제39장 · 이자와 시간 — 곱으로 쌓이는 것#
이 장
도입#
은행 창구에 게시되는 안내문 세 가지를 나란히 놓는다.
정기예금 연 \(3.5\%\) (12개월, 만기일시지급) 정기적금 연 \(4.0\%\) (12개월, 매월납입) 신용대출 연 \(6.9\%\) ~ \(15.9\%\) (원리금균등, 최장 60개월)
표시된 숫자만 비교하면 적금이 예금보다 유리해 보인다. 같은 금액을 넣으면 적금이 더 많은 이자를 준다고 읽히기 때문이다. 그러나 1년 뒤의 실제 이자를 확인하면 적금 이자는 예금 이자의 절반 정도에 그친다. 두 상품에서 “\(1\) 년”이 가리키는 기간의 의미가 서로 다르기 때문이다.
세 번째 줄도 같다. “연 \(15.9\%\)”는 \(1{,}000\) 만 원을 빌리면 \(159\) 만 원을 더 갚는다는 뜻이 아니다. 5년 만기 원리금균등 대출이라면 실제로 더 내는 금액은 그보다 크고, 매달 원금을 갚아 나가는 구조를 반영하면 계산 방식에 따라 더 작아지기도 한다.
이러한 혼동은 금융 용어에 대한 지식 부족에서 오는 것이 아니라, 덧셈으로 누적되는 양과 곱셈으로 누적되는 양을 구분하지 않는 데서 발생한다. 이 장에서 사용하는 도구는 하나의 식이다.
이 식에서 복리, 72의 법칙, 현재가치, 연속복리, 로그수익률, 연금이 모두 파생된다. 각각을 개별 공식으로 기억할 필요는 없다. 지수법칙(제12장)과 로그함수(제22장)는 앞에서 다루었으므로, 남은 작업은 경제 용어를 이 식의 각 자리에 대응시키는 일이다.
먼저 용어를 정리한다.
용어 |
뜻 |
|---|---|
원금(\(P\), principal) |
처음 넣은(빌린) 돈. |
이자율(\(r\), interest rate) |
한 기간 동안 원금에 붙는 비율. 연 \(5\%\) 면 \(r = 0.05\). |
기간 수(\(n\)) |
이자가 붙는 횟수. “연”이 아니라 횟수임에 주의한다. |
원리금(\(A\)) |
원금 + 이자. 만기에 손에 쥐는 총액. |
단리와 복리 — 덧셈 누적과 곱셈 누적#
단리(單利, simple interest)는 이자를 항상 처음 원금에만 붙이는 방식이다. 붙은 이자는 원금에 합산되지 않으므로 다시 이자를 발생시키지 않는다.
복리(複利, compound interest)는 붙은 이자를 원금에 합산하고, 다음 해에는 그 합계에 이자를 붙이는 방식이다. 이자가 다시 이자를 발생시킨다.
\(100\) 만 원을 연 \(5\%\) 로 예치한 경우를 1년 단위로 계산한다. 공식을 적용하기 전에, 한 해가 지날 때 잔액이 어떻게 변하는지를 확인한다.
1년 뒤. 원금 \(1{,}000{,}000\) 원에 이자 \(1{,}000{,}000 \times 0.05 = 50{,}000\) 원이 붙는다.
이 변형이 이 절의 핵심이다. “원금 더하기 이자”를 “원금 곱하기 \((1+0.05)\)”로 고쳐 쓴 것이다. 분배법칙(제13장)으로 \(1{,}000{,}000\) 을 묶어냈을 뿐이지만, 덧셈이 곱셈으로 바뀐다. 곱셈으로 표현되면 같은 연산의 반복이 거듭제곱이 된다.
2년 뒤. 원금 자리에 들어가는 금액은 \(1{,}050{,}000\) 원이다.
3년 뒤.
\(n\) 년 뒤의 금액은 \((1.05)\) 를 \(n\) 번 곱한 값이다. 같은 수를 \(n\) 번 곱하는 연산은 거듭제곱(제7장)이므로,
두 방식을 비교한다. 원금 \(100\) 만 원, 연 \(5\%\) 이다.
햇수 |
단리 \(P(1+rn)\) |
복리 \(P(1.05)^n\) |
차이 |
|---|---|---|---|
1년 |
\(1{,}050{,}000\) |
\(1{,}050{,}000\) |
\(0\) |
2년 |
\(1{,}100{,}000\) |
\(1{,}102{,}500\) |
\(2{,}500\) |
3년 |
\(1{,}150{,}000\) |
\(1{,}157{,}625\) |
\(7{,}625\) |
10년 |
\(1{,}500{,}000\) |
\(1{,}628{,}895\) |
\(128{,}895\) |
30년 |
\(2{,}500{,}000\) |
\(4{,}321{,}942\) |
\(1{,}821{,}942\) |
1년째의 차이는 \(0\) 이다. 3년째의 차이도 \(7{,}625\) 원으로 작다. 그러나 30년째에는 차이가 원금의 \(1.8\) 배가 된다. 단리는 일차함수로 증가하고 복리는 지수함수로 증가한다. 기간이 짧으면 두 값이 거의 같고, 기간이 길어지면 차이가 급격히 커진다. 복리의 효과가 크게 강조되는 근거는 이 표의 마지막 행이다.
주의할 점이 하나 있다. 지수함수의 증가는 \(r\) 보다 \(n\) 에 크게 의존한다. \(r\) 은 밑에 들어 있고 \(n\) 은 지수 자리에 있으므로, \(n\) 이 커질 때의 변화가 훨씬 크다. 따라서 복리에서는 이자율의 크기보다 기간의 길이가 결과를 더 크게 좌우한다.
72의 법칙 — 상수 72의 근거#
투자에서 널리 쓰이는 어림셈이 있다. “\(72\) 를 수익률(%)로 나누면 원금이 두 배가 되는 햇수가 나온다.” 연 \(6\%\) 이면 \(72 \div 6 = 12\) 년, 연 \(8\%\) 이면 \(9\) 년이다. 이 상수 \(72\) 는 다음과 같이 유도된다.
두 배가 되는 시점은 \(P(1+r)^n = 2P\) 인 \(n\) 이다. 양변을 \(P\) 로 나누면
지수 자리에 있는 \(n\) 을 끌어내리는 도구가 로그이다(제22장). 양변에 자연로그를 취하면 \(\ln(1+r)^n = n\ln(1+r)\) 이므로
여기서 두 가지 근사를 사용한다. 첫째, \(\ln 2 \approx 0.693\) 이다. 둘째, \(r\) 이 작을 때 \(\ln(1+r) \approx r\) 이다. (두 번째 근사는 \(y = \ln(1+x)\) 의 그래프가 원점 부근에서 기울기 \(1\) 인 직선에 접한다는 사실에서 나온다. \(r = 0.05\) 일 때 \(\ln 1.05 = 0.04879\) 로, \(0.05\) 와의 차이는 \(2.4\%\) 이다.)
\(r\) 을 소수 대신 퍼센트 값으로 표기하려면 분자와 분모에 \(100\) 을 곱한다. \(r = R/100\) 이므로
즉 유도에서 직접 나오는 상수는 \(72\) 가 아니라 \(69.3\) 이다. 다만 \(69.3/R\) 역시 근삿값이다. 여기에 이르기까지 \(\ln(1+r) \approx r\) 이라는 근사를 이미 한 번 사용했기 때문이다. 정확한 값은 \(n = \dfrac{\ln 2}{\ln(1+r)}\) 이며, \(72\) 와 \(69.3\) 은 모두 이를 대신하는 근삿값이다. 그럼에도 \(69.3\) 대신 \(72\) 를 사용하는 이유는 두 가지이다.
첫째, 암산의 편의이다. \(69.3\) 은 나눗셈이 간단한 수가 아니다. \(72\) 의 약수는 \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\) 로 열두 개이므로, 자주 쓰이는 이자율 \(2, 3, 4, 6, 8, 9, 12\%\) 로 나누면 모두 정수가 된다.
둘째, \(\ln(1+r) \approx r\) 근사가 항상 한쪽으로 치우치는 점에 대한 보정이다. \(\ln(1+r)\) 은 항상 \(r\) 보다 작으므로 \(69.3/R\) 은 실제보다 짧게 나온다. \(72\) 를 사용하면 이 편향이 상쇄된다.
연이율 \(R\) |
\(72/R\) |
\(69.3/R\) |
정확값 \(\ln 2/\ln(1{+}r)\) |
|---|---|---|---|
\(2\%\) |
\(36.0\) |
\(34.7\) |
\(35.0\) |
\(3\%\) |
\(24.0\) |
\(23.1\) |
\(23.4\) |
\(4\%\) |
\(18.0\) |
\(17.3\) |
\(17.7\) |
\(6\%\) |
\(12.0\) |
\(11.6\) |
\(11.9\) |
\(8\%\) |
\(9.0\) |
\(8.7\) |
\(9.0\) |
\(10\%\) |
\(7.2\) |
\(6.9\) |
\(7.3\) |
\(12\%\) |
\(6.0\) |
\(5.8\) |
\(6.1\) |
\(8\%\) 부근에서 \(72\) 의 오차가 가장 작고(정확히는 \(R \approx 7.85\%\) 에서 \(72/R\) 이 정확값과 일치한다), 이자율이 매우 낮거나(\(2\%\)) 매우 높으면(\(12\%\) 이상) 오차가 커진다. 표의 \(8\%\) 행에서 \(72/R\) 과 정확값이 모두 \(9.0\) 으로 일치하는 것이 그 지점이다. \(6\%\) 에서는 \(12.0\) 과 \(11.9\) 로 약 \(0.9\%\) 크게 나온다. 이 법칙은 근사식이므로 정확값을 대신하지 않는다.
이 법칙은 역방향으로도 사용된다. 두 배가 되는 데 걸린 햇수를 알면 수익률을 추정할 수 있다. \(9\) 년 만에 두 배가 되었다면 연 \(72/9 = 8\%\) 정도이다. 네 배는 “두 배가 두 번”이므로 \(2n\), 여덟 배는 \(3n\) 이다. 여기에서도 곱셈이 로그를 통해 덧셈으로 바뀐다는 이 장의 주제가 나타난다.
현재가치 — 미래 금액을 현재 시점으로 환산하기#
“\(3\) 년 뒤에 \(100\) 만 원을 드리겠습니다”와 “지금 \(100\) 만 원을 드리겠습니다”는 같은 제안이 아니다. 지금 받은 금액은 \(3\) 년간 운용하여 \(3\) 년 뒤 \(100\) 만 원보다 큰 금액으로 만들 수 있기 때문이다. 미래의 같은 금액은 현재의 금액보다 가치가 작다. 이를 화폐의 시간가치(time value of money)라 한다.
미래의 \(100\) 만 원에 대응하는 현재 금액은 \((1+r)^n\) 을 역방향으로 적용하여 구한다. \(A = P(1+r)^n\) 을 \(P\) 에 대해 풀기 위해 양변을 \((1+r)^n\) 으로 나눈다.
금융에서는 이 \(P\) 를 현재가치(PV, present value), \(A\) 를 미래가치(FV, future value)라 하고, 여기 쓰인 \(r\) 은 이자율이 아니라 할인율(discount rate)이라 한다.
오른쪽 표현이 중요하다. 지수법칙 \(a^{-n} = 1/a^n\)(제12장)에 따라 할인은 지수의 부호를 바꾸는 연산이다. 복리로 미래 시점으로 이동하는 것과 할인으로 과거 시점으로 이동하는 것이 같은 연산의 방향만 다른 경우임은 다음 식에서 확인된다.
\(n\) 년 후로 이동한 뒤 다시 \(n\) 년 할인하면 원래 값으로 돌아온다. 이 성질이 금융 계산 전체의 기초가 된다.
예를 들어 할인율 연 \(3\%\) 에서 \(10\) 년 뒤의 \(100\) 만 원은
같은 \(100\) 만 원이라도 할인율에 따라 현재가치가 달라진다.
할인율 |
\(10\) 년 뒤 \(100\) 만 원의 현재가치 |
|---|---|
\(1\%\) |
\(905{,}287\) 원 |
\(3\%\) |
\(744{,}094\) 원 |
\(5\%\) |
\(613{,}913\) 원 |
\(10\%\) |
\(385{,}543\) 원 |
할인율이 높을수록 미래 금액의 현재가치는 작아진다. 할인율은 외부에서 주어지는 상수가 아니라 계산하는 사람이 선택하는 값이다. 같은 사업이라도 \(6\%\) 로 할인하면 통과되고 \(10\%\) 로 할인하면 부결되는 경우가 발생한다(문제 14).
복리 횟수와 \(e\) — 분할 횟수의 극한#
“연 \(10\%\)”라는 표시는 이자를 언제 붙이는지를 지정하지 않는다. 1년에 한 번 붙일 수도 있고 매달 붙일 수도 있다. 1년에 \(m\) 번 나누어 붙인다면 한 번에 붙는 이자율은 \(r/m\) 이고 붙는 횟수는 \(m\) 번이므로, 1년 뒤 원금 \(1\) 원은
이 된다. \(m\) 을 계속 키우면 이 값이 무한히 커지는지를 \(r = 0.1\) (연 \(10\%\))에서 확인한다.
이자 붙는 주기 |
\(m\) |
\(\left(1+\dfrac{0.1}{m}\right)^{m}\) |
\(100\) 만 원의 1년 뒤 |
|---|---|---|---|
연 1회 |
\(1\) |
\(1.100000\) |
\(1{,}100{,}000\) |
반기 |
\(2\) |
\(1.102500\) |
\(1{,}102{,}500\) |
분기 |
\(4\) |
\(1.103813\) |
\(1{,}103{,}813\) |
매월 |
\(12\) |
\(1.104713\) |
\(1{,}104{,}713\) |
매일 |
\(365\) |
\(1.105156\) |
\(1{,}105{,}156\) |
매시간 |
\(8760\) |
\(1.105170\) |
\(1{,}105{,}170\) |
(극한) |
\(\infty\) |
\(1.105171\) |
\(1{,}105{,}171\) |
이 값은 무한히 커지지 않고 \(1.105171\) 로 수렴한다. 분할을 잘게 할수록 값이 증가하지만 증가폭은 급격히 줄어들어, 매일 붙이는 경우와 매 순간 붙이는 경우의 차이는 \(100\) 만 원 기준 \(15\) 원이다.
이 극한값은 \(r = 1\) 일 때 가장 명확하게 드러난다. \(\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\) 은 \(m = 1\) 에서 \(2\), \(m = 12\) 에서 \(2.61304\), \(m = 365\) 에서 \(2.71457\), 그리고 극한에서
제22장에서 정의로 도입한 \(e\) 가 여기에서 다시 나타난다. \(e\) 는 임의로 정한 수가 아니라 이자를 연속적으로 붙일 때 1년 동안의 증가 배수이다. 일반적인 \(r\) 에서는 \(m = r \cdot k\) 로 치환하면
이고, \(n\) 년이면 지수법칙에 따라 \((e^r)^n = e^{rn}\) 이다. 이것을 연속복리(continuous compounding)라 한다.
실무에서 연속복리로 이자를 지급하는 예금은 없다. 그럼에도 금융이론이 \(e^{rn}\) 을 사용하는 이유는 계산이 간단하기 때문이다. \(e^{rn}\) 은 미분해도 자기 자신의 상수배이고(제29장), 기간을 이어 붙일 때 \(e^{rn_1} \cdot e^{rn_2} = e^{r(n_1+n_2)}\) 로 지수만 더하면 된다. 다음 절의 로그수익률은 이 성질에 기초한다.
로그수익률 — 곱을 덧셈으로 바꾸기#
주가가 \(10{,}000\) 원에서 \(12{,}000\) 원이 되면 수익률은 \(+20\%\) 다. 기준량이 처음 값이므로 \((12000-10000)/10000 = 0.2\)(제6장). 이것을 단순수익률이라 한다.
여러 해의 수익률을 이어 붙일 때 문제가 발생한다. 1년 차 \(+20\%\), 2년 차 \(-15\%\) 인 경우 2년 수익률은 \(+5\%\) 가 아니다. 수익률은 곱해지는 양이기 때문이다.
수익률은 덧셈이 아니라 곱셈으로 결합된다. 곱을 덧셈으로 바꾸는 도구가 로그이다(제22장의 \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)). 이에 따라 금융에서는 로그수익률(log return)을 정의한다.
이렇게 정의하면 기간을 잇는 연산이 덧셈이 된다.
\(P_1 = P_0 e^{\ell}\) 이므로 로그수익률은 연속복리로 환산한 수익률과 같다. 두 수익률의 관계는 다음과 같다.
단순수익률 \(R\) |
배수 \(1+R\) |
로그수익률 \(\ln(1+R)\) |
|---|---|---|
\(+100\%\) |
\(2.00\) |
\(+0.6931\) |
\(+50\%\) |
\(1.50\) |
\(+0.4055\) |
\(+10\%\) |
\(1.10\) |
\(+0.0953\) |
\(0\%\) |
\(1.00\) |
\(0\) |
\(-10\%\) |
\(0.90\) |
\(-0.1054\) |
\(-50\%\) |
\(0.50\) |
\(-0.6931\) |
표의 오른쪽 열에서 \(+100\%\) 와 \(-50\%\) 의 로그수익률은 부호만 다르다(\(\pm 0.6931\)). 단순수익률에서는 두 배가 되는 경우와 절반이 되는 경우가 \(100\) 과 \(50\) 으로 비대칭이지만, 로그수익률에서는 대칭이다. 이 대칭성 때문에 통계 처리가 간단해진다.
“\(+50\%\) 뒤 \(-50\%\)”인 경우를 로그로 다시 계산한다.
합이 \(0\) 이 아니므로 원래 값으로 돌아오지 않는다. 실제 배수는 \(e^{-0.2877} = 0.75\), 즉 \(-25\%\) 이다. 로그 척도에서 \(+50\%\) 는 \(0.4055\) 이고 \(-50\%\) 는 \(0.6931\) 이므로, 같은 “\(50\%\)”라도 하락 쪽의 크기가 더 크다. 단순수익률의 눈금이 상승과 하락에 대해 대칭이 아니라는 사실이 로그로 나타난다.
로그수익률을 쓰지 말아야 할 때
로그수익률은 시간 방향으로 더할 때에만 유효하다. 한 시점에서 여러 종목을 묶어 포트폴리오 수익률을 계산할 때는 사용할 수 없다. 포트폴리오 수익률은 각 종목 단순수익률의 가중평균이며, 로그수익률의 가중평균이 아니다.
등비수열의 합 — 적금과 연금의 계산 근거#
앞에서는 단일 금액을 운용하는 경우를 다루었다. 적금은 매달 새로운 금액을 납입하고, 연금은 매년 금액을 수령한다. 이러한 흐름을 다루려면 항이 여러 개인 합이 필요하다.
매년 말 \(100\) 만 원씩 \(3\) 년 납입하고 연 \(5\%\) 복리라면, \(3\) 년째 말의 합계는 다음과 같다. 첫해 납입금은 \(2\) 년, 둘째 해 납입금은 \(1\) 년, 셋째 해 납입금은 \(0\) 년 동안 이자가 붙는다.
인접한 항의 비가 일정한(\(\times 1.05\)) 수열을 등비수열이라 하고, 그 합에는 닫힌 형태의 공식이 있다. 첫 항 \(a\), 공비 \(q\), 항 수 \(n\) 으로 두고 유도한다.
양변에 \(q\) 를 곱하면 한 항씩 이동한 같은 형태의 식이 나온다.
두 식을 빼면 가운데 항이 모두 소거되고 양 끝 항만 남는다.
\(q \neq 1\) 이면 양변을 \(1-q\) 로 나눈다(제19장).
두 표현은 분자·분모에 동시에 \(-1\) 을 곱한 같은 식이다. \(q > 1\) 일 때는 오른쪽 표현이 다루기 쉽다.
이 공식은 금융에서 두 가지 형태로 나타난다.
① 적립의 미래가치(적금). 매 기간 말 \(C\) 씩 \(n\) 번 납입하고 기간이율이 \(r\) 이면, \(a = C\), \(q = 1+r\) 이므로
② 정기 지급의 현재가치(연금·대출). 매 기간 말 \(C\) 씩 \(n\) 번 수령하는 것을 현재 값으로 환산하면, 각 항은 \(C(1+r)^{-1}, C(1+r)^{-2}, \ldots\) 이므로 \(a = C/(1+r)\), \(q = 1/(1+r)\) 이다.
두 식을 개별적으로 기억할 필요는 없다. 등비수열의 합과 할인이 \((1+r)^{-n}\) 이라는 사실 두 가지에서 그때마다 유도할 수 있다. 이 장의 나머지 문제 중 절반이 이 두 식의 변형이다.
시나리오 문제#
문제 1 · 같은 연 \(4\%\) 인데 이자가 절반 ★★☆#
상황 — 김영수는 1년 뒤 결혼 자금으로 \(1{,}200\) 만 원을 만들 계획이다. 은행에 가니 두 가지 길이 있다. 하나는 \(1{,}200\) 만 원을 지금 한 번에 넣는 정기예금 연 \(4\%\), 다른 하나는 매달 초 \(100\) 만 원씩 12번 넣는 정기적금 연 \(4\%\) 다. 창구 직원은 “적금은 만기까지 매달 넣으신 돈에 각각 남은 기간만큼 이자가 붙습니다”라고 설명했다.
모형 설정 — 두 상품의 1년 뒤 이자를 각각 구한다. 적금에서는 매달 납입한 \(100\) 만 원에 각각 몇 개월치 이자가 붙는지를 먼저 정해야 한다. 열두 번의 납입금 모두에 12개월치 이자가 붙는다고 볼 것인지, 납입 시점마다 다르다고 볼 것인지에 따라 답이 달라진다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 예금 이자 \(I_{\text{예}}\), 적금 이자 \(I_{\text{적}}\). ② 주어진 값 — 월 납입 \(1{,}000{,}000\) 원 \(\times\) 12회(총 \(12{,}000{,}000\) 원), 연이율 \(4\%\), 은행 적금은 월할 단리로 계산한다. ③ 관계식 — 월이율은 \(\dfrac{0.04}{12} = \dfrac{1}{300}\) 이다. 첫 달 납입금에는 12개월, 둘째 달에는 11개월, …, 열두째 달에는 1개월치 이자가 붙는다. 이자가 붙는 개월 수의 합은 \(12 + 11 + \cdots + 1 = \dfrac{12 \cdot 13}{2} = 78\) 이므로
풀이와 검산
적금. 월이율 \(\frac{0.04}{12} = \frac{1}{300} \approx 0.003333\).
예금.
비교. \(\dfrac{260{,}000}{480{,}000} = 0.5417\)
답 — 적금 이자 \(260{,}000\) 원, 예금 이자 \(480{,}000\) 원이다. 적금 이자는 예금 이자의 약 \(54\%\) 이다. 표기이율은 둘 다 연 \(4\%\) 이지만, 적금의 실제 수익률은 \(260{,}000 \div 12{,}000{,}000 = 2.17\%\) 이다.
검산 — 이자가 붙는 개월 수의 평균은 \(78 \div 12 = 6.5\) 개월이다. 즉 적금 납입금은 평균 \(6.5\) 개월 동안 예치된다. \(12\) 개월 예치되는 예금과 비교하면 \(6.5/12 = 0.5417\) 로, 위에서 얻은 비율과 일치한다.
빈번한 오류 — “연 \(4\%\) 이므로 \(1{,}200\) 만 원의 \(4\%\) 인 \(48\) 만 원”이라고 계산하는 것이다. 적금에서 “연 \(4\%\)”는 각 납입금이 예치된 기간에 대한 연이율이며, 총 납입액 전체에 대한 것이 아니다. 기준량을 잘못 잡으면 두 배에 가까운 오차가 발생한다.
확장 — 이자소득세 \(15.4\%\) 를 반영하면 세후 이자는 적금 \(260{,}000 \times 0.846 = 219{,}960\) 원, 예금 \(480{,}000 \times 0.846 = 406{,}080\) 원이다. 세금은 두 상품에 같은 비율로 부과되므로 순위는 바뀌지 않는다. 은행이 적금 이율을 예금보다 높게 책정하는 이유가 여기에 있다. 표기이율이 같으면 적금의 실제 수익이 예금보다 크게 낮기 때문이다.
문제 2 · “12개월 무이자”의 값 ★★☆#
상황 — 박미정은 냉장고를 사려 한다. 매장에서 두 가지를 제시했다. 카드 12개월 무이자 할부로 사면 정가 \(2{,}400{,}000\) 원을 매달 \(200{,}000\) 원씩 12번 낸다. 현금(또는 일시불)으로 사면 \(2{,}160{,}000\) 원으로 깎아 준다. 박미정의 여윳돈은 월 \(0.4\%\)(연 \(4.8\%\)) 이자를 주는 파킹통장에 들어 있다.
모형 설정 — 어느 쪽의 실질 부담이 작은지 판단한다. 총액만 비교하면 \(240\) 만 원과 \(216\) 만 원이지만, 할부는 지급 시점이 뒤로 밀린다는 차이가 있다. 12번의 할부금을 어떤 기준으로 환산해 \(216\) 만 원과 비교할 것인가를 먼저 정해야 하고, 환산에 사용할 이자율도 선택해야 한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 할부금 12회의 현재가치 \(PV\). ② 주어진 값 — 매달 말 \(200{,}000\) 원씩 12회, 월 할인율 \(i = 0.004\), 비교 대상은 지금 지불하는 \(2{,}160{,}000\) 원. ③ 관계식 — 서로 다른 시점의 금액은 직접 더할 수 없다. 모두 **같은 시점(현재)**으로 환산해야 한다. 정기 지급의 현재가치 공식으로
풀이와 검산
(계산기 사용) \((1.004)^{12} = 1.049070\) 이므로 \((1.004)^{-12} = \dfrac{1}{1.049070} = 0.953225\).
답 — 할부의 현재가치는 \(2{,}338{,}748\) 원으로, 현금가 \(2{,}160{,}000\) 원보다 \(178{,}748\) 원 비싸다. 현금가가 유리하다. “무이자”는 이자가 없다는 뜻이 아니라, 현금할인을 포기하는 형태로 이자를 낸다는 뜻이다.
검산 — 할인하지 않고 그대로 더하면 \(200{,}000 \times 12 = 2{,}400{,}000\) 원이다. 할인 후가 \(2{,}338{,}748\) 원이므로 지급 시점을 미루어 얻는 이익은 \(61{,}252\) 원이다. 이 이익이 현금할인액 \(240{,}000\) 원보다 작으므로 현금 지급이 유리하다. 두 계산이 일치한다.
빈번한 오류 — “무이자이므로 추가 비용이 없다”고 판단하는 것이다. 무이자 할부의 수수료는 카드사나 판매점이 부담하고, 그 비용은 정가에 이미 반영되어 있다. 현금할인이 있는 매장에서 무이자 할부를 선택하는 것은 그 할인을 포기하는 대가로 지급 시점을 미루는 거래이다.
확장 — 두 선택지가 같아지는 할인율을 구한다. \(200{,}000 \times \frac{1-(1+i)^{-12}}{i} = 2{,}160{,}000\) 을 풀면 \(i \approx 0.0166\), 즉 월 \(1.66\%\) 이다(계산기로 시행착오). 연 실효이율로는 \((1.0166)^{12} - 1 \approx 21.8\%\) 이다. 보유 자금을 연 \(21.8\%\) 이상으로 운용할 수 있는 경우에만 무이자 할부가 유리하다. 파킹통장 \(4.8\%\) 는 이 기준에 크게 못 미친다.
문제 3 · 암산으로 두 배가 되는 시점 구하기 ★☆☆#
상황 — 세 사람이 각자의 자금 상황을 말한다. 정민은 연 \(3\%\) 정기예금, 수현은 기대수익률 연 \(6\%\) 인 인덱스펀드, 태호는 연 \(12\%\) 짜리 카드론 \(500\) 만 원을 가지고 있다. 각각 언제 두 배가 되는지를 계산기 없이 확인한다.
모형 설정 — 세 사람의 금액이 각각 두 배가 되는 데 걸리는 햇수를 암산으로 구한다. 그리고 태호의 부채가 네 배가 되는 데 걸리는 햇수도 구한다. 네 배가 되는 기간이 두 배가 되는 기간의 절반인지 두 배인지를 먼저 정해야 한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 각각 \((1+r)^n = 2\) 를 만족하는 \(n\). ② 주어진 값 — \(r = 3\%, 6\%, 12\%\) 이다. 그리고 \(\ln 2 \approx 0.693\) 이고, \(r\) 이 작으면 \(\ln(1+r) \approx r\) 이다. ③ 관계식 — \(n = \dfrac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \dfrac{69.3}{R} \approx \dfrac{72}{R}\) (\(R\) 은 퍼센트 숫자). 네 배는 \((1+r)^{n} = 4 = 2^2\) 이므로 \(\ln 4 = 2\ln 2\), 곧 두 배 기간의 두 배. ④ 사용 도구 — 제22장 로그함수, 제12장 지수법칙 ⑤ 모형의 한계 — 예금 \(3\%\) 는 계약으로 확정된 이율이고 펀드 \(6\%\) 는 기대값이다. 72의 법칙은 두 수를 동일하게 처리하므로, 수현의 “\(12\) 년”은 정민의 “\(24\) 년”과 성격이 다르다. 확정된 수익과 평균적인 수익을 같은 척도로 다루면 위험이 계산에서 제외된다.
풀이와 검산
태호의 부채가 네 배가 되는 데는 \(6 \times 2 = 12\) 년이 걸린다. \(500\) 만 원이 \(2{,}000\) 만 원이 된다.
답 — \(24\) 년 / \(12\) 년 / \(6\) 년이고, 태호의 부채가 네 배가 되는 기간은 \(12\) 년이다.
검산 — 정확값과 비교한다. \(\ln 2 / \ln 1.03 = 0.693147/0.029559 = 23.4\) 년, \(\ln 2/\ln 1.06 = 0.693147/0.058269 = 11.9\) 년, \(\ln 2/\ln 1.12 = 0.693147/0.113329 = 6.1\) 년이다. 셋 다 오차가 \(2.5\%\) 이내이다. 태호의 경우 정확값은 \(12.2\) 년이다.
빈번한 오류 — 네 배가 되는 기간을 “\(72/12 = 6\) 을 반으로 나눈 \(3\) 년”으로 두는 것이다. 더 크게 증가하는 데 시간이 덜 걸릴 수는 없다. 근거는 \(\ln 4 = 2\ln 2\) 이며, 여기에서 네 배가 되는 기간은 두 배가 되는 기간의 두 배(\(6 \times 2 = 12\) 년)임이 나온다. “\(144/12 = 12\)”는 우연이 아니라 타당한 계산이다. \(144/R = 2 \times (72/R)\) 이므로 “두 배 기간의 두 배”를 한 번에 쓴 것이다. 네 배를 직접 구하려면 \(144\) 를 나누면 된다. 여덟 배는 \(\ln 8 = 3\ln 2\) 이므로 \(6 \times 3 = 18\) 년이다(같은 방식으로 \(216/R\)). 배수는 곱해지고 그에 걸리는 시간은 더해진다. 이 장의 핵심 관계가 여기에 나타난다.
확장 — 72의 법칙은 물가에도 동일하게 적용된다(제38장). 물가상승률이 연 \(3\%\) 로 유지되면 \(24\) 년 뒤 물가는 두 배가 되고, 화폐의 구매력은 절반이 된다. 정민의 예금이 연 \(3\%\) 이면 \(24\) 년 뒤 잔액은 두 배이지만 구매할 수 있는 물건의 양은 변하지 않는다.
문제 4 · 서른 살의 \(1{,}000\) 만 원 ★☆☆#
상황 — 이준호는 서른 살에 여윳돈 \(1{,}000\) 만 원이 생겼다. 이 돈을 연 \(5\%\) 로 굴려 예순 살까지 30년간 한 번도 손대지 않기로 했다. 옆자리 동료는 “30년이면 \(5\% \times 30 = 150\%\) 니까 \(2{,}500\) 만 원쯤 되겠네”라고 말한다.
모형 설정 — 30년 뒤 잔액을 구한다. 동료의 계산이 어긋난 지점을 한 문장으로 설명해야 한다. 이자를 매년 인출하는 경우와 재투자하는 경우 중 어느 쪽을 계산하는지를 먼저 정한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 30년 뒤 원리금 \(A\). ② 주어진 값 — \(P = 10{,}000{,}000\), \(r = 0.05\), \(n = 30\), 이자는 찾지 않고 재투자한다. ③ 관계식 — 이자를 인출하지 않으면 다음 해의 원금이 되므로 곱셈이 반복된다.
풀이와 검산
(계산기 사용) 먼저 \((1.05)^{10}\) 을 구하고 세제곱한다. 지수법칙 \((a^{10})^3 = a^{30}\) 을 쓰면 계산 횟수가 줄어든다.
단리라면 \(10{,}000{,}000 \times (1 + 0.05 \times 30) = 25{,}000{,}000\) 원이다.
답 — 약 \(4{,}322\) 만 원이다. 동료의 \(2{,}500\) 만 원보다 \(1{,}822\) 만 원 많다. 동료의 계산은 이자에 다시 이자가 붙는 것을 반영하지 않았다.
검산 — 72의 법칙으로 확인한다. \(72/5 = 14.4\) 년마다 두 배가 된다. 30년은 \(14.4\) 년이 두 번(\(28.8\) 년) 지나고 조금 더 남는 기간이다. 두 배가 두 번이면 네 배이므로 \(4{,}000\) 만 원을 조금 넘어야 한다. \(4{,}322\) 만 원은 이 범위에 들어온다.
빈번한 오류 — \((1.05)^{30}\) 을 \(1.05 \times 30 = 31.5\) 로 계산하는 것이다. 지수는 곱셈의 반복 횟수이지 곱하는 수가 아니다. 또 하나는 계산기에 \(1.05\ \wedge\ 30\) 대신 \(0.05\ \wedge\ 30\) 을 입력하는 것이다. 이 경우 \(0\) 에 가까운 값이 나온다. 밑은 \(1\) 을 더한 값이다.
확장 — 시작 시점을 바꾼 경우를 계산한다. 마흔 살에 시작해 20년 운용하면 \(10{,}000{,}000 \times (1.05)^{20} = 26{,}532{,}977\) 원이다. 시작이 10년 늦어지면 \(1{,}669\) 만 원이 줄어든다. 줄어든 부분은 마지막 10년 구간에 해당한다. 복리에서 가장 큰 증가분을 만드는 것은 초기 원금이 아니라 후반의 기간이다.
문제 5 · 매달 \(30\) 만 원, 3년 뒤 ★★☆#
상황 — 최지원은 3년 뒤 중고차를 사려고 매달 말 \(300{,}000\) 원씩 자동이체를 설정했다. 이 금액은 월 \(0.5\%\)(연 \(6\%\) 명목)로 매월 복리가 붙는 상품에 납입된다. 3년 뒤의 잔액을 구한다.
모형 설정 — 36회 납입한 금액의 만기 원리금을 구한다. 각 납입금은 이자가 붙는 기간이 서로 다르다. 첫 달 납입금에 이자가 붙는 개월 수부터 정해야 하고, 이어서 36개 항을 하나씩 더할지 등비수열의 합으로 묶을지를 선택한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 36개월 뒤 총액 \(S\). ② 주어진 값 — 매달 말 \(C = 300{,}000\) 원, 월이율 \(i = 0.005\), \(n = 36\) 회. ③ 관계식 — 매달 말에 납입하므로 첫 달 납입금에는 만기까지 \(35\) 개월치, 마지막 납입금에는 \(0\) 개월치 이자가 붙는다.
풀이와 검산
(계산기 사용) \((1.005)^{36} = 1.196681\).
원금은 \(300{,}000 \times 36 = 10{,}800{,}000\) 원이므로 이자는
답 — 약 \(11{,}800{,}831\) 원이다(이자 약 \(100\) 만 원).
검산 — 단리로 근사하여 확인한다. 이자가 붙는 개월 수의 합은 \(0 + 1 + \cdots + 35 = \frac{35 \cdot 36}{2} = 630\) 이므로 단리 이자는 \(300{,}000 \times 0.005 \times 630 = 945{,}000\) 원이다. 복리 이자 \(1{,}000{,}831\) 원은 이보다 \(55{,}831\) 원 많다. 복리 이자가 단리보다 크되 차이가 크지 않은 것은 기간이 3년으로 짧기 때문이다. 방향과 크기가 모두 일치한다.
빈번한 오류 — 총 납입액 \(1{,}080\) 만 원 전체에 3년치 이자를 붙여 \(10{,}800{,}000 \times (1.005)^{36} = 12{,}924{,}155\) 원으로 계산하는 것이다. 마지막 달에 납입한 \(30\) 만 원에는 이자가 붙을 기간이 없다. 또 하나는 “연 \(6\%\) 이므로 \((1.06)^3\)”으로 계산하는 것이다. 이자가 매월 붙으므로 기간 수는 \(3\) 이 아니라 \(36\) 이고, 기간이율은 \(6\%\) 가 아니라 \(0.5\%\) 이다.
확장 — 매달 초에 납입하면 모든 납입금에 한 달치 이자가 더 붙으므로 결과에 \((1.005)\) 를 한 번 더 곱한다. \(11{,}800{,}831 \times 1.005 = 11{,}859{,}835\) 원으로 \(59{,}004\) 원 차이가 난다. 이체일을 말일에서 1일로 변경하는 것만으로 발생하는 차이이다. 다만 국내 은행 적금은 대부분 이 식이 아니라 문제 1의 월할 단리 방식을 사용한다.
문제 6 · 일시금과 연금의 비교 ★★☆#
상황 — 한정숙은 퇴직을 앞두고 회사에서 두 가지 안을 받았다. 하나는 지금 일시금 \(2\) 억 원, 다른 하나는 앞으로 20년간 매년 말 \(1{,}400\) 만 원씩 받는 연금이다. 연금 총액은 \(2\) 억 \(8{,}000\) 만 원으로 일시금보다 \(8{,}000\) 만 원 많다. 한정숙은 일시금을 받으면 그 금액을 연 \(4\%\) 짜리 채권에 넣을 계획이다.
모형 설정 — 두 안을 비교한다. \(2\) 억 \(8{,}000\) 만 원과 \(2\) 억 원을 직접 비교할 수 없는 이유를 먼저 밝혀야 한다. 비교가 가능하려면 두 금액을 어느 시점으로 모을 것인가, 그리고 할인율로 무엇을 쓸 것인가를 정해야 한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 20년 연금의 현재가치 \(PV\). ② 주어진 값 — \(C = 14{,}000{,}000\) 원, \(n = 20\) 회(매년 말), 할인율 \(r = 0.04\)(일시금을 받으면 실제로 얻을 수 있는 수익률), 일시금 \(200{,}000{,}000\) 원. ③ 관계식 — 각 해의 수령액을 현재 시점으로 환산해 더한다. 등비수열의 합으로 묶으면
풀이와 검산
(계산기 사용) \((1.04)^{20} = 2.191123\) 이므로 \((1.04)^{-20} = \dfrac{1}{2.191123} = 0.456387\).
답 — 연금의 현재가치는 약 \(1\) 억 \(9{,}026\) 만 원으로, 일시금 \(2\) 억 원보다 약 \(974\) 만 원 적다. 연 \(4\%\) 로 운용할 수 있다면 일시금이 유리하다. 총액이 \(8{,}000\) 만 원 많게 계산된 것은, 20년 뒤에 받는 \(1{,}400\) 만 원을 현재의 \(1{,}400\) 만 원과 같은 값으로 더했기 때문이다.
검산 — 반대 방향으로 확인한다. 일시금 \(2\) 억 원을 연 \(4\%\) 로 운용하면서 매년 말 \(1{,}400\) 만 원씩 인출할 때 20년간 유지되는지를 본다. 20년 뒤 잔액은
빈번한 오류 — 마지막 회차만 할인해 \(\dfrac{280{,}000{,}000}{(1.04)^{20}}\) 으로 계산하는 것이다. 20회차 수령액은 각각 다른 시점에 발생하므로 각각 다른 지수로 할인해야 한다. 첫 회차는 \((1.04)^{-1}\), 스무째 회차는 \((1.04)^{-20}\) 이다.
확장 — 할인율을 낮추면 결론이 반대가 된다. \(r = 3.44\%\) 부근에서 연금의 현재가치가 정확히 \(2\) 억 원이 되고, 그보다 낮으면 연금이 유리하다(계산기로 시행착오). 즉 이 판단의 실질은 연금과 일시금의 비교가 아니라 자금을 \(3.44\%\) 보다 높은 수익률로 운용할 수 있는지 여부이다. 예금금리가 \(2\%\) 인 시기에는 연금이, \(5\%\) 인 시기에는 일시금이 유리하다.
문제 7 · 첫 달 상환금의 \(76\%\) 는 이자다 ★★☆#
상황 — 서른여덟 살 윤태식이 \(3\) 억 원을 연 \(4.8\%\), 30년 만기 원리금균등상환으로 빌려 집을 샀다. 원리금균등상환이란 매달 갚는 금액이 일정하고, 그 안에서 이자와 원금의 비중만 달라지는 방식이다. 첫 달 고지서에 \(1{,}573{,}996\) 원이 기재되었다. \(3\) 억 원을 360회로 나누면 한 달에 \(83\) 만 원인데 고지액이 \(157\) 만 원인 이유를 확인한다.
모형 설정 — 첫 달에 납부한 \(1{,}573{,}996\) 원 중 이자와 원금이 각각 얼마인지 구한다. 이자를 어떤 금액에 대해 매길 것인가 — 처음 빌린 \(3\) 억 원인가, 아직 갚지 않은 잔액인가 — 를 정해야 한다. 월 상환액 \(1{,}573{,}996\) 원이 산출된 근거도 확인한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 첫 달 이자 \(I_1\), 첫 달 원금상환액 \(B_1\). ② 주어진 값 — 대출잔액 \(300{,}000{,}000\) 원, 월이율 \(i = \dfrac{0.048}{12} = 0.004\), \(n = 360\), 월 상환액 \(M = 1{,}573{,}996\) 원. ③ 관계식 — 이자는 직전 달 말 잔액에 월이율을 곱한 값이고, 상환액에서 이자를 뺀 나머지가 원금을 감소시킨다.
풀이와 검산
첫 달 이자.
첫 달 원금.
이자가 차지하는 비중은 \(\dfrac{1{,}200{,}000}{1{,}573{,}996} = 0.7624\).
둘째 달. 잔액은 \(300{,}000{,}000 - 373{,}996 = 299{,}626{,}004\) 원이므로
답 — 첫 달 \(1{,}573{,}996\) 원 중 이자가 \(1{,}200{,}000\) 원(\(76.2\%\)), 원금이 \(373{,}996\) 원(\(23.8\%\))이다. 한 달이 지나도 원금은 \(3\) 억 원 중 \(37\) 만 원만 감소한다.
검산 — 월 상환액을 확인한다. (계산기 사용) \((1.004)^{360} = 4.208590\) 이므로
빈번한 오류 — 연이율 \(4.8\%\) 를 그대로 쓰고 \(n = 30\) 으로 계산하는 것이다. 상환이 매달 이루어지므로 기간 수는 \(360\), 기간이율은 \(0.4\%\) 이다. 또 하나는 “원리금균등이므로 원금도 매달 같은 금액만큼 줄어든다”고 보는 것이다. 일정한 것은 합계이고, 원금 부분은 매달 조금씩 커진다(\(373{,}996 \to 375{,}492 \to \cdots\)).
확장 — 30년간 총 상환액은 \(1{,}573{,}996 \times 360 = 566{,}638{,}560\) 원이고, 그중 이자는 \(266{,}638{,}560\) 원이다. 빌린 원금의 \(88.9\%\) 를 이자로 추가 부담한다. 금리가 \(1\%\)p 올라 \(5.8\%\) 가 되면(\(i = 0.058/12\), \(n = 360\)) 월 상환액은 \(1{,}760{,}259\) 원으로 \(186{,}263\) 원(\(11.8\%\)) 증가한다. 금리 \(1\%\)p 변동이 크게 다뤄지는 근거가 이 수치이다.
문제 8 · \(5.0\%\) 가 \(5.1\%\) 보다 유리한 경우 ★☆☆#
상황 — 예금 상품 두 개가 나란히 게시되어 있다. A은행은 “연 \(5.0\%\), 매월 이자를 원금에 더해 드립니다”라고 표시했고, B은행은 “연 \(5.1\%\), 만기에 한 번 드립니다”라고 표시했다. 조민아는 \(1{,}000\) 만 원을 1년간 예치하려 한다.
모형 설정 — 어느 쪽의 이자가 큰지 판단한다. 표시된 \(5.0\%\) 와 \(5.1\%\) 는 같은 기준의 수가 아니다. 두 수를 같은 기준으로 비교하려면 무엇으로 변환해야 하는가를 먼저 정해야 한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — A의 1년 실효수익률(연 환산 실제 수익률). ② 주어진 값 — A: 표시이율 \(5.0\%\), 월 \(12\) 회 복리. B: 표시이율 \(5.1\%\), 연 \(1\) 회. ③ 관계식 — 표시된 수는 APR(연이율, 이자가 붙는 횟수를 반영하지 않고 기간이율에 횟수를 곱해 표기한 값)이고, 실제로 붙는 비율은 APY(연 실효수익률)이다. 둘의 관계는
풀이와 검산
(계산기 사용) A의 월이율은 \(\dfrac{0.05}{12} = 0.00416667\).
\(1{,}000\) 만 원 기준 이자는
답 — A가 \(1{,}619\) 원 많다. 표시이율은 A가 \(0.1\%\)p 낮지만, 매월 복리가 그 차이를 상쇄하고도 남는다.
검산 — 본문 「복리 횟수와 \(e\)」 절의 표와 비교한다. 연 \(10\%\) 를 월복리로 나누면 \(10\%\) 가 \(10.47\%\) 가 되어 비율로는 \(4.7\%\) 증가한다. 여기에서도 \(5.0 \to 5.1162\) 로 \(2.3\%\) 증가했다. 이자율이 절반이면 복리에 의한 증가분도 대략 절반이므로 방향이 일치한다.
빈번한 오류 — “매월 이자를 준다”와 “매월 이자를 원금에 더해 준다”를 구분하지 않는 것이다. 이자를 매월 인출해 사용하면 복리가 아니라 단리이고, 이 경우 A는 정확히 \(5.0\%\) 이다. 복리는 이자가 다시 원금에 합산될 때만 발생한다.
확장 — 대출에서도 같은 구분이 필요하다. 같은 표시이율이라도 복리 주기를 확인하기 전에는 실제 부담을 알 수 없다. 표시이율 \(5.0\%\) 인 대출이 월복리라면 실제 부담은 \(5.1162\%\) 이다. 미국은 예금에 APY, 대출에 APR을 공시하도록 법으로 정하고 있고(각각 Truth in Savings, Truth in Lending), 한국은 예금·대출 모두 연이율로 표시한다. 어느 경우든 표시된 수치가 무엇을 측정한 값인지 확인하는 것이 계산 자체보다 중요하다.
문제 9 · 리볼빙과 매월 이월되는 잔액 ★★☆#
상황 — 강현우는 카드 대금 부담을 줄이기 위해 “일부만 결제” 서비스(리볼빙)를 신청했다. 결제하지 않은 잔액 \(3{,}000{,}000\) 원이 다음 달로 이월되고, 여기에 약정 수수료율 연 \(19.9\%\) 가 붙는다. 수수료는 매달 잔액에 붙어 다시 이월잔액에 합산된다. 강현우는 연 \(19.9\%\) 이므로 1년에 \(597{,}000\) 원이라고 판단했다.
모형 설정 — 1년간 상환하지 않았을 때의 잔액을 구한다. 강현우의 \(597{,}000\) 원과 다르다면 그 이유도 밝혀야 한다. 수수료가 붙는 주기를 1년으로 볼 것인가 한 달로 볼 것인가가 판단의 분기점이다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 12개월 뒤 잔액 \(A\), 그리고 실효 연이율. ② 주어진 값 — 초기 잔액 \(3{,}000{,}000\) 원, 표시 연이율(APR) \(19.9\%\), 월 단위로 붙고 이월된다, 상환 없음. ③ 관계식 — 월 수수료율은 \(\dfrac{0.199}{12} = 0.0165833\) 이다. 붙은 수수료가 잔액에 합산되므로 매달 곱셈이 반복된다.
풀이와 검산
(계산기 사용) 월 수수료율 \(\dfrac{0.199}{12} = 0.0165833\).
수수료 총액은
답 — 1년 뒤 잔액은 약 \(3{,}654{,}573\) 원이고 수수료는 \(654{,}573\) 원이다. 강현우가 계산한 \(597{,}000\) 원보다 \(57{,}573\) 원 많다. 실효 연이율은 \(19.9\%\) 가 아니라 \(21.82\%\) 이다.
검산 — 수수료가 다시 수수료를 발생시키지 않는 경우(단리) \(3{,}000{,}000 \times 0.199 = 597{,}000\) 원이다. 복리 결과 \(654{,}573\) 원은 이보다 크되 \(10\%\) 남짓 큰 정도이므로, 1년이라는 기간에 부합하는 크기이다. 문제 8에서 \(5\%\) 를 월복리로 나누었을 때 \(2.3\%\) 증가한 것과 비교하면, 이율이 네 배가 되면서 복리에 의한 증가분도 그보다 크게(\(9.6\%\)) 늘어난 것이다.
빈번한 오류 — 표시된 APR \(19.9\%\) 를 실제 부담과 같은 값으로 읽는 것이다. APR은 월 수수료율 \(\times 12\) 로 만든 표시용 수치이고, 실제 부담은 문제 8에서 다룬 APY이다. 또 하나는 “일부만 결제하면 그달은 무이자”라는 오해인데, 리볼빙은 이월된 첫날부터 수수료가 붙는다.
확장 — 2년간 상환하지 않으면 \(3{,}000{,}000 \times (1.218191)^2 = 4{,}451{,}967\) 원으로 원금의 \(1.48\) 배가 된다. 72의 법칙을 적용하면 실효 \(21.8\%\) 에서 \(72/21.8 \approx 3.3\) 년마다 잔액이 두 배가 된다. 부채에도 복리는 동일하게 작용하며, 증가하는 대상이 자산이 아니라 채무라는 점만 다르다.
문제 10 · 3년 수익률을 하나로 합치기 ★★☆#
상황 — 펀드 운용보고서에 연도별 수익률이 이렇게 적혀 있다. 1년 차 \(+20\%\), 2년 차 \(-15\%\), 3년 차 \(+10\%\). 판매 자료에는 “3년 평균 수익률 연 \(5\%\)”라고 표시되어 있다. 3년 전에 \(1{,}000\) 만 원을 넣은 경우의 현재 잔액을 구한다.
모형 설정 — 3년 누적수익률과 연평균 수익률을 구한다. 판매 자료의 “연 \(5\%\)”가 산출된 방식과 그것이 성립하지 않는 이유를 설명해야 한다. 연도별 수익률을 더할 것인가 곱할 것인가가 이 문제의 핵심이다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 3년 누적 배수, 그리고 진짜 연평균 수익률 \(g\). ② 주어진 값 — 연도별 배수 \(1.20,\ 0.85,\ 1.10\) 이다. 중간에 추가 납입이나 인출은 없다. ③ 관계식 — 수익률은 곱해지는 양이다. 곱을 덧셈으로 바꾸려면 로그를 취한다.
풀이와 검산
곱으로 직접.
3년 누적 수익률은 \(+12.2\%\) 이다. \(1{,}000\) 만 원은 \(11{,}220{,}000\) 원이 된다.
로그로. (계산기 사용)
연평균. 로그수익률을 3으로 나눈다.
답 — 3년 누적 \(+12.2\%\)(\(11{,}220{,}000\) 원), 연평균 \(3.91\%\) 이다. 판매 자료의 “연 \(5\%\)”는 \((20 - 15 + 10)/3 = 5\) 로 더해서 나눈 값이다. 수익률은 더해지지 않으므로 이 수는 실제보다 크다.
검산 — \((1.03912)^3 = 1.1220\) 으로 누적 배수와 일치한다. 반대로 판매 자료대로 연 \(5\%\) 씩 3년이면 \((1.05)^3 = 1.157625\), 즉 \(11{,}576{,}250\) 원이 된다. 실제보다 \(356{,}250\) 원 크게 표시된 것이다.
빈번한 오류 — 산술평균을 연평균 수익률로 사용하는 것이다. 산술평균은 항상 기하평균 이상이고, 수익률의 변동이 클수록 그 차이가 커진다. 여기서는 \(5\%\) 와 \(3.91\%\) 로 \(1.09\%\)p 차이가 난다. 변동이 없으면(매년 같은 수익률) 두 값은 일치한다.
확장 — 로그수익률의 이점은 기간을 나눌 때 드러난다. 3년 로그수익률이 \(0.11511\) 이면 1년분은 \(0.03837\), 반년분은 \(0.019185\), 한 달분은 \(0.11511/36 = 0.003198\) 이다. 나눗셈만 하면 된다. 단순수익률로 같은 계산을 하려면 매번 \(36\) 제곱근을 구해야 한다. 곱셈으로 결합되는 양의 분할이 로그를 취하면 나눗셈으로 바뀐다. 로그를 사용하는 이유가 여기에 있다.
문제 11 · \(50\%\) 하락 후 원래 가격으로 돌아오려면 ★☆☆#
상황 — 노경아가 \(80{,}000\) 원에 매수한 주식이 \(40{,}000\) 원이 되었다. 증권사 앱에는 “\(-50.0\%\)”로 표시된다. 노경아는 \(50\%\) 하락했으므로 \(50\%\) 상승하면 원래 가격이 된다고 판단했다. 친구는 \(100{,}000\) 원에 매수해 \(70{,}000\) 원이 된 주식을 보유하고 있다.
모형 설정 — 두 사람의 주식이 각각 원래 가격으로 회복하려면 현재 가격에서 몇 퍼센트 상승해야 하는지 구한다. 그리고 \(x\%\) 하락 뒤 필요한 상승률을 \(x\) 로 나타내는 식을 세운다. 핵심은 하락률과 상승률의 기준량이 서로 다르다는 점이다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 원래 가격 회복에 필요한 상승률 \(g\). ② 주어진 값 — 노경아: \(80{,}000 \to 40{,}000\). 친구: \(100{,}000 \to 70{,}000\). ③ 관계식 — 하락률 \(x\)(소수)로 떨어진 뒤 상승률 \(g\) 로 오르면 원래 가격으로 돌아온다는 조건은
풀이와 검산
노경아(\(x = 0.5\)):
\(40{,}000 \times 2 = 80{,}000\) 이다. 원래 가격이 되려면 두 배가 되어야 한다.
친구(\(x = 0.3\)):
\(70{,}000 \times 1.4286 = 100{,}002 \approx 100{,}000\) 으로 확인된다.
일반적으로 다음과 같다.
하락률 \(x\) |
필요한 상승률 \(g = \dfrac{x}{1-x}\) |
|---|---|
\(10\%\) |
\(+11.1\%\) |
\(20\%\) |
\(+25.0\%\) |
\(30\%\) |
\(+42.9\%\) |
\(50\%\) |
\(+100\%\) |
\(80\%\) |
\(+400\%\) |
\(90\%\) |
\(+900\%\) |
왼쪽 열의 \(x\) 는 ③에서 정의한 대로 하락 폭을 양수로 적은 값이다(\(-10\%\) 가 아니라 \(x = 0.1\)). 앱에 \(-10\%\) 로 표시된 종목이 첫 행에 해당한다.
답 — 노경아 \(+100\%\), 친구 \(+42.9\%\) 이다. “\(50\%\) 상승하면 원래 가격이 된다”는 판단은 성립하지 않는다.
검산 — 로그로 확인한다. \(\ln 0.5 = -0.6931\) 이므로 이를 상쇄하려면 \(+0.6931\) 이 필요하고, \(e^{0.6931} = 2\) 이므로 \(+100\%\) 이다. 로그 척도에서는 하락과 상승이 정확히 대칭이다(\(-0.6931\) 과 \(+0.6931\)). 비대칭으로 보이는 것은 단순수익률의 척도 때문이다.
빈번한 오류 — \(-50\%\) 와 \(+50\%\) 가 서로를 상쇄한다고 보는 것이다. \(-50\%\) 의 기준량은 \(80{,}000\) 원이고 \(+50\%\) 의 기준량은 \(40{,}000\) 원이다. 같은 “\(50\)”이 서로 다른 크기를 가리킨다(제6장의 기준량 문제가 그대로 나타난다). 실제로 \(-50\%\) 뒤 \(+50\%\) 이면 \(80{,}000 \times 0.5 \times 1.5 = 60{,}000\) 원으로 여전히 \(-25\%\) 이다.
확장 — 표의 아래쪽에서 \(-90\%\) 를 회복하려면 \(+900\%\) 가 필요하다. 손실을 조기에 확정하라는 조언의 수학적 근거가 이것이다. 표의 오른쪽 열은 \(x \to 1\) 에서 \(\dfrac{x}{1-x} \to \infty\) 로 발산한다. 분모가 \(0\) 에 접근하는 유리식의 전형적인 거동이다(제19장).
문제 12 · 연속복리와 이산복리의 차이 ★☆☆#
상황 — 금융 교과서에는 \(A = Pe^{rn}\) 이라는 식이 나온다. 매 순간 이자가 붙는다는 뜻이다. 실제 은행은 가장 자주 붙이는 경우에도 하루에 한 번이다. 임수빈은 이 식과 실제 은행 계산의 차이를 확인하려 한다. \(1\) 억 원, 연 \(3\%\), 10년으로 계산한다.
모형 설정 — 연 1회 복리, 월복리, 연속복리 세 가지로 10년 뒤 잔액을 각각 구하고 차이를 비교한다. 어느 것이 가장 크고 어느 것이 가장 작을지 계산하기 전에 예측을 적어 둔다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 세 방식의 10년 뒤 잔액. ② 주어진 값 — \(P = 100{,}000{,}000\) 원, 명목 연이율 \(r = 0.03\), \(n = 10\) 년. ③ 관계식 — 1년에 \(m\) 번 붙으면 기간이율은 \(r/m\), 기간 수는 \(mn\) 이다.
풀이와 검산
(계산기 사용)
방식 |
\(m\) |
배수 |
10년 뒤 잔액 |
|---|---|---|---|
연 1회 |
\(1\) |
\((1.03)^{10} = 1.343916\) |
\(134{,}391{,}638\) |
반기 |
\(2\) |
\((1.015)^{20} = 1.346855\) |
\(134{,}685{,}501\) |
분기 |
\(4\) |
\((1.0075)^{40} = 1.348349\) |
\(134{,}834{,}863\) |
매월 |
\(12\) |
\((1.0025)^{120} = 1.349354\) |
\(134{,}935{,}355\) |
매일 |
\(365\) |
\(1.349842\) |
\(134{,}984{,}217\) |
연속 |
\(\infty\) |
\(e^{0.3} = 1.349859\) |
\(134{,}985{,}881\) |
답 — 월복리와 연속복리의 차이는 \(134{,}985{,}881 - 134{,}935{,}355 = 50{,}526\) 원이다. \(1\) 억 원을 10년 운용해 생기는 차이가 \(5\) 만 원으로, 원금의 \(0.05\%\) 이다. 연 1회와 연속의 차이는 \(594{,}243\) 원으로 열 배 이상 크다.
검산 — 첫 단계의 증가폭이 가장 크고 이후 증가폭이 급격히 줄어드는지 확인한다. 연 1회 \(\to\) 반기에서 \(293{,}863\) 원, 반기 \(\to\) 분기에서 \(149{,}362\) 원, 분기 \(\to\) 월에서 \(100{,}492\) 원, 월 \(\to\) 일에서 \(48{,}862\) 원, 일 \(\to\) 연속에서 \(1{,}664\) 원이다. 증가폭이 계속 작아지며 \(0\) 으로 수렴한다. 앞 절의 표와 같은 형태이다.
빈번한 오류 — \(e^{rn}\) 에서 \(r\) 과 \(n\) 을 곱해 지수에 넣지 않고 \(e^{0.03}\) 만 계산하는 것이다. 이 경우 1년치 값이 나온다. 또 하나는 연속복리의 이득을 과대평가하는 것이다. 표에서 확인되듯 실제 차이는 작다. 연속복리를 사용하는 이유는 수익률이 크기 때문이 아니라 식이 다루기 쉽기 때문이다.
확장 — 이율이 높아지면 차이가 커진다. 1년 기준으로 월복리와 연속복리의 배수 차이를 비교한다.
명목 연이율 \(r\) |
월복리 \((1+r/12)^{12}\) |
연속 \(e^{r}\) |
차이 |
|---|---|---|---|
\(3\%\) |
\(1.030416\) |
\(1.030455\) |
\(0.0039\%\)p |
\(20\%\) |
\(1.219391\) |
\(1.221403\) |
\(0.2012\%\)p |
이율이 \(3\%\) 에서 \(20\%\) 로 약 \(6.7\) 배가 되는 동안 차이는 \(52\) 배가 되었다. \(6.7^2 \approx 44\) 와 비슷한 크기이다. 근거는 근사식에 있다. \(e^r - (1+r/m)^m \approx e^{r}\dfrac{r^{2}}{2m}\) 이므로 차이는 \(r\) 에 대해 제곱으로 커지고 \(m\) 에 반비례해 줄어든다. 따라서 복리 주기 문제는 예금(낮은 이율)보다 대출·연체이자(높은 이율)에서 훨씬 크게 나타난다. (본문의 \(5\) 만 원은 \(1\) 억 원을 \(10\) 년 운용한 누적 차이이므로, 위의 \(1\) 년 기준 수치와 직접 비교할 수 없다.)
문제 13 · 이자를 받고도 구매력이 감소하는 경우 ★★★#
상황 — 정순임은 2015년에 퇴직금 \(1{,}000\) 만 원을 연 \(3.5\%\) 짜리 10년 만기 예금에 넣었다. 2025년 만기 시점의 잔액은 \(1{,}410\) 만 원이다. 같은 10년 동안 물가는 매년 평균 \(2.5\%\) 씩 상승했다. 이때 실질 구매력이 실제로 증가했는지를 확인한다.
모형 설정 — 만기 금액이 2015년 가격 기준으로 얼마인지 구한다. 즉 2015년에 이 금액으로 구매할 수 있었던 만큼의 물건을 현재 구매하려면 얼마가 필요한지를 계산한다. 명목 이자율에서 물가상승률을 빼는 방법과 나누는 방법 중 무엇을 쓸 것인지를 먼저 정해야 한다. 두 방법의 답이 다르다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 만기 금액의 실질 구매력(2015년 가격 기준). ② 주어진 값 — \(P = 10{,}000{,}000\) 원, 명목 연이율 \(i = 3.5\%\), 물가상승률 \(\pi = 2.5\%\), \(n = 10\) 년. 명목은 화폐 금액 그대로, 실질은 물가 변동을 걷어낸 값이다(제38장). ③ 관계식 — 금액은 \((1+i)^n\) 배로 증가하고 물가는 \((1+\pi)^n\) 배로 상승한다. 구매할 수 있는 물건의 양은 그 비율이다.
풀이와 검산
(계산기 사용) 명목 만기금액.
10년간 물가 상승.
같은 품목 구성의 가격이 \(1.28\) 배가 되었다.
실질 구매력.
정확한 실질이자율.
답 — 잔액은 \(1{,}410\) 만 원이지만, 2015년 가격으로 환산하면 \(1{,}102\) 만 원에 해당한다. 10년간 증가한 실질 구매력은 \(102\) 만 원으로 연 \(0.98\%\) 이다. 명목 \(3.5\%\) 중 \(2.5\%\)p는 물가 상승으로 상쇄되었다.
검산 — 지수법칙으로 한 번에 계산한다.
나누어 구한 값과 같다. \(\dfrac{a^{10}}{b^{10}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{10}\) 이 그대로 확인된다.
빈번한 오류 — 실질이자율을 \(3.5 - 2.5 = 1.0\%\) 로 두는 것이다. 이 근사는 간단하지만 정확하지 않다. 근사로 계산하면 \(10{,}000{,}000 \times (1.01)^{10} = 11{,}046{,}221\) 원으로, 실제보다 \(26{,}646\) 원 크다. 뺄셈 근사가 성립하는 이유는 \(\frac{1+i}{1+\pi} \approx 1 + i - \pi\) 이기 때문이며, 이 근사는 \(\pi\) 가 작을 때만 유효하다. 물가상승률이 연 \(20\%\) 이면 이 근사는 성립하지 않는다.
확장 — 여기에 이자소득세 \(15.4\%\) 를 적용한다. 세금은 명목 이자에 부과된다. 명목 이자 \(4{,}105{,}988\) 원에 세금 \(632{,}322\) 원이 부과되어 세후 잔액은 \(13{,}473{,}666\) 원, 실질로는 \(10{,}525{,}603\) 원이다. 10년간 실질 증가분은 \(52\) 만 원, 연 \(0.51\%\) 로 줄어든다. 물가가 올라 명목 이자가 커지면 실질 소득이 증가하지 않아도 세액은 늘어나므로, 인플레이션은 실효세율을 높이는 효과를 낸다.
문제 14 · 할인율에 따라 달라지는 투자 판단 ★★★#
상황 — 중소기업 공장장이 지붕에 태양광 설비를 설치할 것을 제안했다. 설치비는 현재 \(1\) 억 원이고, 이후 10년간 매년 말 전기요금이 \(1{,}400\) 만 원씩 감소한다. 10년 뒤 설비의 잔존가치는 없다고 본다. 재무팀장은 회사의 자금조달비용이 연 \(6\%\) 라는 근거로 승인하려 했고, 대표는 회사가 다른 곳에 투자하면 연 \(10\%\) 를 얻을 수 있다는 근거로 부결했다.
모형 설정 — 두 할인율에서 각각 이 사업의 순현재가치(NPV, 미래 이득의 현재가치에서 현재의 지출을 뺀 값)를 구한다. 같은 사업에서 결론이 갈리는 이유를 설명해야 한다. 그리고 두 사람 중 누가 옳은지를 계산이 결정할 수 있는지도 판단한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — \(r = 6\%\) 와 \(r = 10\%\) 에서의 \(NPV\). ② 주어진 값 — 초기 지출 \(100{,}000{,}000\) 원(지금), 절감액 \(C = 14{,}000{,}000\) 원 \(\times\) 10회(매년 말). ③ 관계식 — 미래의 절감액을 모두 현재로 환산한 뒤 현재의 지출을 뺀다.
풀이와 검산
(계산기 사용) \(r = 6\%\). \((1.06)^{10} = 1.790848\), \((1.06)^{-10} = 0.558395\).
\(r = 10\%\). \((1.1)^{10} = 2.593742\), \((1.1)^{-10} = 0.385543\).
답 — \(6\%\) 에서는 \(+304\) 만 원, \(10\%\) 에서는 \(-1{,}398\) 만 원이다. 할인율 \(4\%\)p 차이가 판단을 반대로 바꾼다. 두 계산 모두 오류가 없으며, 서로 다른 가정을 입력한 결과이다.
검산 — 할인하지 않은 총액은 \(14{,}000{,}000 \times 10 = 140{,}000{,}000\) 원으로 지출 \(1\) 억 원보다 크다. \(10\%\) 에서 \(NPV\) 가 음수가 된 것은 할인이 그만큼 크게 작용했기 때문이다. 10년째 절감액 \(1{,}400\) 만 원의 현재가치는 \(14{,}000{,}000 \times 0.385543 = 5{,}397{,}602\) 원으로 원래 금액의 \(38.6\%\) 이다. 방향이 일치한다.
빈번한 오류 — 초기 지출까지 할인하는 것이다. 설치비는 현재 지출되는 금액이므로 \((1+r)^0 = 1\) 이고 할인하지 않는다. 반대로 절감액을 “1년 차부터”로 두고 \((1+r)^{0}\) 부터 시작하는 것도 빈번한 오류이다. 각 현금흐름의 시점을 명시적으로 적어 두고 세는 절차가 필요하다.
확장 — 두 결론이 갈리는 경계를 구한다. \(NPV = 0\) 이 되는 할인율을 내부수익률(IRR)이라 하며, 연금계수가 \(\dfrac{100{,}000{,}000}{14{,}000{,}000} = 7.142857\) 이 되는 \(r\) 을 찾으면 \(r \approx 6.64\%\) 이다(계산기로 시행착오). 즉 이 사업은 연 \(6.64\%\) 짜리 투자와 동일하다. 이렇게 표현하면 쟁점이 명확해진다. 재무팀장과 대표가 판단해야 할 것은 태양광 설비 자체가 아니라 회사가 \(6.64\%\) 보다 높은 수익률을 낼 다른 투자처를 가지고 있는가이다. 이 계산이 한 일은 결론을 정한 것이 아니라 판단해야 할 지점을 하나로 좁힌 것이다.
문제 15 · 선이자 거래의 실효 연이율 ★★★#
상황 — 단기 자금이 필요한 사람에게 어떤 업자가 다음과 같이 제안한다. “\(300\) 만 원 빌려 드립니다. 선이자 \(30\) 만 원만 떼고 \(270\) 만 원 드릴게요. \(30\) 일 뒤에 \(300\) 만 원만 갚으시면 됩니다.” 업자는 한 달에 \(10\%\) 이므로 부담이 크지 않다고 설명한다. 한국의 법정 최고금리는 연 \(20\%\) 이다.
모형 설정 — 이 거래의 연 이자율을 구한다. 먼저 정할 것이 두 가지이다. 첫째, \(30\) 만 원의 이자를 무엇에 대한 비율로 볼 것인가 — 계약서에 적힌 \(300\) 만 원인가, 실제로 수령한 \(270\) 만 원인가. 둘째, 연으로 환산할 때 \(30\) 일치를 더해서 열두 번으로 볼 것인가 곱해서 열두 번으로 볼 것인가.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 이 거래의 실효 연이율. ② 주어진 값 — 실제 수령액 \(2{,}700{,}000\) 원, \(30\) 일 뒤 상환액 \(3{,}000{,}000\) 원. ③ 관계식 — 이자율의 기준량은 실제로 사용한 금액이다. 수령액이 \(270\) 만 원이므로
풀이와 검산
\(30\) 일 이자율.
업자가 제시한 “\(10\%\)”는 \(\dfrac{300{,}000}{3{,}000{,}000}\) 으로 계산한 값이다. 기준량을 계약금액으로 잡으면 실제보다 작게 나온다.
단순 연환산(APR).
실효 연이율. (계산기 사용)
답 — 단순 환산으로 연 \(135.2\%\), 복리로 반복된다고 보면 연 \(260.3\%\) 이다. 법정 최고금리 \(20\%\) 의 \(6.8\) 배에서 \(13\) 배에 해당한다. “한 달에 \(10\%\)”라는 표현이 나타내지 않는 부분이 이것이다.
검산 — 로그로 확인한다. \(\ln(1.11111) = 0.105361\), \(\times 12.1667 = 1.281886\), \(e^{1.281886} = 3.6034\) 로 일치한다. 72의 법칙으로도 확인한다. 월 \(11.11\%\) 이면 \(72/11.11 \approx 6.5\) 개월마다 부채가 두 배가 된다. 12개월이면 두 배가 \(12/6.5 \approx 1.85\) 번 발생하므로 \(2^{1.85} \approx 3.6\) 배이다. 위 결과와 일치한다.
빈번한 오류 — 선이자를 원금에서 뺀 뒤에도 기준량을 원래의 \(300\) 만 원으로 두는 것이다. 선이자 방식은 기준량을 줄여 이율이 낮게 표시되도록 하는 구조이다. 같은 이자라도 만기에 받으면 \(10\%\), 먼저 공제하면 \(11.11\%\) 이다. 또 하나는 “\(10\% \times 12 = 120\%\)”로 계산을 끝내는 것이다. 이 계산은 기준량도 잘못되었고 복리도 반영하지 않았다.
확장 — 같은 \(270\) 만 원을 법정 최고금리 연 \(20\%\) 로 \(30\) 일 빌렸다면 이자는 \(2{,}700{,}000 \times 0.20 \times \dfrac{30}{365} = 44{,}384\) 원이다. 실제로 지급한 \(30\) 만 원은 그 \(6.8\) 배이다. 계산 자체는 사칙연산 수준이지만, 이 한 줄을 계산하지 않은 상태에서 이런 거래가 이루어진다.
문제 16 · 28년 만에 여덟 배가 된 자산의 연평균 상승률 ★★★#
상황 — 1996년에 \(8{,}000\) 만 원에 매입한 아파트가 2024년에 \(6\) 억 \(4{,}000\) 만 원이 되었다. 28년 만에 여덟 배이다. 이에 대해 “\(800\%\) 를 \(28\) 로 나누면 \(28\%\) 이므로 연 \(25\%\) 정도”라는 계산이 제시되었다. 같은 기간 물가는 연평균 \(2.5\%\) 씩 상승했다.
모형 설정 — 이 아파트의 연평균 상승률을 구한다. “\(800\%\) 를 \(28\) 로 나눈다”가 성립하지 않는 이유를 설명해야 한다. 그리고 이 상승률을 명목으로 볼 것인가 실질로 볼 것인가도 정해야 한다. 두 답이 크게 다르다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 연평균 상승률 \(g\)(명목), 그리고 물가를 걷어낸 \(g_{\text{실질}}\). ② 주어진 값 — \(P_0 = 80{,}000{,}000\) 원, \(P_{28} = 640{,}000{,}000\) 원, \(n = 28\) 년, 물가상승률 \(\pi = 2.5\%\). ③ 관계식 — 매년 같은 비율로 상승했다고 보면 \((1+g)^{28} = 8\) 이다. 지수 자리의 \(28\) 을 끌어내리려면 로그를 사용한다.
풀이와 검산
배수.
연평균 상승률. (계산기 사용) \(\ln 8 = 2.079442\).
실질.
답 — 명목 연평균 \(7.71\%\), 물가를 제거한 실질 연평균 \(5.08\%\) 이다. 앞에서 제시된 “\(28\%\)”와는 크게 다르다.
검산 — 72의 법칙으로 확인한다. 여덟 배는 두 배가 세 번이므로 두 배가 되는 데 \(28 \div 3 = 9.33\) 년이 걸린 것이고, \(72 \div 9.33 = 7.71\%\) 이다. 정확값과 소수 둘째 자리까지 일치한다. 실질도 확인한다. 물가는 28년간 \((1.025)^{28} = 1.9965\) 배로 약 두 배가 되었다. 따라서 실질 배수는 \(8 \div 1.9965 = 4.007\) 이고, 명목 여덟 배는 실질 네 배에 해당한다. \((1.050822)^{28} = 4.007\) 로도 확인된다.
빈번한 오류 — 오류가 두 가지이다. 첫째, 여덟 배가 된 것은 \(800\%\) 가 된 것이지 \(800\%\) 오른 것이 아니다. 상승 폭은 \(+700\%\) 이다(제6장의 기준량 문제가 그대로 나타난다). 둘째, 총 상승률을 햇수로 나누는 것이다. 상승률은 해마다 곱해지며 더해지지 않는다. 연 \(28\%\) 로 28년이면 \((1.28)^{28} \approx 1{,}004\) 배가 된다. \(8\) 배와 \(1{,}004\) 배는 서로 비교할 수 있는 크기가 아니다. 문제 10의 산술평균 오류와 같은 종류이며, 기간이 길어질수록 오차가 크게 벌어진다.
확장 — 이 \(7.71\%\) 를 예금과 비교할 때는 주의가 필요하다. 아파트는 대출을 포함해 매입하는 경우가 많다. \(8{,}000\) 만 원 중 \(4{,}000\) 만 원이 자기 자금이었다면, 자기 자금 기준 수익률은 훨씬 높아지는 대신 위험도 두 배가 된다(레버리지). 한편 아파트는 매각 전까지 현금화되지 않고, 매각 시 양도세가 부과된다. 같은 \(7.71\%\) 라도 어떤 자산에서 산출된 값인지에 따라 성격이 다르다.
적용 범위와 한계#
\((1+r)^n\) 은 적용 범위가 넓은 만큼 많은 요인을 생략한다. 무엇이 생략되었는지를 확인하고 사용해야 한다.
\(r\) 은 확정된 값과 기대되는 값을 구분하지 않는다. 예금 \(3\%\) 와 주식 기대수익률 \(8\%\) 를 같은 \(r\) 자리에 대입하면, 하나는 계약으로 확정된 값이고 다른 하나는 평균값이라는 구분이 식에서 사라진다. 문제 4는 매년 정확히 \(5\%\) 인 경로를 가정했으나 실제 수익률은 그렇게 움직이지 않으며, 문제 10에서 확인했듯 평균이 같아도 변동이 있으면 결과는 작아진다. 위험을 다루려면 이 장의 도구만으로는 충분하지 않다.
할인율은 계산의 결과가 아니라 입력이다. 문제 14에서 같은 사업이 \(6\%\) 에서 통과되고 \(10\%\) 에서 부결되었다. 어느 쪽도 계산 오류가 아니다. 특히 기후변화나 연금처럼 수십 년 뒤를 다루는 문제에서는 할인율 \(1\%\)p 차이가 결론을 반대로 바꾼다. \(50\) 년 뒤 \(1\) 억 원의 현재가치는 \(r = 2\%\) 이면 \(3{,}715\) 만 원, \(r = 5\%\) 이면 \(872\) 만 원이다. 할인율을 누가 어떤 근거로 선택했는지 확인하지 않으면, 계산은 이미 정해진 결론을 뒷받침하는 절차가 된다.
실제 사람의 시간 선호는 이 식과 다르다. 이 장의 할인은 시간이 두 배가 되면 할인도 지수적으로 강해지는 매끄러운 식이다. 그러나 실제로는 “오늘 \(10\) 만 원 대 내일 \(11\) 만 원”에서는 오늘을 선택하면서 “1년 뒤 \(10\) 만 원 대 1년 하고 하루 뒤 \(11\) 만 원”에서는 뒤를 선택하는 경향이 관찰된다. 가까운 미래를 더 가파르게 할인하는 이 성향은 지수함수로 설명되지 않는다. 리볼빙과 고금리 대출이 이용되는 이유의 상당 부분은 이자율이 아니라 이 성향에 있다.
스톡과 플로우는 서로 다른 양이다. 대출잔액 \(3\) 억 원은 특정 시점에 존재하는 **양(스톡)**이고, 월 상환액 \(157\) 만 원은 기간마다 흐르는 **양(플로우)**이다. 문제 7에서 이자는 스톡에 이율을 곱해 얻은 플로우였다. 두 양을 더하거나 직접 비교하면 오류가 발생한다. 국가부채(스톡)와 재정적자(플로우)를 혼용하는 것도 같은 종류의 혼동이다.
복리 모형에는 상한이 없다. \((1+r)^n\) 은 \(n\) 이 커지면 얼마든지 커진다. 그러나 실제 경제에는 시장 규모, 인구, 자원의 제약이 있다. 연 \(7\%\) 성장이 \(100\) 년간 이어지면 \(868\) 배가 되는데, 그러한 성장을 \(100\) 년간 지속한 경제는 없다. 장기 예측에서 지수함수를 그대로 연장하면 현실과 어긋난다. 이 식은 개인의 예금처럼 기간과 규모가 제한된 대상에 가장 잘 맞는다.
이 장의 계산 대부분은 세금, 수수료, 물가를 포함하지 않는다. 문제 13에서 확인했듯 이 항목들을 반영하면 결과가 뚜렷하게 달라진다. 금융 계산을 읽을 때 먼저 확인할 것은 그 수치가 세전인지 세후인지, 명목인지 실질인지이다.
요약과 다음 장#
이 장은 하나의 식에서 출발했다.
여기에서 파생된 식을 정리한다.
도구 |
식 |
쓰는 자리 |
|---|---|---|
복리 |
\(A = P(1+r)^n\) |
예금, 대출잔액, 물가 |
72의 법칙 |
\(n \approx \dfrac{72}{R}\) |
암산으로 두 배 시점 |
현재가치 |
\(PV = FV(1+r)^{-n}\) |
미래 금액의 오늘 값 |
연속복리 |
\(A = Pe^{rn}\) |
이론·모형 계산 |
로그수익률 |
\(\ell = \ln\dfrac{P_1}{P_0}\) |
기간을 더해 잇기 |
적립 미래가치 |
\(FV = C\dfrac{(1+r)^n - 1}{r}\) |
적금, 연금저축 |
정기지급 현재가치 |
\(PV = C\dfrac{1-(1+r)^{-n}}{r}\) |
연금, 대출, 사업 평가 |
일곱 개의 식이지만 기억할 내용은 두 가지이다. 첫째, 시간이 지나며 곱해지는 양은 지수함수로 증가한다. 둘째, 곱을 덧셈으로 바꾸려면 로그를 취한다. 나머지는 이 두 가지에서 유도할 수 있다.
이 장의 내용을 익히면 다음과 같은 확인이 가능해진다. 표시된 “연 \(5\%\)”에 대해서는 이자가 몇 번 붙는 \(5\%\) 인지를 먼저 확인하고, “3년 평균 수익률”에 대해서는 더한 값인지 곱한 값인지를 확인한다. “\(28\) 년에 여덟 배가 됐다”(\(800\%\) 가 된 것이지 \(800\%\) 오른 것이 아니다. 상승 폭은 \(+700\%\) 이다)는 서술에서 연 \(7.7\%\) 를 산출하고, “무이자”라는 표현에서 포기한 현금할인을 확인한다. 이 장이 제공하는 것은 계산 속도가 아니라 표시된 수치를 해석하는 기준이다.
지금까지 세 장에서 다룬 것은 모두 시간이 만드는 차이이다. 물가는 시간이 지나며 화폐의 가치를 바꾸고(제38장), 이자는 시간이 지나며 화폐의 양을 바꾼다. 경제학의 다른 영역은 시간이 아니라 선택을 다룬다. 구매자와 판매자가 만나 가격이 결정되는 상황, 한정된 예산으로 소비 항목을 결정하는 상황에는 다른 도구가 필요하다.
제40장에서는 수요와 공급을 두 개의 함수로 두고 그 교점을 연립방정식으로 구한다(제18장). 하나의 값을 계산하는 것이 아니라 두 조건이 동시에 성립하는 점을 찾는 작업이며, 미적분에서 다룬 최적화(제31장)가 최적 선택과 어떻게 연결되는지도 함께 다룬다.