# 제39장 · 이자와 시간 — 곱으로 쌓이는 것

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **사용 도구** | [제7장](../part1/ch07.md) 거듭제곱 · [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙 · [제19장](../part2/ch19.md) 유리식 · [제22장](../part3/ch22.md) 지수·로그함수 |
| **선행 내용** | [제38장](ch38.md) 물가와 화폐 |
| **요지** | 돈이 시간에 따라 **덧셈으로 누적되는지 곱셈으로 누적되는지**를 구분하면, 이자·할인·수익률은 모두 $(1+r)^n$ 하나의 변형으로 정리된다. |
:::

## 도입

은행 창구에 게시되는 안내문 세 가지를 나란히 놓는다.

> **정기예금** 연 $3.5\%$ (12개월, 만기일시지급)
> **정기적금** 연 $4.0\%$ (12개월, 매월납입)
> **신용대출** 연 $6.9\%$ ~ $15.9\%$ (원리금균등, 최장 60개월)

표시된 숫자만 비교하면 적금이 예금보다 유리해 보인다. 같은 금액을 넣으면 적금이 더 많은 이자를 준다고 읽히기 때문이다. 그러나 1년 뒤의 실제 이자를 확인하면 적금 이자는 예금 이자의 **절반 정도**에 그친다. 두 상품에서 "$1$ 년"이 가리키는 기간의 의미가 서로 다르기 때문이다.

세 번째 줄도 같다. "연 $15.9\%$"는 $1{,}000$ 만 원을 빌리면 $159$ 만 원을 더 갚는다는 뜻이 아니다. 5년 만기 원리금균등 대출이라면 실제로 더 내는 금액은 그보다 크고, 매달 원금을 갚아 나가는 구조를 반영하면 계산 방식에 따라 더 작아지기도 한다.

이러한 혼동은 금융 용어에 대한 지식 부족에서 오는 것이 아니라, **덧셈으로 누적되는 양과 곱셈으로 누적되는 양을 구분하지 않는 데서** 발생한다. 이 장에서 사용하는 도구는 하나의 식이다.

$$A = P(1+r)^n$$

이 식에서 복리, 72의 법칙, 현재가치, 연속복리, 로그수익률, 연금이 모두 파생된다. 각각을 개별 공식으로 기억할 필요는 없다. 지수법칙([제12장](../part2/ch12.md))과 로그함수([제22장](../part3/ch22.md))는 앞에서 다루었으므로, 남은 작업은 **경제 용어를 이 식의 각 자리에 대응시키는 일**이다.

먼저 용어를 정리한다.

| 용어 | 뜻 |
|---|---|
| **원금**($P$, principal) | 처음 넣은(빌린) 돈. |
| **이자율**($r$, interest rate) | 한 기간 동안 원금에 붙는 비율. 연 $5\%$ 면 $r = 0.05$. |
| **기간 수**($n$) | 이자가 붙는 횟수. "연"이 아니라 **횟수**임에 주의한다. |
| **원리금**($A$) | 원금 + 이자. 만기에 손에 쥐는 총액. |

## 단리와 복리 — 덧셈 누적과 곱셈 누적

**단리**(單利, simple interest)는 이자를 항상 **처음 원금에만** 붙이는 방식이다. 붙은 이자는 원금에 합산되지 않으므로 다시 이자를 발생시키지 않는다.

$$A = P + Pr + Pr + \cdots = P(1 + rn)$$

**복리**(複利, compound interest)는 붙은 이자를 원금에 합산하고, 다음 해에는 그 합계에 이자를 붙이는 방식이다. 이자가 다시 이자를 발생시킨다.

$100$ 만 원을 연 $5\%$ 로 예치한 경우를 1년 단위로 계산한다. 공식을 적용하기 전에, 한 해가 지날 때 잔액이 어떻게 변하는지를 확인한다.

**1년 뒤.** 원금 $1{,}000{,}000$ 원에 이자 $1{,}000{,}000 \times 0.05 = 50{,}000$ 원이 붙는다.

$$1{,}000{,}000 + 1{,}000{,}000 \times 0.05 = 1{,}000{,}000 \times (1 + 0.05) = 1{,}050{,}000$$

이 변형이 이 절의 핵심이다. **"원금 더하기 이자"를 "원금 곱하기 $(1+0.05)$"로 고쳐 쓴 것이다.** 분배법칙([제13장](../part2/ch13.md))으로 $1{,}000{,}000$ 을 묶어냈을 뿐이지만, 덧셈이 곱셈으로 바뀐다. 곱셈으로 표현되면 같은 연산의 반복이 거듭제곱이 된다.

**2년 뒤.** 원금 자리에 들어가는 금액은 $1{,}050{,}000$ 원이다.

$$1{,}050{,}000 \times (1+0.05) = 1{,}000{,}000 \times (1+0.05) \times (1+0.05) = 1{,}000{,}000 \times (1.05)^2 = 1{,}102{,}500$$

**3년 뒤.**

$$1{,}000{,}000 \times (1.05)^3 = 1{,}157{,}625$$

$n$ 년 뒤의 금액은 $(1.05)$ 를 $n$ 번 곱한 값이다. 같은 수를 $n$ 번 곱하는 연산은 거듭제곱([제7장](../part1/ch07.md))이므로,

$$\boxed{A = P(1+r)^n}$$

두 방식을 비교한다. 원금 $100$ 만 원, 연 $5\%$ 이다.

| 햇수 | 단리 $P(1+rn)$ | 복리 $P(1.05)^n$ | 차이 |
|---:|---:|---:|---:|
| 1년 | $1{,}050{,}000$ | $1{,}050{,}000$ | $0$ |
| 2년 | $1{,}100{,}000$ | $1{,}102{,}500$ | $2{,}500$ |
| 3년 | $1{,}150{,}000$ | $1{,}157{,}625$ | $7{,}625$ |
| 10년 | $1{,}500{,}000$ | $1{,}628{,}895$ | $128{,}895$ |
| 30년 | $2{,}500{,}000$ | $4{,}321{,}942$ | $1{,}821{,}942$ |

1년째의 차이는 $0$ 이다. 3년째의 차이도 $7{,}625$ 원으로 작다. 그러나 30년째에는 차이가 원금의 $1.8$ 배가 된다. **단리는 일차함수로 증가하고 복리는 지수함수로 증가한다.** 기간이 짧으면 두 값이 거의 같고, 기간이 길어지면 차이가 급격히 커진다. 복리의 효과가 크게 강조되는 근거는 이 표의 마지막 행이다.

주의할 점이 하나 있다. 지수함수의 증가는 $r$ 보다 **$n$** 에 크게 의존한다. $r$ 은 밑에 들어 있고 $n$ 은 지수 자리에 있으므로, $n$ 이 커질 때의 변화가 훨씬 크다. 따라서 복리에서는 이자율의 크기보다 기간의 길이가 결과를 더 크게 좌우한다.

```{image} /_static/figs/ch39_simple_vs_compound.svg
:alt: 연 7%에서 30년 뒤 단리는 310, 복리는 761
:width: 480px
:align: center
:class: chfig
```


## 72의 법칙 — 상수 72의 근거

투자에서 널리 쓰이는 어림셈이 있다. **"$72$ 를 수익률(%)로 나누면 원금이 두 배가 되는 햇수가 나온다."** 연 $6\%$ 이면 $72 \div 6 = 12$ 년, 연 $8\%$ 이면 $9$ 년이다. 이 상수 $72$ 는 다음과 같이 유도된다.

두 배가 되는 시점은 $P(1+r)^n = 2P$ 인 $n$ 이다. 양변을 $P$ 로 나누면

$$(1+r)^n = 2$$

지수 자리에 있는 $n$ 을 끌어내리는 도구가 로그이다([제22장](../part3/ch22.md)). 양변에 자연로그를 취하면 $\ln(1+r)^n = n\ln(1+r)$ 이므로

$$n = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$$

여기서 두 가지 근사를 사용한다. 첫째, $\ln 2 \approx 0.693$ 이다. 둘째, $r$ 이 작을 때 $\ln(1+r) \approx r$ 이다. (두 번째 근사는 $y = \ln(1+x)$ 의 그래프가 원점 부근에서 기울기 $1$ 인 직선에 접한다는 사실에서 나온다. $r = 0.05$ 일 때 $\ln 1.05 = 0.04879$ 로, $0.05$ 와의 차이는 $2.4\%$ 이다.)

$$n \approx \frac{0.693}{r}$$

$r$ 을 소수 대신 퍼센트 값으로 표기하려면 분자와 분모에 $100$ 을 곱한다. $r = R/100$ 이므로

$$n \approx \frac{0.693}{R/100} = \frac{69.3}{R}$$

즉 **유도에서 직접 나오는 상수는 $72$ 가 아니라 $69.3$** 이다. 다만 $69.3/R$ 역시 근삿값이다. 여기에 이르기까지 $\ln(1+r) \approx r$ 이라는 근사를 이미 한 번 사용했기 때문이다. **정확한 값은 $n = \dfrac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ 이며, $72$ 와 $69.3$ 은 모두 이를 대신하는 근삿값이다.** 그럼에도 $69.3$ 대신 $72$ 를 사용하는 이유는 두 가지이다.

첫째, **암산의 편의**이다. $69.3$ 은 나눗셈이 간단한 수가 아니다. $72$ 의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72$ 로 열두 개이므로, 자주 쓰이는 이자율 $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12\%$ 로 나누면 모두 정수가 된다.

둘째, **$\ln(1+r) \approx r$ 근사가 항상 한쪽으로 치우치는 점에 대한 보정**이다. $\ln(1+r)$ 은 항상 $r$ 보다 작으므로 $69.3/R$ 은 실제보다 짧게 나온다. $72$ 를 사용하면 이 편향이 상쇄된다.

| 연이율 $R$ | $72/R$ | $69.3/R$ | 정확값 $\ln 2/\ln(1{+}r)$ |
|---:|---:|---:|---:|
| $2\%$ | $36.0$ | $34.7$ | $35.0$ |
| $3\%$ | $24.0$ | $23.1$ | $23.4$ |
| $4\%$ | $18.0$ | $17.3$ | $17.7$ |
| $6\%$ | $12.0$ | $11.6$ | $11.9$ |
| $8\%$ | $9.0$ | $8.7$ | $9.0$ |
| $10\%$ | $7.2$ | $6.9$ | $7.3$ |
| $12\%$ | $6.0$ | $5.8$ | $6.1$ |

$8\%$ 부근에서 $72$ 의 오차가 가장 작고(정확히는 $R \approx 7.85\%$ 에서 $72/R$ 이 정확값과 일치한다), 이자율이 매우 낮거나($2\%$) 매우 높으면($12\%$ 이상) 오차가 커진다. 표의 $8\%$ 행에서 $72/R$ 과 정확값이 모두 $9.0$ 으로 일치하는 것이 그 지점이다. $6\%$ 에서는 $12.0$ 과 $11.9$ 로 약 $0.9\%$ 크게 나온다. 이 법칙은 근사식이므로 정확값을 대신하지 않는다.

이 법칙은 **역방향으로도 사용된다.** 두 배가 되는 데 걸린 햇수를 알면 수익률을 추정할 수 있다. $9$ 년 만에 두 배가 되었다면 연 $72/9 = 8\%$ 정도이다. 네 배는 "두 배가 두 번"이므로 $2n$, 여덟 배는 $3n$ 이다. 여기에서도 **곱셈이 로그를 통해 덧셈으로 바뀐다**는 이 장의 주제가 나타난다.

## 현재가치 — 미래 금액을 현재 시점으로 환산하기

"$3$ 년 뒤에 $100$ 만 원을 드리겠습니다"와 "지금 $100$ 만 원을 드리겠습니다"는 같은 제안이 아니다. 지금 받은 금액은 $3$ 년간 운용하여 $3$ 년 뒤 $100$ 만 원보다 큰 금액으로 만들 수 있기 때문이다. **미래의 같은 금액은 현재의 금액보다 가치가 작다.** 이를 화폐의 시간가치(time value of money)라 한다.

미래의 $100$ 만 원에 대응하는 현재 금액은 $(1+r)^n$ 을 역방향으로 적용하여 구한다. $A = P(1+r)^n$ 을 $P$ 에 대해 풀기 위해 양변을 $(1+r)^n$ 으로 나눈다.

$$P = \frac{A}{(1+r)^n}$$

금융에서는 이 $P$ 를 **현재가치**(PV, present value), $A$ 를 **미래가치**(FV, future value)라 하고, 여기 쓰인 $r$ 은 이자율이 아니라 **할인율**(discount rate)이라 한다.

$$\boxed{PV = \frac{FV}{(1+r)^n} = FV \cdot (1+r)^{-n}}$$

오른쪽 표현이 중요하다. 지수법칙 $a^{-n} = 1/a^n$([제12장](../part2/ch12.md))에 따라 **할인은 지수의 부호를 바꾸는 연산이다.** 복리로 미래 시점으로 이동하는 것과 할인으로 과거 시점으로 이동하는 것이 같은 연산의 방향만 다른 경우임은 다음 식에서 확인된다.

$$(1+r)^{n} \times (1+r)^{-n} = (1+r)^{n-n} = (1+r)^0 = 1$$

$n$ 년 후로 이동한 뒤 다시 $n$ 년 할인하면 원래 값으로 돌아온다. 이 성질이 금융 계산 전체의 기초가 된다.

예를 들어 할인율 연 $3\%$ 에서 $10$ 년 뒤의 $100$ 만 원은

$$PV = \frac{1{,}000{,}000}{(1.03)^{10}} = \frac{1{,}000{,}000}{1.343916} \approx 744{,}094 \text{ 원}$$

같은 $100$ 만 원이라도 할인율에 따라 현재가치가 달라진다.

| 할인율 | $10$ 년 뒤 $100$ 만 원의 현재가치 |
|---:|---:|
| $1\%$ | $905{,}287$ 원 |
| $3\%$ | $744{,}094$ 원 |
| $5\%$ | $613{,}913$ 원 |
| $10\%$ | $385{,}543$ 원 |

할인율이 높을수록 미래 금액의 현재가치는 작아진다. **할인율은 외부에서 주어지는 상수가 아니라 계산하는 사람이 선택하는 값이다.** 같은 사업이라도 $6\%$ 로 할인하면 통과되고 $10\%$ 로 할인하면 부결되는 경우가 발생한다(문제 14).

```{image} /_static/figs/ch39_pv.svg
:alt: 할인율 5%일 때 미래 100만 원의 현재가치
:width: 480px
:align: center
:class: chfig
```


## 복리 횟수와 $e$ — 분할 횟수의 극한

"연 $10\%$"라는 표시는 이자를 언제 붙이는지를 지정하지 않는다. 1년에 한 번 붙일 수도 있고 매달 붙일 수도 있다. 1년에 $m$ 번 나누어 붙인다면 한 번에 붙는 이자율은 $r/m$ 이고 붙는 횟수는 $m$ 번이므로, 1년 뒤 원금 $1$ 원은

$$\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m}$$

이 된다. $m$ 을 계속 키우면 이 값이 무한히 커지는지를 $r = 0.1$ (연 $10\%$)에서 확인한다.

| 이자 붙는 주기 | $m$ | $\left(1+\dfrac{0.1}{m}\right)^{m}$ | $100$ 만 원의 1년 뒤 |
|---|---:|---:|---:|
| 연 1회 | $1$ | $1.100000$ | $1{,}100{,}000$ |
| 반기 | $2$ | $1.102500$ | $1{,}102{,}500$ |
| 분기 | $4$ | $1.103813$ | $1{,}103{,}813$ |
| 매월 | $12$ | $1.104713$ | $1{,}104{,}713$ |
| 매일 | $365$ | $1.105156$ | $1{,}105{,}156$ |
| 매시간 | $8760$ | $1.105170$ | $1{,}105{,}170$ |
| (극한) | $\infty$ | $1.105171$ | $1{,}105{,}171$ |

이 값은 무한히 커지지 않고 $1.105171$ 로 수렴한다. 분할을 잘게 할수록 값이 증가하지만 증가폭은 급격히 줄어들어, 매일 붙이는 경우와 매 순간 붙이는 경우의 차이는 $100$ 만 원 기준 $15$ 원이다.

이 극한값은 $r = 1$ 일 때 가장 명확하게 드러난다. $\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m$ 은 $m = 1$ 에서 $2$, $m = 12$ 에서 $2.61304$, $m = 365$ 에서 $2.71457$, 그리고 극한에서

$$\lim_{m \to \infty}\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m} = e = 2.718281828\ldots$$

[제22장](../part3/ch22.md)에서 정의로 도입한 $e$ 가 여기에서 다시 나타난다. $e$ 는 임의로 정한 수가 아니라 **이자를 연속적으로 붙일 때 1년 동안의 증가 배수**이다. 일반적인 $r$ 에서는 $m = r \cdot k$ 로 치환하면

$$\left(1+\frac{r}{m}\right)^{m} = \left[\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\right]^{r} \longrightarrow e^{r}$$

이고, $n$ 년이면 지수법칙에 따라 $(e^r)^n = e^{rn}$ 이다. 이것을 **연속복리**(continuous compounding)라 한다.

$$\boxed{A = Pe^{rn}}$$

실무에서 연속복리로 이자를 지급하는 예금은 없다. 그럼에도 금융이론이 $e^{rn}$ 을 사용하는 이유는 계산이 간단하기 때문이다. $e^{rn}$ 은 미분해도 자기 자신의 상수배이고([제29장](../part3/ch29.md)), 기간을 이어 붙일 때 $e^{rn_1} \cdot e^{rn_2} = e^{r(n_1+n_2)}$ 로 지수만 더하면 된다. 다음 절의 로그수익률은 이 성질에 기초한다.

```{image} /_static/figs/ch39_compounding_freq.svg
:alt: 복리 횟수를 늘리면 (1+1/m)^m 이 e 로 다가간다
:width: 460px
:align: center
:class: chfig
```


## 로그수익률 — 곱을 덧셈으로 바꾸기

주가가 $10{,}000$ 원에서 $12{,}000$ 원이 되면 수익률은 $+20\%$ 다. 기준량이 처음 값이므로 $(12000-10000)/10000 = 0.2$([제6장](../part1/ch06.md)). 이것을 **단순수익률**이라 한다.

여러 해의 수익률을 이어 붙일 때 문제가 발생한다. 1년 차 $+20\%$, 2년 차 $-15\%$ 인 경우 2년 수익률은 $+5\%$ 가 아니다. 수익률은 **곱해지는** 양이기 때문이다.

$$1.20 \times 0.85 = 1.02 \quad\Rightarrow\quad +2\%$$

수익률은 덧셈이 아니라 곱셈으로 결합된다. 곱을 덧셈으로 바꾸는 도구가 로그이다([제22장](../part3/ch22.md)의 $\ln(ab) = \ln a + \ln b$). 이에 따라 금융에서는 **로그수익률**(log return)을 정의한다.

$$\boxed{\ell = \ln\frac{P_1}{P_0}}$$

이렇게 정의하면 기간을 잇는 연산이 덧셈이 된다.

$$\ln\frac{P_2}{P_0} = \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{P_1}{P_0}\right) = \ln\frac{P_2}{P_1} + \ln\frac{P_1}{P_0}$$

$P_1 = P_0 e^{\ell}$ 이므로 로그수익률은 연속복리로 환산한 수익률과 같다. 두 수익률의 관계는 다음과 같다.

| 단순수익률 $R$ | 배수 $1+R$ | 로그수익률 $\ln(1+R)$ |
|---:|---:|---:|
| $+100\%$ | $2.00$ | $+0.6931$ |
| $+50\%$ | $1.50$ | $+0.4055$ |
| $+10\%$ | $1.10$ | $+0.0953$ |
| $0\%$ | $1.00$ | $0$ |
| $-10\%$ | $0.90$ | $-0.1054$ |
| $-50\%$ | $0.50$ | $-0.6931$ |

표의 오른쪽 열에서 $+100\%$ 와 $-50\%$ 의 로그수익률은 부호만 다르다($\pm 0.6931$). 단순수익률에서는 두 배가 되는 경우와 절반이 되는 경우가 $100$ 과 $50$ 으로 비대칭이지만, 로그수익률에서는 **대칭**이다. 이 대칭성 때문에 통계 처리가 간단해진다.

"$+50\%$ 뒤 $-50\%$"인 경우를 로그로 다시 계산한다.

$$\ln 1.5 + \ln 0.5 = 0.4055 - 0.6931 = -0.2877$$

합이 $0$ 이 아니므로 원래 값으로 돌아오지 않는다. 실제 배수는 $e^{-0.2877} = 0.75$, 즉 $-25\%$ 이다. **로그 척도에서 $+50\%$ 는 $0.4055$ 이고 $-50\%$ 는 $0.6931$ 이므로, 같은 "$50\%$"라도 하락 쪽의 크기가 더 크다.** 단순수익률의 눈금이 상승과 하락에 대해 대칭이 아니라는 사실이 로그로 나타난다.

:::{admonition} 로그수익률을 쓰지 말아야 할 때
:class: warning
로그수익률은 **시간 방향으로 더할** 때에만 유효하다. 한 시점에서 여러 종목을 묶어 포트폴리오 수익률을 계산할 때는 사용할 수 없다. 포트폴리오 수익률은 각 종목 단순수익률의 가중평균이며, 로그수익률의 가중평균이 아니다.
:::

## 등비수열의 합 — 적금과 연금의 계산 근거

앞에서는 단일 금액을 운용하는 경우를 다루었다. 적금은 매달 새로운 금액을 납입하고, 연금은 매년 금액을 수령한다. 이러한 흐름을 다루려면 항이 여러 개인 합이 필요하다.

매년 말 $100$ 만 원씩 $3$ 년 납입하고 연 $5\%$ 복리라면, $3$ 년째 말의 합계는 다음과 같다. 첫해 납입금은 $2$ 년, 둘째 해 납입금은 $1$ 년, 셋째 해 납입금은 $0$ 년 동안 이자가 붙는다.

$$S = 100 \cdot (1.05)^2 + 100 \cdot (1.05)^1 + 100 \cdot (1.05)^0 \quad (\text{단위: 만 원})$$

인접한 항의 비가 일정한($\times 1.05$) 수열을 **등비수열**이라 하고, 그 합에는 닫힌 형태의 공식이 있다. 첫 항 $a$, 공비 $q$, 항 수 $n$ 으로 두고 유도한다.

$$S = a + aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1}$$

양변에 $q$ 를 곱하면 **한 항씩 이동한 같은 형태의 식**이 나온다.

$$qS = \phantom{a + {}} aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1} + aq^{n}$$

두 식을 빼면 가운데 항이 모두 소거되고 양 끝 항만 남는다.

$$S - qS = a - aq^{n} \quad\Rightarrow\quad S(1-q) = a(1-q^{n})$$

$q \neq 1$ 이면 양변을 $1-q$ 로 나눈다([제19장](../part2/ch19.md)).

$$\boxed{S = a\,\frac{1-q^{n}}{1-q} = a\,\frac{q^{n}-1}{q-1}}$$

두 표현은 분자·분모에 동시에 $-1$ 을 곱한 같은 식이다. $q > 1$ 일 때는 오른쪽 표현이 다루기 쉽다.

이 공식은 금융에서 두 가지 형태로 나타난다.

**① 적립의 미래가치(적금).** 매 기간 말 $C$ 씩 $n$ 번 납입하고 기간이율이 $r$ 이면, $a = C$, $q = 1+r$ 이므로

$$FV = C\,\frac{(1+r)^{n}-1}{r}$$

**② 정기 지급의 현재가치(연금·대출).** 매 기간 말 $C$ 씩 $n$ 번 수령하는 것을 현재 값으로 환산하면, 각 항은 $C(1+r)^{-1}, C(1+r)^{-2}, \ldots$ 이므로 $a = C/(1+r)$, $q = 1/(1+r)$ 이다.

$$PV = \frac{C}{1+r}\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{1-\frac{1}{1+r}} = \frac{C}{1+r}\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{\frac{r}{1+r}} = C\,\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$$

$$\boxed{PV = C\,\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}}$$

두 식을 개별적으로 기억할 필요는 없다. **등비수열의 합과 할인이 $(1+r)^{-n}$ 이라는 사실** 두 가지에서 그때마다 유도할 수 있다. 이 장의 나머지 문제 중 절반이 이 두 식의 변형이다.

## 시나리오 문제

### 문제 1 · 같은 연 $4\%$ 인데 이자가 절반  ★★☆

**상황** — 김영수는 1년 뒤 결혼 자금으로 $1{,}200$ 만 원을 만들 계획이다. 은행에 가니 두 가지 길이 있다. 하나는 $1{,}200$ 만 원을 지금 한 번에 넣는 **정기예금 연 $4\%$**, 다른 하나는 매달 초 $100$ 만 원씩 12번 넣는 **정기적금 연 $4\%$** 다. 창구 직원은 "적금은 만기까지 매달 넣으신 돈에 각각 남은 기간만큼 이자가 붙습니다"라고 설명했다.

**모형 설정** — 두 상품의 1년 뒤 이자를 각각 구한다. 적금에서는 **매달 납입한 $100$ 만 원에 각각 몇 개월치 이자가 붙는지**를 먼저 정해야 한다. 열두 번의 납입금 모두에 12개월치 이자가 붙는다고 볼 것인지, 납입 시점마다 다르다고 볼 것인지에 따라 답이 달라진다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 예금 이자 $I_{\text{예}}$, 적금 이자 $I_{\text{적}}$.
② **주어진 값** — 월 납입 $1{,}000{,}000$ 원 $\times$ 12회(총 $12{,}000{,}000$ 원), 연이율 $4\%$, 은행 적금은 월할 단리로 계산한다.
③ **관계식** — 월이율은 $\dfrac{0.04}{12} = \dfrac{1}{300}$ 이다. 첫 달 납입금에는 12개월, 둘째 달에는 11개월, …, 열두째 달에는 1개월치 이자가 붙는다. 이자가 붙는 개월 수의 합은 $12 + 11 + \cdots + 1 = \dfrac{12 \cdot 13}{2} = 78$ 이므로
$$I_{\text{적}} = 1{,}000{,}000 \times \frac{1}{300} \times 78, \qquad I_{\text{예}} = 12{,}000{,}000 \times 0.04$$
④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 비율, [제19장](../part2/ch19.md) 유리식, 등비수열이 아닌 등차수열의 합 $\frac{n(n+1)}{2}$
⑤ **모형의 한계** — 이 계산은 $1{,}200$ 만 원을 현재 보유하고 있다고 가정한다. 적금 가입자는 그 금액을 아직 보유하지 않은 상태에서 매달 납입하는 경우가 많으므로, 두 상품은 동일한 조건의 선택지가 아니다. 이자 금액만으로 우열을 판단할 수 없다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**적금.** 월이율 $\frac{0.04}{12} = \frac{1}{300} \approx 0.003333$.

$$I_{\text{적}} = 1{,}000{,}000 \times \frac{1}{300} \times 78 = 1{,}000{,}000 \times \frac{78}{300} = 1{,}000{,}000 \times 0.26 = 260{,}000$$

**예금.**

$$I_{\text{예}} = 12{,}000{,}000 \times 0.04 = 480{,}000$$

**비교.** $\dfrac{260{,}000}{480{,}000} = 0.5417$

**답** — 적금 이자 $260{,}000$ 원, 예금 이자 $480{,}000$ 원이다. 적금 이자는 예금 이자의 약 $54\%$ 이다. 표기이율은 둘 다 연 $4\%$ 이지만, 적금의 실제 수익률은 $260{,}000 \div 12{,}000{,}000 = 2.17\%$ 이다.

**검산** — 이자가 붙는 개월 수의 평균은 $78 \div 12 = 6.5$ 개월이다. 즉 적금 납입금은 평균 $6.5$ 개월 동안 예치된다. $12$ 개월 예치되는 예금과 비교하면 $6.5/12 = 0.5417$ 로, 위에서 얻은 비율과 일치한다.

**빈번한 오류** — "연 $4\%$ 이므로 $1{,}200$ 만 원의 $4\%$ 인 $48$ 만 원"이라고 계산하는 것이다. 적금에서 "연 $4\%$"는 **각 납입금이 예치된 기간에 대한** 연이율이며, 총 납입액 전체에 대한 것이 아니다. 기준량을 잘못 잡으면 두 배에 가까운 오차가 발생한다.

**확장** — 이자소득세 $15.4\%$ 를 반영하면 세후 이자는 적금 $260{,}000 \times 0.846 = 219{,}960$ 원, 예금 $480{,}000 \times 0.846 = 406{,}080$ 원이다. 세금은 두 상품에 같은 비율로 부과되므로 순위는 바뀌지 않는다. 은행이 적금 이율을 예금보다 높게 책정하는 이유가 여기에 있다. 표기이율이 같으면 적금의 실제 수익이 예금보다 크게 낮기 때문이다.
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### 문제 2 · "12개월 무이자"의 값  ★★☆

**상황** — 박미정은 냉장고를 사려 한다. 매장에서 두 가지를 제시했다. 카드 **12개월 무이자 할부**로 사면 정가 $2{,}400{,}000$ 원을 매달 $200{,}000$ 원씩 12번 낸다. 현금(또는 일시불)으로 사면 $2{,}160{,}000$ 원으로 깎아 준다. 박미정의 여윳돈은 월 $0.4\%$(연 $4.8\%$) 이자를 주는 파킹통장에 들어 있다.

**모형 설정** — 어느 쪽의 실질 부담이 작은지 판단한다. 총액만 비교하면 $240$ 만 원과 $216$ 만 원이지만, 할부는 지급 시점이 뒤로 밀린다는 차이가 있다. **12번의 할부금을 어떤 기준으로 환산해 $216$ 만 원과 비교할 것인가**를 먼저 정해야 하고, 환산에 사용할 이자율도 선택해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
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① **미지량** — 할부금 12회의 현재가치 $PV$.
② **주어진 값** — 매달 말 $200{,}000$ 원씩 12회, 월 할인율 $i = 0.004$, 비교 대상은 지금 지불하는 $2{,}160{,}000$ 원.
③ **관계식** — 서로 다른 시점의 금액은 직접 더할 수 없다. 모두 **같은 시점(현재)**으로 환산해야 한다. 정기 지급의 현재가치 공식으로
$$PV = 200{,}000 \times \frac{1-(1.004)^{-12}}{0.004}$$
④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙(음의 지수), 등비수열의 합, [제19장](../part2/ch19.md) 유리식
⑤ **모형의 한계** — 할부는 현금 보유량을 유지시킨다. 예상하지 못한 지출이 발생할 가능성이 있다면 현금을 보유하는 것 자체에 가치가 있으나, 이 계산에는 그 가치가 반영되어 있지 않다. 반대로 할부는 현재 지불 능력을 넘는 소비를 가능하게 하여 불필요한 지출을 늘리기도 한다. 이 효과도 계산에 포함되지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
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(계산기 사용) $(1.004)^{12} = 1.049070$ 이므로 $(1.004)^{-12} = \dfrac{1}{1.049070} = 0.953225$.

$$\frac{1 - 0.953225}{0.004} = \frac{0.046775}{0.004} = 11.693738$$

$$PV = 200{,}000 \times 11.693738 = 2{,}338{,}748 \text{ 원}$$

**답** — 할부의 현재가치는 $2{,}338{,}748$ 원으로, 현금가 $2{,}160{,}000$ 원보다 $178{,}748$ 원 비싸다. **현금가가 유리하다.** "무이자"는 이자가 없다는 뜻이 아니라, **현금할인을 포기하는 형태로 이자를 낸다**는 뜻이다.

**검산** — 할인하지 않고 그대로 더하면 $200{,}000 \times 12 = 2{,}400{,}000$ 원이다. 할인 후가 $2{,}338{,}748$ 원이므로 지급 시점을 미루어 얻는 이익은 $61{,}252$ 원이다. 이 이익이 현금할인액 $240{,}000$ 원보다 작으므로 현금 지급이 유리하다. 두 계산이 일치한다.

**빈번한 오류** — "무이자이므로 추가 비용이 없다"고 판단하는 것이다. 무이자 할부의 수수료는 카드사나 판매점이 부담하고, 그 비용은 정가에 이미 반영되어 있다. 현금할인이 있는 매장에서 무이자 할부를 선택하는 것은 그 할인을 포기하는 대가로 지급 시점을 미루는 거래이다.

**확장** — 두 선택지가 같아지는 할인율을 구한다. $200{,}000 \times \frac{1-(1+i)^{-12}}{i} = 2{,}160{,}000$ 을 풀면 $i \approx 0.0166$, 즉 **월 $1.66\%$** 이다(계산기로 시행착오). 연 실효이율로는 $(1.0166)^{12} - 1 \approx 21.8\%$ 이다. 보유 자금을 연 $21.8\%$ 이상으로 운용할 수 있는 경우에만 무이자 할부가 유리하다. 파킹통장 $4.8\%$ 는 이 기준에 크게 못 미친다.
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### 문제 3 · 암산으로 두 배가 되는 시점 구하기  ★☆☆

**상황** — 세 사람이 각자의 자금 상황을 말한다. 정민은 연 $3\%$ 정기예금, 수현은 기대수익률 연 $6\%$ 인 인덱스펀드, 태호는 연 $12\%$ 짜리 카드론 $500$ 만 원을 가지고 있다. 각각 언제 두 배가 되는지를 계산기 없이 확인한다.

**모형 설정** — 세 사람의 금액이 각각 두 배가 되는 데 걸리는 햇수를 암산으로 구한다. 그리고 태호의 부채가 **네 배**가 되는 데 걸리는 햇수도 구한다. 네 배가 되는 기간이 두 배가 되는 기간의 절반인지 두 배인지를 먼저 정해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
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① **미지량** — 각각 $(1+r)^n = 2$ 를 만족하는 $n$.
② **주어진 값** — $r = 3\%, 6\%, 12\%$ 이다. 그리고 $\ln 2 \approx 0.693$ 이고, $r$ 이 작으면 $\ln(1+r) \approx r$ 이다.
③ **관계식** — $n = \dfrac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \dfrac{69.3}{R} \approx \dfrac{72}{R}$ ($R$ 은 퍼센트 숫자). 네 배는 $(1+r)^{n} = 4 = 2^2$ 이므로 $\ln 4 = 2\ln 2$, 곧 두 배 기간의 두 배.
④ **사용 도구** — [제22장](../part3/ch22.md) 로그함수, [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙
⑤ **모형의 한계** — 예금 $3\%$ 는 계약으로 확정된 이율이고 펀드 $6\%$ 는 **기대값**이다. 72의 법칙은 두 수를 동일하게 처리하므로, 수현의 "$12$ 년"은 정민의 "$24$ 년"과 성격이 다르다. 확정된 수익과 평균적인 수익을 같은 척도로 다루면 위험이 계산에서 제외된다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
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$$\text{정민: } \frac{72}{3} = 24\text{ 년}, \qquad \text{수현: } \frac{72}{6} = 12\text{ 년}, \qquad \text{태호: } \frac{72}{12} = 6\text{ 년}$$

태호의 부채가 네 배가 되는 데는 $6 \times 2 = 12$ 년이 걸린다. $500$ 만 원이 $2{,}000$ 만 원이 된다.

**답** — $24$ 년 / $12$ 년 / $6$ 년이고, 태호의 부채가 네 배가 되는 기간은 $12$ 년이다.

**검산** — 정확값과 비교한다. $\ln 2 / \ln 1.03 = 0.693147/0.029559 = 23.4$ 년, $\ln 2/\ln 1.06 = 0.693147/0.058269 = 11.9$ 년, $\ln 2/\ln 1.12 = 0.693147/0.113329 = 6.1$ 년이다. 셋 다 오차가 $2.5\%$ 이내이다. 태호의 경우 정확값은 $12.2$ 년이다.

**빈번한 오류** — 네 배가 되는 기간을 "$72/12 = 6$ 을 반으로 나눈 $3$ 년"으로 두는 것이다. 더 크게 증가하는 데 시간이 **덜** 걸릴 수는 없다. 근거는 $\ln 4 = 2\ln 2$ 이며, 여기에서 네 배가 되는 기간은 두 배가 되는 기간의 **두 배**($6 \times 2 = 12$ 년)임이 나온다. "$144/12 = 12$"는 우연이 아니라 타당한 계산이다. $144/R = 2 \times (72/R)$ 이므로 "두 배 기간의 두 배"를 한 번에 쓴 것이다. 네 배를 직접 구하려면 $144$ 를 나누면 된다. 여덟 배는 $\ln 8 = 3\ln 2$ 이므로 $6 \times 3 = 18$ 년이다(같은 방식으로 $216/R$). **배수는 곱해지고 그에 걸리는 시간은 더해진다.** 이 장의 핵심 관계가 여기에 나타난다.

**확장** — 72의 법칙은 물가에도 동일하게 적용된다([제38장](ch38.md)). 물가상승률이 연 $3\%$ 로 유지되면 $24$ 년 뒤 물가는 두 배가 되고, 화폐의 구매력은 절반이 된다. 정민의 예금이 연 $3\%$ 이면 $24$ 년 뒤 잔액은 두 배이지만 구매할 수 있는 물건의 양은 변하지 않는다.
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### 문제 4 · 서른 살의 $1{,}000$ 만 원  ★☆☆

**상황** — 이준호는 서른 살에 여윳돈 $1{,}000$ 만 원이 생겼다. 이 돈을 연 $5\%$ 로 굴려 예순 살까지 30년간 한 번도 손대지 않기로 했다. 옆자리 동료는 "30년이면 $5\% \times 30 = 150\%$ 니까 $2{,}500$ 만 원쯤 되겠네"라고 말한다.

**모형 설정** — 30년 뒤 잔액을 구한다. 동료의 계산이 어긋난 지점을 한 문장으로 설명해야 한다. **이자를 매년 인출하는 경우와 재투자하는 경우 중 어느 쪽을 계산하는지**를 먼저 정한다.

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:class: tip
① **미지량** — 30년 뒤 원리금 $A$.
② **주어진 값** — $P = 10{,}000{,}000$, $r = 0.05$, $n = 30$, 이자는 찾지 않고 재투자한다.
③ **관계식** — 이자를 인출하지 않으면 다음 해의 원금이 되므로 곱셈이 반복된다.
$$A = 10{,}000{,}000 \times (1.05)^{30}$$
④ **사용 도구** — [제7장](../part1/ch07.md) 거듭제곱, [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙
⑤ **모형의 한계** — 30년 동안 연 $5\%$ 가 변동 없이 유지되는 상품은 없다. 이 계산은 매년 정확히 $5\%$ 인 경로를 가정한 것이다. 실제 수익률은 해마다 $-8\%$, $+15\%$ 등으로 변동하며, 산술평균이 같더라도 결과는 이보다 작아지는 것이 일반적이다(문제 10).
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
(계산기 사용) 먼저 $(1.05)^{10}$ 을 구하고 세제곱한다. 지수법칙 $(a^{10})^3 = a^{30}$ 을 쓰면 계산 횟수가 줄어든다.

$$(1.05)^{10} = 1.628895, \qquad (1.05)^{30} = (1.628895)^3 = 4.321942$$

$$A = 10{,}000{,}000 \times 4.321942 = 43{,}219{,}424 \text{ 원}$$

단리라면 $10{,}000{,}000 \times (1 + 0.05 \times 30) = 25{,}000{,}000$ 원이다.

**답** — 약 $4{,}322$ 만 원이다. 동료의 $2{,}500$ 만 원보다 $1{,}822$ 만 원 많다. 동료의 계산은 **이자에 다시 이자가 붙는 것**을 반영하지 않았다.

**검산** — 72의 법칙으로 확인한다. $72/5 = 14.4$ 년마다 두 배가 된다. 30년은 $14.4$ 년이 두 번($28.8$ 년) 지나고 조금 더 남는 기간이다. 두 배가 두 번이면 네 배이므로 $4{,}000$ 만 원을 조금 넘어야 한다. $4{,}322$ 만 원은 이 범위에 들어온다.

**빈번한 오류** — $(1.05)^{30}$ 을 $1.05 \times 30 = 31.5$ 로 계산하는 것이다. 지수는 곱셈의 반복 횟수이지 곱하는 수가 아니다. 또 하나는 계산기에 $1.05\ \wedge\ 30$ 대신 $0.05\ \wedge\ 30$ 을 입력하는 것이다. 이 경우 $0$ 에 가까운 값이 나온다. 밑은 **$1$ 을 더한 값**이다.

**확장** — 시작 시점을 바꾼 경우를 계산한다. 마흔 살에 시작해 20년 운용하면 $10{,}000{,}000 \times (1.05)^{20} = 26{,}532{,}977$ 원이다. 시작이 10년 늦어지면 $1{,}669$ 만 원이 줄어든다. 줄어든 부분은 **마지막 10년 구간**에 해당한다. 복리에서 가장 큰 증가분을 만드는 것은 초기 원금이 아니라 후반의 기간이다.
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### 문제 5 · 매달 $30$ 만 원, 3년 뒤  ★★☆

**상황** — 최지원은 3년 뒤 중고차를 사려고 매달 말 $300{,}000$ 원씩 자동이체를 설정했다. 이 금액은 월 $0.5\%$(연 $6\%$ 명목)로 매월 복리가 붙는 상품에 납입된다. 3년 뒤의 잔액을 구한다.

**모형 설정** — 36회 납입한 금액의 만기 원리금을 구한다. 각 납입금은 이자가 붙는 기간이 서로 다르다. **첫 달 납입금에 이자가 붙는 개월 수**부터 정해야 하고, 이어서 36개 항을 하나씩 더할지 등비수열의 합으로 묶을지를 선택한다.

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① **미지량** — 36개월 뒤 총액 $S$.
② **주어진 값** — 매달 **말** $C = 300{,}000$ 원, 월이율 $i = 0.005$, $n = 36$ 회.
③ **관계식** — 매달 말에 납입하므로 첫 달 납입금에는 만기까지 $35$ 개월치, 마지막 납입금에는 $0$ 개월치 이자가 붙는다.
$$S = 300{,}000\left[(1.005)^{35} + (1.005)^{34} + \cdots + (1.005)^{1} + 1\right]$$
대괄호 안은 첫 항 $1$, 공비 $1.005$, 항 수 $36$ 인 등비수열의 합이므로
$$S = 300{,}000 \times \frac{(1.005)^{36}-1}{0.005}$$
④ **사용 도구** — 등비수열의 합, [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙, [제19장](../part2/ch19.md) 유리식
⑤ **모형의 한계** — 이 식은 36회 납입이 한 번도 누락되지 않는다고 가정한다. 실제 적금은 한 달만 납입이 지연되어도 이율이 낮아지거나 만기가 연장된다. 중도해지 시에는 약정이율이 아니라 훨씬 낮은 중도해지이율이 적용되는데, 그 가능성은 이 식에 포함되어 있지 않다.
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(계산기 사용) $(1.005)^{36} = 1.196681$.

$$\frac{1.196681 - 1}{0.005} = \frac{0.196681}{0.005} = 39.3361$$

$$S = 300{,}000 \times 39.3361 = 11{,}800{,}831 \text{ 원}$$

원금은 $300{,}000 \times 36 = 10{,}800{,}000$ 원이므로 이자는

$$11{,}800{,}831 - 10{,}800{,}000 = 1{,}000{,}831 \text{ 원}$$

**답** — 약 $11{,}800{,}831$ 원이다(이자 약 $100$ 만 원).

**검산** — 단리로 근사하여 확인한다. 이자가 붙는 개월 수의 합은 $0 + 1 + \cdots + 35 = \frac{35 \cdot 36}{2} = 630$ 이므로 단리 이자는 $300{,}000 \times 0.005 \times 630 = 945{,}000$ 원이다. 복리 이자 $1{,}000{,}831$ 원은 이보다 $55{,}831$ 원 많다. 복리 이자가 단리보다 크되 차이가 크지 않은 것은 기간이 3년으로 짧기 때문이다. 방향과 크기가 모두 일치한다.

**빈번한 오류** — 총 납입액 $1{,}080$ 만 원 전체에 3년치 이자를 붙여 $10{,}800{,}000 \times (1.005)^{36} = 12{,}924{,}155$ 원으로 계산하는 것이다. 마지막 달에 납입한 $30$ 만 원에는 이자가 붙을 기간이 없다. 또 하나는 "연 $6\%$ 이므로 $(1.06)^3$"으로 계산하는 것이다. 이자가 매월 붙으므로 기간 수는 $3$ 이 아니라 $36$ 이고, 기간이율은 $6\%$ 가 아니라 $0.5\%$ 이다.

**확장** — 매달 **초**에 납입하면 모든 납입금에 한 달치 이자가 더 붙으므로 결과에 $(1.005)$ 를 한 번 더 곱한다. $11{,}800{,}831 \times 1.005 = 11{,}859{,}835$ 원으로 $59{,}004$ 원 차이가 난다. 이체일을 말일에서 1일로 변경하는 것만으로 발생하는 차이이다. 다만 국내 은행 적금은 대부분 이 식이 아니라 문제 1의 월할 단리 방식을 사용한다.
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### 문제 6 · 일시금과 연금의 비교  ★★☆

**상황** — 한정숙은 퇴직을 앞두고 회사에서 두 가지 안을 받았다. 하나는 지금 일시금 $2$ 억 원, 다른 하나는 앞으로 20년간 매년 말 $1{,}400$ 만 원씩 받는 연금이다. 연금 총액은 $2$ 억 $8{,}000$ 만 원으로 일시금보다 $8{,}000$ 만 원 많다. 한정숙은 일시금을 받으면 그 금액을 연 $4\%$ 짜리 채권에 넣을 계획이다.

**모형 설정** — 두 안을 비교한다. $2$ 억 $8{,}000$ 만 원과 $2$ 억 원을 직접 비교할 수 없는 이유를 먼저 밝혀야 한다. 비교가 가능하려면 **두 금액을 어느 시점으로 모을 것인가**, 그리고 **할인율로 무엇을 쓸 것인가**를 정해야 한다.

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① **미지량** — 20년 연금의 현재가치 $PV$.
② **주어진 값** — $C = 14{,}000{,}000$ 원, $n = 20$ 회(매년 말), 할인율 $r = 0.04$(일시금을 받으면 실제로 얻을 수 있는 수익률), 일시금 $200{,}000{,}000$ 원.
③ **관계식** — 각 해의 수령액을 현재 시점으로 환산해 더한다. 등비수열의 합으로 묶으면
$$PV = 14{,}000{,}000 \times \frac{1-(1.04)^{-20}}{0.04}$$
④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 음의 지수, 등비수열의 합
⑤ **모형의 한계** — 이 연금은 **20년 확정지급**이므로 20년을 넘겨 생존하면 그 이후에는 지급이 없다. **장수에 따른 위험은 한정숙이 부담한다.** 종신연금(life annuity)이라면 그 위험을 회사가 부담하지만, 이 문제의 조건은 그것이 아니다. 일시금을 선택해도 조건은 같아서, 자금을 모두 사용한 뒤에도 생존할 수 있다. 이 계산에는 수명이 포함되어 있지 않다. 회사가 20년간 지급 능력을 유지한다는 보장도 이 식의 범위 밖이다.
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(계산기 사용) $(1.04)^{20} = 2.191123$ 이므로 $(1.04)^{-20} = \dfrac{1}{2.191123} = 0.456387$.

$$\frac{1 - 0.456387}{0.04} = \frac{0.543613}{0.04} = 13.590325$$

$$PV = 14{,}000{,}000 \times 13.590325 = 190{,}264{,}550 \text{ 원}$$

**답** — 연금의 현재가치는 약 $1$ 억 $9{,}026$ 만 원으로, 일시금 $2$ 억 원보다 약 $974$ 만 원 적다. 연 $4\%$ 로 운용할 수 있다면 **일시금이 유리하다.** 총액이 $8{,}000$ 만 원 많게 계산된 것은, 20년 뒤에 받는 $1{,}400$ 만 원을 현재의 $1{,}400$ 만 원과 같은 값으로 더했기 때문이다.

**검산** — 반대 방향으로 확인한다. 일시금 $2$ 억 원을 연 $4\%$ 로 운용하면서 매년 말 $1{,}400$ 만 원씩 인출할 때 20년간 유지되는지를 본다. 20년 뒤 잔액은
$$200{,}000{,}000 \times 2.191123 - 14{,}000{,}000 \times \frac{2.191123 - 1}{0.04} = 438{,}224{,}600 - 416{,}893{,}050 = 21{,}331{,}550$$
$2{,}133$ 만 원이 남는다. 연금과 동일하게 20년간 $1{,}400$ 만 원씩 인출하고도 잔액이 남으므로, 일시금이 유리하다는 결론과 일치한다.

**빈번한 오류** — 마지막 회차만 할인해 $\dfrac{280{,}000{,}000}{(1.04)^{20}}$ 으로 계산하는 것이다. 20회차 수령액은 각각 다른 시점에 발생하므로 각각 다른 지수로 할인해야 한다. 첫 회차는 $(1.04)^{-1}$, 스무째 회차는 $(1.04)^{-20}$ 이다.

**확장** — 할인율을 낮추면 결론이 반대가 된다. $r = 3.44\%$ 부근에서 연금의 현재가치가 정확히 $2$ 억 원이 되고, 그보다 낮으면 연금이 유리하다(계산기로 시행착오). 즉 이 판단의 실질은 연금과 일시금의 비교가 아니라 **자금을 $3.44\%$ 보다 높은 수익률로 운용할 수 있는지 여부**이다. 예금금리가 $2\%$ 인 시기에는 연금이, $5\%$ 인 시기에는 일시금이 유리하다.
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### 문제 7 · 첫 달 상환금의 $76\%$ 는 이자다  ★★☆

**상황** — 서른여덟 살 윤태식이 $3$ 억 원을 연 $4.8\%$, 30년 만기 **원리금균등상환**으로 빌려 집을 샀다. 원리금균등상환이란 매달 갚는 금액이 일정하고, 그 안에서 이자와 원금의 비중만 달라지는 방식이다. 첫 달 고지서에 $1{,}573{,}996$ 원이 기재되었다. $3$ 억 원을 360회로 나누면 한 달에 $83$ 만 원인데 고지액이 $157$ 만 원인 이유를 확인한다.

**모형 설정** — 첫 달에 납부한 $1{,}573{,}996$ 원 중 이자와 원금이 각각 얼마인지 구한다. **이자를 어떤 금액에 대해 매길 것인가** — 처음 빌린 $3$ 억 원인가, 아직 갚지 않은 잔액인가 — 를 정해야 한다. 월 상환액 $1{,}573{,}996$ 원이 산출된 근거도 확인한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 첫 달 이자 $I_1$, 첫 달 원금상환액 $B_1$.
② **주어진 값** — 대출잔액 $300{,}000{,}000$ 원, 월이율 $i = \dfrac{0.048}{12} = 0.004$, $n = 360$, 월 상환액 $M = 1{,}573{,}996$ 원.
③ **관계식** — 이자는 **직전 달 말 잔액**에 월이율을 곱한 값이고, 상환액에서 이자를 뺀 나머지가 원금을 감소시킨다.
$$I_1 = 300{,}000{,}000 \times 0.004, \qquad B_1 = M - I_1$$
$M$ 자체는 "360회 상환액의 현재가치 = 대출원금"에서 나온다.
$$300{,}000{,}000 = M\,\frac{1-(1.004)^{-360}}{0.004} \quad\Rightarrow\quad M = 300{,}000{,}000 \times \frac{0.004\,(1.004)^{360}}{(1.004)^{360}-1}$$
④ **사용 도구** — 등비수열의 합, [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙, [제19장](../part2/ch19.md) 유리식
⑤ **모형의 한계** — 이 식은 금리가 30년간 $4.8\%$ 로 고정된다고 가정한다. 국내 주택담보대출은 대부분 변동금리이거나 5년 고정 후 변동이므로, 실제 상환액은 중간에 변경된다. 중도상환수수료, 조기상환 가능성, 주택가격 변동도 이 식에 포함되어 있지 않다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**첫 달 이자.**

$$I_1 = 300{,}000{,}000 \times 0.004 = 1{,}200{,}000 \text{ 원}$$

**첫 달 원금.**

$$B_1 = 1{,}573{,}996 - 1{,}200{,}000 = 373{,}996 \text{ 원}$$

이자가 차지하는 비중은 $\dfrac{1{,}200{,}000}{1{,}573{,}996} = 0.7624$.

**둘째 달.** 잔액은 $300{,}000{,}000 - 373{,}996 = 299{,}626{,}004$ 원이므로

$$I_2 = 299{,}626{,}004 \times 0.004 = 1{,}198{,}504 \text{ 원}, \qquad B_2 = 375{,}492 \text{ 원}$$

**답** — 첫 달 $1{,}573{,}996$ 원 중 이자가 $1{,}200{,}000$ 원($76.2\%$), 원금이 $373{,}996$ 원($23.8\%$)이다. 한 달이 지나도 원금은 $3$ 억 원 중 $37$ 만 원만 감소한다.

**검산** — 월 상환액을 확인한다. (계산기 사용) $(1.004)^{360} = 4.208590$ 이므로
$$M = 300{,}000{,}000 \times \frac{0.004 \times 4.208590}{4.208590 - 1} = 300{,}000{,}000 \times \frac{0.01683436}{3.208590} = 1{,}573{,}996$$
고지서 금액과 일치한다.

**빈번한 오류** — 연이율 $4.8\%$ 를 그대로 쓰고 $n = 30$ 으로 계산하는 것이다. 상환이 매달 이루어지므로 기간 수는 $360$, 기간이율은 $0.4\%$ 이다. 또 하나는 "원리금균등이므로 원금도 매달 같은 금액만큼 줄어든다"고 보는 것이다. 일정한 것은 **합계**이고, 원금 부분은 매달 조금씩 커진다($373{,}996 \to 375{,}492 \to \cdots$).

**확장** — 30년간 총 상환액은 $1{,}573{,}996 \times 360 = 566{,}638{,}560$ 원이고, 그중 이자는 $266{,}638{,}560$ 원이다. 빌린 원금의 $88.9\%$ 를 이자로 추가 부담한다. 금리가 $1\%$p 올라 $5.8\%$ 가 되면($i = 0.058/12$, $n = 360$) 월 상환액은 $1{,}760{,}259$ 원으로 $186{,}263$ 원($11.8\%$) 증가한다. 금리 $1\%$p 변동이 크게 다뤄지는 근거가 이 수치이다.
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### 문제 8 · $5.0\%$ 가 $5.1\%$ 보다 유리한 경우  ★☆☆

**상황** — 예금 상품 두 개가 나란히 게시되어 있다. **A은행**은 "연 $5.0\%$, 매월 이자를 원금에 더해 드립니다"라고 표시했고, **B은행**은 "연 $5.1\%$, 만기에 한 번 드립니다"라고 표시했다. 조민아는 $1{,}000$ 만 원을 1년간 예치하려 한다.

**모형 설정** — 어느 쪽의 이자가 큰지 판단한다. 표시된 $5.0\%$ 와 $5.1\%$ 는 같은 기준의 수가 아니다. **두 수를 같은 기준으로 비교하려면 무엇으로 변환해야 하는가**를 먼저 정해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — A의 1년 실효수익률(연 환산 실제 수익률).
② **주어진 값** — A: 표시이율 $5.0\%$, 월 $12$ 회 복리. B: 표시이율 $5.1\%$, 연 $1$ 회.
③ **관계식** — 표시된 수는 **APR**(연이율, 이자가 붙는 횟수를 반영하지 않고 기간이율에 횟수를 곱해 표기한 값)이고, 실제로 붙는 비율은 **APY**(연 실효수익률)이다. 둘의 관계는
$$\text{APY} = \left(1 + \frac{\text{APR}}{m}\right)^{m} - 1, \qquad m = 12$$
④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙, [제7장](../part1/ch07.md) 거듭제곱
⑤ **모형의 한계** — 이 비교는 두 은행의 안전성, 중도해지 조건, 예금자보호 한도가 동일하다고 가정한다. 이 가정이 성립하지 않으면 $1{,}619$ 원의 차이는 판단 기준이 되지 못한다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
(계산기 사용) A의 월이율은 $\dfrac{0.05}{12} = 0.00416667$.

$$\left(1 + \frac{0.05}{12}\right)^{12} = (1.00416667)^{12} = 1.051162$$

$$\text{APY}_A = 5.1162\%, \qquad \text{APY}_B = 5.1000\%$$

$1{,}000$ 만 원 기준 이자는

$$A: 10{,}000{,}000 \times 0.051162 = 511{,}619 \text{ 원}, \qquad B: 10{,}000{,}000 \times 0.051 = 510{,}000 \text{ 원}$$

**답** — **A가 $1{,}619$ 원 많다.** 표시이율은 A가 $0.1\%$p 낮지만, 매월 복리가 그 차이를 상쇄하고도 남는다.

**검산** — 본문 「복리 횟수와 $e$」 절의 표와 비교한다. 연 $10\%$ 를 월복리로 나누면 $10\%$ 가 $10.47\%$ 가 되어 비율로는 $4.7\%$ 증가한다. 여기에서도 $5.0 \to 5.1162$ 로 $2.3\%$ 증가했다. 이자율이 절반이면 복리에 의한 증가분도 대략 절반이므로 방향이 일치한다.

**빈번한 오류** — "매월 이자를 준다"와 "매월 이자를 **원금에 더해 준다**"를 구분하지 않는 것이다. 이자를 매월 인출해 사용하면 복리가 아니라 단리이고, 이 경우 A는 정확히 $5.0\%$ 이다. 복리는 이자가 **다시 원금에 합산될 때만** 발생한다.

**확장** — 대출에서도 같은 구분이 필요하다. 같은 표시이율이라도 **복리 주기를 확인하기 전에는 실제 부담을 알 수 없다.** 표시이율 $5.0\%$ 인 대출이 월복리라면 실제 부담은 $5.1162\%$ 이다. 미국은 예금에 APY, 대출에 APR을 공시하도록 법으로 정하고 있고(각각 Truth in Savings, Truth in Lending), 한국은 예금·대출 모두 연이율로 표시한다. 어느 경우든 **표시된 수치가 무엇을 측정한 값인지 확인하는 것**이 계산 자체보다 중요하다.
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### 문제 9 · 리볼빙과 매월 이월되는 잔액  ★★☆

**상황** — 강현우는 카드 대금 부담을 줄이기 위해 "일부만 결제" 서비스(리볼빙)를 신청했다. 결제하지 않은 잔액 $3{,}000{,}000$ 원이 다음 달로 이월되고, 여기에 약정 수수료율 **연 $19.9\%$** 가 붙는다. 수수료는 매달 잔액에 붙어 다시 이월잔액에 합산된다. 강현우는 연 $19.9\%$ 이므로 1년에 $597{,}000$ 원이라고 판단했다.

**모형 설정** — 1년간 상환하지 않았을 때의 잔액을 구한다. 강현우의 $597{,}000$ 원과 다르다면 그 이유도 밝혀야 한다. **수수료가 붙는 주기를 1년으로 볼 것인가 한 달로 볼 것인가**가 판단의 분기점이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 12개월 뒤 잔액 $A$, 그리고 실효 연이율.
② **주어진 값** — 초기 잔액 $3{,}000{,}000$ 원, 표시 연이율(APR) $19.9\%$, 월 단위로 붙고 이월된다, 상환 없음.
③ **관계식** — 월 수수료율은 $\dfrac{0.199}{12} = 0.0165833$ 이다. 붙은 수수료가 잔액에 합산되므로 매달 곱셈이 반복된다.
$$A = 3{,}000{,}000 \times \left(1 + \frac{0.199}{12}\right)^{12}$$
④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙, [제7장](../part1/ch07.md) 거듭제곱
⑤ **모형의 한계** — 이 계산은 잔액이 변하지 않는다고 가정한다. 실제 리볼빙은 매달 새로운 카드 대금이 더해지면서 잔액이 증가하는 경우가 더 많다. 리볼빙 이용은 신용점수를 낮추어 이후 대출의 금리를 높이는데, 그 비용은 이 계산에 포함되지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
(계산기 사용) 월 수수료율 $\dfrac{0.199}{12} = 0.0165833$.

$$(1.0165833)^{12} = 1.218191$$

$$A = 3{,}000{,}000 \times 1.218191 = 3{,}654{,}573 \text{ 원}$$

수수료 총액은

$$3{,}654{,}573 - 3{,}000{,}000 = 654{,}573 \text{ 원}$$

**답** — 1년 뒤 잔액은 약 $3{,}654{,}573$ 원이고 수수료는 $654{,}573$ 원이다. 강현우가 계산한 $597{,}000$ 원보다 $57{,}573$ 원 많다. 실효 연이율은 $19.9\%$ 가 아니라 **$21.82\%$** 이다.

**검산** — 수수료가 다시 수수료를 발생시키지 않는 경우(단리) $3{,}000{,}000 \times 0.199 = 597{,}000$ 원이다. 복리 결과 $654{,}573$ 원은 이보다 크되 $10\%$ 남짓 큰 정도이므로, 1년이라는 기간에 부합하는 크기이다. 문제 8에서 $5\%$ 를 월복리로 나누었을 때 $2.3\%$ 증가한 것과 비교하면, 이율이 네 배가 되면서 복리에 의한 증가분도 그보다 크게($9.6\%$) 늘어난 것이다.

**빈번한 오류** — 표시된 APR $19.9\%$ 를 실제 부담과 같은 값으로 읽는 것이다. APR은 월 수수료율 $\times 12$ 로 만든 표시용 수치이고, 실제 부담은 문제 8에서 다룬 APY이다. 또 하나는 "일부만 결제하면 그달은 무이자"라는 오해인데, 리볼빙은 이월된 첫날부터 수수료가 붙는다.

**확장** — 2년간 상환하지 않으면 $3{,}000{,}000 \times (1.218191)^2 = 4{,}451{,}967$ 원으로 원금의 $1.48$ 배가 된다. 72의 법칙을 적용하면 실효 $21.8\%$ 에서 $72/21.8 \approx 3.3$ 년마다 잔액이 두 배가 된다. 부채에도 복리는 동일하게 작용하며, 증가하는 대상이 자산이 아니라 채무라는 점만 다르다.
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### 문제 10 · 3년 수익률을 하나로 합치기  ★★☆

**상황** — 펀드 운용보고서에 연도별 수익률이 이렇게 적혀 있다. 1년 차 $+20\%$, 2년 차 $-15\%$, 3년 차 $+10\%$. 판매 자료에는 "3년 평균 수익률 연 $5\%$"라고 표시되어 있다. 3년 전에 $1{,}000$ 만 원을 넣은 경우의 현재 잔액을 구한다.

**모형 설정** — 3년 누적수익률과 연평균 수익률을 구한다. 판매 자료의 "연 $5\%$"가 산출된 방식과 그것이 성립하지 않는 이유를 설명해야 한다. **연도별 수익률을 더할 것인가 곱할 것인가**가 이 문제의 핵심이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 3년 누적 배수, 그리고 진짜 연평균 수익률 $g$.
② **주어진 값** — 연도별 배수 $1.20,\ 0.85,\ 1.10$ 이다. 중간에 추가 납입이나 인출은 없다.
③ **관계식** — 수익률은 곱해지는 양이다. 곱을 덧셈으로 바꾸려면 로그를 취한다.
$$\ln\frac{P_3}{P_0} = \ln 1.20 + \ln 0.85 + \ln 1.10$$
연평균은 이 합을 3으로 나눈 뒤 지수함수로 환원한다. $g$ 는 $(1+g)^3 = \dfrac{P_3}{P_0}$ 를 만족하는 값이다.
④ **사용 도구** — [제22장](../part3/ch22.md) 로그함수($\ln(ab)=\ln a + \ln b$), [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙
⑤ **모형의 한계** — 이 계산은 자금을 3년 내내 그대로 두었다고 가정한다. 실제로는 상승 시 추가 납입하고 하락 시 인출하는 경우가 많아, 같은 펀드에 투자해도 개인의 실제 수익률은 이 값과 크게 달라진다(자금가중수익률과 시간가중수익률의 차이). 3년간의 실적은 향후 수익률에 대한 정보를 제공하지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**곱으로 직접.**

$$1.20 \times 0.85 \times 1.10 = 1.02 \times 1.10 = 1.122$$

3년 누적 수익률은 $+12.2\%$ 이다. $1{,}000$ 만 원은 $11{,}220{,}000$ 원이 된다.

**로그로.** (계산기 사용)

$$\ln 1.20 = 0.18232, \quad \ln 0.85 = -0.16252, \quad \ln 1.10 = 0.09531$$

$$\ell_{\text{합}} = 0.18232 - 0.16252 + 0.09531 = 0.11511$$

$$\frac{P_3}{P_0} = e^{0.11511} = 1.1220 \quad \checkmark$$

**연평균.** 로그수익률을 3으로 나눈다.

$$\frac{0.11511}{3} = 0.03837 \quad\Rightarrow\quad 1+g = e^{0.03837} = 1.03912$$

**답** — 3년 누적 $+12.2\%$($11{,}220{,}000$ 원), 연평균 **$3.91\%$** 이다. 판매 자료의 "연 $5\%$"는 $(20 - 15 + 10)/3 = 5$ 로 **더해서 나눈** 값이다. 수익률은 더해지지 않으므로 이 수는 실제보다 크다.

**검산** — $(1.03912)^3 = 1.1220$ 으로 누적 배수와 일치한다. 반대로 판매 자료대로 연 $5\%$ 씩 3년이면 $(1.05)^3 = 1.157625$, 즉 $11{,}576{,}250$ 원이 된다. 실제보다 $356{,}250$ 원 크게 표시된 것이다.

**빈번한 오류** — 산술평균을 연평균 수익률로 사용하는 것이다. 산술평균은 **항상 기하평균 이상**이고, 수익률의 변동이 클수록 그 차이가 커진다. 여기서는 $5\%$ 와 $3.91\%$ 로 $1.09\%$p 차이가 난다. 변동이 없으면(매년 같은 수익률) 두 값은 일치한다.

**확장** — 로그수익률의 이점은 기간을 나눌 때 드러난다. 3년 로그수익률이 $0.11511$ 이면 1년분은 $0.03837$, 반년분은 $0.019185$, 한 달분은 $0.11511/36 = 0.003198$ 이다. 나눗셈만 하면 된다. 단순수익률로 같은 계산을 하려면 매번 $36$ 제곱근을 구해야 한다. **곱셈으로 결합되는 양의 분할이 로그를 취하면 나눗셈으로 바뀐다.** 로그를 사용하는 이유가 여기에 있다.
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### 문제 11 · $50\%$ 하락 후 원래 가격으로 돌아오려면  ★☆☆

**상황** — 노경아가 $80{,}000$ 원에 매수한 주식이 $40{,}000$ 원이 되었다. 증권사 앱에는 "$-50.0\%$"로 표시된다. 노경아는 $50\%$ 하락했으므로 $50\%$ 상승하면 원래 가격이 된다고 판단했다. 친구는 $100{,}000$ 원에 매수해 $70{,}000$ 원이 된 주식을 보유하고 있다.

**모형 설정** — 두 사람의 주식이 각각 원래 가격으로 회복하려면 현재 가격에서 몇 퍼센트 상승해야 하는지 구한다. 그리고 $x\%$ 하락 뒤 필요한 상승률을 $x$ 로 나타내는 식을 세운다. 핵심은 **하락률과 상승률의 기준량이 서로 다르다**는 점이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 원래 가격 회복에 필요한 상승률 $g$.
② **주어진 값** — 노경아: $80{,}000 \to 40{,}000$. 친구: $100{,}000 \to 70{,}000$.
③ **관계식** — 하락률 $x$(소수)로 떨어진 뒤 상승률 $g$ 로 오르면 원래 가격으로 돌아온다는 조건은
$$(1-x)(1+g) = 1 \quad\Rightarrow\quad 1+g = \frac{1}{1-x} \quad\Rightarrow\quad g = \frac{x}{1-x}$$
④ **사용 도구** — [제19장](../part2/ch19.md) 유리식, [제6장](../part1/ch06.md) 비율과 기준량, [제22장](../part3/ch22.md) 로그
⑤ **모형의 한계** — 이 식은 가격이 원래 수준으로 회복된다는 것을 가정하지 않는다. 회복이 일어난다면 상승률이 얼마여야 하는지를 나타낸다. 손실이 난 주식을 계속 보유하는 판단이 타당한지는 이 계산의 범위 밖이며, 그 자금을 다른 곳에 사용할 기회를 포기하는 비용은 식에 포함되지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**노경아**($x = 0.5$):

$$g = \frac{0.5}{1-0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 = 100\%$$

$40{,}000 \times 2 = 80{,}000$ 이다. 원래 가격이 되려면 **두 배**가 되어야 한다.

**친구**($x = 0.3$):

$$g = \frac{0.3}{1-0.3} = \frac{0.3}{0.7} = 0.4286 = 42.86\%$$

$70{,}000 \times 1.4286 = 100{,}002 \approx 100{,}000$ 으로 확인된다.

일반적으로 다음과 같다.

| 하락률 $x$ | 필요한 상승률 $g = \dfrac{x}{1-x}$ |
|---:|---:|
| $10\%$ | $+11.1\%$ |
| $20\%$ | $+25.0\%$ |
| $30\%$ | $+42.9\%$ |
| $50\%$ | $+100\%$ |
| $80\%$ | $+400\%$ |
| $90\%$ | $+900\%$ |

왼쪽 열의 $x$ 는 ③에서 정의한 대로 **하락 폭을 양수로 적은 값**이다($-10\%$ 가 아니라 $x = 0.1$). 앱에 $-10\%$ 로 표시된 종목이 첫 행에 해당한다.

**답** — 노경아 $+100\%$, 친구 $+42.9\%$ 이다. "$50\%$ 상승하면 원래 가격이 된다"는 판단은 성립하지 않는다.

**검산** — 로그로 확인한다. $\ln 0.5 = -0.6931$ 이므로 이를 상쇄하려면 $+0.6931$ 이 필요하고, $e^{0.6931} = 2$ 이므로 $+100\%$ 이다. 로그 척도에서는 하락과 상승이 정확히 대칭이다($-0.6931$ 과 $+0.6931$). 비대칭으로 보이는 것은 단순수익률의 척도 때문이다.

**빈번한 오류** — $-50\%$ 와 $+50\%$ 가 서로를 상쇄한다고 보는 것이다. $-50\%$ 의 기준량은 $80{,}000$ 원이고 $+50\%$ 의 기준량은 $40{,}000$ 원이다. 같은 "$50$"이 서로 다른 크기를 가리킨다([제6장](../part1/ch06.md)의 기준량 문제가 그대로 나타난다). 실제로 $-50\%$ 뒤 $+50\%$ 이면 $80{,}000 \times 0.5 \times 1.5 = 60{,}000$ 원으로 여전히 $-25\%$ 이다.

**확장** — 표의 아래쪽에서 $-90\%$ 를 회복하려면 $+900\%$ 가 필요하다. 손실을 조기에 확정하라는 조언의 수학적 근거가 이것이다. 표의 오른쪽 열은 $x \to 1$ 에서 $\dfrac{x}{1-x} \to \infty$ 로 발산한다. 분모가 $0$ 에 접근하는 유리식의 전형적인 거동이다([제19장](../part2/ch19.md)).
:::

### 문제 12 · 연속복리와 이산복리의 차이  ★☆☆

**상황** — 금융 교과서에는 $A = Pe^{rn}$ 이라는 식이 나온다. 매 순간 이자가 붙는다는 뜻이다. 실제 은행은 가장 자주 붙이는 경우에도 하루에 한 번이다. 임수빈은 이 식과 실제 은행 계산의 차이를 확인하려 한다. $1$ 억 원, 연 $3\%$, 10년으로 계산한다.

**모형 설정** — 연 1회 복리, 월복리, 연속복리 세 가지로 10년 뒤 잔액을 각각 구하고 차이를 비교한다. 어느 것이 가장 크고 어느 것이 가장 작을지 **계산하기 전에 예측**을 적어 둔다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 세 방식의 10년 뒤 잔액.
② **주어진 값** — $P = 100{,}000{,}000$ 원, 명목 연이율 $r = 0.03$, $n = 10$ 년.
③ **관계식** — 1년에 $m$ 번 붙으면 기간이율은 $r/m$, 기간 수는 $mn$ 이다.
$$A_1 = P(1.03)^{10}, \qquad A_{12} = P\left(1+\frac{0.03}{12}\right)^{120}, \qquad A_\infty = Pe^{0.03 \times 10}$$
④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙, [제22장](../part3/ch22.md) 지수함수와 $e$
⑤ **모형의 한계** — 이 비교는 세 방식의 **명목 이율이 같다**고 가정한다. 실제로 은행은 복리 주기를 변경하면서 표시이율도 함께 조정하므로, 주기만 다르고 이율은 같은 상품이 동시에 제시되는 경우는 드물다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
(계산기 사용)

| 방식 | $m$ | 배수 | 10년 뒤 잔액 |
|---|---:|---:|---:|
| 연 1회 | $1$ | $(1.03)^{10} = 1.343916$ | $134{,}391{,}638$ |
| 반기 | $2$ | $(1.015)^{20} = 1.346855$ | $134{,}685{,}501$ |
| 분기 | $4$ | $(1.0075)^{40} = 1.348349$ | $134{,}834{,}863$ |
| 매월 | $12$ | $(1.0025)^{120} = 1.349354$ | $134{,}935{,}355$ |
| 매일 | $365$ | $1.349842$ | $134{,}984{,}217$ |
| 연속 | $\infty$ | $e^{0.3} = 1.349859$ | $134{,}985{,}881$ |

**답** — 월복리와 연속복리의 차이는 $134{,}985{,}881 - 134{,}935{,}355 = 50{,}526$ 원이다. $1$ 억 원을 10년 운용해 생기는 차이가 $5$ 만 원으로, 원금의 $0.05\%$ 이다. 연 1회와 연속의 차이는 $594{,}243$ 원으로 열 배 이상 크다.

**검산** — 첫 단계의 증가폭이 가장 크고 이후 증가폭이 급격히 줄어드는지 확인한다. 연 1회 $\to$ 반기에서 $293{,}863$ 원, 반기 $\to$ 분기에서 $149{,}362$ 원, 분기 $\to$ 월에서 $100{,}492$ 원, 월 $\to$ 일에서 $48{,}862$ 원, 일 $\to$ 연속에서 $1{,}664$ 원이다. 증가폭이 계속 작아지며 $0$ 으로 수렴한다. 앞 절의 표와 같은 형태이다.

**빈번한 오류** — $e^{rn}$ 에서 $r$ 과 $n$ 을 곱해 지수에 넣지 않고 $e^{0.03}$ 만 계산하는 것이다. 이 경우 1년치 값이 나온다. 또 하나는 연속복리의 이득을 과대평가하는 것이다. 표에서 확인되듯 실제 차이는 작다. 연속복리를 사용하는 이유는 수익률이 크기 때문이 아니라 **식이 다루기 쉽기 때문이다.**

**확장** — 이율이 높아지면 차이가 커진다. **1년 기준으로** 월복리와 연속복리의 배수 차이를 비교한다.

| 명목 연이율 $r$ | 월복리 $(1+r/12)^{12}$ | 연속 $e^{r}$ | 차이 |
|---:|---:|---:|---:|
| $3\%$ | $1.030416$ | $1.030455$ | $0.0039\%$p |
| $20\%$ | $1.219391$ | $1.221403$ | $0.2012\%$p |

이율이 $3\%$ 에서 $20\%$ 로 약 $6.7$ 배가 되는 동안 차이는 $52$ 배가 되었다. $6.7^2 \approx 44$ 와 비슷한 크기이다. 근거는 근사식에 있다. $e^r - (1+r/m)^m \approx e^{r}\dfrac{r^{2}}{2m}$ 이므로 차이는 $r$ 에 대해 **제곱으로** 커지고 $m$ 에 반비례해 줄어든다. 따라서 복리 주기 문제는 예금(낮은 이율)보다 대출·연체이자(높은 이율)에서 훨씬 크게 나타난다. (본문의 $5$ 만 원은 $1$ 억 원을 $10$ 년 운용한 누적 차이이므로, 위의 $1$ 년 기준 수치와 직접 비교할 수 없다.)
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### 문제 13 · 이자를 받고도 구매력이 감소하는 경우  ★★★

**상황** — 정순임은 2015년에 퇴직금 $1{,}000$ 만 원을 연 $3.5\%$ 짜리 10년 만기 예금에 넣었다. 2025년 만기 시점의 잔액은 $1{,}410$ 만 원이다. 같은 10년 동안 물가는 매년 평균 $2.5\%$ 씩 상승했다. 이때 실질 구매력이 실제로 증가했는지를 확인한다.

**모형 설정** — 만기 금액이 **2015년 가격 기준으로** 얼마인지 구한다. 즉 2015년에 이 금액으로 구매할 수 있었던 만큼의 물건을 현재 구매하려면 얼마가 필요한지를 계산한다. 명목 이자율에서 물가상승률을 빼는 방법과 나누는 방법 중 무엇을 쓸 것인지를 먼저 정해야 한다. 두 방법의 답이 다르다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 만기 금액의 실질 구매력(2015년 가격 기준).
② **주어진 값** — $P = 10{,}000{,}000$ 원, 명목 연이율 $i = 3.5\%$, 물가상승률 $\pi = 2.5\%$, $n = 10$ 년. **명목**은 화폐 금액 그대로, **실질**은 물가 변동을 걷어낸 값이다([제38장](ch38.md)).
③ **관계식** — 금액은 $(1+i)^n$ 배로 증가하고 물가는 $(1+\pi)^n$ 배로 상승한다. 구매할 수 있는 물건의 양은 그 비율이다.
$$\text{실질 구매력} = P\,\frac{(1+i)^n}{(1+\pi)^n} = P\left(\frac{1+i}{1+\pi}\right)^{n}$$
따라서 실질이자율 $r$ 은 $1+r = \dfrac{1+i}{1+\pi}$ 로 정의된다(피셔 방정식).
④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙($\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$), [제19장](../part2/ch19.md) 유리식, [제38장](ch38.md) 물가지수
⑤ **모형의 한계** — "물가 $2.5\%$"는 소비자물가지수라는 평균값이다. 정순임이 실제로 구매하는 품목(예: 의료비, 식료품)의 가격이 평균보다 빠르게 상승했다면 실제 구매력 감소는 이 계산보다 크다. 개인이 직면하는 물가는 통계청이 집계하는 물가와 다르다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
(계산기 사용) **명목 만기금액.**

$$(1.035)^{10} = 1.410599 \quad\Rightarrow\quad 10{,}000{,}000 \times 1.410599 = 14{,}105{,}988 \text{ 원}$$

**10년간 물가 상승.**

$$(1.025)^{10} = 1.280085$$

같은 품목 구성의 가격이 $1.28$ 배가 되었다.

**실질 구매력.**

$$\frac{14{,}105{,}988}{1.280085} = 11{,}019{,}575 \text{ 원}$$

**정확한 실질이자율.**

$$1+r = \frac{1.035}{1.025} = 1.0097561 \quad\Rightarrow\quad r = 0.97561\%$$

**답** — 잔액은 $1{,}410$ 만 원이지만, 2015년 가격으로 환산하면 **$1{,}102$ 만 원**에 해당한다. 10년간 증가한 실질 구매력은 $102$ 만 원으로 연 $0.98\%$ 이다. 명목 $3.5\%$ 중 $2.5\%$p는 물가 상승으로 상쇄되었다.

**검산** — 지수법칙으로 한 번에 계산한다.

$$10{,}000{,}000 \times \left(\frac{1.035}{1.025}\right)^{10} = 10{,}000{,}000 \times (1.0097561)^{10} = 10{,}000{,}000 \times 1.101958 = 11{,}019{,}575$$

나누어 구한 값과 같다. $\dfrac{a^{10}}{b^{10}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{10}$ 이 그대로 확인된다.

**빈번한 오류** — 실질이자율을 $3.5 - 2.5 = 1.0\%$ 로 두는 것이다. 이 근사는 간단하지만 정확하지 않다. 근사로 계산하면 $10{,}000{,}000 \times (1.01)^{10} = 11{,}046{,}221$ 원으로, 실제보다 $26{,}646$ 원 크다. 뺄셈 근사가 성립하는 이유는 $\frac{1+i}{1+\pi} \approx 1 + i - \pi$ 이기 때문이며, 이 근사는 $\pi$ 가 작을 때만 유효하다. 물가상승률이 연 $20\%$ 이면 이 근사는 성립하지 않는다.

**확장** — 여기에 이자소득세 $15.4\%$ 를 적용한다. 세금은 **명목 이자**에 부과된다. 명목 이자 $4{,}105{,}988$ 원에 세금 $632{,}322$ 원이 부과되어 세후 잔액은 $13{,}473{,}666$ 원, 실질로는 $10{,}525{,}603$ 원이다. 10년간 실질 증가분은 $52$ 만 원, 연 $0.51\%$ 로 줄어든다. 물가가 올라 명목 이자가 커지면 실질 소득이 증가하지 않아도 세액은 늘어나므로, **인플레이션은 실효세율을 높이는 효과**를 낸다.
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### 문제 14 · 할인율에 따라 달라지는 투자 판단  ★★★

**상황** — 중소기업 공장장이 지붕에 태양광 설비를 설치할 것을 제안했다. 설치비는 현재 $1$ 억 원이고, 이후 10년간 매년 말 전기요금이 $1{,}400$ 만 원씩 감소한다. 10년 뒤 설비의 잔존가치는 없다고 본다. 재무팀장은 회사의 자금조달비용이 연 $6\%$ 라는 근거로 승인하려 했고, 대표는 회사가 다른 곳에 투자하면 연 $10\%$ 를 얻을 수 있다는 근거로 부결했다.

**모형 설정** — 두 할인율에서 각각 이 사업의 **순현재가치**(NPV, 미래 이득의 현재가치에서 현재의 지출을 뺀 값)를 구한다. 같은 사업에서 결론이 갈리는 이유를 설명해야 한다. 그리고 두 사람 중 누가 옳은지를 계산이 결정할 수 있는지도 판단한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $r = 6\%$ 와 $r = 10\%$ 에서의 $NPV$.
② **주어진 값** — 초기 지출 $100{,}000{,}000$ 원(지금), 절감액 $C = 14{,}000{,}000$ 원 $\times$ 10회(매년 말).
③ **관계식** — 미래의 절감액을 모두 현재로 환산한 뒤 현재의 지출을 뺀다.
$$NPV(r) = 14{,}000{,}000 \times \frac{1-(1+r)^{-10}}{r} - 100{,}000{,}000$$
④ **사용 도구** — 등비수열의 합, [제12장](../part2/ch12.md) 음의 지수, [제21장](../part3/ch21.md) 함수(여기서 $NPV$ 는 $r$ 의 함수다)
⑤ **모형의 한계** — 할인율은 **계산의 입력**이며 결과가 아니다. 회사가 다른 곳에서 $10\%$ 를 실제로 얻을 수 있는지, 그 $10\%$ 가 이 사업과 같은 정도로 안전한지는 계산이 아니라 경영 판단의 영역이다. 전기요금이 10년간 유지되는지, 설비에 고장이 발생하지 않는지도 마찬가지이다. 이 식은 가정을 입력하면 결론을 산출하지만, 가정 자체를 선택해 주지는 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
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(계산기 사용) **$r = 6\%$.** $(1.06)^{10} = 1.790848$, $(1.06)^{-10} = 0.558395$.

$$\frac{1-0.558395}{0.06} = 7.360087 \quad\Rightarrow\quad PV = 14{,}000{,}000 \times 7.360087 = 103{,}041{,}214$$

$$NPV = 103{,}041{,}214 - 100{,}000{,}000 = +3{,}041{,}214 \text{ 원} \quad \Rightarrow \text{ 통과}$$

**$r = 10\%$.** $(1.1)^{10} = 2.593742$, $(1.1)^{-10} = 0.385543$.

$$\frac{1-0.385543}{0.1} = 6.144567 \quad\Rightarrow\quad PV = 14{,}000{,}000 \times 6.144567 = 86{,}023{,}939$$

$$NPV = 86{,}023{,}939 - 100{,}000{,}000 = -13{,}976{,}061 \text{ 원} \quad \Rightarrow \text{ 부결}$$

**답** — $6\%$ 에서는 $+304$ 만 원, $10\%$ 에서는 $-1{,}398$ 만 원이다. 할인율 $4\%$p 차이가 판단을 반대로 바꾼다. 두 계산 모두 오류가 없으며, 서로 다른 **가정**을 입력한 결과이다.

**검산** — 할인하지 않은 총액은 $14{,}000{,}000 \times 10 = 140{,}000{,}000$ 원으로 지출 $1$ 억 원보다 크다. $10\%$ 에서 $NPV$ 가 음수가 된 것은 할인이 그만큼 크게 작용했기 때문이다. 10년째 절감액 $1{,}400$ 만 원의 현재가치는 $14{,}000{,}000 \times 0.385543 = 5{,}397{,}602$ 원으로 원래 금액의 $38.6\%$ 이다. 방향이 일치한다.

**빈번한 오류** — 초기 지출까지 할인하는 것이다. 설치비는 **현재** 지출되는 금액이므로 $(1+r)^0 = 1$ 이고 할인하지 않는다. 반대로 절감액을 "1년 차부터"로 두고 $(1+r)^{0}$ 부터 시작하는 것도 빈번한 오류이다. 각 현금흐름의 시점을 명시적으로 적어 두고 세는 절차가 필요하다.

**확장** — 두 결론이 갈리는 경계를 구한다. $NPV = 0$ 이 되는 할인율을 **내부수익률**(IRR)이라 하며, 연금계수가 $\dfrac{100{,}000{,}000}{14{,}000{,}000} = 7.142857$ 이 되는 $r$ 을 찾으면 $r \approx 6.64\%$ 이다(계산기로 시행착오). 즉 이 사업은 연 $6.64\%$ 짜리 투자와 동일하다. 이렇게 표현하면 쟁점이 명확해진다. 재무팀장과 대표가 판단해야 할 것은 태양광 설비 자체가 아니라 **회사가 $6.64\%$ 보다 높은 수익률을 낼 다른 투자처를 가지고 있는가**이다. 이 계산이 한 일은 결론을 정한 것이 아니라 **판단해야 할 지점을 하나로 좁힌 것**이다.
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### 문제 15 · 선이자 거래의 실효 연이율  ★★★

**상황** — 단기 자금이 필요한 사람에게 어떤 업자가 다음과 같이 제안한다. "$300$ 만 원 빌려 드립니다. 선이자 $30$ 만 원만 떼고 $270$ 만 원 드릴게요. $30$ 일 뒤에 $300$ 만 원만 갚으시면 됩니다." 업자는 한 달에 $10\%$ 이므로 부담이 크지 않다고 설명한다. 한국의 법정 최고금리는 연 $20\%$ 이다.

**모형 설정** — 이 거래의 연 이자율을 구한다. 먼저 정할 것이 두 가지이다. 첫째, $30$ 만 원의 이자를 **무엇에 대한 비율**로 볼 것인가 — 계약서에 적힌 $300$ 만 원인가, 실제로 수령한 $270$ 만 원인가. 둘째, 연으로 환산할 때 $30$ 일치를 **더해서 열두 번**으로 볼 것인가 **곱해서 열두 번**으로 볼 것인가.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 이 거래의 실효 연이율.
② **주어진 값** — 실제 수령액 $2{,}700{,}000$ 원, $30$ 일 뒤 상환액 $3{,}000{,}000$ 원.
③ **관계식** — 이자율의 기준량은 **실제로 사용한 금액**이다. 수령액이 $270$ 만 원이므로
$$i_{30} = \frac{3{,}000{,}000 - 2{,}700{,}000}{2{,}700{,}000} = \frac{300{,}000}{2{,}700{,}000}$$
1년에는 $30$ 일이 $\dfrac{365}{30}$ 번 들어가므로, 같은 조건으로 반복하면
$$1 + i_{\text{연}} = (1 + i_{30})^{365/30}$$
④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙(분수 지수), [제22장](../part3/ch22.md) 로그, [제6장](../part1/ch06.md) 기준량
⑤ **모형의 한계** — 이 계산은 차입자가 $30$ 일 뒤 상환한다고 가정한다. 이런 거래의 위험은 이율 자체보다, 상환하지 못했을 때 같은 조건으로 반복 연장되는 구조에서 나온다. 차입자가 은행 대신 이 거래를 선택한 이유 — 신용점수, 소득의 불안정성, 자금 수요의 긴급성 — 는 이 계산에 포함되지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
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**$30$ 일 이자율.**

$$i_{30} = \frac{300{,}000}{2{,}700{,}000} = \frac{1}{9} = 0.11111 = 11.11\%$$

업자가 제시한 "$10\%$"는 $\dfrac{300{,}000}{3{,}000{,}000}$ 으로 계산한 값이다. 기준량을 계약금액으로 잡으면 실제보다 작게 나온다.

**단순 연환산(APR).**

$$0.11111 \times \frac{365}{30} = 0.11111 \times 12.1667 = 1.35185 = 135.2\%$$

**실효 연이율.** (계산기 사용)

$$(1 + \tfrac{1}{9})^{365/30} = (1.11111)^{12.1667} = 3.6034$$

$$i_{\text{연}} = 3.6034 - 1 = 2.6034 = 260.3\%$$

**답** — 단순 환산으로 연 **$135.2\%$**, 복리로 반복된다고 보면 연 **$260.3\%$** 이다. 법정 최고금리 $20\%$ 의 $6.8$ 배에서 $13$ 배에 해당한다. "한 달에 $10\%$"라는 표현이 나타내지 않는 부분이 이것이다.

**검산** — 로그로 확인한다. $\ln(1.11111) = 0.105361$, $\times 12.1667 = 1.281886$, $e^{1.281886} = 3.6034$ 로 일치한다. 72의 법칙으로도 확인한다. 월 $11.11\%$ 이면 $72/11.11 \approx 6.5$ 개월마다 부채가 두 배가 된다. 12개월이면 두 배가 $12/6.5 \approx 1.85$ 번 발생하므로 $2^{1.85} \approx 3.6$ 배이다. 위 결과와 일치한다.

**빈번한 오류** — 선이자를 원금에서 뺀 뒤에도 기준량을 원래의 $300$ 만 원으로 두는 것이다. **선이자 방식은 기준량을 줄여 이율이 낮게 표시되도록 하는 구조이다.** 같은 이자라도 만기에 받으면 $10\%$, 먼저 공제하면 $11.11\%$ 이다. 또 하나는 "$10\% \times 12 = 120\%$"로 계산을 끝내는 것이다. 이 계산은 기준량도 잘못되었고 복리도 반영하지 않았다.

**확장** — 같은 $270$ 만 원을 법정 최고금리 연 $20\%$ 로 $30$ 일 빌렸다면 이자는 $2{,}700{,}000 \times 0.20 \times \dfrac{30}{365} = 44{,}384$ 원이다. 실제로 지급한 $30$ 만 원은 그 $6.8$ 배이다. 계산 자체는 사칙연산 수준이지만, 이 한 줄을 계산하지 않은 상태에서 이런 거래가 이루어진다.
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### 문제 16 · 28년 만에 여덟 배가 된 자산의 연평균 상승률  ★★★

**상황** — 1996년에 $8{,}000$ 만 원에 매입한 아파트가 2024년에 $6$ 억 $4{,}000$ 만 원이 되었다. 28년 만에 여덟 배이다. 이에 대해 "$800\%$ 를 $28$ 로 나누면 $28\%$ 이므로 연 $25\%$ 정도"라는 계산이 제시되었다. 같은 기간 물가는 연평균 $2.5\%$ 씩 상승했다.

**모형 설정** — 이 아파트의 연평균 상승률을 구한다. "$800\%$ 를 $28$ 로 나눈다"가 성립하지 않는 이유를 설명해야 한다. 그리고 이 상승률을 **명목으로 볼 것인가 실질로 볼 것인가**도 정해야 한다. 두 답이 크게 다르다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 연평균 상승률 $g$(명목), 그리고 물가를 걷어낸 $g_{\text{실질}}$.
② **주어진 값** — $P_0 = 80{,}000{,}000$ 원, $P_{28} = 640{,}000{,}000$ 원, $n = 28$ 년, 물가상승률 $\pi = 2.5\%$.
③ **관계식** — 매년 같은 비율로 상승했다고 보면 $(1+g)^{28} = 8$ 이다. 지수 자리의 $28$ 을 끌어내리려면 로그를 사용한다.
$$28\ln(1+g) = \ln 8 \quad\Rightarrow\quad \ln(1+g) = \frac{\ln 8}{28} \quad\Rightarrow\quad g = e^{\ln 8/28} - 1$$
실질은 [제38장](ch38.md)과 문제 13의 방식으로 $1+g_{\text{실질}} = \dfrac{1+g}{1+\pi}$.
④ **사용 도구** — [제22장](../part3/ch22.md) 로그함수, [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙, [제7장](../part1/ch07.md) 거듭제곱근
⑤ **모형의 한계** — 이 계산은 시작값과 끝값 두 점만 사용한다. 그 사이에 1998년 외환위기와 2008년 금융위기가 있었고, 여러 해에 걸쳐 하락한 구간이 존재한다. **기하평균은 중간 구간의 변동을 반영하지 않는다.** 28년간 지출한 재산세·수리비·이자와 거주로 절약한 월세도 계산에 포함되어 있지 않다. 이 값은 수익률이 아니라 가격 상승률이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**배수.**

$$\frac{640{,}000{,}000}{80{,}000{,}000} = 8$$

**연평균 상승률.** (계산기 사용) $\ln 8 = 2.079442$.

$$\ln(1+g) = \frac{2.079442}{28} = 0.074266 \quad\Rightarrow\quad 1+g = e^{0.074266} = 1.077093$$

$$g = 7.71\%$$

**실질.**

$$1 + g_{\text{실질}} = \frac{1.077093}{1.025} = 1.050822 \quad\Rightarrow\quad g_{\text{실질}} = 5.08\%$$

**답** — 명목 연평균 **$7.71\%$**, 물가를 제거한 실질 연평균 **$5.08\%$** 이다. 앞에서 제시된 "$28\%$"와는 크게 다르다.

**검산** — 72의 법칙으로 확인한다. 여덟 배는 두 배가 세 번이므로 두 배가 되는 데 $28 \div 3 = 9.33$ 년이 걸린 것이고, $72 \div 9.33 = 7.71\%$ 이다. 정확값과 소수 둘째 자리까지 일치한다. 실질도 확인한다. 물가는 28년간 $(1.025)^{28} = 1.9965$ 배로 약 두 배가 되었다. 따라서 실질 배수는 $8 \div 1.9965 = 4.007$ 이고, **명목 여덟 배는 실질 네 배에 해당한다.** $(1.050822)^{28} = 4.007$ 로도 확인된다.

**빈번한 오류** — 오류가 두 가지이다. 첫째, 여덟 배가 된 것은 $800\%$ 가 **된** 것이지 $800\%$ **오른** 것이 아니다. 상승 폭은 $+700\%$ 이다([제6장](../part1/ch06.md)의 기준량 문제가 그대로 나타난다). 둘째, 총 상승률을 햇수로 나누는 것이다. 상승률은 해마다 **곱해지며 더해지지 않는다.** 연 $28\%$ 로 28년이면 $(1.28)^{28} \approx 1{,}004$ 배가 된다. $8$ 배와 $1{,}004$ 배는 서로 비교할 수 있는 크기가 아니다. 문제 10의 산술평균 오류와 같은 종류이며, 기간이 길어질수록 오차가 크게 벌어진다.

**확장** — 이 $7.71\%$ 를 예금과 비교할 때는 주의가 필요하다. 아파트는 대출을 포함해 매입하는 경우가 많다. $8{,}000$ 만 원 중 $4{,}000$ 만 원이 자기 자금이었다면, 자기 자금 기준 수익률은 훨씬 높아지는 대신 위험도 두 배가 된다(레버리지). 한편 아파트는 매각 전까지 현금화되지 않고, 매각 시 양도세가 부과된다. **같은 $7.71\%$ 라도 어떤 자산에서 산출된 값인지에 따라 성격이 다르다.**
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## 적용 범위와 한계

$(1+r)^n$ 은 적용 범위가 넓은 만큼 많은 요인을 생략한다. 무엇이 생략되었는지를 확인하고 사용해야 한다.

**$r$ 은 확정된 값과 기대되는 값을 구분하지 않는다.** 예금 $3\%$ 와 주식 기대수익률 $8\%$ 를 같은 $r$ 자리에 대입하면, 하나는 계약으로 확정된 값이고 다른 하나는 평균값이라는 구분이 식에서 사라진다. 문제 4는 매년 정확히 $5\%$ 인 경로를 가정했으나 실제 수익률은 그렇게 움직이지 않으며, 문제 10에서 확인했듯 평균이 같아도 변동이 있으면 결과는 작아진다. 위험을 다루려면 이 장의 도구만으로는 충분하지 않다.

**할인율은 계산의 결과가 아니라 입력이다.** 문제 14에서 같은 사업이 $6\%$ 에서 통과되고 $10\%$ 에서 부결되었다. 어느 쪽도 계산 오류가 아니다. 특히 기후변화나 연금처럼 수십 년 뒤를 다루는 문제에서는 할인율 $1\%$p 차이가 결론을 반대로 바꾼다. $50$ 년 뒤 $1$ 억 원의 현재가치는 $r = 2\%$ 이면 $3{,}715$ 만 원, $r = 5\%$ 이면 $872$ 만 원이다. **할인율을 누가 어떤 근거로 선택했는지 확인하지 않으면, 계산은 이미 정해진 결론을 뒷받침하는 절차가 된다.**

**실제 사람의 시간 선호는 이 식과 다르다.** 이 장의 할인은 시간이 두 배가 되면 할인도 지수적으로 강해지는 매끄러운 식이다. 그러나 실제로는 "오늘 $10$ 만 원 대 내일 $11$ 만 원"에서는 오늘을 선택하면서 "1년 뒤 $10$ 만 원 대 1년 하고 하루 뒤 $11$ 만 원"에서는 뒤를 선택하는 경향이 관찰된다. 가까운 미래를 더 가파르게 할인하는 이 성향은 지수함수로 설명되지 않는다. 리볼빙과 고금리 대출이 이용되는 이유의 상당 부분은 이자율이 아니라 이 성향에 있다.

**스톡과 플로우는 서로 다른 양이다.** 대출잔액 $3$ 억 원은 특정 시점에 존재하는 **양(스톡)**이고, 월 상환액 $157$ 만 원은 기간마다 흐르는 **양(플로우)**이다. 문제 7에서 이자는 스톡에 이율을 곱해 얻은 플로우였다. 두 양을 더하거나 직접 비교하면 오류가 발생한다. 국가부채(스톡)와 재정적자(플로우)를 혼용하는 것도 같은 종류의 혼동이다.

**복리 모형에는 상한이 없다.** $(1+r)^n$ 은 $n$ 이 커지면 얼마든지 커진다. 그러나 실제 경제에는 시장 규모, 인구, 자원의 제약이 있다. 연 $7\%$ 성장이 $100$ 년간 이어지면 $868$ 배가 되는데, 그러한 성장을 $100$ 년간 지속한 경제는 없다. 장기 예측에서 지수함수를 그대로 연장하면 현실과 어긋난다. 이 식은 **개인의 예금처럼 기간과 규모가 제한된 대상**에 가장 잘 맞는다.

**이 장의 계산 대부분은 세금, 수수료, 물가를 포함하지 않는다.** 문제 13에서 확인했듯 이 항목들을 반영하면 결과가 뚜렷하게 달라진다. 금융 계산을 읽을 때 먼저 확인할 것은 그 수치가 세전인지 세후인지, 명목인지 실질인지이다.

## 요약과 다음 장

이 장은 하나의 식에서 출발했다.

$$A = P(1+r)^n$$

여기에서 파생된 식을 정리한다.

| 도구 | 식 | 쓰는 자리 |
|---|---|---|
| 복리 | $A = P(1+r)^n$ | 예금, 대출잔액, 물가 |
| 72의 법칙 | $n \approx \dfrac{72}{R}$ | 암산으로 두 배 시점 |
| 현재가치 | $PV = FV(1+r)^{-n}$ | 미래 금액의 오늘 값 |
| 연속복리 | $A = Pe^{rn}$ | 이론·모형 계산 |
| 로그수익률 | $\ell = \ln\dfrac{P_1}{P_0}$ | 기간을 더해 잇기 |
| 적립 미래가치 | $FV = C\dfrac{(1+r)^n - 1}{r}$ | 적금, 연금저축 |
| 정기지급 현재가치 | $PV = C\dfrac{1-(1+r)^{-n}}{r}$ | 연금, 대출, 사업 평가 |

일곱 개의 식이지만 기억할 내용은 두 가지이다. **첫째, 시간이 지나며 곱해지는 양은 지수함수로 증가한다. 둘째, 곱을 덧셈으로 바꾸려면 로그를 취한다.** 나머지는 이 두 가지에서 유도할 수 있다.

이 장의 내용을 익히면 다음과 같은 확인이 가능해진다. 표시된 "연 $5\%$"에 대해서는 이자가 몇 번 붙는 $5\%$ 인지를 먼저 확인하고, "3년 평균 수익률"에 대해서는 더한 값인지 곱한 값인지를 확인한다. "$28$ 년에 여덟 배가 됐다"($800\%$ 가 된 것이지 $800\%$ 오른 것이 아니다. 상승 폭은 $+700\%$ 이다)는 서술에서 연 $7.7\%$ 를 산출하고, "무이자"라는 표현에서 포기한 현금할인을 확인한다. 이 장이 제공하는 것은 계산 속도가 아니라 **표시된 수치를 해석하는 기준**이다.

지금까지 세 장에서 다룬 것은 모두 **시간이 만드는 차이**이다. 물가는 시간이 지나며 화폐의 가치를 바꾸고([제38장](ch38.md)), 이자는 시간이 지나며 화폐의 양을 바꾼다. 경제학의 다른 영역은 시간이 아니라 **선택**을 다룬다. 구매자와 판매자가 만나 가격이 결정되는 상황, 한정된 예산으로 소비 항목을 결정하는 상황에는 다른 도구가 필요하다.

[제40장](ch40.md)에서는 수요와 공급을 두 개의 함수로 두고 그 교점을 연립방정식으로 구한다([제18장](../part2/ch18.md)). 하나의 값을 계산하는 것이 아니라 **두 조건이 동시에 성립하는 점**을 찾는 작업이며, 미적분에서 다룬 최적화([제31장](../part3/ch31.md))가 최적 선택과 어떻게 연결되는지도 함께 다룬다.