# 제41장 · 변화와 한계 — 한 단위 더 했을 때

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **사용 도구** | [제27장](../part3/ch27.md) 미분규칙 · [제28장](../part3/ch28.md) 곱·몫의 법칙 · [제29장](../part3/ch29.md) 연쇄법칙 · [제30장](../part3/ch30.md) 그래프 분석 · [제31장](../part3/ch31.md) 최적화 · [제22장](../part3/ch22.md) 로그 |
| **선행 내용** | [제40장](ch40.md) (균형과 선택) |
| **요지** | 경제학이 말하는 **한계**는 미분이다. "하나 더 했을 때 얼마나 달라지는가"를 묻는 모든 자리에 도함수가 대응한다. |
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## 도입

빵집에서 소금빵 하나를 더 굽는 경우를 검토한다. 밀가루·버터·소금 값을 합치면 $900$ 원이 든다. 판매가는 $3{,}500$ 원이다. 이 두 수만으로 추가 생산이 언제나 이득이라고 판단할 수 있는지를 확인한다.

이 빵집의 오븐은 이미 가득 차 있다. 하나를 더 구우려면 한 판을 더 가동해야 하고, 이때 전기값과 연장 인건비로 $4{,}000$ 원이 추가된다. 오븐 한 판에는 소금빵 $12$ 개가 들어간다.

이 조건에서 계산은 두 갈래로 나뉜다.

- **한 개**만 더 구워 판매하는 경우: 비용은 $900 + 4{,}000 = 4{,}900$ 원, 수입은 $3{,}500$ 원이다. $1{,}400$ 원 손실이다.
- 한 판 **$12$ 개**를 모두 판매하는 경우: 비용은 $900 \times 12 + 4{,}000 = 14{,}800$ 원, 수입은 $3{,}500 \times 12 = 42{,}000$ 원이다. $27{,}200$ 원 이익이다.

같은 제품과 같은 재료비인데도 결론이 반대가 되었다. 달라진 것은 **"하나 더"라는 말이 가리키는 대상이다.** 재료비 $900$ 원만으로는 이 판단을 내릴 수 없다. 현재 생산 수준에서 한 단위를 더 늘렸을 때 *실제로* 증가하는 비용이 판단의 기준이 된다.

이 "하나 더"에 대응하는 값이 경제학의 **한계(marginal)**다. 한 단위 변화에 대한 값의 변화를 재는 수학 도구가 도함수이므로, 이 장의 결론은 한 문장으로 요약된다. **경제학의 '한계'는 미분이다.**

신문에서 자주 사용되는 문장 세 개를 먼저 제시한다.

- "실질 GDP가 지난해 $2.3\%$ 성장했다."
- "요금을 올렸더니 오히려 수입이 줄었다."
- "생산량을 늘릴수록 개당 비용이 내려간다."

세 문장은 서로 무관해 보이지만 모두 도함수로 서술된다. 첫 문장은 로그의 도함수, 둘째는 탄력성, 셋째는 평균과 한계의 관계다. [제40장](ch40.md)에서 시장의 균형을 다루었다면, 이 장에서는 그 시장 안의 개별 소비자와 기업이 **수량을 얼마로 정할지**를 판단하는 기준을 세운다.

## 한계는 미분이다

**한계비용**(marginal cost, MC)은 "생산량을 한 단위 늘릴 때 늘어나는 총비용"이다. 이 정의를 그대로 식으로 옮기면 차분이 된다.

$$\text{한계비용} \ \approx\ \frac{\Delta C}{\Delta q} = \frac{C(q + \Delta q) - C(q)}{\Delta q}$$

구체적인 수로 확인한다. 어떤 공장의 월 총비용이 생산량 $q$ 개에 대해

$$C(q) = 3{,}000{,}000 + 1{,}000q + 5q^2 \quad (\text{원})$$

이라고 한다. $q = 100$ 에서 한 단위를 더 생산할 때의 비용 증가를 계산한다.

$$C(100) = 3{,}000{,}000 + 100{,}000 + 50{,}000 = 3{,}150{,}000$$
$$C(101) = 3{,}000{,}000 + 101{,}000 + 51{,}005 = 3{,}152{,}005$$

차이는 $2{,}005$ 원이다. "한 단위"를 더 작게 잡으면 값이 조금씩 달라진다.

| $\Delta q$ (개) | $\Delta C$ (원) | $\Delta C / \Delta q$ (원/개) |
|---|---|---|
| $1$ | $2{,}005$ | $2{,}005$ |
| $0.1$ | $200.05$ | $2{,}000.5$ |
| $0.01$ | $20.0005$ | $2{,}000.05$ |
| $\to 0$ | | $\mathbf{2{,}000}$ |

$\Delta q$ 를 $0$ 으로 보내면 $2{,}000$ 원에 수렴한다. 이것이 도함수다.

$$C'(q) = 1{,}000 + 10q, \qquad C'(100) = 2{,}000$$

**차분 대신 미분을 사용하는 이유는 세 가지다.**

**①** 차분의 값은 "한 단위"를 무엇으로 잡느냐에 따라 달라진다. 위 표에서 $2{,}005$ 와 $2{,}000.05$ 는 같은 질문에 대한 서로 다른 답이다. 도함수는 이 기준 의존성을 제거하고 값 하나를 확정한다.

**②** 미분에는 계산 규칙 체계가 갖추어져 있다. [제27장](../part3/ch27.md)의 미분규칙, [제28장](../part3/ch28.md)의 곱·몫의 법칙, [제29장](../part3/ch29.md)의 연쇄법칙이 전부 그대로 쓰인다. 차분에는 대응하는 규칙이 없다.

**③** 서로 다른 한계량을 **방정식으로 연립할 수 있다.** "한계수입 = 한계비용", "A공장 한계비용 = B공장 한계비용" 같은 조건이 곧바로 풀 수 있는 식이 된다. 이 장에서 얻는 결과의 상당 부분이 이 성질에서 나온다.

:::{admonition} 미분 근사가 성립하는 조건
:class: warning
생산량이 정수인 경우 $C'(q)$ 는 **근사**다. 위 예에서 실제 추가 비용은 $2{,}005$ 원이고 도함수가 주는 값은 $2{,}000$ 원이다. 오차 $5$ 원은 $q$ 가 $100$ 일 때 $0.25\%$ 다. $q$ 가 클수록 이 오차의 비중은 작아지고, $q$ 가 작은 경우(오븐 한 판, 트럭 한 대)에는 미분 근사를 적용할 수 없다. 도입에서 다룬 빵집이 그 경우에 해당한다.
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## 이윤 극대화 — $MR = MC$ 조건

용어를 먼저 정의한다.

- **총수입**(total revenue) $R(q)$ — $q$ 개를 판매하여 얻은 수입의 합.
- **총비용** $C(q)$ — 그 $q$ 개를 생산하는 데 든 비용의 합.
- **이윤**(profit) $\pi(q) = R(q) - C(q)$.
- **한계수입**(marginal revenue, MR) $= R'(q)$, **한계비용** $= C'(q)$.

가격이 $P$ 로 고정된 시장에서 판매하는 기업은 $R(q) = Pq$ 이므로 $MR = P$ 다. 가격을 스스로 결정하는 기업은 $R(q) = P(q)\,q$ 이고, 이때 $MR$ 은 가격보다 작다. 한 단위를 더 팔기 위해 가격을 낮추어야 하고, 낮춘 가격이 기존 판매량에도 적용되기 때문이다.

**식에 앞서 조건의 의미를 서술한다.** 현재 생산량이 $q$ 개라고 한다.

- 한 단위를 더 생산할 때의 수입 증가분($MR$)이 비용 증가분($MC$)보다 **크면**, 생산을 늘리는 쪽이 이윤이 크다.
- 반대로 $MR < MC$ 이면 마지막 한 단위는 이윤을 감소시키므로 생산을 줄인다.
- 늘려도 줄여도 이윤이 증가하지 않는 지점, 곧 $MR = MC$ 인 지점이 최적 생산량이다.

이것을 식으로 옮기면 도함수를 $0$ 으로 놓는 것과 같다.

$$\pi'(q) = R'(q) - C'(q) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad MR = MC$$

$MR = MC$ 는 새로운 법칙이 아니다. [제31장](../part3/ch31.md)의 "극값에서 도함수는 $0$"을 경제 용어로 표현한 것이다.

### 2계 조건 — 극대와 극소의 판별

도함수가 $0$ 인 점이 항상 극대인 것은 아니다. 극소일 수도 있다. [제30장](../part3/ch30.md)의 2계 도함수 판정을 그대로 쓴다.

$$\pi''(q) = R''(q) - C''(q) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{극대}$$

이 조건은 **한계비용 곡선의 기울기가 한계수입 곡선의 기울기보다 커야 한다**는 뜻이다. 그때 교점을 지나면서 $MR - MC$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌고, 그 점이 이윤의 극대점이 된다.

구체적인 예로 확인한다. 가격이 $15$ 로 고정이고 비용이

$$C(q) = q^3 - 9q^2 + 30q$$

라고 한다. $MC = 3q^2 - 18q + 30$ 이므로 $MR = MC$ 는

$$3q^2 - 18q + 30 = 15 \ \Rightarrow\ 3q^2 - 18q + 15 = 0 \ \Rightarrow\ q^2 - 6q + 5 = 0 \ \Rightarrow\ q = 1 \ \text{또는}\ 5$$

**해가 두 개다.** 두 해를 2계 조건으로 판별한다. $\pi''(q) = -C''(q) = -(6q - 18)$ 이므로

- $q = 1$: $\pi'' = -(6 - 18) = 12 > 0$ → **극소**
- $q = 5$: $\pi'' = -(30 - 18) = -12 < 0$ → **극대**

이윤을 직접 계산해도 같은 결과가 나온다. $\pi(q) = 15q - (q^3 - 9q^2 + 30q) = -q^3 + 9q^2 - 15q$ 이므로

$$\pi(1) = -7, \qquad \pi(5) = 25, \qquad \pi(0) = 0$$

$q = 1$ 은 이윤이 극소인 지점이다. $MR = MC$ 만 보고 $q = 1$ 을 답으로 내면 이윤이 가장 작은 생산량을 고르게 된다. 2계 조건은 반드시 확인해야 한다.

```{image} /_static/figs/ch41_mr_mc.svg
:alt: 한계수입과 한계비용이 만나는 곳에서 이윤이 최대
:width: 420px
:align: center
:class: chfig
```


## 한계효용 체감

**효용**(utility)은 만족의 크기를 수로 나타낸 것이다. 효용의 값에는 단위가 없고, 값의 크기 자체보다 **순서**만 의미를 가진다. $u = 60$ 은 $u = 30$ 보다 만족이 두 배라는 뜻이 아니라 더 크다는 뜻이다. 서로 다른 두 사람의 효용을 더하는 연산도 원칙적으로 정의되지 않는다.

소비량 $x$ 에 대한 효용을 $u(x)$ 라 한다. 경제학에서 통상 두는 가정은 두 개다.

$$u'(x) > 0 \quad (\text{많을수록 좋다}), \qquad u''(x) < 0 \quad (\text{좋아지는 속도는 줄어든다})$$

둘째 조건이 **한계효용 체감**이다. 두 도함수의 부호만으로 규정된다.

$u(x) = \sqrt{x}$ 로 확인한다.

$$u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0, \qquad u''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$$

수치로 확인하면 다음과 같다.

| $x$ | $\sqrt{x}$ | 직전보다 늘어난 양 |
|---|---|---|
| $1$ | $1.000$ | — |
| $2$ | $1.414$ | $0.414$ |
| $3$ | $1.732$ | $0.318$ |
| $4$ | $2.000$ | $0.268$ |
| $5$ | $2.236$ | $0.236$ |

$\ln x$ 에서도 같은 부호가 나온다.

$$u(x) = \ln x \ \Rightarrow \ u'(x) = \frac{1}{x} > 0, \qquad u''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$$

:::{admonition} "만족이 줄어든다"가 아니다
:class: warning
$u'' < 0$ 을 "소비할수록 만족이 줄어든다"로 읽는 것은 오류다. $u' > 0$ 이므로 만족 자체는 **계속 증가한다.** 감소하는 것은 만족이 아니라 만족의 *증가분*이다. [제30장](../part3/ch30.md)의 용어로 이 그래프는 **증가하면서 위로 볼록(오목)**하다. 함수는 끝까지 증가하고, 증가 속도만 점점 작아진다.
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## 탄력성 — 단위에 의존하지 않는 민감도

가격이 오르면 수요가 감소한다는 사실은 이미 알려져 있다. 남는 문제는 그 감소를 **얼마나**로 정량화할 것인가다.

가장 단순한 후보는 $\dfrac{dQ}{dP}$ 다. 그런데 이 값에는 결함이 있다. **측정 단위에 따라 값이 달라진다.**

같은 커피 수요를 두 사람이 측정하면서 한 사람은 가격을 원 단위로, 다른 사람은 천 원 단위로 기록한다고 한다. 가격이 오를 때 수량이 줄어드는 실질적인 정도는 동일한데, 앞사람의 $dQ/dP$ 는 뒷사람의 $1/1000$ 이 된다. 수량을 잔으로 세는지 리터로 세는지에 따라서도 값이 달라진다. 이런 값으로는 커피와 지하철을 비교할 수 없다.

그래서 변화량 대신 **변화율의 비**를 쓴다.

$$\varepsilon \;=\; \frac{dQ/Q}{dP/P} \;=\; \frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}$$

이것이 **수요의 가격탄력성**이다. 분자와 분모가 모두 비율이므로 단위가 약분된다. $\varepsilon = -0.6$ 은 원으로 측정하든 달러로 측정하든 $-0.6$ 이다. 이 성질 때문에 탄력성은 경제학에서 널리 사용된다.

[제22장](../part3/ch22.md)의 로그를 쓰면 다음과 같이 간결하게 표현된다.

$$\varepsilon = \frac{d\ln Q}{d\ln P}$$

**부호.** 수요는 통상 가격이 오르면 감소하므로 $dQ/dP < 0$, 따라서 $\varepsilon < 0$ 이다. 다만 신문과 교과서는 관행적으로 부호를 생략하고 "탄력성 $0.6$"이라고 표기한다. 이 책은 **부호를 표기하고, 크기 판정은 $|\varepsilon|$ 로** 한다. 부호를 생략하면 양수인 공급탄력성과 구분되지 않는다.

| $\varepsilon$ | 이름 | 뜻 |
|---|---|---|
| $\varepsilon < -1$ | **탄력적** | 값이 $1\%$ 오르면 수량이 $1\%$ 넘게 준다 |
| $\varepsilon = -1$ | 단위탄력적 | 값과 수량이 같은 비율로 움직인다 |
| $-1 < \varepsilon < 0$ | **비탄력적** | 값이 $1\%$ 올라도 수량은 $1\%$ 미만으로 준다 |

### 가격 인상이 매출에 미치는 방향

이 절의 핵심 결과를 유도한다. 매출(총수입)은 $R = P \cdot Q(P)$ 다. [제28장](../part3/ch28.md)의 곱의 법칙으로 $P$ 에 대해 미분한다.

$$\frac{dR}{dP} = Q + P\frac{dQ}{dP} = Q\left(1 + \frac{P}{Q}\cdot\frac{dQ}{dP}\right) = Q\,(1 + \varepsilon)$$

$Q > 0$ 이므로 부호는 $1 + \varepsilon$ 이 결정한다.

| $\varepsilon$ | $1+\varepsilon$ | 값을 올리면 매출은 |
|---|---|---|
| $\varepsilon < -1$ (탄력적) | 음수 | **줄어든다** |
| $\varepsilon = -1$ | $0$ | 그대로 (매출의 정점) |
| $-1 < \varepsilon < 0$ (비탄력적) | 양수 | **늘어난다** |

"요금을 올렸더니 오히려 수입이 줄었다"는 기사는 그 상품이 탄력적이었음을 뜻한다. 반대로 소금이나 상수도처럼 대체재가 없고 지출 비중이 작은 재화는 비탄력적이므로, 가격을 올리면 매출이 증가한다.

$\varepsilon = -1$ 인 행에서 결과가 하나 더 얻어진다. **매출이 최대인 가격은 $|\varepsilon| = 1$ 인 지점이다.** 그보다 가격이 낮은 구간에서는 올릴수록 매출이 늘고, 높은 구간에서는 올릴수록 줄어든다.

:::{admonition} 매출과 이윤은 다르다
:class: warning
$|\varepsilon| = 1$ 은 **매출**이 최대인 지점이지 **이윤**이 최대인 지점이 아니다. 가격을 올리면 판매량이 줄고, 판매량이 줄면 비용도 감소한다. 따라서 이윤이 최대인 가격은 매출이 최대인 가격보다 언제나 **높다.** 비용이 생산량과 무관하게 완전히 고정인 경우에만 두 가격이 일치한다.
:::

```{image} /_static/figs/ch41_elasticity.svg
:alt: 수요곡선의 탄력적 구간과 비탄력적 구간, 그리고 총수입
:width: 420px
:align: center
:class: chfig
```


## 성장률과 로그

$y(t)$ 가 시간에 따라 변할 때, **성장률**은 현재 크기에 대한 증가 속도의 비다.

$$\text{성장률} = \frac{y'(t)}{y(t)}$$

$100$ 만 명이 $2$ 만 명 늘어난 것과 $10$ 만 명이 $2$ 만 명 늘어난 것은 서로 다른 변화이므로, 절대 증가분 $y'$ 만으로는 비교할 수 없다. 그래서 자기 크기로 나눈다.

여기서 로그가 사용된다. [제29장](../part3/ch29.md)의 연쇄법칙으로

$$\frac{d}{dt}\ln y(t) = \frac{1}{y(t)}\cdot y'(t) = \frac{y'(t)}{y(t)}$$

**$\ln y$ 의 기울기가 곧 성장률이다.** 세로축에 로그를 놓고 그린 그래프가 널리 쓰이는 이유가 이 등식이다.

- 로그 눈금 그래프에서 **직선**이면 성장률이 일정하다는 뜻이고, 그것이 지수 성장이다.
- 직선의 **기울기**가 곧 연 성장률이다.
- 두 나라의 GDP 크기가 $10$ 배 차이 나도, 로그로 그리면 기울기를 직접 비교할 수 있다.

### 곱은 합이 된다

$z = xy$ 라면 $\ln z = \ln x + \ln y$ 이므로, 양변을 $t$ 로 미분하면

$$\frac{z'}{z} = \frac{x'}{x} + \frac{y'}{y}$$

**곱해진 양의 성장률은 각 성장률의 합이다.** 매출액 $=$ 가격 $\times$ 수량이므로

$$\text{매출 증가율} = \text{가격 상승률} + \text{수량 증가율}$$

이고, 명목 GDP $=$ 실질 GDP $\times$ 물가지수이므로

$$\text{명목 성장률} = \text{실질 성장률} + \text{물가 상승률}$$

이다. 연속 성장률(로그 차이)로 재면 이 등식은 근사가 아니라 정확하다.

### 연속 성장률과 이산 성장률

성장률에는 두 가지 정의가 함께 쓰인다. 둘의 관계를 정리한다. 연속 성장률을 $r$, 한 해 동안의 실제 증가 비율을 $g$ 라 하면

$$1 + g = e^{r}, \qquad r = \ln(1+g)$$

값이 작으면 둘은 거의 같다. $r = 0.05$ 면 $g = e^{0.05} - 1 = 0.05127$, 곧 $5.13\%$ 다. 값이 커질수록 차이가 커진다.

**두 배가 되는 시간**도 여기서 나온다. $y_0 e^{rT} = 2y_0$ 이므로

$$T = \frac{\ln 2}{r} \approx \frac{0.693}{r}$$

성장률을 퍼센트로 쓰면 "$69.3$ 을 성장률로 나눈다"가 된다. 흔히 말하는 **$70$ 의 법칙**이 이것이다. 연 $3.5\%$ 성장이면 $0.693/0.035 = 19.8$ 년 만에 두 배가 된다.

:::{admonition} 스톡과 플로우를 구분한다
:class: warning
**플로우**(flow)는 기간당 흘러간 양이고, **스톡**(stock)은 어느 시점에 쌓여 있는 양이다. GDP·소득·수출액은 플로우("연간"이 반드시 붙는다), 인구·자본·국가부채·통화량은 스톡이다. 성장률은 둘 다에 쓸 수 있지만 뜻이 다르다. "GDP가 $3\%$ 성장"은 *올해 흐른 양이 작년에 흐른 양보다 $3\%$ 많다*는 뜻이고, "인구가 $1\%$ 감소"는 *지금 쌓여 있는 수가 작년 이맘때보다 $1\%$ 적다*는 뜻이다. 둘을 더하거나 직접 비교한 서술은 의미를 갖지 않는다.
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## 평균과 한계의 관계

마지막 도구는 [제28장](../part3/ch28.md)의 몫의 법칙에서 나온다. **평균비용**(average cost, AC)은 총비용을 개수로 나눈 것이다.

$$AC(q) = \frac{C(q)}{q}$$

이것을 미분한다.

$$AC'(q) = \frac{C'(q)\,q - C(q)\cdot 1}{q^2} = \frac{1}{q}\left(C'(q) - \frac{C(q)}{q}\right) = \frac{MC(q) - AC(q)}{q}$$

$q > 0$ 이므로 $AC'$ 의 부호는 $MC - AC$ 가 결정한다.

| 상황 | 평균비용은 |
|---|---|
| $MC > AC$ | 올라간다 |
| $MC = AC$ | 멈춘다 — 평균비용 곡선의 **최저점** |
| $MC < AC$ | 내려간다 |

이 결과는 평균의 성질에서 따라 나온다. 지금까지의 평균이 $80$ 점인 상태에서 이번 시험에서 $90$ 점을 받으면 평균은 올라간다. $70$ 점을 받으면 내려간다. $80$ 점을 받으면 평균은 변하지 않는다. **새로 더해지는 값(한계)이 현재 평균보다 크면 평균은 증가하고, 작으면 감소한다.**

따라서 "평균비용 곡선의 최저점을 한계비용 곡선이 정확히 지난다"는 성질은 그림으로 기억할 것이 아니라 이 관계에서 유도된다. 같은 논리가 평균생산과 한계생산, 평균속도와 순간속도에도 그대로 적용된다.

```{image} /_static/figs/ch41_ac_mc.svg
:alt: 평균비용이 최소인 점에서 한계비용과 만난다
:width: 420px
:align: center
:class: chfig
```


## 시나리오 문제

### 문제 1 · 비누 공방의 최적 생산량  ★★☆

**상황** — 정수 씨는 수제 비누 공방을 운영한다. 도매상에 개당 $12{,}000$ 원에 납품하며, 가격은 도매상이 정하므로 생산량과 무관하게 일정하다. 한 달에 $q$ 개를 생산할 때의 총비용은 $C(q) = 300{,}000 + 2{,}000q + 20q^2$ 원이다. 앞의 $300{,}000$ 원은 작업장 임대료와 설비 감가상각으로, 생산량이 $0$ 이어도 발생한다.

**모형 설정** — 이윤이 최대인 생산량을 구한다. 접근이 두 가지다. 하나는 "개당 이익(가격 $-$ 개당 비용)이 최대인 지점"을 찾는 방법이고, 다른 하나는 "한 개를 더 만들 때 남는 이익이 $0$ 이 되는 지점"을 찾는 방법이다. 두 방법이 같은 답을 주는지, 다르다면 어느 쪽이 이윤을 최대로 하는지 확인한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 이윤을 최대로 하는 월 생산량 $q$.

② **주어진 값** — 개당 판매가 $12{,}000$ 원(고정), 총비용 $C(q) = 300{,}000 + 2{,}000q + 20q^2$.

③ **관계식** — 총수입은 $R(q) = 12{,}000q$, 이윤은
$$\pi(q) = 12{,}000q - \left(300{,}000 + 2{,}000q + 20q^2\right)$$
가격이 고정이므로 $MR = R'(q) = 12{,}000$, 한편 $MC = C'(q) = 2{,}000 + 40q$. 조건은 $MR = MC$.

④ **사용 도구** — [제27장](../part3/ch27.md) 미분규칙, [제31장](../part3/ch31.md) 최적화, [제30장](../part3/ch30.md) 2계 판정

⑤ **모형의 한계** — 이 식은 정수 씨가 한 달에 $250$ 개를 생산할 시간과 작업 능력이 있는지, 도매상이 $250$ 개를 모두 받는지를 다루지 않는다. 비용함수에는 작업자의 체력이 포함되어 있지 않다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$MR = MC$ 로 놓는다.

$$12{,}000 = 2{,}000 + 40q \ \Rightarrow\ 40q = 10{,}000 \ \Rightarrow\ q = 250$$

2계 조건을 확인한다. $\pi''(q) = R'' - C'' = 0 - 40 = -40 < 0$ 이므로 극대다.

이윤을 계산한다.

$$R(250) = 12{,}000 \times 250 = 3{,}000{,}000$$
$$C(250) = 300{,}000 + 500{,}000 + 20 \times 62{,}500 = 300{,}000 + 500{,}000 + 1{,}250{,}000 = 2{,}050{,}000$$
$$\pi(250) = 3{,}000{,}000 - 2{,}050{,}000 = 950{,}000$$

**답** — 월 $250$ 개, 이윤 $950{,}000$ 원.

**검산** — 인접한 값을 대입한다.
$q = 249$: $C = 300{,}000 + 498{,}000 + 20 \times 62{,}001 = 2{,}038{,}020$, $\pi = 2{,}988{,}000 - 2{,}038{,}020 = 949{,}980$.
$q = 251$: $C = 300{,}000 + 502{,}000 + 20 \times 63{,}001 = 2{,}062{,}020$, $\pi = 3{,}012{,}000 - 2{,}062{,}020 = 949{,}980$.
양쪽 모두 $20$ 원씩 낮다. $q = 250$ 이 극대점이다.

**빈번한 오류** — "개당 이익이 가장 큰 지점"을 답으로 고르는 것. 그 지점은 평균비용이 최소인 곳이다. $AC(q) = \dfrac{300{,}000}{q} + 2{,}000 + 20q$ 를 미분하면 $-\dfrac{300{,}000}{q^2} + 20 = 0$, 곧 $q^2 = 15{,}000$, $q \approx 122.5$ 다. 이때 $AC \approx 6{,}899$ 원이라 개당 이익은 $5{,}101$ 원으로 $q=250$ 일 때보다 크지만, 총 이윤은 $5{,}101 \times 122.47 \approx 624{,}700$ 원에 그친다(반올림 없이 $\pi = 10{,}000q - 20q^2 - 300{,}000$ 에 $q = \sqrt{15{,}000}$ 을 그대로 넣으면 $1{,}224{,}745 - 300{,}000 - 300{,}000 = 624{,}745$ 원이다). **개당 이익이 커도 수량이 적으면 총 이윤은 작다.** 이윤은 개당 이익과 수량의 곱이다.

또 하나. 고정비 $300{,}000$ 원은 미분 과정에서 소거된다. 고정비는 *생산량의 크기*에는 영향을 주지 않고, *생산 여부*에만 영향을 준다.

**확장** — 도매가가 $5{,}000$ 원으로 떨어지면 $40q = 3{,}000$, $q = 75$ 다. 이때 $R = 375{,}000$, $C = 562{,}500$ 이므로 $187{,}500$ 원 손실이다. 이 경우에도 생산하는 편이 유리한지를 확인한다. 고정비를 제외한 가변비용은 $2{,}000(75) + 20(5{,}625) = 262{,}500$ 원이고 수입은 $375{,}000$ 원이므로, 생산하면 고정비 $300{,}000$ 원 중 $112{,}500$ 원을 회수한다. 생산을 중단하면 손실은 $300{,}000$ 원이다. **단기에는 생산하는 편이 손실이 작다.** 고정비는 이 판단에서만 사용된다.
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### 문제 2 · 목욕탕 요금 인상의 매출 효과  ★☆☆

**상황** — 성북동에서 목욕탕을 운영하는 김 사장은 입장료를 $8{,}000$ 원에서 $8{,}800$ 원으로 인상하는 안을 검토한다. 현재 한 달 이용객은 $1{,}000$ 명이다. $3$ 년 전에도 요금을 $10\%$ 인상한 적이 있고, 그때 이용객이 $6\%$ 감소했다. 이번에도 같은 정도로 반응한다고 가정한다.

**모형 설정** — 요금을 인상하면 한 달 매출이 늘어나는지 줄어드는지를 판정한다. 확인할 점이 둘이다. 첫째, 기준량을 감소한 이용객 수($60$ 명)로 잡을지 감소 비율($6\%$)로 잡을지를 정해야 한다. 둘째, 이용객이 줄어든다는 사실만으로 매출이 줄어든다고 결론지을 수 있는지를 검토해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 요금 인상 후 매출이 지금보다 늘어나는지 줄어드는지, 그리고 얼마나.

② **주어진 값** — 현재 $P = 8{,}000$ 원, $Q = 1{,}000$ 명. 인상폭 $+10\%$. 과거 관측: 가격 $+10\%$ 일 때 수량 $-6\%$.

③ **관계식** — 가격탄력성
$$\varepsilon = \frac{\Delta Q/Q}{\Delta P/P} = \frac{-6\%}{+10\%} = -0.6$$
매출의 방향은 $\dfrac{dR}{dP} = Q\,(1+\varepsilon)$ 의 부호로 판정한다.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 비율·백분율, [제28장](../part3/ch28.md) 곱의 법칙

⑤ **모형의 한계** — $\varepsilon = -0.6$ 은 인상 **직후**에 관측된 값이다. 이용객이 가격을 비교해 다른 시설로 옮기는 데는 몇 달이 걸리고, 그래서 장기 탄력성은 거의 언제나 단기보다 크다. 이 계산은 다음 달을 설명할 뿐 내년을 설명하지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$\varepsilon = -0.6$ 이므로 $|\varepsilon| < 1$, 곧 **비탄력적**이다.

$$\frac{dR}{dP} = Q(1 + \varepsilon) = 1{,}000 \times (1 - 0.6) = 400 > 0$$

부호가 양수이므로 **매출은 늘어난다.**

실제 금액으로 확인한다. 가격 $+10\%$ 이면 수량은 $-6\%$ 이므로 $1{,}000 \times 0.94 = 940$ 명이다.

$$\text{현재 매출} = 8{,}000 \times 1{,}000 = 8{,}000{,}000$$
$$\text{인상 후 매출} = 8{,}800 \times 940 = 8{,}272{,}000$$

**답** — 매출은 $272{,}000$ 원, 곧 $3.4\%$ 늘어난다.

**검산** — 비율끼리 곱해도 같다. $1.10 \times 0.94 = 1.034$, 곧 $+3.4\%$. 두 방법이 같은 답을 준다.

**빈번한 오류** — "이용객이 $60$ 명 줄어드니 손해"라고 결론짓는 것. 이용객 수와 매출은 다른 양이다. 가격이 오른 비율($+10\%$)이 이용객이 줄어든 비율($-6\%$)보다 크면 매출은 늘어난다. 또 하나, $\varepsilon$ 의 부호를 생략하고 "$0.6$ 이니까 작다"라고만 기억하면 양수인 공급탄력성과 구분되지 않는다. 수요탄력성은 **음수**이고, 크고 작음은 $|\varepsilon|$ 로 판정한다.

**확장** — $\varepsilon = -1.4$ 인 경우를 계산한다. 가격 $+10\%$ 에 수량 $-14\%$ 이므로 $1.10 \times 0.86 = 0.946$, 매출이 $5.4\%$ **줄어든다.** 같은 인상폭인데 결론이 반대가 된다. 판정 기준은 $|\varepsilon|$ 이 $1$ 보다 큰지 작은지 하나뿐이다.

그리고 이 문제가 답한 것은 매출이지 이윤이 아니다. 이용객이 $60$ 명 줄면 물값·수건 세탁비도 함께 준다. 이윤은 매출보다 더 많이 늘어난다.
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### 문제 3 · 소극장 티켓값 결정  ★★☆

**상황** — 대학로의 $300$ 석짜리 소극장에서 연극을 올린다. 지난 몇 편의 자료를 적합시킨 결과, 티켓값이 $P$ 천 원일 때 관객 수가 대략 $Q = 480 - 12P$ 명이었다. 공연 한 회를 올리는 비용(대관료·출연료·조명)은 관객 수와 무관하게 일정하다.

**모형 설정** — 티켓값을 결정한다. 먼저 최대화할 대상을 정해야 한다. 관객 수, 총수입, 이윤은 서로 다른 답을 준다. 이 문제에는 목표를 하나로 좁혀 주는 조건이 포함되어 있으므로, 그 조건을 먼저 찾는다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 최적 티켓값 $P$ (천 원 단위)와 그때의 관객 수·총수입.

② **주어진 값** — 수요 $Q(P) = 480 - 12P$, 좌석 $300$ 석, 비용은 관객 수와 무관한 고정액.

③ **관계식** — 비용이 관객 수와 무관하므로 $\pi = R - (\text{상수})$ 이고, 따라서 **이윤을 최대로 하는 일은 총수입을 최대로 하는 일과 같다.** 이것이 목표를 하나로 좁혀 주는 조건이다.
$$R(P) = P \cdot Q(P) = P(480 - 12P) = 480P - 12P^2$$

④ **사용 도구** — [제31장](../part3/ch31.md) 최적화, [제30장](../part3/ch30.md) 2계 판정, [제13장](../part2/ch13.md) 전개

⑤ **모형의 한계** — $480$ 과 $12$ 는 지난 공연들에서 얻은 추정치다. 주연 배우가 바뀌거나 리뷰 한 편이 실리면 이 두 수가 함께 변한다. 그리고 값을 낮춰 객석을 채웠을 때 발생하는 입소문, 곧 다음 공연의 수요는 이 식에 포함되어 있지 않다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$$R'(P) = 480 - 24P = 0 \ \Rightarrow\ P = 20$$

$R''(P) = -24 < 0$ 이므로 극대다.

$$Q = 480 - 12(20) = 480 - 240 = 240 \ \text{명}$$

좌석 $300$ 석보다 적으므로 좌석 제약에 걸리지 않는다.

$$R = 20 \times 240 = 4{,}800 \ \text{(천 원)} = 4{,}800{,}000 \ \text{원}$$

**답** — 티켓값 $20{,}000$ 원, 관객 $240$ 명, 총수입 $4{,}800{,}000$ 원.

**검산** — 인접한 값을 대입한다.
$P = 19$: $Q = 252$, $R = 19 \times 252 = 4{,}788$ 천 원.
$P = 21$: $Q = 228$, $R = 21 \times 228 = 4{,}788$ 천 원.
양쪽 다 $12$ 천 원씩 낮다.

탄력성으로도 확인된다. $\dfrac{dQ}{dP} = -12$ 이므로

$$\varepsilon = -12 \times \frac{20}{240} = -1$$

총수입이 최대인 지점에서 $|\varepsilon| = 1$ 이다. 개념 절에서 유도한 결과와 일치한다.

**빈번한 오류** — 객석을 채우는 것을 목표로 삼아 값을 낮추는 것. $P = 15$ 천 원이면 $Q = 300$ 으로 만석이지만 $R = 15 \times 300 = 4{,}500$ 천 원이다. 만석이어도 수입은 $300{,}000$ 원 적다. 좌석 $60$ 개를 비우는 쪽의 총수입이 크다.

**확장** — 좌석이 $200$ 석인 극장의 경우를 계산한다. $Q \le 200$ 이려면 $480 - 12P \le 200$, 곧 $P \ge 23\tfrac{1}{3}$ 천 원이다. 제약 없는 최적값 $P = 20$ 은 쓸 수 없으므로 제약 위의 끝점 $P = 23\tfrac{1}{3}$ 천 원을 택하고, $R = 23\tfrac{1}{3} \times 200 \approx 4{,}667$ 천 원이 된다. **제약이 걸리면 $R' = 0$ 이 아니라 끝점이 답이 된다.** [제31장](../part3/ch31.md)에서 끝점을 반드시 확인하도록 한 이유가 이것이다.
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### 문제 4 · 개당 비용이 가장 싼 지점  ★★☆

**상황** — 지연 씨가 수제 쿠키 공방을 연다. 하루 $q$ 개를 생산할 때의 총비용은 $C(q) = 4q^2 + 100q + 90{,}000$ 원이다. $90{,}000$ 원은 하루치 임대료와 오븐 감가상각이다. 지연 씨는 개당 비용이 가장 낮아지는 수량만큼만 생산하기로 정했다.

**모형 설정** — 개당 비용이 최소인 $q$ 를 구한다. 방법이 둘이다. 평균비용 $C(q)/q$ 를 직접 미분해 $0$ 으로 놓는 방법과, "한계비용과 평균비용이 같아지는 지점"을 이용하는 방법이다. 두 방법이 같은 답을 주는 이유도 함께 확인한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 평균비용을 최소로 만드는 하루 생산량 $q$ 와 그때의 개당 비용.

② **주어진 값** — $C(q) = 4q^2 + 100q + 90{,}000$ (원), $q > 0$.

③ **관계식** — 평균비용
$$AC(q) = \frac{C(q)}{q} = 4q + 100 + \frac{90{,}000}{q}$$
한계비용 $MC(q) = C'(q) = 8q + 100$. 몫의 법칙에서
$$AC'(q) = \frac{MC(q) - AC(q)}{q}$$

④ **사용 도구** — [제28장](../part3/ch28.md) 몫의 법칙, [제19장](../part2/ch19.md) 유리식, [제31장](../part3/ch31.md) 최적화

⑤ **모형의 한계** — 이 계산에는 **판매가가 포함되어 있지 않다.** 개당 비용이 최소인 생산량이 이윤을 최대로 하는 생산량이라는 보장은 없다. 판매가가 높으면 더 많이 생산하는 쪽의 이윤이 크다. "평균비용이 최소인 규모"와 "이윤이 최대인 규모"는 서로 다른 물음이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**첫째 방법 — 평균비용을 직접 미분한다.**

$$AC'(q) = 4 - \frac{90{,}000}{q^2} = 0 \ \Rightarrow\ q^2 = 22{,}500 \ \Rightarrow\ q = 150$$

$AC''(q) = \dfrac{180{,}000}{q^3} > 0$ 이므로 최소다.

$$AC(150) = 4(150) + 100 + \frac{90{,}000}{150} = 600 + 100 + 600 = 1{,}300$$

**둘째 방법 — $MC = AC$ 로 놓는다.**

$$8q + 100 = 4q + 100 + \frac{90{,}000}{q} \ \Rightarrow\ 4q = \frac{90{,}000}{q} \ \Rightarrow\ q^2 = 22{,}500 \ \Rightarrow\ q = 150$$

같은 식이 나온다. $AC' = (MC - AC)/q$ 이므로 $AC' = 0$ 과 $MC = AC$ 는 동일한 조건이다.

**답** — 하루 $150$ 개, 그때 개당 비용 $1{,}300$ 원.

**검산** — $MC(150) = 8(150) + 100 = 1{,}300$. 평균비용과 정확히 같다. 인접한 값도 확인한다.
$AC(140) = 560 + 100 + 642.86 = 1{,}302.86$
$AC(160) = 640 + 100 + 562.5 = 1{,}302.5$
둘 다 $1{,}300$ 보다 크다.

**빈번한 오류** — 총비용 $C(q)$ 를 최소화하려는 것. $C'(q) = 8q + 100 > 0$ 이라 총비용은 단조증가하므로 최소는 $q = 0$ 이다. 아무것도 생산하지 않는 것이 답이 된다. 최소화 대상이 총비용인지 평균비용인지 이윤인지를 문제에서 먼저 확인해야 한다.

**확장** — 쿠키를 $2{,}000$ 원에 판매하는 경우 이윤이 최대인 생산량을 구한다. $MR = MC$ 이므로 $8q + 100 = 2{,}000$, $q = 237.5$ 다. 수량은 정수이므로 인접한 값을 확인하면
$q = 237$: $\pi = 474{,}000 - 338{,}376 = 135{,}624$
$q = 238$: $\pi = 476{,}000 - 340{,}376 = 135{,}624$
정확히 같으므로 어느 쪽을 택해도 된다. 두 값 모두 $150$ 개보다 크다. **이윤이 최대인 생산량은 평균비용이 최소인 생산량보다 오른쪽에 있다**는 것이 확인된다.
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### 문제 5 · 휴가 일수와 한계효용  ★☆☆

**상황** — 회사원 민재 씨는 연차를 며칠 연속으로 쓸지 정하려 한다. 지난 몇 해 동안 휴가 뒤에 스스로 기록한 만족 점수에 곡선을 적합시킨 결과, 휴가 $x$ 일의 만족도가 대략 $u(x) = 30\sqrt{x}$ 로 표현되었다(단위 없는 상대 척도다).

**모형 설정** — 하루를 더 붙일 때의 만족 증가분이 $x$ 가 커질수록 커지는지 작아지는지를 판정한다. 확인할 점이 둘이다. 첫째, 총 만족도 $u(x)$ 를 볼지 하루당 **증가분**을 볼지를 정해야 한다. 둘째, 그 증가분을 차분 $u(x{+}1) - u(x)$ 로 잴지 도함수 $u'(x)$ 로 잴지, 그리고 두 값이 같은지를 확인해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 휴가 하루가 더해질 때 늘어나는 만족의 크기가 $x$ 가 커질수록 어떻게 변하는가.

② **주어진 값** — $u(x) = 30\sqrt{x} = 30x^{1/2}$, $x > 0$.

③ **관계식** — 한계효용은 1계 도함수, 체감 여부는 2계 도함수의 부호다.
$$u'(x) = 30 \cdot \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{15}{\sqrt{x}}, \qquad u''(x) = -\frac{15}{2}x^{-3/2} = -\frac{7.5}{x\sqrt{x}}$$

④ **사용 도구** — [제27장](../part3/ch27.md) 미분규칙, [제7장](../part1/ch07.md) 지수·제곱근, [제30장](../part3/ch30.md) 볼록·오목

⑤ **모형의 한계** — $u$ 의 값은 민재 씨 한 사람 안에서만 의미를 가지는 척도다. 다른 사람의 $30$ 점과 민재 씨의 $30$ 점을 더하거나 비교하는 연산은 이 식에서 정의되지 않는다. 효용은 순서를 나타내는 척도이지 크기의 비를 나타내는 척도가 아니다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
총 만족도를 계산한다 (계산기 사용).

| $x$ (일) | $u(x) = 30\sqrt{x}$ | 하루 더 붙였을 때 증가분 | $u'(x)$ |
|---|---|---|---|
| $1$ | $30.00$ | $1 \to 2$: $12.43$ | $15.00$ |
| $2$ | $42.43$ | | $10.61$ |
| $4$ | $60.00$ | $4 \to 5$: $7.08$ | $7.50$ |
| $5$ | $67.08$ | | $6.71$ |
| $9$ | $90.00$ | $9 \to 10$: $4.87$ | $5.00$ |
| $10$ | $94.87$ | | $4.74$ |

**답** — 하루를 더 붙일 때의 만족 증가분은 $12.43 \to 7.08 \to 4.87$ 로 계속 줄어든다. 한계효용이 체감한다.

이것은 우연이 아니라 두 도함수의 부호로 확정된다.

$$u'(x) = \frac{15}{\sqrt{x}} > 0 \ \text{(언제나)}, \qquad u''(x) = -\frac{7.5}{x\sqrt{x}} < 0 \ \text{(언제나)}$$

**검산** — $x = 4$ 에서 $u''(4) = -\dfrac{7.5}{4 \times 2} = -0.9375 < 0$. 그리고 차분과 도함수를 비교하면, 차분 $7.08$ 이 구간 시작점의 기울기 $u'(4) = 7.5$ 와 끝점의 기울기 $u'(5) = 6.71$ 사이에 놓인다. 곡선이 오목하므로 성립하는 관계다.

**빈번한 오류** — "한계효용 체감"을 "만족이 줄어든다"로 읽는 것. 표의 두 번째 열에서 $u$ 는 $30 \to 42 \to 60 \to 90$ 으로 **계속 늘고 있다.** 줄어드는 것은 만족이 아니라 만족의 증가분이다. 그래프는 끝까지 증가하고, 증가 속도만 작아진다.

**확장** — 함수를 $u(x) = \ln x$ 로 바꿔도 결론은 같다. $u' = 1/x > 0$, $u'' = -1/x^2 < 0$. 한계효용 체감은 특정 함수의 성질이 아니라 **오목성**이라는 형태의 성질이다.

휴가 하루마다 발생하는 비용이 있으면 최적 일수도 구할 수 있다. 하루 쉴 때마다 누적되는 업무 부담을 일정한 값 $c$ 로 두면 최적 조건은 $u'(x) = c$ 다. $c = 5$ 이면

$$\frac{15}{\sqrt{x}} = 5 \ \Rightarrow\ \sqrt{x} = 3 \ \Rightarrow\ x = 9$$

$9$ 일이다. 여기서도 한계편익 $=$ 한계비용이다.
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### 문제 6 · 십 년간의 연평균 성장률  ★☆☆

**상황** — 어떤 나라의 실질 GDP($2015$ 년 가격 기준)가 $2015$ 년 $1{,}600$ 조 원에서 $2025$ 년 $2{,}000$ 조 원이 되었다. 한 신문은 "$10$ 년 동안 $25\%$ 성장"이라고 쓰고, 다른 신문은 "연평균 $2.3\%$ 성장"이라고 쓴다.

> **GDP**는 한 해 동안 한 나라 안에서 새로 만들어진 부가가치의 합이다. **실질** GDP는 물가 변화를 걷어내고 기준연도 가격으로 다시 잰 것이다.

**모형 설정** — 두 신문이 같은 사실을 말하는지 확인한다. 확인할 점이 둘이다. 첫째, $25\%$ 를 $10$ 으로 나눠 $2.5\%$ 로 두어도 되는지를 검토해야 한다. 둘째, 통계표가 '실질'이라고 명시한 이유, 곧 명목 GDP로 같은 계산을 하면 어떤 값이 나오는지를 확인해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 이 $10$ 년의 연평균 성장률.

② **주어진 값** — $Y(0) = 1{,}600$ 조 원, $Y(10) = 2{,}000$ 조 원, 모두 $2015$ 년 가격 기준.

③ **관계식** — 성장률이 $r$ 로 일정하다면 $\dfrac{d}{dt}\ln Y = r$ 이므로, 양변을 $0$ 부터 $10$ 까지 보면
$$\ln Y(10) - \ln Y(0) = 10r \ \Rightarrow\ r = \frac{1}{10}\ln\frac{2{,}000}{1{,}600}$$

④ **사용 도구** — [제22장](../part3/ch22.md) 로그, [제29장](../part3/ch29.md) 연쇄법칙, [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙

⑤ **모형의 한계** — 실질 GDP는 *한 해 동안 새로 만들어진 부가가치*라는 플로우의 크기다. 그 $25\%$ 가 누구에게 귀속되었는지(분배), 그 사이에 무엇이 소모되었는지(자연·설비·건강)는 이 수에 포함되어 있지 않다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
(계산기 사용)

$$\ln\frac{2{,}000}{1{,}600} = \ln 1.25 = 0.22314$$
$$r = \frac{0.22314}{10} = 0.022314 \ \Rightarrow\ 2.23\%\ \text{(연속 기준)}$$

한 해 동안의 실제 증가 비율 $g$ 로 바꾸면

$$g = e^{0.022314} - 1 = 0.02257 \ \Rightarrow\ 2.26\%$$

**답** — 연평균 약 $2.26\%$($= (1.25)^{1/10} - 1$). 신문의 "$2.3\%$"는 이 값을 반올림한 것이다. 두 신문은 같은 사실을 다르게 표현한 것이다.

**검산** — $1.02257^{10}$ 을 계산하면 $1.250$ 이다. $1{,}600 \times 1.25 = 2{,}000$ 조 원으로 원래 값이 나온다.

**빈번한 오류** — $25\% \div 10 = 2.5\%$ 로 답하는 것. 성장은 누적되므로 이렇게 나눌 수 없다. 확인하면 $1.025^{10} = 1.28008$, 곧 $28.0\%$ 성장이 된다. 실제 $25\%$ 보다 $3$ 퍼센트포인트 크다. **비율의 평균은 나눗셈이 아니라 로그로 낸다.**

또 하나. 같은 계산을 명목 GDP로 하면 $2.26\%$ 에 물가 상승률이 더해진 값이 나온다. 개념 절의 등식대로

$$\text{명목 성장률} = \text{실질 성장률} + \text{물가 상승률}$$

이므로, 물가가 연 $2\%$ 씩 올랐다면 명목 성장률은 약 $4.3\%$ 다. 같은 나라의 같은 $10$ 년에 대해 값이 두 배 가까이 커진다. 통계표가 '실질'이라고 명시하는 이유가 이것이다.

**확장** — 세로축에 $\ln Y$ 를 놓고 그리면 이 나라의 GDP는 기울기 $0.0223$ 의 직선이 된다. 이 속도가 이어지면 두 배가 되는 데 걸리는 시간은

$$T = \frac{\ln 2}{0.022314} = \frac{0.6931}{0.022314} \approx 31.1\ \text{년}$$

$70$ 의 법칙으로 어림해도 $70 / 2.23 \approx 31.4$ 년으로 거의 같다.
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### 문제 7 · 군청의 인구 추계  ★★☆

**상황** — 어느 군의 주민등록 인구가 $2010$ 년 $48{,}000$ 명에서 $2025$ 년 $36{,}000$ 명으로 줄었다. 군청 기획실은 "지금 속도가 이어진다면" 인구가 $24{,}000$ 명이 되는 해를 산출해 장기 재정계획을 세우려 한다.

**모형 설정** — "지금 속도"를 어떻게 정의할지 정한다. 두 가지 가정이 가능하다. 하나는 $15$ 년 동안 $12{,}000$ 명이 줄었으므로 **해마다 $800$ 명씩** 줄어든다고 보는 것이고, 다른 하나는 해마다 **일정한 비율로** 줄어든다고 보는 것이다. 두 가정이 $24{,}000$ 명에 도달하는 해에 대해 같은 답을 주는지 확인한다.

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① **미지량** — 연평균 인구 변화율과, 인구가 $24{,}000$ 명이 되는 시점.

② **주어진 값** — $N(2010) = 48{,}000$, $N(2025) = 36{,}000$. 기간 $15$ 년.

③ **관계식** — 비율이 일정하다는 가정에서
$$\frac{d}{dt}\ln N = r \ \Rightarrow\ r = \frac{1}{15}\ln\frac{36{,}000}{48{,}000}$$
그다음 $24{,}000$ 명까지 걸리는 시간은 $\ln\dfrac{24{,}000}{36{,}000} = r\,t$ 에서 얻는다.

④ **사용 도구** — [제22장](../part3/ch22.md) 로그, [제29장](../part3/ch29.md) 연쇄법칙, [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식

⑤ **모형의 한계** — 인구는 **스톡**이고, 그 변화는 출생·사망·전입·전출이라는 네 개의 **플로우**가 합쳐진 결과다. 상수 $r$ 하나는 이 넷을 하나로 요약한 값이므로, 군에 큰 공장이 들어서거나 요양병원이 문을 닫으면 곧바로 성립하지 않는다. 추계는 예측이 아니라 "다른 조건이 바뀌지 않는다면"이라는 가정을 식으로 옮긴 것이다.
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(계산기 사용)

$$\ln\frac{36{,}000}{48{,}000} = \ln 0.75 = -0.28768$$
$$r = \frac{-0.28768}{15} = -0.019179 \ \Rightarrow\ \text{연 } -1.92\%\ \text{(연속 기준)}$$

한 해 실제 감소율로는 $e^{-0.019179} - 1 = -0.0190$, 곧 연 $-1.90\%$ 다.

$24{,}000$ 명까지 걸리는 시간을 구한다.

$$\ln\frac{24{,}000}{36{,}000} = \ln\frac{2}{3} = -0.40546$$
$$t = \frac{-0.40546}{-0.019179} = 21.14\ \text{년}$$

**답** — 연 약 $1.9\%$ 씩 감소. $2025 + 21.1 \approx$ **$2046$ 년경** $24{,}000$ 명에 이른다.

**검산** — $36{,}000 \times e^{-0.019179 \times 21.14} = 36{,}000 \times e^{-0.40546} = 36{,}000 \times 0.6667 = 24{,}000$ 으로 일치한다.

**두 가정의 차이** — 해마다 $800$ 명씩 줄어든다는 직선 가정이라면 $12{,}000 \div 800 = 15$ 년, 곧 $2040$ 년이다. 비율 가정보다 $6$ 년 빠르다. 모집단이 줄어들면 같은 비율이라도 줄어드는 사람 수 자체가 줄기 때문이다. **$6$ 년의 차이는 학교 통폐합 계획의 시점을 바꾸는 크기다.**

**빈번한 오류** — 감소율을 $\dfrac{12{,}000/48{,}000}{15} = 1.67\%$ 로 내는 것. 기준량을 $2010$ 년 값 하나에 고정한 단순평균이라, 해마다 작아지는 모집단을 반영하지 못한다. 이 값으로 계산하면 $24{,}000$ 명 도달이 $2049$ 년쯤으로 밀린다.

**확장** — 반감기, 곧 인구가 절반이 되는 시간은

$$\frac{\ln 2}{0.019179} = \frac{0.6931}{0.019179} \approx 36.1\ \text{년}$$

$70$ 의 법칙은 감소에도 그대로 적용된다. $70 / 1.92 \approx 36.5$ 년이다.
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### 문제 8 · 광고비의 최적 규모  ★★☆

**상황** — 하윤 씨가 온라인 편집숍을 운영한다. 지난 $1$ 년치 자료를 적합시킨 결과, 한 달 광고비 $a$ 만 원을 쓰면 추가 매출이 대략 $S(a) = 200\sqrt{a}$ 만 원 발생했다. 이 가게는 매출의 $30\%$ 가 마진(매입가와 결제수수료를 뺀 몫)이다.

**모형 설정** — 한 달 광고비를 결정한다. 접근이 두 가지다. 하나는 "광고비 $1$ 원당 매출(ROAS)이 가장 큰 지점"을 찾는 방법이고, 다른 하나는 "광고비를 $1$ 만 원 더 썼을 때 남는 마진이 그 $1$ 만 원과 같아지는 지점"을 찾는 방법이다. 첫 번째 방법을 적용하면 어떤 결과가 나오는지를 먼저 확인한다.

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① **미지량** — 마진에서 광고비를 뺀 순증이 최대가 되는 광고비 $a$ (만 원).

② **주어진 값** — $S(a) = 200\sqrt{a}$ (만 원), 마진율 $30\%$.

③ **관계식** — 광고로 남는 순증은
$$\pi(a) = 0.3\,S(a) - a = 60\sqrt{a} - a$$
최적 조건은 $\pi'(a) = 0$, 곧 **한계 마진 $=$ 한계 광고비**.

④ **사용 도구** — [제27장](../part3/ch27.md) 미분규칙, [제7장](../part1/ch07.md) 제곱근, [제31장](../part3/ch31.md) 최적화

⑤ **모형의 한계** — $200\sqrt{a}$ 는 지난 $1$ 년의 시장에서 얻은 곡선이다. 경쟁사가 같은 매체에 예산을 늘리면 같은 금액으로 확보할 수 있는 노출이 줄어 계수 $200$ 이 내려간다. 이 식은 **자사만 움직이고 경쟁사는 고정된 상황**을 가정한 것이다.
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첫 번째 방법을 먼저 확인한다. ROAS $= S(a)/a = 200/\sqrt{a}$ 는 $a$ 가 작을수록 커지므로 **최댓값이 존재하지 않는다.** $a \to 0$ 에서 값이 한없이 커지므로 최대화 대상으로 삼을 수 없다.

두 번째 방법으로 간다.

$$\pi(a) = 60\sqrt{a} - a, \qquad \pi'(a) = \frac{30}{\sqrt{a}} - 1 = 0$$
$$\sqrt{a} = 30 \ \Rightarrow\ a = 900$$

$\pi''(a) = -15a^{-3/2} < 0$ 이므로 극대다.

$$S(900) = 200 \times 30 = 6{,}000, \quad \text{마진} = 1{,}800, \quad \text{순증} = 1{,}800 - 900 = 900$$

**답** — 광고비 월 $900$ 만 원. 추가 매출 $6{,}000$ 만 원, 순증 $900$ 만 원.

**검산** — 인접한 값을 대입한다 (계산기 사용).
$a = 800$: $60\sqrt{800} - 800 = 1{,}697.1 - 800 = 897.1$
$a = 1{,}000$: $60\sqrt{1{,}000} - 1{,}000 = 1{,}897.4 - 1{,}000 = 897.4$
둘 다 $900$ 보다 작다.

한계로 읽어도 일치한다. $S'(a) = \dfrac{100}{\sqrt{a}}$ 이므로 $S'(900) = \dfrac{100}{30} = 3.33$. 광고비를 $1$ 만 원 더 쓰면 매출이 $3.33$ 만 원 늘고, 그 $30\%$ 인 $1.0$ 만 원이 마진으로 남는다. 추가로 쓴 $1$ 만 원과 정확히 같다. $MR = MC$ 다.

**빈번한 오류** — ROAS가 $20$ 배라는 이유로 광고비를 줄이는 것. $a = 100$ 만 원이면 $S = 2{,}000$ 만 원이라 ROAS는 $20$ 배지만, 순증은 $60 \times 10 - 100 = 500$ 만 원이다. $a = 900$ 만 원에서는 ROAS가 $6.67$ 배로 낮아지지만 순증은 $900$ 만 원이다. **비율이 큰 것과 절대액이 큰 것은 다르다.** 문제 1에서 개당 이익과 총 이윤이 갈렸던 것과 같은 구조다.

**확장** — 마진율이 $20\%$ 로 떨어지면 $\pi(a) = 40\sqrt{a} - a$ 이므로 $\dfrac{20}{\sqrt{a}} = 1$, $a = 400$ 만 원이 된다. 마진율이 $\tfrac{2}{3}$ 배가 되면 최적 광고비는 $\left(\tfrac{2}{3}\right)^2 = \tfrac{4}{9}$ 배로 줄어든다. 원가가 오른 해에 광고비를 줄이는 것은 이 계산의 결과다.
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### 문제 9 · $1$ 회 주문량의 결정  ★★★

**상황** — 문구 도매상 정 사장은 A4 복사용지를 한 해 $12{,}000$ 박스 판매한다. 판매량은 연중 거의 일정하다. 한 번 주문할 때마다 발주·검수·운송에 $60{,}000$ 원이 드는데, 이 금액은 $100$ 박스를 주문하든 $2{,}000$ 박스를 주문하든 동일하다. 한편 박스 하나를 창고에 $1$ 년 보관하는 데는 $1{,}000$ 원이 든다.

**모형 설정** — $1$ 회 주문량을 결정한다. 많이 주문하면 주문 횟수가 줄어 주문비가 줄지만, 재고가 오래 쌓여 보관비가 늘어난다. 확인할 점은 **무엇을 미지수로 둘 것인가**다. $1$ 회 주문량 $q$ 로 둘지 연간 주문 횟수 $n$ 으로 둘지를 정하고, 창고에 실제로 쌓여 있는 평균량이 $q$ 인지 그보다 작은지를 확인한다.

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① **미지량** — 연간 총비용(주문비 $+$ 보관비)을 최소로 하는 $1$ 회 주문량 $q$.

② **주어진 값** — 연간 판매량 $D = 12{,}000$ 박스, $1$ 회 주문 고정비 $K = 60{,}000$ 원, 박스당 연간 보관비 $h = 1{,}000$ 원.

③ **관계식** — 연간 주문 횟수는 $D/q$ 회. 재고는 $q$ 에서 $0$ 까지 고르게 줄었다가 다시 채워지므로 **평균 재고는 $q/2$**. 따라서
$$T(q) = \underbrace{K\cdot\frac{D}{q}}_{\text{주문비}} + \underbrace{h\cdot\frac{q}{2}}_{\text{보관비}} = \frac{720{,}000{,}000}{q} + 500q$$

④ **사용 도구** — [제27장](../part3/ch27.md) 미분규칙, [제19장](../part2/ch19.md) 유리식, [제31장](../part3/ch31.md) 최적화

⑤ **모형의 한계** — 이 식은 판매가 완전히 고르고 배송이 지연되지 않는다고 가정한다. 실제 창고가 안전재고를 따로 두는 이유는 그 두 가정이 성립하지 않기 때문이고, 그 비용은 이 식에 포함되어 있지 않다(문제 12에서 다시 다룬다).
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$$T'(q) = -\frac{720{,}000{,}000}{q^2} + 500 = 0 \ \Rightarrow\ q^2 = \frac{720{,}000{,}000}{500} = 1{,}440{,}000 \ \Rightarrow\ q = 1{,}200$$

$T''(q) = \dfrac{1{,}440{,}000{,}000}{q^3} > 0$ 이므로 최소다.

$$T(1{,}200) = \frac{720{,}000{,}000}{1{,}200} + 500 \times 1{,}200 = 600{,}000 + 600{,}000 = 1{,}200{,}000$$

연간 주문 횟수는 $12{,}000 \div 1{,}200 = 10$ 회, 곧 약 $36$ 일마다 한 번이다.

**답** — 한 번에 $1{,}200$ 박스씩, 연 $10$ 회 주문. 연간 총비용 $1{,}200{,}000$ 원.

**검산** — 인접한 값을 대입한다.
$q = 1{,}000$: $720{,}000 + 500{,}000 = 1{,}220{,}000$
$q = 1{,}500$: $480{,}000 + 750{,}000 = 1{,}230{,}000$
둘 다 크다.

**관찰** — 최적점에서 주문비 총액($600{,}000$ 원)과 보관비 총액($600{,}000$ 원)이 정확히 같다. 이는 우연이 아니다. $T'(q) = 0$ 은 $\dfrac{KD}{q^2} = \dfrac{h}{2}$ 이고, 양변에 $q$ 를 곱하면 $\dfrac{KD}{q} = \dfrac{hq}{2}$ — 곧 두 비용이 같다는 뜻이 된다. **이 모형에서 두 비용은 언제나 같다.**

일반식으로 정리한다.

$$q^* = \sqrt{\frac{2KD}{h}} = \sqrt{\frac{2 \times 60{,}000 \times 12{,}000}{1{,}000}} = \sqrt{1{,}440{,}000} = 1{,}200$$

경영학에서 **경제적 주문량(EOQ)** 이라 부르는 식이다.

**빈번한 오류** — 평균 재고를 $q$ 로 잡는 것. 그러면 $T = \dfrac{720{,}000{,}000}{q} + 1{,}000q$ 가 되어 $q^2 = 720{,}000$, $q \approx 849$ 라는 다른 답이 나온다. 재고는 주문 직후에만 $q$ 이고 다음 주문 직전에는 $0$ 이다. 고르게 팔린다면 평균은 그 한가운데인 $q/2$ 다. **평균을 잘못 설정하면 미분이 정확해도 답이 틀린다.**

또 하나, $1{,}000$ 원을 "총보관비"로 오해하면 식 자체가 성립하지 않는다. 박스 하나당 $1$ 년치 값이다.

**확장** — 전자발주를 도입해 $1$ 회 주문 고정비가 $15{,}000$ 원으로 줄면

$$q^* = \sqrt{\frac{2 \times 15{,}000 \times 12{,}000}{1{,}000}} = \sqrt{360{,}000} = 600$$

주문비가 $\tfrac{1}{4}$ 로 줄었는데 주문량은 절반으로만 줄었다. 식에 제곱근이 있기 때문이다. 총비용은 $300{,}000 + 300{,}000 = 600{,}000$ 원으로 정확히 절반이 된다. **주문 비용을 낮추는 기술이 재고를 줄인다.** 적시생산(JIT)의 계산적 근거가 이 관계다.
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### 문제 10 · 세율과 세수의 관계  ★★★

**상황** — 예산 국회에서 "세율을 올리면 세수가 는다"와 "세율을 올리면 오히려 준다"는 두 주장이 대립한다. 이를 검토하기 위해 단순한 모형을 세운다. 세율이 $t$($0$ 과 $1$ 사이)일 때 실제로 과세되는 소득, 곧 **세원**이 $B(t) = 500e^{-2t}$ 조 원이라고 한다. 세율이 높을수록 노동 공급이 줄거나 소득 신고가 줄어든다는 가정이다.

**모형 설정** — 세수를 가장 크게 하는 세율을 구한다. 확인할 점이 둘이다. 세수가 세율 자체인지 세율과 세원의 곱인지를 정해야 하고, 세원이 세율에 **반응하지 않는 경우**($B$ 가 상수인 경우)의 최적 세율을 먼저 구해야 한다. 두 번째 물음의 답이 이 문제의 구조를 드러낸다.

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① **미지량** — 세수 $T(t)$ 를 최대로 하는 세율 $t$.

② **주어진 값** — 세원 $B(t) = 500e^{-2t}$ (조 원), $0 \le t \le 1$.

③ **관계식** — 세수는 세율과 세원의 **곱**이다.
$$T(t) = t \cdot B(t) = 500\,t\,e^{-2t}$$
곱의 법칙과 연쇄법칙으로 미분해 $T'(t) = 0$ 을 푼다.

④ **사용 도구** — [제28장](../part3/ch28.md) 곱의 법칙, [제29장](../part3/ch29.md) 연쇄법칙, [제22장](../part3/ch22.md) 지수함수

⑤ **모형의 한계** — 세수의 크기는 세제를 평가하는 여러 기준 중 하나다. 같은 세수를 **누구에게서** 걷는지(분배), 어떤 행동을 얼마나 왜곡하는지는 $T(t)$ 라는 한 줄에 포함되어 있지 않다. 세수가 최대인 세율이 좋은 세율이라는 명제는 이 식에서 도출되지 않는다.
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먼저 세원이 반응하지 않는 경우를 확인한다. $B$ 가 상수라면 $T = tB$ 는 $t$ 에 대해 단조증가한다. $T'(t) = B > 0$ 이라 도함수가 $0$ 이 되는 자리가 없으므로 **구간 안쪽에 정점이 없고, 최댓값은 구간의 오른쪽 끝점 $t = 1$**(세율 $100\%$)에서 난다. 곧 이 가정에서의 최적 세율은 $100\%$ 다. 정점이 구간 **안**에 생기는 것은 세원이 세율에 반응하기 때문이다.

이제 미분한다. 곱의 법칙에서

$$T'(t) = 500e^{-2t} + 500t\cdot(-2e^{-2t}) = 500e^{-2t}(1 - 2t)$$

$e^{-2t}$ 는 절대 $0$ 이 되지 않으므로 $1 - 2t = 0$, 곧 $t = 0.5$ 다.

$$T(0.5) = 500 \times 0.5 \times e^{-1} = \frac{250}{e} \approx 91.97\ \text{조 원}$$

2계 조건을 확인한다.

$$T''(t) = 500\left[-2e^{-2t}(1-2t) + e^{-2t}(-2)\right] = 500e^{-2t}(4t - 4)$$
$$T''(0.5) = 500e^{-1}(2 - 4) = -\frac{1{,}000}{e} < 0 \ \Rightarrow\ \text{극대}$$

**답** — 이 모형에서 세수가 최대가 되는 세율은 $50\%$ 이고, 그때 세수는 약 $92$ 조 원이다.

**검산** — 인접한 값을 대입한다 (계산기 사용).
$t = 0.4$: $500(0.4)e^{-0.8} = 200 \times 0.44933 = 89.87$
$t = 0.6$: $500(0.6)e^{-1.2} = 300 \times 0.30119 = 90.36$
둘 다 $91.97$ 보다 작다.

**빈번한 오류** — $T'(t) = 500e^{-2t}(1-2t) = 0$ 을 풀면서 $e^{-2t} = 0$ 도 해라고 보는 것. 지수함수는 어떤 실수에서도 $0$ 이 되지 않는다. 곱이 $0$ 이 되는 조건을 따질 때는 각 인수가 실제로 $0$ 이 될 수 있는지를 먼저 확인해야 한다.

또 하나. $t$ 가 $0.5$ 를 넘으면 세수가 준다고 해서 세율을 내리면 세수가 는다는 뜻은 아니다. 지금 $t$ 가 정점의 **어느 쪽에** 있는지를 모르면 방향을 말할 수 없다.

**모형의 적용 범위** — $B(t) = 500e^{-2t}$ 라는 지수함수는 계산의 편의를 위해 선택한 것이다. 이 모형이 보이는 것은 **정점이 존재할 수 있다**는 사실이며, 그 정점이 $50\%$ 라는 것은 아니다. 지수의 계수를 $k$ 로 두면 $B = 500e^{-kt}$ 에서 정점은 $t^* = 1/k$ 이므로, 반응이 클수록($k$ 가 클수록) 정점 세율이 낮아진다. $k$ 를 얼마로 두느냐에 따라 답은 $20\%$ 도 되고 $80\%$ 도 된다.

실증 연구들은 세목·나라·기간마다 크게 다른 값을 내놓으며, 대부분의 선진국이 정점의 **왼쪽**에 있다는 것이 다수 견해다. 곧 "세율을 내리면 세수가 는다"는 주장은 이 곡선만으로는 지지되지 않는다. **곡선의 형태를 아는 것과 현재 위치를 아는 것은 서로 다른 문제다.**

**확장** — 반응이 절반으로 약해 $B(t) = 500e^{-t}$ 라면 $T' = 500e^{-t}(1-t) = 0$ 에서 $t = 1$, 곧 구간의 오른쪽 끝점이다. 세율 변화에 둔감하게 반응하는 세목(예를 들어 이동이 어려운 부동산)일수록 정점 세율이 높다. 세목마다 세율이 다른 데는 이런 이유도 있다.
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### 문제 11 · 학습곡선과 백 번째 조립  ★★☆

**상황** — 새 모델을 조립하는 공장에서 첫 대를 만드는 데 $50$ 분이 걸렸다. 이 공장은 이전 모델에서도 "누적 생산량이 두 배가 될 때마다 **그 번째 한 대를 만드는 작업시간**이 $20\%$ 씩 줄어든다"는 이른바 **$80\%$ 학습곡선**을 따랐다. 생산관리 담당자는 $100$ 번째 대의 작업시간을 미리 산출해야 한다.

> 학습곡선에는 판본이 둘 있다. 여기서 쓰는 것은 **$q$ 번째 한 대**의 작업시간이 두 배마다 $0.8$ 배가 된다고 보는 단위 모형이고, $1$ 대부터 $q$ 대까지의 **누적평균** 작업시간이 두 배마다 $0.8$ 배가 된다고 보는 판본도 널리 쓰인다. 같은 "$80\%$ 곡선"이라도 두 판본의 $T(100)$ 은 다른 값이 나오므로, 다른 자료와 비교할 때는 어느 쪽 정의인지부터 확인해야 한다.

**모형 설정** — "두 배마다 $0.8$ 배"라는 조건을 $q$ 에 대한 식 하나로 옮긴다. 확인할 점은 함수의 **형태**다. $50 \times 0.8^{q}$ 같은 지수함수인지 $50 q^{b}$ 같은 거듭제곱함수인지를 정하고, 두 형태가 "두 배마다"라는 조건을 각각 어떻게 표현하는지 확인한다.

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① **미지량** — $q$ 번째 대의 작업시간 $T(q)$ 의 식, 그리고 $T(100)$.

② **주어진 값** — $T(1) = 50$ 분, 모든 $q$ 에 대해 $T(2q) = 0.8\,T(q)$.

③ **관계식** — $T(q) = 50q^{b}$ 로 두면 $T(2q)/T(q) = 2^{b}$ 이므로
$$2^{b} = 0.8 \ \Rightarrow\ b = \log_2 0.8 = \frac{\ln 0.8}{\ln 2}$$
"두 배마다"라는 조건은 **비율이 $q$ 의 비에만 달려 있다**는 뜻이고, 그런 성질을 가진 것은 거듭제곱함수다.

④ **사용 도구** — [제22장](../part3/ch22.md) 로그, [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙, [제27장](../part3/ch27.md) 미분규칙

⑤ **모형의 한계** — 학습곡선은 관측된 규칙성이지 법칙이 아니다. 숙련공이 이직하거나 설계가 바뀌면 곡선은 처음으로 되돌아간다. 그리고 이 식은 작업시간이 줄어든 원인이 **작업자의 숙련인지 공정 개선인지**를 구분하지 못한다. 개인에게 축적된 학습과 조직에 축적된 학습은 인력이 이탈할 때 서로 다르게 작용한다.
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(계산기 사용)

$$b = \frac{\ln 0.8}{\ln 2} = \frac{-0.223144}{0.693147} = -0.32193$$

먼저 식이 조건을 만족하는지 확인한다.

| $q$ | $T(q) = 50q^{-0.32193}$ |
|---|---|
| $1$ | $50.0$ 분 |
| $2$ | $40.0$ 분 |
| $4$ | $32.0$ 분 |
| $8$ | $25.6$ 분 |

두 배마다 정확히 $0.8$ 배다.

$$T(100) = 50 \times 100^{-0.32193} = 50 \times e^{-0.32193 \times 4.60517} = 50 \times e^{-1.48249} = 50 \times 0.22706 = 11.35$$

**답** — $T(q) = 50\,q^{-0.322}$ 분이고, $100$ 번째 대는 약 $11.4$ 분이 걸린다.

**검산** — $200$ 번째 대는 $T(200) = 9.08$ 분이어야 한다. $11.35 \times 0.8 = 9.08$ 로 일치한다.

**탄력성으로 읽기** — 양변에 로그를 씌우면

$$\ln T = \ln 50 + b\ln q \ \Rightarrow\ \frac{d\ln T}{d\ln q} = b = -0.322$$

곧 **누적 생산량이 $1\%$ 늘 때 그 번째 한 대의 작업시간이 $0.322\%$ 준다.** 이것은 작업시간의 생산량 탄력성이고, 시간을 분으로 재든 시간으로 재든 값이 같다. 로그–로그 그래프에 그리면 기울기 $-0.322$ 의 직선이 된다.

**빈번한 오류** — "두 배마다 $20\%$ 감소"를 "한 대마다 $20\%$ 감소"로 읽어 $T(q) = 50(0.8)^{q}$ 로 쓰는 것. 이러면 $T(10) = 50 \times 0.8^{10} = 5.4$ 분, $T(100)$ 은 사실상 $0$ 이 된다. 학습곡선의 핵심은 **두 배가 되는 데 필요한 대수가 뒤로 갈수록 늘어난다**는 점이다. $1 \to 2$ 는 한 대만 더 만들면 되지만 $64 \to 128$ 은 $64$ 대를 더 만들어야 한다. 그래서 개선 속도가 점점 느려진다.

**확장** — 학습이 더뎌 $90\%$ 학습곡선이라면 $b = \dfrac{\ln 0.9}{\ln 2} = -0.152$ 이고

$$T(100) = 50 \times 100^{-0.152} = 50 \times 0.4966 = 24.8\ \text{분}$$

$80\%$ 곡선의 $11.4$ 분과 비교하면 두 배가 넘는다. 첫 대는 똑같이 $50$ 분이었는데 $100$ 대째에서 이만큼 차이가 난다. 수주 경쟁에서 학습률 $10$ 퍼센트포인트가 원가를 가르는 이유다.
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### 문제 12 · 안전재고 수준의 결정  ★★★

**상황** — 자동차 부품을 납품하는 회사에서 한 부품의 **안전재고**(갑작스러운 주문이나 배송 지연에 대비해 여분으로 쌓아 두는 재고)를 $q$ 개로 정해야 한다. 보관비는 개당 월 $200$ 원이다. 재고가 모자라 고객사 라인이 정지하면 위약금이 붙는데, 지난 $3$ 년 기록을 적합시킨 결과 월 기대 손실이 $L(q) = 800{,}000\,e^{-q/50}$ 원으로 표현되었다. 재고를 두지 않으면 월 $800{,}000$ 원이고, $50$ 개마다 손실이 $1/e$ 배로 줄어든다는 뜻이다.

**모형 설정** — 안전재고 수량을 결정한다. 먼저 **손실 $L(q)$ 를 $0$ 으로 만드는 $q$ 가 존재하는지**를 확인한다. 존재하지 않는다면 무엇을 최소화 대상으로 삼을지를 정한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 월 총비용(보관비 $+$ 기대 손실)을 최소로 하는 안전재고 $q$.

② **주어진 값** — 보관비 개당 월 $200$ 원, 기대 손실 $L(q) = 800{,}000e^{-q/50}$ 원.

③ **관계식** — $e^{-q/50} > 0$ 이므로 유한한 $q$ 로는 손실을 $0$ 으로 만들 수 없다. 따라서 **두 비용의 합**을 최소로 한다.
$$T(q) = 200q + 800{,}000e^{-q/50}$$

④ **사용 도구** — [제29장](../part3/ch29.md) 연쇄법칙, [제22장](../part3/ch22.md) 로그, [제31장](../part3/ch31.md) 최적화

⑤ **모형의 한계** — $800{,}000e^{-q/50}$ 은 **기대** 손실, 곧 평균이다. 라인이 실제로 정지한 달의 손실은 이보다 훨씬 크다. 회사가 그 드문 손실을 감당할 자금이 없다면, 평균을 최소로 하는 재고는 적절한 답이 아니다. 기대값은 분포의 꼬리에서 발생하는 파산 위험을 반영하지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
연쇄법칙으로 미분한다. $\dfrac{d}{dq}e^{-q/50} = -\dfrac{1}{50}e^{-q/50}$ 이므로

$$T'(q) = 200 - \frac{800{,}000}{50}e^{-q/50} = 200 - 16{,}000\,e^{-q/50} = 0$$
$$e^{-q/50} = \frac{200}{16{,}000} = \frac{1}{80}$$

양변에 자연로그를 씌운다.

$$-\frac{q}{50} = -\ln 80 \ \Rightarrow\ q = 50\ln 80 = 50 \times 4.3820 = 219.1$$

$T''(q) = \dfrac{16{,}000}{50}e^{-q/50} = 320e^{-q/50} > 0$ 이므로 최소다.

$$T(219.1) = 200 \times 219.1 + \frac{800{,}000}{80} = 43{,}820 + 10{,}000 = 53{,}820$$

**답** — 안전재고 약 $219$ 개, 그때 월 총비용 약 $53{,}820$ 원 (계산기 사용).

**검산** — 인접한 값을 대입한다.
$q = 200$: $40{,}000 + 800{,}000e^{-4} = 40{,}000 + 14{,}653 = 54{,}653$
$q = 250$: $50{,}000 + 800{,}000e^{-5} = 50{,}000 + 5{,}390 = 55{,}390$
둘 다 크다.

**경제로 읽기** — 최적 조건 $200 = 16{,}000e^{-q/50}$ 의 왼쪽은 "한 개 더 쌓는 데 드는 돈", 오른쪽은 "한 개 더 쌓아서 줄어드는 기대 손실"이다. 여기서도 **한계비용 $=$ 한계편익**이다. 문제 1의 $MR = MC$, 문제 8의 광고비와 같은 구조가 재고에서도 나타난다.

**빈번한 오류** — 손실을 $0$ 으로 만들려고 재고를 늘리는 것. $e^{-q/50}$ 은 $q$ 를 아무리 키워도 $0$ 이 되지 않으므로 손실을 완전히 없애는 데 드는 비용은 무한대다. **재고 수준은 보관비와 기대 손실을 비교해 정한다.** $q = 500$ 개까지 쌓으면 기대 손실은 $800{,}000e^{-10} = 36$ 원으로 거의 사라지지만 보관비가 $100{,}000$ 원이 되어 총비용은 두 배 가까이 오른다.

**확장** — 고객사가 위약금 조항을 두 배로 올려 $L(q) = 1{,}600{,}000e^{-q/50}$ 이 되면

$$e^{-q/50} = \frac{200}{32{,}000} = \frac{1}{160} \ \Rightarrow\ q = 50\ln 160 = 50 \times 5.0752 = 253.8$$

약 $254$ 개다. 위험 비용이 **두 배**가 되었는데 재고는 $50\ln 2 \approx 34.7$ 개만 늘었다. 지수 모형에서는 위험이 곱으로 커져도 재고는 로그로만 늘어난다. 위약금 협상에서 배수를 크게 잡아도 창고가 그만큼 커지지 않는 이유다.
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### 문제 13 · 두 공장 간 생산량 배분  ★★★

**상황** — 한 회사가 공장 두 개를 갖고 있다. 이번 달 주문은 모두 $60$ 톤이다. A공장에서 $x$ 톤을 만들 때 드는 비용은 $C_A(x) = 0.5x^2 + 20x$ 만 원, B공장에서 $y$ 톤을 만들 때는 $C_B(y) = y^2 + 8y$ 만 원이다. 두 공장은 같은 제품을 만들고 운송비 차이는 없다.

**모형 설정** — $60$ 톤을 두 공장에 배분한다. 흔히 제시되는 판단이 둘 있다. "개당 비용이 싼 공장에 몰아준다"와 "반씩 나눈다"이다. 두 판단이 옳은지 검토하고, 이 문제를 **한 변수 최소화**로 바꾸기 위해 무엇을 어떻게 두어야 하는지 확인한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 총비용을 최소로 하는 배분 $(x, y)$.

② **주어진 값** — $C_A(x) = 0.5x^2 + 20x$, $C_B(y) = y^2 + 8y$ (만 원), 제약 $x + y = 60$, $0 \le x \le 60$.

③ **관계식** — 제약을 대입해 변수를 하나로 줄인다. $y = 60 - x$ 이므로
$$f(x) = 0.5x^2 + 20x + (60-x)^2 + 8(60-x)$$
$f'(x) = 0$ 을 푼다.

④ **사용 도구** — [제31장](../part3/ch31.md) 최적화(제약 대입), [제13장](../part2/ch13.md) 전개, [제29장](../part3/ch29.md) 연쇄법칙

⑤ **모형의 한계** — 이 계산은 두 공장이 완전히 같은 물건을 만들고 운송비도 같다고 본다. B공장이 항구 옆이라면 톤당 운송비 차이 하나가 이 답을 전부 바꾼다. 또 A공장에 $36$ 톤을 배정했을 때 그 공장의 작업 부담이 어떻게 달라지는지도 이 식에는 포함되어 있지 않다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$$f'(x) = x + 20 - 2(60 - x) - 8 = x + 20 - 120 + 2x - 8 = 3x - 108 = 0$$
$$x = 36, \qquad y = 60 - 36 = 24$$

$f''(x) = 3 > 0$ 이므로 최소다.

**한계비용을 확인한다.**

$$MC_A(36) = 36 + 20 = 56, \qquad MC_B(24) = 2(24) + 8 = 56$$

정확히 같다.

**두 한계비용이 같아지는 이유.** $MC_A < MC_B$ 라면, B에서 $1$ 톤을 떼어 A로 옮길 때 늘어나는 비용($MC_A$)보다 줄어드는 비용($MC_B$)이 크므로 총비용이 줄어든다. 더 옮겨도 총비용이 줄지 않는 지점이 곧 **두 한계비용이 같아지는 지점**이다. 이것이 여러 설비·여러 지역에 물량을 배분할 때 적용되는 일반 원리다.

총비용을 계산한다.

$$C_A(36) = 0.5(1{,}296) + 720 = 648 + 720 = 1{,}368$$
$$C_B(24) = 576 + 192 = 768$$
$$\text{합} = 2{,}136\ \text{만 원}$$

**답** — A공장 $36$ 톤, B공장 $24$ 톤. 총비용 $2{,}136$ 만 원.

**검산** — 인접한 값과 극단값을 모두 대입한다.

| 배분 $(x, y)$ | A 비용 | B 비용 | 합 |
|---|---|---|---|
| $(35, 25)$ | $1{,}312.5$ | $825$ | $2{,}137.5$ |
| $(\mathbf{36}, \mathbf{24})$ | $1{,}368$ | $768$ | $\mathbf{2{,}136}$ |
| $(37, 23)$ | $1{,}424.5$ | $713$ | $2{,}137.5$ |
| $(30, 30)$ | $1{,}050$ | $1{,}140$ | $2{,}190$ |
| $(60, 0)$ | $3{,}000$ | $0$ | $3{,}000$ |
| $(0, 60)$ | $0$ | $4{,}080$ | $4{,}080$ |

$(36, 24)$ 가 가장 작다.

**빈번한 오류** — B공장의 초기 비용이 낮다는 이유로 B에 전량을 배정하는 판단. B의 한계비용은 시작이 $8$ 로 A의 $20$ 보다 낮다. 그러나 B는 $2y$ 로 가파르게 오르고 A는 $x$ 로 완만하게 오른다. $60$ 톤을 전부 B에 배정하면 $4{,}080$ 만 원으로 최적값의 거의 두 배다. **초기에 싼 것과 전 구간에서 싼 것은 다르다.** 한계비용은 값 하나가 아니라 기울기를 가진 곡선이다.

**확장** — 주문이 $90$ 톤으로 늘어난 경우를 계산한다.

$$f'(x) = x + 20 - 2(90 - x) - 8 = 3x - 168 = 0 \ \Rightarrow\ x = 56,\ y = 34$$

확인하면 $MC_A = 76$, $MC_B = 76$ 으로 여전히 같다. 늘어난 $30$ 톤 중 A가 $20$ 톤, B가 $10$ 톤을 담당한다. **한계비용이 완만하게 오르는 공장이 증산분을 더 많이 담당한다.** 두 공장 모두 생산을 늘리되 배분 비율은 기울기가 결정한다.
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### 문제 14 · 환율 변동과 수출액  ★★☆

**상황** — 원·달러 환율이 한 달 사이 $1{,}300$ 원에서 $1{,}365$ 원으로 올랐다(원화 약세, $+5\%$). 부품을 수출하는 어느 중소기업은 원화로 받는 금액에 여유가 생기자 달러 표시 단가를 $1\%$ 낮췄고, 그 결과 수출 **물량**이 $3\%$ 늘었다.

> **환율**이 오른다는 것은 $1$ 달러를 바꾸는 데 원이 더 든다는 뜻, 곧 원화가 약해졌다는 뜻이다.

**모형 설정** — 이 회사의 수출액 증가율을 구한다. 확인할 점이 둘이다. 첫째, "수출이 늘었다"가 물량을 말하는지 금액을 말하는지, 금액이라면 **원화 기준인지 달러 기준인지**를 정해야 한다. 둘째, 세 가지 변화($+5\%$, $-1\%$, $+3\%$)를 곱해야 하는지 더해야 하는지를 확인해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 원화 기준 수출액의 변화율, 그리고 달러 기준 수출액의 변화율.

② **주어진 값** — 환율 $+5\%$, 달러 표시 단가 $-1\%$, 물량 $+3\%$.

③ **관계식** — 원화 수출액은 세 양의 곱이다.
$$V = e \times p^{\$} \times X \ \Rightarrow\ \ln V = \ln e + \ln p^{\$} + \ln X$$
양변을 $t$ 로 미분하면 **성장률의 덧셈**이 된다.
$$\frac{V'}{V} = \frac{e'}{e} + \frac{(p^{\$})'}{p^{\$}} + \frac{X'}{X}$$

④ **사용 도구** — [제22장](../part3/ch22.md) 로그, [제29장](../part3/ch29.md) 연쇄법칙, [제28장](../part3/ch28.md) 곱의 법칙

⑤ **모형의 한계** — 물량이 $3\%$ 는 것이 환율 때문인지는 이 계산으로 판정할 수 없다. 같은 달에 경쟁국 통화도 함께 약해졌다면 관측된 증가는 환율 효과가 아니다. **환율만 단독으로 움직인 자료는 존재하지 않는다.**
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
성장률을 더한다.

$$\text{원화 수출액 변화율} \approx +5\% + (-1\%) + 3\% = +7\%$$
$$\text{달러 수출액 변화율} \approx -1\% + 3\% = +2\%$$

환율 $+5\%$ 는 원화 금액에는 들어가고 달러 금액에는 들어가지 않는다. 같은 사건을 어느 통화로 재느냐에 따라 $7\%$ 와 $2\%$ 로 갈린다.

**답** — 원화 기준 약 $+7\%$, 달러 기준 약 $+2\%$.

**검산** — 곱으로 직접 계산한다.

$$1.05 \times 0.99 \times 1.03 = 1.070685 \ \Rightarrow\ +7.07\%$$
$$0.99 \times 1.03 = 1.0197 \ \Rightarrow\ +1.97\%$$

덧셈으로 낸 $7\%$, $2\%$ 와 거의 같다. 변화가 작을수록 덧셈 근사가 잘 맞는다.

로그로 재면 덧셈이 근사가 아니라 **정확한 등식**이 된다 (계산기 사용).

$$\ln 1.05 + \ln 0.99 + \ln 1.03 = 0.04879 - 0.01005 + 0.02956 = 0.06830 = \ln 1.070685$$

**탄력성 확인** — 수출물량의 환율 탄력성은

$$\varepsilon = \frac{+3\%}{+5\%} = 0.6$$

수요탄력성과 달리 **양수**다. 환율이 오르면 수출이 늘기 때문이다. 탄력성의 부호를 언제나 음수로 적을 수 없는 이유가 여기 있다. 부호는 관습이 아니라 두 양의 실제 변화 방향에서 결정된다.

**빈번한 오류** — "물량이 $3\%$ 늘었으니 수출도 $3\%$ 늘었다"고 쓰는 것. 물량과 금액은 다른 양이고, 금액은 다시 통화에 따라 갈린다. 신문 기사에서 "수출 $7\%$ 증가"와 "수출 $2\%$ 증가"가 같은 달에 함께 실리는 일이 실제로 생긴다. 둘 다 맞는 값이고 기준 통화가 다른 것이다.

**확장** — 이 회사가 원재료를 달러로 매입한다면 원가도 환율과 함께 $5\%$ 오른다. 원화 매출이 $7\%$ 늘어도 이익은 그만큼 늘지 않는다. 수출 기업이 환율 상승으로 얻는 이득의 크기는 **국산 부품 비중**에 따라 달라진다. 같은 환율 상승이 기업마다 다른 결과를 낳는다.
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### 문제 15 · 시간에 따른 비용 증가율  ★☆☆

**상황** — 새로 가동을 시작한 물류센터에서 가동 후 $t$ 개월째의 하루 처리 물량이 $q(t) = 100 + 20t$ 건으로 꾸준히 늘고 있다. 한편 하루 처리 물량이 $q$ 건일 때 하루 비용은 $C(q) = 0.02q^2 + 5q + 400$ 만 원이다. 센터장은 $5$ 개월째에 **하루 비용이 한 달당 얼마나 빠르게 늘고 있는지**를 구하려 한다.

**모형 설정** — $C$ 를 $t$ 로 미분해야 하는데, $C$ 의 식 안에는 $t$ 가 나타나지 않는다. $q(t)$ 를 $C$ 에 **대입해 하나의 식으로 만든 뒤** 미분할지, 두 도함수를 **곱할지**를 정하고, 답의 단위가 무엇인지도 확인한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $t = 5$ 에서 $\dfrac{dC}{dt}$, 곧 "한 달이 지날 때 하루 비용이 얼마나 느는가".

② **주어진 값** — $q(t) = 100 + 20t$ (건/일), $C(q) = 0.02q^2 + 5q + 400$ (만 원/일).

③ **관계식** — 비용은 $q$ 를 거쳐 $t$ 에 달려 있다. 연쇄법칙 그대로다.
$$\frac{dC}{dt} = \frac{dC}{dq}\cdot\frac{dq}{dt}$$

④ **사용 도구** — [제29장](../part3/ch29.md) 연쇄법칙, [제27장](../part3/ch27.md) 미분규칙

⑤ **모형의 한계** — $q(t) = 100 + 20t$ 는 개업 직후의 추세를 직선으로 적합한 것이다. 처리 물량은 창고 면적과 인력이라는 상한에 도달하지만, 그 상한값은 식에 포함되어 있지 않다. 일차함수 모형은 자신이 유효한 구간의 끝을 나타내지 못한다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$$\frac{dC}{dq} = 0.04q + 5, \qquad \frac{dq}{dt} = 20$$

$t = 5$ 일 때 $q = 100 + 100 = 200$ 이므로

$$\frac{dC}{dq}\bigg|_{q=200} = 0.04(200) + 5 = 8 + 5 = 13\ \left(\frac{\text{만 원/일}}{\text{건/일}} = \text{만 원/건}\right)$$
$$\frac{dC}{dt} = 13 \times 20 = 260\ \left(\frac{\text{만 원/일}}{\text{월}}\right)$$

**단위를 함께 곱해 보면** 연쇄법칙의 구조가 드러난다.

②에서 $q$ 는 건/**일**, $C$ 는 만 원/**일** 이었으므로 각 조각의 단위를 빠짐없이 적으면 이렇게 된다.

$$\frac{\text{만 원/일}}{\text{건/일}} \times \frac{\text{건/일}}{\text{월}} = \frac{\text{만 원/일}}{\text{월}}$$

'건/일'이 분자와 분모에서 약분되고 **"하루 비용이 한 달당 얼마나 느는가"**가 남는다. 연쇄법칙이 곱셈인 이유가 이 단위 계산에서 확인된다.

**답** — $5$ 개월째에 하루 비용이 한 달당 약 $260$ 만 원씩 늘고 있다.

**검산 1 — 대입해서 미분한다.**

$$C(q(t)) = 0.02(100 + 20t)^2 + 5(100 + 20t) + 400 = 8t^2 + 180t + 1{,}100$$

(전개: $0.02(10{,}000 + 4{,}000t + 400t^2) = 200 + 80t + 8t^2$, 여기에 $500 + 100t + 400$ 을 더한다.)

미분하면 $16t + 180$ 이고, $t = 5$ 에서 $80 + 180 = 260$ 으로 같다.

**검산 2 — 실제 값으로 확인한다.**

| $t$ (개월) | $q(t)$ (건/일) | $C$ (만 원/일) |
|---|---|---|
| $4$ | $180$ | $1{,}948$ |
| $5$ | $200$ | $2{,}200$ |
| $6$ | $220$ | $2{,}468$ |

$4$ 개월과 $6$ 개월의 차이는 $2{,}468 - 1{,}948 = 520$ 이고, $2$ 로 나누면 $260$ 이다. 정확히 일치한다.

**빈번한 오류** — $\dfrac{dC}{dq} = 13$ 만 원을 답으로 내는 것. $13$ 만 원은 **건당**이지 **월당**이 아니다. 물음이 "한 달당"이었으므로 $\dfrac{dq}{dt}$ 를 곱해야 한다. 연쇄법칙 문제에서 오류가 생기는 지점은 대체로 미분이 아니라 **묻는 단위를 놓치는 데** 있다.

**확장** — 처리 건당 수수료가 $15$ 만 원이라면 하루 이윤은 $\pi(q) = 15q - C(q)$ 다.

$$\pi'(q) = 15 - 0.04q - 5 = 10 - 0.04q = 0 \ \Rightarrow\ q = 250$$

$\pi(250) = 3{,}750 - 2{,}900 = 850$ 만 원이고, $\pi(200) = 800$, $\pi(300) = 800$ 이다. **물량 증가가 언제나 이윤 증가를 뜻하지는 않는다.** $q = 250$, 곧 $t = 7.5$ 개월을 넘기면 하루 이윤이 오히려 줄어든다. 이 모형에서 이윤은 정점을 가지며, 이 센터의 정점은 가동 후 여덟 달째 부근이다.
:::

### 문제 16 · 신문 기사의 오류 정정  ★☆☆

**상황** — 지역 신문에 다음 기사가 실렸다.

> "○○공장은 지난달 부품 $1{,}000$ 개를 만드는 데 $5{,}000$ 만 원을 썼다. 개당 $5$ 만 원인 셈이다. 다음 달에 $100$ 개를 추가로 주문받았으니, 비용은 $500$ 만 원 더 늘어날 전망이다."

이 공장의 비용은 $C(q) = 2{,}000 + 2q + 0.001q^2$ (만 원)으로 알려져 있다.

**모형 설정** — 기사의 어느 부분이 틀렸는지 판정한다. 확인할 점이 둘이다. 첫째, "개당 $5$ 만 원"이 **틀린 값인지**, 값 자체는 맞고 **쓴 자리가 틀린 것인지**를 가려야 한다. 둘째, $100$ 개 추가 비용을 도함수로 근사할지 $C(1{,}100) - C(1{,}000)$ 로 직접 계산할지를 정하고, 두 답의 차이가 얼마인지도 확인해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $100$ 개를 더 만들 때 실제로 늘어나는 비용, 그리고 기사의 오류가 무엇인지.

② **주어진 값** — $C(q) = 2{,}000 + 2q + 0.001q^2$ (만 원), 현재 $q = 1{,}000$.

③ **관계식** — 평균비용과 한계비용은 다른 양이다.
$$AC(q) = \frac{C(q)}{q}, \qquad MC(q) = C'(q) = 2 + 0.002q$$
실제 추가분은 $C(1{,}100) - C(1{,}000)$.

④ **사용 도구** — [제27장](../part3/ch27.md) 미분규칙, [제28장](../part3/ch28.md) 몫의 법칙, [제6장](../part1/ch06.md) 비율

⑤ **모형의 한계** — 여기서는 $C(q)$ 를 안다고 가정했지만, 회계장부에서 이 식을 추정하는 일 자체가 어렵다. 공용 설비의 감가상각을 어느 제품에 얼마나 배부하느냐에 따라 '고정비 $2{,}000$ 만 원'이라는 값부터 달라진다. **오류의 원인이 기사의 계산에만 있는 것은 아니다.**
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**먼저 기사의 수가 맞는지 확인한다.**

$$C(1{,}000) = 2{,}000 + 2{,}000 + 0.001 \times 1{,}000{,}000 = 2{,}000 + 2{,}000 + 1{,}000 = 5{,}000$$

$5{,}000$ 만 원이 맞다. 그리고

$$AC(1{,}000) = \frac{5{,}000}{1{,}000} = 5\ \text{만 원/개}$$

'개당 $5$ 만 원'도 맞는 값이다. **오류는 값이 아니라 그 값을 쓴 자리에 있다.**

**한계비용을 구한다.**

$$MC(1{,}000) = 2 + 0.002 \times 1{,}000 = 2 + 2 = 4\ \text{만 원/개}$$

한 개 더 만드는 데 드는 돈은 $4$ 만 원이지 $5$ 만 원이 아니다.

**$100$ 개 추가 비용을 직접 낸다.**

$$C(1{,}100) = 2{,}000 + 2{,}200 + 0.001 \times 1{,}210{,}000 = 2{,}000 + 2{,}200 + 1{,}210 = 5{,}410$$
$$C(1{,}100) - C(1{,}000) = 410\ \text{만 원}$$

**답** — 실제 추가 비용은 $410$ 만 원. 기사의 $500$ 만 원은 $90$ 만 원 과대다.

**검산** — 도함수로 어림하면 $MC \times 100 = 4 \times 100 = 400$ 만 원으로 실제 $410$ 만 원과 $10$ 만 원 차이다. $q$ 가 커지면서 $MC$ 도 함께 오르기 때문이다. $MC(1{,}100) = 4.2$ 이므로 구간 양 끝의 평균 $\dfrac{4 + 4.2}{2} = 4.1$ 을 쓰면 $4.1 \times 100 = 410$ 만 원으로 정확히 맞는다.

**$AC > MC$ 인 이유** — 고정비 $2{,}000$ 만 원이 개수로 나뉘어 평균에 더해져 있기 때문이다. 개수가 늘면 이 몫이 작아진다.

$$AC(1{,}100) = \frac{5{,}410}{1{,}100} = 4.918\ \text{만 원/개}$$

$100$ 개를 더 만들면 개당 평균 비용은 오히려 **내려간다.**

**고쳐 쓴 기사** — "○○공장은 지난달 $1{,}000$ 개를 만드는 데 $5{,}000$ 만 원을 썼다. 평균 개당 $5$ 만 원이지만 이 중 $2{,}000$ 만 원은 몇 개를 만들든 나가는 고정비다. $100$ 개를 더 만드는 데 실제로 드는 돈은 약 $410$ 만 원이고, 개당 평균 비용은 $4.9$ 만 원으로 오히려 내려간다."

**빈번한 오류** — 평균비용을 한계비용 자리에 쓰는 것. 기사·보고서·사내 자료에서 빈번한 오류 중 하나이고, **고정비가 클수록 오차가 커진다.** 이 공장은 고정비가 총비용의 $40\%$($2{,}000/5{,}000$)여서, 기사의 $500$ 만 원이 실제 $410$ 만 원보다 $22\%$ 높게 나왔다.

**확장** — 이 오류에는 방향이 있다. 개념 절에서 확인한 대로 $AC$ 의 최저점은 $MC = AC$ 인 곳이다.

$$2 + 0.002q = \frac{2{,}000}{q} + 2 + 0.001q \ \Rightarrow\ 0.001q = \frac{2{,}000}{q} \ \Rightarrow\ q^2 = 2{,}000{,}000 \ \Rightarrow\ q \approx 1{,}414$$

이 공장은 $1{,}000$ 개로 최저점의 **왼쪽**에 있어 $MC < AC$ 이고, 따라서 평균비용을 쓰면 추가 비용을 **과대**평가한다. $1{,}414$ 개를 넘겨 오른쪽에 있었다면 $MC > AC$ 이므로 같은 기사가 반대로 — 추가 비용을 **과소**평가하는 쪽으로 — 틀렸을 것이다. 같은 오류가 상황에 따라 부호를 바꾼다.
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## 적용 범위와 한계

이 장에서 다룬 도구는 적용 범위가 넓지만, 그 과정에서 모형에 포함되지 않고 사라지는 요소가 있다. 무엇이 제외되었는지를 정리한다.

**한계비용을 파악하고 있는 기업은 많지 않다.** 회계장부는 평균과 배부(allocation)로 짜여 있다. 공용 설비의 감가상각, 관리직 인건비, 전기료를 제품별로 나눠 붙인 뒤 개수로 나눈 값이 장부의 '원가'다. 그것은 평균이지 한계가 아니다. 한계비용은 장부에서 읽는 것이 아니라 **추정하는 것**이고, 그 추정에는 언제나 오차 범위가 있다. 문제 16이 다룬 오류가 현실에서 자주 나타나는 이유다.

**미분은 매끄러움을 가정한다.** 도입에서 다룬 오븐 한 판이 그 반례였다. 현실의 비용은 계단함수인 경우가 많다. 트럭 한 대, 직원 한 명, 라인 하나가 단위로 추가되고 제거된다. 계단이 촘촘할 때만 미분이 좋은 근사다. 물량이 작을 때 $C'(q)$ 를 그대로 쓰면 결론이 반대가 될 수 있다.

**$MR = MC$ 는 목적함수를 이미 전제한 조건이다.** 이 조건은 "이윤을 최대로 한다"는 전제에서만 유도된다. 실제 조직은 매출 규모, 시장 점유율, 고용 안정 등 다른 목표도 함께 추구한다. 어느 목적함수를 택하느냐에 따라 최적 생산량이 달라지고, 수학은 그중 무엇이 옳은지를 판정하지 않는다.

**탄력성은 '다른 조건이 같을 때'의 값이다.** 가격을 올리는 동시에 경쟁사가 값을 내렸다면, 관측된 수량 변화는 우리 탄력성이 아니다. 더 근본적인 문제도 있다. 시장에서 관측되는 $(P, Q)$ 점들은 수요곡선 위의 점이 아니라 **수요와 공급이 만난 교점들**이다. 흩어진 교점에서 수요곡선만 골라내는 일을 계량경제학에서 식별(identification) 문제라 부르는데, 이 장에서는 그 문제를 다루지 않았다.

**성장률은 방향과 속도를 나타낼 뿐 분배를 나타내지 않는다.** GDP가 $3\%$ 성장했다는 것은 개별 소득이 $3\%$ 늘었다는 뜻이 아니다. 평균이 오르는 동안 중앙값이 내려가는 경우가 있다. $\ln y$ 의 기울기는 한 나라를 하나의 값으로 요약한 수다.

**미분은 국소적이다.** 도함수는 지금 서 있는 점 바로 옆의 정보다. 가격을 $2\%$ 올릴 때의 판단에는 쓸 수 있지만 $50\%$ 올릴 때의 판단에는 쓸 수 없다. 크게 움직이는 물음에는 곡선 전체가 필요하고, 곡선 전체를 아는 일은 기울기 하나를 아는 것보다 훨씬 어렵다.

**국소 최대와 전역 최대는 다르다.** 2계 조건을 만족해도 그것은 근방에서의 최대라는 뜻이다. 극대점이 둘 이상일 수도 있고, 끝점 — 아무것도 하지 않는 것 — 이 더 나을 수도 있다. 문제 1의 '확장'에서 확인한 대로, "얼마나 만들까"와 "만들까 말까"는 다른 물음이다.

## 요약과 다음 장

이 장의 내용은 여섯 개의 대응 관계로 요약된다.

| 경제학의 말 | 수학의 말 |
|---|---|
| 한계비용·한계수입·한계효용 | 도함수 $C'(q),\ R'(q),\ u'(x)$ |
| 이윤 극대화 | $\pi' = 0$, 곧 $MR = MC$ (그리고 $\pi'' < 0$) |
| 한계효용 체감 | $u' > 0$ 이면서 $u'' < 0$ (오목) |
| 탄력성 | $\varepsilon = \dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q} = \dfrac{d\ln Q}{d\ln P}$ (단위에 안 끌린다) |
| 성장률 | $\dfrac{d}{dt}\ln y = \dfrac{y'}{y}$ (로그 기울기) |
| 평균과 한계 | $AC' = \dfrac{MC - AC}{q}$ (평균의 최저점에서 만난다) |

이 장에서 새로 도입한 수학은 없다. [제27장](../part3/ch27.md)부터 [제31장](../part3/ch31.md)까지에서 다룬 미분과 [제22장](../part3/ch22.md)의 로그를 그대로 적용했다. 달라진 것은 도구가 아니라 **적용 대상**이다. $C'(q)$ 를 "하나 더 만들 때 드는 돈"으로 읽으면 경제 기사의 상당 부분이 수식으로 옮겨진다.

이 장에서 다룬 양은 모두 **곡선의 기울기**였다. 한계비용, 한계수입, 한계효용, 성장률이 전부 도함수다. 한편 기울기를 알면 원래 양을 복원할 수 있다는 것은 [제33장](../part3/ch33.md)에서 다루었다. 한계비용을 $0$ 부터 $q$ 까지 누적하면 총가변비용이 되고, 그 누적은 그래프에서 **넓이**로 나타난다.

이 관계에서 다음 개념이 나온다. 어떤 소비자가 물건 하나에 지불할 의사가 있는 최대 금액과 실제로 지불한 값의 차이를 모두 누적하면, 수요곡선 아래의 넓이가 된다. 이것을 **소비자잉여**라 부른다. [제42장](ch42.md)에서 적분으로 이 넓이를 계산하고, 세금이 그 넓이를 어떻게 변화시키는지를 다룬다. 이 장이 "한 단위 더"의 변화를 다루었다면, 다음 장은 "그 변화를 전부 합한 값"을 다룬다.