# 제35장 · 적분의 응용과 급수 맛보기

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **원본 코드** | R3-W15 |
| **선행 내용** | 제34장 · 치환적분 |
| **요지** | 두 곡선 사이의 넓이로 적분의 적용 범위를 확장하고, 무한합에서 유한합의 직관이 성립하지 않음을 확인한다. |
:::

## 도입

다음 무한합이 어떤 수로 수렴하는지, 아니면 무한히 커지는지를 판정하는 것이 이 장 후반부의 주제다.

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$

더하는 수는 점점 작아진다. $\dfrac{1}{100}$, $\dfrac{1}{10000}$, $\dfrac{1}{1000000}$ 으로 줄어들어 결국 $0$ 에 가까워진다. 여기서 합도 어느 값에서 멈추리라고 판단하는 경우가 많다. 더하는 항이 $0$ 에 가까워지므로 합도 유한한 값에 머문다는 추론이다. 이 장의 끝에서 이 추론을 정면으로 다룬다. 결론을 먼저 밝히면 이 합은 **멈추지 않는다.** 그리고 이 사실은 $700$ 년 전에 초등 산술만으로 증명되었다.

그에 앞서 다룰 내용이 있다. 앞 장까지는 곡선 하나와 $x$ 축 사이의 넓이를 구했고, 치환적분으로 그 계산을 정착시켰다. 이 장에서는 넓이의 대상을 곡선 **두 개** 사이로 확장한다. 그 뒤에 위의 무한합으로 돌아온다.

이 장은 두 부분으로 구성된다. 앞부분은 적분의 **응용** — 두 곡선 사이의 넓이, 그리고 회전체의 부피다. 뒷부분은 무한합의 기초로, 유한한 경우에서 형성된 직관이 어느 지점에서 성립하지 않는지를 다룬다.

## 두 곡선 사이의 넓이

핵심은 다음 한 문장이다. **두 곡선 사이의 넓이는 위 함수에서 아래 함수를 뺀 것을 적분한 값이다.** 따라서 첫 단계는 적분이 아니라 교점을 구하는 것이다.

두 곡선 사이에 세로 막대 하나를 세운 그림에서 출발한다.

```{image} /_static/figs/ch35_between.svg
:alt: 두 곡선 사이의 넓이와 세로 막대
:width: 360px
:align: center
:class: chfig
```

앞 장까지 다룬 것은 곡선 하나와 $x$ 축 사이의 넓이였다. 그때 세로 막대의 높이는 $f(x)$ 였다. 바닥이 $x$ 축, 곧 높이 $0$ 이었기 때문이다.

$$\text{막대 높이} = f(x) - 0 = f(x)$$

이 절에서는 바닥이 $x$ 축이 아니라 **다른 곡선** $g(x)$ 이다. 이때 막대의 높이는 위 좌표에서 아래 좌표를 뺀 값이 된다.

$$\text{막대 높이} = f(x) - g(x)$$

이 절에서 새로 추가되는 것은 이 한 가지이며, 나머지는 앞 장까지 다룬 적분이다. 이 막대를 $a$ 부터 $b$ 까지 무한히 얇게 쌓으면 넓이가 된다.

$$\text{넓이} = \int_a^b \left[ f(x) - g(x) \right] dx$$

**위에서 아래를 뺀다.** 순서가 결과의 부호를 결정한다. 순서를 반대로 하면 값에 음의 부호가 붙는다. 넓이는 음수가 될 수 없으므로, 음수가 나왔다면 순서를 반대로 쓴 것이다. 이 공식은 $g$ 가 $x$ 축 아래로 내려가는 경우에도 그대로 성립한다. 막대 높이는 언제나 위 좌표에서 아래 좌표를 뺀 값이고, 음수 좌표를 빼면 높이는 오히려 커진다. 그림에서 이 관계를 확인할 수 있다.

풀이는 네 단계로 진행한다.

$$\text{① 그림을 그린다} \ \to \ \text{② 교점을 구한다} \ \to \ \text{③ 위아래를 정한다} \ \to \ \text{④ 적분한다}$$

①을 생략하면 ③에서 오류가 발생한다. 개형만 맞으면 충분하며, 포물선이 위로 볼록인지 아래로 볼록인지만 정확하면 된다. ③은 다음 방법으로 수행한다. 위아래를 눈으로 추정하지 않고, **구간 안의 임의의 수를 하나 골라 두 함수에 대입한 뒤 값이 큰 쪽을 위 함수로 정한다.** 이를 대표값 대입이라 한다. 교점 사이에서는 위아래가 바뀌지 않으므로 한 점만 확인하면 된다.

### 예제 1 — 완전한 한 문제

$y = x + 2$ 와 $y = x^2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다.

**① 그림.** 직선 하나, 위로 열린 포물선 하나. 직선이 포물선을 두 군데서 자른다.

**② 교점.** 두 식을 같게 놓는다.

$$x^2 = x + 2 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 2 = 0 \ \Rightarrow \ (x - 2)(x + 1) = 0 \ \Rightarrow \ x = -1, \ x = 2$$

이 단계에서 인수분해가 필요하다. 인수분해가 되지 않으면 이 문제는 첫 줄에서 진행되지 않으며, 그때 문제가 되는 것은 적분이 아니라 인수분해([제14·15장](../part2/ch14.md))이다.

**③ 위아래.** 구간 $-1 < x < 2$ 안에서 임의의 수를 고른다. $x = 0$ 을 대입한다.

$$\text{직선: } 0 + 2 = 2 \qquad \text{포물선: } 0^2 = 0$$

$2$ 가 $0$ 보다 크므로 **직선이 위다.**

**④ 적분.**

$$\int_{-1}^{2} \left[ (x+2) - x^2 \right] dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$$

$$= \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

$\dfrac{9}{2}$, 곧 $4.5$ 이다. 결과를 그림과 대조하여 점검한다. 가로 폭이 $3$ 이고 최대 높이가 $\dfrac{9}{4} = 2.25$ 정도인 렌즈 모양이므로 넓이는 $4$ 부근이 되고, 계산 결과와 일치한다. 답을 구한 뒤 그림과 대조하면 큰 오차를 발견할 수 있다.

### 예제 2 — 빠르게

$y = x$ 와 $y = x^2$ 로 둘러싸인 부분이다.

$$x^2 = x \ \Rightarrow \ x(x-1) = 0 \ \Rightarrow \ x = 0, \ 1$$

$x = \dfrac{1}{2}$ 를 대입하면 직선은 $\dfrac{1}{2}$, 포물선은 $\dfrac{1}{4}$ 이므로 직선이 위다.

$$\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

## 위아래가 바뀌면 구간을 나눈다

이번에는 $y = x^3$ 와 $y = x$ 이다. 교점을 구한다.

$$x^3 = x \ \Rightarrow \ x(x^2 - 1) = 0 \ \Rightarrow \ x = -1, \ 0, \ 1$$

교점이 **세 개**이다. 앞의 예제에서는 두 개였다. 교점이 셋 이상이면 그 사이에서 위아래가 바뀐다. 대표값을 두 번 대입하여 확인한다.

$$x = -\tfrac{1}{2}: \quad x^3 = -\tfrac{1}{8}, \quad x = -\tfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \ x^3 \text{ 이 위}$$

$$x = \tfrac{1}{2}: \quad x^3 = \tfrac{1}{8}, \quad x = \tfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \ x \text{ 가 위}$$

왼쪽 구간에서는 $x^3$ 이 위, 오른쪽 구간에서는 $x$ 가 위다. 순서가 반대이므로 **두 구간으로 나누어 적분한 뒤 더한다.**

$$\int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}$$

$$\int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$

$$\text{넓이} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

구간을 나누지 않고 한 번에 적분한 경우를 확인한다.

$$\int_{-1}^{1} (x - x^3)\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$$

결과는 $0$ 이다. 그림에는 넓이가 존재하지만 적분값은 $0$ 이다. 왼쪽 구간에서 $x - x^3$ 이 음수이므로 양수 넓이와 음수 값이 서로 상쇄된 것이다. 적분은 넓이를 세는 것이 아니라 **부호가 붙은 값**을 계산한다. 두 값이 일치하려면 피적분함수가 구간 전체에서 $0$ 이상이어야 하고, 그러려면 위 함수에서 아래 함수를 빼야 하며, 위아래가 바뀌는 지점에서 구간을 나누어야 한다. 결과가 $0$ 이거나 음수로 나왔다면 계산 실수가 아니라 구간을 나누지 않은 것이다.

$$\text{교점이 } 3 \text{ 개 이상} \ \Rightarrow \ \text{구간을 나누고 각 구간에서 위아래를 다시 판정한다}$$

## 넓이에서 부피로 — 회전체

적분의 적용 범위는 넓이에 한정되지 않는다. **곡선을 축 둘레로 회전시키면 입체가 된다.** 그 입체를 얇은 원판으로 분할하면, 원판 하나의 부피를 적분하여 전체 부피를 얻는다.

앞에서는 세로 막대를 쌓아 넓이를 구했다. 여기서는 막대 대신 **원판**을 쌓는다. 곡선 $y = f(x)$ 를 $x$ 축 둘레로 회전시키면, 위치 $x$ 에서의 원판은 반지름이 $f(x)$, 두께가 $dx$ 이다.

대응 관계를 정리한다. 바로 앞 절에서는 곡선 아래에 **세로 막대**를 하나 세웠다. 그 막대를 같은 자리에 둔 채 $x$ 축을 회전축으로 하여 한 바퀴 회전시킨다. 막대의 끝이 지나간 자리는 원이 되고, 막대에 폭 $dx$ 가 있으므로 결과는 원이 아니라 **얇은 원판**이 된다. 무엇이 무엇에 대응하는지를 표로 정리한다.

| 넓이를 잴 때 — 세로 막대 | 부피를 잴 때 — 원판(동전) |
|---|---|
| 막대의 **높이** $f(x)$ | 원판의 **반지름** $f(x)$ |
| 막대의 폭 $dx$ | 원판의 두께 $dx$ |
| 막대 하나의 넓이 $f(x)\,dx$ | 원판 하나의 부피 $\pi\left[f(x)\right]^2 dx$ |
| $a$ 부터 $b$ 까지 막대를 나란히 세운다 | $a$ 부터 $b$ 까지 동전을 쌓는다 |

**세로 막대의 높이였던 $f(x)$ 는 회전 후 원판의 반지름이 된다.** 회전체 계산의 핵심은 이 대응이다. 막대의 끝이 축에서 $f(x)$ 만큼 떨어져 있으므로, 회전할 때 그 끝이 그리는 원의 반지름이 $f(x)$ 이다.

$$\text{원판 하나의 부피} = \pi \left[ f(x) \right]^2 dx \qquad \Rightarrow \qquad V = \pi \int_a^b \left[ f(x) \right]^2 dx$$

원의 넓이 $\pi r^2$ 에서 $r$ 자리에 $f(x)$ 를 대입하고, 두께 $dx$ 를 곱해 적분한다. 이 계산에서 가장 빈번한 오류는 **제곱을 빠뜨리는 것**이다.

제곱의 출처는 표의 셋째 줄에 있다. 넓이는 **높이 곱하기 폭**이므로 $f(x)$ 가 한 번만 쓰인다. 부피는 **원의 넓이 곱하기 두께**이고, 원의 넓이 $\pi r^2$ 에는 반지름이 **두 번** 쓰인다. 그래서 제곱이 붙는다. 제곱을 빠뜨리는 것은 계산 실수라기보다 넓이 계산의 형태를 그대로 적용한 결과이다. 부피를 구하는 자리에서 $f(x)\,dx$ 형태를 쓰고 있다면 그 지점에서 점검한다.

검산이 가능한 예부터 확인한다. $y = x$ 를 $x = 0$ 부터 $x = 1$ 까지 $x$ 축 둘레로 회전시킨다.

$$V = \pi \int_0^1 x^2\,dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}$$

이 입체는 밑면 반지름 $1$, 높이 $1$ 인 **원뿔**이다. 중학교에서 다룬 공식으로 확인한다.

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$$

두 값이 일치한다. 원뿔 부피 공식의 $\dfrac{1}{3}$ 은 여기서 나온다. $x^2$ 을 적분하면 $\dfrac{x^3}{3}$ 이기 때문이다. 이 공식은 적분으로 유도된다.

## 손으로 못 적는 적분도 있다

**초등함수로 역도함수를 쓸 수 없는 적분과, 기법을 몰라 풀지 못하는 적분은 다르다.** 다음 함수를 살펴본다.

$$f(x) = e^{-x^2}$$

먼저 미분은 연쇄법칙으로 $5$ 초 안에 계산된다.

$$\frac{d}{dx}e^{-x^2} = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x\,e^{-x^2}$$

미분은 규칙을 알면 항상 계산된다. 반대로 $\displaystyle\int e^{-x^2}\,dx$ 를 계산한다. 치환을 시도해도 밖에 $x$ 가 없으므로 $u = -x^2$ 로 놓으면 $du$ 가 맞지 않는다. 어떤 치환을 써도 계산되지 않는다. 이는 계산 능력의 문제가 아니다. **이 적분은 초등함수로 표현되지 않는다.**

이 함수의 역도함수는 다항식, 분수식, 루트, 지수, 로그, 삼각함수를 유한 번 조합한 함수 — 이를 **초등함수**라 한다 — 안에서는 표현할 수 없다. 이는 아직 발견되지 않았다는 뜻이 아니라 **존재하지 않음이 증명되었다**는 뜻이다. $1830$ 년대에 리우빌이 증명했다.

그렇다면 이 곡선 아래의 넓이를 구할 수 있는지가 문제가 된다. 구간을 $0$ 에서 $1$ 까지로 둔다.

$$\int_0^1 e^{-x^2}\,dx = \ ?$$

구할 수 있다. **정적분의 정의로 돌아가면 된다.** 정적분을 처음 정의할 때 곡선 아래를 가느다란 직사각형으로 분할하여 더했다. 손 계산은 시간이 오래 걸리므로 미적분의 기본정리로 계산을 $3$ 초 수준으로 단축한 것일 뿐, 정의 자체는 그대로 유효하다. 기본정리를 적용할 수 없는 경우에는 정의로 계산한다.

$$\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \ \approx \ f(x_1)\,\Delta x + f(x_2)\,\Delta x + \cdots + f(x_n)\,\Delta x \qquad \left( \Delta x = \frac{1}{n} \right)$$

폭이 $\Delta x = \dfrac{1}{n}$ 인 직사각형 $n$ 개를 전부 더한 값이다. [제32장](ch32.md)에서 $x^2$ 아래의 넓이를 구하려고 표를 채워 가며 손으로 계산한 것과 **동일한 절차**이며, 함수만 $x^2$ 에서 $e^{-x^2}$ 으로 바뀌었다.

같은 식을 기호로 줄여 쓰면 다음과 같다.

$$\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \ \approx \ \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x \qquad \left( \Delta x = \frac{1}{n} \right)$$

$\sum$ 은 $\int$ 와 마찬가지로 **모두 더하라**는 뜻이다. 다만 $\int$ 는 무한히 얇은 것을 더할 때 쓰고, $\sum$ 은 유한 개를 더할 때 쓴다. $k$ 자리에 $1, 2, \ldots, n$ 을 차례로 넣어 얻은 값을 전부 더한다는 의미이다. 위의 긴 식과 아래의 짧은 식은 동일한 내용이다.

직사각형 개수 $n$ 을 늘리며 컴퓨터로 더한 값이다.

아래 표의 '리만 합'은 새 용어가 아니라 앞에서 수행한 계산에 붙은 이름이다. **직사각형의 넓이를 모두 더한 값**, 곧 제32장에서 표를 채우며 계산한 값과 같은 것이다.

| 직사각형 개수 $n$ | 리만 합(각 칸 중점 높이로 만든 직사각형의 합) |
|---|---|
| $10$ | $0.7471$ |
| $100$ | $0.74683$ |
| $1000$ | $0.746824$ |

$n$ 을 키울수록 자릿수가 하나씩 확정된다. 참값은 $0.7468241\ldots$ 이다. 역도함수 공식이 없어도 값은 구해진다. 정적분의 정의 자체가 이 합의 극한이며, 기본정리는 그 계산을 단축하는 수단이다. 공학과 통계에서 수치적분이 실제로 이 방식으로 수행된다.

적분이 계산되지 않는 경우는 두 종류로 구분된다. 하나는 아직 배우지 않은 기법이 필요한 경우이며, 이때는 해당 기법을 익히면 계산된다. 다른 하나는 초등함수 범위에 역도함수가 존재하지 않는 경우이며, 이때는 어떤 기법으로도 계산되지 않는다. 두 경우는 성격이 다르므로, 적분이 진행되지 않을 때는 초등함수 역도함수가 존재하는 문제인지를 먼저 확인한다. 이 확인 한 번이 불필요한 시도에 드는 $30$ 분을 줄인다.

$e^{-x^2}$ 의 그래프는 가운데가 볼록한 종 모양 곡선이며, 이것이 **정규분포**의 곡선이다. 여론조사 오차범위, 건강검진 정상 범위, 시험 표준점수가 모두 이 곡선에서 나온다. 통계에서 널리 쓰이는 곡선이지만 역도함수를 초등함수로 적을 수 없다. 그래서 통계 교재에는 수치**표**가 실려 있으며, 그 표는 직사각형의 합을 수치적으로 계산한 결과이다.

## 무한합의 정의 — 부분합의 극한

도입에서 제시한 무한합으로 돌아온다. 그에 앞서 정의를 확정해야 한다. **무한히 더한다는 것의 뜻**이 먼저 규정되어야 한다. 실제로 무한 번의 덧셈을 수행할 수는 없다.

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots \ \overset{?}{=} \ \text{무엇}$$

이 지점에서 정의를 다시 세운다. 무한히 더하는 대신, **유한 개까지 더하고 멈춘 값들의 수열**을 사용한다.

$$S_1 = 1, \quad S_2 = 1 + \frac{1}{2}, \quad S_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}, \quad \ldots$$

$S_n$ 을 **부분합**이라 한다. 그리고 무한합을 부분합의 **극한**으로 정의한다.

$$\text{무한합} \ = \ \lim_{n \to \infty} S_n$$

새로운 개념이 아니라 앞에서 다룬 극한과 같은 것이다. 무한합은 극한 문제로 환원된다.

$$\boxed{\ \text{무한합} = \text{부분합의 극한}\ }$$

수렴하는 예를 먼저 확인한다. 등비급수이다.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$$

부분합을 차례로 계산한다.

$$T_1 = \frac{1}{2}, \quad T_2 = \frac{3}{4}, \quad T_3 = \frac{7}{8}, \quad T_4 = \frac{15}{16}, \quad T_{10} = \frac{1023}{1024}$$

규칙은 $T_n = 1 - \dfrac{1}{2^n}$ 이다. 값은 $1$ 보다 조금 작고, $n$ 이 커지면 그 차이가 $0$ 으로 간다.

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) = 1 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$$

무한히 더한 값이 정확히 $1$ 이다. 방 하나의 폭을 남은 거리의 절반씩 이동하는 상황에 대응한다. 이동 지점은 반대쪽 벽에 도달하지 않지만, 이동 거리의 합은 방의 폭과 정확히 같다. 이것이 **수렴**이며, 부분합이 어떤 수에 가까워지는 것을 말한다.

## 조화급수는 발산한다

도입에서 제시한 합, 곧 항이 $\dfrac{1}{n}$ 인 경우이다. 이를 **조화급수**라 한다. 부분합을 실제로 계산하면 다음과 같다.

| 항의 개수 $n$ | 부분합 $H_n$ |
|---|---|
| $1$ | $1$ |
| $2$ | $1.5$ |
| $4$ | $2.083333$ |
| $10$ | $2.928968$ |
| $16$ | $3.380729$ |
| $100$ | $5.187378$ |
| $1{,}000$ | $7.485471$ |
| $10{,}000$ | $9.787606$ |
| $100{,}000$ | $12.090146$ |
| $1{,}000{,}000$ | $14.392727$ |

$1000$ 개를 더한 값이 $7.49$ 이고, $100$ 만 개를 더한 값이 $14.4$ 이다. 증가 속도가 매우 느리다. 이 표만 보면 값이 $15$ 나 $16$ 부근에서 멈춘다고 판단하기 쉽다.

그러나 이 수열은 **멈추지 않는다.** 무한히 커진다. 항을 충분히 많이 더하면 $100$ 도 넘고 $1000$ 도 넘는다. 수치 계산만으로는 이를 확인할 수 없으므로, 이제 **증명**으로 확인한다.

### 오렘의 묶음 증명 (1350년경)

약 $700$ 년 전에 니콜 오렘(Nicole Oresme)이 이 사실을 증명했다. 미적분이 성립하기 $300$ 년 전이며, 증명에는 초등 산술만 사용된다. 항을 $1$, $2$, $4$, $8$ 개씩 늘어나는 묶음으로 나눈다.

$$1 \ + \ \underbrace{\frac{1}{2}} \ + \ \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \ + \ \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \ + \ \underbrace{\frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16}} \ + \ \cdots$$

각 묶음 안의 항을 모두 그 묶음의 **가장 작은 항**으로 낮춰 바꾼다. 이렇게 값을 낮춘 뒤에도 어떤 값이 나온다면, 원래 합은 그보다 크다.

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \ > \ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$\dfrac{1}{3}$ 은 $\dfrac{1}{4}$ 보다 크므로, $\dfrac{1}{3}$ 을 $\dfrac{1}{4}$ 로 낮추면 합은 줄어든다. 낮춘 상태에서도 $\dfrac{1}{2}$ 이 되므로 원래 값은 $\dfrac{1}{2}$ 보다 크다. 다음 묶음도 동일하다.

$$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \ > \ 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \qquad \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} \ > \ 8 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{2}$$

표로 정리한다.

| 묶음 | 항 | 항의 개수 | 가장 작은 항 | 하한 | 실제 합 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| 2 | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0.5$ |
| 3 | $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ | $2$ | $\dfrac{1}{4}$ | $2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ | $0.583333$ |
| 4 | $\dfrac{1}{5} + \cdots + \dfrac{1}{8}$ | $4$ | $\dfrac{1}{8}$ | $4 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}$ | $0.634524$ |
| 5 | $\dfrac{1}{9} + \cdots + \dfrac{1}{16}$ | $8$ | $\dfrac{1}{16}$ | $8 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{2}$ | $0.662872$ |
| 6 | $\dfrac{1}{17} + \cdots + \dfrac{1}{32}$ | $16$ | $\dfrac{1}{32}$ | $16 \times \dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2}$ | $0.677766$ |
| 7 | $\dfrac{1}{33} + \cdots + \dfrac{1}{64}$ | $32$ | $\dfrac{1}{64}$ | $32 \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{2}$ | $0.685396$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | 언제나 $\dfrac{1}{2}$ | $\vdots$ |

하한 열의 값은 모두 $\dfrac{1}{2}$ 이다. 묶음마다 항의 개수가 두 배가 되고, 가장 작은 항은 절반이 된다. 개수와 크기의 곱이므로 언제나 $\dfrac{1}{2}$ 이 남는다.

표의 열을 그대로 읽으면 규칙이 확정된다. '항의 개수' 열은 $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ 로 **두 배씩** 늘어나고, '가장 작은 항' 열은 $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \dfrac{1}{32}, \ldots$ 로 **절반씩** 줄어든다. 두 배와 절반이 곱해지므로 곱은 일정하다. 여기까지가 증명의 전부이며, 지수 기호는 사용되지 않았다.

이것을 기호로 줄여 적으면 다음과 같다. 묶음 $k$ 에는 항이 $2^{k-2}$ 개 있고, 그중 가장 작은 항이 $\dfrac{1}{2^{k-1}}$ 이다 ($k \ge 2$).

$$\text{묶음 } k \text{ 의 합} \ > \ 2^{k-2} \times \frac{1}{2^{k-1}} = \frac{1}{2}$$

식에 구체적인 수를 대입하여 표와 대조한다. $k=3$ 이면 항의 개수는 $2^{3-2} = 2^1 = 2$ 개, 가장 작은 항은 $\dfrac{1}{2^{3-1}} = \dfrac{1}{4}$, 곱은 $2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ 로 표의 $3$ 행과 정확히 같다. $k=4$ 이면 $2^2 = 4$ 개에 $\dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ 이므로 곱은 역시 $\dfrac{1}{2}$ 이고, 표의 $4$ 행과 같다. 표와 일치하므로 식도 성립한다.

묶음을 $n$ 개 지날 때 누적되는 최솟값을 구한다.

먼저 묶음의 **개수**를 센다. 항을 $2^n$ 개까지 더하면 묶음을 몇 개 지나는지를 확인한다. $n=4$ 로 센다. 항이 $16$ 개이고, 묶음은 $1$ / $\dfrac{1}{2}$ / $\dfrac{1}{3}\!+\!\dfrac{1}{4}$ / $\dfrac{1}{5}\!\sim\!\dfrac{1}{8}$ / $\dfrac{1}{9}\!\sim\!\dfrac{1}{16}$ 의 **다섯 개**이다. $n=4$ 인데 묶음은 $5$ 개, 곧 $n+1$ 개이다. 그중 맨 앞 묶음은 $1$ 이고, 나머지 $n$ 개가 각각 $\dfrac{1}{2}$ 이상이다. 따라서 합은 $1$ 에 $\dfrac{1}{2}$ 을 $n$ 번 더한 값보다 작을 수 없다.

$$H_{2^n} \ > \ 1 + \frac{n}{2}$$

$n=4$ 를 대입하면 $H_{16} > 1 + \dfrac{4}{2} = 3$ 이다. 항 $16$ 개를 더한 값이 $3$ 을 넘는다는 사실이 실제 덧셈 없이 확인된다. (앞 표의 실제 값은 $3.380729$ 이며, 하한과 일치한다.)

| $n$ | 항 개수 $2^n$ | 하한 $1 + \dfrac{n}{2}$ | 실제 $H_{2^n}$ |
|---|---|---|---|
| $3$ | $8$ | $2.5$ | $2.717857$ |
| $5$ | $32$ | $3.5$ | $4.058495$ |
| $8$ | $256$ | $5$ | $6.124345$ |
| $10$ | $1024$ | $6$ | $7.509176$ |

$\dfrac{n}{2}$ 은 $n$ 을 키우면 얼마든지 커진다. 합이 $200$ 을 넘게 하려면 묶음을 $400$ 개 지나면 된다. 따라서 이 합에는 **상계가 없다.** 조화급수는 **발산한다.**

정리하면 다음과 같다. 항은 $0$ 으로 간다. 그리고 합은 무한히 커진다. **두 명제가 동시에 성립한다.** 항이 작아지는 속도보다 항의 개수가 늘어나는 속도가 더 빠르기 때문이다. 유한 개의 덧셈에서 형성된 판단은 무한합에 그대로 적용되지 않는다.

### 발산의 속도

이 합이 $10$ 을 넘으려면 항이 $12{,}367$ 개 필요하다.

$$H_{12367} = 10.000043$$

$20$ 을 넘으려면 약 $2$ 억 $7$ 천만 개, $100$ 을 넘으려면 약 $1.5 \times 10^{43}$ 개가 필요하다. 이는 우주에 있는 원자 개수와 비슷한 규모이다. 항의 개수가 충분히 크면 값은 결국 그 수를 넘는다. 발산은 값이 빨리 커진다는 뜻이 아니라 **멈추지 않는다**는 뜻이다.

### 수렴하는 경우

분모를 $n^2$ 으로 바꾸면 결과가 달라진다.

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \quad \text{발산} \qquad\qquad 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots \quad \text{수렴}$$

뒤쪽 급수의 부분합은 다음과 같다.

| $n$ | $1 + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{n^2}$ |
|---|---|
| $10$ | $1.549768$ |
| $100$ | $1.634984$ |
| $1{,}000$ | $1.643935$ |
| $10{,}000$ | $1.644834$ |

이 급수는 수렴한다. 값은 $1.6449\ldots$ 이며, 정확한 값은 $\dfrac{\pi^2}{6}$ 이다. 그 증명은 이 책의 범위를 벗어난다. 오일러가 이 값을 구했고, 당시의 주요 미해결 문제였다. 여기서 확인할 것은 하나이다. **분모가 $n$ 이면 발산하고 $n^2$ 이면 수렴한다.** 두 경우 모두 항은 $0$ 으로 간다. 따라서 항이 $0$ 으로 간다는 사실만으로는 수렴 여부가 결정되지 않는다.

두 명제를 나란히 놓으면 구조가 드러난다.

$$\text{수렴한다} \ \Rightarrow \ \text{항이 } 0 \text{ 으로 간다} \quad \text{(참)}$$

$$\text{항이 } 0 \text{ 으로 간다} \ \Rightarrow \ \text{수렴한다} \quad \text{(거짓 — 조화급수가 반례)}$$

앞에서 극값을 다룰 때, 극점이면 반드시 $f'=0$ 이지만 $f'=0$ 이라고 모두 극점은 아니었던 것과 같은 구조이다($y = x^3$ 의 $x=0$ 이 반례였다). 항이 $0$ 으로 가는 것은 수렴의 **필요조건**이며, 수렴 여부는 부분합의 극한이 결정한다.

이 명제의 대우는 실제 판정에 사용된다. **항이 $0$ 으로 가지 않으면 그 급수는 발산한다.** $1 + 1 + 1 + \cdots$ 이나 $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + \cdots$ 는 이 기준만으로 발산이 판정된다.

## 빈번한 오류

:::{admonition} "항이 $0$ 으로 가니까 수렴한다"
:class: warning
유한 개를 더할 때는 각 항이 작으면 합도 작다. 조화급수는 이 성질이 무한합에서 성립하지 않음을 보여 준다. 항은 $0$ 으로 가지만 부분합에는 상계가 없다. 더 근본적으로는 극한과 덧셈의 순서를 바꿀 수 있다는 가정이 오류이다. 항마다 극한을 먼저 취하면 $0+0+0+\cdots = 0$ 이고, 먼저 더하고 극한을 취하면 무한대이다. 무한 개의 항에서는 두 결과가 일치하지 않는다. 항이 $0$ 으로 가는 것은 수렴의 **필요조건**이며, 수렴 여부는 부분합의 극한이 결정한다.

*확인 문제*: $1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \cdots$ 와 $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots$ 중 수렴하는 것은? 그리고 그 판단의 근거가 "항이 $0$ 으로 가는가"인가? (답: 앞의 것이 수렴. 근거는 항이 $0$ 으로 가는지가 **아니다** — 둘 다 그렇다. 부분합이 어떤 값에 가까워지는지가 근거다.)
:::

:::{admonition} 위아래를 정하지 않고 뺀다
:class: warning
결과가 음수로 나왔는데 그대로 답으로 쓰는 오류이다. $-\dfrac{4}{3}$, $-\dfrac{9}{2}$ 같은 값을 답으로 쓰면서 문제에 제시된 순서대로 뺐다고 설명하는 경우가 있다. "$f - g$"라는 공식만 기억하고, $f$ 가 **위 함수**라는 조건이 그 공식에 함께 붙어 있다는 점을 놓친 것이다. 넓이는 음수가 되지 않는다. 음수가 나왔다면 계산이 틀린 것이 아니라 순서가 반대인 것이며, 부호만 바꾸면 답이 된다. 구간 안의 임의의 수를 하나 골라 두 함수에 대입하고 값이 큰 쪽을 위로 정하는 대표값 대입은 $10$ 초면 된다.

*확인 문제*: $y = x^2 - 4$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이. (답: $\dfrac{32}{3}$. 구간 $[-2,2]$ 에서 $x=0$ 을 넣으면 곡선이 $-4$ 로 아래이니 위 함수는 $x$ 축이다.)
:::

:::{admonition} 위아래가 바뀌는데 한 번에 적분한다
:class: warning
$y=x^3$ 와 $y=4x$ 같은 문제에서 결과가 $0$ 으로 나왔는데 그대로 쓰는 오류이다. 교점을 두 개만 구하고 멈춘 것이다. $x(x^2-4)=0$ 에서 $x=\pm2$ 만 보고 $x=0$ 을 누락했다. 원인은 인수분해에서 공통인수 $x$ 를 근으로 세지 않는 데 있다. 교점의 개수를 먼저 센다. 세 개이면 구간을 나눈다. 두 곡선이 세 번 만나면 그 사이에서 위아래가 반드시 한 번 뒤집힌다. 교점을 전부 구하고, 이웃한 교점 사이마다 대표값을 하나씩 대입한다.

*확인 문제*: $y = x^3$ 와 $y = x$ 로 둘러싸인 전체 넓이. (답: $\dfrac{1}{2}$. 교점 $x=-1,0,1$, 두 구간에서 각각 $\dfrac{1}{4}$.)
:::

:::{admonition} 교점을 구하지 않고 문제의 숫자를 상·하한으로 쓴다
:class: warning
"$y=x^2$ 와 $y=x+2$ 사이의 넓이"에서 $\displaystyle\int_0^2$ 이나 $\displaystyle\int_1^2$ 처럼 문제에 제시된 숫자를 상·하한에 그대로 넣는 오류이다. 앞 장까지는 모든 문제가 "$x=a$ 에서 $x=b$ 까지"로 구간을 제시했으나, 이 장부터는 구간이 주어지지 않는다. 구간이 **구해야 할 대상**으로 바뀐 것이다. "둘러싸인"이라는 표현이 있으면 상·하한은 문제에 있는 숫자가 아니라 **교점**이다. 네 단계(①그림 ②교점 ③위아래 ④적분)에서 ②를 생략한 풀이는 ③에서 오류가 발생한다.

*확인 문제*: "$y = 9 - x^2$ 와 $y = 5$ 로 둘러싸인 부분"의 적분 구간은? (답: $9-x^2=5$ 에서 $x^2=4$, 즉 $-2$ 부터 $2$ 까지. $5$ 나 $9$ 가 아니다. 넓이는 $\dfrac{32}{3}$.)
:::

## 연습문제

계산기를 사용하지 않는다. **모든 넓이 문항은 그림부터 그린다.** 그림 없이 식만 세우면 위아래 판정에서 오류가 발생한다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음으로 넘어간다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` $y = x$ 와 $y = x^2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이
2. `A` $y = 4$ 와 $y = x^2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이
3. `A` $y = 2 - x^2$ 와 $y = x^2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이
4. `A` 곡선 $y = x^2 - 2x$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이 (교점 사이). **계산 전에** 이 곡선이 그 구간에서 $x$ 축 위에 있는지 아래에 있는지 먼저 쓰라.
5. `B` $y = 6 - x^2$ 와 $y = x$ 로 둘러싸인 부분의 넓이
6. `B` $y = x^2$ 와 $y = x^3$ 로 둘러싸인 부분의 넓이
7. `B` $y = x^3$ 와 $y = 4x$ 로 둘러싸인 부분의 **전체** 넓이
8. `B` $y = \sqrt{x}$ 를 $x=0$ 에서 $x=4$ 까지 $x$ 축 둘레로 돌린 입체의 부피
9. `B` 등비급수 $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ 의 부분합 $T_n$ 을 $n$ 에 대한 식으로 쓰고, $n \to \infty$ 일 때의 극한을 구하라.
10. `B` 오렘의 방법으로 $H_{16} = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{16}$ 이 $3$ 보다 크다는 것을 보여라. (실제 값은 계산하지 말 것)
11. `B` 자동차 A와 B가 같은 지점에서 동시에 출발했다. $t$ 초 후 A의 속도는 $2t$ m/s, B의 속도는 $t^2$ m/s 이다. 출발 후 $2$ 초 동안 A가 B보다 몇 m 더 갔는가? (속도 그래프 사이의 넓이가 거리 차이다)
12. `C` 어떤 컴퓨터가 조화급수를 초당 $10$ 억 항씩 더한다. 합이 $100$ 을 넘으려면 약 $1.5 \times 10^{43}$ 개의 항이 필요하다. 몇 년이 걸리는가? (1년은 약 $3.15 \times 10^7$ 초로 계산하고, 자릿수만 맞으면 정답)
13. `C` $y = \sqrt{x}$ 와 $y = x^2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하라. 그리고 $0 < x < 1$ 에서 왜 $\sqrt{x}$ 가 위인지 한 줄로 설명하라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $\dfrac{1}{6}$ — 교점 $x=0,1$. $x=\dfrac{1}{2}$ 에서 직선이 위. $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)dx = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$
2. $\dfrac{32}{3}$ — 교점 $x=\pm 2$. $\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)dx = 16 - \dfrac{16}{3}$
3. $\dfrac{8}{3}$ — 교점: $2-x^2 = x^2$ 에서 $x^2=1$, $x=\pm1$. $x=0$ 에서 $2 > 0$ 이므로 $2-x^2$ 이 위. $\displaystyle\int_{-1}^{1}(2-2x^2)dx = 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$
4. **곡선이 $x$ 축 아래에 있다.** 넓이 $= \dfrac{4}{3}$. 교점 $x=0,2$. $x=1$ 에서 $y = -1 < 0$. 위 함수는 $x$ 축($y=0$), 아래 함수는 $x^2-2x$. $\displaystyle\int_0^2 \left[0 - (x^2-2x)\right]dx = \int_0^2 (2x - x^2)dx = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$. **빈번한 오류**: $\displaystyle\int_0^2 (x^2-2x)dx = -\dfrac{4}{3}$. 넓이에 마이너스가 붙으면 위아래를 반대로 쓴 것이다.
5. $\dfrac{125}{6}$ — 교점: $6-x^2 = x$ 에서 $x^2+x-6=0$, $(x+3)(x-2)=0$, $x=-3, 2$. $x=0$ 에서 $6 > 0$ 이므로 포물선이 위. $\displaystyle\int_{-3}^{2}(6-x-x^2)dx = \dfrac{125}{6}$
6. $\dfrac{1}{12}$ — 교점 $x=0,1$. $x=\dfrac{1}{2}$ 에서 $\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{8}$ 이므로 $x^2$ 이 위. $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$. ($0$ 과 $1$ 사이의 수는 곱할수록 작아지므로 $x^2 > x^3$ 이다.)
7. $8$ — **위아래가 바뀌는 문항.** 교점: $x^3=4x$ 에서 $x(x^2-4)=0$, $x=-2,0,2$. 교점이 셋이므로 나눈다. $x=-1$ 에서 $x^3=-1$, $4x=-4$ 이므로 $x^3$ 이 위. $x=1$ 에서 $1 < 4$ 이므로 $4x$ 가 위. $\displaystyle\int_{-2}^{0}(x^3-4x)dx = 4$, $\displaystyle\int_{0}^{2}(4x-x^3)dx = 4$. 합 $8$. **빈번한 오류**: 나누지 않고 $\displaystyle\int_{-2}^{2}(4x-x^3)dx = 0$. 결과가 $0$ 이면 구간을 나누지 않은 것이다.
8. $8\pi$ — $\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi \cdot 8$. **빈번한 오류**: 제곱을 빠뜨리고 $\pi\int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \dfrac{16\pi}{3}$
9. $T_n = 1 - \dfrac{1}{2^n}$, 극한은 $1$. $n$ 이 커지면 $\dfrac{1}{2^n} \to 0$ 이므로 $T_n \to 1$. **무한합은 부분합의 극한**이라는 정의를 그대로 적용한 것이다.
10. $H_{16} = 1 + \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{5}+\cdots+\dfrac{1}{8}\right) + \left(\dfrac{1}{9}+\cdots+\dfrac{1}{16}\right)$. 맨 앞의 $1$ 을 떼어 놓으면 $\dfrac{1}{2}$ **자체와 괄호 셋**, 곧 **네 덩어리**가 남는다(괄호는 셋인데 세어야 할 덩어리는 넷이다 — $\dfrac{1}{2}$ 은 항이 하나뿐이어서 괄호를 치지 않았다). 이 네 덩어리가 각각 $\dfrac{1}{2}$ 이상이므로 $H_{16} > 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{4}{2} = 3$. 본문의 $H_{2^n} > 1 + \dfrac{n}{2}$ 에 $n=4$ 를 대입한 것과 같다. (실제 값 $3.380729$ — 하한과 일치한다.)
11. $\dfrac{4}{3}$ m — 속도 그래프 아래 넓이가 이동 거리다. 차이는 두 그래프 사이의 넓이. $0 < t < 2$ 에서 $2t$ 가 위($t=1$ 에서 $2 > 1$). $\displaystyle\int_0^2 (2t - t^2)dt = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$. **빈번한 오류**: 두 속도를 그대로 빼서 답을 속도 단위로 낸다. 속도의 적분이 거리라는 것을 놓친 것이다.
12. 약 $5 \times 10^{26}$ 년. $\dfrac{1.5\times10^{43}}{10^{9}} = 1.5\times10^{34}$ 초. $\dfrac{1.5\times10^{34}}{3.15\times10^{7}} \approx 4.8\times10^{26}$ 년. 우주 나이가 약 $1.4\times10^{10}$ 년이므로 그 $3$ 경 배가 넘는다. **요점**: 값은 결국 그 수를 넘는다. 발산은 "빠르다"는 뜻이 아니라 "멈추지 않는다"는 뜻이다.
13. $\dfrac{1}{3}$ — 교점: $\sqrt{x} = x^2$ 에서 $x = 0, 1$. $x = \dfrac{1}{4}$ 에서 $\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}$, $x^2 = \dfrac{1}{16}$ 이므로 $\sqrt{x}$ 가 위. $\displaystyle\int_0^1 (x^{1/2} - x^2)dx = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$. 설명 예시: "$0$ 과 $1$ 사이의 수는 제곱하면 작아지고 제곱근을 씌우면 커지므로, 그 구간에서는 $\sqrt{x} > x > x^2$ 이다."
:::

### 추가 연습문제

넓이 문항은 **전부 그림을 그리고 시작한다.** 하루 $20$ 분씩 나누어 풀 수 있는 분량이다.

**곡선과 $x$ 축 사이**

1. $y = x^2$ 와 $x$ 축, $x=0$ 부터 $x=3$ 까지로 둘러싸인 부분의 넓이
2. $y = 4 - x^2$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이
3. $y = x^3$ 와 $x$ 축, $x=0$ 부터 $x=2$ 까지로 둘러싸인 부분의 넓이
4. $y = x^2 - 4x$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이 (곡선이 축 위인지 아래인지 먼저 판정할 것)

**두 곡선 사이**

5. $y = 3x$ 와 $y = x^2$
6. $y = x + 6$ 와 $y = x^2$
7. $y = 8 - x^2$ 와 $y = x^2$
8. $y = 2x + 3$ 와 $y = x^2$
9. $y = \sqrt{x}$ 와 $y = x$ (교점 사이)

**위아래 뒤바뀜, 그리고 회전체**

10. $y = x^3$ 와 $y = x$ 로 둘러싸인 **전체** 넓이. 나누지 않고 $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x - x^3)dx$ 를 계산하면 무엇이 나오는지도 함께 쓰고, 왜 그 값이 넓이가 아닌지 한 줄로 설명하라.
11. $y = x^3$ 와 $y = 9x$ 로 둘러싸인 **전체** 넓이
12. $y = x$ 를 $x=0$ 부터 $x=3$ 까지 $x$ 축 둘레로 돌린 입체의 부피를 구하고, 중학교 원뿔 공식 $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ 로 검산하라.

**급수**

13. 조화급수의 부분합 $H_8 = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{8}$ 을 분수로 구하라. 그리고 오렘의 묶음 하한 $1 + \dfrac{3}{2} = 2.5$ 와 비교해 하한이 맞는지 확인하라.
14. 등비급수 $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ 의 부분합 $T_n$ 을 $n$ 의 식으로 쓰고 극한을 구하라. 그리고 "무한합은 부분합의 극한"이라는 문장이 이 문제에서 어떻게 쓰였는지 한 줄로 쓰라.
15. 항이 $0$ 으로 가는데도 발산하는 급수의 예를 하나 들고, 왜 발산하는지 **두 문장**으로 설명하라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $9$ — $\displaystyle\int_0^3 x^2 dx = \dfrac{27}{3}$
2. $\dfrac{32}{3}$ — 교점 $x=\pm2$. $\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)dx$
3. $4$ — $\displaystyle\int_0^2 x^3 dx = \dfrac{16}{4}$
4. $\dfrac{32}{3}$ — 교점 $x=0,4$. $x=2$ 에서 $y=-4$ 이므로 **곡선이 아래**, $x$ 축이 위. $\displaystyle\int_0^4 (4x - x^2)dx = 32 - \dfrac{64}{3} = \dfrac{32}{3}$. **빈번한 오류**: $-\dfrac{32}{3}$ (순서 뒤집힘)
5. $\dfrac{9}{2}$ — 교점 $x=0,3$. $x=1$ 에서 $3 > 1$ 이므로 직선이 위. $\displaystyle\int_0^3(3x-x^2)dx = \dfrac{27}{2} - 9$
6. $\dfrac{125}{6}$ — 교점: $x^2-x-6=0$, $(x-3)(x+2)=0$, $x=-2,3$. $x=0$ 에서 $6>0$ 이므로 직선이 위. $\displaystyle\int_{-2}^{3}(x+6-x^2)dx$
7. $\dfrac{64}{3}$ — 교점: $8-x^2=x^2$, $x^2=4$, $x=\pm2$. $x=0$ 에서 $8>0$. $\displaystyle\int_{-2}^{2}(8-2x^2)dx = 32 - \dfrac{32}{3}$
8. $\dfrac{32}{3}$ — 교점: $x^2-2x-3=0$, $(x-3)(x+1)=0$, $x=-1,3$. $x=0$ 에서 $3>0$ 이므로 직선이 위. $\displaystyle\int_{-1}^{3}(2x+3-x^2)dx$
9. $\dfrac{1}{6}$ — 교점 $x=0,1$. $x=\dfrac{1}{4}$ 에서 $\sqrt{x}=\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4}$ 이므로 $\sqrt{x}$ 가 위. $\displaystyle\int_0^1 (x^{1/2}-x)dx = \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}$
10. $\dfrac{1}{2}$. 나누지 않으면 $0$ 이 나온다. **설명 예시**: "$-1 < x < 0$ 에서는 $x^3$ 이 위인데 $x - x^3$ 으로 계산하면 그 구간의 값이 음수가 되어, 오른쪽 구간의 양수 넓이와 서로 지워지기 때문." 교점 $x=-1,0,1$, 각 구간이 $\dfrac{1}{4}$.
11. $\dfrac{81}{2}$ — 교점: $x^3=9x$, $x(x^2-9)=0$, $x=-3,0,3$. $x=-1$ 에서 $x^3=-1 > 9x=-9$ 이므로 $x^3$ 이 위. $\displaystyle\int_{-3}^{0}(x^3-9x)dx = \dfrac{81}{4}$, $\displaystyle\int_{0}^{3}(9x-x^3)dx = \dfrac{81}{4}$. 합 $\dfrac{81}{2}$.
12. $9\pi$ — $\pi\displaystyle\int_0^3 x^2 dx = 9\pi$. 검산: 밑면 반지름 $3$, 높이 $3$ 인 원뿔이므로 $\dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi$. 일치한다.
13. $H_8 = \dfrac{761}{280} \approx 2.717857$. 하한 $2.5$ 보다 크므로 하한이 맞다. **요점**: 하한은 실제 값이 그보다 크다는 것만 보장하며, 실제 값과 같지 않다. 하한이 무한히 커지면 실제 값도 무한히 커지므로 증명은 하한만으로 완결된다.
14. $T_n = 1 - \dfrac{1}{2^n}$, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n = 1$. **설명 예시**: "무한합의 값을 직접 구할 수 없으므로 유한 개까지 더한 $T_n$ 을 만들고, 거기에 $n \to \infty$ 극한을 취해 $1$ 을 얻었다. 무한합의 정의가 그대로 계산 절차가 된 것이다."
15. **예: 조화급수 $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots$.** 예시 답안: "항을 $1$개, $1$개, $2$개, $4$개, $8$개씩 묶으면 각 묶음의 합이 항상 $\dfrac{1}{2}$ 보다 크다. 묶음은 무한히 많으므로 $\dfrac{1}{2}$ 이 무한히 더해지고, 부분합에 상계가 없다." — 핵심은 **묶음마다 $\dfrac{1}{2}$ 이상**이라는 문장이 들어가는 것이다. "항이 천천히 작아져서"라고만 쓰면 부분 정답이다. 근거가 되는 부등식이 제시되지 않았기 때문이다.
:::

## 요약과 다음 장

이 장의 앞부분은 적분의 응용이었다. 두 곡선 사이의 넓이는 네 단계 — **그림, 교점, 위아래, 적분** — 로 구하고, 위 함수에서 아래 함수를 뺀다. 교점이 셋 이상이면 위아래가 바뀌므로 구간을 나눈다. 같은 적분으로 회전체의 부피까지 구했고, 초등함수로 적을 수 없는 적분($e^{-x^2}$)도 정적분의 정의로 돌아가면 넓이를 구할 수 있다는 것을 확인했다.

뒷부분은 무한합의 기초였다. **무한합은 부분합의 극한**이다. 그리고 조화급수는 유한합에서 형성된 직관이 무한합에 적용되지 않음을 보여 준다. 항이 $0$ 으로 가는 것은 수렴의 필요조건일 뿐, 충분조건이 아니다. "$\dfrac{1}{n}$ 이 $0$ 으로 가므로 합도 멈춘다"는 추론은 유한합의 경험에서 나온 것이고, 오렘의 묶음 논증이 이에 대한 반례를 제시한다. 이 구분은 $2000$ 년 가까이 정립되지 않았던 것이다.

다음 [제36장](ch36.md)에서는 일변수 미적분 전체를 종합한다. 극한·미분·적분이 서로 다른 기술이 아니라 하나의 이야기였음을, 섞인 문제들을 스스로 풀며 확인한다.