제41장 · 변화와 한계 — 한 단위 더 했을 때

이 장

사용 도구	제27장 미분규칙 · 제28장 곱·몫의 법칙 · 제29장 연쇄법칙 · 제30장 그래프 분석 · 제31장 최적화 · 제22장 로그
선행 내용	제40장 (균형과 선택)
요지	경제학이 말하는 한계는 미분이다. “하나 더 했을 때 얼마나 달라지는가”를 묻는 모든 자리에 도함수가 대응한다.

도입

빵집에서 소금빵 하나를 더 굽는 경우를 검토한다. 밀가루·버터·소금 값을 합치면 \(900\) 원이 든다. 판매가는 \(3{,}500\) 원이다. 이 두 수만으로 추가 생산이 언제나 이득이라고 판단할 수 있는지를 확인한다.

이 빵집의 오븐은 이미 가득 차 있다. 하나를 더 구우려면 한 판을 더 가동해야 하고, 이때 전기값과 연장 인건비로 \(4{,}000\) 원이 추가된다. 오븐 한 판에는 소금빵 \(12\) 개가 들어간다.

이 조건에서 계산은 두 갈래로 나뉜다.

• 한 개만 더 구워 판매하는 경우: 비용은 \(900 + 4{,}000 = 4{,}900\) 원, 수입은 \(3{,}500\) 원이다. \(1{,}400\) 원 손실이다.

• 한 판 \(12\) 개를 모두 판매하는 경우: 비용은 \(900 \times 12 + 4{,}000 = 14{,}800\) 원, 수입은 \(3{,}500 \times 12 = 42{,}000\) 원이다. \(27{,}200\) 원 이익이다.

같은 제품과 같은 재료비인데도 결론이 반대가 되었다. 달라진 것은 “하나 더”라는 말이 가리키는 대상이다. 재료비 \(900\) 원만으로는 이 판단을 내릴 수 없다. 현재 생산 수준에서 한 단위를 더 늘렸을 때 실제로 증가하는 비용이 판단의 기준이 된다.

이 “하나 더”에 대응하는 값이 경제학의 **한계(marginal)**다. 한 단위 변화에 대한 값의 변화를 재는 수학 도구가 도함수이므로, 이 장의 결론은 한 문장으로 요약된다. 경제학의 ‘한계’는 미분이다.

신문에서 자주 사용되는 문장 세 개를 먼저 제시한다.

• “실질 GDP가 지난해 \(2.3\%\) 성장했다.”

• “요금을 올렸더니 오히려 수입이 줄었다.”

• “생산량을 늘릴수록 개당 비용이 내려간다.”

세 문장은 서로 무관해 보이지만 모두 도함수로 서술된다. 첫 문장은 로그의 도함수, 둘째는 탄력성, 셋째는 평균과 한계의 관계다. 제40장에서 시장의 균형을 다루었다면, 이 장에서는 그 시장 안의 개별 소비자와 기업이 수량을 얼마로 정할지를 판단하는 기준을 세운다.

한계는 미분이다

한계비용(marginal cost, MC)은 “생산량을 한 단위 늘릴 때 늘어나는 총비용”이다. 이 정의를 그대로 식으로 옮기면 차분이 된다.

\[\text{한계비용} \ \approx\ \frac{\Delta C}{\Delta q} = \frac{C(q + \Delta q) - C(q)}{\Delta q}\]

구체적인 수로 확인한다. 어떤 공장의 월 총비용이 생산량 \(q\) 개에 대해

\[C(q) = 3{,}000{,}000 + 1{,}000q + 5q^2 \quad (\text{원})\]

이라고 한다. \(q = 100\) 에서 한 단위를 더 생산할 때의 비용 증가를 계산한다.

\[C(100) = 3{,}000{,}000 + 100{,}000 + 50{,}000 = 3{,}150{,}000\]

\[C(101) = 3{,}000{,}000 + 101{,}000 + 51{,}005 = 3{,}152{,}005\]

차이는 \(2{,}005\) 원이다. “한 단위”를 더 작게 잡으면 값이 조금씩 달라진다.

\(\Delta q\) (개)	\(\Delta C\) (원)	\(\Delta C / \Delta q\) (원/개)
\(1\)	\(2{,}005\)	\(2{,}005\)
\(0.1\)	\(200.05\)	\(2{,}000.5\)
\(0.01\)	\(20.0005\)	\(2{,}000.05\)
\(\to 0\)		\(\mathbf{2{,}000}\)

\(\Delta q\) 를 \(0\) 으로 보내면 \(2{,}000\) 원에 수렴한다. 이것이 도함수다.

\[C'(q) = 1{,}000 + 10q, \qquad C'(100) = 2{,}000\]

차분 대신 미분을 사용하는 이유는 세 가지다.

① 차분의 값은 “한 단위”를 무엇으로 잡느냐에 따라 달라진다. 위 표에서 \(2{,}005\) 와 \(2{,}000.05\) 는 같은 질문에 대한 서로 다른 답이다. 도함수는 이 기준 의존성을 제거하고 값 하나를 확정한다.

② 미분에는 계산 규칙 체계가 갖추어져 있다. 제27장의 미분규칙, 제28장의 곱·몫의 법칙, 제29장의 연쇄법칙이 전부 그대로 쓰인다. 차분에는 대응하는 규칙이 없다.

③ 서로 다른 한계량을 방정식으로 연립할 수 있다. “한계수입 = 한계비용”, “A공장 한계비용 = B공장 한계비용” 같은 조건이 곧바로 풀 수 있는 식이 된다. 이 장에서 얻는 결과의 상당 부분이 이 성질에서 나온다.

미분 근사가 성립하는 조건

생산량이 정수인 경우 \(C'(q)\) 는 근사다. 위 예에서 실제 추가 비용은 \(2{,}005\) 원이고 도함수가 주는 값은 \(2{,}000\) 원이다. 오차 \(5\) 원은 \(q\) 가 \(100\) 일 때 \(0.25\%\) 다. \(q\) 가 클수록 이 오차의 비중은 작아지고, \(q\) 가 작은 경우(오븐 한 판, 트럭 한 대)에는 미분 근사를 적용할 수 없다. 도입에서 다룬 빵집이 그 경우에 해당한다.

이윤 극대화 — \(MR = MC\) 조건

용어를 먼저 정의한다.

• 총수입(total revenue) \(R(q)\) — \(q\) 개를 판매하여 얻은 수입의 합.

• 총비용 \(C(q)\) — 그 \(q\) 개를 생산하는 데 든 비용의 합.

• 이윤(profit) \(\pi(q) = R(q) - C(q)\).

• 한계수입(marginal revenue, MR) \(= R'(q)\), 한계비용 \(= C'(q)\).

가격이 \(P\) 로 고정된 시장에서 판매하는 기업은 \(R(q) = Pq\) 이므로 \(MR = P\) 다. 가격을 스스로 결정하는 기업은 \(R(q) = P(q)\,q\) 이고, 이때 \(MR\) 은 가격보다 작다. 한 단위를 더 팔기 위해 가격을 낮추어야 하고, 낮춘 가격이 기존 판매량에도 적용되기 때문이다.

식에 앞서 조건의 의미를 서술한다. 현재 생산량이 \(q\) 개라고 한다.

• 한 단위를 더 생산할 때의 수입 증가분(\(MR\))이 비용 증가분(\(MC\))보다 크면, 생산을 늘리는 쪽이 이윤이 크다.

• 반대로 \(MR < MC\) 이면 마지막 한 단위는 이윤을 감소시키므로 생산을 줄인다.

• 늘려도 줄여도 이윤이 증가하지 않는 지점, 곧 \(MR = MC\) 인 지점이 최적 생산량이다.

이것을 식으로 옮기면 도함수를 \(0\) 으로 놓는 것과 같다.

\[\pi'(q) = R'(q) - C'(q) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad MR = MC\]

\(MR = MC\) 는 새로운 법칙이 아니다. 제31장의 “극값에서 도함수는 \(0\)”을 경제 용어로 표현한 것이다.

2계 조건 — 극대와 극소의 판별

도함수가 \(0\) 인 점이 항상 극대인 것은 아니다. 극소일 수도 있다. 제30장의 2계 도함수 판정을 그대로 쓴다.

\[\pi''(q) = R''(q) - C''(q) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{극대}\]

이 조건은 한계비용 곡선의 기울기가 한계수입 곡선의 기울기보다 커야 한다는 뜻이다. 그때 교점을 지나면서 \(MR - MC\) 의 부호가 양에서 음으로 바뀌고, 그 점이 이윤의 극대점이 된다.

구체적인 예로 확인한다. 가격이 \(15\) 로 고정이고 비용이

\[C(q) = q^3 - 9q^2 + 30q\]

라고 한다. \(MC = 3q^2 - 18q + 30\) 이므로 \(MR = MC\) 는

\[3q^2 - 18q + 30 = 15 \ \Rightarrow\ 3q^2 - 18q + 15 = 0 \ \Rightarrow\ q^2 - 6q + 5 = 0 \ \Rightarrow\ q = 1 \ \text{또는}\ 5\]

해가 두 개다. 두 해를 2계 조건으로 판별한다. \(\pi''(q) = -C''(q) = -(6q - 18)\) 이므로

• \(q = 1\): \(\pi'' = -(6 - 18) = 12 > 0\) → 극소

• \(q = 5\): \(\pi'' = -(30 - 18) = -12 < 0\) → 극대

이윤을 직접 계산해도 같은 결과가 나온다. \(\pi(q) = 15q - (q^3 - 9q^2 + 30q) = -q^3 + 9q^2 - 15q\) 이므로

\[\pi(1) = -7, \qquad \pi(5) = 25, \qquad \pi(0) = 0\]

\(q = 1\) 은 이윤이 극소인 지점이다. \(MR = MC\) 만 보고 \(q = 1\) 을 답으로 내면 이윤이 가장 작은 생산량을 고르게 된다. 2계 조건은 반드시 확인해야 한다.

한계효용 체감

효용(utility)은 만족의 크기를 수로 나타낸 것이다. 효용의 값에는 단위가 없고, 값의 크기 자체보다 순서만 의미를 가진다. \(u = 60\) 은 \(u = 30\) 보다 만족이 두 배라는 뜻이 아니라 더 크다는 뜻이다. 서로 다른 두 사람의 효용을 더하는 연산도 원칙적으로 정의되지 않는다.

소비량 \(x\) 에 대한 효용을 \(u(x)\) 라 한다. 경제학에서 통상 두는 가정은 두 개다.

\[u'(x) > 0 \quad (\text{많을수록 좋다}), \qquad u''(x) < 0 \quad (\text{좋아지는 속도는 줄어든다})\]

둘째 조건이 한계효용 체감이다. 두 도함수의 부호만으로 규정된다.

\(u(x) = \sqrt{x}\) 로 확인한다.

\[u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0, \qquad u''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0\]

수치로 확인하면 다음과 같다.

\(x\)	\(\sqrt{x}\)	직전보다 늘어난 양
\(1\)	\(1.000\)	—
\(2\)	\(1.414\)	\(0.414\)
\(3\)	\(1.732\)	\(0.318\)
\(4\)	\(2.000\)	\(0.268\)
\(5\)	\(2.236\)	\(0.236\)

\(\ln x\) 에서도 같은 부호가 나온다.

\[u(x) = \ln x \ \Rightarrow \ u'(x) = \frac{1}{x} > 0, \qquad u''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0\]

“만족이 줄어든다”가 아니다

\(u'' < 0\) 을 “소비할수록 만족이 줄어든다”로 읽는 것은 오류다. \(u' > 0\) 이므로 만족 자체는 계속 증가한다. 감소하는 것은 만족이 아니라 만족의 증가분이다. 제30장의 용어로 이 그래프는 **증가하면서 위로 볼록(오목)**하다. 함수는 끝까지 증가하고, 증가 속도만 점점 작아진다.

탄력성 — 단위에 의존하지 않는 민감도

가격이 오르면 수요가 감소한다는 사실은 이미 알려져 있다. 남는 문제는 그 감소를 얼마나로 정량화할 것인가다.

가장 단순한 후보는 \(\dfrac{dQ}{dP}\) 다. 그런데 이 값에는 결함이 있다. 측정 단위에 따라 값이 달라진다.

같은 커피 수요를 두 사람이 측정하면서 한 사람은 가격을 원 단위로, 다른 사람은 천 원 단위로 기록한다고 한다. 가격이 오를 때 수량이 줄어드는 실질적인 정도는 동일한데, 앞사람의 \(dQ/dP\) 는 뒷사람의 \(1/1000\) 이 된다. 수량을 잔으로 세는지 리터로 세는지에 따라서도 값이 달라진다. 이런 값으로는 커피와 지하철을 비교할 수 없다.

그래서 변화량 대신 변화율의 비를 쓴다.

\[\varepsilon \;=\; \frac{dQ/Q}{dP/P} \;=\; \frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}\]

이것이 수요의 가격탄력성이다. 분자와 분모가 모두 비율이므로 단위가 약분된다. \(\varepsilon = -0.6\) 은 원으로 측정하든 달러로 측정하든 \(-0.6\) 이다. 이 성질 때문에 탄력성은 경제학에서 널리 사용된다.

제22장의 로그를 쓰면 다음과 같이 간결하게 표현된다.

\[\varepsilon = \frac{d\ln Q}{d\ln P}\]

부호. 수요는 통상 가격이 오르면 감소하므로 \(dQ/dP < 0\), 따라서 \(\varepsilon < 0\) 이다. 다만 신문과 교과서는 관행적으로 부호를 생략하고 “탄력성 \(0.6\)”이라고 표기한다. 이 책은 부호를 표기하고, 크기 판정은 \(|\varepsilon|\) 로 한다. 부호를 생략하면 양수인 공급탄력성과 구분되지 않는다.

\(\varepsilon\)	이름	뜻
\(\varepsilon < -1\)	탄력적	값이 \(1\%\) 오르면 수량이 \(1\%\) 넘게 준다
\(\varepsilon = -1\)	단위탄력적	값과 수량이 같은 비율로 움직인다
\(-1 < \varepsilon < 0\)	비탄력적	값이 \(1\%\) 올라도 수량은 \(1\%\) 미만으로 준다

가격 인상이 매출에 미치는 방향

이 절의 핵심 결과를 유도한다. 매출(총수입)은 \(R = P \cdot Q(P)\) 다. 제28장의 곱의 법칙으로 \(P\) 에 대해 미분한다.

\[\frac{dR}{dP} = Q + P\frac{dQ}{dP} = Q\left(1 + \frac{P}{Q}\cdot\frac{dQ}{dP}\right) = Q\,(1 + \varepsilon)\]

\(Q > 0\) 이므로 부호는 \(1 + \varepsilon\) 이 결정한다.

\(\varepsilon\)	\(1+\varepsilon\)	값을 올리면 매출은
\(\varepsilon < -1\) (탄력적)	음수	줄어든다
\(\varepsilon = -1\)	\(0\)	그대로 (매출의 정점)
\(-1 < \varepsilon < 0\) (비탄력적)	양수	늘어난다

“요금을 올렸더니 오히려 수입이 줄었다”는 기사는 그 상품이 탄력적이었음을 뜻한다. 반대로 소금이나 상수도처럼 대체재가 없고 지출 비중이 작은 재화는 비탄력적이므로, 가격을 올리면 매출이 증가한다.

\(\varepsilon = -1\) 인 행에서 결과가 하나 더 얻어진다. 매출이 최대인 가격은 \(|\varepsilon| = 1\) 인 지점이다. 그보다 가격이 낮은 구간에서는 올릴수록 매출이 늘고, 높은 구간에서는 올릴수록 줄어든다.

매출과 이윤은 다르다

\(|\varepsilon| = 1\) 은 매출이 최대인 지점이지 이윤이 최대인 지점이 아니다. 가격을 올리면 판매량이 줄고, 판매량이 줄면 비용도 감소한다. 따라서 이윤이 최대인 가격은 매출이 최대인 가격보다 언제나 높다. 비용이 생산량과 무관하게 완전히 고정인 경우에만 두 가격이 일치한다.

성장률과 로그

\(y(t)\) 가 시간에 따라 변할 때, 성장률은 현재 크기에 대한 증가 속도의 비다.

\[\text{성장률} = \frac{y'(t)}{y(t)}\]

\(100\) 만 명이 \(2\) 만 명 늘어난 것과 \(10\) 만 명이 \(2\) 만 명 늘어난 것은 서로 다른 변화이므로, 절대 증가분 \(y'\) 만으로는 비교할 수 없다. 그래서 자기 크기로 나눈다.

여기서 로그가 사용된다. 제29장의 연쇄법칙으로

\[\frac{d}{dt}\ln y(t) = \frac{1}{y(t)}\cdot y'(t) = \frac{y'(t)}{y(t)}\]

\(\ln y\) 의 기울기가 곧 성장률이다. 세로축에 로그를 놓고 그린 그래프가 널리 쓰이는 이유가 이 등식이다.

• 로그 눈금 그래프에서 직선이면 성장률이 일정하다는 뜻이고, 그것이 지수 성장이다.

• 직선의 기울기가 곧 연 성장률이다.

• 두 나라의 GDP 크기가 \(10\) 배 차이 나도, 로그로 그리면 기울기를 직접 비교할 수 있다.

곱은 합이 된다

\(z = xy\) 라면 \(\ln z = \ln x + \ln y\) 이므로, 양변을 \(t\) 로 미분하면

\[\frac{z'}{z} = \frac{x'}{x} + \frac{y'}{y}\]

곱해진 양의 성장률은 각 성장률의 합이다. 매출액 \(=\) 가격 \(\times\) 수량이므로

\[\text{매출 증가율} = \text{가격 상승률} + \text{수량 증가율}\]

이고, 명목 GDP \(=\) 실질 GDP \(\times\) 물가지수이므로

\[\text{명목 성장률} = \text{실질 성장률} + \text{물가 상승률}\]

이다. 연속 성장률(로그 차이)로 재면 이 등식은 근사가 아니라 정확하다.

연속 성장률과 이산 성장률

성장률에는 두 가지 정의가 함께 쓰인다. 둘의 관계를 정리한다. 연속 성장률을 \(r\), 한 해 동안의 실제 증가 비율을 \(g\) 라 하면

\[1 + g = e^{r}, \qquad r = \ln(1+g)\]

값이 작으면 둘은 거의 같다. \(r = 0.05\) 면 \(g = e^{0.05} - 1 = 0.05127\), 곧 \(5.13\%\) 다. 값이 커질수록 차이가 커진다.

두 배가 되는 시간도 여기서 나온다. \(y_0 e^{rT} = 2y_0\) 이므로

\[T = \frac{\ln 2}{r} \approx \frac{0.693}{r}\]

성장률을 퍼센트로 쓰면 “\(69.3\) 을 성장률로 나눈다”가 된다. 흔히 말하는 \(70\) 의 법칙이 이것이다. 연 \(3.5\%\) 성장이면 \(0.693/0.035 = 19.8\) 년 만에 두 배가 된다.

스톡과 플로우를 구분한다

플로우(flow)는 기간당 흘러간 양이고, 스톡(stock)은 어느 시점에 쌓여 있는 양이다. GDP·소득·수출액은 플로우(“연간”이 반드시 붙는다), 인구·자본·국가부채·통화량은 스톡이다. 성장률은 둘 다에 쓸 수 있지만 뜻이 다르다. “GDP가 \(3\%\) 성장”은 올해 흐른 양이 작년에 흐른 양보다 \(3\%\) 많다는 뜻이고, “인구가 \(1\%\) 감소”는 지금 쌓여 있는 수가 작년 이맘때보다 \(1\%\) 적다는 뜻이다. 둘을 더하거나 직접 비교한 서술은 의미를 갖지 않는다.

평균과 한계의 관계

마지막 도구는 제28장의 몫의 법칙에서 나온다. 평균비용(average cost, AC)은 총비용을 개수로 나눈 것이다.

\[AC(q) = \frac{C(q)}{q}\]

이것을 미분한다.

\[AC'(q) = \frac{C'(q)\,q - C(q)\cdot 1}{q^2} = \frac{1}{q}\left(C'(q) - \frac{C(q)}{q}\right) = \frac{MC(q) - AC(q)}{q}\]

\(q > 0\) 이므로 \(AC'\) 의 부호는 \(MC - AC\) 가 결정한다.

상황	평균비용은
\(MC > AC\)	올라간다
\(MC = AC\)	멈춘다 — 평균비용 곡선의 최저점
\(MC < AC\)	내려간다

이 결과는 평균의 성질에서 따라 나온다. 지금까지의 평균이 \(80\) 점인 상태에서 이번 시험에서 \(90\) 점을 받으면 평균은 올라간다. \(70\) 점을 받으면 내려간다. \(80\) 점을 받으면 평균은 변하지 않는다. 새로 더해지는 값(한계)이 현재 평균보다 크면 평균은 증가하고, 작으면 감소한다.

따라서 “평균비용 곡선의 최저점을 한계비용 곡선이 정확히 지난다”는 성질은 그림으로 기억할 것이 아니라 이 관계에서 유도된다. 같은 논리가 평균생산과 한계생산, 평균속도와 순간속도에도 그대로 적용된다.

시나리오 문제

문제 1 · 비누 공방의 최적 생산량 ★★☆

상황 — 정수 씨는 수제 비누 공방을 운영한다. 도매상에 개당 \(12{,}000\) 원에 납품하며, 가격은 도매상이 정하므로 생산량과 무관하게 일정하다. 한 달에 \(q\) 개를 생산할 때의 총비용은 \(C(q) = 300{,}000 + 2{,}000q + 20q^2\) 원이다. 앞의 \(300{,}000\) 원은 작업장 임대료와 설비 감가상각으로, 생산량이 \(0\) 이어도 발생한다.

모형 설정 — 이윤이 최대인 생산량을 구한다. 접근이 두 가지다. 하나는 “개당 이익(가격 \(-\) 개당 비용)이 최대인 지점”을 찾는 방법이고, 다른 하나는 “한 개를 더 만들 때 남는 이익이 \(0\) 이 되는 지점”을 찾는 방법이다. 두 방법이 같은 답을 주는지, 다르다면 어느 쪽이 이윤을 최대로 하는지 확인한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 이윤을 최대로 하는 월 생산량 \(q\).

② 주어진 값 — 개당 판매가 \(12{,}000\) 원(고정), 총비용 \(C(q) = 300{,}000 + 2{,}000q + 20q^2\).

③ 관계식 — 총수입은 \(R(q) = 12{,}000q\), 이윤은

\[\pi(q) = 12{,}000q - \left(300{,}000 + 2{,}000q + 20q^2\right)\]

가격이 고정이므로 \(MR = R'(q) = 12{,}000\), 한편 \(MC = C'(q) = 2{,}000 + 40q\). 조건은 \(MR = MC\).

④ 사용 도구 — 제27장 미분규칙, 제31장 최적화, 제30장 2계 판정

⑤ 모형의 한계 — 이 식은 정수 씨가 한 달에 \(250\) 개를 생산할 시간과 작업 능력이 있는지, 도매상이 \(250\) 개를 모두 받는지를 다루지 않는다. 비용함수에는 작업자의 체력이 포함되어 있지 않다.

풀이와 검산

\(MR = MC\) 로 놓는다.

\[12{,}000 = 2{,}000 + 40q \ \Rightarrow\ 40q = 10{,}000 \ \Rightarrow\ q = 250\]

2계 조건을 확인한다. \(\pi''(q) = R'' - C'' = 0 - 40 = -40 < 0\) 이므로 극대다.

이윤을 계산한다.

\[R(250) = 12{,}000 \times 250 = 3{,}000{,}000\]

\[C(250) = 300{,}000 + 500{,}000 + 20 \times 62{,}500 = 300{,}000 + 500{,}000 + 1{,}250{,}000 = 2{,}050{,}000\]

\[\pi(250) = 3{,}000{,}000 - 2{,}050{,}000 = 950{,}000\]

답 — 월 \(250\) 개, 이윤 \(950{,}000\) 원.

검산 — 인접한 값을 대입한다. \(q = 249\): \(C = 300{,}000 + 498{,}000 + 20 \times 62{,}001 = 2{,}038{,}020\), \(\pi = 2{,}988{,}000 - 2{,}038{,}020 = 949{,}980\). \(q = 251\): \(C = 300{,}000 + 502{,}000 + 20 \times 63{,}001 = 2{,}062{,}020\), \(\pi = 3{,}012{,}000 - 2{,}062{,}020 = 949{,}980\). 양쪽 모두 \(20\) 원씩 낮다. \(q = 250\) 이 극대점이다.

빈번한 오류 — “개당 이익이 가장 큰 지점”을 답으로 고르는 것. 그 지점은 평균비용이 최소인 곳이다. \(AC(q) = \dfrac{300{,}000}{q} + 2{,}000 + 20q\) 를 미분하면 \(-\dfrac{300{,}000}{q^2} + 20 = 0\), 곧 \(q^2 = 15{,}000\), \(q \approx 122.5\) 다. 이때 \(AC \approx 6{,}899\) 원이라 개당 이익은 \(5{,}101\) 원으로 \(q=250\) 일 때보다 크지만, 총 이윤은 \(5{,}101 \times 122.47 \approx 624{,}700\) 원에 그친다(반올림 없이 \(\pi = 10{,}000q - 20q^2 - 300{,}000\) 에 \(q = \sqrt{15{,}000}\) 을 그대로 넣으면 \(1{,}224{,}745 - 300{,}000 - 300{,}000 = 624{,}745\) 원이다). 개당 이익이 커도 수량이 적으면 총 이윤은 작다. 이윤은 개당 이익과 수량의 곱이다.

또 하나. 고정비 \(300{,}000\) 원은 미분 과정에서 소거된다. 고정비는 생산량의 크기에는 영향을 주지 않고, 생산 여부에만 영향을 준다.

확장 — 도매가가 \(5{,}000\) 원으로 떨어지면 \(40q = 3{,}000\), \(q = 75\) 다. 이때 \(R = 375{,}000\), \(C = 562{,}500\) 이므로 \(187{,}500\) 원 손실이다. 이 경우에도 생산하는 편이 유리한지를 확인한다. 고정비를 제외한 가변비용은 \(2{,}000(75) + 20(5{,}625) = 262{,}500\) 원이고 수입은 \(375{,}000\) 원이므로, 생산하면 고정비 \(300{,}000\) 원 중 \(112{,}500\) 원을 회수한다. 생산을 중단하면 손실은 \(300{,}000\) 원이다. 단기에는 생산하는 편이 손실이 작다. 고정비는 이 판단에서만 사용된다.

문제 2 · 목욕탕 요금 인상의 매출 효과 ★☆☆

상황 — 성북동에서 목욕탕을 운영하는 김 사장은 입장료를 \(8{,}000\) 원에서 \(8{,}800\) 원으로 인상하는 안을 검토한다. 현재 한 달 이용객은 \(1{,}000\) 명이다. \(3\) 년 전에도 요금을 \(10\%\) 인상한 적이 있고, 그때 이용객이 \(6\%\) 감소했다. 이번에도 같은 정도로 반응한다고 가정한다.

모형 설정 — 요금을 인상하면 한 달 매출이 늘어나는지 줄어드는지를 판정한다. 확인할 점이 둘이다. 첫째, 기준량을 감소한 이용객 수(\(60\) 명)로 잡을지 감소 비율(\(6\%\))로 잡을지를 정해야 한다. 둘째, 이용객이 줄어든다는 사실만으로 매출이 줄어든다고 결론지을 수 있는지를 검토해야 한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 요금 인상 후 매출이 지금보다 늘어나는지 줄어드는지, 그리고 얼마나.

② 주어진 값 — 현재 \(P = 8{,}000\) 원, \(Q = 1{,}000\) 명. 인상폭 \(+10\%\). 과거 관측: 가격 \(+10\%\) 일 때 수량 \(-6\%\).

③ 관계식 — 가격탄력성

\[\varepsilon = \frac{\Delta Q/Q}{\Delta P/P} = \frac{-6\%}{+10\%} = -0.6\]

매출의 방향은 \(\dfrac{dR}{dP} = Q\,(1+\varepsilon)\) 의 부호로 판정한다.

④ 사용 도구 — 제6장 비율·백분율, 제28장 곱의 법칙

⑤ 모형의 한계 — \(\varepsilon = -0.6\) 은 인상 직후에 관측된 값이다. 이용객이 가격을 비교해 다른 시설로 옮기는 데는 몇 달이 걸리고, 그래서 장기 탄력성은 거의 언제나 단기보다 크다. 이 계산은 다음 달을 설명할 뿐 내년을 설명하지 않는다.

풀이와 검산

\(\varepsilon = -0.6\) 이므로 \(|\varepsilon| < 1\), 곧 비탄력적이다.

\[\frac{dR}{dP} = Q(1 + \varepsilon) = 1{,}000 \times (1 - 0.6) = 400 > 0\]

부호가 양수이므로 매출은 늘어난다.

실제 금액으로 확인한다. 가격 \(+10\%\) 이면 수량은 \(-6\%\) 이므로 \(1{,}000 \times 0.94 = 940\) 명이다.

\[\text{현재 매출} = 8{,}000 \times 1{,}000 = 8{,}000{,}000\]

\[\text{인상 후 매출} = 8{,}800 \times 940 = 8{,}272{,}000\]

답 — 매출은 \(272{,}000\) 원, 곧 \(3.4\%\) 늘어난다.

검산 — 비율끼리 곱해도 같다. \(1.10 \times 0.94 = 1.034\), 곧 \(+3.4\%\). 두 방법이 같은 답을 준다.

빈번한 오류 — “이용객이 \(60\) 명 줄어드니 손해”라고 결론짓는 것. 이용객 수와 매출은 다른 양이다. 가격이 오른 비율(\(+10\%\))이 이용객이 줄어든 비율(\(-6\%\))보다 크면 매출은 늘어난다. 또 하나, \(\varepsilon\) 의 부호를 생략하고 “\(0.6\) 이니까 작다”라고만 기억하면 양수인 공급탄력성과 구분되지 않는다. 수요탄력성은 음수이고, 크고 작음은 \(|\varepsilon|\) 로 판정한다.

확장 — \(\varepsilon = -1.4\) 인 경우를 계산한다. 가격 \(+10\%\) 에 수량 \(-14\%\) 이므로 \(1.10 \times 0.86 = 0.946\), 매출이 \(5.4\%\) 줄어든다. 같은 인상폭인데 결론이 반대가 된다. 판정 기준은 \(|\varepsilon|\) 이 \(1\) 보다 큰지 작은지 하나뿐이다.

그리고 이 문제가 답한 것은 매출이지 이윤이 아니다. 이용객이 \(60\) 명 줄면 물값·수건 세탁비도 함께 준다. 이윤은 매출보다 더 많이 늘어난다.

문제 3 · 소극장 티켓값 결정 ★★☆

상황 — 대학로의 \(300\) 석짜리 소극장에서 연극을 올린다. 지난 몇 편의 자료를 적합시킨 결과, 티켓값이 \(P\) 천 원일 때 관객 수가 대략 \(Q = 480 - 12P\) 명이었다. 공연 한 회를 올리는 비용(대관료·출연료·조명)은 관객 수와 무관하게 일정하다.

모형 설정 — 티켓값을 결정한다. 먼저 최대화할 대상을 정해야 한다. 관객 수, 총수입, 이윤은 서로 다른 답을 준다. 이 문제에는 목표를 하나로 좁혀 주는 조건이 포함되어 있으므로, 그 조건을 먼저 찾는다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 최적 티켓값 \(P\) (천 원 단위)와 그때의 관객 수·총수입.

② 주어진 값 — 수요 \(Q(P) = 480 - 12P\), 좌석 \(300\) 석, 비용은 관객 수와 무관한 고정액.

③ 관계식 — 비용이 관객 수와 무관하므로 \(\pi = R - (\text{상수})\) 이고, 따라서 이윤을 최대로 하는 일은 총수입을 최대로 하는 일과 같다. 이것이 목표를 하나로 좁혀 주는 조건이다.

\[R(P) = P \cdot Q(P) = P(480 - 12P) = 480P - 12P^2\]

④ 사용 도구 — 제31장 최적화, 제30장 2계 판정, 제13장 전개

⑤ 모형의 한계 — \(480\) 과 \(12\) 는 지난 공연들에서 얻은 추정치다. 주연 배우가 바뀌거나 리뷰 한 편이 실리면 이 두 수가 함께 변한다. 그리고 값을 낮춰 객석을 채웠을 때 발생하는 입소문, 곧 다음 공연의 수요는 이 식에 포함되어 있지 않다.

풀이와 검산

\[R'(P) = 480 - 24P = 0 \ \Rightarrow\ P = 20\]

\(R''(P) = -24 < 0\) 이므로 극대다.

\[Q = 480 - 12(20) = 480 - 240 = 240 \ \text{명}\]

좌석 \(300\) 석보다 적으므로 좌석 제약에 걸리지 않는다.

\[R = 20 \times 240 = 4{,}800 \ \text{(천 원)} = 4{,}800{,}000 \ \text{원}\]

답 — 티켓값 \(20{,}000\) 원, 관객 \(240\) 명, 총수입 \(4{,}800{,}000\) 원.

검산 — 인접한 값을 대입한다. \(P = 19\): \(Q = 252\), \(R = 19 \times 252 = 4{,}788\) 천 원. \(P = 21\): \(Q = 228\), \(R = 21 \times 228 = 4{,}788\) 천 원. 양쪽 다 \(12\) 천 원씩 낮다.

탄력성으로도 확인된다. \(\dfrac{dQ}{dP} = -12\) 이므로

\[\varepsilon = -12 \times \frac{20}{240} = -1\]

총수입이 최대인 지점에서 \(|\varepsilon| = 1\) 이다. 개념 절에서 유도한 결과와 일치한다.

빈번한 오류 — 객석을 채우는 것을 목표로 삼아 값을 낮추는 것. \(P = 15\) 천 원이면 \(Q = 300\) 으로 만석이지만 \(R = 15 \times 300 = 4{,}500\) 천 원이다. 만석이어도 수입은 \(300{,}000\) 원 적다. 좌석 \(60\) 개를 비우는 쪽의 총수입이 크다.

확장 — 좌석이 \(200\) 석인 극장의 경우를 계산한다. \(Q \le 200\) 이려면 \(480 - 12P \le 200\), 곧 \(P \ge 23\tfrac{1}{3}\) 천 원이다. 제약 없는 최적값 \(P = 20\) 은 쓸 수 없으므로 제약 위의 끝점 \(P = 23\tfrac{1}{3}\) 천 원을 택하고, \(R = 23\tfrac{1}{3} \times 200 \approx 4{,}667\) 천 원이 된다. 제약이 걸리면 \(R' = 0\) 이 아니라 끝점이 답이 된다. 제31장에서 끝점을 반드시 확인하도록 한 이유가 이것이다.

문제 4 · 개당 비용이 가장 싼 지점 ★★☆

상황 — 지연 씨가 수제 쿠키 공방을 연다. 하루 \(q\) 개를 생산할 때의 총비용은 \(C(q) = 4q^2 + 100q + 90{,}000\) 원이다. \(90{,}000\) 원은 하루치 임대료와 오븐 감가상각이다. 지연 씨는 개당 비용이 가장 낮아지는 수량만큼만 생산하기로 정했다.

모형 설정 — 개당 비용이 최소인 \(q\) 를 구한다. 방법이 둘이다. 평균비용 \(C(q)/q\) 를 직접 미분해 \(0\) 으로 놓는 방법과, “한계비용과 평균비용이 같아지는 지점”을 이용하는 방법이다. 두 방법이 같은 답을 주는 이유도 함께 확인한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 평균비용을 최소로 만드는 하루 생산량 \(q\) 와 그때의 개당 비용.

② 주어진 값 — \(C(q) = 4q^2 + 100q + 90{,}000\) (원), \(q > 0\).

③ 관계식 — 평균비용

\[AC(q) = \frac{C(q)}{q} = 4q + 100 + \frac{90{,}000}{q}\]

한계비용 \(MC(q) = C'(q) = 8q + 100\). 몫의 법칙에서

\[AC'(q) = \frac{MC(q) - AC(q)}{q}\]

④ 사용 도구 — 제28장 몫의 법칙, 제19장 유리식, 제31장 최적화

⑤ 모형의 한계 — 이 계산에는 판매가가 포함되어 있지 않다. 개당 비용이 최소인 생산량이 이윤을 최대로 하는 생산량이라는 보장은 없다. 판매가가 높으면 더 많이 생산하는 쪽의 이윤이 크다. “평균비용이 최소인 규모”와 “이윤이 최대인 규모”는 서로 다른 물음이다.

풀이와 검산

첫째 방법 — 평균비용을 직접 미분한다.

\[AC'(q) = 4 - \frac{90{,}000}{q^2} = 0 \ \Rightarrow\ q^2 = 22{,}500 \ \Rightarrow\ q = 150\]

\(AC''(q) = \dfrac{180{,}000}{q^3} > 0\) 이므로 최소다.

\[AC(150) = 4(150) + 100 + \frac{90{,}000}{150} = 600 + 100 + 600 = 1{,}300\]

둘째 방법 — \(MC = AC\) 로 놓는다.

\[8q + 100 = 4q + 100 + \frac{90{,}000}{q} \ \Rightarrow\ 4q = \frac{90{,}000}{q} \ \Rightarrow\ q^2 = 22{,}500 \ \Rightarrow\ q = 150\]

같은 식이 나온다. \(AC' = (MC - AC)/q\) 이므로 \(AC' = 0\) 과 \(MC = AC\) 는 동일한 조건이다.

답 — 하루 \(150\) 개, 그때 개당 비용 \(1{,}300\) 원.

검산 — \(MC(150) = 8(150) + 100 = 1{,}300\). 평균비용과 정확히 같다. 인접한 값도 확인한다. \(AC(140) = 560 + 100 + 642.86 = 1{,}302.86\) \(AC(160) = 640 + 100 + 562.5 = 1{,}302.5\) 둘 다 \(1{,}300\) 보다 크다.

빈번한 오류 — 총비용 \(C(q)\) 를 최소화하려는 것. \(C'(q) = 8q + 100 > 0\) 이라 총비용은 단조증가하므로 최소는 \(q = 0\) 이다. 아무것도 생산하지 않는 것이 답이 된다. 최소화 대상이 총비용인지 평균비용인지 이윤인지를 문제에서 먼저 확인해야 한다.

확장 — 쿠키를 \(2{,}000\) 원에 판매하는 경우 이윤이 최대인 생산량을 구한다. \(MR = MC\) 이므로 \(8q + 100 = 2{,}000\), \(q = 237.5\) 다. 수량은 정수이므로 인접한 값을 확인하면 \(q = 237\): \(\pi = 474{,}000 - 338{,}376 = 135{,}624\) \(q = 238\): \(\pi = 476{,}000 - 340{,}376 = 135{,}624\) 정확히 같으므로 어느 쪽을 택해도 된다. 두 값 모두 \(150\) 개보다 크다. 이윤이 최대인 생산량은 평균비용이 최소인 생산량보다 오른쪽에 있다는 것이 확인된다.

문제 5 · 휴가 일수와 한계효용 ★☆☆

상황 — 회사원 민재 씨는 연차를 며칠 연속으로 쓸지 정하려 한다. 지난 몇 해 동안 휴가 뒤에 스스로 기록한 만족 점수에 곡선을 적합시킨 결과, 휴가 \(x\) 일의 만족도가 대략 \(u(x) = 30\sqrt{x}\) 로 표현되었다(단위 없는 상대 척도다).

모형 설정 — 하루를 더 붙일 때의 만족 증가분이 \(x\) 가 커질수록 커지는지 작아지는지를 판정한다. 확인할 점이 둘이다. 첫째, 총 만족도 \(u(x)\) 를 볼지 하루당 증가분을 볼지를 정해야 한다. 둘째, 그 증가분을 차분 \(u(x{+}1) - u(x)\) 로 잴지 도함수 \(u'(x)\) 로 잴지, 그리고 두 값이 같은지를 확인해야 한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 휴가 하루가 더해질 때 늘어나는 만족의 크기가 \(x\) 가 커질수록 어떻게 변하는가.

② 주어진 값 — \(u(x) = 30\sqrt{x} = 30x^{1/2}\), \(x > 0\).

③ 관계식 — 한계효용은 1계 도함수, 체감 여부는 2계 도함수의 부호다.

\[u'(x) = 30 \cdot \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{15}{\sqrt{x}}, \qquad u''(x) = -\frac{15}{2}x^{-3/2} = -\frac{7.5}{x\sqrt{x}}\]

④ 사용 도구 — 제27장 미분규칙, 제7장 지수·제곱근, 제30장 볼록·오목

⑤ 모형의 한계 — \(u\) 의 값은 민재 씨 한 사람 안에서만 의미를 가지는 척도다. 다른 사람의 \(30\) 점과 민재 씨의 \(30\) 점을 더하거나 비교하는 연산은 이 식에서 정의되지 않는다. 효용은 순서를 나타내는 척도이지 크기의 비를 나타내는 척도가 아니다.

풀이와 검산

총 만족도를 계산한다 (계산기 사용).

\(x\) (일)	\(u(x) = 30\sqrt{x}\)	하루 더 붙였을 때 증가분	\(u'(x)\)
\(1\)	\(30.00\)	\(1 \to 2\): \(12.43\)	\(15.00\)
\(2\)	\(42.43\)		\(10.61\)
\(4\)	\(60.00\)	\(4 \to 5\): \(7.08\)	\(7.50\)
\(5\)	\(67.08\)		\(6.71\)
\(9\)	\(90.00\)	\(9 \to 10\): \(4.87\)	\(5.00\)
\(10\)	\(94.87\)		\(4.74\)

답 — 하루를 더 붙일 때의 만족 증가분은 \(12.43 \to 7.08 \to 4.87\) 로 계속 줄어든다. 한계효용이 체감한다.

이것은 우연이 아니라 두 도함수의 부호로 확정된다.

\[u'(x) = \frac{15}{\sqrt{x}} > 0 \ \text{(언제나)}, \qquad u''(x) = -\frac{7.5}{x\sqrt{x}} < 0 \ \text{(언제나)}\]

검산 — \(x = 4\) 에서 \(u''(4) = -\dfrac{7.5}{4 \times 2} = -0.9375 < 0\). 그리고 차분과 도함수를 비교하면, 차분 \(7.08\) 이 구간 시작점의 기울기 \(u'(4) = 7.5\) 와 끝점의 기울기 \(u'(5) = 6.71\) 사이에 놓인다. 곡선이 오목하므로 성립하는 관계다.

빈번한 오류 — “한계효용 체감”을 “만족이 줄어든다”로 읽는 것. 표의 두 번째 열에서 \(u\) 는 \(30 \to 42 \to 60 \to 90\) 으로 계속 늘고 있다. 줄어드는 것은 만족이 아니라 만족의 증가분이다. 그래프는 끝까지 증가하고, 증가 속도만 작아진다.

확장 — 함수를 \(u(x) = \ln x\) 로 바꿔도 결론은 같다. \(u' = 1/x > 0\), \(u'' = -1/x^2 < 0\). 한계효용 체감은 특정 함수의 성질이 아니라 오목성이라는 형태의 성질이다.

휴가 하루마다 발생하는 비용이 있으면 최적 일수도 구할 수 있다. 하루 쉴 때마다 누적되는 업무 부담을 일정한 값 \(c\) 로 두면 최적 조건은 \(u'(x) = c\) 다. \(c = 5\) 이면

\[\frac{15}{\sqrt{x}} = 5 \ \Rightarrow\ \sqrt{x} = 3 \ \Rightarrow\ x = 9\]

\(9\) 일이다. 여기서도 한계편익 \(=\) 한계비용이다.

문제 6 · 십 년간의 연평균 성장률 ★☆☆

상황 — 어떤 나라의 실질 GDP(\(2015\) 년 가격 기준)가 \(2015\) 년 \(1{,}600\) 조 원에서 \(2025\) 년 \(2{,}000\) 조 원이 되었다. 한 신문은 “\(10\) 년 동안 \(25\%\) 성장”이라고 쓰고, 다른 신문은 “연평균 \(2.3\%\) 성장”이라고 쓴다.

GDP는 한 해 동안 한 나라 안에서 새로 만들어진 부가가치의 합이다. 실질 GDP는 물가 변화를 걷어내고 기준연도 가격으로 다시 잰 것이다.

모형 설정 — 두 신문이 같은 사실을 말하는지 확인한다. 확인할 점이 둘이다. 첫째, \(25\%\) 를 \(10\) 으로 나눠 \(2.5\%\) 로 두어도 되는지를 검토해야 한다. 둘째, 통계표가 ‘실질’이라고 명시한 이유, 곧 명목 GDP로 같은 계산을 하면 어떤 값이 나오는지를 확인해야 한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 이 \(10\) 년의 연평균 성장률.

② 주어진 값 — \(Y(0) = 1{,}600\) 조 원, \(Y(10) = 2{,}000\) 조 원, 모두 \(2015\) 년 가격 기준.

③ 관계식 — 성장률이 \(r\) 로 일정하다면 \(\dfrac{d}{dt}\ln Y = r\) 이므로, 양변을 \(0\) 부터 \(10\) 까지 보면

\[\ln Y(10) - \ln Y(0) = 10r \ \Rightarrow\ r = \frac{1}{10}\ln\frac{2{,}000}{1{,}600}\]

④ 사용 도구 — 제22장 로그, 제29장 연쇄법칙, 제12장 지수법칙

⑤ 모형의 한계 — 실질 GDP는 한 해 동안 새로 만들어진 부가가치라는 플로우의 크기다. 그 \(25\%\) 가 누구에게 귀속되었는지(분배), 그 사이에 무엇이 소모되었는지(자연·설비·건강)는 이 수에 포함되어 있지 않다.

풀이와 검산

(계산기 사용)

\[\ln\frac{2{,}000}{1{,}600} = \ln 1.25 = 0.22314\]

\[r = \frac{0.22314}{10} = 0.022314 \ \Rightarrow\ 2.23\%\ \text{(연속 기준)}\]

한 해 동안의 실제 증가 비율 \(g\) 로 바꾸면

\[g = e^{0.022314} - 1 = 0.02257 \ \Rightarrow\ 2.26\%\]

답 — 연평균 약 \(2.26\%\)(\(= (1.25)^{1/10} - 1\)). 신문의 “\(2.3\%\)”는 이 값을 반올림한 것이다. 두 신문은 같은 사실을 다르게 표현한 것이다.

검산 — \(1.02257^{10}\) 을 계산하면 \(1.250\) 이다. \(1{,}600 \times 1.25 = 2{,}000\) 조 원으로 원래 값이 나온다.

빈번한 오류 — \(25\% \div 10 = 2.5\%\) 로 답하는 것. 성장은 누적되므로 이렇게 나눌 수 없다. 확인하면 \(1.025^{10} = 1.28008\), 곧 \(28.0\%\) 성장이 된다. 실제 \(25\%\) 보다 \(3\) 퍼센트포인트 크다. 비율의 평균은 나눗셈이 아니라 로그로 낸다.

또 하나. 같은 계산을 명목 GDP로 하면 \(2.26\%\) 에 물가 상승률이 더해진 값이 나온다. 개념 절의 등식대로

\[\text{명목 성장률} = \text{실질 성장률} + \text{물가 상승률}\]

이므로, 물가가 연 \(2\%\) 씩 올랐다면 명목 성장률은 약 \(4.3\%\) 다. 같은 나라의 같은 \(10\) 년에 대해 값이 두 배 가까이 커진다. 통계표가 ‘실질’이라고 명시하는 이유가 이것이다.

확장 — 세로축에 \(\ln Y\) 를 놓고 그리면 이 나라의 GDP는 기울기 \(0.0223\) 의 직선이 된다. 이 속도가 이어지면 두 배가 되는 데 걸리는 시간은

\[T = \frac{\ln 2}{0.022314} = \frac{0.6931}{0.022314} \approx 31.1\ \text{년}\]

\(70\) 의 법칙으로 어림해도 \(70 / 2.23 \approx 31.4\) 년으로 거의 같다.

문제 7 · 군청의 인구 추계 ★★☆

상황 — 어느 군의 주민등록 인구가 \(2010\) 년 \(48{,}000\) 명에서 \(2025\) 년 \(36{,}000\) 명으로 줄었다. 군청 기획실은 “지금 속도가 이어진다면” 인구가 \(24{,}000\) 명이 되는 해를 산출해 장기 재정계획을 세우려 한다.

모형 설정 — “지금 속도”를 어떻게 정의할지 정한다. 두 가지 가정이 가능하다. 하나는 \(15\) 년 동안 \(12{,}000\) 명이 줄었으므로 해마다 \(800\) 명씩 줄어든다고 보는 것이고, 다른 하나는 해마다 일정한 비율로 줄어든다고 보는 것이다. 두 가정이 \(24{,}000\) 명에 도달하는 해에 대해 같은 답을 주는지 확인한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 연평균 인구 변화율과, 인구가 \(24{,}000\) 명이 되는 시점.

② 주어진 값 — \(N(2010) = 48{,}000\), \(N(2025) = 36{,}000\). 기간 \(15\) 년.

③ 관계식 — 비율이 일정하다는 가정에서

\[\frac{d}{dt}\ln N = r \ \Rightarrow\ r = \frac{1}{15}\ln\frac{36{,}000}{48{,}000}\]

그다음 \(24{,}000\) 명까지 걸리는 시간은 \(\ln\dfrac{24{,}000}{36{,}000} = r\,t\) 에서 얻는다.

④ 사용 도구 — 제22장 로그, 제29장 연쇄법칙, 제10장 일차방정식

⑤ 모형의 한계 — 인구는 스톡이고, 그 변화는 출생·사망·전입·전출이라는 네 개의 플로우가 합쳐진 결과다. 상수 \(r\) 하나는 이 넷을 하나로 요약한 값이므로, 군에 큰 공장이 들어서거나 요양병원이 문을 닫으면 곧바로 성립하지 않는다. 추계는 예측이 아니라 “다른 조건이 바뀌지 않는다면”이라는 가정을 식으로 옮긴 것이다.

풀이와 검산

(계산기 사용)

\[\ln\frac{36{,}000}{48{,}000} = \ln 0.75 = -0.28768\]

\[r = \frac{-0.28768}{15} = -0.019179 \ \Rightarrow\ \text{연 } -1.92\%\ \text{(연속 기준)}\]

한 해 실제 감소율로는 \(e^{-0.019179} - 1 = -0.0190\), 곧 연 \(-1.90\%\) 다.

\(24{,}000\) 명까지 걸리는 시간을 구한다.

\[\ln\frac{24{,}000}{36{,}000} = \ln\frac{2}{3} = -0.40546\]

\[t = \frac{-0.40546}{-0.019179} = 21.14\ \text{년}\]

답 — 연 약 \(1.9\%\) 씩 감소. \(2025 + 21.1 \approx\) \(2046\) 년경 \(24{,}000\) 명에 이른다.

검산 — \(36{,}000 \times e^{-0.019179 \times 21.14} = 36{,}000 \times e^{-0.40546} = 36{,}000 \times 0.6667 = 24{,}000\) 으로 일치한다.

두 가정의 차이 — 해마다 \(800\) 명씩 줄어든다는 직선 가정이라면 \(12{,}000 \div 800 = 15\) 년, 곧 \(2040\) 년이다. 비율 가정보다 \(6\) 년 빠르다. 모집단이 줄어들면 같은 비율이라도 줄어드는 사람 수 자체가 줄기 때문이다. \(6\) 년의 차이는 학교 통폐합 계획의 시점을 바꾸는 크기다.

빈번한 오류 — 감소율을 \(\dfrac{12{,}000/48{,}000}{15} = 1.67\%\) 로 내는 것. 기준량을 \(2010\) 년 값 하나에 고정한 단순평균이라, 해마다 작아지는 모집단을 반영하지 못한다. 이 값으로 계산하면 \(24{,}000\) 명 도달이 \(2049\) 년쯤으로 밀린다.

확장 — 반감기, 곧 인구가 절반이 되는 시간은

\[\frac{\ln 2}{0.019179} = \frac{0.6931}{0.019179} \approx 36.1\ \text{년}\]

\(70\) 의 법칙은 감소에도 그대로 적용된다. \(70 / 1.92 \approx 36.5\) 년이다.

문제 8 · 광고비의 최적 규모 ★★☆

상황 — 하윤 씨가 온라인 편집숍을 운영한다. 지난 \(1\) 년치 자료를 적합시킨 결과, 한 달 광고비 \(a\) 만 원을 쓰면 추가 매출이 대략 \(S(a) = 200\sqrt{a}\) 만 원 발생했다. 이 가게는 매출의 \(30\%\) 가 마진(매입가와 결제수수료를 뺀 몫)이다.

모형 설정 — 한 달 광고비를 결정한다. 접근이 두 가지다. 하나는 “광고비 \(1\) 원당 매출(ROAS)이 가장 큰 지점”을 찾는 방법이고, 다른 하나는 “광고비를 \(1\) 만 원 더 썼을 때 남는 마진이 그 \(1\) 만 원과 같아지는 지점”을 찾는 방법이다. 첫 번째 방법을 적용하면 어떤 결과가 나오는지를 먼저 확인한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 마진에서 광고비를 뺀 순증이 최대가 되는 광고비 \(a\) (만 원).

② 주어진 값 — \(S(a) = 200\sqrt{a}\) (만 원), 마진율 \(30\%\).

③ 관계식 — 광고로 남는 순증은

\[\pi(a) = 0.3\,S(a) - a = 60\sqrt{a} - a\]

최적 조건은 \(\pi'(a) = 0\), 곧 한계 마진 \(=\) 한계 광고비.

④ 사용 도구 — 제27장 미분규칙, 제7장 제곱근, 제31장 최적화

⑤ 모형의 한계 — \(200\sqrt{a}\) 는 지난 \(1\) 년의 시장에서 얻은 곡선이다. 경쟁사가 같은 매체에 예산을 늘리면 같은 금액으로 확보할 수 있는 노출이 줄어 계수 \(200\) 이 내려간다. 이 식은 자사만 움직이고 경쟁사는 고정된 상황을 가정한 것이다.

풀이와 검산

첫 번째 방법을 먼저 확인한다. ROAS \(= S(a)/a = 200/\sqrt{a}\) 는 \(a\) 가 작을수록 커지므로 최댓값이 존재하지 않는다. \(a \to 0\) 에서 값이 한없이 커지므로 최대화 대상으로 삼을 수 없다.

두 번째 방법으로 간다.

\[\pi(a) = 60\sqrt{a} - a, \qquad \pi'(a) = \frac{30}{\sqrt{a}} - 1 = 0\]

\[\sqrt{a} = 30 \ \Rightarrow\ a = 900\]

\(\pi''(a) = -15a^{-3/2} < 0\) 이므로 극대다.

\[S(900) = 200 \times 30 = 6{,}000, \quad \text{마진} = 1{,}800, \quad \text{순증} = 1{,}800 - 900 = 900\]

답 — 광고비 월 \(900\) 만 원. 추가 매출 \(6{,}000\) 만 원, 순증 \(900\) 만 원.

검산 — 인접한 값을 대입한다 (계산기 사용). \(a = 800\): \(60\sqrt{800} - 800 = 1{,}697.1 - 800 = 897.1\) \(a = 1{,}000\): \(60\sqrt{1{,}000} - 1{,}000 = 1{,}897.4 - 1{,}000 = 897.4\) 둘 다 \(900\) 보다 작다.

한계로 읽어도 일치한다. \(S'(a) = \dfrac{100}{\sqrt{a}}\) 이므로 \(S'(900) = \dfrac{100}{30} = 3.33\). 광고비를 \(1\) 만 원 더 쓰면 매출이 \(3.33\) 만 원 늘고, 그 \(30\%\) 인 \(1.0\) 만 원이 마진으로 남는다. 추가로 쓴 \(1\) 만 원과 정확히 같다. \(MR = MC\) 다.

빈번한 오류 — ROAS가 \(20\) 배라는 이유로 광고비를 줄이는 것. \(a = 100\) 만 원이면 \(S = 2{,}000\) 만 원이라 ROAS는 \(20\) 배지만, 순증은 \(60 \times 10 - 100 = 500\) 만 원이다. \(a = 900\) 만 원에서는 ROAS가 \(6.67\) 배로 낮아지지만 순증은 \(900\) 만 원이다. 비율이 큰 것과 절대액이 큰 것은 다르다. 문제 1에서 개당 이익과 총 이윤이 갈렸던 것과 같은 구조다.

확장 — 마진율이 \(20\%\) 로 떨어지면 \(\pi(a) = 40\sqrt{a} - a\) 이므로 \(\dfrac{20}{\sqrt{a}} = 1\), \(a = 400\) 만 원이 된다. 마진율이 \(\tfrac{2}{3}\) 배가 되면 최적 광고비는 \(\left(\tfrac{2}{3}\right)^2 = \tfrac{4}{9}\) 배로 줄어든다. 원가가 오른 해에 광고비를 줄이는 것은 이 계산의 결과다.

문제 9 · \(1\) 회 주문량의 결정 ★★★

상황 — 문구 도매상 정 사장은 A4 복사용지를 한 해 \(12{,}000\) 박스 판매한다. 판매량은 연중 거의 일정하다. 한 번 주문할 때마다 발주·검수·운송에 \(60{,}000\) 원이 드는데, 이 금액은 \(100\) 박스를 주문하든 \(2{,}000\) 박스를 주문하든 동일하다. 한편 박스 하나를 창고에 \(1\) 년 보관하는 데는 \(1{,}000\) 원이 든다.

모형 설정 — \(1\) 회 주문량을 결정한다. 많이 주문하면 주문 횟수가 줄어 주문비가 줄지만, 재고가 오래 쌓여 보관비가 늘어난다. 확인할 점은 무엇을 미지수로 둘 것인가다. \(1\) 회 주문량 \(q\) 로 둘지 연간 주문 횟수 \(n\) 으로 둘지를 정하고, 창고에 실제로 쌓여 있는 평균량이 \(q\) 인지 그보다 작은지를 확인한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 연간 총비용(주문비 \(+\) 보관비)을 최소로 하는 \(1\) 회 주문량 \(q\).

② 주어진 값 — 연간 판매량 \(D = 12{,}000\) 박스, \(1\) 회 주문 고정비 \(K = 60{,}000\) 원, 박스당 연간 보관비 \(h = 1{,}000\) 원.

③ 관계식 — 연간 주문 횟수는 \(D/q\) 회. 재고는 \(q\) 에서 \(0\) 까지 고르게 줄었다가 다시 채워지므로 평균 재고는 \(q/2\). 따라서

\[T(q) = \underbrace{K\cdot\frac{D}{q}}_{\text{주문비}} + \underbrace{h\cdot\frac{q}{2}}_{\text{보관비}} = \frac{720{,}000{,}000}{q} + 500q\]

④ 사용 도구 — 제27장 미분규칙, 제19장 유리식, 제31장 최적화

⑤ 모형의 한계 — 이 식은 판매가 완전히 고르고 배송이 지연되지 않는다고 가정한다. 실제 창고가 안전재고를 따로 두는 이유는 그 두 가정이 성립하지 않기 때문이고, 그 비용은 이 식에 포함되어 있지 않다(문제 12에서 다시 다룬다).

풀이와 검산

\[T'(q) = -\frac{720{,}000{,}000}{q^2} + 500 = 0 \ \Rightarrow\ q^2 = \frac{720{,}000{,}000}{500} = 1{,}440{,}000 \ \Rightarrow\ q = 1{,}200\]

\(T''(q) = \dfrac{1{,}440{,}000{,}000}{q^3} > 0\) 이므로 최소다.

\[T(1{,}200) = \frac{720{,}000{,}000}{1{,}200} + 500 \times 1{,}200 = 600{,}000 + 600{,}000 = 1{,}200{,}000\]

연간 주문 횟수는 \(12{,}000 \div 1{,}200 = 10\) 회, 곧 약 \(36\) 일마다 한 번이다.

답 — 한 번에 \(1{,}200\) 박스씩, 연 \(10\) 회 주문. 연간 총비용 \(1{,}200{,}000\) 원.

검산 — 인접한 값을 대입한다. \(q = 1{,}000\): \(720{,}000 + 500{,}000 = 1{,}220{,}000\) \(q = 1{,}500\): \(480{,}000 + 750{,}000 = 1{,}230{,}000\) 둘 다 크다.

관찰 — 최적점에서 주문비 총액(\(600{,}000\) 원)과 보관비 총액(\(600{,}000\) 원)이 정확히 같다. 이는 우연이 아니다. \(T'(q) = 0\) 은 \(\dfrac{KD}{q^2} = \dfrac{h}{2}\) 이고, 양변에 \(q\) 를 곱하면 \(\dfrac{KD}{q} = \dfrac{hq}{2}\) — 곧 두 비용이 같다는 뜻이 된다. 이 모형에서 두 비용은 언제나 같다.

일반식으로 정리한다.

\[q^* = \sqrt{\frac{2KD}{h}} = \sqrt{\frac{2 \times 60{,}000 \times 12{,}000}{1{,}000}} = \sqrt{1{,}440{,}000} = 1{,}200\]

경영학에서 경제적 주문량(EOQ) 이라 부르는 식이다.

빈번한 오류 — 평균 재고를 \(q\) 로 잡는 것. 그러면 \(T = \dfrac{720{,}000{,}000}{q} + 1{,}000q\) 가 되어 \(q^2 = 720{,}000\), \(q \approx 849\) 라는 다른 답이 나온다. 재고는 주문 직후에만 \(q\) 이고 다음 주문 직전에는 \(0\) 이다. 고르게 팔린다면 평균은 그 한가운데인 \(q/2\) 다. 평균을 잘못 설정하면 미분이 정확해도 답이 틀린다.

또 하나, \(1{,}000\) 원을 “총보관비”로 오해하면 식 자체가 성립하지 않는다. 박스 하나당 \(1\) 년치 값이다.

확장 — 전자발주를 도입해 \(1\) 회 주문 고정비가 \(15{,}000\) 원으로 줄면

\[q^* = \sqrt{\frac{2 \times 15{,}000 \times 12{,}000}{1{,}000}} = \sqrt{360{,}000} = 600\]

주문비가 \(\tfrac{1}{4}\) 로 줄었는데 주문량은 절반으로만 줄었다. 식에 제곱근이 있기 때문이다. 총비용은 \(300{,}000 + 300{,}000 = 600{,}000\) 원으로 정확히 절반이 된다. 주문 비용을 낮추는 기술이 재고를 줄인다. 적시생산(JIT)의 계산적 근거가 이 관계다.

문제 10 · 세율과 세수의 관계 ★★★

상황 — 예산 국회에서 “세율을 올리면 세수가 는다”와 “세율을 올리면 오히려 준다”는 두 주장이 대립한다. 이를 검토하기 위해 단순한 모형을 세운다. 세율이 \(t\)(\(0\) 과 \(1\) 사이)일 때 실제로 과세되는 소득, 곧 세원이 \(B(t) = 500e^{-2t}\) 조 원이라고 한다. 세율이 높을수록 노동 공급이 줄거나 소득 신고가 줄어든다는 가정이다.

모형 설정 — 세수를 가장 크게 하는 세율을 구한다. 확인할 점이 둘이다. 세수가 세율 자체인지 세율과 세원의 곱인지를 정해야 하고, 세원이 세율에 반응하지 않는 경우(\(B\) 가 상수인 경우)의 최적 세율을 먼저 구해야 한다. 두 번째 물음의 답이 이 문제의 구조를 드러낸다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 세수 \(T(t)\) 를 최대로 하는 세율 \(t\).

② 주어진 값 — 세원 \(B(t) = 500e^{-2t}\) (조 원), \(0 \le t \le 1\).

③ 관계식 — 세수는 세율과 세원의 곱이다.

\[T(t) = t \cdot B(t) = 500\,t\,e^{-2t}\]

곱의 법칙과 연쇄법칙으로 미분해 \(T'(t) = 0\) 을 푼다.

④ 사용 도구 — 제28장 곱의 법칙, 제29장 연쇄법칙, 제22장 지수함수

⑤ 모형의 한계 — 세수의 크기는 세제를 평가하는 여러 기준 중 하나다. 같은 세수를 누구에게서 걷는지(분배), 어떤 행동을 얼마나 왜곡하는지는 \(T(t)\) 라는 한 줄에 포함되어 있지 않다. 세수가 최대인 세율이 좋은 세율이라는 명제는 이 식에서 도출되지 않는다.

풀이와 검산

먼저 세원이 반응하지 않는 경우를 확인한다. \(B\) 가 상수라면 \(T = tB\) 는 \(t\) 에 대해 단조증가한다. \(T'(t) = B > 0\) 이라 도함수가 \(0\) 이 되는 자리가 없으므로 구간 안쪽에 정점이 없고, 최댓값은 구간의 오른쪽 끝점 \(t = 1\)(세율 \(100\%\))에서 난다. 곧 이 가정에서의 최적 세율은 \(100\%\) 다. 정점이 구간 안에 생기는 것은 세원이 세율에 반응하기 때문이다.

이제 미분한다. 곱의 법칙에서

\[T'(t) = 500e^{-2t} + 500t\cdot(-2e^{-2t}) = 500e^{-2t}(1 - 2t)\]

\(e^{-2t}\) 는 절대 \(0\) 이 되지 않으므로 \(1 - 2t = 0\), 곧 \(t = 0.5\) 다.

\[T(0.5) = 500 \times 0.5 \times e^{-1} = \frac{250}{e} \approx 91.97\ \text{조 원}\]

2계 조건을 확인한다.

\[T''(t) = 500\left[-2e^{-2t}(1-2t) + e^{-2t}(-2)\right] = 500e^{-2t}(4t - 4)\]

\[T''(0.5) = 500e^{-1}(2 - 4) = -\frac{1{,}000}{e} < 0 \ \Rightarrow\ \text{극대}\]

답 — 이 모형에서 세수가 최대가 되는 세율은 \(50\%\) 이고, 그때 세수는 약 \(92\) 조 원이다.

검산 — 인접한 값을 대입한다 (계산기 사용). \(t = 0.4\): \(500(0.4)e^{-0.8} = 200 \times 0.44933 = 89.87\) \(t = 0.6\): \(500(0.6)e^{-1.2} = 300 \times 0.30119 = 90.36\) 둘 다 \(91.97\) 보다 작다.

빈번한 오류 — \(T'(t) = 500e^{-2t}(1-2t) = 0\) 을 풀면서 \(e^{-2t} = 0\) 도 해라고 보는 것. 지수함수는 어떤 실수에서도 \(0\) 이 되지 않는다. 곱이 \(0\) 이 되는 조건을 따질 때는 각 인수가 실제로 \(0\) 이 될 수 있는지를 먼저 확인해야 한다.

또 하나. \(t\) 가 \(0.5\) 를 넘으면 세수가 준다고 해서 세율을 내리면 세수가 는다는 뜻은 아니다. 지금 \(t\) 가 정점의 어느 쪽에 있는지를 모르면 방향을 말할 수 없다.

모형의 적용 범위 — \(B(t) = 500e^{-2t}\) 라는 지수함수는 계산의 편의를 위해 선택한 것이다. 이 모형이 보이는 것은 정점이 존재할 수 있다는 사실이며, 그 정점이 \(50\%\) 라는 것은 아니다. 지수의 계수를 \(k\) 로 두면 \(B = 500e^{-kt}\) 에서 정점은 \(t^* = 1/k\) 이므로, 반응이 클수록(\(k\) 가 클수록) 정점 세율이 낮아진다. \(k\) 를 얼마로 두느냐에 따라 답은 \(20\%\) 도 되고 \(80\%\) 도 된다.

실증 연구들은 세목·나라·기간마다 크게 다른 값을 내놓으며, 대부분의 선진국이 정점의 왼쪽에 있다는 것이 다수 견해다. 곧 “세율을 내리면 세수가 는다”는 주장은 이 곡선만으로는 지지되지 않는다. 곡선의 형태를 아는 것과 현재 위치를 아는 것은 서로 다른 문제다.

확장 — 반응이 절반으로 약해 \(B(t) = 500e^{-t}\) 라면 \(T' = 500e^{-t}(1-t) = 0\) 에서 \(t = 1\), 곧 구간의 오른쪽 끝점이다. 세율 변화에 둔감하게 반응하는 세목(예를 들어 이동이 어려운 부동산)일수록 정점 세율이 높다. 세목마다 세율이 다른 데는 이런 이유도 있다.

문제 11 · 학습곡선과 백 번째 조립 ★★☆

상황 — 새 모델을 조립하는 공장에서 첫 대를 만드는 데 \(50\) 분이 걸렸다. 이 공장은 이전 모델에서도 “누적 생산량이 두 배가 될 때마다 그 번째 한 대를 만드는 작업시간이 \(20\%\) 씩 줄어든다”는 이른바 \(80\%\) 학습곡선을 따랐다. 생산관리 담당자는 \(100\) 번째 대의 작업시간을 미리 산출해야 한다.

학습곡선에는 판본이 둘 있다. 여기서 쓰는 것은 \(q\) 번째 한 대의 작업시간이 두 배마다 \(0.8\) 배가 된다고 보는 단위 모형이고, \(1\) 대부터 \(q\) 대까지의 누적평균 작업시간이 두 배마다 \(0.8\) 배가 된다고 보는 판본도 널리 쓰인다. 같은 “\(80\%\) 곡선”이라도 두 판본의 \(T(100)\) 은 다른 값이 나오므로, 다른 자료와 비교할 때는 어느 쪽 정의인지부터 확인해야 한다.

모형 설정 — “두 배마다 \(0.8\) 배”라는 조건을 \(q\) 에 대한 식 하나로 옮긴다. 확인할 점은 함수의 형태다. \(50 \times 0.8^{q}\) 같은 지수함수인지 \(50 q^{b}\) 같은 거듭제곱함수인지를 정하고, 두 형태가 “두 배마다”라는 조건을 각각 어떻게 표현하는지 확인한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — \(q\) 번째 대의 작업시간 \(T(q)\) 의 식, 그리고 \(T(100)\).

② 주어진 값 — \(T(1) = 50\) 분, 모든 \(q\) 에 대해 \(T(2q) = 0.8\,T(q)\).

③ 관계식 — \(T(q) = 50q^{b}\) 로 두면 \(T(2q)/T(q) = 2^{b}\) 이므로

\[2^{b} = 0.8 \ \Rightarrow\ b = \log_2 0.8 = \frac{\ln 0.8}{\ln 2}\]

“두 배마다”라는 조건은 비율이 \(q\) 의 비에만 달려 있다는 뜻이고, 그런 성질을 가진 것은 거듭제곱함수다.

④ 사용 도구 — 제22장 로그, 제12장 지수법칙, 제27장 미분규칙

⑤ 모형의 한계 — 학습곡선은 관측된 규칙성이지 법칙이 아니다. 숙련공이 이직하거나 설계가 바뀌면 곡선은 처음으로 되돌아간다. 그리고 이 식은 작업시간이 줄어든 원인이 작업자의 숙련인지 공정 개선인지를 구분하지 못한다. 개인에게 축적된 학습과 조직에 축적된 학습은 인력이 이탈할 때 서로 다르게 작용한다.

풀이와 검산

(계산기 사용)

\[b = \frac{\ln 0.8}{\ln 2} = \frac{-0.223144}{0.693147} = -0.32193\]

먼저 식이 조건을 만족하는지 확인한다.

\(q\)	\(T(q) = 50q^{-0.32193}\)
\(1\)	\(50.0\) 분
\(2\)	\(40.0\) 분
\(4\)	\(32.0\) 분
\(8\)	\(25.6\) 분

두 배마다 정확히 \(0.8\) 배다.

\[T(100) = 50 \times 100^{-0.32193} = 50 \times e^{-0.32193 \times 4.60517} = 50 \times e^{-1.48249} = 50 \times 0.22706 = 11.35\]

답 — \(T(q) = 50\,q^{-0.322}\) 분이고, \(100\) 번째 대는 약 \(11.4\) 분이 걸린다.

검산 — \(200\) 번째 대는 \(T(200) = 9.08\) 분이어야 한다. \(11.35 \times 0.8 = 9.08\) 로 일치한다.

탄력성으로 읽기 — 양변에 로그를 씌우면

\[\ln T = \ln 50 + b\ln q \ \Rightarrow\ \frac{d\ln T}{d\ln q} = b = -0.322\]

곧 누적 생산량이 \(1\%\) 늘 때 그 번째 한 대의 작업시간이 \(0.322\%\) 준다. 이것은 작업시간의 생산량 탄력성이고, 시간을 분으로 재든 시간으로 재든 값이 같다. 로그–로그 그래프에 그리면 기울기 \(-0.322\) 의 직선이 된다.

빈번한 오류 — “두 배마다 \(20\%\) 감소”를 “한 대마다 \(20\%\) 감소”로 읽어 \(T(q) = 50(0.8)^{q}\) 로 쓰는 것. 이러면 \(T(10) = 50 \times 0.8^{10} = 5.4\) 분, \(T(100)\) 은 사실상 \(0\) 이 된다. 학습곡선의 핵심은 두 배가 되는 데 필요한 대수가 뒤로 갈수록 늘어난다는 점이다. \(1 \to 2\) 는 한 대만 더 만들면 되지만 \(64 \to 128\) 은 \(64\) 대를 더 만들어야 한다. 그래서 개선 속도가 점점 느려진다.

확장 — 학습이 더뎌 \(90\%\) 학습곡선이라면 \(b = \dfrac{\ln 0.9}{\ln 2} = -0.152\) 이고

\[T(100) = 50 \times 100^{-0.152} = 50 \times 0.4966 = 24.8\ \text{분}\]

\(80\%\) 곡선의 \(11.4\) 분과 비교하면 두 배가 넘는다. 첫 대는 똑같이 \(50\) 분이었는데 \(100\) 대째에서 이만큼 차이가 난다. 수주 경쟁에서 학습률 \(10\) 퍼센트포인트가 원가를 가르는 이유다.

문제 12 · 안전재고 수준의 결정 ★★★

상황 — 자동차 부품을 납품하는 회사에서 한 부품의 안전재고(갑작스러운 주문이나 배송 지연에 대비해 여분으로 쌓아 두는 재고)를 \(q\) 개로 정해야 한다. 보관비는 개당 월 \(200\) 원이다. 재고가 모자라 고객사 라인이 정지하면 위약금이 붙는데, 지난 \(3\) 년 기록을 적합시킨 결과 월 기대 손실이 \(L(q) = 800{,}000\,e^{-q/50}\) 원으로 표현되었다. 재고를 두지 않으면 월 \(800{,}000\) 원이고, \(50\) 개마다 손실이 \(1/e\) 배로 줄어든다는 뜻이다.

모형 설정 — 안전재고 수량을 결정한다. 먼저 손실 \(L(q)\) 를 \(0\) 으로 만드는 \(q\) 가 존재하는지를 확인한다. 존재하지 않는다면 무엇을 최소화 대상으로 삼을지를 정한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 월 총비용(보관비 \(+\) 기대 손실)을 최소로 하는 안전재고 \(q\).

② 주어진 값 — 보관비 개당 월 \(200\) 원, 기대 손실 \(L(q) = 800{,}000e^{-q/50}\) 원.

③ 관계식 — \(e^{-q/50} > 0\) 이므로 유한한 \(q\) 로는 손실을 \(0\) 으로 만들 수 없다. 따라서 두 비용의 합을 최소로 한다.

\[T(q) = 200q + 800{,}000e^{-q/50}\]

④ 사용 도구 — 제29장 연쇄법칙, 제22장 로그, 제31장 최적화

⑤ 모형의 한계 — \(800{,}000e^{-q/50}\) 은 기대 손실, 곧 평균이다. 라인이 실제로 정지한 달의 손실은 이보다 훨씬 크다. 회사가 그 드문 손실을 감당할 자금이 없다면, 평균을 최소로 하는 재고는 적절한 답이 아니다. 기대값은 분포의 꼬리에서 발생하는 파산 위험을 반영하지 않는다.

풀이와 검산

연쇄법칙으로 미분한다. \(\dfrac{d}{dq}e^{-q/50} = -\dfrac{1}{50}e^{-q/50}\) 이므로

\[T'(q) = 200 - \frac{800{,}000}{50}e^{-q/50} = 200 - 16{,}000\,e^{-q/50} = 0\]

\[e^{-q/50} = \frac{200}{16{,}000} = \frac{1}{80}\]

양변에 자연로그를 씌운다.

\[-\frac{q}{50} = -\ln 80 \ \Rightarrow\ q = 50\ln 80 = 50 \times 4.3820 = 219.1\]

\(T''(q) = \dfrac{16{,}000}{50}e^{-q/50} = 320e^{-q/50} > 0\) 이므로 최소다.

\[T(219.1) = 200 \times 219.1 + \frac{800{,}000}{80} = 43{,}820 + 10{,}000 = 53{,}820\]

답 — 안전재고 약 \(219\) 개, 그때 월 총비용 약 \(53{,}820\) 원 (계산기 사용).

검산 — 인접한 값을 대입한다. \(q = 200\): \(40{,}000 + 800{,}000e^{-4} = 40{,}000 + 14{,}653 = 54{,}653\) \(q = 250\): \(50{,}000 + 800{,}000e^{-5} = 50{,}000 + 5{,}390 = 55{,}390\) 둘 다 크다.

경제로 읽기 — 최적 조건 \(200 = 16{,}000e^{-q/50}\) 의 왼쪽은 “한 개 더 쌓는 데 드는 돈”, 오른쪽은 “한 개 더 쌓아서 줄어드는 기대 손실”이다. 여기서도 한계비용 \(=\) 한계편익이다. 문제 1의 \(MR = MC\), 문제 8의 광고비와 같은 구조가 재고에서도 나타난다.

빈번한 오류 — 손실을 \(0\) 으로 만들려고 재고를 늘리는 것. \(e^{-q/50}\) 은 \(q\) 를 아무리 키워도 \(0\) 이 되지 않으므로 손실을 완전히 없애는 데 드는 비용은 무한대다. 재고 수준은 보관비와 기대 손실을 비교해 정한다. \(q = 500\) 개까지 쌓으면 기대 손실은 \(800{,}000e^{-10} = 36\) 원으로 거의 사라지지만 보관비가 \(100{,}000\) 원이 되어 총비용은 두 배 가까이 오른다.

확장 — 고객사가 위약금 조항을 두 배로 올려 \(L(q) = 1{,}600{,}000e^{-q/50}\) 이 되면

\[e^{-q/50} = \frac{200}{32{,}000} = \frac{1}{160} \ \Rightarrow\ q = 50\ln 160 = 50 \times 5.0752 = 253.8\]

약 \(254\) 개다. 위험 비용이 두 배가 되었는데 재고는 \(50\ln 2 \approx 34.7\) 개만 늘었다. 지수 모형에서는 위험이 곱으로 커져도 재고는 로그로만 늘어난다. 위약금 협상에서 배수를 크게 잡아도 창고가 그만큼 커지지 않는 이유다.

문제 13 · 두 공장 간 생산량 배분 ★★★

상황 — 한 회사가 공장 두 개를 갖고 있다. 이번 달 주문은 모두 \(60\) 톤이다. A공장에서 \(x\) 톤을 만들 때 드는 비용은 \(C_A(x) = 0.5x^2 + 20x\) 만 원, B공장에서 \(y\) 톤을 만들 때는 \(C_B(y) = y^2 + 8y\) 만 원이다. 두 공장은 같은 제품을 만들고 운송비 차이는 없다.

모형 설정 — \(60\) 톤을 두 공장에 배분한다. 흔히 제시되는 판단이 둘 있다. “개당 비용이 싼 공장에 몰아준다”와 “반씩 나눈다”이다. 두 판단이 옳은지 검토하고, 이 문제를 한 변수 최소화로 바꾸기 위해 무엇을 어떻게 두어야 하는지 확인한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 총비용을 최소로 하는 배분 \((x, y)\).

② 주어진 값 — \(C_A(x) = 0.5x^2 + 20x\), \(C_B(y) = y^2 + 8y\) (만 원), 제약 \(x + y = 60\), \(0 \le x \le 60\).

③ 관계식 — 제약을 대입해 변수를 하나로 줄인다. \(y = 60 - x\) 이므로

\[f(x) = 0.5x^2 + 20x + (60-x)^2 + 8(60-x)\]

\(f'(x) = 0\) 을 푼다.

④ 사용 도구 — 제31장 최적화(제약 대입), 제13장 전개, 제29장 연쇄법칙

⑤ 모형의 한계 — 이 계산은 두 공장이 완전히 같은 물건을 만들고 운송비도 같다고 본다. B공장이 항구 옆이라면 톤당 운송비 차이 하나가 이 답을 전부 바꾼다. 또 A공장에 \(36\) 톤을 배정했을 때 그 공장의 작업 부담이 어떻게 달라지는지도 이 식에는 포함되어 있지 않다.

풀이와 검산

\[f'(x) = x + 20 - 2(60 - x) - 8 = x + 20 - 120 + 2x - 8 = 3x - 108 = 0\]

\[x = 36, \qquad y = 60 - 36 = 24\]

\(f''(x) = 3 > 0\) 이므로 최소다.

한계비용을 확인한다.

\[MC_A(36) = 36 + 20 = 56, \qquad MC_B(24) = 2(24) + 8 = 56\]

정확히 같다.

두 한계비용이 같아지는 이유. \(MC_A < MC_B\) 라면, B에서 \(1\) 톤을 떼어 A로 옮길 때 늘어나는 비용(\(MC_A\))보다 줄어드는 비용(\(MC_B\))이 크므로 총비용이 줄어든다. 더 옮겨도 총비용이 줄지 않는 지점이 곧 두 한계비용이 같아지는 지점이다. 이것이 여러 설비·여러 지역에 물량을 배분할 때 적용되는 일반 원리다.

총비용을 계산한다.

\[C_A(36) = 0.5(1{,}296) + 720 = 648 + 720 = 1{,}368\]

\[C_B(24) = 576 + 192 = 768\]

\[\text{합} = 2{,}136\ \text{만 원}\]

답 — A공장 \(36\) 톤, B공장 \(24\) 톤. 총비용 \(2{,}136\) 만 원.

검산 — 인접한 값과 극단값을 모두 대입한다.

배분 \((x, y)\)	A 비용	B 비용	합
\((35, 25)\)	\(1{,}312.5\)	\(825\)	\(2{,}137.5\)
\((\mathbf{36}, \mathbf{24})\)	\(1{,}368\)	\(768\)	\(\mathbf{2{,}136}\)
\((37, 23)\)	\(1{,}424.5\)	\(713\)	\(2{,}137.5\)
\((30, 30)\)	\(1{,}050\)	\(1{,}140\)	\(2{,}190\)
\((60, 0)\)	\(3{,}000\)	\(0\)	\(3{,}000\)
\((0, 60)\)	\(0\)	\(4{,}080\)	\(4{,}080\)

\((36, 24)\) 가 가장 작다.

빈번한 오류 — B공장의 초기 비용이 낮다는 이유로 B에 전량을 배정하는 판단. B의 한계비용은 시작이 \(8\) 로 A의 \(20\) 보다 낮다. 그러나 B는 \(2y\) 로 가파르게 오르고 A는 \(x\) 로 완만하게 오른다. \(60\) 톤을 전부 B에 배정하면 \(4{,}080\) 만 원으로 최적값의 거의 두 배다. 초기에 싼 것과 전 구간에서 싼 것은 다르다. 한계비용은 값 하나가 아니라 기울기를 가진 곡선이다.

확장 — 주문이 \(90\) 톤으로 늘어난 경우를 계산한다.

\[f'(x) = x + 20 - 2(90 - x) - 8 = 3x - 168 = 0 \ \Rightarrow\ x = 56,\ y = 34\]

확인하면 \(MC_A = 76\), \(MC_B = 76\) 으로 여전히 같다. 늘어난 \(30\) 톤 중 A가 \(20\) 톤, B가 \(10\) 톤을 담당한다. 한계비용이 완만하게 오르는 공장이 증산분을 더 많이 담당한다. 두 공장 모두 생산을 늘리되 배분 비율은 기울기가 결정한다.

문제 14 · 환율 변동과 수출액 ★★☆

상황 — 원·달러 환율이 한 달 사이 \(1{,}300\) 원에서 \(1{,}365\) 원으로 올랐다(원화 약세, \(+5\%\)). 부품을 수출하는 어느 중소기업은 원화로 받는 금액에 여유가 생기자 달러 표시 단가를 \(1\%\) 낮췄고, 그 결과 수출 물량이 \(3\%\) 늘었다.

환율이 오른다는 것은 \(1\) 달러를 바꾸는 데 원이 더 든다는 뜻, 곧 원화가 약해졌다는 뜻이다.

모형 설정 — 이 회사의 수출액 증가율을 구한다. 확인할 점이 둘이다. 첫째, “수출이 늘었다”가 물량을 말하는지 금액을 말하는지, 금액이라면 원화 기준인지 달러 기준인지를 정해야 한다. 둘째, 세 가지 변화(\(+5\%\), \(-1\%\), \(+3\%\))를 곱해야 하는지 더해야 하는지를 확인해야 한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — 원화 기준 수출액의 변화율, 그리고 달러 기준 수출액의 변화율.

② 주어진 값 — 환율 \(+5\%\), 달러 표시 단가 \(-1\%\), 물량 \(+3\%\).

③ 관계식 — 원화 수출액은 세 양의 곱이다.

\[V = e \times p^{\$} \times X \ \Rightarrow\ \ln V = \ln e + \ln p^{\$} + \ln X\]

양변을 \(t\) 로 미분하면 성장률의 덧셈이 된다.

\[\frac{V'}{V} = \frac{e'}{e} + \frac{(p^{\$})'}{p^{\$}} + \frac{X'}{X}\]

④ 사용 도구 — 제22장 로그, 제29장 연쇄법칙, 제28장 곱의 법칙

⑤ 모형의 한계 — 물량이 \(3\%\) 는 것이 환율 때문인지는 이 계산으로 판정할 수 없다. 같은 달에 경쟁국 통화도 함께 약해졌다면 관측된 증가는 환율 효과가 아니다. 환율만 단독으로 움직인 자료는 존재하지 않는다.

풀이와 검산

성장률을 더한다.

\[\text{원화 수출액 변화율} \approx +5\% + (-1\%) + 3\% = +7\%\]

\[\text{달러 수출액 변화율} \approx -1\% + 3\% = +2\%\]

환율 \(+5\%\) 는 원화 금액에는 들어가고 달러 금액에는 들어가지 않는다. 같은 사건을 어느 통화로 재느냐에 따라 \(7\%\) 와 \(2\%\) 로 갈린다.

답 — 원화 기준 약 \(+7\%\), 달러 기준 약 \(+2\%\).

검산 — 곱으로 직접 계산한다.

\[1.05 \times 0.99 \times 1.03 = 1.070685 \ \Rightarrow\ +7.07\%\]

\[0.99 \times 1.03 = 1.0197 \ \Rightarrow\ +1.97\%\]

덧셈으로 낸 \(7\%\), \(2\%\) 와 거의 같다. 변화가 작을수록 덧셈 근사가 잘 맞는다.

로그로 재면 덧셈이 근사가 아니라 정확한 등식이 된다 (계산기 사용).

\[\ln 1.05 + \ln 0.99 + \ln 1.03 = 0.04879 - 0.01005 + 0.02956 = 0.06830 = \ln 1.070685\]

탄력성 확인 — 수출물량의 환율 탄력성은

\[\varepsilon = \frac{+3\%}{+5\%} = 0.6\]

수요탄력성과 달리 양수다. 환율이 오르면 수출이 늘기 때문이다. 탄력성의 부호를 언제나 음수로 적을 수 없는 이유가 여기 있다. 부호는 관습이 아니라 두 양의 실제 변화 방향에서 결정된다.

빈번한 오류 — “물량이 \(3\%\) 늘었으니 수출도 \(3\%\) 늘었다”고 쓰는 것. 물량과 금액은 다른 양이고, 금액은 다시 통화에 따라 갈린다. 신문 기사에서 “수출 \(7\%\) 증가”와 “수출 \(2\%\) 증가”가 같은 달에 함께 실리는 일이 실제로 생긴다. 둘 다 맞는 값이고 기준 통화가 다른 것이다.

확장 — 이 회사가 원재료를 달러로 매입한다면 원가도 환율과 함께 \(5\%\) 오른다. 원화 매출이 \(7\%\) 늘어도 이익은 그만큼 늘지 않는다. 수출 기업이 환율 상승으로 얻는 이득의 크기는 국산 부품 비중에 따라 달라진다. 같은 환율 상승이 기업마다 다른 결과를 낳는다.

문제 15 · 시간에 따른 비용 증가율 ★☆☆

상황 — 새로 가동을 시작한 물류센터에서 가동 후 \(t\) 개월째의 하루 처리 물량이 \(q(t) = 100 + 20t\) 건으로 꾸준히 늘고 있다. 한편 하루 처리 물량이 \(q\) 건일 때 하루 비용은 \(C(q) = 0.02q^2 + 5q + 400\) 만 원이다. 센터장은 \(5\) 개월째에 하루 비용이 한 달당 얼마나 빠르게 늘고 있는지를 구하려 한다.

모형 설정 — \(C\) 를 \(t\) 로 미분해야 하는데, \(C\) 의 식 안에는 \(t\) 가 나타나지 않는다. \(q(t)\) 를 \(C\) 에 대입해 하나의 식으로 만든 뒤 미분할지, 두 도함수를 곱할지를 정하고, 답의 단위가 무엇인지도 확인한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — \(t = 5\) 에서 \(\dfrac{dC}{dt}\), 곧 “한 달이 지날 때 하루 비용이 얼마나 느는가”.

② 주어진 값 — \(q(t) = 100 + 20t\) (건/일), \(C(q) = 0.02q^2 + 5q + 400\) (만 원/일).

③ 관계식 — 비용은 \(q\) 를 거쳐 \(t\) 에 달려 있다. 연쇄법칙 그대로다.

\[\frac{dC}{dt} = \frac{dC}{dq}\cdot\frac{dq}{dt}\]

④ 사용 도구 — 제29장 연쇄법칙, 제27장 미분규칙

⑤ 모형의 한계 — \(q(t) = 100 + 20t\) 는 개업 직후의 추세를 직선으로 적합한 것이다. 처리 물량은 창고 면적과 인력이라는 상한에 도달하지만, 그 상한값은 식에 포함되어 있지 않다. 일차함수 모형은 자신이 유효한 구간의 끝을 나타내지 못한다.

풀이와 검산

\[\frac{dC}{dq} = 0.04q + 5, \qquad \frac{dq}{dt} = 20\]

\(t = 5\) 일 때 \(q = 100 + 100 = 200\) 이므로

\[\frac{dC}{dq}\bigg|_{q=200} = 0.04(200) + 5 = 8 + 5 = 13\ \left(\frac{\text{만 원/일}}{\text{건/일}} = \text{만 원/건}\right)\]

\[\frac{dC}{dt} = 13 \times 20 = 260\ \left(\frac{\text{만 원/일}}{\text{월}}\right)\]

단위를 함께 곱해 보면 연쇄법칙의 구조가 드러난다.

②에서 \(q\) 는 건/일, \(C\) 는 만 원/일 이었으므로 각 조각의 단위를 빠짐없이 적으면 이렇게 된다.

\[\frac{\text{만 원/일}}{\text{건/일}} \times \frac{\text{건/일}}{\text{월}} = \frac{\text{만 원/일}}{\text{월}}\]

‘건/일’이 분자와 분모에서 약분되고 **”하루 비용이 한 달당 얼마나 느는가”**가 남는다. 연쇄법칙이 곱셈인 이유가 이 단위 계산에서 확인된다.

답 — \(5\) 개월째에 하루 비용이 한 달당 약 \(260\) 만 원씩 늘고 있다.

검산 1 — 대입해서 미분한다.

\[C(q(t)) = 0.02(100 + 20t)^2 + 5(100 + 20t) + 400 = 8t^2 + 180t + 1{,}100\]

(전개: \(0.02(10{,}000 + 4{,}000t + 400t^2) = 200 + 80t + 8t^2\), 여기에 \(500 + 100t + 400\) 을 더한다.)

미분하면 \(16t + 180\) 이고, \(t = 5\) 에서 \(80 + 180 = 260\) 으로 같다.

검산 2 — 실제 값으로 확인한다.

\(t\) (개월)	\(q(t)\) (건/일)	\(C\) (만 원/일)
\(4\)	\(180\)	\(1{,}948\)
\(5\)	\(200\)	\(2{,}200\)
\(6\)	\(220\)	\(2{,}468\)

\(4\) 개월과 \(6\) 개월의 차이는 \(2{,}468 - 1{,}948 = 520\) 이고, \(2\) 로 나누면 \(260\) 이다. 정확히 일치한다.

빈번한 오류 — \(\dfrac{dC}{dq} = 13\) 만 원을 답으로 내는 것. \(13\) 만 원은 건당이지 월당이 아니다. 물음이 “한 달당”이었으므로 \(\dfrac{dq}{dt}\) 를 곱해야 한다. 연쇄법칙 문제에서 오류가 생기는 지점은 대체로 미분이 아니라 묻는 단위를 놓치는 데 있다.

확장 — 처리 건당 수수료가 \(15\) 만 원이라면 하루 이윤은 \(\pi(q) = 15q - C(q)\) 다.

\[\pi'(q) = 15 - 0.04q - 5 = 10 - 0.04q = 0 \ \Rightarrow\ q = 250\]

\(\pi(250) = 3{,}750 - 2{,}900 = 850\) 만 원이고, \(\pi(200) = 800\), \(\pi(300) = 800\) 이다. 물량 증가가 언제나 이윤 증가를 뜻하지는 않는다. \(q = 250\), 곧 \(t = 7.5\) 개월을 넘기면 하루 이윤이 오히려 줄어든다. 이 모형에서 이윤은 정점을 가지며, 이 센터의 정점은 가동 후 여덟 달째 부근이다.

문제 16 · 신문 기사의 오류 정정 ★☆☆

상황 — 지역 신문에 다음 기사가 실렸다.

“○○공장은 지난달 부품 \(1{,}000\) 개를 만드는 데 \(5{,}000\) 만 원을 썼다. 개당 \(5\) 만 원인 셈이다. 다음 달에 \(100\) 개를 추가로 주문받았으니, 비용은 \(500\) 만 원 더 늘어날 전망이다.”

이 공장의 비용은 \(C(q) = 2{,}000 + 2q + 0.001q^2\) (만 원)으로 알려져 있다.

모형 설정 — 기사의 어느 부분이 틀렸는지 판정한다. 확인할 점이 둘이다. 첫째, “개당 \(5\) 만 원”이 틀린 값인지, 값 자체는 맞고 쓴 자리가 틀린 것인지를 가려야 한다. 둘째, \(100\) 개 추가 비용을 도함수로 근사할지 \(C(1{,}100) - C(1{,}000)\) 로 직접 계산할지를 정하고, 두 답의 차이가 얼마인지도 확인해야 한다.

모형화 다섯 단계

① 미지량 — \(100\) 개를 더 만들 때 실제로 늘어나는 비용, 그리고 기사의 오류가 무엇인지.

② 주어진 값 — \(C(q) = 2{,}000 + 2q + 0.001q^2\) (만 원), 현재 \(q = 1{,}000\).

③ 관계식 — 평균비용과 한계비용은 다른 양이다.

\[AC(q) = \frac{C(q)}{q}, \qquad MC(q) = C'(q) = 2 + 0.002q\]

실제 추가분은 \(C(1{,}100) - C(1{,}000)\).

④ 사용 도구 — 제27장 미분규칙, 제28장 몫의 법칙, 제6장 비율

⑤ 모형의 한계 — 여기서는 \(C(q)\) 를 안다고 가정했지만, 회계장부에서 이 식을 추정하는 일 자체가 어렵다. 공용 설비의 감가상각을 어느 제품에 얼마나 배부하느냐에 따라 ‘고정비 \(2{,}000\) 만 원’이라는 값부터 달라진다. 오류의 원인이 기사의 계산에만 있는 것은 아니다.

풀이와 검산

먼저 기사의 수가 맞는지 확인한다.

\[C(1{,}000) = 2{,}000 + 2{,}000 + 0.001 \times 1{,}000{,}000 = 2{,}000 + 2{,}000 + 1{,}000 = 5{,}000\]

\(5{,}000\) 만 원이 맞다. 그리고

\[AC(1{,}000) = \frac{5{,}000}{1{,}000} = 5\ \text{만 원/개}\]

‘개당 \(5\) 만 원’도 맞는 값이다. 오류는 값이 아니라 그 값을 쓴 자리에 있다.

한계비용을 구한다.

\[MC(1{,}000) = 2 + 0.002 \times 1{,}000 = 2 + 2 = 4\ \text{만 원/개}\]

한 개 더 만드는 데 드는 돈은 \(4\) 만 원이지 \(5\) 만 원이 아니다.

\(100\) 개 추가 비용을 직접 낸다.

\[C(1{,}100) = 2{,}000 + 2{,}200 + 0.001 \times 1{,}210{,}000 = 2{,}000 + 2{,}200 + 1{,}210 = 5{,}410\]

\[C(1{,}100) - C(1{,}000) = 410\ \text{만 원}\]

답 — 실제 추가 비용은 \(410\) 만 원. 기사의 \(500\) 만 원은 \(90\) 만 원 과대다.

검산 — 도함수로 어림하면 \(MC \times 100 = 4 \times 100 = 400\) 만 원으로 실제 \(410\) 만 원과 \(10\) 만 원 차이다. \(q\) 가 커지면서 \(MC\) 도 함께 오르기 때문이다. \(MC(1{,}100) = 4.2\) 이므로 구간 양 끝의 평균 \(\dfrac{4 + 4.2}{2} = 4.1\) 을 쓰면 \(4.1 \times 100 = 410\) 만 원으로 정확히 맞는다.

\(AC > MC\) 인 이유 — 고정비 \(2{,}000\) 만 원이 개수로 나뉘어 평균에 더해져 있기 때문이다. 개수가 늘면 이 몫이 작아진다.

\[AC(1{,}100) = \frac{5{,}410}{1{,}100} = 4.918\ \text{만 원/개}\]

\(100\) 개를 더 만들면 개당 평균 비용은 오히려 내려간다.

고쳐 쓴 기사 — “○○공장은 지난달 \(1{,}000\) 개를 만드는 데 \(5{,}000\) 만 원을 썼다. 평균 개당 \(5\) 만 원이지만 이 중 \(2{,}000\) 만 원은 몇 개를 만들든 나가는 고정비다. \(100\) 개를 더 만드는 데 실제로 드는 돈은 약 \(410\) 만 원이고, 개당 평균 비용은 \(4.9\) 만 원으로 오히려 내려간다.”

빈번한 오류 — 평균비용을 한계비용 자리에 쓰는 것. 기사·보고서·사내 자료에서 빈번한 오류 중 하나이고, 고정비가 클수록 오차가 커진다. 이 공장은 고정비가 총비용의 \(40\%\)(\(2{,}000/5{,}000\))여서, 기사의 \(500\) 만 원이 실제 \(410\) 만 원보다 \(22\%\) 높게 나왔다.

확장 — 이 오류에는 방향이 있다. 개념 절에서 확인한 대로 \(AC\) 의 최저점은 \(MC = AC\) 인 곳이다.

\[2 + 0.002q = \frac{2{,}000}{q} + 2 + 0.001q \ \Rightarrow\ 0.001q = \frac{2{,}000}{q} \ \Rightarrow\ q^2 = 2{,}000{,}000 \ \Rightarrow\ q \approx 1{,}414\]

이 공장은 \(1{,}000\) 개로 최저점의 왼쪽에 있어 \(MC < AC\) 이고, 따라서 평균비용을 쓰면 추가 비용을 과대평가한다. \(1{,}414\) 개를 넘겨 오른쪽에 있었다면 \(MC > AC\) 이므로 같은 기사가 반대로 — 추가 비용을 과소평가하는 쪽으로 — 틀렸을 것이다. 같은 오류가 상황에 따라 부호를 바꾼다.

적용 범위와 한계

이 장에서 다룬 도구는 적용 범위가 넓지만, 그 과정에서 모형에 포함되지 않고 사라지는 요소가 있다. 무엇이 제외되었는지를 정리한다.

한계비용을 파악하고 있는 기업은 많지 않다. 회계장부는 평균과 배부(allocation)로 짜여 있다. 공용 설비의 감가상각, 관리직 인건비, 전기료를 제품별로 나눠 붙인 뒤 개수로 나눈 값이 장부의 ‘원가’다. 그것은 평균이지 한계가 아니다. 한계비용은 장부에서 읽는 것이 아니라 추정하는 것이고, 그 추정에는 언제나 오차 범위가 있다. 문제 16이 다룬 오류가 현실에서 자주 나타나는 이유다.

미분은 매끄러움을 가정한다. 도입에서 다룬 오븐 한 판이 그 반례였다. 현실의 비용은 계단함수인 경우가 많다. 트럭 한 대, 직원 한 명, 라인 하나가 단위로 추가되고 제거된다. 계단이 촘촘할 때만 미분이 좋은 근사다. 물량이 작을 때 \(C'(q)\) 를 그대로 쓰면 결론이 반대가 될 수 있다.

\(MR = MC\) 는 목적함수를 이미 전제한 조건이다. 이 조건은 “이윤을 최대로 한다”는 전제에서만 유도된다. 실제 조직은 매출 규모, 시장 점유율, 고용 안정 등 다른 목표도 함께 추구한다. 어느 목적함수를 택하느냐에 따라 최적 생산량이 달라지고, 수학은 그중 무엇이 옳은지를 판정하지 않는다.

탄력성은 ‘다른 조건이 같을 때’의 값이다. 가격을 올리는 동시에 경쟁사가 값을 내렸다면, 관측된 수량 변화는 우리 탄력성이 아니다. 더 근본적인 문제도 있다. 시장에서 관측되는 \((P, Q)\) 점들은 수요곡선 위의 점이 아니라 수요와 공급이 만난 교점들이다. 흩어진 교점에서 수요곡선만 골라내는 일을 계량경제학에서 식별(identification) 문제라 부르는데, 이 장에서는 그 문제를 다루지 않았다.

성장률은 방향과 속도를 나타낼 뿐 분배를 나타내지 않는다. GDP가 \(3\%\) 성장했다는 것은 개별 소득이 \(3\%\) 늘었다는 뜻이 아니다. 평균이 오르는 동안 중앙값이 내려가는 경우가 있다. \(\ln y\) 의 기울기는 한 나라를 하나의 값으로 요약한 수다.

미분은 국소적이다. 도함수는 지금 서 있는 점 바로 옆의 정보다. 가격을 \(2\%\) 올릴 때의 판단에는 쓸 수 있지만 \(50\%\) 올릴 때의 판단에는 쓸 수 없다. 크게 움직이는 물음에는 곡선 전체가 필요하고, 곡선 전체를 아는 일은 기울기 하나를 아는 것보다 훨씬 어렵다.

국소 최대와 전역 최대는 다르다. 2계 조건을 만족해도 그것은 근방에서의 최대라는 뜻이다. 극대점이 둘 이상일 수도 있고, 끝점 — 아무것도 하지 않는 것 — 이 더 나을 수도 있다. 문제 1의 ‘확장’에서 확인한 대로, “얼마나 만들까”와 “만들까 말까”는 다른 물음이다.

요약과 다음 장

이 장의 내용은 여섯 개의 대응 관계로 요약된다.

경제학의 말	수학의 말
한계비용·한계수입·한계효용	도함수 \(C'(q),\ R'(q),\ u'(x)\)
이윤 극대화	\(\pi' = 0\), 곧 \(MR = MC\) (그리고 \(\pi'' < 0\))
한계효용 체감	\(u' > 0\) 이면서 \(u'' < 0\) (오목)
탄력성	\(\varepsilon = \dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q} = \dfrac{d\ln Q}{d\ln P}\) (단위에 안 끌린다)
성장률	\(\dfrac{d}{dt}\ln y = \dfrac{y'}{y}\) (로그 기울기)
평균과 한계	\(AC' = \dfrac{MC - AC}{q}\) (평균의 최저점에서 만난다)

이 장에서 새로 도입한 수학은 없다. 제27장부터 제31장까지에서 다룬 미분과 제22장의 로그를 그대로 적용했다. 달라진 것은 도구가 아니라 적용 대상이다. \(C'(q)\) 를 “하나 더 만들 때 드는 돈”으로 읽으면 경제 기사의 상당 부분이 수식으로 옮겨진다.

이 장에서 다룬 양은 모두 곡선의 기울기였다. 한계비용, 한계수입, 한계효용, 성장률이 전부 도함수다. 한편 기울기를 알면 원래 양을 복원할 수 있다는 것은 제33장에서 다루었다. 한계비용을 \(0\) 부터 \(q\) 까지 누적하면 총가변비용이 되고, 그 누적은 그래프에서 넓이로 나타난다.

이 관계에서 다음 개념이 나온다. 어떤 소비자가 물건 하나에 지불할 의사가 있는 최대 금액과 실제로 지불한 값의 차이를 모두 누적하면, 수요곡선 아래의 넓이가 된다. 이것을 소비자잉여라 부른다. 제42장에서 적분으로 이 넓이를 계산하고, 세금이 그 넓이를 어떻게 변화시키는지를 다룬다. 이 장이 “한 단위 더”의 변화를 다루었다면, 다음 장은 “그 변화를 전부 합한 값”을 다룬다.