제10장 · 일차방정식#
이 장
원본 코드 |
R2-W02 |
선행 내용 |
제9장 (변수와 식) |
요지 |
방정식은 저울 모형으로 표현된다. 양변에 같은 연산을 적용하면 등식이 유지된다. 이항은 항을 반대쪽으로 옮기며 부호를 바꾸는 조작이다. |
도입#
매달 \(30\) 만 원씩 저축한다. 지금 통장에 \(100\) 만 원이 들어 있다. \(1000\) 만 원을 모으려면 몇 달이 걸리는지 구한다.
표를 작성해 한 달에 \(30\) 만 원씩 더해 가며 세는 방법으로도 답은 나온다. 다만 이 방법은 서른 줄 가까이를 직접 채워야 한다. 이 상황을 앞 장에서 다룬 방식으로 식 하나에 담으면 다음과 같다. (\(x\) 는 개월 수, 단위는 만 원.)
앞 장에서 이런 식을 세우는 방법을 다루었다. 이 장의 주제는 이 식에서 \(x\) 의 값을 끌어내는 방법, 곧 표 없이 몇 줄의 계산으로 답을 얻는 도구다. 그 도구는 하나로 정리되며, 저울 모형으로 설명된다.
등호는 균형이다#
양팔저울에서 한쪽 접시에 물건을, 다른 쪽에 추를 올려 무게가 맞으면 저울대는 움직이지 않는다. 왼쪽 접시에 무게를 모르는 주머니 하나 (x) 와 \(1\) g짜리 구슬 \(3\) 개를, 오른쪽 접시에 구슬 \(7\) 개를 올렸을 때 균형을 이룬 상황을 생각한다.
이 그림이 나타내는 식은 다음과 같다.
여기서 등호의 의미를 다시 규정한다. 등호는 “계산하라”는 지시가 아니라 “양쪽이 같다”는 진술이다. \(3 + 4 = 7\) 에서처럼 등호를 답이 산출되는 지점으로 읽는 습관이 남아 있다면, 이 장에서 그 해석을 교정한다. 등호는 명령이 아니라 사실의 진술이며, 왼쪽과 오른쪽의 무게가 같다는 내용을 담는다.
\(x\) 만 남기려면 왼쪽 접시에서 구슬 \(3\) 개를 덜어낸다. 한쪽만 덜어내면 저울은 기운다. 균형을 유지하려면 오른쪽에서도 똑같이 \(3\) 개를 뺀다. 양변에서 동시에 적용한다.
가운데 줄 \(x + 3 - 3 = 7 - 3\) 은 반드시 기록한다. 암산으로 처리해 생략하지 않는다. 이 줄이 이 장의 핵심이다. 방정식을 푸는 절차란 균형을 유지한 채 \(x\) 만 남을 때까지 양변을 정리하는 과정이다.
방정식을 푸는 네 가지 도구#
저울을 기울이지 않는 조작은 네 가지이며, 이를 등식의 성질이라고 한다.
방정식을 푸는 도구는 이 네 가지가 전부다. 이후에 나오는 모든 방정식은 이 네 조작의 조합으로 해결된다. 마지막 줄에 붙은 단서 하나를 기억한다. \(0\) 으로는 나누지 않는다. \(0\) 으로 나누는 연산은 정의되지 않는다.
곱셈으로 묶인 것은 나눗셈으로#
똑같은 주머니 \(3\) 개가 구슬 \(12\) 개와 균형을 이룬다.
주머니 하나의 무게를 구한다. 양변을 똑같이 \(3\) 등분 하면 왼쪽은 주머니 \(1\) 개, 오른쪽은 구슬 \(4\) 개가 된다.
여기서 빈번한 오류 하나를 미리 확인한다. 왼쪽만 \(3\) 등분 하고 오른쪽을 그대로 두면 다음과 같이 된다.
왼쪽이 가벼워져 위로 올라가고(^), 오른쪽은 무거운 채로 내려간다(v). 저울이 기울므로 \(x = 12\) 는 틀린 답이다. 나눗셈은 반드시 양변에 적용한다.
이제 도입에서 세운 식으로 돌아간다.
먼저 \(x\) 항에 붙어 있는 \(100\) 을 분리한다. 양변에서 \(100\) 을 뺀다.
주머니 \(30\) 개의 무게가 \(900\) 이다. 주머니 하나의 무게를 구하기 위해 양변을 \(30\) 으로 나눈다.
답은 \(30\) 개월이다. 두 단계로 해결된다. 표를 서른 줄 작성해야 하던 계산이 두 줄로 축약된다. 이것이 대수를 사용하는 이유다.
나누는 수가 음수일 때#
저울 모형이 적용되는 범위는 여기까지다. 이 점을 먼저 밝혀 둔다. 다음 식을 본다.
주머니 \(-3\) 개는 저울 위에 올릴 수 없다. 음수 개수의 주머니는 모형에서 표현되지 않으므로 그림은 여기서 끝난다. 대신 식의 의미로 처리한다. \(-3x\) 는 “\(x\) 를 \(-3\) 배 한 것”이다. \(-3\) 배 된 것을 되돌리려면 \(-3\) 으로 나눈다. 무엇으로 곱해졌든 그것으로 나눈다 — 이 원리는 그대로 유지된다.
나눗셈 자체는 새로운 내용이 아니라 제1부에서 다룬 음수 나눗셈 그대로다. 음수÷음수는 양수, 양수÷음수는 음수. 왼쪽 \(\frac{-3x}{-3}\) 에서는 음수끼리 나누어 \(x\) 가 남고, 오른쪽 \(\frac{12}{-3}\) 에서는 양수를 음수로 나누어 \(-4\) 가 된다. 부호 처리가 불확실하면 방정식이 아니라 제1부의 음수 부분을 다시 확인해야 한다.
한 가지 형태를 더 확인한다. 마이너스만 붙어 있는 경우다.
\(-x\) 는 \((-1) \times x\) 다. 계수가 표기되지 않았을 뿐 \(-1\) 이 존재한다. 양변을 \(-1\) 로 나눈다(양변에 \(-1\) 을 곱해도 결과는 같다).
\(-x = 5\) 에서 \(x = 5\) 로 쓰는 것은 오류다. 마이너스 부호는 표기상의 장식이 아니라 계수 \(-1\) 을 나타낸다.
이항 — 옮기며 부호를 바꾸는 일#
\(2x + 5 = 17\) 을 본다. \(x\) 항에 붙은 \(+5\) 를 분리해야 한다. 저울의 원리에 따라 양변에서 똑같이 \(5\) 를 뺀다. 가운데 줄을 기록하면서 진행한다.
처음 식과 결과만 나란히 놓으면 다음과 같다.
왼쪽에 있던 \(+5\) 가 오른쪽으로 이동하면서 \(-5\) 로 바뀐 것처럼 보인다. 이 현상에 붙은 이름이 이항이다. 항을 반대쪽으로 옮기며 부호를 바꾸는 조작을 가리킨다.
이항은 새로운 규칙이 아니다. “양변에서 \(5\) 를 뺀다”를 줄여 부르는 이름이다. 부호가 바뀌는 이유도 여기에 있다. 등호를 넘으면서 부호가 저절로 뒤집히는 것이 아니라, 양변에서 실제로 \(5\) 를 뺐기 때문에 왼쪽에서는 사라지고 오른쪽에는 빼기로 나타난다.
이름만 기억하면 오류가 발생한다. “넘기면 부호를 바꾼다”는 규칙은 두 부분으로 되어 있는데, 시간이 지나면 “넘긴다”만 남고 “부호를 바꾼다”가 누락되기 쉽다. 그 결과가 \(2x = 17 + 5\) 이며, 이는 이 단원에서 가장 빈번한 오류 중 하나다. 규칙의 절반만 남으면 오류를 자각하지 못한 채 잘못된 결과를 얻게 된다. 따라서 당분간은 이름을 앞세우지 말고 가운데 줄을 반드시 기록한다. 뺄셈을 양변에 실제로 써 두면 부호를 틀릴 여지가 없다.
다섯 단계와 검산#
푸는 순서는 정해져 있다. 이후 모든 방정식에서 이 순서를 사용한다.
④에 나온 계수의 뜻을 여기서 정한다. 앞 장에서 항을 “\(+\) 와 \(-\) 로 끊은 한 덩어리”로 정했는데, 그 덩어리에서 문자 앞에 붙은 수가 계수다.
항 |
계수 |
|---|---|
\(3x\) |
\(3\) |
\(-2x\) |
\(-2\) |
\(x\) |
\(1\) |
\(-x\) |
\(-1\) |
\(\dfrac{2}{3}x\) |
\(\dfrac{2}{3}\) |
두 가지를 명확히 한다. 첫째, 마이너스까지가 계수다. \(-2x\) 의 계수는 \(2\) 가 아니라 \(-2\) 다. 항이 부호를 포함하듯 계수도 부호를 포함한다. 따라서 \(-2x = 6\) 을 풀 때 양변을 나누는 수는 \(-2\) 이고, 답은 \(x = -3\) 이 된다. 둘째, \(x\) 의 계수는 \(1\), \(-x\) 의 계수는 \(-1\) 이다. 표기되지 않을 뿐 존재하지 않는 것이 아니다. 앞에서 \(-x = 5\) 를 \(-1\) 로 나누어 푼 것이 이 경우에 해당한다.
이 두 가지는 제11장에서 부등호를 뒤집을지 판단할 때 그대로 사용된다. 뒤집기의 기준이 “나누는 수의 부호”, 곧 계수의 부호이기 때문이다.
①②는 해당 요소가 없으면 건너뛴다. ③④는 항상 수행한다. ⑤는 예외 없이 수행한다.
예제 1 — 기본형. \(2x + 5 = 17\). 앞에서 ③까지 수행해 \(2x = 12\) 를 얻었다. ④로 양변을 \(2\) 로 나눈다.
⑤. 구한 답을 맨 처음 식에 대입한다. 변형한 식이 아니라 원식에 대입한다.
양변이 같다 ✔. 검산은 채점 절차가 아니라, 풀이가 맞는지 스스로 확인하는 절차다. 검산이 일치하면 정답지를 참조하지 않고도 답의 타당성이 확인된다.
예제 2 — 괄호가 있는 경우. \(3(x - 4) = 18\). ②로 괄호를 푼다. \(3\) 은 괄호 안 두 항 모두에 곱해진다. \(3x - 4\) 가 아니다.
이 문제에는 다른 경로도 있다. 괄호를 풀지 않고 양변을 먼저 \(3\) 으로 나누어도 된다.
이 풀이도 옳다. 양변을 똑같이 나누었으므로 규칙을 지킨 것이다. 풀이 경로는 여러 개이지만 규칙은 하나다. 규칙을 지키면 어느 경로를 택해도 같은 답에 도달한다.
예제 3 — 양변에 문자가 있는 경우. \(5x - 3 = 2x + 9\). 저울의 양쪽 접시에 모두 주머니가 있다. 오른쪽 주머니 \(2\) 개를 제거한다. 양변에서 \(2x\) 를 뺀다.
분수와 소수는 먼저 없앤다#
①. 분수가 있으면 가장 먼저 없앤다. 분모가 \(2\) 와 \(3\) 이므로 최소공배수 \(6\) 을 양변에 곱한다. 왼쪽은 항이 두 개이므로 두 항 모두에 곱한다.
분자에 항이 두 개일 때. 이 형태에서 오류가 가장 빈번하게 발생한다.
곱하기 전에 앞 장에서 정한 내용을 다시 확인한다. 분수선은 괄호의 역할을 한다. \(\dfrac{2x-1}{3}\) 은 \((2x-1)\) 을 통째로 \(3\) 으로 나눈 것이며, 괄호를 표기하지 않은 이유는 분수선이 그 역할을 대신하기 때문이다. 따라서 곱하기 직전에 괄호를 명시적으로 표기한다.
분모 \(3\) 과 \(4\) 의 최소공배수 \(12\) 를 양변에 곱한다. 분수선이 사라지면 앞서 표기한 괄호가 식에 그대로 남는다.
이제 ② 괄호를 푼다. 앞의 수는 안쪽 두 항 모두에 곱해진다.
괄호를 표기하지 않으면 \(12 \times \dfrac{2x-1}{3}\) 을 \(4 \cdot 2x - 1 = 8x-1\) 로 쓰게 된다. \(-1\) 에 \(12\) 를 곱하지 않은 것이다. 그러면 \(8x-1 = 3x+6\) 에서 \(x = \dfrac{7}{5}\) 가 나오고, 원식에 대입하면 좌변이 \(\dfrac{2 \times 1.4 - 1}{3} = 0.6\), 우변이 \(\dfrac{3.4}{4} = 0.85\) 로 어긋난다. 검산으로 이 오류가 확인된다.
분자에 항이 두 개 이상이면, 곱하기 전에 괄호를 먼저 표기한다. 특히 분수 앞에 마이너스가 붙어 있는 경우에 주의한다. \(-\dfrac{x-3}{5}\) 에 \(10\) 을 곱하면 \(-2(x-3) = -2x+6\) 이며 \(-2x-6\) 이 아니다. 마이너스가 괄호 안 두 항 모두에 적용되기 때문이다.
소수도 동일하다. \(0.3x + 1.2 = 2.4\) 는 소수점 아래 한 자리이므로 양변의 모든 항에 \(10\) 을 곱한다.
분수 계수 방정식은 새로운 유형이 아니라 분수 계산과 네 가지 도구의 결합이다.
이 도구를 사용하면 순환소수의 값도 확정할 수 있다. 끝나지 않는 소수 \(0.333\ldots\) 의 정확한 값을 구한다. 그 값을 \(x\) 로 둔다.
양변에 \(10\) 을 곱한다.
두 식을 빼면 소수점 아래 부분이 동일하므로 그 부분이 전부 소거된다.
\(0.333\ldots\) 은 근사값이 아니라 정확히 \(\dfrac{1}{3}\) 이다. 이 결과는 이 장에서 다룬 도구만으로 얻어진다.
빈번한 오류#
항을 옮기면서 부호를 안 바꾼다
\(2x + 5 = 17\) 에서 \(2x = 17 + 5 = 22\) 라고 쓰는 오류다. 이 단원에서 가장 빈번한 오류 중 하나다. 원인은 “넘길 때 부호를 바꾼다”는 축약된 규칙에서 “부호를 바꾼다”가 누락되고 “넘긴다”만 남은 데 있다. 대응 방법은 부호를 암기하는 것이 아니라 뺄셈을 실제로 양변에 기록하는 것이다. 가운데 줄 \(2x + 5 - 5 = 17 - 5\) 를 쓰면 부호를 틀릴 여지가 없다.
확인 문제: \(8 - 3x = 2\) 를 가운데 줄을 쓰며 풀어라. (답: \(x = 2\). \(8 - 3x - 8 = 2 - 8\) 에서 \(-3x = -6\).)
“나누기”를 숫자 하나 지우는 일로 여긴다
\(3x = 12\) 에서 \(x = 12\) 라고 쓰거나, \(2x + 6 = 10\) 에서 양변을 \(2\) 로 나눈다며 \(x + 6 = 5\) 라고 쓰는 경우다(왼쪽의 한 항만 나눈 것이다). 나눗셈을 변 전체에 적용하는 연산이 아니라 눈에 띄는 숫자 하나를 지우는 조작으로 이해한 데서 비롯한다. 저울의 한 접시에 놓인 것 중 하나만 골라 \(3\) 등분 할 수는 없다. 나눗셈은 양변 전체에 적용한다.
확인 문제: \(4x + 8 = 20\) 을 양변을 \(4\) 로 나누는 방법으로 풀어라. (답: \(x + 2 = 5\), \(x = 3\). \(8\) 도 \(4\) 로 나눠 \(2\) 가 되었는지 보라.)
등호를 “다음 줄로 넘어감” 표시로 쓴다
한 줄에 \(2x + 5 = 17 = 2x = 12 = x = 6\) 과 같이 쓰는 경우다. 답은 맞지만 식은 거짓이다 — \(17\) 과 \(12\) 가 같다고 진술한 것이 된다. 초등 과정에서 등호를 “여기에 답이 나온다”로 익힌 용법이 남은 결과다. 규칙은 하나다. 등호 하나에 줄 하나. 새 등식은 새 줄에 쓴다. 그러면 세 줄이 모두 참이 된다.
확인 문제: \(5x - 2 = 13\) 을 세 줄로 써라. (답: \(x = 3\). 한 줄에 등호가 둘 이상이면 다시.)
검산을 “채점”으로 여겨 건너뛴다
확인 없이 다음 문제로 넘어가거나, 검산을 한다며 자신이 변형한 마지막 식에 대입하는 경우다. 검산은 채점이 아니라 답이 맞는지 스스로 확인하는 절차다. 대입은 반드시 맨 처음 식에만 한다. 중간 식에 대입하면 중간 단계에서 발생한 오류를 검출할 수 없다.
확인 문제: \(4(x - 2) = 12\) 를 풀고 원식에 검산하라. (답: \(x = 5\), 검산 \(4 \times (5-2) = 12\) ✔. \(4x - 8 = 12\) 에 넣었으면 다시.)
연습문제#
계산기는 검산할 때만 사용한다. 규칙은 두 개다. 가운데 줄을 쓴다 — 양변에서 무엇을 뺐는지가 지면에 드러나야 한다. 그리고 마지막 줄은 검산이다. 검산이 없는 답 열 개보다 검산이 있는 답 다섯 개가 학습 효과가 크다. A 기본 · B 표준 · C 도전.
A풀어라. (1) \(x + 9 = 4\) (2) \(x - 6 = -2\) (3) \(-3x = 21\) (4) \(\dfrac{x}{5} = -4\)A풀어라. (1) \(2x + 7 = 19\) (2) \(5x - 8 = 12\)A풀어라. \(\dfrac{x}{4} + 3 = 7\)A풀어라. \(3(x - 4) = 18\)B풀어라. \(7x - 4 = 3x + 12\)B풀어라. \(2(x + 3) = 5x - 9\)B풀어라. \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5\)B풀어라. \(0.3x + 1.2 = 2.4\)B풀어라. \(\dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{x + 2}{4}\)B어떤 수의 \(3\) 배에서 \(5\) 를 뺀 것이, 그 수에 \(7\) 을 더한 것과 같다. 어떤 수인가? (식을 세우고 풀어라.)B택시 기본요금이 \(4800\) 원이고, 그 뒤로 \(1\) km마다 \(1000\) 원씩 오른다. 요금이 \(12800\) 원 나왔다면 기본요금 구간 이후로 몇 km를 갔는가?B연속한 세 정수의 합이 \(84\) 이다. 세 수를 구하라.C풀어라. \(\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{x - 3}{5} = 1\)C아래는 어떤 사람의 풀이다. 검산으로 답이 틀렸음을 먼저 보이고, 어느 줄이 틀렸는지 찾아 바르게 풀어라.
정답과 해설
(1) \(x = -5\) (2) \(x = 4\) (3) \(x = -7\) (4) \(x = -20\) — (3) 양변을 \(-3\) 으로 나눈다. 이렇게 틀린다: \(3\) 으로 나눠 \(x = 7\). 검산 \(-3 \times 7 = -21 \ne 21\) 로 즉시 잡힌다. — (4) 양변에 \(5\) 를 곱한다. 나눗셈으로 묶인 것은 곱셈으로 푼다.
(1) \(x = 6\) (검산 \(12 + 7 = 19\) ✔) (2) \(x = 4\) (검산 \(20 - 8 = 12\) ✔)
\(x = 16\) — 양변에서 \(3\) 을 뺀 뒤 양변에 \(4\) 를 곱한다. 검산 \(\frac{16}{4} + 3 = 4 + 3 = 7\) ✔
\(x = 10\) — \(3x - 12 = 18\), \(3x = 30\). 검산 \(3(10 - 4) = 18\) ✔. 이렇게 틀린다: \(3(x-4)\) 를 \(3x - 4\) 로 풀어 \(3x = 22\), \(x = \frac{22}{3}\). 답이 복잡한 형태로 나오면 앞 줄에 오류가 있을 가능성이 높다. 이 과정의 문제는 대부분 답이 간단하다.
\(x = 4\) — 양변에서 \(3x\) 를 빼면 \(4x - 4 = 12\). 검산 좌변 \(24\), 우변 \(24\) ✔
\(x = 5\) — \(2x + 6 = 5x - 9\). 양변에서 \(2x\) 를 빼면 \(6 = 3x - 9\), 양변에 \(9\) 를 더하면 \(15 = 3x\). 검산 좌변 \(16\), 우변 \(16\) ✔
\(x = 6\) — 양변에 \(6\) 을 곱해 \(3x + 2x = 30\). 검산 \(3 + 2 = 5\) ✔. 이렇게 틀린다: 왼쪽의 한 항에만 \(6\) 을 곱한다.
\(x = 4\) — 양변에 \(10\) 을 곱해 \(3x + 12 = 24\). 검산 \(1.2 + 1.2 = 2.4\) ✔. 이렇게 틀린다: \(1.2\) 에 \(10\) 곱하기를 잊고 \(3x + 1.2 = 24\).
\(x = 2\) — 양변에 \(12\) 를 곱하면 \(4(2x - 1) = 3(x + 2)\), 즉 \(8x - 4 = 3x + 6\), \(5x = 10\). 검산 좌변 \(\frac{3}{3} = 1\), 우변 \(\frac{4}{4} = 1\) ✔
\(6\) — 식 \(3x - 5 = x + 7\). 양변에서 \(x\) 를 빼면 \(2x - 5 = 7\), \(2x = 12\). 검산 좌변 \(13\), 우변 \(13\) ✔
\(8\) km — 식 \(4800 + 1000x = 12800\). \(1000x = 8000\). 검산 \(4800 + 8000 = 12800\) ✔
\(27, 28, 29\) — 가장 작은 수를 \(x\) 로 두면 \(x + (x+1) + (x+2) = 84\), 즉 \(3x + 3 = 84\), \(x = 27\). 검산 \(27 + 28 + 29 = 84\) ✔. 이렇게 틀린다: \(x\) 만 구하고 멈춘다. 물은 것은 세 수다.
\(x = 3\) — 분모 \(2\) 와 \(5\) 의 최소공배수 \(10\) 을 양변에 곱한다. \(5(x-1) - 2(x-3) = 10\). 괄호를 풀면 \(5x - 5 - 2x + 6 = 10\), 즉 \(3x + 1 = 10\), \(x = 3\). 이렇게 틀린다: \(-2(x-3)\) 을 \(-2x - 6\) 으로 푼다. 앞의 마이너스는 괄호 안 둘 다에 걸린다. 검산 \(\frac{2}{2} - \frac{0}{5} = 1 - 0 = 1\) ✔
먼저 검산. \(x = -8\) 을 원식에 넣으면 좌변 \(= 5 - 2 \times (-8) = 5 + 16 = 21\), 우변은 \(11\). 다르다. 틀린 답이다. 틀린 줄은 둘째 줄이다. 좌변의 \(5\) 를 없애려면 양변에서 \(5\) 를 빼야 하는데 오른쪽에 더했다. 바른 풀이: \(5 - 2x - 5 = 11 - 5\) 이므로 \(-2x = 6\), 양변을 \(-2\) 로 나눠 \(x = -3\). 검산 \(5 - 2 \times (-3) = 5 + 6 = 11\) ✔
추가 연습문제#
학습은 하루 \(20\) 분씩 여러 날에 나누어 진행한다. 앞서와 같은 규칙을 적용한다 — 가운데 줄을 쓰고, 마지막 줄은 검산이다. 검산이 없으면 그 문항은 풀지 않은 것으로 간주한다.
한 단계
\(x + 6 = 15\) 2. \(x - 9 = 4\) 3. \(x + 12 = 5\) 4. \(x - 3 = -8\) 5. \(4x = 28\) 6. \(-6x = 24\) 7. \(\dfrac{x}{3} = -5\) 8. \(\dfrac{2}{3}x = 8\)
두 단계
\(2x + 9 = 21\) 10. \(3x - 7 = 14\) 11. \(5x + 8 = 3\) 12. \(-2x + 5 = 11\) 13. \(\dfrac{x}{2} - 4 = 1\) 14. \(7 - x = 12\) 15. \(10 - 3x = 1\) 16. \(\dfrac{x}{5} + 2 = -1\)
괄호와 양변의 문자
\(2(x + 5) = 16\) 18. \(3(x - 4) = 18\) 19. \(4(2x - 1) = 20\) 20. \(5x - 3 = 2x + 9\) 21. \(8 - x = 3x - 4\) 22. \(2(x - 1) = 3(x + 2)\) 23. \(3(2x - 5) + 4 = 7\)
분수·소수 계수·문장제
\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{4} = 9\) 25. \(\dfrac{x + 1}{3} = 4\) 26. \(0.5x + 1.5 = 4\) 27. \(0.2x - 0.3 = 0.5\)
어떤 수에 \(4\) 를 더한 뒤 \(3\) 배 했더니 \(27\) 이 되었다. 어떤 수인가? (식을 세우고 풀어라.)
사탕을 \(5\) 명에게 똑같이 나눠 주었더니 \(3\) 개가 남았다. 사탕이 모두 \(38\) 개였다면 한 사람이 몇 개씩 받았는가?
아래는 어떤 사람의 풀이다. 검산으로 답이 틀렸음을 먼저 보이고, 틀린 줄을 찾아 바르게 풀어라.
정답과 해설
\(x = 9\) 2. \(x = 13\) 3. \(x = -7\) 4. \(x = -5\) 5. \(x = 7\) 6. \(x = -4\) 7. \(x = -15\) 8. \(x = 12\)
6번은 양변을 \(-6\) 으로 나눈다. 8번은 양변에 \(\dfrac{3}{2}\) 를 곱한다(또는 양변에 \(3\) 을 곱하고 \(2\) 로 나눈다).
\(x = 6\) 10. \(x = 7\) 11. \(x = -1\) 12. \(x = -3\) 13. \(x = 10\) 14. \(x = -5\) 15. \(x = 3\) 16. \(x = -15\)
12번 이렇게 틀린다: \(-2x = 6\) 까지 가놓고 \(x = 3\) 이라 쓴다. 검산 \(-2 \times 3 + 5 = -1 \ne 11\). 14번 이렇게 틀린다: \(7 - x = 12\) 를 \(x = 12 - 7 = 5\) 로. 검산 \(7 - 5 = 2 \ne 12\). 양변에서 \(7\) 을 빼면 \(-x = 5\), 양변에 \(-1\) 을 곱해 \(x = -5\).
\(x = 3\) 18. \(x = 10\) 19. \(x = 3\) 20. \(x = 4\) 21. \(x = 3\) 22. \(x = -8\) 23. \(x = 3\)
22번 검산: 좌변 \(2 \times (-9) = -18\), 우변 \(3 \times (-6) = -18\) ✔
\(x = 12\) 25. \(x = 11\) 26. \(x = 5\) 27. \(x = 4\)
24번은 양변에 \(4\) 를 곱해 \(2x + x = 36\). 25번은 양변에 \(3\) 을 곱해 \(x + 1 = 12\). 27번은 양변에 \(10\) 을 곱해 \(2x - 3 = 5\).
\(5\) — 식 \(3(x + 4) = 27\). 양변을 \(3\) 으로 나누면 \(x + 4 = 9\). 검산 \(3 \times (5 + 4) = 27\) ✔. 이렇게 틀린다: “\(4\) 를 더한 뒤 \(3\) 배”를 \(3x + 4 = 27\) 로 쓴다. 순서를 괄호로 잡아야 한다.
\(7\) 개 — 식 \(5x + 3 = 38\). \(5x = 35\). 검산 \(5 \times 7 + 3 = 38\) ✔
검산: \(x = -\dfrac{23}{3}\) 을 원식에 넣으면 좌변 \(= 4 - 3 \times \left(-\dfrac{23}{3}\right) = 4 + 23 = 27 \ne 19\). 틀린 답이다. 틀린 줄은 둘째 줄. 좌변의 \(4\) 를 없애려면 양변에서 \(4\) 를 빼야 하는데 오른쪽에 더했다. 바르게: \(4 - 3x - 4 = 19 - 4\) 이므로 \(-3x = 15\), 양변을 \(-3\) 으로 나눠 \(x = -5\). 검산 \(4 - 3 \times (-5) = 4 + 15 = 19\) ✔. 여기서 확인할 점: 답이 \(-\dfrac{23}{3}\) 처럼 복잡한 형태로 나오면 앞 줄에 오류가 있는 경우가 대부분이다. 이 과정의 방정식은 답이 간단하게 나오도록 구성되어 있다.
요약과 다음 장#
이 장의 핵심은 한 그림과 몇 개의 문장으로 정리된다. 방정식은 저울로 표현되고, 등호는 균형을 뜻한다. 균형을 유지하는 도구는 넷이다 — 양변에 더하기·빼기·곱하기·나누기. 이항은 그중 더하기·빼기를 줄여 부르는 이름이며, 부호가 바뀌는 것은 양변에서 똑같이 뺐기 때문이다. 풀이는 다섯 단계를 따르고, 마지막 단계는 언제나 검산이다. 검산은 채점이 아니라 풀이가 맞는지 스스로 확인하는 절차다.
다음 장에서는 등호가 아니라 부등호를 다룬다. 절차는 대부분 동일하지만 한 지점에서 부등호의 방향이 바뀐다. 이 지점이 부등식에서 오류가 가장 빈번하게 발생하는 부분이다. 제11장에서는 이를 규칙으로 암기하지 않고 그림으로 확인한다.