제30장 · 도함수의 응용 ① — 그래프 분석

내용

제30장 · 도함수의 응용 ① — 그래프 분석#

이 장


원본 코드	R3-W10
선행 내용	제29장 — 연쇄법칙
요지	도함수의 부호가 곡선의 오르내림을 정한다. \(f'=0\) 이 늘 극값인 것은 아니다.

도입#

\(f(x) = x^3 - 3x\) 의 그래프를 그리는 절차를 생각한다. \(20\) 년 전 학교에서 사용한 방법은 다음과 같다. \(x\) 에 \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\) 을 차례로 대입해 \(y\) 를 계산하고, 얻은 점을 찍어 잇는다. \(f(-2) = -2\), \(f(-1) = 2\), \(f(0) = 0\) 과 같이 표를 채워 나간다.

이 방법에는 한계가 있다. 점과 점 사이에서 무슨 일이 일어나는지 알 수 없다. 점을 스무 개 찍어도 스물한 번째 구간의 형태는 확인되지 않는다. 봉우리가 정확히 어디인지, 봉우리가 존재하기는 하는지, 찍은 점만으로는 확인할 방법이 없다. 앞에서는 점과 점 사이를 추측으로 연결했다.

이 장에서는 그 추측을 제거한다. 도함수는 모든 점에서의 기울기를 준다. 어디가 증가 구간이고 어디가 감소 구간인지, 봉우리의 위치가 어디인지가 계산으로 결정된다. 점을 찍어 잇는 대신 곡선의 뼈대를 계산한다.

기준이 되는 사실을 먼저 정리한다. 언덕의 정상에 해당하는 점에서 접선의 기울기는 \(0\) 이다. 정상은 증가 구간이 끝나고 감소 구간이 시작되는 한 점이므로 그 지점에서 곡선은 평평하다. 기울기가 \(0\) 인 지점을 찾으면 봉우리의 후보를 찾은 것이다. ‘후보’라는 용어는 이 장 중간에서 다시 다룬다. 정상에서 기울기가 \(0\) 인 것은 성립하지만, 기울기가 \(0\) 인 점이 모두 정상인 것은 아니기 때문이다.

부호가 방향을 정한다#

이 장에서 필요한 것은 \(f'\) 의 크기가 아니라 부호이다. 부호가 방향을 결정한다.

언덕 위 세 지점에 접선을 그어 기울기를 확인하면 다음과 같다.

\[f'(x) > 0 \ \Rightarrow \ f \text{ 는 증가} \qquad f'(x) < 0 \ \Rightarrow \ f \text{ 는 감소} \qquad f'(x) = 0 \ \Rightarrow \ \text{그 순간 평평}\]

이 세 줄이 이 장에서 새로 도입하는 개념의 전부이다. 나머지는 이 세 줄을 표로 옮기는 절차의 훈련이다. 개념의 난도가 아니라 절차의 숙달이 관건이 되는 부분이다.

증감표를 그리는 다섯 단계#

곡선의 오르내림은 다음 다섯 단계로 표에 담는다.

\(f'(x)\) 를 구한다.
\(f'(x) = 0\) 이 되는 점을 찾는다. 이 점들을 임계점이라 부른다(기울기가 \(0\) 이 되어 방향이 바뀔 수 있는 후보 지점이라는 뜻이다. 실제로 바뀌는지는 ⑤에서 판정한다).
임계점으로 수직선을 구간으로 나눈다.
각 구간에서 대표값 하나를 골라 \(f'\) 에 대입해 부호를 정한다.
표를 채우고, 부호가 바뀌는 곳에서 극값을 읽는다.

④단계를 강조한다. 부등식을 풀어 부호를 정할 수도 있으나, 대표값 하나를 대입하는 방법이 가장 안전하다. 부등식은 부호를 뒤집는 실수가 빈번한 반면, 숫자 대입은 계산이 단순해 확인이 쉽다. 구간 내부의 값이면 어느 숫자를 골라도 된다. \(-1\) 이든 \(0\) 이든 \(100\) 이든, 같은 구간 안이면 결과는 동일하다.

한 점만 확인해도 되는 이유. 이것이 다섯 단계 전체의 근거이므로 한 번 정리한다. \(f'\) 은 다항식이므로 값이 중간에서 끊기지 않는다. 끊기지 않는 값이 양수에서 음수로 넘어가려면 도중에 반드시 \(0\) 을 한 번 지난다 — 제25장에서 다룬 성질이다. 그리고 ②단계에서 \(f'=0\) 이 되는 점을 전부 찾아 경계로 세웠다. 따라서 경계와 경계 사이에서는 부호가 바뀔 수 없다. 한 점만 확인하면 그 구간 전체가 결정되는 이유가 이것이다.

역으로 서술하면 다음과 같다. \(f'=0\) 의 해를 하나라도 놓치면 경계가 빠져 표 전체가 틀린다. 놓친 점에서 부호가 바뀌었는데 경계가 없으므로, 대표값 하나로 두 구간을 한 구간으로 뭉뚱그려 읽게 되기 때문이다. 인수분해에서 \(x\) 로 묶는 과정을 생략하지 않아야 하는 이유가 이것이다. 예를 들어 \(f'=4x^3-4x\) 를 \(4(x^2-1)\) 로 잘못 묶으면 임계점 \(x=0\) 이 통째로 사라진다.

다섯 단계를 도입에서 다룬 함수 \(f(x) = x^3 - 3x\) 에 그대로 적용한다.

① \(f'(x) = 3x^2 - 3\)

② \(3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow 3(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1, \ 1\)

③ 수직선을 세 구간으로 나눈다. \(x < -1\), \(\ -1 < x < 1\), \(\ x > 1\)

④ 각 구간에서 대표값을 하나씩 대입한다.

\[f'(-2) = 3(4) - 3 = 9 > 0 \qquad f'(0) = -3 < 0 \qquad f'(2) = 3(4) - 3 = 9 > 0\]

⑤ 표를 채운다.

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	극대 \(2\)	\(\searrow\)	극소 \(-2\)	\(\nearrow\)

극값의 \(y\) 좌표는 \(f'\) 이 아니라 원래 함수 \(f\) 에 대입해서 구한다.

\[f(-1) = -1 + 3 = 2 \qquad f(1) = 1 - 3 = -2\]

\(f'\) 에 대입하면 \(0\) 이 나오며, 이 값은 기울기이다. 구하려는 것은 높이이므로 \(f\) 에 대입한다. 이 지점에서 \(0\) 을 극값으로 적는 오류가 빈번하다.

임계점이 존재하지 않는 경우도 있다. \(f(x) = x^3 + 3x\) 는 \(f'(x) = 3x^2 + 3\) 이고, \(3x^2 + 3 = 0\) 은 실수 해를 갖지 않는다. \(f'\) 이 항상 양수이므로 이 함수는 정의역 전체에서 증가하며 극값이 없다. 이는 문제의 오류가 아니라 극값이 존재하지 않는 함수이다.

\(f'=0\) 은 극값의 후보 조건이다#

극값을 갖는 점에서 기울기는 \(0\) 이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 기울기가 \(0\) 인 점이 모두 극값인 것은 아니며, \(y = x^3\) 이 반례이다.

\[f(x) = x^3 \ \Rightarrow \ f'(x) = 3x^2 \ \Rightarrow \ f'(0) = 0\]

부호표를 만들면 다음과 같다.

\(x\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	—	\(\nearrow\)

\[f'(-1) = 3 > 0 \qquad f'(1) = 3 > 0\]

양쪽 모두 양수이다. 부호가 바뀌지 않았다. 증가하는 도중에 한 점에서 순간적으로 평평해진 것이다. 자동차의 운동으로 나타내면 오르막을 진행하다가 한순간 수평이 되었을 뿐 정지하지도 하강하지도 않은 상태에 해당한다. 극값이 아니다.

\[\text{극값이면 } f'=0 \text{ 이다. 그러나 } f'=0 \text{ 이라고 극값은 아니다.}\]

수학에서는 이러한 관계를 필요조건과 충분조건이라고 한다. \(f'=0\) 은 극값이 되기 위해 반드시 필요하지만, 그것만으로 충분하지는 않다. 도입에서 ‘후보’라는 용어를 사용한 이유가 여기에 있다. \(f'=0\) 인 점은 임계점, 곧 후보이며, 극값 여부는 부호가 바뀌는지로 결정된다. 이 구분은 이후 반복해서 사용되므로 용어를 정확히 구분한다.

여기에 한 가지를 덧붙인다. 극대는 그 근처에서만 가장 높다는 뜻이다. ‘극’이라는 글자 때문에 전체 최고로 읽히기 쉬우나, 극댓값은 봉우리 하나의 높이이며 구간 전체의 최댓값이 아니다. 구간 끝이 더 높을 수도 있다. 이 장의 \(f(x)=x^3-3x\) 를 \(-2 \le x \le 3\) 에서 보면 확인된다.

\(x\)	\(-2\) (왼쪽 끝)	\(-1\) (극대)	\(1\) (극소)	\(3\) (오른쪽 끝)
\(f(x)\)	\(-2\)	\(2\)	\(-2\)	\(\mathbf{18}\)

봉우리는 \(x=-1\) 에 있고 그 높이는 \(2\) 이다. 그러나 구간 전체에서 가장 높은 곳은 봉우리가 아니라 오른쪽 끝 \(x=3\) 의 \(18\) 이다. 오른쪽 끝은 증가 도중에 구간이 잘린 지점이라 기울기가 \(0\) 이 아니고, 그래서 부호표에 나타나지 않는다. 부호표만으로는 확인되지 않는 값이다. 그러므로 “구간 전체의 최대·최소”를 묻는 문제에서는 임계점의 값에 끝점의 값을 반드시 함께 놓고 비교해야 한다. 이 비교를 절차로 정리하는 것이 제31장의 내용이다.

\(f''\) 는 휘는 방향을 정한다#

\(f'\) 이 함수의 진행 방향을 나타낸다면, \(f''\) 는 그 방향이 어떻게 변하는지를 나타낸다.

미분을 도입할 때 사용한 속도계 모형을 한 단계 확장한다.

\[f = \text{위치} \qquad f' = \text{속도} \qquad f'' = \text{가속도}\]

속도가 양수이고 가속도가 음수인 상황을 생각한다. 차가 전진하는 중에 감속하는 경우이다. 진행 방향은 여전히 전진이며, 속도만 점차 줄어든다. 따라서 “\(f'\) 이 줄어든다”와 “\(f\) 가 줄어든다”는 서로 다른 서술이다. 시속 \(100\) 에서 \(60\) 으로 떨어져도 차는 전진하고 있다. 속도가 줄어드는 것과 후진하는 것은 다르다.

그래프에서는 다음과 같이 나타난다. 두 곡선 모두 증가 구간이라는 점이 핵심이다.

\[f'' > 0 \ \Rightarrow \ \text{아래로 볼록(그릇 모양)} \qquad f'' < 0 \ \Rightarrow \ \text{위로 볼록(언덕 모양)}\]

부호와 모양의 대응은 다음과 같이 기억한다. \(f'' > 0\) 이면 그릇 모양이어서 물을 담을 수 있고, \(f'' < 0\) 이면 엎어놓은 그릇 모양이어서 물이 흘러내린다. 부호와 모양이 혼동될 때는 그릇 모양을 직접 그려 확인한다.

\[\text{변곡점: } f''=0 \text{ 이고 그 앞뒤에서 } f'' \text{ 의 부호가 바뀌는 점}\]

변곡점은 그릇이 엎어지는 지점이다. 도로에 대응시키면 “내리막으로 꺾이는 지점”이 아니라 **”휘는 방향이 바뀌는 지점”**이다. 변곡점에서도 여전히 증가 구간일 수 있다.

\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\) 로 확인한다. \(f''(x) = 6x - 12\) 이므로 \(x < 2\) 에서 위로 볼록, \(x > 2\) 에서 아래로 볼록이다. \(f(2) = 8 - 24 + 18 = 2\) 이므로 변곡점은 \((2, 2)\) 이다.

여기에도 동일한 함정이 있다. \(f''=0\) 이라고 모두 변곡점인 것은 아니다. \(f'=0\) 이 모두 극값이 아니었던 것과 같은 구조이다. \(y = x^4\) 은 \(f'' = 12x^2\) 이라 \(f''(0) = 0\) 이지만, 양쪽 모두 \(f'' > 0\) 이라 그릇 모양이 그대로 유지된다. 변곡점이 아니다. 여기서도 판정하는 것은 부호 변화이다.

삼차함수 개형을 끝까지 그린다#

개형 그리기는 절편 → 부호표 → 극값 → 오목성 → 잇기의 다섯 단계 조립 절차이다. \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) 를 처음부터 끝까지 그린다.

1단계. 절편

\[y \text{ 절편: } f(0) = 4\]

\[x \text{ 절편: } x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x-2)^2 = 0 \ \Rightarrow \ x = -1, \ x = 2\]

인수분해가 바로 보이지 않으면 \(x = -1\) 을 대입한다. \(-1 - 3 + 4 = 0\) 이므로 \((x+1)\) 이 인수이다. 나머지는 조립제법이나 다항식 나눗셈으로 얻는다. \(x = 2\) 가 두 번 나온다는 점을 확인한다. 제곱 인수가 있으면 그래프는 그 점에서 \(x\) 축을 통과하지 않고 접한 뒤 돌아온다. 극소가 정확히 그 점에서 나온다.

2단계. \(f'\) 과 부호표

\[f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) \ \Rightarrow \ x = 0, \ 2\]

\[f'(-1) = 3(1)(-3) = 9 > 0 \qquad f'(1) = 3(1)(-1) = -3 < 0 \qquad f'(3) = 3(3)(1) = 9 > 0\]

\(x\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(2\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	극대 \(4\)	\(\searrow\)	극소 \(0\)	\(\nearrow\)

3단계. 극값의 좌표

\[f(0) = 4 \quad \text{극대점 } (0, 4) \qquad f(2) = 8 - 12 + 4 = 0 \quad \text{극소점 } (2, 0)\]

극소점이 \((2, 0)\), 정확히 \(x\) 축 위이다. 1단계의 제곱 인수가 예고한 결과와 일치한다. 서로 다른 두 경로가 같은 결과를 주므로 계산이 일관된다.

4단계. \(f''\) 과 오목성

\[f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)\]

\[x < 1 \text{ 에서 } f'' < 0 \ \text{(위로 볼록)} \qquad x > 1 \text{ 에서 } f'' > 0 \ \text{(아래로 볼록)}\]

\[f(1) = 1 - 3 + 4 = 2 \quad \text{변곡점 } (1, 2)\]

5단계. 잇는다

점 세 개(극대·변곡·극소)와 절편 두 개를 먼저 찍고, 부호표가 정하는 방향대로 잇는다.

다섯 점을 찍고 표가 정한 대로 이었으며, 추측이 개입하지 않았다. 추가로 확인되는 성질이 하나 있다. 변곡점 \((1, 2)\) 는 극대점 \((0, 4)\) 와 극소점 \((2, 0)\) 의 정확히 한가운데이다. 삼차함수는 언제나 변곡점을 중심으로 점대칭이다. 그림을 그린 뒤 이 대칭이 성립하지 않으면 계산에 오류가 있으므로, 검산에 사용할 수 있다.

빈번한 오류#

“\(f'=0\) 이면 무조건 극값이다”

고등학교에서 다루는 문제의 대부분이 삼차함수였고, 그 경우 \(f'=0\) 인 두 점이 항상 극대·극소였다. 틀린 규칙이 아니라 적용 범위가 좁은 규칙이다. 반례를 접하지 않은 상태에서 규칙이 그대로 굳어진 경우이다. \(y = x^3\) 의 \(x=0\) 은 \(f'(0)=0\) 이지만 양옆에서 \(f'(-1)=3\), \(f'(1)=3\) 으로 부호가 바뀌지 않아 극값이 아니다. \(f'=0\) 은 후보 조건이며, 판정은 부호 변화가 결정한다.

확인 문제: \(f(x) = x^3 + 2\) 에서 \(x=0\) 은 극값인가? (답: 아니다. \(f'=3x^2\) 이라 양쪽 모두 양수, 부호 변화가 없다.)

“\(f'\) 이 줄어드니까 \(f\) 도 줄어든다”

“줄어든다”는 표현이 서로 다른 두 대상에 쓰이는데, 그 둘이 구분되지 않은 상태이다. \(f'\) 의 값이 줄어드는 것과 \(f\) 의 값이 줄어드는 것은 서로 다른 사건이다. 시속 \(100\) 킬로로 달리다 \(60\) 으로 줄어도 차는 전진한다. 더 느리게 전진할 뿐이다. \(f'\) 이 줄어드는 것은 감속, \(f\) 가 줄어드는 것은 후진에 해당한다. 증가·감소는 오직 \(f'\) 의 부호로 판정하며, 크기는 판정에 사용하지 않는다.

확인 문제: \(f'(1)=10\), \(f'(2)=3\), \(f'(3)=0.5\) 다. \(f\) 는 증가하는가 감소하는가? (답: 증가. 셋 다 양수다. 덧붙여 \(f''<0\), 즉 위로 볼록이다.)

아래로 볼록과 위로 볼록을 뒤집는다

용어의 표현과 그래프의 모양이 직관적으로 대응하지 않는다. “아래로 볼록”이 위로 열린 그릇 모양이라는 대응은 용어만으로는 파악되지 않는다. 용어를 암기하는 대신 매번 그릇 모양을 직접 그려 확인하는 편이 정확하다. \(f'' > 0\) 이면 위로 열린 그릇, \(f'' < 0\) 이면 엎어놓은 그릇이다. 기준점을 하나 정해 두면 판정이 빠르다. \(y = x^2\) 은 \(f''=2>0\) 이고 그릇 모양이며, \(y=-x^2\) 은 그 반대이다. 혼동될 때는 \(y=x^2\) 을 기준으로 판정한다.

확인 문제: \(f(x) = x^3\) 은 \(x>0\) 에서 어느 쪽으로 볼록한가? (답: \(f''=6x>0\) 이므로 아래로 볼록, 그릇 모양.)

극댓값과 극대가 되는 \(x\) 를 혼동한다

부호표를 작성하는 동안 \(x\) 값에 주의가 집중되어 \(x\) 값을 답으로 쓰는 오류가 발생한다. 그러나 산의 정상이 지도상 어디인가와, 그 정상의 높이가 얼마인가는 서로 다른 질문이다. “값”이라는 글자가 붙으면 높이를 묻는 것이고, 높이는 \(f\) 에서 나온다. \(f'\) 은 기울기를 주므로 대입하면 \(0\) 만 나온다. 답을 항상 좌표 \((x, f(x))\) 로 쓰면 둘 다 기록되므로 혼동이 발생하지 않는다.

확인 문제: \(f(x) = x^3 - 3x\) 의 극댓값은? (답: \(2\). 극대가 되는 \(x\) 는 \(-1\), 극대점은 \((-1, 2)\).)

연습문제#

모든 문항에서 부호표를 반드시 그린다. 암산으로 극대·극소를 구한 경우는 이 장에서 정답으로 인정하지 않는다. 이 장에서 익히는 것은 답이 아니라 절차이다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A \(f(x)=x^2-6x+5\) 의 증가·감소 구간과 극값을 구하라.
A \(f(x)=-x^2+4x+1\) 의 증가·감소 구간과 극값을 구하라.
A \(f(x)=x^3-12x\) 의 극대·극소를 구하라. (부호표 필수)
A \(f(x)=x^3-3x^2+2\) 의 극대·극소를 구하라.
A 4번의 함수에서 \(f''\) 를 구하고, 오목성 구간과 변곡점을 구하라.
B \(f(x)=x^3+3x^2-9x+1\) 의 극대·극소와 변곡점을 모두 구하라.
B \(f(x)=x^4-2x^2\) 의 극대·극소를 모두 구하라. (임계점이 세 개다)
B \(f(x)=x^3-3x^2\) 의 개형을 그려라. 절편, 극값, 변곡점을 모두 표시할 것.
B 어떤 함수의 도함수가 \(f'(x)=(x-1)(x-4)\) 라고만 알려져 있다. \(f\) 의 증가·감소 구간과 극대·극소의 위치를 말하라. 극값의 \(y\) 좌표도 구할 수 있는가?
B 하루 생산량이 \(x\) (백 개 단위)일 때 이익이 \(P(x) = -x^3+9x^2-15x+7\) (만원)이다. \(0 \le x \le 7\) 에서 이익이 최대가 되는 생산량과 그때의 이익을 구하라. 구간 전체의 최대를 묻고 있으므로, 부호표로 찾은 극대점의 값과 끝점 \(x=0\), \(x=7\) 의 값을 함께 놓고 비교하라.
B 물체의 위치가 \(s(t)=t^3-6t^2+9t\) 미터다(\(t\) 는 초, \(0 \le t \le 4\)). (1) 물체가 운동 방향을 바꾸는 시각은? (2) 가속도가 \(0\) 이 되는 시각은? (3) 그 순간 물체는 정지해 있는가?
B 어떤 구간에서 \(f'>0\) 이고 동시에 \(f''<0\) 이다. 이 구간에서 그래프는 어떤 모양인가? 말로 두 문장으로 쓰라.
C \(f(x)=x^4-4x^3\) 을 분석하라. 임계점을 모두 찾고, 각각이 극값인지 아닌지 부호표로 판정하라. 변곡점도 구하라.
C \(f'(a)=0\) 인데 \(x=a\) 가 극값이 아닌 함수를 하나 직접 만들고, 왜 극값이 아닌지 부호표로 설명하라.

정답과 해설

\(f'=2x-6\), 임계점 \(x=3\). 감소 \(x<3\), 증가 \(x>3\). 극소 \(f(3)=-4\). 극대는 없다.
\(f'=-2x+4\), 임계점 \(x=2\). 증가 \(x<2\), 감소 \(x>2\). 극대 \(f(2)=5\). 위로 볼록한 포물선이므로 극대만 존재한다.
\(f'=3x^2-12=3(x-2)(x+2)\). \(f'(-3)=15>0\), \(f'(0)=-12<0\), \(f'(3)=15>0\). 극대 \(f(-2)=16\), 극소 \(f(2)=-16\).
\(f'=3x^2-6x=3x(x-2)\). 극대 \(f(0)=2\), 극소 \(f(2)=-2\).
\(f''=6x-6\). \(x<1\) 위로 볼록, \(x>1\) 아래로 볼록, 변곡점 \((1,0)\) (\(f(1)=1-3+2=0\)).
\(f'=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)\). \(f'(-4)=15>0\), \(f'(0)=-9<0\), \(f'(2)=15>0\). 극대 \(f(-3)=28\), 극소 \(f(1)=-4\). \(f''=6x+6\), 변곡점 \((-1,12)\). 검산: \(-1\) 은 \(-3\) 과 \(1\) 의 한가운데이고, \(12\) 는 \(28\) 과 \(-4\) 의 한가운데다. 삼차함수의 점대칭이 성립한다.
\(f'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\), 임계점 \(x=-1,0,1\). \(f'(-2)=-24<0\), \(f'(-0.5)=1.5>0\), \(f'(0.5)=-1.5<0\), \(f'(2)=24>0\). 부호가 \(-,+,-,+\) 로 세 번 바뀐다. 극소 \(f(-1)=-1\), 극대 \(f(0)=0\), 극소 \(f(1)=-1\). W자 모양이다. 빈번한 오류: \(x=0\) 을 빠뜨리고 \(4x^3-4x\) 를 \(4(x^2-1)\) 로 잘못 묶는다.
절편: \(x^2(x-3)\) 이므로 \(x=0\)(중근), \(x=3\). \(y\) 절편 \(0\). \(f'=3x(x-2)\) → 극대 \((0,0)\), 극소 \((2,-4)\). \(f''=6x-6\) → 변곡점 \((1,-2)\). 개형: 왼쪽 아래에서 올라와 \((0,0)\) 에서 꼭짓점을 찍고 내려가 \((2,-4)\) 에서 바닥을 친 뒤 다시 올라가 \((3,0)\) 을 지난다.
\(f'=(x-1)(x-4)\). \(f'(0)=4>0\), \(f'(2)=-2<0\), \(f'(5)=4>0\). 증가 \(x<1\), 감소 \(1<x<4\), 증가 \(x>4\). \(x=1\) 에서 극대, \(x=4\) 에서 극소. \(y\) 좌표는 구할 수 없다. \(f\) 자체를 모르기 때문이다(상수 차이만큼 위아래로 통째로 움직일 수 있다). 도함수는 모양을 정하지 높이를 정하지 않는다. 이 사실은 적분에서 다시 다룬다.
\(P'=-3x^2+18x-15=-3(x-1)(x-5)\). \(P'(0)=-15<0\), \(P'(3)=12>0\), \(P'(6)=-15<0\). \(x=5\) 에서 극대. 최대 이익 \(P(5)=-125+225-75+7=32\), 즉 생산량 \(500\) 개, 이익 \(32\) 만원. 참고로 \(x=1\) 은 극소(\(P(1)=0\))다. 여기서 계산을 끝내지 않는다. 극대는 그 근처에서만 가장 높다는 뜻이므로, 구간 전체의 최대를 말하려면 끝점을 함께 봐야 한다. 끝점은 \(P(0)=7\), \(P(7)=-343+441-105+7=0\) 이다. 넷을 한 줄에 놓고 비교하면 \(32 > 7 > 0\) 이므로 \(x=5\) 가 구간 전체의 최대이기도 하다. 빈번한 오류: 끝점을 확인하지 않고 “극대니까 최대”라고 곧장 단정한다. 이번에는 답이 일치하지만, 봉우리보다 끝점이 높은 문제에서는 그대로 틀린다.
\(v(t)=s'=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\). (1) 속도의 부호가 바뀌는 \(t=1\) 초와 \(t=3\) 초. (\(v(0)=9>0\), \(v(2)=-3<0\), \(v(4)=9>0\)) (2) \(a(t)=s''=6t-12\) 이므로 \(t=2\) 초. (3) 아니다. \(t=2\) 에서 \(v(2)=-3\) 이므로 초당 \(3\) 미터로 뒤로 가는 중이다. 가속도가 \(0\) 인 것은 “속도가 그 순간 변하지 않는다”는 뜻이지 “멈췄다”가 아니다. 빈번한 오류: 가속도 \(0\) 을 정지로 읽는다.
예시 답안: “그래프는 계속 올라간다(\(f'>0\)). 다만 올라가는 기울기가 점점 작아져서 위로 볼록한 모양, 즉 완만해지는 오르막이다.” — 핵심은 여전히 증가한다는 것을 명시하는 것.
\(f'=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)\), 임계점 \(x=0, 3\). \(f'(-1)=-16<0\), \(f'(1)=-8<0\), \(f'(4)=64>0\). \(x=0\): 부호가 바뀌지 않는다(음수 → 음수). 극값이 아니다. \(x=3\): 음수 → 양수, 극소 \(f(3)=-27\). \(f''=12x^2-24x=12x(x-2)\) → \(f''\) 의 부호가 \(x=0\) 과 \(x=2\) 에서 각각 바뀌므로 변곡점 \((0,0)\) 과 \((2,-16)\). \(x=0\) 은 임계점이면서 변곡점인 자리다. \(y=x^3\) 과 같은 구조다.
예시 답안: \(f(x)=x^3\), \(a=0\). \(f'=3x^2\) 이므로 \(f'(0)=0\). 그런데 \(f'(-1)=3>0\), \(f'(1)=3>0\) 으로 양쪽 다 양수라 부호가 바뀌지 않는다. 계속 증가하는 중에 한 점에서만 평평해졌으므로 극값이 아니다. (\(x^5\), \(-x^3\), \(x^3+x\) 등 다른 예도 정답. 단 \(f'(a)=0\) 을 실제로 확인하고 부호표를 그려야 정답.)

추가 연습문제#

매일 \(20\) 분씩 나누어 푸는 편이 한 번에 몰아 푸는 것보다 절차 정착에 유리하다. 한 문항에서 \(5\) 분 이상 진전이 없으면 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. 아래 문항도 모두 부호표를 그린다. 표 없이 답만 쓴 것은 푼 것으로 인정하지 않는다.

\(f'\) 의 부호와 증감 구간

\(f(x)=x^2-8x+1\) 의 증가·감소 구간을 구하라.
\(f(x)=3-2x-x^2\) 의 증가·감소 구간을 구하라.
\(f(x)=x^3-6x^2+9x\) 의 \(f'\) 을 구하고 인수분해하라.
3번 함수의 증가·감소 구간을 부호표로 구하라.
\(f(x)=x^3+x\) 가 모든 실수에서 증가함을 보여라.

극대·극소 찾기

\(f(x)=x^2-6x+10\) 의 극대·극소를 구하라.
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+11\) 의 극대·극소를 구하라.
\(f(x)=2x^3-3x^2-12x\) 의 극대·극소를 구하라.
\(f(x)=x^4-8x^2\) 의 극대·극소를 구하라. (임계점이 세 개다)
\(f(x)=x^3-3x^2+3x\) 의 극대·극소를 구하라.
\(f(x)=-x^3+3x\) 의 극대·극소를 구하라.

\(f''\) · 오목성 · 변곡점

\(f(x)=x^3-6x^2+5\) 의 오목성 구간과 변곡점을 구하라.
\(f(x)=x^3+3x^2\) 의 오목성 구간과 변곡점을 구하라.
\(f(x)=x^4\) — \(f''(0)=0\) 이다. 변곡점인가? 이유를 함께 쓰라.
\(f(x)=x^4-6x^2\) 의 오목성 구간과 변곡점을 구하라.
\(f(x)=-x^3+6x^2\) 의 오목성 구간과 변곡점을 구하라.

개형 그리기 · 문장제 · 설명

\(f(x)=x^3-3x\) 의 개형을 그려라. 절편, 극값, 변곡점을 모두 표시할 것.
\(f(x)=-x^3+3x^2\) 의 개형을 그려라. 절편, 극값, 변곡점을 모두 표시할 것.
하루 \(x\) 시간 광고를 할 때 순이익이 \(P(x)=-x^3+9x^2-15x+7\) (만원)이다(\(0 \le x \le 7\)). 순이익이 최대가 되는 시간과 그때의 순이익을 구하라. 끝점 \(x=0\) 과 \(x=7\) 의 값도 함께 비교할 것. 극소가 되는 시간도 함께 구하고, 그 지점이 왜 구간 전체의 최소라고 단정할 수 없는지 한 줄로 설명하라.
\(f'(a)=0\) 인데 \(x=a\) 가 극값이 아닌 예를 하나 들고, 왜 극값이 아닌지 부호표로 설명하라.

정답과 해설

\(f'=2x-8\). 감소 \(x<4\), 증가 \(x>4\). (극소 \(f(4)=-15\))
\(f'=-2-2x=-2(x+1)\). 증가 \(x<-1\), 감소 \(x>-1\). (극대 \(f(-1)=4\))
\(f'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)
\(f'(0)=9>0\), \(f'(2)=-3<0\), \(f'(4)=9>0\). 증가 \(x<1\), 감소 \(1<x<3\), 증가 \(x>3\).
\(f'=3x^2+1\). \(3x^2 \ge 0\) 이므로 \(f' \ge 1 > 0\), 즉 항상 양수다. 따라서 모든 구간에서 증가하고 극값이 없다.
\(f'=2x-6\). 극소 \(f(3)=1\). 극대 없음.
\(f'=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\). 극대 \(f(-1)=16\), 극소 \(f(3)=-16\).
\(f'=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)\). 극대 \(f(-1)=7\), 극소 \(f(2)=-20\).
\(f'=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)\). \(f'(-3)=-60<0\), \(f'(-1)=12>0\), \(f'(1)=-12<0\), \(f'(3)=60>0\). 극소 \(f(-2)=-16\), 극대 \(f(0)=0\), 극소 \(f(2)=-16\). 빈번한 오류: \(x\) 로 묶지 않아 임계점 \(x=0\) 을 놓친다.
\(f'=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\). 임계점은 \(x=1\) 뿐인데 \(f'(0)=3>0\), \(f'(2)=3>0\) 으로 부호가 바뀌지 않는다. 극값 없음. 항상 증가하며 \(x=1\) 에서만 순간적으로 평평하다. 이 장에서 강조한 함정이 그대로 재현된 예다.
\(f'=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)\). \(f'(-2)=-9<0\), \(f'(0)=3>0\), \(f'(2)=-9<0\). 극소 \(f(-1)=-2\), 극대 \(f(1)=2\). 최고차항이 음수라 증감 순서가 뒤집힌다.
\(f''=6x-12\). \(x<2\) 위로 볼록, \(x>2\) 아래로 볼록. 변곡점 \((2,-11)\).
\(f''=6x+6\). \(x<-1\) 위로 볼록, \(x>-1\) 아래로 볼록. 변곡점 \((-1,2)\).
\(f''=12x^2\) 이므로 \(f''(0)=0\) 이다. 그러나 \(f''(-1)=12>0\), \(f''(1)=12>0\) 으로 부호가 바뀌지 않는다. 변곡점이 아니다. 모든 구간에서 아래로 볼록(그릇 모양)이다. \(f'=0\) 이 항상 극값이 아니듯, \(f''=0\) 도 항상 변곡점이 아니다. 같은 구조의 함정이다.
\(f''=12x^2-12=12(x-1)(x+1)\). \(f''(-2)=36>0\), \(f''(0)=-12<0\), \(f''(2)=36>0\). \(x<-1\) 아래로 볼록, \(-1<x<1\) 위로 볼록, \(x>1\) 아래로 볼록. 변곡점 \((-1,-5)\) 와 \((1,-5)\).
\(f''=-6x+12\). \(x<2\) 아래로 볼록, \(x>2\) 위로 볼록. 변곡점 \((2,16)\).
절편: \(x(x^2-3)=0\) 이므로 \(x=0, \pm\sqrt{3}\)(약 \(\pm1.73\)), \(y\) 절편 \(0\). \(f'=3(x-1)(x+1)\) → 극대 \((-1,2)\), 극소 \((1,-2)\). \(f''=6x\) → 변곡점 \((0,0)\). 개형: 왼쪽 아래에서 올라와 \((-1,2)\) 에서 봉우리, 원점을 지나 내려가 \((1,-2)\) 에서 바닥, 다시 올라간다.
절편: \(x^2(3-x)=0\) 이므로 \(x=0\)(중근), \(x=3\). \(f'=-3x(x-2)\) → \(f'(-1)=-9<0\), \(f'(1)=3>0\), \(f'(3)=-9<0\) → 극소 \((0,0)\), 극대 \((2,4)\). \(f''=-6x+6\) → 변곡점 \((1,2)\). 최고차항이 음수라 왼쪽 위에서 내려와 \((0,0)\) 에서 바닥을 치고 \((2,4)\) 에서 봉우리를 찍은 뒤 다시 내려간다. 검산: 변곡점 \((1,2)\) 가 \((0,0)\) 과 \((2,4)\) 의 한가운데다.
\(P'=-3x^2+18x-15=-3(x-1)(x-5)\). \(P'(0)=-15<0\), \(P'(3)=12>0\), \(P'(6)=-15<0\). \(x=5\) 시간에서 최대, 순이익 \(P(5)=32\) 만원. 극소는 \(x=1\) 시간, \(P(1)=0\) 만원. 그 지점이 구간 전체의 최소라고 곧장 단정할 수 없는 이유: 극값은 그 근처에서만 최고·최저를 뜻하는 국소적인 개념이고, 구간 전체의 최대·최소는 끝점(\(x=0\) 에서 \(7\), \(x=7\) 에서 \(0\))까지 함께 비교해야 하기 때문이다. 여기서는 \(x=1\) 과 \(x=7\) 이 둘 다 \(0\) 으로 공동 최소다. (구간 전체의 최댓값·최솟값은 다음 장에서 다룬다.)
예시 답안: \(f(x)=x^3\), \(a=0\). \(f'=3x^2\), \(f'(0)=0\). 부호표에서 \(f'(-1)=3>0\), \(f'(1)=3>0\) 으로 양쪽 모두 양수 — 부호 변화가 없으므로 극값이 아니다. (\(x^5\), \(x^3-1\), \(-x^3\) 등도 정답. 부호표를 실제로 그렸으면 인정.)

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 한 줄이다. 도함수의 부호가 곡선의 오르내림을 정한다. \(f' > 0\) 이면 증가, \(f' < 0\) 이면 감소다. 여기에 증감표 다섯 단계, \(f''\) 가 휘는 방향(오목성)을 정한다는 사실, 그리고 삼차함수 하나를 절편부터 개형까지 조립하는 절차를 더했다.

특히 두 번 반복된 문장을 확인한다. \(f'=0\) 이라고 모두 극값인 것은 아니고, \(f''=0\) 이라고 모두 변곡점인 것은 아니다. 둘 다 후보이며, 판정하는 것은 언제나 부호 변화이다. \(y=x^3\) 이 그 반례였다.

이 장에서 구한 봉우리와 골짜기는 그 근처에서만 최고·최저인 국소적인 값이다. 철사 \(20\) 미터로 울타리를 칠 때 어떤 모양이라야 땅이 가장 넓은가와 같은 문제는, 구간 전체에서 최댓값·최솟값을 찾는 문제이다. 제31장에서 이 장의 도구를 그 용도로 사용한다. 미분이 최적화 문제에 적용되는 첫 사례이다.