제35장 · 적분의 응용과 급수 맛보기

내용

제35장 · 적분의 응용과 급수 맛보기#

이 장


원본 코드	R3-W15
선행 내용	제34장 · 치환적분
요지	두 곡선 사이의 넓이로 적분의 적용 범위를 확장하고, 무한합에서 유한합의 직관이 성립하지 않음을 확인한다.

도입#

다음 무한합이 어떤 수로 수렴하는지, 아니면 무한히 커지는지를 판정하는 것이 이 장 후반부의 주제다.

\[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots\]

더하는 수는 점점 작아진다. \(\dfrac{1}{100}\), \(\dfrac{1}{10000}\), \(\dfrac{1}{1000000}\) 으로 줄어들어 결국 \(0\) 에 가까워진다. 여기서 합도 어느 값에서 멈추리라고 판단하는 경우가 많다. 더하는 항이 \(0\) 에 가까워지므로 합도 유한한 값에 머문다는 추론이다. 이 장의 끝에서 이 추론을 정면으로 다룬다. 결론을 먼저 밝히면 이 합은 멈추지 않는다. 그리고 이 사실은 \(700\) 년 전에 초등 산술만으로 증명되었다.

그에 앞서 다룰 내용이 있다. 앞 장까지는 곡선 하나와 \(x\) 축 사이의 넓이를 구했고, 치환적분으로 그 계산을 정착시켰다. 이 장에서는 넓이의 대상을 곡선 두 개 사이로 확장한다. 그 뒤에 위의 무한합으로 돌아온다.

이 장은 두 부분으로 구성된다. 앞부분은 적분의 응용 — 두 곡선 사이의 넓이, 그리고 회전체의 부피다. 뒷부분은 무한합의 기초로, 유한한 경우에서 형성된 직관이 어느 지점에서 성립하지 않는지를 다룬다.

두 곡선 사이의 넓이#

핵심은 다음 한 문장이다. 두 곡선 사이의 넓이는 위 함수에서 아래 함수를 뺀 것을 적분한 값이다. 따라서 첫 단계는 적분이 아니라 교점을 구하는 것이다.

두 곡선 사이에 세로 막대 하나를 세운 그림에서 출발한다.

앞 장까지 다룬 것은 곡선 하나와 \(x\) 축 사이의 넓이였다. 그때 세로 막대의 높이는 \(f(x)\) 였다. 바닥이 \(x\) 축, 곧 높이 \(0\) 이었기 때문이다.

\[\text{막대 높이} = f(x) - 0 = f(x)\]

이 절에서는 바닥이 \(x\) 축이 아니라 다른 곡선 \(g(x)\) 이다. 이때 막대의 높이는 위 좌표에서 아래 좌표를 뺀 값이 된다.

\[\text{막대 높이} = f(x) - g(x)\]

이 절에서 새로 추가되는 것은 이 한 가지이며, 나머지는 앞 장까지 다룬 적분이다. 이 막대를 \(a\) 부터 \(b\) 까지 무한히 얇게 쌓으면 넓이가 된다.

\[\text{넓이} = \int_a^b \left[ f(x) - g(x) \right] dx\]

위에서 아래를 뺀다. 순서가 결과의 부호를 결정한다. 순서를 반대로 하면 값에 음의 부호가 붙는다. 넓이는 음수가 될 수 없으므로, 음수가 나왔다면 순서를 반대로 쓴 것이다. 이 공식은 \(g\) 가 \(x\) 축 아래로 내려가는 경우에도 그대로 성립한다. 막대 높이는 언제나 위 좌표에서 아래 좌표를 뺀 값이고, 음수 좌표를 빼면 높이는 오히려 커진다. 그림에서 이 관계를 확인할 수 있다.

풀이는 네 단계로 진행한다.

\[\text{① 그림을 그린다} \ \to \ \text{② 교점을 구한다} \ \to \ \text{③ 위아래를 정한다} \ \to \ \text{④ 적분한다}\]

①을 생략하면 ③에서 오류가 발생한다. 개형만 맞으면 충분하며, 포물선이 위로 볼록인지 아래로 볼록인지만 정확하면 된다. ③은 다음 방법으로 수행한다. 위아래를 눈으로 추정하지 않고, 구간 안의 임의의 수를 하나 골라 두 함수에 대입한 뒤 값이 큰 쪽을 위 함수로 정한다. 이를 대표값 대입이라 한다. 교점 사이에서는 위아래가 바뀌지 않으므로 한 점만 확인하면 된다.

예제 1 — 완전한 한 문제#

\(y = x + 2\) 와 \(y = x^2\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다.

① 그림. 직선 하나, 위로 열린 포물선 하나. 직선이 포물선을 두 군데서 자른다.

② 교점. 두 식을 같게 놓는다.

\[x^2 = x + 2 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 2 = 0 \ \Rightarrow \ (x - 2)(x + 1) = 0 \ \Rightarrow \ x = -1, \ x = 2\]

이 단계에서 인수분해가 필요하다. 인수분해가 되지 않으면 이 문제는 첫 줄에서 진행되지 않으며, 그때 문제가 되는 것은 적분이 아니라 인수분해(제14·15장)이다.

③ 위아래. 구간 \(-1 < x < 2\) 안에서 임의의 수를 고른다. \(x = 0\) 을 대입한다.

\[\text{직선: } 0 + 2 = 2 \qquad \text{포물선: } 0^2 = 0\]

\(2\) 가 \(0\) 보다 크므로 직선이 위다.

④ 적분.

\[\int_{-1}^{2} \left[ (x+2) - x^2 \right] dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}\]

\[= \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}\]

\(\dfrac{9}{2}\), 곧 \(4.5\) 이다. 결과를 그림과 대조하여 점검한다. 가로 폭이 \(3\) 이고 최대 높이가 \(\dfrac{9}{4} = 2.25\) 정도인 렌즈 모양이므로 넓이는 \(4\) 부근이 되고, 계산 결과와 일치한다. 답을 구한 뒤 그림과 대조하면 큰 오차를 발견할 수 있다.

예제 2 — 빠르게#

\(y = x\) 와 \(y = x^2\) 로 둘러싸인 부분이다.

\[x^2 = x \ \Rightarrow \ x(x-1) = 0 \ \Rightarrow \ x = 0, \ 1\]

\(x = \dfrac{1}{2}\) 를 대입하면 직선은 \(\dfrac{1}{2}\), 포물선은 \(\dfrac{1}{4}\) 이므로 직선이 위다.

\[\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]

위아래가 바뀌면 구간을 나눈다#

이번에는 \(y = x^3\) 와 \(y = x\) 이다. 교점을 구한다.

\[x^3 = x \ \Rightarrow \ x(x^2 - 1) = 0 \ \Rightarrow \ x = -1, \ 0, \ 1\]

교점이 세 개이다. 앞의 예제에서는 두 개였다. 교점이 셋 이상이면 그 사이에서 위아래가 바뀐다. 대표값을 두 번 대입하여 확인한다.

\[x = -\tfrac{1}{2}: \quad x^3 = -\tfrac{1}{8}, \quad x = -\tfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \ x^3 \text{ 이 위}\]

\[x = \tfrac{1}{2}: \quad x^3 = \tfrac{1}{8}, \quad x = \tfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \ x \text{ 가 위}\]

왼쪽 구간에서는 \(x^3\) 이 위, 오른쪽 구간에서는 \(x\) 가 위다. 순서가 반대이므로 두 구간으로 나누어 적분한 뒤 더한다.

\[\int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}\]

\[\int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]

\[\text{넓이} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\]

구간을 나누지 않고 한 번에 적분한 경우를 확인한다.

\[\int_{-1}^{1} (x - x^3)\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0\]

결과는 \(0\) 이다. 그림에는 넓이가 존재하지만 적분값은 \(0\) 이다. 왼쪽 구간에서 \(x - x^3\) 이 음수이므로 양수 넓이와 음수 값이 서로 상쇄된 것이다. 적분은 넓이를 세는 것이 아니라 부호가 붙은 값을 계산한다. 두 값이 일치하려면 피적분함수가 구간 전체에서 \(0\) 이상이어야 하고, 그러려면 위 함수에서 아래 함수를 빼야 하며, 위아래가 바뀌는 지점에서 구간을 나누어야 한다. 결과가 \(0\) 이거나 음수로 나왔다면 계산 실수가 아니라 구간을 나누지 않은 것이다.

\[\text{교점이 } 3 \text{ 개 이상} \ \Rightarrow \ \text{구간을 나누고 각 구간에서 위아래를 다시 판정한다}\]

넓이에서 부피로 — 회전체#

적분의 적용 범위는 넓이에 한정되지 않는다. 곡선을 축 둘레로 회전시키면 입체가 된다. 그 입체를 얇은 원판으로 분할하면, 원판 하나의 부피를 적분하여 전체 부피를 얻는다.

앞에서는 세로 막대를 쌓아 넓이를 구했다. 여기서는 막대 대신 원판을 쌓는다. 곡선 \(y = f(x)\) 를 \(x\) 축 둘레로 회전시키면, 위치 \(x\) 에서의 원판은 반지름이 \(f(x)\), 두께가 \(dx\) 이다.

대응 관계를 정리한다. 바로 앞 절에서는 곡선 아래에 세로 막대를 하나 세웠다. 그 막대를 같은 자리에 둔 채 \(x\) 축을 회전축으로 하여 한 바퀴 회전시킨다. 막대의 끝이 지나간 자리는 원이 되고, 막대에 폭 \(dx\) 가 있으므로 결과는 원이 아니라 얇은 원판이 된다. 무엇이 무엇에 대응하는지를 표로 정리한다.

넓이를 잴 때 — 세로 막대	부피를 잴 때 — 원판(동전)
막대의 높이 \(f(x)\)	원판의 반지름 \(f(x)\)
막대의 폭 \(dx\)	원판의 두께 \(dx\)
막대 하나의 넓이 \(f(x)\,dx\)	원판 하나의 부피 \(\pi\left[f(x)\right]^2 dx\)
\(a\) 부터 \(b\) 까지 막대를 나란히 세운다	\(a\) 부터 \(b\) 까지 동전을 쌓는다

세로 막대의 높이였던 \(f(x)\) 는 회전 후 원판의 반지름이 된다. 회전체 계산의 핵심은 이 대응이다. 막대의 끝이 축에서 \(f(x)\) 만큼 떨어져 있으므로, 회전할 때 그 끝이 그리는 원의 반지름이 \(f(x)\) 이다.

\[\text{원판 하나의 부피} = \pi \left[ f(x) \right]^2 dx \qquad \Rightarrow \qquad V = \pi \int_a^b \left[ f(x) \right]^2 dx\]

원의 넓이 \(\pi r^2\) 에서 \(r\) 자리에 \(f(x)\) 를 대입하고, 두께 \(dx\) 를 곱해 적분한다. 이 계산에서 가장 빈번한 오류는 제곱을 빠뜨리는 것이다.

제곱의 출처는 표의 셋째 줄에 있다. 넓이는 높이 곱하기 폭이므로 \(f(x)\) 가 한 번만 쓰인다. 부피는 원의 넓이 곱하기 두께이고, 원의 넓이 \(\pi r^2\) 에는 반지름이 두 번 쓰인다. 그래서 제곱이 붙는다. 제곱을 빠뜨리는 것은 계산 실수라기보다 넓이 계산의 형태를 그대로 적용한 결과이다. 부피를 구하는 자리에서 \(f(x)\,dx\) 형태를 쓰고 있다면 그 지점에서 점검한다.

검산이 가능한 예부터 확인한다. \(y = x\) 를 \(x = 0\) 부터 \(x = 1\) 까지 \(x\) 축 둘레로 회전시킨다.

\[V = \pi \int_0^1 x^2\,dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}\]

이 입체는 밑면 반지름 \(1\), 높이 \(1\) 인 원뿔이다. 중학교에서 다룬 공식으로 확인한다.

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}\]

두 값이 일치한다. 원뿔 부피 공식의 \(\dfrac{1}{3}\) 은 여기서 나온다. \(x^2\) 을 적분하면 \(\dfrac{x^3}{3}\) 이기 때문이다. 이 공식은 적분으로 유도된다.

손으로 못 적는 적분도 있다#

초등함수로 역도함수를 쓸 수 없는 적분과, 기법을 몰라 풀지 못하는 적분은 다르다. 다음 함수를 살펴본다.

\[f(x) = e^{-x^2}\]

먼저 미분은 연쇄법칙으로 \(5\) 초 안에 계산된다.

\[\frac{d}{dx}e^{-x^2} = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x\,e^{-x^2}\]

미분은 규칙을 알면 항상 계산된다. 반대로 \(\displaystyle\int e^{-x^2}\,dx\) 를 계산한다. 치환을 시도해도 밖에 \(x\) 가 없으므로 \(u = -x^2\) 로 놓으면 \(du\) 가 맞지 않는다. 어떤 치환을 써도 계산되지 않는다. 이는 계산 능력의 문제가 아니다. 이 적분은 초등함수로 표현되지 않는다.

이 함수의 역도함수는 다항식, 분수식, 루트, 지수, 로그, 삼각함수를 유한 번 조합한 함수 — 이를 초등함수라 한다 — 안에서는 표현할 수 없다. 이는 아직 발견되지 않았다는 뜻이 아니라 존재하지 않음이 증명되었다는 뜻이다. \(1830\) 년대에 리우빌이 증명했다.

그렇다면 이 곡선 아래의 넓이를 구할 수 있는지가 문제가 된다. 구간을 \(0\) 에서 \(1\) 까지로 둔다.

\[\int_0^1 e^{-x^2}\,dx = \ ?\]

구할 수 있다. 정적분의 정의로 돌아가면 된다. 정적분을 처음 정의할 때 곡선 아래를 가느다란 직사각형으로 분할하여 더했다. 손 계산은 시간이 오래 걸리므로 미적분의 기본정리로 계산을 \(3\) 초 수준으로 단축한 것일 뿐, 정의 자체는 그대로 유효하다. 기본정리를 적용할 수 없는 경우에는 정의로 계산한다.

\[\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \ \approx \ f(x_1)\,\Delta x + f(x_2)\,\Delta x + \cdots + f(x_n)\,\Delta x \qquad \left( \Delta x = \frac{1}{n} \right)\]

폭이 \(\Delta x = \dfrac{1}{n}\) 인 직사각형 \(n\) 개를 전부 더한 값이다. 제32장에서 \(x^2\) 아래의 넓이를 구하려고 표를 채워 가며 손으로 계산한 것과 동일한 절차이며, 함수만 \(x^2\) 에서 \(e^{-x^2}\) 으로 바뀌었다.

같은 식을 기호로 줄여 쓰면 다음과 같다.

\[\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \ \approx \ \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x \qquad \left( \Delta x = \frac{1}{n} \right)\]

\(\sum\) 은 \(\int\) 와 마찬가지로 모두 더하라는 뜻이다. 다만 \(\int\) 는 무한히 얇은 것을 더할 때 쓰고, \(\sum\) 은 유한 개를 더할 때 쓴다. \(k\) 자리에 \(1, 2, \ldots, n\) 을 차례로 넣어 얻은 값을 전부 더한다는 의미이다. 위의 긴 식과 아래의 짧은 식은 동일한 내용이다.

직사각형 개수 \(n\) 을 늘리며 컴퓨터로 더한 값이다.

아래 표의 ‘리만 합’은 새 용어가 아니라 앞에서 수행한 계산에 붙은 이름이다. 직사각형의 넓이를 모두 더한 값, 곧 제32장에서 표를 채우며 계산한 값과 같은 것이다.

직사각형 개수 \(n\)	리만 합(각 칸 중점 높이로 만든 직사각형의 합)
\(10\)	\(0.7471\)
\(100\)	\(0.74683\)
\(1000\)	\(0.746824\)

\(n\) 을 키울수록 자릿수가 하나씩 확정된다. 참값은 \(0.7468241\ldots\) 이다. 역도함수 공식이 없어도 값은 구해진다. 정적분의 정의 자체가 이 합의 극한이며, 기본정리는 그 계산을 단축하는 수단이다. 공학과 통계에서 수치적분이 실제로 이 방식으로 수행된다.

적분이 계산되지 않는 경우는 두 종류로 구분된다. 하나는 아직 배우지 않은 기법이 필요한 경우이며, 이때는 해당 기법을 익히면 계산된다. 다른 하나는 초등함수 범위에 역도함수가 존재하지 않는 경우이며, 이때는 어떤 기법으로도 계산되지 않는다. 두 경우는 성격이 다르므로, 적분이 진행되지 않을 때는 초등함수 역도함수가 존재하는 문제인지를 먼저 확인한다. 이 확인 한 번이 불필요한 시도에 드는 \(30\) 분을 줄인다.

\(e^{-x^2}\) 의 그래프는 가운데가 볼록한 종 모양 곡선이며, 이것이 정규분포의 곡선이다. 여론조사 오차범위, 건강검진 정상 범위, 시험 표준점수가 모두 이 곡선에서 나온다. 통계에서 널리 쓰이는 곡선이지만 역도함수를 초등함수로 적을 수 없다. 그래서 통계 교재에는 수치표가 실려 있으며, 그 표는 직사각형의 합을 수치적으로 계산한 결과이다.

무한합의 정의 — 부분합의 극한#

도입에서 제시한 무한합으로 돌아온다. 그에 앞서 정의를 확정해야 한다. 무한히 더한다는 것의 뜻이 먼저 규정되어야 한다. 실제로 무한 번의 덧셈을 수행할 수는 없다.

\[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots \ \overset{?}{=} \ \text{무엇}\]

이 지점에서 정의를 다시 세운다. 무한히 더하는 대신, 유한 개까지 더하고 멈춘 값들의 수열을 사용한다.

\[S_1 = 1, \quad S_2 = 1 + \frac{1}{2}, \quad S_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}, \quad \ldots\]

\(S_n\) 을 부분합이라 한다. 그리고 무한합을 부분합의 극한으로 정의한다.

\[\text{무한합} \ = \ \lim_{n \to \infty} S_n\]

새로운 개념이 아니라 앞에서 다룬 극한과 같은 것이다. 무한합은 극한 문제로 환원된다.

\[\boxed{\ \text{무한합} = \text{부분합의 극한}\ }\]

수렴하는 예를 먼저 확인한다. 등비급수이다.

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots\]

부분합을 차례로 계산한다.

\[T_1 = \frac{1}{2}, \quad T_2 = \frac{3}{4}, \quad T_3 = \frac{7}{8}, \quad T_4 = \frac{15}{16}, \quad T_{10} = \frac{1023}{1024}\]

규칙은 \(T_n = 1 - \dfrac{1}{2^n}\) 이다. 값은 \(1\) 보다 조금 작고, \(n\) 이 커지면 그 차이가 \(0\) 으로 간다.

\[\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) = 1 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1\]

무한히 더한 값이 정확히 \(1\) 이다. 방 하나의 폭을 남은 거리의 절반씩 이동하는 상황에 대응한다. 이동 지점은 반대쪽 벽에 도달하지 않지만, 이동 거리의 합은 방의 폭과 정확히 같다. 이것이 수렴이며, 부분합이 어떤 수에 가까워지는 것을 말한다.

조화급수는 발산한다#

도입에서 제시한 합, 곧 항이 \(\dfrac{1}{n}\) 인 경우이다. 이를 조화급수라 한다. 부분합을 실제로 계산하면 다음과 같다.

항의 개수 \(n\)	부분합 \(H_n\)
\(1\)	\(1\)
\(2\)	\(1.5\)
\(4\)	\(2.083333\)
\(10\)	\(2.928968\)
\(16\)	\(3.380729\)
\(100\)	\(5.187378\)
\(1{,}000\)	\(7.485471\)
\(10{,}000\)	\(9.787606\)
\(100{,}000\)	\(12.090146\)
\(1{,}000{,}000\)	\(14.392727\)

\(1000\) 개를 더한 값이 \(7.49\) 이고, \(100\) 만 개를 더한 값이 \(14.4\) 이다. 증가 속도가 매우 느리다. 이 표만 보면 값이 \(15\) 나 \(16\) 부근에서 멈춘다고 판단하기 쉽다.

그러나 이 수열은 멈추지 않는다. 무한히 커진다. 항을 충분히 많이 더하면 \(100\) 도 넘고 \(1000\) 도 넘는다. 수치 계산만으로는 이를 확인할 수 없으므로, 이제 증명으로 확인한다.

오렘의 묶음 증명 (1350년경)#

약 \(700\) 년 전에 니콜 오렘(Nicole Oresme)이 이 사실을 증명했다. 미적분이 성립하기 \(300\) 년 전이며, 증명에는 초등 산술만 사용된다. 항을 \(1\), \(2\), \(4\), \(8\) 개씩 늘어나는 묶음으로 나눈다.

\[1 \ + \ \underbrace{\frac{1}{2}} \ + \ \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \ + \ \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \ + \ \underbrace{\frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16}} \ + \ \cdots\]

각 묶음 안의 항을 모두 그 묶음의 가장 작은 항으로 낮춰 바꾼다. 이렇게 값을 낮춘 뒤에도 어떤 값이 나온다면, 원래 합은 그보다 크다.

\[\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \ > \ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

\(\dfrac{1}{3}\) 은 \(\dfrac{1}{4}\) 보다 크므로, \(\dfrac{1}{3}\) 을 \(\dfrac{1}{4}\) 로 낮추면 합은 줄어든다. 낮춘 상태에서도 \(\dfrac{1}{2}\) 이 되므로 원래 값은 \(\dfrac{1}{2}\) 보다 크다. 다음 묶음도 동일하다.

\[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \ > \ 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \qquad \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} \ > \ 8 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{2}\]

표로 정리한다.

묶음	항	항의 개수	가장 작은 항	하한	실제 합
1	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
2	\(\dfrac{1}{2}\)	\(1\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0.5\)
3	\(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\)	\(2\)	\(\dfrac{1}{4}\)	\(2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)	\(0.583333\)
4	\(\dfrac{1}{5} + \cdots + \dfrac{1}{8}\)	\(4\)	\(\dfrac{1}{8}\)	\(4 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}\)	\(0.634524\)
5	\(\dfrac{1}{9} + \cdots + \dfrac{1}{16}\)	\(8\)	\(\dfrac{1}{16}\)	\(8 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{2}\)	\(0.662872\)
6	\(\dfrac{1}{17} + \cdots + \dfrac{1}{32}\)	\(16\)	\(\dfrac{1}{32}\)	\(16 \times \dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2}\)	\(0.677766\)
7	\(\dfrac{1}{33} + \cdots + \dfrac{1}{64}\)	\(32\)	\(\dfrac{1}{64}\)	\(32 \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{2}\)	\(0.685396\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	언제나 \(\dfrac{1}{2}\)	\(\vdots\)

하한 열의 값은 모두 \(\dfrac{1}{2}\) 이다. 묶음마다 항의 개수가 두 배가 되고, 가장 작은 항은 절반이 된다. 개수와 크기의 곱이므로 언제나 \(\dfrac{1}{2}\) 이 남는다.

표의 열을 그대로 읽으면 규칙이 확정된다. ‘항의 개수’ 열은 \(1, 2, 4, 8, 16, \ldots\) 로 두 배씩 늘어나고, ‘가장 작은 항’ 열은 \(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \dfrac{1}{32}, \ldots\) 로 절반씩 줄어든다. 두 배와 절반이 곱해지므로 곱은 일정하다. 여기까지가 증명의 전부이며, 지수 기호는 사용되지 않았다.

이것을 기호로 줄여 적으면 다음과 같다. 묶음 \(k\) 에는 항이 \(2^{k-2}\) 개 있고, 그중 가장 작은 항이 \(\dfrac{1}{2^{k-1}}\) 이다 (\(k \ge 2\)).

\[\text{묶음 } k \text{ 의 합} \ > \ 2^{k-2} \times \frac{1}{2^{k-1}} = \frac{1}{2}\]

식에 구체적인 수를 대입하여 표와 대조한다. \(k=3\) 이면 항의 개수는 \(2^{3-2} = 2^1 = 2\) 개, 가장 작은 항은 \(\dfrac{1}{2^{3-1}} = \dfrac{1}{4}\), 곱은 \(2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\) 로 표의 \(3\) 행과 정확히 같다. \(k=4\) 이면 \(2^2 = 4\) 개에 \(\dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\) 이므로 곱은 역시 \(\dfrac{1}{2}\) 이고, 표의 \(4\) 행과 같다. 표와 일치하므로 식도 성립한다.

묶음을 \(n\) 개 지날 때 누적되는 최솟값을 구한다.

먼저 묶음의 개수를 센다. 항을 \(2^n\) 개까지 더하면 묶음을 몇 개 지나는지를 확인한다. \(n=4\) 로 센다. 항이 \(16\) 개이고, 묶음은 \(1\) / \(\dfrac{1}{2}\) / \(\dfrac{1}{3}\!+\!\dfrac{1}{4}\) / \(\dfrac{1}{5}\!\sim\!\dfrac{1}{8}\) / \(\dfrac{1}{9}\!\sim\!\dfrac{1}{16}\) 의 다섯 개이다. \(n=4\) 인데 묶음은 \(5\) 개, 곧 \(n+1\) 개이다. 그중 맨 앞 묶음은 \(1\) 이고, 나머지 \(n\) 개가 각각 \(\dfrac{1}{2}\) 이상이다. 따라서 합은 \(1\) 에 \(\dfrac{1}{2}\) 을 \(n\) 번 더한 값보다 작을 수 없다.

\[H_{2^n} \ > \ 1 + \frac{n}{2}\]

\(n=4\) 를 대입하면 \(H_{16} > 1 + \dfrac{4}{2} = 3\) 이다. 항 \(16\) 개를 더한 값이 \(3\) 을 넘는다는 사실이 실제 덧셈 없이 확인된다. (앞 표의 실제 값은 \(3.380729\) 이며, 하한과 일치한다.)

\(n\)	항 개수 \(2^n\)	하한 \(1 + \dfrac{n}{2}\)	실제 \(H_{2^n}\)
\(3\)	\(8\)	\(2.5\)	\(2.717857\)
\(5\)	\(32\)	\(3.5\)	\(4.058495\)
\(8\)	\(256\)	\(5\)	\(6.124345\)
\(10\)	\(1024\)	\(6\)	\(7.509176\)

\(\dfrac{n}{2}\) 은 \(n\) 을 키우면 얼마든지 커진다. 합이 \(200\) 을 넘게 하려면 묶음을 \(400\) 개 지나면 된다. 따라서 이 합에는 상계가 없다. 조화급수는 발산한다.

정리하면 다음과 같다. 항은 \(0\) 으로 간다. 그리고 합은 무한히 커진다. 두 명제가 동시에 성립한다. 항이 작아지는 속도보다 항의 개수가 늘어나는 속도가 더 빠르기 때문이다. 유한 개의 덧셈에서 형성된 판단은 무한합에 그대로 적용되지 않는다.

발산의 속도#

이 합이 \(10\) 을 넘으려면 항이 \(12{,}367\) 개 필요하다.

\[H_{12367} = 10.000043\]

\(20\) 을 넘으려면 약 \(2\) 억 \(7\) 천만 개, \(100\) 을 넘으려면 약 \(1.5 \times 10^{43}\) 개가 필요하다. 이는 우주에 있는 원자 개수와 비슷한 규모이다. 항의 개수가 충분히 크면 값은 결국 그 수를 넘는다. 발산은 값이 빨리 커진다는 뜻이 아니라 멈추지 않는다는 뜻이다.

수렴하는 경우#

분모를 \(n^2\) 으로 바꾸면 결과가 달라진다.

\[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \quad \text{발산} \qquad\qquad 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots \quad \text{수렴}\]

뒤쪽 급수의 부분합은 다음과 같다.

\(n\)	\(1 + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{n^2}\)
\(10\)	\(1.549768\)
\(100\)	\(1.634984\)
\(1{,}000\)	\(1.643935\)
\(10{,}000\)	\(1.644834\)

이 급수는 수렴한다. 값은 \(1.6449\ldots\) 이며, 정확한 값은 \(\dfrac{\pi^2}{6}\) 이다. 그 증명은 이 책의 범위를 벗어난다. 오일러가 이 값을 구했고, 당시의 주요 미해결 문제였다. 여기서 확인할 것은 하나이다. 분모가 \(n\) 이면 발산하고 \(n^2\) 이면 수렴한다. 두 경우 모두 항은 \(0\) 으로 간다. 따라서 항이 \(0\) 으로 간다는 사실만으로는 수렴 여부가 결정되지 않는다.

두 명제를 나란히 놓으면 구조가 드러난다.

\[\text{수렴한다} \ \Rightarrow \ \text{항이 } 0 \text{ 으로 간다} \quad \text{(참)}\]

\[\text{항이 } 0 \text{ 으로 간다} \ \Rightarrow \ \text{수렴한다} \quad \text{(거짓 — 조화급수가 반례)}\]

앞에서 극값을 다룰 때, 극점이면 반드시 \(f'=0\) 이지만 \(f'=0\) 이라고 모두 극점은 아니었던 것과 같은 구조이다(\(y = x^3\) 의 \(x=0\) 이 반례였다). 항이 \(0\) 으로 가는 것은 수렴의 필요조건이며, 수렴 여부는 부분합의 극한이 결정한다.

이 명제의 대우는 실제 판정에 사용된다. 항이 \(0\) 으로 가지 않으면 그 급수는 발산한다. \(1 + 1 + 1 + \cdots\) 이나 \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + \cdots\) 는 이 기준만으로 발산이 판정된다.

빈번한 오류#

“항이 \(0\) 으로 가니까 수렴한다”

유한 개를 더할 때는 각 항이 작으면 합도 작다. 조화급수는 이 성질이 무한합에서 성립하지 않음을 보여 준다. 항은 \(0\) 으로 가지만 부분합에는 상계가 없다. 더 근본적으로는 극한과 덧셈의 순서를 바꿀 수 있다는 가정이 오류이다. 항마다 극한을 먼저 취하면 \(0+0+0+\cdots = 0\) 이고, 먼저 더하고 극한을 취하면 무한대이다. 무한 개의 항에서는 두 결과가 일치하지 않는다. 항이 \(0\) 으로 가는 것은 수렴의 필요조건이며, 수렴 여부는 부분합의 극한이 결정한다.

확인 문제: \(1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \cdots\) 와 \(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots\) 중 수렴하는 것은? 그리고 그 판단의 근거가 “항이 \(0\) 으로 가는가”인가? (답: 앞의 것이 수렴. 근거는 항이 \(0\) 으로 가는지가 아니다 — 둘 다 그렇다. 부분합이 어떤 값에 가까워지는지가 근거다.)

위아래를 정하지 않고 뺀다

결과가 음수로 나왔는데 그대로 답으로 쓰는 오류이다. \(-\dfrac{4}{3}\), \(-\dfrac{9}{2}\) 같은 값을 답으로 쓰면서 문제에 제시된 순서대로 뺐다고 설명하는 경우가 있다. “\(f - g\)”라는 공식만 기억하고, \(f\) 가 위 함수라는 조건이 그 공식에 함께 붙어 있다는 점을 놓친 것이다. 넓이는 음수가 되지 않는다. 음수가 나왔다면 계산이 틀린 것이 아니라 순서가 반대인 것이며, 부호만 바꾸면 답이 된다. 구간 안의 임의의 수를 하나 골라 두 함수에 대입하고 값이 큰 쪽을 위로 정하는 대표값 대입은 \(10\) 초면 된다.

확인 문제: \(y = x^2 - 4\) 와 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이. (답: \(\dfrac{32}{3}\). 구간 \([-2,2]\) 에서 \(x=0\) 을 넣으면 곡선이 \(-4\) 로 아래이니 위 함수는 \(x\) 축이다.)

위아래가 바뀌는데 한 번에 적분한다

\(y=x^3\) 와 \(y=4x\) 같은 문제에서 결과가 \(0\) 으로 나왔는데 그대로 쓰는 오류이다. 교점을 두 개만 구하고 멈춘 것이다. \(x(x^2-4)=0\) 에서 \(x=\pm2\) 만 보고 \(x=0\) 을 누락했다. 원인은 인수분해에서 공통인수 \(x\) 를 근으로 세지 않는 데 있다. 교점의 개수를 먼저 센다. 세 개이면 구간을 나눈다. 두 곡선이 세 번 만나면 그 사이에서 위아래가 반드시 한 번 뒤집힌다. 교점을 전부 구하고, 이웃한 교점 사이마다 대표값을 하나씩 대입한다.

확인 문제: \(y = x^3\) 와 \(y = x\) 로 둘러싸인 전체 넓이. (답: \(\dfrac{1}{2}\). 교점 \(x=-1,0,1\), 두 구간에서 각각 \(\dfrac{1}{4}\).)

교점을 구하지 않고 문제의 숫자를 상·하한으로 쓴다

“\(y=x^2\) 와 \(y=x+2\) 사이의 넓이”에서 \(\displaystyle\int_0^2\) 이나 \(\displaystyle\int_1^2\) 처럼 문제에 제시된 숫자를 상·하한에 그대로 넣는 오류이다. 앞 장까지는 모든 문제가 “\(x=a\) 에서 \(x=b\) 까지”로 구간을 제시했으나, 이 장부터는 구간이 주어지지 않는다. 구간이 구해야 할 대상으로 바뀐 것이다. “둘러싸인”이라는 표현이 있으면 상·하한은 문제에 있는 숫자가 아니라 교점이다. 네 단계(①그림 ②교점 ③위아래 ④적분)에서 ②를 생략한 풀이는 ③에서 오류가 발생한다.

확인 문제: “\(y = 9 - x^2\) 와 \(y = 5\) 로 둘러싸인 부분”의 적분 구간은? (답: \(9-x^2=5\) 에서 \(x^2=4\), 즉 \(-2\) 부터 \(2\) 까지. \(5\) 나 \(9\) 가 아니다. 넓이는 \(\dfrac{32}{3}\).)

연습문제#

계산기를 사용하지 않는다. 모든 넓이 문항은 그림부터 그린다. 그림 없이 식만 세우면 위아래 판정에서 오류가 발생한다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음으로 넘어간다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A \(y = x\) 와 \(y = x^2\) 로 둘러싸인 부분의 넓이
A \(y = 4\) 와 \(y = x^2\) 로 둘러싸인 부분의 넓이
A \(y = 2 - x^2\) 와 \(y = x^2\) 로 둘러싸인 부분의 넓이
A 곡선 \(y = x^2 - 2x\) 와 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이 (교점 사이). 계산 전에 이 곡선이 그 구간에서 \(x\) 축 위에 있는지 아래에 있는지 먼저 쓰라.
B \(y = 6 - x^2\) 와 \(y = x\) 로 둘러싸인 부분의 넓이
B \(y = x^2\) 와 \(y = x^3\) 로 둘러싸인 부분의 넓이
B \(y = x^3\) 와 \(y = 4x\) 로 둘러싸인 부분의 전체 넓이
B \(y = \sqrt{x}\) 를 \(x=0\) 에서 \(x=4\) 까지 \(x\) 축 둘레로 돌린 입체의 부피
B 등비급수 \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots\) 의 부분합 \(T_n\) 을 \(n\) 에 대한 식으로 쓰고, \(n \to \infty\) 일 때의 극한을 구하라.
B 오렘의 방법으로 \(H_{16} = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{16}\) 이 \(3\) 보다 크다는 것을 보여라. (실제 값은 계산하지 말 것)
B 자동차 A와 B가 같은 지점에서 동시에 출발했다. \(t\) 초 후 A의 속도는 \(2t\) m/s, B의 속도는 \(t^2\) m/s 이다. 출발 후 \(2\) 초 동안 A가 B보다 몇 m 더 갔는가? (속도 그래프 사이의 넓이가 거리 차이다)
C 어떤 컴퓨터가 조화급수를 초당 \(10\) 억 항씩 더한다. 합이 \(100\) 을 넘으려면 약 \(1.5 \times 10^{43}\) 개의 항이 필요하다. 몇 년이 걸리는가? (1년은 약 \(3.15 \times 10^7\) 초로 계산하고, 자릿수만 맞으면 정답)
C \(y = \sqrt{x}\) 와 \(y = x^2\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하라. 그리고 \(0 < x < 1\) 에서 왜 \(\sqrt{x}\) 가 위인지 한 줄로 설명하라.

정답과 해설

\(\dfrac{1}{6}\) — 교점 \(x=0,1\). \(x=\dfrac{1}{2}\) 에서 직선이 위. \(\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)dx = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{32}{3}\) — 교점 \(x=\pm 2\). \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)dx = 16 - \dfrac{16}{3}\)
\(\dfrac{8}{3}\) — 교점: \(2-x^2 = x^2\) 에서 \(x^2=1\), \(x=\pm1\). \(x=0\) 에서 \(2 > 0\) 이므로 \(2-x^2\) 이 위. \(\displaystyle\int_{-1}^{1}(2-2x^2)dx = 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}\)
곡선이 \(x\) 축 아래에 있다. 넓이 \(= \dfrac{4}{3}\). 교점 \(x=0,2\). \(x=1\) 에서 \(y = -1 < 0\). 위 함수는 \(x\) 축(\(y=0\)), 아래 함수는 \(x^2-2x\). \(\displaystyle\int_0^2 \left[0 - (x^2-2x)\right]dx = \int_0^2 (2x - x^2)dx = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}\). 빈번한 오류: \(\displaystyle\int_0^2 (x^2-2x)dx = -\dfrac{4}{3}\). 넓이에 마이너스가 붙으면 위아래를 반대로 쓴 것이다.
\(\dfrac{125}{6}\) — 교점: \(6-x^2 = x\) 에서 \(x^2+x-6=0\), \((x+3)(x-2)=0\), \(x=-3, 2\). \(x=0\) 에서 \(6 > 0\) 이므로 포물선이 위. \(\displaystyle\int_{-3}^{2}(6-x-x^2)dx = \dfrac{125}{6}\)
\(\dfrac{1}{12}\) — 교점 \(x=0,1\). \(x=\dfrac{1}{2}\) 에서 \(\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{8}\) 이므로 \(x^2\) 이 위. \(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\). (\(0\) 과 \(1\) 사이의 수는 곱할수록 작아지므로 \(x^2 > x^3\) 이다.)
\(8\) — 위아래가 바뀌는 문항. 교점: \(x^3=4x\) 에서 \(x(x^2-4)=0\), \(x=-2,0,2\). 교점이 셋이므로 나눈다. \(x=-1\) 에서 \(x^3=-1\), \(4x=-4\) 이므로 \(x^3\) 이 위. \(x=1\) 에서 \(1 < 4\) 이므로 \(4x\) 가 위. \(\displaystyle\int_{-2}^{0}(x^3-4x)dx = 4\), \(\displaystyle\int_{0}^{2}(4x-x^3)dx = 4\). 합 \(8\). 빈번한 오류: 나누지 않고 \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(4x-x^3)dx = 0\). 결과가 \(0\) 이면 구간을 나누지 않은 것이다.
\(8\pi\) — \(\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi \cdot 8\). 빈번한 오류: 제곱을 빠뜨리고 \(\pi\int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \dfrac{16\pi}{3}\)
\(T_n = 1 - \dfrac{1}{2^n}\), 극한은 \(1\). \(n\) 이 커지면 \(\dfrac{1}{2^n} \to 0\) 이므로 \(T_n \to 1\). 무한합은 부분합의 극한이라는 정의를 그대로 적용한 것이다.
\(H_{16} = 1 + \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{5}+\cdots+\dfrac{1}{8}\right) + \left(\dfrac{1}{9}+\cdots+\dfrac{1}{16}\right)\). 맨 앞의 \(1\) 을 떼어 놓으면 \(\dfrac{1}{2}\) 자체와 괄호 셋, 곧 네 덩어리가 남는다(괄호는 셋인데 세어야 할 덩어리는 넷이다 — \(\dfrac{1}{2}\) 은 항이 하나뿐이어서 괄호를 치지 않았다). 이 네 덩어리가 각각 \(\dfrac{1}{2}\) 이상이므로 \(H_{16} > 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{4}{2} = 3\). 본문의 \(H_{2^n} > 1 + \dfrac{n}{2}\) 에 \(n=4\) 를 대입한 것과 같다. (실제 값 \(3.380729\) — 하한과 일치한다.)
\(\dfrac{4}{3}\) m — 속도 그래프 아래 넓이가 이동 거리다. 차이는 두 그래프 사이의 넓이. \(0 < t < 2\) 에서 \(2t\) 가 위(\(t=1\) 에서 \(2 > 1\)). \(\displaystyle\int_0^2 (2t - t^2)dt = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}\). 빈번한 오류: 두 속도를 그대로 빼서 답을 속도 단위로 낸다. 속도의 적분이 거리라는 것을 놓친 것이다.
약 \(5 \times 10^{26}\) 년. \(\dfrac{1.5\times10^{43}}{10^{9}} = 1.5\times10^{34}\) 초. \(\dfrac{1.5\times10^{34}}{3.15\times10^{7}} \approx 4.8\times10^{26}\) 년. 우주 나이가 약 \(1.4\times10^{10}\) 년이므로 그 \(3\) 경 배가 넘는다. 요점: 값은 결국 그 수를 넘는다. 발산은 “빠르다”는 뜻이 아니라 “멈추지 않는다”는 뜻이다.
\(\dfrac{1}{3}\) — 교점: \(\sqrt{x} = x^2\) 에서 \(x = 0, 1\). \(x = \dfrac{1}{4}\) 에서 \(\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}\), \(x^2 = \dfrac{1}{16}\) 이므로 \(\sqrt{x}\) 가 위. \(\displaystyle\int_0^1 (x^{1/2} - x^2)dx = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\). 설명 예시: “\(0\) 과 \(1\) 사이의 수는 제곱하면 작아지고 제곱근을 씌우면 커지므로, 그 구간에서는 \(\sqrt{x} > x > x^2\) 이다.”

추가 연습문제#

넓이 문항은 전부 그림을 그리고 시작한다. 하루 \(20\) 분씩 나누어 풀 수 있는 분량이다.

곡선과 \(x\) 축 사이

\(y = x^2\) 와 \(x\) 축, \(x=0\) 부터 \(x=3\) 까지로 둘러싸인 부분의 넓이
\(y = 4 - x^2\) 와 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이
\(y = x^3\) 와 \(x\) 축, \(x=0\) 부터 \(x=2\) 까지로 둘러싸인 부분의 넓이
\(y = x^2 - 4x\) 와 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이 (곡선이 축 위인지 아래인지 먼저 판정할 것)

두 곡선 사이

\(y = 3x\) 와 \(y = x^2\)
\(y = x + 6\) 와 \(y = x^2\)
\(y = 8 - x^2\) 와 \(y = x^2\)
\(y = 2x + 3\) 와 \(y = x^2\)
\(y = \sqrt{x}\) 와 \(y = x\) (교점 사이)

위아래 뒤바뀜, 그리고 회전체

\(y = x^3\) 와 \(y = x\) 로 둘러싸인 전체 넓이. 나누지 않고 \(\displaystyle\int_{-1}^{1}(x - x^3)dx\) 를 계산하면 무엇이 나오는지도 함께 쓰고, 왜 그 값이 넓이가 아닌지 한 줄로 설명하라.
\(y = x^3\) 와 \(y = 9x\) 로 둘러싸인 전체 넓이
\(y = x\) 를 \(x=0\) 부터 \(x=3\) 까지 \(x\) 축 둘레로 돌린 입체의 부피를 구하고, 중학교 원뿔 공식 \(\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) 로 검산하라.

급수

조화급수의 부분합 \(H_8 = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{8}\) 을 분수로 구하라. 그리고 오렘의 묶음 하한 \(1 + \dfrac{3}{2} = 2.5\) 와 비교해 하한이 맞는지 확인하라.
등비급수 \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots\) 의 부분합 \(T_n\) 을 \(n\) 의 식으로 쓰고 극한을 구하라. 그리고 “무한합은 부분합의 극한”이라는 문장이 이 문제에서 어떻게 쓰였는지 한 줄로 쓰라.
항이 \(0\) 으로 가는데도 발산하는 급수의 예를 하나 들고, 왜 발산하는지 두 문장으로 설명하라.

정답과 해설

\(9\) — \(\displaystyle\int_0^3 x^2 dx = \dfrac{27}{3}\)
\(\dfrac{32}{3}\) — 교점 \(x=\pm2\). \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)dx\)
\(4\) — \(\displaystyle\int_0^2 x^3 dx = \dfrac{16}{4}\)
\(\dfrac{32}{3}\) — 교점 \(x=0,4\). \(x=2\) 에서 \(y=-4\) 이므로 곡선이 아래, \(x\) 축이 위. \(\displaystyle\int_0^4 (4x - x^2)dx = 32 - \dfrac{64}{3} = \dfrac{32}{3}\). 빈번한 오류: \(-\dfrac{32}{3}\) (순서 뒤집힘)
\(\dfrac{9}{2}\) — 교점 \(x=0,3\). \(x=1\) 에서 \(3 > 1\) 이므로 직선이 위. \(\displaystyle\int_0^3(3x-x^2)dx = \dfrac{27}{2} - 9\)
\(\dfrac{125}{6}\) — 교점: \(x^2-x-6=0\), \((x-3)(x+2)=0\), \(x=-2,3\). \(x=0\) 에서 \(6>0\) 이므로 직선이 위. \(\displaystyle\int_{-2}^{3}(x+6-x^2)dx\)
\(\dfrac{64}{3}\) — 교점: \(8-x^2=x^2\), \(x^2=4\), \(x=\pm2\). \(x=0\) 에서 \(8>0\). \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(8-2x^2)dx = 32 - \dfrac{32}{3}\)
\(\dfrac{32}{3}\) — 교점: \(x^2-2x-3=0\), \((x-3)(x+1)=0\), \(x=-1,3\). \(x=0\) 에서 \(3>0\) 이므로 직선이 위. \(\displaystyle\int_{-1}^{3}(2x+3-x^2)dx\)
\(\dfrac{1}{6}\) — 교점 \(x=0,1\). \(x=\dfrac{1}{4}\) 에서 \(\sqrt{x}=\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4}\) 이므로 \(\sqrt{x}\) 가 위. \(\displaystyle\int_0^1 (x^{1/2}-x)dx = \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{2}\). 나누지 않으면 \(0\) 이 나온다. 설명 예시: “\(-1 < x < 0\) 에서는 \(x^3\) 이 위인데 \(x - x^3\) 으로 계산하면 그 구간의 값이 음수가 되어, 오른쪽 구간의 양수 넓이와 서로 지워지기 때문.” 교점 \(x=-1,0,1\), 각 구간이 \(\dfrac{1}{4}\).
\(\dfrac{81}{2}\) — 교점: \(x^3=9x\), \(x(x^2-9)=0\), \(x=-3,0,3\). \(x=-1\) 에서 \(x^3=-1 > 9x=-9\) 이므로 \(x^3\) 이 위. \(\displaystyle\int_{-3}^{0}(x^3-9x)dx = \dfrac{81}{4}\), \(\displaystyle\int_{0}^{3}(9x-x^3)dx = \dfrac{81}{4}\). 합 \(\dfrac{81}{2}\).
\(9\pi\) — \(\pi\displaystyle\int_0^3 x^2 dx = 9\pi\). 검산: 밑면 반지름 \(3\), 높이 \(3\) 인 원뿔이므로 \(\dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi\). 일치한다.
\(H_8 = \dfrac{761}{280} \approx 2.717857\). 하한 \(2.5\) 보다 크므로 하한이 맞다. 요점: 하한은 실제 값이 그보다 크다는 것만 보장하며, 실제 값과 같지 않다. 하한이 무한히 커지면 실제 값도 무한히 커지므로 증명은 하한만으로 완결된다.
\(T_n = 1 - \dfrac{1}{2^n}\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n = 1\). 설명 예시: “무한합의 값을 직접 구할 수 없으므로 유한 개까지 더한 \(T_n\) 을 만들고, 거기에 \(n \to \infty\) 극한을 취해 \(1\) 을 얻었다. 무한합의 정의가 그대로 계산 절차가 된 것이다.”
예: 조화급수 \(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots\). 예시 답안: “항을 \(1\)개, \(1\)개, \(2\)개, \(4\)개, \(8\)개씩 묶으면 각 묶음의 합이 항상 \(\dfrac{1}{2}\) 보다 크다. 묶음은 무한히 많으므로 \(\dfrac{1}{2}\) 이 무한히 더해지고, 부분합에 상계가 없다.” — 핵심은 묶음마다 \(\dfrac{1}{2}\) 이상이라는 문장이 들어가는 것이다. “항이 천천히 작아져서”라고만 쓰면 부분 정답이다. 근거가 되는 부등식이 제시되지 않았기 때문이다.

요약과 다음 장#

이 장의 앞부분은 적분의 응용이었다. 두 곡선 사이의 넓이는 네 단계 — 그림, 교점, 위아래, 적분 — 로 구하고, 위 함수에서 아래 함수를 뺀다. 교점이 셋 이상이면 위아래가 바뀌므로 구간을 나눈다. 같은 적분으로 회전체의 부피까지 구했고, 초등함수로 적을 수 없는 적분(\(e^{-x^2}\))도 정적분의 정의로 돌아가면 넓이를 구할 수 있다는 것을 확인했다.

뒷부분은 무한합의 기초였다. 무한합은 부분합의 극한이다. 그리고 조화급수는 유한합에서 형성된 직관이 무한합에 적용되지 않음을 보여 준다. 항이 \(0\) 으로 가는 것은 수렴의 필요조건일 뿐, 충분조건이 아니다. “\(\dfrac{1}{n}\) 이 \(0\) 으로 가므로 합도 멈춘다”는 추론은 유한합의 경험에서 나온 것이고, 오렘의 묶음 논증이 이에 대한 반례를 제시한다. 이 구분은 \(2000\) 년 가까이 정립되지 않았던 것이다.

다음 제36장에서는 일변수 미적분 전체를 종합한다. 극한·미분·적분이 서로 다른 기술이 아니라 하나의 이야기였음을, 섞인 문제들을 스스로 풀며 확인한다.