는 항목이 된다. 제2장 끝에서 “왜 뒤집어 곱하는가”는 이 장으로 미루어 두었다. 이 장에서 그 근거를 제시한다. 근거를 이해하면 절차를 언제든 다시 세울 수 있다.

계산에 앞서 어림값을 먼저 판단한다.

\[\frac{3}{4} \div \frac{2}{3} = \ ?\]

이 값이 \(\dfrac{3}{4}\) 보다 큰지 작은지를 묻는 문제이다. “작다”고 답하는 경우가 많다. 나눗셈이 언제나 값을 작게 만든다고 인식하기 때문이다. 제1장에서 확인했듯 이 인식은 틀린 것이 아니라 적용 범위가 좁은 것이다. 이 물음은 이 장의 끝에서 다시 다룬다.

이 장의 내용은 두 문장으로 요약된다. 분수의 곱셈은 넓이, 곧 조각의 조각이다. 분수의 나눗셈은 “안에 몇 번 들어가나”이다. 이 두 문장에서 “분자끼리·분모끼리 곱한다”와 “역수를 곱한다”는 규칙이 그대로 유도된다.

곱셈은 조각의 조각이다#

격자 그림을 다루기 전에 두 가지 사실을 먼저 확인한다. 이 두 사실이 없으면 그림과 계산 규칙이 연결되지 않는다.

첫째, 묶음의 개수는 넓이와 같다. 제1장에서 곱셈은 “같은 것이 몇 묶음”으로 정의했다. \(3 \times 4\) 는 \(3\) 개짜리가 \(4\) 묶음이다. 이 \(4\) 묶음을 흩어 놓지 않고 한 줄씩 아래로 쌓아 배열하면 다음과 같다.

줄

점

첫째 줄

● ● ●

둘째 줄

● ● ●

셋째 줄

● ● ●

넷째 줄

● ● ●

한 줄에 \(3\) 개씩 \(4\) 줄이므로 모두 \(12\) 개이다. 이 배열은 동시에 가로 \(3\) · 세로 \(4\) 인 직사각형의 칸 수이기도 하다. 묶음을 세는 조작과 넓이를 재는 조작은 같은 조작이다. 따라서 곱셈은 직사각형으로 나타낼 수 있다.

둘째, “\(\sim\) 의”는 곱셈이다. 이것도 정수로 먼저 확인한다. 사탕 \(12\) 개의 \(\dfrac{1}{2}\) 은 \(6\) 개이고, \(12 \times \dfrac{1}{2} = 6\) 이다. \(12\) 개의 \(\dfrac{1}{4}\) 은 \(3\) 개이고, \(12 \times \dfrac{1}{4} = 3\) 이다. 이 대응은 언제나 성립한다.

\[\text{“}A \text{ 의 } B \text{”} \ = \ A \times B\]

전체의 얼마를 구하는 연산이 곧 곱셈이다. 이 두 사실을 바탕으로 격자를 읽는다.

한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형을 그린다. 이 정사각형의 넓이는 \(1\) 이다. 여기에 \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}\) 를 그림으로 나타낸다. 가로를 \(3\) 등분해 왼쪽 \(2\) 칸을 잡으면 \(\dfrac{2}{3}\) 이고, 세로를 \(4\) 등분해 위 \(3\) 칸을 잡으면 \(\dfrac{3}{4}\) 이다.

넓이격자로 본 2/3 곱하기 3/4 = 1/2

두 방향이 겹친 부분(X)이 \(\dfrac{2}{3}\) 의 \(\dfrac{3}{4}\), 곧 조각의 조각이다. 겹친 칸은 \(6\) 개이고 전체 칸은 \(12\) 개이다.

\[\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

전체 칸이 \(12\) 개인 이유는 가로 \(3\) 등분과 세로 \(4\) 등분을 곱했기 때문이다 — 분모끼리 곱한 것이다. 겹친 칸이 \(6\) 개인 이유는 \(2 \times 3\) 이다 — 분자끼리 곱한 것이다. 곱셈 규칙은 이렇게 격자 그림에서 유도된다.

분자끼리, 분모끼리 — 약분은 먼저#

\[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\]

분자는 겹친 칸 수이고 분모는 전체 칸 수이다. 곱하기 전에 분자와 분모에 같은 수가 있으면 먼저 약분한다. 곱한 뒤 큰 수를 약분하는 것보다 다루는 수가 작다.

\[\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{2 \times \cancel{3}}{\cancel{3} \times 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

다른 예를 확인한다. \(\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}\) 에서는 \(4\) 와 \(8\) 에 공통으로 \(4\) 가 있고, \(3\) 과 \(9\) 에 공통으로 \(3\) 이 있다. 곱하기 전에 먼저 약분한다.

\[\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}\]

위 식은 중간 과정을 생략했으므로 한 단계씩 나누어 쓴다. 먼저 분자의 \(4\) 와 분모의 \(8\) 을 \(4\) 로 나눈다. \(4 \div 4 = 1\), \(8 \div 4 = 2\) 이므로 약분한 자리에 각각 \(1\) 과 \(2\) 가 남는다.

\[\frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{\overset{1}{\cancel{4}} \times 3}{9 \times \underset{2}{\cancel{8}}} = \frac{1 \times 3}{9 \times 2}\]

다음으로 분자의 \(3\) 과 분모의 \(9\) 를 \(3\) 으로 나눈다. \(3 \div 3 = 1\), \(9 \div 3 = 3\).

\[\frac{1 \times 3}{9 \times 2} = \frac{1 \times \overset{1}{\cancel{3}}}{\underset{3}{\cancel{9}} \times 2} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}\]

앞의 \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}\) 에서는 분자와 분모에 같은 수(\(3\) 과 \(3\))가 있어 그대로 약분했다. 여기서는 \(4\) 와 \(8\) 처럼 서로 다른 수이고 자리도 대각선으로 어긋나 있는데 약분이 성립한다. 그 근거는 곱셈의 순서를 바꿀 수 있어 분자와 분모의 짝을 다시 지을 수 있다는 데 있다.

\[\frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{4}{8} \times \frac{3}{9}\]

이렇게 분리하면 \(\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\) 로 각각 약분하는 통상적인 계산이 된다. \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\). 분자에 하나, 분모에 하나씩 짝만 맞으면 어느 자리에 있든 같은 수로 나눌 수 있다.

곱한 뒤에 약분해도 값은 같다. \(\dfrac{4 \times 3}{9 \times 8} = \dfrac{12}{72}\) 이고, \(\dfrac{12}{72} = \dfrac{12 \div 12}{72 \div 12} = \dfrac{1}{6}\). 같은 \(\dfrac{1}{6}\) 이다. 두 방법 모두 옳으며, 먼저 약분하는 쪽이 다루는 수가 작다는 차이만 있다.

정수도 분수다#

정수는 분모가 \(1\) 인 분수이다. \(6 = \dfrac{6}{1}\) 로 쓰면 곱셈 규칙이 그대로 적용된다.

\[6 \times \frac{2}{9} = \frac{6}{1} \times \frac{2}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\]

정수로 나누는 계산도 여기서 함께 정리한다. 뒤에서 “왜 뒤집어 곱하는가”를 설명할 때 이 결과를 사용한다.

\(\dfrac{3}{4}\) 을 \(2\) 로 나누는 것은 \(\dfrac{3}{4}\) 짜리 막대를 똑같이 둘로 가르는 조작이다. 조각을 하나씩 다시 반으로 자르면 된다. \(\dfrac{1}{4}\) 짜리를 반으로 자르면 한 판이 \(8\) 등분이 되므로 잘린 조각은 \(\dfrac{1}{8}\) 짜리이다. \(\dfrac{1}{4}\) 짜리 \(3\) 개는 \(\dfrac{1}{8}\) 짜리 \(6\) 개가 되고, 이것을 두 몫으로 가르면 한 몫은 \(\dfrac{1}{8}\) 짜리 \(3\) 개이다.

\[\frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4 \times 2} = \frac{3}{8}\]

조각 수(분자)는 그대로이고 조각 크기만 반으로 줄었다. 따라서 분모만 커진다. 일반식으로 쓰면 다음과 같다.

\[\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b \times n}\]

묶음으로 읽어도 같은 값이 나온다. 물건 \(9\) 개를 \(2\) 개씩 묶으면 \(\dfrac{9}{2}\) 묶음, 곧 네 묶음 반이다. 개수가 \(\dfrac{9}{4}\) 인 경우에도 수행하는 조작은 똑같이 \(2\) 로 나누는 것이다.

\[\frac{9}{4} \div 2 = \frac{9}{4 \times 2} = \frac{9}{8}\]

한 묶음의 크기가 두 배가 되었으므로 묶음 수는 절반이다. 이 식은 뒤에서 다시 사용한다.

1보다 작은 수를 곱하면 줄어든다#

\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}\) 을 계산하면 \(\dfrac{1}{4}\) 이다. 원래의 \(\dfrac{1}{2}\) 보다 작다. “곱하면 커진다”는 인식은 정수 경험에서 형성된 것이고, \(1\) 보다 작은 수를 곱하면 결과는 작아진다. \(1\) 보다 작은 수를 곱하는 것은 곧 크기를 줄이는 연산이다. 이 사실은 이 장 후반의 나눗셈과 대응한다.

나눗셈은 “안에 몇 번 들어가나”이다#

나눗셈은 다음 한 문장으로 읽는다.

\[A \div B \ = \ \text{“}A \text{ 안에 } B \text{가 몇 번 들어가나”}\]

정수로 먼저 확인한다. \(12 \div 3 = 4\) 는 “\(12\) 안에 \(3\) 이 \(4\) 번 들어간다”이다. 이 해석 하나로 분수 나눗셈을 모두 처리할 수 있다.

피자 한 판을 크기 \(\dfrac{1}{2}\) 인 조각으로 분할하는 경우를 생각한다. 조각의 개수는 다음과 같다.

\[1 \div \frac{1}{2} = 2\]

조각은 \(2\) 개이다. 나눗셈의 결과가 나누어지는 수 \(1\) 보다 크다. 도입에서 언급한 “나누면 작아진다”는 인식이 성립하지 않는 사례이다. 조각의 크기가 작을수록 조각의 개수는 많아진다. 나눗셈은 개수를 세는 연산이다.

나누는 수가 1보다 작으면 답은 커진다#

같은 해석을 그대로 확장한다.

\[1 \div \frac{1}{4} = 4, \qquad 3 \div \frac{1}{4} = 12\]

피자 세 판을 크기 \(\dfrac{1}{4}\) 인 조각으로 분할하면 한 판에서 \(4\) 조각이 나오므로 세 판에서는 \(12\) 조각이 나온다. 이 계산은 \(3 \times 4\) 와 같다. 즉 \(\dfrac{1}{4}\) 로 나누는 것이 \(4\) 를 곱하는 것과 같은 결과가 된다. 규칙으로 정리하면 다음과 같다.

\[\text{나누는 수} < 1 \ \Rightarrow \ \text{답은 커진다}, \qquad \text{나누는 수} > 1 \ \Rightarrow \ \text{답은 작아진다}\]

단위분수로 나누기 = 뒤집어 곱하기#

앞의 관찰을 식으로 쓰면 다음과 같다.

\[a \div \frac{1}{n} = a \times n\]

\(1\) 안에 \(\dfrac{1}{n}\) 이 \(n\) 개 들어가고, \(a\) 안에는 \(a \times n\) 개 들어간다. 앞에서 그림으로 확인한 내용이다. 단위분수(분자가 \(1\) 인 분수)로 나누는 것은 분모를 곱하는 것과 같다.

왜 뒤집어 곱하는가 — 두 걸음의 분해#

도입에서 제시한 \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}\) 로 돌아간다. \(\dfrac{2}{3}\) 으로 한 번에 나누는 계산은 직접 수행하기 어렵다. 따라서 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 두 단계로 나눈다. \(\dfrac{2}{3}\) 은 \(\dfrac{1}{3}\) 짜리가 \(2\) 개 모인 수이다.

\[\text{① } \frac{3}{4} \text{ 안에 } \frac{1}{3} \text{ 이 몇 개?} \quad \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{4} \text{ 개}\]
\[\text{② } \frac{1}{3} \text{ 짜리를 } 2 \text{개씩 묶으면 몇 묶음?} \quad \frac{9}{4} \div 2 = \frac{9}{8} \text{ 묶음}\]

②의 \(\dfrac{9}{4} \div 2 = \dfrac{9}{8}\) 은 앞의 “정수도 분수다”에서 세운 \(\dfrac{a}{b} \div n = \dfrac{a}{b \times n}\) 그대로이다. \(9\) 개를 \(2\) 개씩 묶으면 \(\dfrac{9}{2}\) 묶음이 되듯, 개수가 \(\dfrac{9}{4}\) 인 경우에도 \(2\) 로 나눈다. 조각 수는 그대로이고 한 묶음의 크기가 두 배가 되었으므로 묶음 수는 절반이다.

두 단계를 한 줄로 이으면 다음과 같다.

\[\frac{3}{4} \div \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \times 3 \div 2 = \frac{3}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8}\]

\(\times 3\) 과 \(\div 2\) 를 합한 결과가 \(\times \dfrac{3}{2}\) 이다. \(\dfrac{2}{3}\) 이 근거 없이 뒤집힌 것이 아니라, 세는 단계와 묶는 단계를 합한 결과가 뒤집힌 형태로 나타난 것이다. 이것이 “뒤집어 곱한다”는 규칙의 근거이다.

역수라는 이름#

\[\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1\]

곱해서 \(1\) 이 되는 두 수를 서로 역수라고 한다. 나눗셈은 역수를 곱하는 연산이다. 명칭보다 앞에서 확인한 두 단계가 규칙의 근거이다.

이제 도입에서 제시한 물음에 답할 수 있다. \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}\) 의 값은 \(\dfrac{9}{8}\), 곧 \(1.125\) 이다. 원래의 \(\dfrac{3}{4} = 0.75\) 보다 크다. 의미로 보아도 결과가 일치한다. \(\dfrac{2}{3}\) 은 \(\dfrac{3}{4}\) 보다 작으므로, \(\dfrac{3}{4}\) 안에 \(\dfrac{2}{3}\) 이 한 번 들어가고 일부가 남는다. 따라서 값은 \(1\) 보다 조금 큰 수이다. 계산 전에 이 크기 판단을 먼저 하면 계산 결과의 오류를 스스로 검출할 수 있다.

의미에 따른 해석과 계산 규칙이 언제나 같은 값을 준다는 것을 한 번 더 확인한다. \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{5}{6}\) 은 “\(\dfrac{5}{6}\) 안에 \(\dfrac{5}{6}\) 이 몇 번 들어가나”이므로 값은 \(1\) 이다. 계산으로도 \(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{6}{5} = 1\) 이다. 의미와 계산은 항상 같은 값을 준다.

빈번한 오류#

분수 나눗셈에서 계산을 시작하지 못한다

\(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}\) 앞에서 계산을 시작하지 못한다. 절차만 익히고 의미를 함께 익히지 않은 경우에 나타난다. 절차는 \(20\) 년 정도가 지나면 남지 않으며, 의미를 모르면 절차를 복구할 근거도 없다. 대응 방법은 식을 문장으로 읽는 것이다: “\(\dfrac{3}{4}\) 안에 \(\dfrac{2}{3}\) 이 몇 번 들어가나.” 그다음 쉬운 것부터 단계를 밟는다 — \(1 \div \dfrac{1}{2}\) → \(1 \div \dfrac{1}{3}\) → \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{3}\) → \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}\). 절차는 의미가 확립된 뒤에 따라온다.

확인 문제: \(\dfrac{2}{3} \div \dfrac{1}{6}\) 을 계산하고 “안에 몇 번” 문장으로 읽어라. (답: \(4\) — “\(\dfrac{2}{3}\) 안에 \(\dfrac{1}{6}\) 이 \(4\) 번 들어간다.”)

곱셈인데 뒤집어 곱한다

\(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7}\) 를 \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{7}{2}\) 로 계산한다. 나눗셈을 배운 직후에 빈번하게 나타나는 오류이다. 새 절차가 앞의 절차를 덮어써서 곱셈과 나눗셈이 “분수 두 개 사이의 연산”으로 뭉뚱그려지기 때문이다. 곱셈과 나눗셈을 나란히 놓으면 차이가 분명하다.

\[\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{35} \qquad \frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{10}\]

같은 두 수이지만 값은 서로 다르다. 뒤집는 조작은 나눗셈에만 적용된다. 연산 기호를 먼저 소리 내어 읽고(“삼오 곱하기 이칠”) 계산을 시작한다.

확인 문제: \(\dfrac{4}{5} \times \dfrac{5}{6}\) 과 \(\dfrac{4}{5} \div \dfrac{5}{6}\) 을 연달아. (답: \(\dfrac{2}{3}\) 과 \(\dfrac{24}{25}\).)

“곱하면 커지고 나누면 작아진다”

\(1 \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\) 이라고 쓰거나, 옳게 계산한 뒤 값이 커졌다는 이유로 답을 지운다. 정수만 다루는 범위에서는 이 인식이 항상 성립했으므로 강하게 형성된다. 틀린 규칙이 아니라 적용 범위가 좁은 규칙이다. 나누는 수가 \(1\) 보다 작으면 값은 오히려 커진다. 피자 한 판을 크기 \(\dfrac{1}{2}\) 인 조각으로 분할하면 조각은 \(2\) 개이므로 \(1 \div \dfrac{1}{2} = 2\) 이다.

확인 문제: 계산하지 말고 예측만. \(8 \div \dfrac{1}{2}\) 은 \(8\) 보다 큰가, 작은가? (답: 크다. \(16\).)

대분수를 통째로 곱한다

\(2\dfrac{1}{2} \times 3 = 6\dfrac{1}{2}\) 이라고 쓴다. 정수부만 곱하고 분수부를 그대로 붙인 것이다. \(2\dfrac{1}{2}\) 를 “\(2\) 와 \(\dfrac{1}{2}\) 이라는 두 덩어리”로 읽었기 때문이다. \(2 + \dfrac{1}{2}\) 이라는 하나의 수로 읽어야 한다. \(2\dfrac{1}{2}\) 를 세 번 더하면 \(2\) 가 세 개이므로 \(6\), 반쪽이 세 개이므로 \(1.5\), 합은 \(7.5\) 이다 — \(6\dfrac{1}{2}\) 가 아니다. 대분수가 있으면 곱셈·나눗셈 전에 가분수로 바꾼다. 이 변환은 예외 없이 적용한다. \(2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\), \(\dfrac{5}{2} \times 3 = \dfrac{15}{2} = 7.5\).

확인 문제: \(1\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4}\). (답: \(1\) — \(\dfrac{4}{3} \times \dfrac{3}{4} = 1\).)

연습문제#

계산기를 사용하지 않는다. 각 문항에서 연산 기호를 먼저 소리 내어 읽고 계산을 시작한다. 풀리지 않는 문항은 표시하고 다음 문항으로 넘어간다 — 표시한 자리가 이후 다시 다룰 지점이다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

  1. A 계산하라. (1) \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7}\) (2) \(\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}\) (3) \(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10}\)

  2. A 계산하라. (1) \(\dfrac{7}{8} \times 4\) (2) \(6 \times \dfrac{2}{9}\)

  3. A 계산하라. \(1 \div \dfrac{2}{5}\)

  4. A 계산하라. \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}\)

  5. B 계산하라. (1) \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{9}\) (2) \(\dfrac{7}{12} \div \dfrac{7}{8}\)

  6. B 계산하라. \(2\dfrac{1}{2} \div \dfrac{3}{4}\)

  7. B 계산하기 전에 답이 \(\dfrac{5}{8}\) 보다 클지 작을지 먼저 쓰고, 그다음 계산하라. \(\dfrac{5}{8} \div \dfrac{3}{4}\)

  8. B 길이 \(\dfrac{3}{4}\) m인 리본을 한 사람당 \(\dfrac{1}{8}\) m씩 나눠주면 몇 명에게 줄 수 있나?

  9. B 쿠키 한 판에 밀가루 \(\dfrac{2}{3}\) 컵이 든다. 밀가루가 \(5\) 컵 있으면 몇 판까지 만들 수 있나?

  10. B 페인트 \(\dfrac{3}{4}\) 통으로 벽의 \(\dfrac{2}{5}\) 를 칠했다. 벽 전체를 칠하려면 페인트가 모두 몇 통 필요한가?

  11. C \(4\) 번의 답이 \(1\) 보다 크다. 계산을 쓰지 말고 왜 그런지 한두 문장으로 설명하라.

  12. C \(\left(\dfrac{1}{2} \div \dfrac{1}{3}\right) \div \dfrac{1}{4}\) 와 \(\dfrac{1}{2} \div \left(\dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{4}\right)\) 를 각각 계산하고, 결과를 비교해 알게 된 것을 한 줄로 쓰라.

정답과 해설

  1. (1) \(\dfrac{6}{35}\) (2) \(\dfrac{1}{6}\) — \(\dfrac{12}{72}\) 를 약분 (3) \(\dfrac{1}{4}\) — \(\dfrac{15}{60}\) 을 약분

  2. (1) \(\dfrac{7}{2}\) — \(\dfrac{28}{8}\) 을 약분 (2) \(\dfrac{4}{3}\) — \(\dfrac{12}{9}\) 를 약분

  3. \(\dfrac{5}{2}\) — “1 안에 \(\dfrac{2}{5}\) 가 두 번 반”. \(1 \times \dfrac{5}{2}\)

  4. \(\dfrac{9}{8}\) — \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{8}\). 이렇게 틀린다: \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}\) (뒤집는 조작을 누락) 또는 \(\dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{3}\) (앞의 수를 뒤집음). 뒤집는 대상은 뒤에 오는 수이다.

  5. (1) \(\dfrac{3}{4}\) — \(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60}\) (2) \(\dfrac{2}{3}\) — \(\dfrac{7}{12} \times \dfrac{8}{7} = \dfrac{8}{12}\)

  6. \(\dfrac{10}{3}\) (또는 \(3\dfrac{1}{3}\)) — 먼저 \(2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\). 그다음 \(\dfrac{5}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{20}{6}\). 이렇게 틀린다: 대분수를 그대로 두고 \(2 \div \dfrac{3}{4}\) 만 계산.

  7. 클 것이다 (\(\dfrac{3}{4} < 1\) 로 나누므로). 계산: \(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{6}\). 확인: \(\dfrac{5}{6} > \dfrac{5}{8}\) ✔

  8. 6명 — \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{4} \times 8 = 6\)

  9. 7판 — \(5 \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{15}{2} = 7.5\). 반 판은 만들 수 없으므로 7판, 밀가루 \(\dfrac{1}{3}\) 컵이 남는다.

  10. \(\dfrac{15}{8}\) 통 (약 1.875통, 실제로는 2통 필요) — \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}\). 이렇게 틀린다: \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5}\) 로 곱함. “벽의 일부를 칠하는 데 든 양”에서 “전체”를 구하는 연산은 나눗셈이다.

  11. 예시 답안: “\(\dfrac{2}{3}\) 이 \(\dfrac{3}{4}\) 보다 작으니까, \(\dfrac{3}{4}\) 안에 \(\dfrac{2}{3}\) 이 한 번은 들어가고 조금 남는다. 그래서 답은 1보다 조금 크다.” — 핵심은 두 수의 크기 비교를 언급하는 것이다. “1보다 작은 수로 나눠서”라고만 써도 부분 정답으로 인정한다.

  12. 앞의 것 \(= \dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2} \times 4 = 6\). 뒤의 것 \(= \dfrac{1}{2} \div \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}\). 알게 된 것: 나눗셈은 묶는 순서를 바꾸면 답이 달라진다(결합법칙이 성립하지 않는다). 그래서 괄호가 중요하다.

추가 연습문제#

곱셈과 나눗셈을 의도적으로 섞어 배열했다. 각 문항에서 연산 기호를 먼저 소리 내어 읽고 계산을 시작한다.

곱셈 기본

  1. \(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5}\) 2. \(\dfrac{2}{7} \times \dfrac{7}{8}\) 3. \(\dfrac{4}{5} \times \dfrac{5}{6}\) 4. \(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{5}{9}\) 5. \(9 \times \dfrac{2}{3}\) 6. \(\dfrac{5}{8} \times 4\) 7. \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}\) 8. \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5}\)

나눗셈 기본

  1. \(1 \div \dfrac{1}{6}\) 10. \(4 \div \dfrac{1}{2}\) 11. \(\dfrac{3}{5} \div \dfrac{1}{5}\) 12. \(\dfrac{7}{8} \div \dfrac{1}{4}\) 13. \(\dfrac{2}{3} \div 4\) 14. \(\dfrac{5}{9} \div \dfrac{5}{6}\) 15. \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8}\) 16. \(\dfrac{6}{7} \div \dfrac{3}{14}\)

혼합·대분수

  1. \(1\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}\) 18. \(2\dfrac{1}{4} \div \dfrac{3}{8}\) 19. \(3\dfrac{1}{3} \times 1\dfrac{1}{5}\) 20. \(\dfrac{5}{6} \div 2\dfrac{1}{2}\) 21. \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}\right) \times \dfrac{4}{5}\) 22. \(\left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\right) \div \dfrac{1}{8}\) 23. \(\dfrac{2}{5} \times \left(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{3}{8}\right)\) 24. \(\dfrac{7}{10} \div \dfrac{7}{10}\)

문장제·의미

  1. 주스 \(\dfrac{3}{4}\) L를 \(\dfrac{1}{6}\) L짜리 컵에 나눠 담으면 몇 컵이 나오는가? (가득 찬 컵의 개수와 남는 양을 함께 답하라)

  2. 어떤 일의 \(\dfrac{2}{5}\) 를 끝내는 데 \(3\) 시간이 걸렸다. 같은 속도로 계속하면 전체를 끝내는 데 모두 몇 시간이 걸리는가?

  3. 설탕 \(\dfrac{8}{9}\) kg을 \(\dfrac{2}{9}\) kg씩 봉지에 담으면 몇 봉지인가?

  4. 레시피에 우유 \(\dfrac{3}{4}\) 컵이 필요하다. 이 레시피의 \(\dfrac{2}{3}\) 배만 만들려면 우유가 얼마나 필요한가?

  5. \(A \div B\) 에서 \(B\) 가 \(1\) 보다 작으면 답은 \(A\) 보다 큰가 작은가? 왜 그런지 한 문장으로 쓰라.

  6. “\(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2}\) 인 이유”를 두 문장으로 쓰라. (본문의 두 단계 설명을 사용할 것)

정답과 해설

  1. \(\dfrac{1}{5}\) 2. \(\dfrac{1}{4}\) 3. \(\dfrac{2}{3}\) 4. \(\dfrac{1}{6}\) 5. \(6\) 6. \(\dfrac{5}{2}\) 7. \(\dfrac{1}{4}\) 8. \(\dfrac{4}{25}\)

  2. \(6\) 10. \(8\) 11. \(3\) 12. \(\dfrac{7}{2}\) 13. \(\dfrac{1}{6}\) 14. \(\dfrac{2}{3}\) 15. \(\dfrac{2}{3}\) 16. \(4\)

  3. \(1\) 18. \(6\) 19. \(4\) 20. \(\dfrac{1}{3}\) 21. \(\dfrac{2}{3}\) 22. \(2\) 23. \(\dfrac{4}{5}\) 24. \(1\)

  4. 4컵 가득, \(\dfrac{1}{12}\) L 남음 — \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{4} \times 6 = \dfrac{9}{2} = 4.5\), 즉 “네 컵 반”이다. 남는 양은 \(\dfrac{3}{4} - 4 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{12}\) L. 여기서 확인할 것: 나눗셈의 값 \(4.5\) 의 “\(.5\)”는 리터가 아니라 컵의 반이다. 단위를 놓치면 \(\dfrac{1}{2}\) L가 남는다고 답하게 된다.

  5. 7.5시간 (\(\dfrac{15}{2}\) 시간) — \(3 \div \dfrac{2}{5} = 3 \times \dfrac{5}{2}\). 이렇게 틀린다: \(3 \times \dfrac{2}{5}\) 로 곱해 1.2시간. 부분에서 전체로 가는 연산은 나눗셈이다.

  6. 4봉지 — \(\dfrac{8}{9} \div \dfrac{2}{9} = 4\). 분모가 같으면 분자끼리 나누어도 된다는 것도 함께 확인해 둔다.

  7. \(\dfrac{1}{2}\) 컵 — \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3}\). “\(\sim\) 배”는 곱셈이다.

  8. 크다. 예시 답안: “1보다 작은 조각으로 나누면 조각의 개수가 원래 수보다 많아지기 때문.”

  9. 예시 답안: “\(\dfrac{2}{3}\) 은 \(\dfrac{1}{3}\) 이 2개 모인 것이다. 그래서 먼저 \(\dfrac{3}{4}\) 안에 \(\dfrac{1}{3}\) 이 몇 개인지 세면 \(\times 3\) 이고, 그것을 2개씩 묶으면 \(\div 2\) 다. 두 걸음을 합치면 \(\times \dfrac{3}{2}\) 가 된다.”

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 두 문장이다. 분수의 곱셈은 넓이, 곧 조각의 조각이다. 분수의 나눗셈은 “안에 몇 번 들어가나”이다. 곱셈에서는 분자끼리·분모끼리 곱하는 규칙이 넓이 격자에서 그대로 유도되었고, 나눗셈에서는 세는 단계와 묶는 단계를 합한 결과가 “역수를 곱한다”는 형태로 나타났다. “뒤집어 곱한다”는 규칙은 암기 대상이 아니라 이 두 단계의 결과이다.

여기에 크기 판단 기준을 하나 추가했다. 나누는 수가 \(1\) 보다 작으면 답은 커진다. 계산 전에 이 판단을 먼저 하면 계산 결과의 오류를 스스로 검출할 수 있다.

다음 장에서는 이 장에서 다룬 \(\dfrac{3}{4}\) 을 \(0.75\) 로 표기하는 체계를 다룬다. 두 표기는 같은 수를 나타내며, 두 가지 표기가 존재하는 이유와 각각이 유리한 상황을 제4장에서 밝힌다.