제13장 · 다항식의 곱셈 (전개)#
이 장
원본 코드 |
R2-W05 |
선행 내용 |
제12장(지수법칙) |
요지 |
괄호를 푸는 것은 넓이를 나눠 세는 일이다. \((a+b)^2\) 은 \(a^2+b^2\) 이 아니라 \(a^2+2ab+b^2\) 이다. |
도입#
다음 상황을 계산 없이 확인한다. 한 변이 \(3\) m인 정사각형 방 바닥에 \(1 \text{ m} \times 1 \text{ m}\) 타일을 깔면 \(9\) 장이 들어간다.
이 방을 넓힌다. 가로도 \(4\) m, 세로도 \(4\) m 늘려 한 변 \(7\) m짜리 방으로 만든다. 추가로 필요한 타일의 수를 구한다.
이때 \(16\) 장이라고 답하는 경우가 많다. 늘린 부분을 \(4 \times 4\) 짜리 정사각형 하나로만 센 결과이다. 그 조각은 실제로 필요하지만, 그것만으로는 방이 채워지지 않는다. 실제로 필요한 타일은 다음과 같다.
\(16\) 이 아니라 \(40\) 이다. \(24\) 장이 추가로 필요하다. 식으로 쓰면 차이가 더 분명해진다.
\((3+4)^2\) 을 \(3^2 + 4^2\) 으로 계산하면 \(16\) 장이라는 답이 나온다. 이 \(24\) 가 어떤 모양의 조각인지, 그리고 \((a+b)^2\) 이 \(a^2+b^2\) 이 아닌 이유는 이 장의 넓이격자로 확인한다.
곱셈은 직사각형의 넓이다#
곱셈은 직사각형의 넓이다. 괄호가 있는 곱셈은 그 직사각형을 여러 조각으로 나눠 센 것이다. 빠뜨린 조각이 없으면 전개가 완료된다. 이 문장이 이 장의 기준이 된다.
먼저 가로가 \(b+c\), 세로가 \(a\) 인 직사각형을 본다. 가로를 두 도막으로 나누고 각 칸의 넓이를 적는다.
전체 넓이는 두 가지 방법으로 셀 수 있다. 하나는 통째로 가로 \(b+c\) 에 세로 \(a\) 를 곱한 \(a(b+c)\) 이고, 다른 하나는 조각별로 센 \(ab\) 와 \(ac\) 이다. 같은 넓이이므로 두 값은 같다.
이것이 분배법칙이다. 규칙으로 외운 것을 그림으로 다시 보면, 분배법칙은 넓이를 자르고 세는 절차이다.
이제 가로와 세로를 모두 나눈다. 가로를 \(a\) 와 \(b\) 로, 세로를 \(c\) 와 \(d\) 로 나누면 칸이 반드시 네 개 생긴다.
항이 네 개인 이유는 칸이 네 개이기 때문이다. 외운 순서가 아니라 격자의 결과이다. 앞 괄호의 항 \(2\) 개와 뒤 괄호의 항 \(2\) 개가 곱해져 \(2 \times 2 = 4\) 개가 된다.
여기서 이 장에서 가장 빈번한 오류를 미리 확인한다. \((x+2)(x+5)\) 를 \(x^2 + 10\) 으로 쓰는 경우가 있다. 앞은 앞끼리, 뒤는 뒤끼리 곱한 것이다. 격자에서 보면 대각선 두 칸만 세고 나머지 두 칸을 누락한 것이다. 네 칸 중 두 칸의 넓이가 빠진다.
예제 1. \((x+2)(x+5)\) 를 전개한다. 격자를 그리고 각 칸의 넓이를 채운다.
\(5x\) 와 \(2x\) 는 같은 종류이다. 둘 다 “\(x\) 짜리”이므로 합칠 수 있다(동류항).
예제 2. \((2x-1)(x+4)\) 를 전개한다. 괄호 안에 뺄셈이 있어도 절차는 같다. \(-1\) 을 하나의 항으로 취급한다. 부호를 분리해 두었다가 나중에 붙이면 오류가 발생한다.
\(8x - x\) 는 \(7x\) 이다. \(8x\) 나 \(9x\) 가 아니다. 이 지점은 부호를 누락하기 쉬운 자리이다.
예제 3. 괄호 안 항이 셋이어도 달라지는 것은 칸의 개수뿐이다. \((x+2)(x^2+3x+1)\) 을 전개한다. 앞 괄호 항이 \(2\) 개, 뒤 괄호 항이 \(3\) 개이므로 칸은 \(2 \times 3 = 6\) 개이다. 세로를 두 도막, 가로를 세 도막으로 나눈 격자를 표로 나타낸다. 왼쪽 열이 앞 괄호의 항이고, 첫 행이 뒤 괄호의 항이다.
\(\times\) |
\(x^2\) |
\(3x\) |
\(1\) |
|---|---|---|---|
\(x\) |
\(x^3\) |
\(3x^2\) |
\(x\) |
\(2\) |
\(2x^2\) |
\(6x\) |
\(2\) |
여섯 칸을 하나도 빠뜨리지 않고 채운 뒤에는 같은 차수끼리 모은다.
\(x^2\) 짜리가 \(3x^2\) 과 \(2x^2\) 둘, \(x\) 짜리가 \(x\) 와 \(6x\) 둘이다.
항이 몇 개이든 칸의 개수는 곱셈표의 크기와 같다. \(2 \times 2\) 이면 네 칸, \(2 \times 3\) 이면 여섯 칸, \(3 \times 3\) 이면 아홉 칸이다. 괄호가 세 개 곱해져 있을 때도 새로운 규칙은 필요하지 않다. 둘씩 나눠 곱한다. 예를 들어 \((x+1)(x+2)(x+3)\) 은 앞의 둘을 먼저 곱해 \((x+1)(x+2) = x^2+3x+2\) 로 괄호를 하나로 줄인 다음, 그 결과에 \((x+3)\) 을 곱하면 앞에서 다룬 여섯 칸짜리 격자가 된다.
\((a+b)^2\) 은 네 조각이다#
이 장의 핵심 그림이다. 한 변이 \(a+b\) 인 정사각형을 그리고, 가로선과 세로선을 넣어 네 조각으로 나눈다.
큰 정사각형의 넓이는 \((a+b)^2\) 이다. 조각은 네 개이다. 큰 정사각형 \(a^2\), 작은 정사각형 \(b^2\), 그리고 가로로 누운 직사각형 하나와 세로로 선 직사각형 하나이다. 뒤의 두 조각의 넓이는 각각 \(ab\) 이다. 네 조각을 모두 더하면 다음과 같다.
다음은 빈번하게 나타나는 잘못된 식이다.
이 식은 가운데 두 조각(\(ab\) 두 개)을 제외한 결과이다. 두 조각도 큰 정사각형의 일부이므로 제외할 수 없다. \((a+b)^2 = a^2+b^2\) 이라고 쓰는 것은 네 조각 중 두 조각의 넓이를 빠뜨린 채 전체 넓이를 구한 것이다.
도입의 상황을 그림에 대입한다. \(a = 3\), \(b = 4\) 이다.
도입에서 확인한 \(24\) 가 여기에 있다. \(12 + 12\), 곧 \(ab\) 조각 두 개이다. 새로 필요한 타일 \(40\) 장은 \(12 + 12 + 16\) 이다. \(16\) 장이라는 답은 \(ab\) 조각 두 개를 누락한 결과이다.
이 차이는 계산 실수가 아니라 곱셈의 구조에서 비롯된다. 제곱은 괄호 안의 덧셈에 항별로 분배되지 않는다. 그러므로 \((a+b)^2\) 은 \(a^2+b^2\) 과 다르며, 그 차이가 정확히 가운데 \(2ab\) 이다. 넓이격자를 기준으로 삼으면 이 차이를 매번 확인할 수 있다.
곱셈 공식 네 줄, 격자 하나#
\((a+b)^2\) 을 이해하면 나머지 공식은 같은 격자에서 유도된다.
\((a-b)^2\) — 격자로 전개하면 가운데 두 항의 부호만 바뀐다.
끝의 \(b^2\) 는 음수가 아니다. \((-b) \times (-b) = +b^2\) 이기 때문이다.
\((a+b)(a-b)\) — 가운데 두 항이 서로 상쇄된다.
\(-ab\) 와 \(+ab\) 가 사라지고 \(a^2 - b^2\) 만 남는다. 이 결과는 그림으로도 확인된다. 한 변이 \(a\) 인 정사각형에서 한 변이 \(b\) 인 정사각형을 오려내면 넓이 \(a^2 - b^2\) 짜리 ㄱ자 조각이 남는다. 그 조각을 한 번 잘라 옮겨 붙이면 가로 \(a+b\), 세로 \(a-b\) 인 직사각형이 된다. 넓이는 변하지 않는다.
‘한 번 잘라 옮겨 붙인다’에서 자르는 위치는 다음과 같다. ㄱ자의 안쪽 모서리에서 가로로 한 번 자른다. 조각이 둘로 나뉘며, 세로가 둘 다 \(a-b\) 로 같은 두 조각이 되도록 자른다. 세로가 같아야 옆으로 붙일 수 있다.
조각 |
가로 |
세로 |
넓이 |
|---|---|---|---|
큰 조각 |
\(a\) |
\(a-b\) |
\(a(a-b)\) |
작은 조각 |
\(a-b\) |
\(b\) |
\(b(a-b)\) |
작은 조각을 \(90^\circ\) 돌린 것 |
\(b\) |
\(a-b\) |
\(b(a-b)\) |
작은 조각을 돌리면 가로와 세로가 맞바뀌어 세로가 \(a-b\) 가 된다. 이 조각은 큰 조각의 옆면과 정확히 맞물린다. 붙이고 나면 세로는 \(a-b\) 로 유지되고, 가로는 \(a\) 에 \(b\) 가 이어져 \(a+b\) 가 된다.
네 공식을 정리하면 다음과 같다. 이후 장에서 반복해 사용한다.
네 번째 줄도 격자에서 그대로 나온다. 가로를 \(x\) 와 \(a\) 로, 세로를 \(x\) 와 \(b\) 로 나누면 네 칸은 \(x^2\), \(ax\), \(bx\), \(ab\) 이다. 이때 **가운데 두 칸이 모두 “\(x\) 짜리”**이므로 합쳐진다 — \(ax + bx = (a+b)x\). 앞의 예제 1에서 \(5x + 2x = 7x\) 로 합친 것이 이 부분에 해당한다. 그러므로 가운데 계수는 두 수의 합, 상수는 두 수의 곱이 된다.
제15장에서는 이 줄을 거꾸로 읽는다. 합과 곱이 주어졌을 때 두 수를 찾는 문제가 된다.
네 공식은 모두 하나의 격자에서 유도된다. 공식이 기억나지 않으면 격자를 그린다. \(30\) 초가 더 걸리지만 항을 빠뜨리지 않는다.
예제 1. \((3x-2)^2\) 을 전개한다. \(a = 3x\), \(b = 2\) 로 두면 된다. \(a\) 가 문자 하나여야 하는 것은 아니다.
첫 항은 \(3x^2\) 이 아니라 \(9x^2\) 이다. \((3x)^2\) 에서는 계수 \(3\) 도 함께 제곱된다.
예제 2. \((x+3)^2 - (x-3)^2\) 을 전개해서 간단히 한다. 뒤 괄호 앞에 음의 부호가 있다. 이 부호는 괄호 안 세 항 전부에 적용된다. 하나라도 빠뜨리면 결과가 달라진다.
\(x^2\) 항도 상수항 \(9\) 도 상쇄되고 \(12x\) 만 남는다. 두 정사각형 넓이의 차가 일차식으로 정리된다.
전개식의 검산#
전개 결과는 다음 방법으로 검산한다. 원식과 전개식에 같은 수를 대입해 값이 같은지 확인한다. 두 식이 같은 식이면 \(x\) 자리에 어떤 값을 대입해도 값이 일치하기 때문이다.
예제 2에서 얻은 \((2x-1)(x+4) = 2x^2+7x-4\) 를 \(x=2\) 로 확인한다.
두 값이 \(18\) 로 일치한다. 전개가 올바르게 이루어진 것이다.
\(x=1\) 을 대입하면 계산이 더 간단하다. \(x\) 자리에 \(1\) 을 넣으면 \(x^2\) 도 \(x\) 도 모두 \(1\) 이 되어, 계수의 합만 비교하면 되기 때문이다. 같은 식에 대입하면 원식은 \((2-1)(1+4) = 1 \times 5 = 5\), 전개식은 \(2+7-4 = 5\) 로 일치한다.
검산의 성질에 한 가지 유의한다. 값이 다르면 전개가 틀린 것이 확실하다. 반대로 값이 같다고 해서 항상 옳은 것은 아니며, 특정한 한 값에서만 우연히 일치할 수 있다. 확실하지 않으면 \(x=2\) 를 한 번 더 대입한다. 이 절차는 격자를 처음부터 다시 그리는 것보다 빠르다.
빈번한 오류#
\((a+b)^2\) 을 \(a^2+b^2\) 이라고 쓴다
이 장에서 가장 빈번한 오류이다. 원인은 지수가 괄호 안의 각 항에 개별적으로 적용된다는 인식이다. 이 인식은 부분적으로만 옳다 — \((ab)^2 = a^2 b^2\) 은 실제로 성립한다. 다만 이는 곱셈에서만 성립하는 성질이며, 덧셈에는 적용되지 않는다. 식만으로 교정하면 같은 오류가 반복되기 쉬우므로 넓이격자에서 확인한다. 가운데 \(ab\) 조각 두 개는 큰 정사각형의 일부이므로 제외할 수 없다. 수치로 확인하면 \((3+4)^2 = 49\), \(3^2+4^2 = 25\), 차이 \(24 = 2 \times 3 \times 4\) 이다.
확인 문제: \((x+5)^2\) 을 전개하고, 가운데 \(10x\) 가 그림의 어느 조각인지 말하라. (답: \(x^2+10x+25\). \(5x\) 짜리 직사각형 두 개.)
대각선 두 칸만 세고 나머지를 버린다
\((x+2)(x+5) = x^2+10\) 처럼 쓴다. 앞은 앞끼리, 뒤는 뒤끼리 짝지어 곱한 것이다. 곱셈을 “두 수를 짝지어 곱하는 것”으로만 기억하면 곱해야 할 짝이 몇 개인지 셀 기준이 없다. 앞 괄호 항 \(2\) 개 곱하기 뒤 괄호 항 \(2\) 개 \(= 4\) 칸이다. 네 칸을 모두 채우기 전에는 전개가 끝나지 않는다. 동류항을 합치는 것은 그다음 단계이다.
확인 문제: \((x+4)(x+3)\) 은 합치기 전 항이 몇 개인가? (답: 네 개. 정리하면 \(x^2+7x+12\).)
괄호 앞 마이너스가 첫 항에만 걸린다
\(-3(2x-5) = -6x-15\) 처럼 쓴다. 음의 부호를 항의 부호가 아니라 앞에 덧붙은 기호로 읽은 데서 비롯된다. \(-3\) 을 하나의 수로 보고 괄호 안 모든 항에 곱해야 한다. 두 번째로 곱할 항은 \(-5\) 이고, \((-3) \times (-5) = +15\) 이다. 음수끼리의 곱은 양수이다. 뺄셈 뒤의 괄호는 \(-1\) 을 곱하는 형태로 다시 쓰면 부호를 놓치지 않는다. \(A - (B+C) = A - B - C\) 이며, 세 항이면 세 항 모두 부호가 바뀐다.
확인 문제: \(5 - (x - 3)\) 을 간단히 하라. (답: \(8 - x\). \(2 - x\) 는 틀림.)
\((a-b)^2\) 과 \((a+b)(a-b)\) 를 뒤섞는다
\((x-6)^2 = x^2-36\) 이라고 쓰거나, \((x+5)(x-5) = x^2-10x-25\) 라고 쓴다. 네 공식을 모양만 비슷한 암기 항목으로 저장하면 두 형태를 혼동하기 쉽다. 격자로 나란히 전개하면 두 경우가 구분된다. \((x-5)(x-5)\) 는 가운데 두 칸이 둘 다 음수이므로 더해져 \(-10x\) 가 되고, \((x+5)(x-5)\) 는 하나는 양수 하나는 음수이므로 상쇄되어 사라진다. 끝 항의 부호도 확인한다. \((-5)(-5) = +25\), \((+5)(-5) = -25\) 이다.
확인 문제: \((x-4)^2\) 과 \((x+4)(x-4)\) 를 연달아 전개하라. (답: \(x^2-8x+16\) 과 \(x^2-16\).)
연습문제#
계산기를 쓰지 않는다. 막히는 경우 격자를 그린다. 칸 네 개를 그리는 데 \(10\) 초가 걸리며, 격자를 채우면 항의 누락을 방지할 수 있다. 그리고 답을 쓴 뒤에는 \(x=1\) 이나 \(x=2\) 를 원식과 전개식에 대입해 값이 같은지 확인한다(「전개식의 검산」). A 기본 · B 표준 · C 도전.
A전개하라. (1) \(4(x+3)\) (2) \(-3(2x-5)\) (3) \(x(x-7)\)A전개하라. (1) \((x+1)(x+6)\) (2) \((x+3)(x-2)\) (3) \((x-4)(x-5)\)A전개하라. (1) \((x+3)^2\) (2) \((x-6)^2\)A전개하라. (1) \((x+7)(x-7)\) (2) \((2x+3)(2x-3)\)B전개하라. (1) \((x+2)(x-5)\) (2) \((2x-1)(x+4)\)B전개하라. (1) \((3x+2)(x-1)\) (2) \((2x+5)^2\)B전개하라. \((x+2)(x^2+3x+1)\)B전개해서 간단히 하라. \((x+3)^2 - (x-3)^2\)B한 변이 \(x\) m인 정사각형 화단의 가로와 세로를 각각 \(3\) m씩 늘렸다. (1) 새 화단의 넓이를 전개된 식으로 쓰라. (2) 늘어난 넓이를 식으로 쓰라.B가로 \(x+4\), 세로 \(x+1\) 인 직사각형 방이 있다. 그 안에 한 변이 \(2\) 인 정사각형 기둥이 서 있다. 실제 바닥 넓이를 전개된 식으로 쓰라.C\((a+b)^2 = a^2+b^2\) 이 성립하는 경우가 있는가? 있다면 언제인가? 넓이 그림으로 설명하라.C전개하라. \((x+1)(x+2)(x+3)\)C\(101 \times 99\) 를 곱셈 공식을 써서 암산하라. 어떤 공식을 어떻게 썼는지 식으로 보이라.
정답과 해설
(1) \(4x+12\) (2) \(-6x+15\) — 빈번한 오류: \(-6x-15\). 괄호 앞 마이너스는 안쪽 모든 항에 적용된다. (3) \(x^2-7x\)
(1) \(x^2+7x+6\) (2) \(x^2+x-6\) — 가운데는 \(-2x+3x = +x\) (3) \(x^2-9x+20\) — 음수끼리 곱해 상수항이 \(+20\)
(1) \(x^2+6x+9\) (2) \(x^2-12x+36\) — 빈번한 오류: \(x^2-36\)(가운데 항 누락) 또는 \(x^2-12x-36\)(끝 부호). \((-6)^2 = +36\).
(1) \(x^2-49\) (2) \(4x^2-9\) — \((2x)^2 = 4x^2\). 빈번한 오류: \(2x^2-9\).
(1) \(x^2-3x-10\) — 가운데는 \(-5x+2x = -3x\) (2) \(2x^2+7x-4\) — 가운데는 \(8x-x = 7x\)
(1) \(3x^2-x-2\) — 가운데는 \(-3x+2x = -x\) (2) \(4x^2+20x+25\) — \(2ab = 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x\)
\(x^3+5x^2+7x+2\) — 앞 괄호 항 \(2\) 개 곱하기 뒤 괄호 항 \(3\) 개이므로 칸이 여섯 개이다. \(x(x^2+3x+1) = x^3+3x^2+x\), \(2(x^2+3x+1) = 2x^2+6x+2\), 더해서 정리한다.
\(12x\) — \((x^2+6x+9)-(x^2-6x+9)\). 빈번한 오류: \(12x+18\) 또는 \(0\). 뒤 괄호의 \(-6x\) 가 \(+6x\) 로, \(+9\) 가 \(-9\) 로 바뀐다. 마이너스는 세 항 전부에 적용된다.
(1) \((x+3)^2 = x^2+6x+9\) (2) \(6x+9\) — 늘어난 넓이는 새 넓이에서 원래 넓이 \(x^2\) 을 뺀 것이다. \(6x\) 가 \(ab\) 조각 두 개(\(3x\) 짜리 둘), \(9\) 가 모서리 정사각형이다. 도입의 타일 문제와 같은 구조이다.
\(x^2+5x\) — \((x+4)(x+1) - 2^2 = x^2+5x+4-4\). 상수항이 상쇄되어 사라진다.
\(2ab = 0\) 일 때, 즉 \(a=0\) 이거나 \(b=0\) 일 때만 성립한다. 넓이 그림으로 보면 한 변의 길이가 \(0\) 이면 \(ab\) 직사각형 두 개의 넓이가 \(0\) 이 되어 조각이 사라진다. 그 경우가 아니면 언제나 \(2ab\) 만큼 차이가 난다. “절대 성립하지 않는다”고만 쓰면 부분 정답이다. 조건을 정확히 서술하는 것이 요구된다.
\(x^3+6x^2+11x+6\) — 앞의 둘을 먼저 곱한다. \((x+1)(x+2) = x^2+3x+2\). 그다음 \((x^2+3x+2)(x+3)\). 칸이 여섯 개이다.
\(9999\) — \((100+1)(100-1) = 100^2 - 1^2 = 10000-1\). 합차 공식 \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\) 을 암산에 적용한 것이다.
추가 연습문제#
판단이 어려운 문항은 격자를 그려 각 칸을 채운 뒤 정리한다.
분배법칙 기본
\(5(x+2)\) 2. \(-4(x-3)\) 3. \(2x(x+6)\) 4. \(-3x(2x-1)\) 5. \(3(x+2) + 2(x-1)\) 6. \(x(x+1) - x\) 7. \(4(2x-3) - 2(x-5)\) 8. \(a(a+b)\)
\((x+a)(x+b)\) 꼴
\((x+1)(x+2)\) 10. \((x+4)(x+5)\) 11. \((x+3)(x-1)\) 12. \((x-2)(x-6)\) 13. \((x+2)(x-5)\) 14. \((x-7)(x+3)\) 15. \((x+8)(x-8)\) 16. \((x-1)(x-1)\)
곱셈 공식
\((x+3)^2\) 18. \((x-4)^2\) 19. \((x+6)(x-6)\) 20. \((2x+1)^2\) 21. \((3x-2)^2\) 22. \((2x-1)(x+4)\) 23. \((3x+1)(2x-3)\) 24. \((5x+2)(5x-2)\)
혼합 · 판단 · 암산
\((x+2)^2 - (x^2+4)\) 를 간단히 하라. 남은 것이 무엇인지 넓이 그림의 말로 한 줄 설명하라.
\((x+1)(x+2) + (x+3)(x-1)\)
\((x+2)(x^2-2x+4)\)
한 변이 \(x+5\) 인 정사각형의 넓이를 전개된 식으로 쓰고, \(x=3\) 일 때의 값을 구하라. 그 값이 \(8^2\) 과 같은지 확인하라.
\((a+b)^2\) 과 \(a^2+b^2\) 의 차이를 식으로 쓰고, 그 차이가 넓이 그림에서 어느 조각인지 한 문장으로 쓰라.
\(52 \times 48\) 을 \((50+2)(50-2)\) 로 보고 암산하라. 쓴 공식을 함께 적으라.
정답과 해설
\(5x+10\) 2. \(-4x+12\) 3. \(2x^2+12x\) 4. \(-6x^2+3x\) 5. \(5x+4\) 6. \(x^2\) 7. \(6x-2\) 8. \(a^2+ab\)
\(x^2+3x+2\) 10. \(x^2+9x+20\) 11. \(x^2+2x-3\) 12. \(x^2-8x+12\) 13. \(x^2-3x-10\) 14. \(x^2-4x-21\) 15. \(x^2-64\) 16. \(x^2-2x+1\)
\(x^2+6x+9\) 18. \(x^2-8x+16\) 19. \(x^2-36\) 20. \(4x^2+4x+1\) 21. \(9x^2-12x+4\) 22. \(2x^2+7x-4\) 23. \(6x^2-7x-3\) 24. \(25x^2-4\)
2번 빈번한 오류: \(-4x-12\). 괄호 앞 마이너스는 안쪽 모든 항에 적용된다.
4번: \((-3x)(2x) = -6x^2\), \((-3x)(-1) = +3x\).
7번: 뒤 괄호에 \(-2\) 를 곱한다. \(-2 \times (-5) = +10\). 그래서 \(8x-12-2x+10 = 6x-2\).
12번: 음수 둘이 곱해져 상수항이 \(+12\), 가운데는 \(-2x-6x = -8x\).
16번: \((x-1)^2\) 과 같다. 빈번한 오류: \(x^2-1\)(합차 공식과 혼동). 「빈번한 오류」의 넷째 항목을 다시 확인한다.
21번: \((3x)^2 = 9x^2\). 빈번한 오류: \(3x^2-12x+4\).
23번: \(6x^2-9x+2x-3\). 가운데는 \(-7x\).
\(4x\) — \((x^2+4x+4)-(x^2+4) = 4x\). 설명 예시: “남은 \(4x\) 는 넓이 그림의 \(ab\) 조각 두 개(\(2x\) 짜리 둘)다.” 이 문항은 「빈번한 오류」 첫째 항목에 대응하는 연습이다.
\(2x^2+5x-1\) — \((x^2+3x+2)+(x^2+2x-3)\).
\(x^3+8\) — 칸이 여섯 개이다. \(x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8\). \(x^2\) 항도 \(x\) 항도 서로 상쇄되어 사라진다. 이 형태는 이후 세제곱 공식으로 다룬다.
\(x^2+10x+25\). \(x=3\) 이면 \(9+30+25 = 64 = 8^2\). 한 변이 \(3+5 = 8\) 이므로 두 값이 일치한다. 식과 넓이 그림이 같은 결과를 준다.
차이는 \(2ab\). 설명 예시: “가로 \(a\), 세로 \(b\) 인 직사각형 두 개가 빠진 것.” \(2ab\) 만 쓰고 조각에 대한 설명이 없으면 부분 정답이다.
\(2496\) — \((50+2)(50-2) = 50^2 - 2^2 = 2500 - 4\). 쓴 공식은 \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\).
요약과 다음 장#
이 장의 핵심은 한 문장으로 정리된다. 괄호를 푸는 것은 넓이를 나눠 세는 일이다. 앞 괄호의 항 개수와 뒤 괄호의 항 개수를 곱한 만큼 칸이 생기고, 그 칸을 하나도 빠뜨리지 않고 세면 전개가 끝난다.
특히 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 이다. 누락되기 쉬운 것은 가운데 \(2ab\), 곧 \(ab\) 조각 두 개이다. \((a+b)^2 = a^2+b^2\) 이라고 쓰는 것은 네 조각 중 두 조각의 넓이를 빠뜨린 채 전체 넓이를 구한 것이다. 도입에서 누락되었던 \(24\) 가 바로 이 두 조각이다. 곱셈 공식 네 줄은 암기 대상이 아니라 격자 하나에서 유도되는 결과이다. 기억나지 않으면 칸 네 개를 그리면 된다.
다음 장에서는 반대 방향으로 진행한다. 이 장에서 \((x+3)^2\) 을 \(x^2+6x+9\) 로 전개했다면, 제14장에서는 \(x^2+6x+9\) 만 주고 어떤 두 식의 곱인지 묻는다. 곱을 푸는 방향은 대체로 가능하지만, 거꾸로 되짚는 인수분해는 더 까다롭다. 이 장에서 그린 격자가 그때의 재료가 된다.