제33장 · 미적분의 기본정리 (FTC)

이 장

원본 코드	R3-W13
선행 내용	제32장(적분의 도입)
요지	미분과 적분은 서로의 역연산이다 — 넓이 문제와 접선 문제는 하나의 문제다.

도입

곡선 아래의 넓이를 왼쪽 끝에서부터 오른쪽으로 조금씩 넓혀 간다고 하자. 곡선이 높은 자리를 지날 때와 낮은 자리를 지날 때, 넓이가 늘어나는 속도가 같은지 다른지가 이 장의 출발점이 되는 물음이다.

이 물음의 답은 이 장의 중간에서 한 문장으로 주어진다.

지금까지 미적분에서 다룬 내용은 두 갈래였다. 한쪽은 기울기에 관한 것이다. 구불구불한 곡선에 접하는 직선 하나를 어떻게 찾는가 — 이것이 접선과 변화율, 곧 미분이다. 다른 한쪽은 넓이에 관한 것이다. 곡선과 \(x\) 축 사이 영역의 넓이가 얼마인가 — 이것이 정적분이다. 두 주제는 겉으로는 서로 관련이 없어 보인다. 한쪽은 한 점에서의 국소적인 양을 다루고, 다른 한쪽은 구간 전체에 걸쳐 누적된 양을 다룬다.

역사적으로도 두 문제는 따로 발전했다. 넓이 문제는 아르키메데스가 2200년 전에 시작했고, 접선 문제는 1600년대에 페르마가 다루었다. 약 2000년 동안 두 문제는 서로 다른 문제로 취급되었다. 1660년대에 뉴턴과 라이프니츠는 각각 독립적으로 같은 사실에 도달했다. 이 두 갈래가 사실은 하나였다는 것이다. 한쪽 문제를 풀 수 있으면 다른 쪽 문제도 함께 풀린다.

이 사실을 진술하는 것이 **미적분의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus, FTC)**다. 이름에 ‘기본정리’가 붙은 이유는 다음과 같다. 이 정리가 없으면 미분과 적분은 서로 다른 두 개의 기술이고, 이 정리에 의해 두 기술이 하나의 체계로 묶인다. 이 장에서 두 갈래가 하나로 연결된다.

넓이를 함수로 본다

앞 장까지 정적분은 숫자 하나였다. \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) 는 넓이라는 숫자 하나였다. 이 장에서는 오른쪽 끝을 고정하지 않고 변수로 둔다.

오른쪽 끝을 \(x\) 라고 부르면, \(x\) 를 오른쪽으로 옮길수록 넓이가 늘어난다. 넓이가 \(x\) 에 따라 변한다. \(x\) 마다 하나의 값이 대응하므로 이것은 함수다.

\[A(x) = \int_a^x f(t)\,dt\]

이것을 넓이 함수라고 부른다. \(x\) 를 넣으면 \(a\) 부터 \(x\) 까지의 넓이를 돌려주는 함수다.

여기서 표기를 정리한다. 안에 \(t\) 라고 쓴 이유는 다음과 같다. 바깥의 \(x\) 는 오른쪽 끝의 위치이고, 안의 \(t\) 는 \(a\) 부터 \(x\) 까지 훑고 지나가는 변수다. 역할이 다르므로 이름을 다르게 쓴다. 고정된 값과 구간을 훑는 값을 같은 문자로 쓰면 두 역할을 구별할 수 없다. \(t\) 자리에는 다른 문자를 써도 된다. \(s\) 로 써도 결과는 같다. 결과에 \(t\) 는 남지 않는다.

간단한 예로 확인한다. \(f(t) = 3\) (높이 \(3\) 인 수평선), \(a = 0\) 이면 넓이는 가로 \(x\), 세로 \(3\) 인 직사각형이다.

\[A(x) = \int_0^x 3\,dt = 3x\]

이 \(A(x) = 3x\) 를 미분하면 다음을 얻는다.

\[A'(x) = 3 = f(x)\]

원래 높이 \(3\) 이 그대로 나왔다. 다른 예를 하나 더 확인한다. \(f(t) = 2t\) (원점을 지나는 직선), \(a = 0\) 이면 넓이는 밑변 \(x\), 높이 \(2x\) 인 삼각형이다.

\[A(x) = \int_0^x 2t\,dt = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2x = x^2\]

\[A'(x) = 2x = f(x)\]

여기서도 같은 결과가 나왔다. 넓이 함수를 미분하면 원래 함수의 높이가 그대로 나온다. 두 경우 모두 같은 결과가 나온 것은 우연이 아니다. 이 사실이 성립하는 이유를 그림 한 장으로 확인한다.

넓이가 늘어나는 속도가 곧 높이다 (FTC 1)

오른쪽 끝 \(x\) 를 아주 조금, \(h\) 만큼 옮기면 넓이가 얼마나 늘어나는지를 본다.

점으로 칠한 부분이 원래 넓이 \(A(x)\) 이고, 오른쪽 끝에 새로 붙은 가느다란 세로 막대가 늘어난 넓이다. \(x\) 에서 \(x+h\) 까지 늘어난 이 조각은 거의 직사각형이다. 위쪽이 약간 기울어 있지만, \(h\) 가 아주 작으면 그 기울기가 넓이에 주는 영향은 무시할 수 있을 만큼 작다.

그 직사각형의 넓이를 쓰면 다음과 같다.

\[A(x+h) - A(x) \approx f(x) \cdot h\]

왼쪽은 늘어난 넓이다. \(x+h\) 까지의 넓이에서 \(x\) 까지의 넓이를 뺀 것이다. 오른쪽은 가느다란 직사각형의 넓이, 곧 폭 곱하기 높이다. 폭은 \(h\), 높이는 그 자리의 함수값 \(f(x)\) 다. 이 식이 이 장의 출발점이며, 이후의 과정은 이 식을 정리하는 것이다.

양변을 \(h\) 로 나눈다.

\[\frac{A(x+h) - A(x)}{h} \approx f(x)\]

이 왼쪽 모양은 앞에서 다룬 형태다. 도함수를 정의할 때 쓴 차분몫 \(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\) 와 같은 꼴이다. 넓이 쪽에서 계산했는데 기울기 쪽의 식이 나타났다. 두 갈래가 연결되는 지점이 여기다.

이제 \(h\) 를 \(0\) 으로 보낸다. 위쪽의 기울어진 부분이 사라지므로 근사가 등식이 된다.

\[\lim_{h \to 0} \frac{A(x+h) - A(x)}{h} = f(x)\]

\[A'(x) = f(x)\]

이것이 미적분의 기본정리 1이다.

\[\boxed{\ A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad \Longrightarrow \quad A'(x) = f(x)\ }\]

넓이 함수의 도함수는 원래 함수다. 다르게 읽으면 — 넓이가 늘어나는 속도가 곧 그 자리의 높이다.

이로써 도입에서 제기한 물음의 답이 나온다. 곡선이 높은 자리를 지날 때와 낮은 자리를 지날 때 넓이가 늘어나는 속도는 다르다. 높이가 곧 속도이기 때문이다. 높은 자리에서는 넓이가 빠르게 늘고, 낮은 자리에서는 천천히 는다.

이 결과를 수치로 확인한다. 앞의 예에서 \(f(t) = 2t\), \(A(x) = x^2\) 였다.

\[A(3) = 9 \qquad A(3.1) = 9.61 \qquad \text{늘어난 넓이} = 9.61 - 9 = 0.61\]

\[\text{가느다란 직사각형} = f(3) \cdot h = 6 \times 0.1 = 0.6\]

두 값 \(0.61\) 과 \(0.6\) 은 거의 같다. 차이인 \(0.01\) 은 막대 꼭대기의 작은 삼각형, 곧 그림에서 위쪽 기울어진 부분에 해당한다. 그 값이 \(h^2 = 0.01\) 이다. 대수로 확인하면 다음과 같다.

\[A(x+h) - A(x) = (x+h)^2 - x^2 = 2xh + h^2\]

\[\frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \quad \xrightarrow{\ h \to 0\ } \quad 2x\]

\(h\) 로 나누면 \(2x + h\) 이고, \(h\) 를 \(0\) 으로 보내면 \(2x\), 곧 \(f(x)\) 다. 남는 삼각형은 \(h\) 로 나눠도 \(h\) 가 남으므로 \(0\) 으로 보내면 사라진다. 근사가 아니라 정확한 등식이다. \(h\) 를 줄이면 오차는 제곱으로 줄어든다 — \(h = 0.01\) 이면 \(A(3.01) - A(3) = 0.0601\), 직사각형은 \(0.06\), 오차는 \(0.0001\) 로 작아진다. 이것이 극한이 수행하는 역할이다.

거꾸로 묻기 — 부정적분과 적분상수 \(C\)

지금까지는 왼쪽에서 오른쪽으로만 진행했다. 함수가 주어지면 미분하여 도함수를 얻었다. 이번에는 반대 방향으로 진행한다. 거꾸로 묻는 것이다.

\[\frac{d}{dx}(\ \ ?\ \ ) = 2x\]

미분해서 \(2x\) 가 되는 함수는 \(x^2\) 이다. 그런데 그것 하나뿐이 아니다.

\[\frac{d}{dx}(x^2) = 2x \qquad \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x \qquad \frac{d}{dx}(x^2-7) = 2x\]

상수를 미분하면 \(0\) 이므로, 뒤에 어떤 상수를 붙여도 도함수는 변하지 않는다. 따라서 미분해서 \(2x\) 가 되는 함수는 하나가 아니라 무수히 많다.

같은 모양의 곡선을 위아래로 평행이동해도 각 점의 기울기는 변하지 않는다. 그래프 전체를 \(y\) 방향으로 \(10\) 만큼 옮겨도 모든 점의 접선 기울기는 그대로다. 따라서 도함수만으로는 원래 함수가 어느 높이에 있었는지 결정할 수 없다. 높이 정보는 미분에서 사라진다. 이것을 다음과 같이 쓴다.

\[\int 2x\,dx = x^2 + C\]

여기서 \(C\) 는 적분상수이며, 어떤 상수든 될 수 있다는 뜻이다. 이렇게 쓴 것을 부정적분이라고 부른다. 정해지지 않았다는 뜻의 ‘부정’이다. 답이 하나가 아니라 한 다발이기 때문이다. \(C\) 를 빠뜨리면 무수히 많은 답 중 하나만 쓴 것이므로 불완전하다. \(C\) 는 나머지 답을 모두 포함한다는 표시다.

용어를 하나 더 정의한다. 미분해서 \(f\) 가 되는 함수를 하나씩 가리킬 때, 그것을 \(f\) 의 역도함수라고 부른다. \(x^2\) 도, \(x^2+1\) 도, \(x^2-7\) 도 전부 \(2x\) 의 역도함수다. 따라서 역도함수는 무수히 많고, 그 전부를 한 다발로 묶어 쓴 것이 부정적분 \(x^2 + C\) 다.

\[\textbf{역도함수} \ = \ \text{미분하면 } f \text{ 가 되는 함수 } \textbf{하나}\]

\[\textbf{부정적분} \ = \ \text{그런 함수 } \textbf{전부} \text{ 를 묶은 한 다발} \ (\text{그래서 } C \text{ 가 붙는다})\]

‘역도함수’는 이후 계속 사용하는 용어다. 다음 절의 기본정리 2가 “역도함수를 하나만 찾으면 된다”는 정리이기 때문이다. 한 다발 전체가 아니라 그중 하나만 있으면 된다는 것이 그 정리의 핵심이다.

거듭제곱의 부정적분은 미분 규칙을 거꾸로 적용하여 얻는다. \(x^5\) 를 미분하면 \(5x^4\) 이다. 따라서 미분해서 \(x^4\) 이 되게 하려면 미리 \(5\) 로 나누어 두면 된다.

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{x^5}{5}\right) = \frac{5x^4}{5} = x^4 \qquad \Longrightarrow \qquad \int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C\]

일반형으로 정리하면 다음과 같다.

\[\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]

지수를 \(1\) 올리고, 올린 지수로 나눈다. 미분이 ‘지수를 앞으로 내리고 \(1\) 내린다’였으므로 정확히 반대 절차다.

적분에는 검산 절차가 함께 따라온다. 부정적분의 결과를 미분하면 원래 피적분함수로 돌아온다. 따라서 답의 정오를 스스로 확인할 수 있다.

\[x^2 + C \ \xrightarrow{\ \text{미분}\ } \ 2x \quad \text{✔ 원래 식으로 돌아왔다}\]

부정적분을 구한 뒤에는 항상 미분하여 원래 식으로 돌아오는지 확인한다.

역도함수 하나로 정적분을 끝낸다 (FTC 2)

남은 것은 다음 단계다. 넓이 함수 \(A(x)\) 를 미분하면 \(f(x)\) 다. 그런데 미분해서 \(f(x)\) 가 되는 함수를 앞 절에서 역도함수라고 정의했다. 즉 \(A(x)\) 는 \(f\) 의 역도함수 중 하나다.

\(F\) 를 \(f\) 의 임의의 역도함수라고 하자. \(A\) 와 \(F\) 는 둘 다 미분하면 \(f\) 다. 앞의 곡선 다발 그림에서 확인했듯이, 둘은 상수만큼만 차이 난다.

여기서 한 가지를 따로 확인해야 한다. 곡선 다발 그림이 보여 준 것은 “\(x^2 + C\) 들은 도함수가 전부 같다”였다. 지금 필요한 것은 그 반대 방향이다 — “도함수가 같으면 상수 차이일 수밖에 없다.” 방향이 다르므로 따로 확인한다. 확인은 다음과 같다.

차 함수를 하나 세운다.

\[H(x) = A(x) - F(x) \quad \Longrightarrow \quad H'(x) = A'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0\]

\(H\) 의 도함수가 어디서나 \(0\) 이다. 제30장에서 그래프를 도함수의 부호로 읽은 방법을 그대로 적용한다. \(H' > 0\) 이면 증가하고 \(H' < 0\) 이면 감소한다. 그런데 \(H'\) 은 어디서나 \(0\) 이므로 증가하지도 감소하지도 않는다. 증가하지도 감소하지도 않는 그래프는 수평선뿐이고, 수평선은 상수함수다.

\[H(x) = C \quad \Longrightarrow \quad A(x) - F(x) = C\]

앞 절의 평행이동을 반대 방향으로 읽어도 같은 결론이 나온다. 그래프를 \(y\) 방향으로 옮겨도 각 점의 기울기는 변하지 않았다. 반대로, 모든 점에서 기울기가 완전히 같은 두 그래프는 하나를 \(y\) 방향으로 평행이동한 것이다. 그 이동량이 \(C\) 다.

\[A(x) = F(x) + C\]

여기에 \(x = a\) 를 대입한다. \(A(a)\) 는 \(a\) 부터 \(a\) 까지의 넓이이므로 \(0\) 이다.

\[0 = F(a) + C \quad \Longrightarrow \quad C = -F(a) \quad \Longrightarrow \quad A(x) = F(x) - F(a)\]

이제 \(x = b\) 를 대입하면 다음을 얻는다.

\[\boxed{\ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\ }\]

이것이 미적분의 기본정리 2다. 넓이를 구하기 위해 직사각형을 무한히 쌓을 필요가 없다. 역도함수를 하나 찾아 양 끝값을 대입하고 빼면 값이 결정된다. 이 대입을 다음 표기로 쓴다.

\[\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\]

대괄호에 아래위로 숫자를 붙인 이 표기는 대입을 수행한다는 표시다. 위엣것에서 아랫것을 뺀다. 순서를 반대로 하면 부호가 통째로 뒤집힌다.

이제 앞 장에서 남겨 둔 계산을 마무리한다. 앞 장에서는 \(y = x^2\) 아래 \([0,1]\) 의 넓이를 구하려고 직사각형을 \(4\) 개, \(10\) 개, \(100\) 개까지 쌓았다. 그 값들을 계산하여 표로 정리했다.

직사각형 개수	오른쪽 끝 높이로 더한 값
4개	\(\dfrac{15}{32} = 0.46875\)
10개	\(\dfrac{77}{200} = 0.385\)
100개	\(\dfrac{6767}{20000} = 0.33835\)
1000개	\(0.3338335\)

값이 \(0.333\ldots\) 부근으로 다가갔고, 그 극한이 \(\dfrac{1}{3}\) 이라고 추측할 수 있었다. 앞 장에서는 그 추측까지가 한계였다. 이 장에서는 다음과 같이 계산한다.

\[\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}\]

세 줄로 계산이 끝난다. 그리고 결과는 추측이 아니라 정확히 \(\dfrac{1}{3}\) 이다. 근사가 아니다. 무한히 많은 직사각형을 다 쌓은 결과를 뺄셈 한 번으로 얻었다. 이것이 뉴턴과 라이프니츠가 도달한 결과이며, 구조물의 설계, 궤도 계산, 약물의 혈중 농도 계산 등이 모두 이 계산 위에서 이루어진다.

이제 다음 문장을 진술할 수 있다. 적분은 미분의 반대다. 앞 장에서는 이 문장을 쓰지 않았다. 넓이를 독립된 문제로 먼저 다룬 뒤에야 두 문제의 연결이 의미를 갖기 때문이다. 순서가 중요했다. 이 문장은 표어가 아니라 정리이며, 앞의 논증으로 증명되었다.

정적분의 성질과 부호 있는 넓이

문제 풀이에 사용하는 성질을 세 가지로 정리한다. 각각은 그림으로 직접 설명된다.

\[\int_a^b \{f(x) + g(x)\}\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx\]

\[\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx\]

\[\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx\]

둘째는 구간을 두 조각으로 나누어 각각의 넓이를 구한 뒤 더하는 것이고, 셋째는 오른쪽에서 왼쪽으로 재면 부호가 뒤집힌다는 것이다. 폭을 반대 방향으로 세기 때문이다.

부호는 넓이에도 붙는다. \(x\) 축 아래에 있는 부분은 넓이가 음수로 계산된다. 높이가 음수이므로 폭 곱하기 높이도 음수다. 따라서 정적분 값이 \(0\) 이거나 음수인 경우도 정의상 성립한다. 정적분이 측정하는 것은 ‘부호가 붙은 넓이’이다.

축의 이름을 바꾼다 — 속도를 적분하면 거리다

여기까지 정적분이 재는 대상은 넓이였다. 그런데 정적분이 재는 것은 넓이만이 아니다. 두 축이 나타내는 양을 바꾸면 똑같은 계산이 전혀 다른 양을 잰다.

속도가 일정하면 거리는 곱셈 한 번으로 구한다. 초속 \(6\) 미터로 \(4\) 초를 가면 \(24\) 미터다. 속도 곱하기 시간이다. 그런데 속도가 계속 변하면 어느 속도를 곱해야 할지 결정할 수 없다. 처음 속도를 곱해도, 마지막 속도를 곱해도 올바른 값이 나오지 않는다.

여기서 앞 장의 직사각형 분할을 그대로 사용한다. 시간을 아주 짧게 \(dt\) 만큼 자르면 그 동안 속도는 거의 변하지 않는다. 그 짧은 동안 이동한 거리는 곱셈 한 번으로 구해진다.

\[\text{짧은 동안 간 거리} = v(t)\,dt \qquad (\text{높이 } v(t), \text{ 폭 } dt \text{ 인 직사각형 하나})\]

이 직사각형을 전부 더한 것이 전체 거리다. 전부 더한다는 것은 적분한다는 뜻이다.

\[\text{거리} = \int_a^b v(t)\,dt \qquad \Longleftarrow \ \textbf{속도-시간 그래프 아래 넓이가 거리다}\]

세로축이 높이가 아니라 속도이고 가로축이 위치가 아니라 시간일 뿐, 직사각형을 더한다는 절차는 동일하다. 따라서 두 축이 나타내는 양을 바꾸면 다른 양도 잰다. 물이 매분 \(r(t)\) 리터씩 들어온다면 짧은 동안 들어온 물은 \(r(t)\,dt\) 이고, 그것을 전부 더한 \(\displaystyle\int_a^b r(t)\,dt\) 가 그 사이에 들어온 물의 총량이다.

\[\textbf{변화율을 적분하면 쌓인 총량이 나온다.}\]

검산은 이미 답을 아는 경우에 적용해 보는 것이다. 속도가 변하지 않는 \(v = 6\) 으로 놓고 \(0\) 부터 \(4\) 까지 적분한다.

\[\int_0^4 6\,dt = \Big[6t\Big]_0^4 = 24 - 0 = 24\]

곱셈으로 구한 \(6 \times 4 = 24\) 와 같다. 새 도구가 이미 아는 답을 그대로 재현하면 그 도구는 신뢰할 수 있다.

이제 속도가 변하는 경우를 계산한다. \(v(t) = 6t\) (m/s)로 \(0\) 초부터 \(4\) 초까지 이동한 거리는 다음과 같다.

\[\int_0^4 6t\,dt = \Big[3t^2\Big]_0^4 = 48 - 0 = 48 \ (\text{m})\]

이 경우에도 검산이 된다. 이 속도는 \(0\) 에서 시작해 \(24\) 까지 일정하게 증가하므로 속도 그래프가 삼각형이다. 밑변 \(4\), 높이 \(24\) 인 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times 4 \times 24 = 48\) ✔. 도형으로 계산해도 같은 답이다. 마지막 속도 \(24\) 에 \(4\) 초를 곱한 \(96\) 은 답이 아니다 — 그 값은 처음부터 끝까지 최고 속도로 이동했을 때의 거리다.

빈번한 오류

부정적분에서 적분상수 \(C\) 를 빠뜨린다

미분해서 \(f\) 가 되는 함수는 하나가 아니다. 상수를 미분하면 \(0\) 이므로, \(x^2\) 이든 \(x^2+1\) 이든 \(x^2-100\) 이든 미분하면 모두 \(2x\) 다. 따라서 \(\displaystyle\int 2x\,dx\) 의 답은 \(x^2\) 하나가 아니라 \(x^2 + C\) 라는 한 다발이다. \(C\) 를 빠뜨리면 무수히 많은 답 중 하나만 제시하고 나머지를 버린 것이 된다.

확인 문제: \(\displaystyle\int (4x^3 - 1)\,dx\). (답: \(x^4 - x + C\). \(C\) 가 없으면 미완성이다.)

정적분에 \(C\) 를 붙인다

부정적분과 정적분은 같은 적분 기호를 쓰지만 결과의 종류가 다르다. \(\displaystyle\int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3} + C\) 는 함수이고, 그것도 한 다발이다. 반면 \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\) 은 숫자 하나다. 앞의 것은 ‘무엇이냐’를, 뒤의 것은 ‘얼마냐’를 묻는다. 넓이는 하나의 수이므로 \(\dfrac{1}{3} + C\) 와 같은 형태가 될 수 없다. 또한 정적분에서 \(C\) 를 써도 위에서 더한 \(C\) 가 아래에서 그대로 빠져 반드시 사라진다. 따라서 정적분에는 \(C\) 를 쓰지 않는다.

확인 문제: \(\displaystyle\int 6x\,dx\) 와 \(\displaystyle\int_1^2 6x\,dx\) 의 답 형태는 어떻게 다른가? (답: \(3x^2 + C\)(함수)와 \(9\)(숫자).)

\(F(b) - F(a)\) 에서 부호가 꼬인다

\(\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^2-x)\,dx\) 에서 \(F(2)=\dfrac{2}{3}\), \(F(-1)=-\dfrac{5}{6}\) 까지 정확히 구해 놓고 \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}=-\dfrac{1}{6}\) 이라고 쓰는 오류가 잦다. 역도함수 계산은 옳으나 뺄셈 단계에서 값이 어긋난 것이다. 원인은 두 가지다. 하나는 음수를 빼는 계산(제5장)이 아직 자동화되지 않은 것이고, 하나는 \(F(a)\) 를 대입할 때 괄호를 치지 않는 것이다. \(F(a)\) 가 음수일 때는 반드시 괄호를 친다: \(\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{5}{6}\right)=\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{3}{2}\). 대입과 뺄셈을 한 줄에 몰아 쓰지 말고 ① 역도함수 ② 양 끝값 ③ 빼기의 세 줄로 나누면 부호 오류를 방지할 수 있다. 답의 부호를 미리 예상해 두는 것도 검산이 된다.

확인 문제: \(\displaystyle\int_{-1}^{1}(3x^2+1)\,dx\). (답: \(4\). \(F(x)=x^3+x\), \(2-(-2)=4\). 여기서 \(2-2=0\) 이라 쓰면 부호를 놓친 것이다.)

정적분 값이 음수로 나오면 오류라고 판단한다

\(\displaystyle\int_0^2 (x-1)\,dx = 0\) 이나 음수 값을 계산해 놓고 그 결과를 오류로 판단해 지우는 경우가 있다. ‘적분은 넓이’라는 이해만으로는 이 결과를 설명할 수 없다. 도형의 넓이는 음수가 될 수 없지만, 정적분이 재는 것은 도형의 넓이가 아니라 부호가 붙은 넓이다. \(x\) 축 아래에서는 높이가 음수이므로 폭 곱하기 높이도 음수로 계산된다. 따라서 값이 \(0\) 이거나 음수인 결과는 정의와 일치하며, 오류가 아니다. ‘어디에 있나(위치 변화)’를 묻는 문제에서는 정적분 값을 그대로 쓰고, ‘얼마나 움직였나(실제 거리)’를 묻는 문제에서는 구간을 조각내어 절댓값을 더한다. 문제가 무엇을 묻는지 먼저 확인한다.

확인 문제: \(\displaystyle\int_0^3 (x^2-2x)\,dx\) 를 계산하고 그 값이 나오는 이유를 그래프로 설명하라. (답: \(0\). \([0,2]\) 의 음수 넓이 \(-\dfrac{4}{3}\) 와 \([2,3]\) 의 양수 넓이 \(+\dfrac{4}{3}\) 가 상쇄된다.)

연습문제

계산기를 쓰지 않는다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. 이 장부터 절차가 하나 늘었다 — 부정적분 문제는 답을 쓴 뒤 미분하여 되돌려 본다. 원래 식으로 돌아오면 정답이다. 부정적분은 스스로 채점할 수 있는 첫 단원이다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

1. A 부정적분을 구하라. (1) \(\displaystyle\int x^5\,dx\) (2) \(\displaystyle\int 4x^3\,dx\) (3) \(\displaystyle\int 7\,dx\)

2. A 부정적분을 구하라. (1) \(\displaystyle\int (2x+3)\,dx\) (2) \(\displaystyle\int (x^2-6x+5)\,dx\)

3. A 정적분을 계산하라. (1) \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) (2) \(\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx\) (3) \(\displaystyle\int_1^2 6x\,dx\)

4. A 계산하라. \(\displaystyle\int_0^3 (2x+1)\,dx\)

5. A 다음 등식이 맞는지 미분으로 확인하고, 맞으면 ○ 틀리면 고쳐라. \(\displaystyle\int (3x^2+2x)\,dx = x^3 + x^2 + C\)

6. B 계산하라. \(\displaystyle\int_{-1}^{2} (x^2 - x)\,dx\)

7. B 계산하라. \(\displaystyle\int_1^3 (x^2 - 2x + 1)\,dx\)

8. B 계산하라. \(\displaystyle\int_0^2 (x-1)\,dx\) — 답이 나온 뒤, 그림을 그려서 왜 그런 값이 나오는지 한 줄로 설명하라.

9. B 계산하라. \(\displaystyle\int_{-2}^{2} x^3\,dx\) — 계산하기 전에 그래프 모양을 떠올리고 답을 예상해 보라.

10. B 어떤 물체가 \(t\) 초에 속도 \(v(t) = 6t\) (m/s)로 움직인다. \(t=0\) 부터 \(t=4\) 까지 이동한 거리는?

11. B 물탱크에 물이 \(r(t) = 2t+3\) (L/분)의 속도로 들어온다. \(0\) 분부터 \(5\) 분까지 들어온 물의 총량은?

12. B \(\displaystyle\int_0^a 3x^2\,dx = 8\) 을 만족하는 양수 \(a\) 를 구하라.

13. C \(A(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2+1)\,dt\) 일 때 \(A'(2)\) 를 구하라. 두 가지 방법으로 하라 — (1) FTC 1을 그대로 쓰기 (2) \(A(x)\) 를 실제로 계산한 뒤 미분하기. 두 답이 같은지 확인하라.

14. C \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) 를 계산할 때 역도함수를 \(\dfrac{x^3}{3} + C\) 로 잡고 \(C\) 를 끝까지 끌고 가며 계산해 보라. \(C\) 가 어떻게 되는가? 이것으로 “정적분에는 \(C\) 를 쓰지 않는다”를 설명하라.

정답과 해설

1. (1) \(\dfrac{x^6}{6} + C\) (2) \(x^4 + C\) — 미분하면 \(4x^3\) ✔ (3) \(7x + C\)

2. (1) \(x^2 + 3x + C\) (2) \(\dfrac{x^3}{3} - 3x^2 + 5x + C\) — 미분하면 \(x^2 - 6x + 5\) ✔ 빈번한 오류: 항마다 \(C\) 를 붙여 \(C_1, C_2, C_3\) 를 쓴다. 틀린 것은 아니지만 하나로 묶는다.

3. (1) \(\dfrac{1}{3}\) (2) \(4\) — \(\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_0^2 = \dfrac{16}{4}\) (3) \(9\) — \(\Big[3x^2\Big]_1^2 = 12 - 3\)

4. \(12\) — \(\Big[x^2+x\Big]_0^3 = (9+3) - 0\)

5. ○ (맞다) — \(\dfrac{d}{dx}(x^3+x^2+C) = 3x^2 + 2x\). 원래 피적분함수로 정확히 돌아왔다. 이 문항의 목적은 답을 맞히는 것이 아니라 검산 절차를 익히는 것이다.

6. \(\dfrac{3}{2}\) — \(F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2}\). \(F(2) = \dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}\), \(F(-1) = -\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{6}\). \(\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{5}{6}\right) = \dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}\). 빈번한 오류: \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} = -\dfrac{1}{6}\). \(F(a)\) 가 음수인데 괄호를 치지 않고 뺀 것이다. 원인은 적분이 아니라 음수 빼기(제5장) 에 있다.

7. \(\dfrac{8}{3}\) — \(F(x) = \dfrac{x^3}{3} - x^2 + x\). \(F(3) = 9-9+3 = 3\), \(F(1) = \dfrac{1}{3}-1+1 = \dfrac{1}{3}\). \(3 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3}\)

8. \(0\) — \(\left[\dfrac{x^2}{2} - x\right]_0^2 = (2-2) - 0 = 0\). 설명: \([0,1]\) 에서 그래프가 \(x\) 축 아래(넓이 \(-\dfrac{1}{2}\)), \([1,2]\) 에서 위(넓이 \(+\dfrac{1}{2}\)). 크기가 같아 상쇄된다. 정적분은 ‘부호 있는 넓이’다. 실제 도형 넓이를 구하려면 두 조각을 따로 계산해 절댓값을 더해야 하고, 그 값은 \(1\) 이다.

9. \(0\) — \(\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0\). \(y=x^3\) 은 원점 대칭이므로 왼쪽의 음수 넓이와 오른쪽의 양수 넓이가 정확히 상쇄된다. 계산 전에 답을 예측하면 계산 실수를 발견하기 쉽다.

10. \(48\) m — \(\displaystyle\int_0^4 6t\,dt = \Big[3t^2\Big]_0^4 = 48\). 적분을 쓰는 이유: 속도가 계속 변하므로 “속도 곱하기 시간”을 쓸 수 없다. 아주 짧은 시간 \(dt\) 동안은 속도가 거의 일정하므로 그동안 간 거리가 \(v(t)\,dt\) 이고, 그것을 전부 더한 것이 적분이다. 속도-시간 그래프 아래 넓이가 거리다.

11. \(40\) L — \(\displaystyle\int_0^5 (2t+3)\,dt = \Big[t^2+3t\Big]_0^5 = 25+15 = 40\). 빈번한 오류: \(r(5) = 13\) 에 \(5\) 분을 곱해 \(65\) L. 유입 속도가 변하는데 마지막 속도로 전 구간을 계산한 것이다.

12. \(a = 2\) — \(\Big[x^3\Big]_0^a = a^3 = 8\) 이므로 \(a = 2\). (음수 해는 실수 범위에서 없다.)

13. \(A'(2) = 5\). (1) FTC 1: \(A'(x) = x^2+1\) 이므로 \(A'(2) = 4+1 = 5\). 적분을 직접 계산할 필요가 없다. (2) 직접: \(A(x) = \left[\dfrac{t^3}{3}+t\right]_0^x = \dfrac{x^3}{3}+x\). 미분하면 \(x^2+1\), \(x=2\) 에서 \(5\). 일치 ✔ 이 문항의 요점: FTC 1은 적분을 계산하지 않고도 넓이 함수의 변화율을 알려준다. 이 점이 이 정리의 의의다.

14. \(C\) 는 사라진다. \(\left[\dfrac{x^3}{3}+C\right]_0^1 = \left(\dfrac{1}{3}+C\right) - \left(0+C\right) = \dfrac{1}{3} + C - C = \dfrac{1}{3}\). 위에서 한 번 더하고 아래에서 한 번 빼므로 상쇄된다. 어떤 \(C\) 를 골라도 정적분 값은 같다. 그래서 정적분에는 \(C\) 를 쓰지 않는다. 이는 규약이 아니라 계산 결과에서 따라 나오는 사실이다.

추가 연습문제

자습용이다. 부정적분과 정적분이 의도적으로 섞여 있다. 부정적분 문항은 답을 쓴 뒤 반드시 미분하여 되돌려 보고 확인한다. 이 검산 절차는 다음 장의 적분 기법에서도 그대로 사용된다.

부정적분 기본

1. \(\displaystyle\int 8\,dx\) 2. \(\displaystyle\int x^4\,dx\) 3. \(\displaystyle\int 6x^2\,dx\) 4. \(\displaystyle\int (x+5)\,dx\) 5. \(\displaystyle\int (2x-7)\,dx\) 6. \(\displaystyle\int (4x^3-3x^2)\,dx\) 7. \(\displaystyle\int (x^2+x+1)\,dx\)

정적분 기본

8. \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) 9. \(\displaystyle\int_0^2 4x\,dx\) 10. \(\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx\) 11. \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2+1)\,dx\) 12. \(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2\,dx\) 13. \(\displaystyle\int_1^2 (4x-1)\,dx\) 14. \(\displaystyle\int_0^3 (x^2-2x)\,dx\)

부호·성질·역방향

15. \(\displaystyle\int_{-2}^{1} x^3\,dx\) 16. \(\displaystyle\int_{-1}^{2} (3x^2-2x)\,dx\) 17. \(\displaystyle\int_0^1 (x^3-x)\,dx\)

16. \(\displaystyle\int_0^a 2x\,dx = 9\) 를 만족하는 양수 \(a\) 를 구하라.

17. \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 5\) 이고 \(\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx = 3\) 일 때, \(\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx\) 는?

18. \(\displaystyle\int_2^0 x^2\,dx\) (상한과 하한의 위치를 잘 보라)

문장제·설명

21. 어떤 물체의 속도가 \(v(t) = 3t^2\) (m/s)이다. \(t=0\) 부터 \(t=2\) 까지 이동한 거리는?

22. 물탱크에 물이 \(r(t) = 4t+2\) (L/분)로 들어온다. \(0\) 분부터 \(3\) 분까지 들어온 물의 총량은?

23. 어떤 물체의 속도가 \(v(t) = t-2\) (m/s)이다. \(t=0\) 부터 \(t=4\) 까지의 변위(위치의 변화)와 이동 거리를 각각 구하라. 두 값이 다른 이유를 한 줄로 쓰라.

24. 미적분의 기본정리를 자기 말로 세 문장 이내로 쓰라. “넓이”, “속도” 또는 “기울기”, “높이” 세 단어를 반드시 넣을 것.

25. 지난 장에서 직사각형 \(100\) 개로 구한 \(y=x^2\) 의 \([0,1]\) 넓이는 \(0.33835\) 였다. 이 장에서 FTC로 구한 값과 비교하고, 두 값이 다른 이유를 한 문장으로 쓰라.

정답과 해설

1. \(8x + C\) 2. \(\dfrac{x^5}{5} + C\) 3. \(2x^3 + C\) 4. \(\dfrac{x^2}{2} + 5x + C\) 5. \(x^2 - 7x + C\) 6. \(x^4 - x^3 + C\) 7. \(\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + x + C\)

（1–7 전부 미분하여 원래 식으로 돌아오는지 확인한다. 3번은 \(6x^2\), 6번은 \(4x^3-3x^2\) 로 돌아와야 한다.）

8. \(\dfrac{1}{3}\) 9. \(8\) 10. \(\dfrac{26}{3}\) — \(\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3 = 9 - \dfrac{1}{3}\) 11. \(10\) — \(\Big[x^3+x\Big]_0^2 = 8+2\) 12. \(\dfrac{2}{3}\) — \(\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)\), 여기서 부호에 주의한다 13. \(5\) — \(\Big[2x^2-x\Big]_1^2 = 6-1\) 14. \(0\)

12번 빈번한 오류: \(F(-1) = -\dfrac{1}{3}\) 인데 괄호를 치지 않아 \(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0\) 으로 계산한다. 짝함수의 대칭성으로 보면 답이 \(0\) 일 수 없다. \([-1,0]\) 과 \([0,1]\) 의 넓이가 각각 \(\dfrac{1}{3}\) 이므로 합은 \(\dfrac{2}{3}\) 이다.

14번: 답이 \(0\) 인 것은 정의와 일치한다. \([0,2]\) 에서 그래프가 \(x\) 축 아래이므로 넓이가 \(-\dfrac{4}{3}\), \([2,3]\) 에서는 위이므로 \(+\dfrac{4}{3}\) 이다. 두 값이 상쇄된다.

15. \(-\dfrac{15}{4}\) — \(\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-2}^{1} = \dfrac{1}{4} - 4\). 답이 음수인 것은 정의와 일치한다. 왼쪽의 음수 넓이가 훨씬 크다.

16. \(6\) — \(\Big[x^3-x^2\Big]_{-1}^{2} = (8-4) - (-1-1) = 4 + 2\). 빈번한 오류: \(4 - 2 = 2\). \(F(-1) = -2\) 를 뺄 때 괄호를 치지 않은 것이다. 이 장에서 특히 주의해야 할 부호 오류다.

17. \(-\dfrac{1}{4}\) — \(\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 = \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\). \([0,1]\) 에서 \(x^3 < x\) 이므로 피적분함수가 음수이고, 답도 음수다.

18. \(a = 3\) — \(\Big[x^2\Big]_0^a = a^2 = 9\). \(a = \pm 3\) 중 양수 조건으로 \(3\) 이다.

19. \(8\) — 구간 덧셈 성질이다. 구간을 두 조각으로 나누어 재고 합친 것이다.

20. \(-\dfrac{8}{3}\) — 상한이 \(0\), 하한이 \(2\) 다. \(\displaystyle\int_2^0 = -\displaystyle\int_0^2 = -\dfrac{8}{3}\). \(\dfrac{8}{3}\) 이라고 답했다면 상한과 하한의 위치를 확인하지 않은 것이다. 빈번한 오류: 습관적으로 작은 수를 아래에 놓고 계산한다.

21. \(8\) m — \(\Big[t^3\Big]_0^2 = 8\)

22. \(24\) L — \(\Big[2t^2+2t\Big]_0^3 = 18+6\). 빈번한 오류: \(r(3)=14\) 에 \(3\) 분을 곱해 \(42\) L. 속도가 변하는데 마지막 값으로 곱한 것이다.

23. 변위 \(0\) m, 이동 거리 \(4\) m. 변위 \(=\displaystyle\int_0^4 (t-2)\,dt = \Big[\dfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^4 = 8-8 = 0\). 이동 거리는 구간을 조각내어 절댓값을 더한다. \(\displaystyle\int_0^2 (t-2)\,dt = -2\), \(\displaystyle\int_2^4 (t-2)\,dt = 2\), 합이 \(|-2|+|2| = 4\) m. 이유: 처음 \(2\) 초는 뒤로(속도가 음수) \(2\) m, 다음 \(2\) 초는 앞으로 \(2\) m 이동했다. 출발점으로 돌아왔으므로 위치 변화는 \(0\) 이지만, 실제 이동 거리는 \(4\) m다.

24. 예시 답안: “넓이 함수를 미분하면 원래 함수의 높이가 나온다. 즉 넓이가 늘어나는 속도가 그 자리의 높이다. 그래서 넓이를 구하려면 미분해서 그 함수가 되는 함수(역도함수)를 찾아 양 끝값을 빼면 된다.” — 세 단어가 들어 있고 “넓이와 미분이 연결된다”는 취지가 있으면 정답으로 본다.

25. 이 장의 값은 정확히 \(\dfrac{1}{3} = 0.3333\ldots\) 이다. 지난 장의 값 \(0.33835\) 는 직사각형 \(100\) 개로 만든 근삿값이라 조금 크다(오른쪽 끝 높이를 쓰면 증가함수에서는 항상 실제보다 크게 나온다). 직사각형을 무한히 늘리면 \(\dfrac{1}{3}\) 으로 수렴한다. FTC는 그 극한을 극한 계산 없이 한 번에 준다.

요약과 다음 장

이 장의 핵심은 두 정리다. FTC 1: 넓이 함수를 미분하면 원래 함수가 나온다 — 넓이가 늘어나는 속도가 곧 그 자리의 높이다. FTC 2: 역도함수를 하나 찾아 양 끝값을 빼면 정적분이 결정된다. 여기에 미분해서 \(f\) 가 되는 함수는 한 다발이라는 것(적분상수 \(C\))과, 정적분에서는 그 \(C\) 가 상쇄되어 숫자 하나만 남는다는 것을 더했다.

\(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\) 은 이 장 전체의 축소판이다. 지난 장에서 직사각형을 무한히 쌓아 근삿값까지 갔던 것을, 이 장에서는 역도함수 \(\dfrac{x^3}{3}\) 의 양 끝값을 빼서 정확히 얻었다. 넓이 문제와 접선 문제가 하나였다는 것 — 이것이 미적분의 핵심 구조다.

다만 남는 문제가 하나 있다. 역도함수를 항상 쉽게 찾을 수 있는 것은 아니다. \(\displaystyle\int 8x(x^2+1)^3\,dx\) 에는 지수를 \(1\) 올리고 나누는 규칙을 그대로 적용할 수 없다. 제34장에서 역도함수를 찾아내는 기술(적분 기법)을 다룬다. 그 기술의 내용은 미분에서 다룬 연쇄법칙을 거꾸로 읽는 것이다. 미분에서 익힌 규칙은 적분에서 그대로 사용된다.