제12장 · 지수법칙

제12장 · 지수법칙#

이 장

원본 코드

R2-W04

선행 내용

제11장 · 일차부등식

요지

지수는 ‘몇 번 곱했나’의 개수다. 곱하면 개수를 더하고(\(a^m a^n = a^{m+n}\)), 거듭하면 곱한다.

도입#

종이 한 장을 반으로 접으면 두 겹이 된다. 다시 접으면 네 겹, 한 번 더 접으면 여덟 겹이 된다. 실제로는 예닐곱 번에서 더 접히지 않는다. 일곱 번 접은 경우 겹의 수는

\[2^7 = 128\]

이다. 실제로는 접을 수 없으나, \(42\) 번 접은 경우를 계산한다. 종이 한 장의 두께를 \(0.1\) mm로 두면 접은 두께는 \(0.1 \times 2^{42}\) mm이고,

\[0.1 \times 2^{42}\ \text{mm} \ \approx \ 439{,}800\ \text{km}\]

이다. 이 값은 계산기 없이 단계적으로 확인할 수 있다. 필요한 값은 \(2^{10} = 1024 \approx 1000\) 하나이다.

\[2^{40} = 2^{10} \times 2^{10} \times 2^{10} \times 2^{10} \approx 1000 \times 1000 \times 1000 \times 1000 = 10^{12}\]

\(2^{42}\) 는 여기에 \(2\) 를 두 번 더 곱한 것, 곧 \(4\) 배이다.

\[2^{42} \approx 10^{12} \times 4 = 4 \times 10^{12}\]

여기에 종이 두께 \(0.1\) 을 곱하면 \(4 \times 10^{11}\) mm이다. 다음으로 단위를 옮긴다. \(1\) m는 \(1000\) mm, \(1\) km는 \(1000\) m이므로 mm에서 km로 가려면 \(1{,}000{,}000\) 으로 나눈다.

\[\frac{4 \times 10^{11}}{10^{6}} = 4 \times 10^{5} \ \text{km} = 40 \text{ 만 km}\]

어림값은 약 \(40\) 만 km이며, 앞의 \(439{,}800\) km와 일치한다. 값이 불확실하면 대입해서 확인하고, 큰 수는 단계를 나누어 어림한다.

달까지의 거리는 약 \(38\) 만 \(4\) 천 km이므로, \(42\) 번 접은 두께는 이 거리를 넘어선다. 거듭제곱은 이러한 크기의 증가를 만들며, 이를 다루는 규칙이 별도로 필요하다. 이 장에서 그 규칙을 정리한다.

규칙을 정리하기 전에 다음 식의 빈칸을 확인한다.

\[2^2 \times 2^3 = 2^{\,?}\]

여기에 가장 빈번하게 제시되는 답은 \(2^6\) 이다. 지수 \(2\) 와 \(3\) 을 곱해 \(6\) 을 얻은 것이다. 이 답에도 나름의 논리가 있다. 곱셈 문제이므로 지수도 곱한다는 논리이다. 이 장에서는 그 논리가 성립하는지 풀어 써서 확인한다. 결론을 먼저 밝히면 답은 \(2^6\) 이 아니다.

지수는 개수다#

\(a^m\) 은 “\(a\) 를 \(m\) 개 곱했다”는 기록이다.

\[a^m \ = \ \text{“} a \text{ 를 } m \text{ 개 곱한 것”}\]

지수는 크기가 아니라 개수다. 이 정의에서 이 장의 법칙 네 개가 모두 나오므로 법칙을 개별적으로 암기할 필요가 없다. 개수를 세면 얻어진다. 지수의 처리가 불분명한 경우에 할 일은 하나이다 — 풀어 쓴다.

곱하면 개수를 더한다#

도입의 \(2^2 \times 2^3\) 으로 돌아간다. 어떤 규칙도 적용하지 않고 그대로 풀어 쓴다.

\[2^2 \cdot 2^3 \ = \ (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)\]

이 상태에서 \(2\) 의 개수를 센다. \(2\) 는 다섯 개이다.

\[= \ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \ = \ 2^5\]

\(2^6\) 이 아니라 \(2^5\) 이다. \(2\) 개짜리 묶음과 \(3\) 개짜리 묶음을 이어 붙였으므로 \(2 + 3 = 5\) 개이다. 곱한 것이 아니라 더한 것이다.

구체적인 수로 확인한다.

\[2^2 \cdot 2^3 = 4 \times 8 = 32 \qquad 2^5 = 32 \qquad 2^6 = 64\]

값은 \(32\) 이고 \(64\) 가 아니다. 수치가 앞의 결론을 확인한다.

이제 문자로 일반화한다.

\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]

\(m\) 개 곱한 것에 \(n\) 개 곱한 것을 이어 붙이면 \(m + n\) 개이다. 지수가 개수이므로 개수끼리 더한다. 새 규칙을 도입한 것이 아니라, 앞에서 센 결과를 문자로 표현한 것이다.

단, 조건이 하나 붙는다. 밑이 같을 때만 성립한다. 위 식에서 왼쪽도 \(a\), 오른쪽도 \(a\) 인 것은 우연이 아니다. 지수는 개수이고, 개수를 더하려면 세는 대상이 같아야 한다. 사과 두 개와 사과 세 개는 사과 다섯 개이지만, 사과 두 개와 배 세 개는 하나의 대상으로 셀 수 없다.

\[2^3 \cdot 3^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2)(3 \cdot 3) = 8 \times 9 = 72\]

풀어 쓰면 \(2\) 와 \(3\) 이 섞여 있어 하나의 거듭제곱으로 묶을 수 없다. 값은 \(72\) 이며, \(2^5 = 32\) 도 아니고 \(6^5 = 7776\) 도 아니다. 셋은 서로 다른 수이다. 밑이 다르면 더 간단히 할 수 없다. \(2^3 \cdot 3^2\) 이 이미 가장 간단한 꼴이다.

조건을 생략한 규칙은 오류를 낳는다. 이 법칙을 “곱하면 지수를 더한다”로만 기억하면 밑이 다른 경우에도 지수를 더해 합치는 오류가 발생한다. “밑이 같을 때, 곱하면 지수를 더한다” 로 조건까지 함께 기억한다.

여기서 한 가지를 구분한다. 이 법칙은 곱셈에 대한 법칙이지 덧셈에 대한 법칙이 아니다. \(x^3 + x^3\) 은 \(x^6\) 이 아니다. \(x^3\) 이 둘이므로 \(2x^3\) 이다. 사과 세 개가 든 상자 하나에 사과 세 개가 든 상자 하나를 더하면 상자가 둘이 되는 것과 같다. 이것은 동류항 정리이지 지수법칙이 아니다.

나누면 개수를 뺀다#

같은 방법을 적용한다. 풀어 쓰는 것이 핵심이다.

\[\frac{2^5}{2^3} \ = \ \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2}\]

위아래에 같은 \(2\) 가 세 쌍 있어 약분된다. 남는 개수는 다음과 같다.

\[= \ 2 \cdot 2 \ = \ 2^2\]
\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]

위에서 \(m\) 개, 아래에서 \(n\) 개가 짝을 지어 사라진다. 남는 개수는 \(m - n\) 이다. 나눗셈은 개수의 빼기이다.

여기에도 같은 조건이 붙는다. 밑이 같을 때만 성립한다. 위아래가 같은 수여야 짝을 지어 약분되기 때문이다. \(\dfrac{3^5}{2^3}\) 은 밑이 \(3\) 과 \(2\) 이므로 짝을 지을 수 없고, 지수를 뺄 수 없다.

따라서 문자가 여럿이면 문자별로 따로 센다. \(x\) 는 \(x\) 끼리, \(y\) 는 \(y\) 끼리 처리하고 섞지 않는다. 이는 새로운 지시가 아니라 앞의 조건에서 따라 나오는 결과이다.

\[\frac{x^7 y^3}{x^3 y^5} = x^{7-3} \cdot y^{3-5} = x^4 y^{-2} = \frac{x^4}{y^2}\]

여기서 \(y^{-2}\) 가 나타났다. 현재 단계에서는 “\(y\) 가 분모에 \(2\) 개 남았다”로 읽는다. 음의 지수의 정확한 의미는 뒤의 절에서 다룬다.

거듭하면 개수를 곱한다#

\[(2^3)^2 \ = \ 2^3 \cdot 2^3 \ = \ (2 \cdot 2 \cdot 2)(2 \cdot 2 \cdot 2) \ = \ 2^6\]

\(2^3\) 짜리 묶음이 두 개이다. 한 묶음에 \(2\) 가 세 개이므로 전체는 \(3 \times 2 = 6\) 개이다.

\[(a^m)^n = a^{mn}\]

지수에 곱셈이 나타나는 것은 이 법칙에서이다. 묶음을 통째로 반복했으므로 개수가 곱해진다. 혼동이 빈번한 두 법칙을 나란히 제시한다.

\[a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \text{vs} \qquad (a^m)^n = a^{mn}\]

옆으로 이어 붙이면 더하기, 통째로 반복하면 곱하기이다. 구분이 불분명하면 다시 풀어 쓴다. 풀어 쓰면 개수가 직접 확인된다.

괄호는 전체에 걸린다#

\[(2x)^3 = (2x)(2x)(2x) = (2 \cdot 2 \cdot 2)(x \cdot x \cdot x) = 8x^3\]

괄호 안 전체가 세 번 반복되므로 \(2\) 도 세 번, \(x\) 도 세 번이다. 그 결과는 \(8x^3\) 이다. 이것은 \(2x^3\) 과 다르다. \(2x^3\) 은 \(x\) 만 세제곱한 것이다. \(x = 1\) 을 대입하면 앞은 \(8\), 뒤는 \(2\) 이다. 서로 다른 수이다.

\[(ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]

오른쪽 식도 풀어 쓴다. 분수에서는 분자만 처리하고 분모를 누락하는 오류가 빈번하다.

\[\left(\frac{a}{b}\right)^3 = \frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b} = \frac{a \cdot a \cdot a}{b \cdot b \cdot b} = \frac{a^3}{b^3}\]

분수 세 개를 곱하면 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱해진다. 분자도 세 개, 분모도 세 개이다. 분모만 제외할 수 없다.

구체적인 수로 확인한다.

\[\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9 \qquad \frac{6^2}{2^2} = \frac{36}{4} = 9 \qquad \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18\]

앞의 둘은 \(9\) 로 같고, 분모를 제곱하지 않은 마지막 것만 \(18\) 이다. 판단이 불분명하면 이 절의 절차를 그대로 적용한다 — 다시 풀어 쓴다.

\((3y^2)^2\) 을 예로 든다. 괄호 안에 \(3\) 과 \(y^2\) 두 부분이 있고, 둘 다 제곱된다.

\[(3y^2)^2 = 3^2 \cdot (y^2)^2 = 9 \cdot y^{2 \times 2} = 9y^4\]

패턴을 아래로 — 영지수와 음의 지수#

지수가 \(0\) 이거나 음수인 경우의 의미를 정한다. 새 규칙을 도입하지 않고, 이미 성립하는 패턴을 아래로 한 칸씩 연장한다.

\[2^3 = 8 \qquad 2^2 = 4 \qquad 2^1 = 2\]

한 줄 내려갈 때마다 값이 \(2\) 로 나눠진다. 곱한 \(2\) 를 하나 줄이는 것이므로 이 결과가 나온다. 이 규칙을 유지한 채 계속 내려가면 다음과 같다.

식

값

앞 줄에서 무엇이 바뀌었나

\(2^3\)

\(8\)

—

\(2^2\)

\(4\)

지수 \(1\) 감소, 값은 \(2\) 로 나눠짐

\(2^1\)

\(2\)

지수 \(1\) 감소, 값은 \(2\) 로 나눠짐

\(2^0\)

\(1\)

지수 \(1\) 감소, 값은 \(2\) 로 나눠짐

\(2^{-1}\)

\(\dfrac{1}{2}\)

지수 \(1\) 감소, 값은 \(2\) 로 나눠짐

\(2^{-2}\)

\(\dfrac{1}{4}\)

지수 \(1\) 감소, 값은 \(2\) 로 나눠짐

\(2^{-3}\)

\(\dfrac{1}{8}\)

지수 \(1\) 감소, 값은 \(2\) 로 나눠짐

오른쪽 열에 예외가 한 줄도 없다. 새 규칙을 만든 것이 아니라, 기존 규칙을 유지한 결과이다. \(2^0\) 이 \(1\) 인 것은 임의로 정한 값이어서가 아니라, \(1\) 이 아니면 패턴이 유지되지 않기 때문이다.

여기서 두 가지 오류가 함께 정정된다. 먼저 \(2^0\) 은 \(0\) 이 아니다. \(4, 2\) 다음이 \(0\) 이면 그 아래는 \(0 \div 2 = 0\) 이 되어 표 전체가 성립하지 않는다. 다음으로 \(2^{-1}\) 은 \(-2\) 가 아니다. 지수의 마이너스는 값의 마이너스가 아니라 반대 방향, 곧 나누기를 뜻한다. 값은 계속 양수이며, 작아질 뿐 \(0\) 아래로 내려가지 않는다.

패턴에서 끝내지 않고, 앞의 나눗셈 법칙과 어긋나지 않음을 확인한다.

\[\frac{2^3}{2^3} = 1 \quad (\text{같은 수를 같은 수로 나눴으니까})\]
\[\frac{2^3}{2^3} = 2^{3-3} = 2^0 \quad (\text{나눗셈 법칙을 쓰면})\]

같은 것을 두 방법으로 계산했는데 하나는 \(1\), 하나는 \(2^0\) 이다. 따라서 \(2^0 = 1\) 이 성립한다. 다른 값은 두 계산을 동시에 만족시키지 못한다.

음의 지수도 같은 방식으로 확인된다.

\[\frac{2^2}{2^5} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{2^3} \quad (\text{풀어 써서 약분})\]
\[\frac{2^2}{2^5} = 2^{2-5} = 2^{-3} \quad (\text{나눗셈 법칙})\]
\[\therefore \ 2^{-3} = \frac{1}{2^3}\]
\[a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad a^0 = 1 \ (a \ne 0)\]

음의 지수는 분수의 반대쪽으로 이동하라는 표시이다. 분자에 있던 것은 분모로, 분모에 있던 것은 분자로 옮긴다.

\(\dfrac{1}{a^{-2}}\) 를 음의 지수 없이 나타낸다. \(a^{-2}\) 는 이미 분모로의 이동을 뜻하고, 그것이 다시 분모에 있다. 분모의 분모는 분자이다.

\[\frac{1}{a^{-2}} = \frac{1}{\ \frac{1}{a^2}\ } = a^2\]

\((2x^2)^3 \cdot x^{-4}\) 는 다음 순서로 계산한다. 먼저 괄호를 풀고, 그다음은 곱셈이므로 지수를 더한다.

\[(2x^2)^3 = 2^3 \cdot x^{6} = 8x^6\]
\[8x^6 \cdot x^{-4} = 8x^{6+(-4)} = 8x^2\]

덧셈 규칙은 지수가 음수인 경우에도 그대로 성립한다. \(6 + (-4) = 2\) 이며, 앞에서 다룬 음수의 덧셈과 동일하다.

칸 사이로 — 분수 지수#

지금까지는 지수를 정수로만 다뤘다. 지수가 \(\dfrac{1}{2}\) 인 경우의 의미를 정한다. 이번에는 표의 아래쪽이 아니라 정수와 정수 사이를 다룬다. (여기서는 \(x\) 를 양수로 본다.)

곱셈 법칙 \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) 이 분수 지수에서도 유지된다고 둔다. 그러면 \(x^{1/2}\) 을 두 번 곱할 때 지수를 더해 다음이 성립한다.

\[x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^{\frac12 + \frac12} = x^1 = x\]

따라서 \(x^{1/2}\) 은 두 번 곱하면 \(x\) 가 되는 수이다. 이 조건을 만족하는 수는 앞에서 다룬 제곱근이다.

\[x^{1/2} = \sqrt{x}\]

임의로 정한 정의가 아니다. 지수법칙을 유지하려면 이 값 이외의 값은 불가능하다. \(2^0 = 1\) 을 얻을 때와 동일한 논리이다.

세제곱근도 같은 방식으로 나온다.

\[x^{1/3} \cdot x^{1/3} \cdot x^{1/3} = x^{\frac13 + \frac13 + \frac13} = x^1 = x\]
\[x^{1/3} = \sqrt[3]{x}\]

분모가 몇 제곱근인지를 나타낸다. \(\dfrac12\) 이면 제곱근, \(\dfrac13\) 이면 세제곱근이다.

음의 지수와 결합한 경우도 새 규칙이 아니라 앞의 두 규칙을 겹친 것이다.

\[x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\]

마이너스는 분모로의 이동, \(\dfrac12\) 은 제곱근을 뜻한다. 두 규칙을 순서대로 적용한 결과이며, 별도로 외울 규칙이 아니다.

계산기 없이 확인되는 값으로 점검한다.

\[9^{1/2} = 3 \qquad 8^{1/3} = 2 \qquad 4^{-1/2} = \frac{1}{2}\]

\(9^{1/2}\) 을 \(4.5\) 로 계산하는 것은 \(9 \times \dfrac12\) 을 계산한 것이다. 지수는 곱하는 수가 아니라 개수를 적는 자리이다. \(3 \times 3 = 9\) 이므로 \(9^{1/2} = 3\) 이다.

이 변환은 이 장에서만 쓰이지 않는다. 이후 미분에서 \(\sqrt{x}\) 를 다루려면 \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) 라는 변환이 필요하다. 이 변환이 정착되지 않으면 미분 계산에서 동일한 지점에서 막힌다. 이 절의 내용을 확실히 해 두면 그 단계에서 추가 부담이 생기지 않는다.

빈번한 오류#

“곱셈이니까 지수도 곱한다”

\(2^2 \cdot 2^3 = 2^6\), \(x^3 \cdot x^4 = x^{12}\) 처럼 쓰는 것. 이 장에서 가장 빈번한 오류 중 하나이다. 원인은 눈에 보이는 곱셈 기호를 지수 자리에 그대로 옮기는 데 있다. 또한 \((a^m)^n = a^{mn}\) 처럼 실제로 지수를 곱하는 법칙이 따로 있어서, 두 법칙이 하나로 저장된다. 교정은 정정만으로 되지 않고 풀어 쓰기가 필요하다. \(2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2)(2 \cdot 2 \cdot 2)\) 에서 \(2\) 를 세면 다섯 개이다. 옆으로 이어 붙이면 더하기, 통째로 반복하면 곱하기이다.

확인 문제: \(x^5 \cdot x^3\) 과 \((x^5)^3\) 을 각각 구하라. (답: \(x^8\), \(x^{15}\). 서로 다르다.)

“지수가 0이면 0, 지수가 음수면 음수”

\(4^0 = 0\), \(2^{-1} = -2\), \(x^{-3} = -x^3\) 처럼 쓰는 것. \(0\) 과 마이너스의 일상적 의미가 지수 자리에 적용된 것이다. 지수는 값이 아니라 곱한 횟수와 방향을 적는 자리이다. 표를 채워 보면 \(2^0\) 이 \(0\) 인 경우 그 아래가 모두 \(0\) 이 되어 패턴이 성립하지 않는다. 마이너스 지수는 음수가 아니라 분모로의 이동, 곧 나누기를 뜻한다. 값은 계속 양수이다.

확인 문제: \(4^0\) 과 \(4^{-1}\) 은 각각 얼마인가? (답: \(1\) 과 \(\tfrac14\). 둘 다 양수다.)

\((a+b)^2 = a^2 + b^2\) 이라고 쓴다

\((ab)^n = a^n b^n\) 을 배운 직후에는 “지수를 괄호 안으로 나눠 넣기”가 특히 강하게 작용한다. 그러나 지수가 안으로 분배되는 것은 곱셈일 때뿐이고, 덧셈일 때는 성립하지 않는다. 계산기 없이 확인된다: \((3+4)^2 = 49\), \(3^2 + 4^2 = 25\). 차이는 \(24\) 이다. 이 \(24\) 가 어디서 왔는지는 제13장에서 다룬다. 이 장에서는 두 식이 다르다는 사실까지 확인한다.

확인 문제: \((5+2)^2\) 은 \(5^2 + 2^2\) 과 같은가? (답: 다르다. \(49\) 와 \(29\).)

\(3x^2\) 과 \((3x)^2\) 을 같게 본다

\((2a)^4 = 2a^4\) 이라고 쓰거나, \(-2^2\) 과 \((-2)^2\) 을 둘 다 \(4\) 라고 쓰는 것. 괄호를 “묶는 표시”로만 보고 “지수가 걸리는 범위를 정하는 표시”로 읽지 않은 결과이다. \((3x)^2 = (3x)(3x) = 9x^2\) 은 \(3x\) 전체를 제곱한 것이고, \(3x^2 = 3 \cdot x \cdot x\) 는 \(x\) 만 제곱한 뒤 \(3\) 을 곱한 것이다. 계산에 들어가기 전에 지수가 걸리는 범위를 먼저 확인한다. \(-2^2\) 은 지수가 \(2\) 에만 걸려 \(-(2 \times 2) = -4\) 이고, \((-2)^2\) 은 마이너스까지 묶여 \(4\) 이다.

확인 문제: \((2x)^3\) 과 \(2x^3\) 을 \(x = 1\) 일 때 각각 구하라. (답: \(8\) 과 \(2\).)

연습문제#

계산기를 쓰지 않는다. 판단이 불분명한 문항은 반드시 풀어 써서 센다. 지수가 \(3\) 이면 세 개를 모두 쓴다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

  1. A 하나의 거듭제곱으로 나타내라. (1) \(x^4 \cdot x^6\) (2) \(a^2 \cdot a^2 \cdot a^2\) (3) \(y^9 \div y^4\)

  2. A 간단히 하라. (1) \((x^5)^2\) (2) \((m^3)^3\) (3) \((2a)^4\)

  3. A 간단히 하라. (1) \(4^0\) (2) \(x^{-3}\) 을 분수로 (3) \(\dfrac{1}{y^{-2}}\)

  4. A \(2^{-2}\) 를 분수로 나타내라.

  5. B 간단히 하라. (1) \(\dfrac{x^7 y^3}{x^3 y^5}\) (2) \((3x^2y)^3\)

  6. B 간단히 하라. \(\dfrac{(2a^3)^2}{4a^{-1}}\)

  7. B 다음 중 옳은 것을 모두 고르고, 틀린 것은 바르게 고쳐라. (1) \(x^3 \cdot x^4 = x^{12}\) (2) \((x^3)^4 = x^{12}\) (3) \(x^3 + x^3 = x^6\) (4) \(x^3 + x^3 = 2x^3\)

  8. B 세균 한 마리가 \(20\) 분마다 \(2\) 배로 늘어난다. (1) \(2\) 시간 뒤에는 몇 마리인가? (2) 그 수를 \(2\) 의 거듭제곱으로 쓰라.

  9. B 두께 \(0.1\) mm인 종이를 \(10\) 번 접으면 두께는 몇 mm인가? \(2\) 의 거듭제곱을 써서 식을 세운 뒤 값을 구하라.

  10. B \(1\) KB는 \(2^{10}\) 바이트, \(1\) MB는 \(2^{10}\) KB다. \(1\) MB는 몇 바이트인가? 먼저 \(2\) 의 거듭제곱으로 답하고, 그다음 실제 수를 구하라.

  11. C 음의 지수 없이 나타내라. \(\dfrac{x^{-2} y^3}{x^4 y^{-1}}\)

  12. C \(a^0 = 1\) 인 이유를, \(\dfrac{a^3}{a^3}\) 을 두 가지 방법으로 계산해서 설명하라. (\(a \ne 0\))

  13. C \((x+y)^2\) 과 \(x^2 + y^2\) 은 같은 식인가? \(x=1\), \(y=1\) 을 넣어 확인하고, 결론을 한 줄로 쓰라.

정답과 해설

  1. (1) \(x^{10}\) (2) \(a^6\) — \(2+2+2=6\) (3) \(y^5\)

  2. (1) \(x^{10}\) — 묶음의 반복이므로 \(5 \times 2\) (2) \(m^9\) (3) \(16a^4\) — 괄호 안 전체가 \(4\) 번. 이렇게 틀린다: \(2a^4\) (\(2\) 를 거듭제곱하지 않음)

  3. (1) \(1\) (2) \(\dfrac{1}{x^3}\) (3) \(y^2\) — 분모의 분모는 분자

  4. \(\dfrac{1}{4}\) — 이렇게 틀린다: \(-4\) 또는 \(-\dfrac14\). 지수의 마이너스는 값의 부호가 아니다.

  5. (1) \(\dfrac{x^4}{y^2}\) — \(x^{7-3}y^{3-5} = x^4y^{-2}\) (2) \(27x^6y^3\) — \(3\) 도 세제곱된다

  6. \(a^7\) — 분자 \(= 4a^6\). \(\dfrac{4a^6}{4a^{-1}} = a^{6-(-1)} = a^7\). 이렇게 틀린다: \(a^5\) (지수의 마이너스를 빼기로 한 번 더 처리)

  7. 옳은 것은 (2)와 (4). (1)은 \(x^7\) 로 고친다(옆으로 이어 붙였으므로 더하기). (3)은 \(2x^3\) 으로 고친다(덧셈에는 지수법칙이 적용되지 않는다).

  8. (1) 64마리 (2) \(2^6\) — \(2\) 시간은 \(120\) 분, \(20\) 분마다 배가되므로 \(6\) 번. \(2^6 = 64\). 이렇게 틀린다: \(2 \times 6 = 12\) 마리.

  9. \(0.1 \times 2^{10} = 0.1 \times 1024 = 102.4\) mm — 약 \(10\) cm다. 도입에서 다룬 \(42\) 번 접기의 두께가 어떻게 커지는지를 같은 방식으로 확인할 수 있다.

  10. \(2^{10} \times 2^{10} = 2^{20}\) 바이트 \(= 1{,}048{,}576\) 바이트. 이렇게 틀린다: \(2^{100}\) (지수를 곱함). 옆으로 이어 붙인 것이므로 더하기다.

  11. \(\dfrac{y^4}{x^6}\) — \(x^{-2-4} = x^{-6}\), \(y^{3-(-1)} = y^4\). 검산: \(x=2, y=3\) 을 넣으면 양쪽 다 \(\dfrac{81}{64}\).

  12. 방법 1: 같은 수를 같은 수로 나눴으므로 \(\dfrac{a^3}{a^3} = 1\). 방법 2: 나눗셈 법칙으로 \(a^{3-3} = a^0\). 두 결과가 같아야 하므로 \(a^0 = 1\). — 핵심은 **”두 방법의 결과가 일치하려면 \(1\) 이어야 한다”**는 서술이 포함되는 것이다.

  13. 같지 않다. \((1+1)^2 = 4\), \(1^2 + 1^2 = 2\). 결론 예시: “제곱은 괄호 안을 하나로 묶어서 걸리는 것이라, 항마다 따로 나눠서 할 수 없다.” — 이 차이는 제13장에서 다룬다.

추가 연습문제#

규칙 적용이 불분명한 문항은 반드시 풀어 써서 센다. 풀이 과정을 기록해 두면 오류가 발생한 지점을 확인할 수 있다.

  1. \(x^3 \cdot x^5\) 2. \(a^4 \cdot a\) 3. \(2^3 \cdot 2^4\) (거듭제곱 꼴과 실제 값 둘 다) 4. \(y^7 \div y^3\) 5. \(\dfrac{m^6}{m^6}\) 6. \(x^2 \cdot x^3 \cdot x^4\) 7. \(3^5 \div 3^2\) (실제 값까지) 8. \(b^{10} \div b^7\)

  2. \((x^3)^4\) 10. \((a^2)^5\) 11. \((2x)^3\) 12. \((3y^2)^2\) 13. \(\left(\dfrac{x}{2}\right)^3\) 14. \((-2a^3)^2\) 15. \((x^2 y^3)^4\) 16. \(\left(\dfrac{2a^2}{b}\right)^3\)

  3. \(5^0\) 18. \((7x)^0\) (단 \(x \ne 0\)) 19. \(2^{-3}\) 을 분수로 20. \(x^{-4}\) 를 분수로 21. \(\dfrac{1}{a^{-2}}\) 22. \(3^{-2}\) 를 분수로 23. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}\) 24. \(10^{-2}\) 를 분수와 소수로

  4. \(\dfrac{x^5 \cdot x^2}{x^3}\) 26. \((2x^2)^3 \cdot x^{-4}\) 27. \(\dfrac{(a^3)^2}{a^{-1}}\) 28. \(\dfrac{6x^5 y^2}{2x^2 y^5}\) (음의 지수 없이)

  5. \(2^2 \cdot 2^3\) 을 실제로 계산한 뒤, \(2^5\) 과 \(2^6\) 중 어느 것과 같은지 밝히고 왜 그런지 한 문장으로 쓰라.

  6. \((3+4)^2\) 과 \(3^2 + 4^2\) 을 각각 계산하고 비교하라. 두 값의 차이는 얼마인가?

  7. \(\sqrt{x}\) 를 지수 꼴로 고쳐 써라.

  8. \(x^{1/3}\) 을 루트 기호로 고쳐 써라.

  9. \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) 를 지수 하나로 고쳐 써라.

  10. \(36^{1/2}\) 과 \(64^{1/3}\) 의 값을 각각 구하라.

  11. \(x^{1/2} \cdot x^{1/2}\) 과 \(\left(x^{1/2}\right)^{2}\) 을 각각 지수법칙으로 계산하고, 두 결과가 같은 이유를 한 문장으로 쓰라.

정답과 해설

  1. \(x^8\) 2. \(a^5\) 3. \(2^7 = 128\) 4. \(y^4\) 5. \(1\) 6. \(x^9\) 7. \(3^3 = 27\) 8. \(b^3\)

  2. \(x^{12}\) 10. \(a^{10}\) 11. \(8x^3\) 12. \(9y^4\) 13. \(\dfrac{x^3}{8}\) 14. \(4a^6\) 15. \(x^8 y^{12}\) 16. \(\dfrac{8a^6}{b^3}\)

  3. \(1\) 18. \(1\) 19. \(\dfrac{1}{8}\) 20. \(\dfrac{1}{x^4}\) 21. \(a^2\) 22. \(\dfrac{1}{9}\) 23. \(\dfrac{3}{2}\) 24. \(\dfrac{1}{100} = 0.01\)

  4. \(x^4\) 26. \(8x^2\) 27. \(a^7\) 28. \(\dfrac{3x^3}{y^3}\)

  • 5번 이렇게 틀린다: \(0\). 같은 수를 같은 수로 나누면 \(1\) 이다. 법칙으로도 \(m^{6-6} = m^0 = 1\).

  • 13번 이렇게 틀린다: \(\dfrac{x^3}{2}\). 분모의 \(2\) 도 세제곱된다.

  • 14번 이렇게 틀린다: \(-4a^6\). 마이너스까지 괄호 안에 있으므로 제곱되면서 양수가 된다. 짝수 제곱은 부호를 지운다.

  • 18번: \(x \ne 0\) 이면 괄호 안이 무엇이든 \(0\) 제곱은 \(1\) 이다. 이렇게 틀린다: \(7x\) 또는 \(7\).

  • 23번 이렇게 틀린다: \(-\dfrac23\). 음의 지수는 뒤집기다. \(\left(\dfrac23\right)^{-1} = \dfrac{1}{\ \frac23\ } = \dfrac32\). 역수가 여기서 다시 나온다.

  • 27번: 분모의 \(a^{-1}\) 을 빼면 \(6 - (-1) = 7\). 이렇게 틀린다: \(a^5\).

  • 28번: 계수 \(6 \div 2 = 3\), \(x^{5-2} = x^3\), \(y^{2-5} = y^{-3}\) 이므로 \(y\) 는 분모로 내려간다.

  1. \(2^5\) 과 같다. \(2^2 \cdot 2^3 = 4 \times 8 = 32\) 이고 \(2^5 = 32\), \(2^6 = 64\). 이유 예시: “\(2\) 가 \(2\) 개인 묶음과 \(3\) 개인 묶음을 이어 붙이면 \(2\) 가 모두 \(5\) 개이기 때문.” — 핵심은 개수를 더한다는 말이 들어가는 것.

  2. \((3+4)^2 = 49\), \(3^2+4^2 = 25\), 차이는 \(24\). 두 값은 다르다. 이 \(24\) 가 어디서 나왔는지는 제13장에서 다룬다.

  3. \(x^{1/2}\) 32. \(\sqrt[3]{x}\) 33. \(x^{-1/2}\) 34. \(36^{1/2} = 6\), \(64^{1/3} = 4\)

  • 33번 이렇게 틀린다: \(x^{1/2}\) 로 쓰고 마이너스를 빠뜨린다. 또는 \(-x^{1/2}\) 로 쓴다. 분모에 있으므로 분모로의 이동을 뜻하는 마이너스가 지수에 붙는다. 값이 음수가 되는 것이 아니다.

  • 34번 이렇게 틀린다: \(36 \times \dfrac12 = 18\), \(64 \times \dfrac13\). 지수는 곱하는 수가 아니다. 검산은 거꾸로 한다. \(6 \times 6 = 36\), \(4 \times 4 \times 4 = 64\).

  1. 둘 다 \(x\) 다. \(x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^{\frac12+\frac12} = x^1 = x\) (곱셈 법칙, 지수를 더한다). \(\left(x^{1/2}\right)^2 = x^{\frac12 \times 2} = x^1 = x\) (거듭제곱 법칙, 지수를 곱한다). 이유 예시: “옆으로 두 번 붙이든 묶음을 두 번 반복하든, \(x\) 를 반 개씩 두 번 모은 것이라 결국 \(x\) 한 개가 되기 때문.” — 핵심은 두 법칙이 서로 어긋나지 않는다는 말이 들어가는 것. 어긋난다면 \(x^{1/2} = \sqrt{x}\) 라는 정의 자체가 성립하지 않는다.

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 한 문장이다. 지수는 개수다. 이 문장에서 법칙 네 개가 모두 나온다 — 옆으로 곱하면 개수를 더하고(\(a^m a^n = a^{m+n}\)), 나누면 빼고(\(a^m / a^n = a^{m-n}\)), 통째로 거듭하면 곱하고(\((a^m)^n = a^{mn}\)), 괄호는 전체에 걸린다(\((ab)^n = a^n b^n\)). 영지수와 음의 지수, 그리고 분수 지수도 새 규칙이 아니라 이 패턴을 유지한 결과이다. \(a^0 = 1\) 이고, 음의 지수는 분모로의 이동, 분수 지수는 근호를 뜻한다.

마지막 연습문제에서 확인한 \((x+y)^2 \ne x^2 + y^2\) 은 다음 장으로 이어진다. \((3+4)^2 = 49\) 이고 \(3^2 + 4^2 = 25\) 이므로 차이는 \(24\) 이다. 이 \(24\) 가 발생하는 이유는 제13장에서 다항식의 곱셈을 다루며, 괄호 안이 덧셈일 때 제곱을 어떻게 풀어 써야 하는지와 함께 밝힌다.