제7장 · 지수·제곱근과 연산 순서#
이 장
원본 코드 |
R1-W07 |
선행 내용 |
제6장(비·비율·백분율) |
요지 |
\(a^2\) 은 정사각형의 넓이이고, \(\sqrt{A}\) 는 넓이에서 한 변의 길이로 되돌아가는 연산이다. 식은 왼쪽부터가 아니라 우선순위가 높은 연산부터 계산한다. |
도입#
다음 두 등식에서 시작한다.
여기에 한 줄을 추가한다.
이 물음에 \(7\) 이라고 답하는 경우가 많다. \(3\) 과 \(4\) 를 더한 값이다. 그러나 \(9\) 더하기 \(16\) 은 \(25\) 이고, \(\sqrt{25}\) 는 \(5\) 이다.
두 값의 차이는 \(2\) 이다. 각 항에 제곱근을 따로 적용한 뒤 합치는 절차는 성립하지 않는다.
“각 항을 따로 처리한 뒤 합친다”는 절차는 어떤 연산에서는 실제로 성립한다. 절반의 경우에 맞기 때문에 오류가 드러날 기회가 적고, 그만큼 반복해서 나타난다. 이 장은 그 경계가 어디에서 갈리는지를 넓이 그림으로 확인한다.
먼저 기호의 의미를 확정한다. \(a^2\) 은 한 변이 \(a\) 인 정사각형의 넓이이고, \(\sqrt{A}\) 는 넓이 \(A\) 에서 한 변의 길이로 되돌아가는 연산이다. 이 정의 위에서 “넓이는 더할 수 있어도 변의 길이는 더해지지 않는다”를 확인한다. 후반부에서는 식을 왼쪽부터가 아니라 우선순위가 높은 연산부터 계산하는 방법을 다룬다.
거듭제곱은 반복된 곱셈이다#
위에 작게 쓴 \(4\) 는 곱하는 값이 아니라 곱한 횟수이다. 따라서 \(2^4\) 은 \(2 \times 4 = 8\) 이 아니라 \(16\) 이다. 이 지점에서 오류가 자주 발생하므로, \(2^4\) 은 “\(2\) 를 네 번 곱한다”로 읽는다.
\(10^3\) 이 \(1000\) 이라는 것은 새로운 사실이 아니다. \(0\) 의 개수가 곧 지수이다. 일상적으로 사용하는 십진 자릿값 체계가 이미 거듭제곱으로 구성되어 있다.
거듭제곱은 증가 속도가 빠르다. \(2^{10}\) 은 \(2\) 를 열 번 곱한 값으로 \(1024\) 이다. 종이를 열 번 접으면 \(1024\) 겹이 된다는 뜻이다. 실제로 종이는 예닐곱 번까지만 접히는데, 두께가 이처럼 빠르게 증가하기 때문이다.
제곱은 정사각형, 제곱근은 그 역#
\(a^2\) 은 암기 대상이 아니라 그림으로 정의된다. \(a^2\) 은 한 변이 \(a\) 인 정사각형의 넓이이다.
화살표의 방향을 반대로 돌린 것이 제곱근이다. 제곱근은 넓이가 주어졌을 때 한 변의 길이를 구하는 연산이다.
“넓이가 \(49\) 인 정사각형의 한 변은 얼마인가”라는 물음에 \(7\) 이라고 답하는 것은 \(\sqrt{49}\) 를 계산하는 것과 같다. 기호만 다를 뿐 수행하는 연산은 동일하다.
여기에서 한 가지 물음이 따라온다. 제5장에서 \((-3) \times (-3) = 9\) 를 확인했다. 그렇다면 제곱하여 \(9\) 가 되는 수는 \(3\) 과 \(-3\) 두 개이다.
제곱하여 \(9\) 가 되는 수는 둘이다. 그러나 \(\sqrt{9}\) 라는 기호는 그중 양수 쪽 하나만을 가리킨다. 이것은 발견된 사실이 아니라 정의상의 약속이다. 그렇게 정의한 이유는 \(\sqrt{\ \ }\) 가 넓이에서 한 변의 길이를 구하는 기호이고, 길이는 음수가 될 수 없기 때문이다. 따라서 \(\sqrt{9} = 3\) 이다.
기호의 의미와 물음의 의미를 구분한다. “\(\sqrt{9}\) 는 얼마인가”의 답은 \(3\) 하나이다. 그러나 “제곱하여 \(9\) 가 되는 수를 모두 구하라”의 답은 \(3\) 과 \(-3\) 둘이다. 두 물음은 서로 다른 물음이다. 뒤의 물음은 제2부에서 방정식으로 다시 다루며, 답이 둘이라는 사실이 그곳에서 \(\pm\) 기호로 표현된다.
넓이는 더해지지만 변의 길이는 더해지지 않는다#
도입의 물음으로 돌아간다. \(\sqrt{9+16}\) 이 \(7\) 이 아니라 \(5\) 인 이유를 그림으로 확인한다. \(9\) 와 \(16\) 을 넓이로 두고, 한 변이 \(7 = 3+4\) 인 정사각형을 그려 네 부분으로 분할한다.
왼쪽 위가 \(3 \times 3 = 9\), 오른쪽 아래가 \(4 \times 4 = 16\) 으로, 처음에 주어진 두 정사각형이다. 그런데 나머지 두 칸이 추가로 발생한다.
이 \(24\) 는 주어지지 않은 넓이이다. 주어진 것은 \(9\) 와 \(16\), 합하여 \(25\) 뿐이다. 그러나 한 변을 \(7\) 로 두는 순간 넓이가 \(49\) 로 늘어나 \(24\) 만큼이 추가된다. 따라서 넓이가 \(25\) 인 정사각형의 한 변은 \(7\) 이 아니라 \(5\) 이다.
넓이는 더할 수 있다. 변의 길이는 더할 수 없다. 이것이 이 장의 핵심 명제이다.
여기에서 \(7\) 이라는 답이 반복되는 이유를 짚는다. 부주의 때문이 아니라, 앞서 학습한 규칙이 절반의 경우에 성립하기 때문이다.
곱셈에서는 제곱근이 각 인수에 분배된다. 두 값이 같다. 그러나 덧셈에서는 성립하지 않는다. “괄호 안으로 분배할 수 있다”는 규칙만 기억되고 “곱셈일 때만”이라는 조건이 함께 기억되지 않은 것이 원인이다. 조건이 빠진 규칙은 반드시 오류를 만든다.
곱셈에서만 성립하는 이유는 넓이 그림으로 확인한다. 넓이가 \(4\) 인 정사각형은 한 변이 \(2\), 넓이가 \(9\) 인 정사각형은 한 변이 \(3\) 이다. 이 두 변을 곱하여 한 변이 \(2 \times 3 = 6\) 인 정사각형을 만들면 넓이는 다음과 같다.
두 넓이의 곱과 정확히 일치한다. 남는 부분도 모자라는 부분도 없다. 변끼리 곱하면 넓이도 정확히 곱해진다. 그래서 곱셈에서는 제곱근이 분배된다.
변끼리 더하는 경우는 그렇지 않다. 바로 앞 그림에서 한 변을 \(3+4\) 로 두자 \(3 \times 4\) 인 직사각형 두 개, 곧 넓이 \(24\) 가 추가로 발생했다. 넓이가 단순히 더해지지 않고 새로운 부분이 포함된 것이다. 변끼리 더하면 넓이는 단순히 더해지지 않는다. 그래서 덧셈에서는 제곱근이 분배되지 않는다.
비대칭의 이유는 이 두 문장에 모두 들어 있다. 곱셈에서는 남는 부분이 없고, 덧셈에서는 남는 부분이 있다.
이 비대칭이 이 절의 결론이다. 곱셈에서는 성립하고 덧셈에서는 성립하지 않는다. 뺄셈은 덧셈과 같다.
두 값은 \(6\) 과 \(2\) 로 다르다. 덧셈에서도 뺄셈에서도 제곱근은 분배되지 않는다. 또한 제곱근 기호는 그 자체가 괄호의 역할을 한다. 안에 있는 식을 먼저 모두 계산한 뒤 제곱근을 취한다.
연산 순서는 우선순위가 높은 연산부터#
\(14\) 라는 답이 나오기 쉽다. 그러나 실제 상황으로 바꾸어 확인한다. 사탕 \(3\) 개를 사고, 그다음에 \(4\) 개들이 봉지를 \(2\) 봉지 샀다. 사탕의 총 개수는 다음과 같다.
\(4 \times 2\) 는 이미 하나로 묶여 있는 값이다. 봉지에는 이미 \(4\) 개씩 담겨 있다. 곱셈을 먼저 계산하는 것은 임의의 규칙이기 때문이 아니라, 곱셈이 이미 묶인 것을 나타내기 때문이다. 덧셈은 그 묶음들을 나중에 합치는 연산이다.
영어권에서는 PEMDAS로 기억하지만, “묶는 힘이 강한 연산부터”라는 원칙 하나로 정리된다. 다만 두 가지 단서가 필요하다. ③에서 곱셈이 나눗셈보다 먼저인 것이 아니다. 두 연산은 우선순위가 같으므로 왼쪽부터 순서대로 계산한다.
④도 같다. 덧셈과 뺄셈도 우선순위가 같으므로 왼쪽부터 계산한다.
지수는 곱셈보다 우선순위가 높다. 따라서 다음과 같이 계산한다.
\(4^2\) 을 가장 먼저 계산한다. 이 식의 값을 \(80\) 으로 쓰는 오류가 가장 빈번한데, \(2+3\) 을 먼저 계산하여 \(5 \times 16\) 을 구한 결과이다. 왼쪽부터 읽는 습관에서 비롯된 오류이다. 분수 선도 같은 원리이다. 분수 선은 분자와 분모 각각에 씌워진 괄호이다. 분자를 모두 계산하고, 분모를 모두 계산한 뒤, 마지막에 나눈다.
계산기 기종에 따른 결과 차이#
실무에서 확인해 둘 사항이다. 같은 \(3 + 4 \times 2\) 를 입력해도 계산기 기종에 따라 결과가 다르다.
공학용 계산기, 스마트폰 계산기, 컴퓨터 스프레드시트: \(11\). 식 전체를 입력받은 뒤 연산 순서를 적용한다.
마트 계산기, 옛날 간이 계산기, 사무용 탁상 계산기: \(14\). 버튼을 누르는 순서대로 즉시 계산한다. \(3+4\) 를 계산하여 \(7\), 여기에 \(\times 2\) 를 적용하여 \(14\) 가 된다.
어느 한쪽이 고장난 것이 아니라 설계 방식이 다르다. 간이 계산기는 장부 계산용이므로 입력한 순서대로 처리하도록 만들어져 있다. 수학적으로 옳은 답은 \(11\) 이다. 따라서 중요한 계산에서는 괄호를 직접 입력한다. \(3 + (4 \times 2)\) 로 입력하면 기종과 무관하게 \(11\) 이 출력되며, 기종에 따른 차이가 제거된다.
지수는 바로 앞 하나에만 걸린다#
차이는 하나이다. 지수는 바로 앞에 붙은 것 하나에만 적용된다. \(-2^2\) 에서 제곱 바로 앞에 있는 것은 \(2\) 이고 음의 부호가 아니다. 따라서 \(2\) 를 제곱한 뒤 음의 부호를 붙인다. 괄호가 있으면 결과가 달라진다. \((-2)^2\) 에서는 괄호가 음의 부호까지 안에 포함하므로, 제곱이 적용되는 대상은 \(-2\) 라는 값 전체이다. 연산 순서표로 확인해도 같다. \(-2^2\) 은 \((-1) \times 2^2\) 이고, 지수가 곱셈보다 우선하므로 \((-1) \times 4 = -4\) 이다.
홀수 제곱에서는 결과가 다음과 같다.
이 경우에는 두 값이 모두 \(-8\) 로 같다. 그러나 여기에서 “괄호는 결과에 영향을 주지 않는다”고 결론지으면 오류이다. 홀수 제곱에서만 두 값이 일치한다. 음수를 홀수 번 곱하면 음의 부호가 하나 남고, 그것이 밖에 붙인 음의 부호 하나와 결과가 같기 때문이다. 짝수 번 곱하면 음의 부호가 짝을 이루어 사라지므로 두 값이 갈린다.
결론은 “같다/다르다”를 암기하는 것이 아니다. 괄호가 무엇을 묶고 있는지 매번 확인한다.
빈번한 오류#
\(\sqrt{a+b}\) 를 \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) 로 쓴다
\(\sqrt{9+16} = 3+4 = 7\) 로 쓰고, 같은 방식으로 \(\sqrt{100-64} = 10-8 = 2\) 로도 쓴다. 부주의 때문이 아니다. 초등학교에서 학습한 \(3 \times (4+5) = 3\times4 + 3\times5\), 곧 “바깥에 있는 값은 괄호 안으로 분배할 수 있다”는 규칙이 지금까지 반복해서 성립했기 때문이다. 또한 이 규칙은 절반의 경우에 실제로 성립한다. \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}\) 는 성립한다. 곱셈에서만 성립하는 성질을 덧셈에 적용해도 절반은 맞으므로 오류가 드러날 기회가 없었을 뿐이다. 넓이 그림으로 보면 성립하지 않는 이유가 분명해진다. 한 변을 \(7\) 로 두면 주어지지 않은 넓이 \(24\) 가 발생한다.
확인 문제: \(\sqrt{36+64}\) 와 \(\sqrt{36}+\sqrt{64}\) 를 각각. (답: \(10\) 과 \(14\). 다르다.)
\(3 + 4 \times 2\) 를 왼쪽부터 계산해 \(14\) 로 쓴다
글은 왼쪽부터 읽는다. 식도 문장처럼 읽으므로 왼쪽부터 처리하게 된다. 또한 마트나 가정에서 사용하는 간이 계산기가 실제로 \(14\) 를 출력해 왔으므로 그 감각에는 근거가 있다. 그러나 \(4 \times 2\) 는 이미 하나로 묶인 값이다. 사탕 \(3\) 개를 사고 \(4\) 개들이 봉지를 \(2\) 봉지 더 사면 모두 \(11\) 개이다. 곱셈을 먼저 계산하는 것은 임의의 규칙이기 때문이 아니라 이미 묶인 것을 나타내기 때문이다. 식을 확인한 즉시 곱셈·나눗셈에 연필로 괄호를 표시해 두면 남는 연산은 덧셈뿐이므로 오류가 발생하지 않는다.
확인 문제: \(10 - 2 \times 3\) 과 \((10-2) \times 3\). (답: \(4\) 와 \(24\).)
\(-2^2\) 과 \((-2)^2\) 을 같은 것으로 본다
\(-2^2\) 을 \(4\) 로 쓰거나, \((-2)^3\) 과 \(-2^3\) 이 둘 다 \(-8\) 인 것을 보고 “괄호는 상관없다”고 결론짓는다. 지수는 바로 앞에 붙은 것 하나에만 적용된다. \(-2^2\) 에서 제곱이 적용된 것은 \(2\) 하나이고 음의 부호는 밖에 있으므로 \(-(2^2) = -4\) 이다. \((-2)^2\) 은 괄호가 음의 부호까지 안에 포함하므로 \((-2)\times(-2) = 4\) 이다. 홀수 제곱에서 두 값이 같아지는 것은 특수한 경우이다. 음수를 홀수 번 곱하면 음의 부호가 하나 남아 밖에 붙인 음의 부호와 결과가 같아질 뿐이고, 짝수 제곱에서는 값이 갈린다. 괄호가 무엇을 묶고 있는지 매번 확인하는 것이 유일한 방법이다.
확인 문제: \((-5)^2\) 과 \(-5^2\), 그리고 \((-1)^{10}\) 과 \(-1^{10}\). (답: \(25\), \(-25\), \(1\), \(-1\).)
\(2^4\) 을 \(8\) 이라고 쓴다
지수를 곱하는 수로 읽어 \(2^4 = 2 \times 4 = 8\) 로 쓴다. 특히 밑이 \(2\) 일 때 자주 나타난다. 위에 작게 쓴 숫자는 곱하는 값이 아니라 곱한 횟수이다. 판단이 어려우면 지수의 횟수만큼 풀어 쓴다. \(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\) 이고 \(2\) 가 네 개이다. 시간은 더 걸리지만 오류가 발생하지 않는다.
확인 문제: \(3^4\) 과 \(3 \times 4\) 를 각각. (답: \(81\) 과 \(12\).)
연습문제#
계산기는 \(11\) 번과 \(12\) 번에서만 사용한다. 해결되지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. A 기본 · B 표준 · C 도전.
A계산하라. (1) \(4^2\) (2) \(3^3\) (3) \(2^5\) (4) \(10^4\)A계산하라. (1) \(\sqrt{49}\) (2) \(\sqrt{64}\) (3) \(\sqrt{121}\) (4) \(\sqrt{169}\)A계산하라. (1) \(5 + 2 \times 3\) (2) \((5+2) \times 3\) (3) \(20 - 6 \div 2\)A계산하라. (1) \(2 + 3 \times 4^2\) (2) \(12 \div 4 + 2^3\)A계산하라. (1) \((-4)^2\) (2) \(-4^2\) (3) \((-2)^3\) (4) \(-2^3\)B계산하라. (1) \(\sqrt{25 + 144}\) (2) \(\sqrt{25} + \sqrt{144}\)B(1) \(\sqrt{36 \times 4}\) 와 (2) \(\sqrt{36} \times \sqrt{4}\) 를 계산하고, (3) 6번의 결과와 비교해 알게 된 것을 한 줄로 쓰라.B계산하라. (1) \(3 \times (4+2)^2 - 10\) (2) \(\dfrac{8 + 4^2}{2^3}\)B계산하라. (1) \(18 \div 3 \times 2\) (2) \(18 \div (3 \times 2)\)B계산하라. \((-2)^2 \times 3 - \sqrt{81}\)B한 변이 \(12\) cm인 정사각형 화단의 넓이는 몇 cm\(^2\) 인가? 그리고 넓이가 \(196\) cm\(^2\) 인 정사각형 타일의 한 변은 몇 cm인가?B정사각형 방이 두 개 있다. 넓이가 각각 \(9\) m\(^2\) 와 \(16\) m\(^2\) 다. (1) 두 방의 넓이를 합치면? (2) 두 방의 한 변 길이를 합치면? (3) 넓이가 (1)의 답과 같은 정사각형 방 하나를 만든다면 그 방의 한 변은? (4) (2)와 (3)의 답이 왜 다른지 한 줄로 쓰라.C\(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) 가 성립하는 경우가 아예 없는가? \(a\) 와 \(b\) 에 여러 수를 넣어보고, 성립하는 경우를 찾으면 그 조건을 쓰라. (단 \(a\), \(b\) 는 0 이상)C다음 식에 괄호를 한 쌍만 넣어서 답이 \(15\) 가 되게 하라. \(\ 1 + 2 \times 3 + 4\)
정답과 해설
(1) \(16\) (2) \(27\) (3) \(32\) (4) \(10000\) — (3)을 \(10\) 으로 쓰면 지수를 곱셈으로 읽은 것이다(\(2 \times 5\)).
(1) \(7\) (2) \(8\) (3) \(11\) (4) \(13\) — 넓이에서 한 변을 되찾는 연산이다. \(11 \times 11 = 121\), \(13 \times 13 = 169\) 로 확인한다.
(1) \(11\) (2) \(21\) (3) \(17\) — 빈번한 오류: (1)을 \(21\), (3)을 \(7\) 로 쓴다. 왼쪽부터 계산한 결과이다. (3)에서 나눗셈이 뺄셈보다 먼저이다.
(1) \(50\) (2) \(11\) — (2)는 \(12 \div 4 = 3\), \(2^3 = 8\), 합하여 \(11\) 이다.
(1) \(16\) (2) \(-16\) (3) \(-8\) (4) \(-8\) — (1)과 (2)는 다르고 (3)과 (4)는 같다. 빈번한 오류: (3)과 (4)가 같은 것을 보고 “괄호는 상관없다”고 결론짓는다. 짝수 제곱에서 값이 갈린다.
(1) \(13\) — \(25+144 = 169\) (2) \(17\) — \(5+12\). 다르다.
(1) \(12\) — \(\sqrt{144}\) (2) \(12\) — \(6 \times 2\) (3) 예시 답안: “곱셈에서는 제곱근이 분배되어도 값이 같지만, 덧셈에서는 다르다.” 핵심은 곱셈과 덧셈의 대조를 언급하는 것이다. 이 한 줄을 쓸 수 있으면 이 장의 목표를 달성한 것이다.
(1) \(98\) — 괄호 먼저 \(6\), 제곱하여 \(36\), \(3 \times 36 = 108\), \(-10\) 하여 \(98\) (2) \(3\) — 분자가 \(24\), 분모가 \(8\)
(1) \(12\) (2) \(3\) — 빈번한 오류: (1)을 \(3\) 으로 쓴다. 곱셈이 나눗셈보다 먼저인 것이 아니다. 우선순위가 같으면 왼쪽부터 계산한다.
\(3\) — \((-2)^2 = 4\), \(4 \times 3 = 12\), \(\sqrt{81} = 9\), \(12 - 9 = 3\)
\(144\) cm\(^2\), \(14\) cm — 앞은 제곱, 뒤는 제곱근이다. \(14 \times 14 = 196\) 으로 확인한다. 두 물음이 정확히 반대 방향의 연산이라는 점을 확인한다.
(1) \(25\) m\(^2\) (2) \(3 + 4 = 7\) m (3) \(\sqrt{25} = 5\) m (4) 예시 답안: “넓이는 그대로 합칠 수 있지만 변의 길이는 합쳐지지 않는다. 한 변을 \(7\) 로 만들면 넓이가 \(49\) 가 되어 주어진 \(25\) 보다 \(24\) 만큼 많아진다.” — 이 문항이 이 장의 요약이다. (2)와 (3)이 각각 \(\sqrt{9}+\sqrt{16}\) 과 \(\sqrt{9+16}\) 임을 확인한다.
\(a = 0\) 또는 \(b = 0\) 일 때만 성립한다. 예: \(\sqrt{0+9} = 3\) 이고 \(\sqrt{0} + \sqrt{9} = 0 + 3 = 3\) 이다. 확인은 이 장의 넓이 그림으로 한다. 넓이가 \(a\) 인 정사각형(한 변 \(\sqrt{a}\))과 넓이가 \(b\) 인 정사각형(한 변 \(\sqrt{b}\))을 이어 붙여 한 변이 \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) 인 큰 정사각형을 만들면, \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) 인 직사각형이 두 개 추가로 발생한다. 도입의 \(12 + 12 = 24\) 가 바로 그 두 개이다. 두 식이 같아지려면 추가로 발생한 그 두 개가 \(0\) 이어야 하고, 직사각형의 넓이가 \(0\) 이려면 한 변이 \(0\) 이어야 하므로 결국 \(a\) 나 \(b\) 중 하나가 \(0\) 이어야 한다. (제2부에서 다룰 곱셈 공식으로 쓰면 \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}\) 이고, \(2\sqrt{ab} = 0\) 이라는 같은 결론이 나온다. 이 장에서는 그림으로 확인한다.) 여기서 배울 것: 틀린 공식도 특수한 경우에는 성립할 수 있다. 따라서 한두 개의 사례가 맞는다는 이유로 일반적으로 성립한다고 판단해서는 안 된다.
\(1 + 2 \times (3+4) = 1 + 14 = 15\) — 원래 식은 \(1+6+4 = 11\) 이다. 다른 위치도 시도하면 \((1+2) \times 3 + 4 = 13\), \((1+2) \times (3+4) = 21\) 로 모두 다르다. 괄호 하나가 결과를 바꾼다는 것을 확인하는 문항이다.
추가 연습문제#
연산 순서 문항은 계산 순서를 한 줄씩 적는다. 답만 기록하면 오류가 발생한 지점을 찾을 수 없다. 계산기는 \(12\) 번과 \(21\) 번에서만 사용한다.
계산하라. (1) \(2^3\) (2) \(3^4\) (3) \(5^2\) (4) \(10^5\)
계산하라. (1) \(1^{100}\) (2) \(0^5\) (3) \(7^2\) (4) \(12^2\)
계산하라. (1) \((-3)^2\) (2) \((-3)^3\) (3) \((-1)^{10}\) (4) \((-1)^{11}\)
계산하라. (1) \(-3^2\) (2) \(-3^3\) (3) \(-1^{10}\)
\(2^5\) 과 \(5^2\) 중 어느 쪽이 큰가? 각각 계산해서 보이라.
\(2^{10}\) 을 계산하라. (힌트: \(2^5 = 32\) 를 이용해도 좋다)
종이를 한 번 접으면 두 겹, 두 번 접으면 네 겹이다. 열 번 접으면 몇 겹인가?
계산하라. (1) \(\sqrt{4}\) (2) \(\sqrt{25}\) (3) \(\sqrt{81}\) (4) \(\sqrt{121}\)
계산하라. (1) \(\sqrt{144}\) (2) \(\sqrt{169}\) (3) \(\sqrt{225}\) (4) \(\sqrt{400}\)
계산하라. (1) \(\sqrt{9+16}\) (2) \(\sqrt{9} + \sqrt{16}\) (3) \(\sqrt{169-144}\) (4) \(\sqrt{169} - \sqrt{144}\)
(1) \(\sqrt{4 \times 25}\) 와 (2) \(\sqrt{4} \times \sqrt{25}\) 를 계산하라. (3) 10번과 무엇이 다른지 한 줄로 쓰라.
계산기로 \(\sqrt{2}\) 를 구해 소수점 아래 넷째 자리까지 쓰라. 그다음 \(1.4142\) 를 제곱해서 계산기에 나오는 값을 그대로 적으라. 정확히 \(2\) 가 나오는가?
넓이가 \(64\) m\(^2\) 인 정사각형 마당이 있다. 한 변은 몇 m인가? 마당 둘레에 울타리를 두르려면 울타리가 몇 m 필요한가?
계산하라. (1) \(7 + 2 \times 5\) (2) \((7+2) \times 5\) (3) \(7 \times 2 + 5\)
계산하라. (1) \(30 - 12 \div 3\) (2) \((30-12) \div 3\) (3) \(30 \div 6 - 2\)
계산하라. (1) \(2 + 3 \times 4^2\) (2) \((2+3) \times 4^2\) (3) \(2 + (3 \times 4)^2\)
계산하라. (1) \(24 \div 4 \times 2\) (2) \(24 \div (4 \times 2)\) (3) \(100 - 20 - 30\) (4) \(100 - (20-30)\)
계산하라. (1) \(5^2 - 3 \times 4\) (2) \((5-3)^2 \times 4\) (3) \(\dfrac{6^2 - 4}{2^4}\)
계산하라. (1) \(\sqrt{16} + 3 \times 2\) (2) \(\sqrt{4 \times 16}\) (3) \((-2)^4 \div 2^3\)
각 식에 괄호를 한 쌍만 넣어서 오른쪽 값이 나오게 하라. (1) \(2 + 4 \times 6 = 36\) (2) \(10 - 4 \times 2 + 8 = 20\) (3) \(12 \div 2 + 4 = 2\)
계산기에 \(3 + 4 \times 2\) 를 그대로 쳤을 때 \(11\) 이 나오는 계산기와 \(14\) 가 나오는 계산기가 있다. 각각 어떤 종류의 계산기인지 쓰고, 수학적으로 옳은 답이 무엇인지 쓰라. 집에 있는 계산기와 휴대폰 계산기로 직접 확인해 보라.
\(\sqrt{9+16} = \sqrt{9} + \sqrt{16}\) 이 왜 틀렸는지 넓이 그림을 직접 그려서 설명하라. (그림 + 두 문장)
\((-2)^2\), \(-2^2\), \((-2)^3\), \(-2^3\) 을 각각 계산하라. 그중 답이 같은 짝은 어느 것인가? 그리고 왜 그 짝만 같은지 한 문장으로 쓰라.
저금통에 첫날 \(2\) 원, 둘째 날 \(4\) 원, 셋째 날 \(8\) 원, 이렇게 매일 전날의 두 배를 넣는다. 열째 날에 넣는 금액은 얼마인가?
정사각형 모양 논의 넓이가 \(2500\) m\(^2\) 다. (1) 한 변의 길이는 몇 m인가? (2) 이 논의 넓이를 정확히 4배로 늘리려면 한 변을 몇 배로 해야 하는가?
정답과 해설
(1) \(8\) (2) \(81\) (3) \(25\) (4) \(100000\)
(1) \(1\) (2) \(0\) (3) \(49\) (4) \(144\) — (1) \(1\) 은 몇 번을 곱해도 \(1\) 이다.
(1) \(9\) (2) \(-27\) (3) \(1\) (4) \(-1\) — 음수를 짝수 번 곱하면 양수, 홀수 번 곱하면 음수이다. (3)과 (4)가 그 규칙을 그대로 보여준다.
(1) \(-9\) (2) \(-27\) (3) \(-1\) — 3번과 나란히 놓고 비교한다. \((-3)^2 = 9\) 인데 \(-3^2 = -9\) 이다. \((-3)^3\) 과 \(-3^3\) 은 둘 다 \(-27\) 로 같다. 홀수 제곱에서만 같아진다.
\(2^5 = 32\), \(5^2 = 25\). \(2^5\) 이 더 크다. 밑과 지수를 바꾸면 값이 달라진다. 지수가 밑보다 값에 크게 작용한다.
\(1024\) — \(2^{10} = 2^5 \times 2^5 = 32 \times 32 = 1024\)
\(1024\) 겹 — \(2^{10}\). 여기서 배울 것: 실제로 종이는 7~8번까지만 접힌다. 두께가 \(2^{10}\) 배가 되기 때문이다. 거듭제곱은 직관보다 훨씬 빠르게 증가한다.
(1) \(2\) (2) \(5\) (3) \(9\) (4) \(11\)
(1) \(12\) (2) \(13\) (3) \(15\) (4) \(20\)
(1) \(5\) (2) \(7\) (3) \(5\) (4) \(1\) — (1)과 (2)가 다르고, (3)과 (4)도 다르다. 덧셈에서도 뺄셈에서도 제곱근은 분배되지 않는다.
(1) \(10\) (2) \(10\) (3) 예시 답안: “10번은 덧셈·뺄셈이라 값이 달랐는데, 11번은 곱셈이라 값이 같다. 제곱근은 곱셈에서만 분배된다.” — 이 한 줄이 이 절의 핵심이다.
\(\sqrt{2} \approx 1.4142\) (더 정확히는 \(1.41421356\ldots\)). \(1.4142^2 = 1.99996164\) — 정확히 \(2\) 가 아니다. 여기서 배울 것: \(\sqrt{2}\) 는 소수로 완전히 적을 수 없는 수이다. 계산기가 출력하는 값은 잘라낸 근삿값이다. 이런 수를 무리수라고 부르며, 이 장에서는 명칭만 확인한다.
\(8\) m, 울타리 \(32\) m — \(\sqrt{64} = 8\), 둘레는 \(8 \times 4\) 이다. 빈번한 오류: 넓이 \(64\) 를 그대로 둘레로 쓴다. 넓이와 둘레는 다른 양이다.
(1) \(17\) (2) \(45\) (3) \(19\)
(1) \(26\) (2) \(6\) (3) \(3\) — (1)을 \(6\) 으로 쓰면 왼쪽부터 계산한 것이다. 나눗셈이 뺄셈보다 먼저이다.
(1) \(50\) (2) \(80\) (3) \(146\) — 같은 숫자인데 괄호 위치에 따라 세 개의 값이 나온다. (3)은 \((3 \times 4)^2 = 12^2 = 144\) 이고, 여기에 \(2\) 를 더해 \(146\) 이다.
(1) \(12\) (2) \(3\) (3) \(50\) (4) \(110\) — (1)과 (3)은 왼쪽부터 계산한다. (4)에서 \(20-30 = -10\) 이고 \(100 - (-10) = 110\) 이다. 음수의 뺄셈이 여기에서 나타난다.
(1) \(13\) (2) \(16\) (3) \(2\) — (3)은 분자가 \(36-4 = 32\), 분모가 \(16\) 이다.
(1) \(10\) (2) \(8\) — \(\sqrt{64}\) (3) \(2\) — \(16 \div 8\)
(1) \((2+4) \times 6\) (2) \((10-4) \times 2 + 8\) (3) \(12 \div (2+4)\) — 원래 값은 각각 \(26\), \(10\), \(10\) 이었다. 괄호 하나가 결과를 통째로 바꾼다.
\(11\) 이 나오는 것: 공학용 계산기, 스마트폰 계산기, 컴퓨터 스프레드시트. 식 전체를 입력받아 연산 순서를 적용한다. \(14\) 가 나오는 것: 마트·사무용 간이 계산기. 버튼을 누른 순서대로 즉시 계산한다. 수학적으로 옳은 답은 \(11\) 이다. 실무 요령: 중요한 계산은 \(3 + (4 \times 2)\) 처럼 괄호를 직접 입력한다.
예시 답안: 넓이가 \(9\) 인 정사각형(한 변 \(3\))과 넓이가 \(16\) 인 정사각형(한 변 \(4\))을 그린다. 넓이를 합치면 \(25\) 이고 그 정사각형의 한 변은 \(5\) 이다. 한 변을 \(3+4=7\) 로 만들면 넓이가 \(49\) 가 되는데, 이는 주어진 \(25\) 보다 \(24\) 만큼 많다. 그 \(24\) 는 \(3 \times 4\) 인 직사각형 두 개로, 주어지지 않은 넓이이다. — 그림에 \(3 \times 4\) 직사각형 두 개가 표시되어 있으면 완전 정답이다.
\((-2)^2 = 4\), \(-2^2 = -4\), \((-2)^3 = -8\), \(-2^3 = -8\). 같은 짝은 \((-2)^3\) 과 \(-2^3\) 이다. 예시 답안: “음수를 홀수 번 곱하면 음의 부호가 하나 남는데, 그것은 밖에 음의 부호를 하나 붙인 것과 결과가 같기 때문이다. 짝수 번이면 음의 부호가 짝을 이루어 사라지므로 값이 갈린다.”
\(1{,}024\) 원 — 첫날이 \(2^1\), 둘째 날이 \(2^2\) 이므로 열째 날은 \(2^{10} = 1{,}024\) 원이다. 빈번한 오류: \(2 \times 10 = 20\) 원으로 쓴다. 매일 두 배가 되는 것은 곱셈의 반복, 곧 거듭제곱이다.
(1) \(50\) m — \(\sqrt{2500}\) (2) \(2\) 배 — 한 변을 \(100\) m로 하면 넓이는 \(10000\) m\(^2\) 이고 이는 \(2500\) 의 4배이다. 여기서 배울 것: 변을 2배로 하면 넓이는 4배, 3배로 하면 9배가 된다. 넓이는 변의 제곱으로 증가한다. 이 장 그림의 다른 표현이다.
요약과 다음 장#
이 장의 내용은 세 문장으로 정리된다. 거듭제곱은 같은 수를 몇 번 곱한 것, 제곱은 정사각형의 넓이, 제곱근은 넓이에서 한 변으로 되돌아가는 연산이다. 여기에 두 가지를 추가했다. 넓이는 더할 수 있어도 변의 길이는 더해지지 않는다는 것(\(\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a}+\sqrt{b}\), 곱셈에서는 제곱근이 분배되어도 덧셈에서는 분배되지 않는다), 그리고 식은 왼쪽부터가 아니라 우선순위가 높은 연산부터 계산하되 지수는 바로 앞에 붙은 것 하나에만 적용된다는 것이다.
특히 넓이 그림에서 확인한 비대칭 — 곱셈에서는 분배되고 덧셈에서는 분배되지 않는다 — 은 이후에도 형태를 바꾸어 다시 나타난다. 그때 각 항을 따로 처리해서는 안 되는 연산이 있다는 이 장의 판단 기준을 적용한다.
다음 장에서는 지금까지 다룬 분수·소수·백분율·음수·지수를 한자리에 모아 섞어 푼다. 제8장은 이 산술 전체를 종합하는 장이다.