# 제7장 · 지수·제곱근과 연산 순서

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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| **원본 코드** | R1-W07 |
| **선행 내용** | 제6장(비·비율·백분율) |
| **요지** | $a^2$ 은 정사각형의 넓이이고, $\sqrt{A}$ 는 넓이에서 한 변의 길이로 되돌아가는 연산이다. 식은 왼쪽부터가 아니라 **우선순위가 높은 연산부터** 계산한다. |
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## 도입

다음 두 등식에서 시작한다.

$$\sqrt{9} = 3 \qquad \sqrt{16} = 4$$

여기에 한 줄을 추가한다.

$$\sqrt{9 + 16} = \ ?$$

이 물음에 $7$ 이라고 답하는 경우가 많다. $3$ 과 $4$ 를 더한 값이다. 그러나 $9$ 더하기 $16$ 은 $25$ 이고, $\sqrt{25}$ 는 $5$ 이다.

$$\sqrt{9+16} = 5 \qquad \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$$

두 값의 차이는 $2$ 이다. 각 항에 제곱근을 따로 적용한 뒤 합치는 절차는 성립하지 않는다.

"각 항을 따로 처리한 뒤 합친다"는 절차는 **어떤 연산에서는 실제로 성립한다.** 절반의 경우에 맞기 때문에 오류가 드러날 기회가 적고, 그만큼 반복해서 나타난다. 이 장은 그 경계가 어디에서 갈리는지를 넓이 그림으로 확인한다.

먼저 기호의 의미를 확정한다. **$a^2$ 은 한 변이 $a$ 인 정사각형의 넓이이고, $\sqrt{A}$ 는 넓이 $A$ 에서 한 변의 길이로 되돌아가는 연산이다.** 이 정의 위에서 "넓이는 더할 수 있어도 변의 길이는 더해지지 않는다"를 확인한다. 후반부에서는 식을 왼쪽부터가 아니라 **우선순위가 높은 연산부터** 계산하는 방법을 다룬다.

## 거듭제곱은 반복된 곱셈이다

$$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$$

위에 작게 쓴 $4$ 는 곱하는 값이 아니라 **곱한 횟수**이다. 따라서 $2^4$ 은 $2 \times 4 = 8$ 이 아니라 $16$ 이다. 이 지점에서 오류가 자주 발생하므로, $2^4$ 은 "$2$ 를 네 번 곱한다"로 읽는다.

$$3^2 = 9 \qquad 5^3 = 125 \qquad 10^3 = 1000$$

$10^3$ 이 $1000$ 이라는 것은 새로운 사실이 아니다. $0$ 의 개수가 곧 지수이다. 일상적으로 사용하는 십진 자릿값 체계가 이미 거듭제곱으로 구성되어 있다.

거듭제곱은 증가 속도가 빠르다. $2^{10}$ 은 $2$ 를 열 번 곱한 값으로 $1024$ 이다. 종이를 열 번 접으면 $1024$ 겹이 된다는 뜻이다. 실제로 종이는 예닐곱 번까지만 접히는데, 두께가 이처럼 빠르게 증가하기 때문이다.

## 제곱은 정사각형, 제곱근은 그 역

$a^2$ 은 암기 대상이 아니라 그림으로 정의된다. **$a^2$ 은 한 변이 $a$ 인 정사각형의 넓이이다.**

```{image} /_static/figs/ch07_squares.svg
:alt: 한 변 3과 4인 정사각형의 넓이 9와 16
:width: 460px
:align: center
:class: chfig
```

$$3^2 = 9 \qquad 4^2 = 16$$

화살표의 방향을 반대로 돌린 것이 제곱근이다. **제곱근은 넓이가 주어졌을 때 한 변의 길이를 구하는 연산이다.**

$$\sqrt{9} = 3 \qquad \sqrt{16} = 4 \qquad \sqrt{49} = 7$$

"넓이가 $49$ 인 정사각형의 한 변은 얼마인가"라는 물음에 $7$ 이라고 답하는 것은 $\sqrt{49}$ 를 계산하는 것과 같다. 기호만 다를 뿐 수행하는 연산은 동일하다.

여기에서 한 가지 물음이 따라온다. [제5장](ch05.md)에서 $(-3) \times (-3) = 9$ 를 확인했다. 그렇다면 제곱하여 $9$ 가 되는 수는 $3$ 과 $-3$ 두 개이다.

$$3 \times 3 = 9 \qquad (-3) \times (-3) = 9$$

제곱하여 $9$ 가 되는 수는 **둘**이다. 그러나 $\sqrt{9}$ 라는 기호는 그중 **양수 쪽 하나**만을 가리킨다. 이것은 발견된 사실이 아니라 **정의상의 약속**이다. 그렇게 정의한 이유는 $\sqrt{\ \ }$ 가 넓이에서 한 변의 길이를 구하는 기호이고, 길이는 음수가 될 수 없기 때문이다. 따라서 $\sqrt{9} = 3$ 이다.

기호의 의미와 물음의 의미를 구분한다. **"$\sqrt{9}$ 는 얼마인가"의 답은 $3$ 하나이다. 그러나 "제곱하여 $9$ 가 되는 수를 모두 구하라"의 답은 $3$ 과 $-3$ 둘이다.** 두 물음은 서로 다른 물음이다. 뒤의 물음은 제2부에서 방정식으로 다시 다루며, 답이 둘이라는 사실이 그곳에서 $\pm$ 기호로 표현된다.

## 넓이는 더해지지만 변의 길이는 더해지지 않는다

도입의 물음으로 돌아간다. $\sqrt{9+16}$ 이 $7$ 이 아니라 $5$ 인 이유를 그림으로 확인한다. $9$ 와 $16$ 을 넓이로 두고, 한 변이 $7 = 3+4$ 인 정사각형을 그려 네 부분으로 분할한다.

```{image} /_static/figs/ch07_area_decomp.svg
:alt: 7×7 정사각형을 9,12,12,16으로 분해
:width: 360px
:align: center
:class: chfig
```

왼쪽 위가 $3 \times 3 = 9$, 오른쪽 아래가 $4 \times 4 = 16$ 으로, 처음에 주어진 두 정사각형이다. 그런데 나머지 두 칸이 추가로 발생한다.

$$12 + 12 = 24$$

이 $24$ 는 주어지지 않은 넓이이다. 주어진 것은 $9$ 와 $16$, 합하여 $25$ 뿐이다. 그러나 한 변을 $7$ 로 두는 순간 넓이가 $49$ 로 늘어나 $24$ 만큼이 추가된다. 따라서 넓이가 $25$ 인 정사각형의 한 변은 $7$ 이 아니라 $5$ 이다.

```{image} /_static/figs/ch07_square25.svg
:alt: 넓이 25인 정사각형의 한 변은 5
:width: 240px
:align: center
:class: chfig
```

$$9 + 16 = 25 \quad \Rightarrow \quad \text{한 변} = \sqrt{25} = 5$$

**넓이는 더할 수 있다. 변의 길이는 더할 수 없다.** 이것이 이 장의 핵심 명제이다.

$$\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

여기에서 $7$ 이라는 답이 반복되는 이유를 짚는다. 부주의 때문이 아니라, **앞서 학습한 규칙이 절반의 경우에 성립하기 때문이다.**

$$\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 \qquad \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$$

**곱셈에서는 제곱근이 각 인수에 분배된다.** 두 값이 같다. 그러나 덧셈에서는 성립하지 않는다. "괄호 안으로 분배할 수 있다"는 규칙만 기억되고 "**곱셈일 때만**"이라는 조건이 함께 기억되지 않은 것이 원인이다. 조건이 빠진 규칙은 반드시 오류를 만든다.

곱셈에서만 성립하는 이유는 넓이 그림으로 확인한다. 넓이가 $4$ 인 정사각형은 한 변이 $2$, 넓이가 $9$ 인 정사각형은 한 변이 $3$ 이다. 이 두 변을 **곱하여** 한 변이 $2 \times 3 = 6$ 인 정사각형을 만들면 넓이는 다음과 같다.

$$6 \times 6 = (2 \times 3) \times (2 \times 3) = (2 \times 2) \times (3 \times 3) = 4 \times 9 = 36$$

두 넓이의 곱과 정확히 일치한다. 남는 부분도 모자라는 부분도 없다. **변끼리 곱하면 넓이도 정확히 곱해진다. 그래서 곱셈에서는 제곱근이 분배된다.**

변끼리 **더하는** 경우는 그렇지 않다. 바로 앞 그림에서 한 변을 $3+4$ 로 두자 $3 \times 4$ 인 직사각형 두 개, 곧 넓이 $24$ 가 추가로 발생했다. 넓이가 단순히 더해지지 않고 새로운 부분이 포함된 것이다. **변끼리 더하면 넓이는 단순히 더해지지 않는다. 그래서 덧셈에서는 제곱근이 분배되지 않는다.**

비대칭의 이유는 이 두 문장에 모두 들어 있다. 곱셈에서는 남는 부분이 없고, 덧셈에서는 남는 부분이 있다.

$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \quad (\text{맞다}) \qquad \sqrt{a+b} \ne \sqrt{a}+\sqrt{b} \quad (\text{틀리다})$$

이 **비대칭**이 이 절의 결론이다. 곱셈에서는 성립하고 덧셈에서는 성립하지 않는다. 뺄셈은 덧셈과 같다.

$$\sqrt{100-64} = \sqrt{36} = 6 \qquad \sqrt{100} - \sqrt{64} = 10 - 8 = 2$$

두 값은 $6$ 과 $2$ 로 다르다. 덧셈에서도 뺄셈에서도 제곱근은 분배되지 않는다. 또한 제곱근 기호는 그 자체가 괄호의 역할을 한다. 안에 있는 식을 먼저 모두 계산한 뒤 제곱근을 취한다.

$$\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \qquad (\sqrt{25}+\sqrt{144} = 5+12 = 17,\ \text{또 다르다})$$

## 연산 순서는 우선순위가 높은 연산부터

$$3 + 4 \times 2 = \ ?$$

$14$ 라는 답이 나오기 쉽다. 그러나 실제 상황으로 바꾸어 확인한다. 사탕 $3$ 개를 사고, 그다음에 $4$ 개들이 봉지를 $2$ 봉지 샀다. 사탕의 총 개수는 다음과 같다.

$$3 + (4 \times 2) = 3 + 8 = 11$$

$4 \times 2$ 는 이미 하나로 묶여 있는 값이다. 봉지에는 이미 $4$ 개씩 담겨 있다. **곱셈을 먼저 계산하는 것은 임의의 규칙이기 때문이 아니라, 곱셈이 이미 묶인 것을 나타내기 때문이다.** 덧셈은 그 묶음들을 나중에 합치는 연산이다.

$$\text{① 괄호} \ \to \ \text{② 지수} \ \to \ \text{③ 곱셈·나눗셈} \ \to \ \text{④ 덧셈·뺄셈}$$

영어권에서는 PEMDAS로 기억하지만, "**묶는 힘이 강한 연산부터**"라는 원칙 하나로 정리된다. 다만 두 가지 단서가 필요하다. ③에서 곱셈이 나눗셈보다 먼저인 것이 아니다. 두 연산은 우선순위가 같으므로 **왼쪽부터** 순서대로 계산한다.

$$18 \div 3 \times 2 = 6 \times 2 = 12 \qquad (\text{“} 18 \div 6 = 3 \text{”이 아니다})$$

④도 같다. 덧셈과 뺄셈도 우선순위가 같으므로 왼쪽부터 계산한다.

$$100 - 20 - 30 = 80 - 30 = 50 \qquad (\text{“} 100 - (-10) \text{”이 아니다})$$

지수는 곱셈보다 우선순위가 높다. 따라서 다음과 같이 계산한다.

$$2 + 3 \times 4^2 = 2 + 3 \times 16 = 2 + 48 = 50$$

$4^2$ 을 가장 먼저 계산한다. 이 식의 값을 $80$ 으로 쓰는 오류가 가장 빈번한데, $2+3$ 을 먼저 계산하여 $5 \times 16$ 을 구한 결과이다. 왼쪽부터 읽는 습관에서 비롯된 오류이다. 분수 선도 같은 원리이다. 분수 선은 분자와 분모 각각에 씌워진 괄호이다. 분자를 모두 계산하고, 분모를 모두 계산한 뒤, 마지막에 나눈다.

$$\frac{8 + 4^2}{2^3} = \frac{8+16}{8} = \frac{24}{8} = 3$$

## 계산기 기종에 따른 결과 차이

실무에서 확인해 둘 사항이다. 같은 $3 + 4 \times 2$ 를 입력해도 계산기 기종에 따라 결과가 다르다.

- **공학용 계산기, 스마트폰 계산기, 컴퓨터 스프레드시트**: $11$. 식 전체를 입력받은 뒤 연산 순서를 적용한다.
- **마트 계산기, 옛날 간이 계산기, 사무용 탁상 계산기**: $14$. 버튼을 누르는 순서대로 즉시 계산한다. $3+4$ 를 계산하여 $7$, 여기에 $\times 2$ 를 적용하여 $14$ 가 된다.

어느 한쪽이 고장난 것이 아니라 **설계 방식이 다르다.** 간이 계산기는 장부 계산용이므로 입력한 순서대로 처리하도록 만들어져 있다. 수학적으로 옳은 답은 $11$ 이다. 따라서 **중요한 계산에서는 괄호를 직접 입력한다.** $3 + (4 \times 2)$ 로 입력하면 기종과 무관하게 $11$ 이 출력되며, 기종에 따른 차이가 제거된다.

## 지수는 바로 앞 하나에만 걸린다

$$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$$
$$-2^2 = -(2 \times 2) = -4$$

차이는 하나이다. **지수는 바로 앞에 붙은 것 하나에만 적용된다.** $-2^2$ 에서 제곱 바로 앞에 있는 것은 $2$ 이고 음의 부호가 아니다. 따라서 $2$ 를 제곱한 뒤 음의 부호를 붙인다. 괄호가 있으면 결과가 달라진다. $(-2)^2$ 에서는 괄호가 음의 부호까지 안에 포함하므로, 제곱이 적용되는 대상은 $-2$ 라는 값 전체이다. 연산 순서표로 확인해도 같다. $-2^2$ 은 $(-1) \times 2^2$ 이고, 지수가 곱셈보다 우선하므로 $(-1) \times 4 = -4$ 이다.

홀수 제곱에서는 결과가 다음과 같다.

$$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \qquad -2^3 = -(2 \times 2 \times 2) = -8$$

이 경우에는 두 값이 모두 $-8$ 로 같다. 그러나 여기에서 "괄호는 결과에 영향을 주지 않는다"고 결론지으면 오류이다. **홀수 제곱에서만 두 값이 일치한다.** 음수를 홀수 번 곱하면 음의 부호가 하나 남고, 그것이 밖에 붙인 음의 부호 하나와 결과가 같기 때문이다. 짝수 번 곱하면 음의 부호가 짝을 이루어 사라지므로 두 값이 갈린다.

$$(-2)^2 = 4 \ / \ -2^2 = -4 \ (\text{다르다}) \qquad (-2)^3 = -8 \ / \ -2^3 = -8 \ (\text{같다}) \qquad (-2)^4 = 16 \ / \ -2^4 = -16 \ (\text{다르다})$$

결론은 "같다/다르다"를 암기하는 것이 아니다. **괄호가 무엇을 묶고 있는지 매번 확인한다.**

## 빈번한 오류

:::{admonition} $\sqrt{a+b}$ 를 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 로 쓴다
:class: warning
$\sqrt{9+16} = 3+4 = 7$ 로 쓰고, 같은 방식으로 $\sqrt{100-64} = 10-8 = 2$ 로도 쓴다. 부주의 때문이 아니다. 초등학교에서 학습한 $3 \times (4+5) = 3\times4 + 3\times5$, 곧 "바깥에 있는 값은 괄호 안으로 분배할 수 있다"는 규칙이 지금까지 반복해서 성립했기 때문이다. 또한 이 규칙은 절반의 경우에 실제로 성립한다. $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ 는 성립한다. 곱셈에서만 성립하는 성질을 덧셈에 적용해도 절반은 맞으므로 오류가 드러날 기회가 없었을 뿐이다. 넓이 그림으로 보면 성립하지 않는 이유가 분명해진다. 한 변을 $7$ 로 두면 주어지지 않은 넓이 $24$ 가 발생한다.

*확인 문제*: $\sqrt{36+64}$ 와 $\sqrt{36}+\sqrt{64}$ 를 각각. (답: $10$ 과 $14$. 다르다.)
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:::{admonition} $3 + 4 \times 2$ 를 왼쪽부터 계산해 $14$ 로 쓴다
:class: warning
글은 왼쪽부터 읽는다. 식도 문장처럼 읽으므로 왼쪽부터 처리하게 된다. 또한 마트나 가정에서 사용하는 간이 계산기가 실제로 $14$ 를 출력해 왔으므로 그 감각에는 근거가 있다. 그러나 $4 \times 2$ 는 이미 하나로 묶인 값이다. 사탕 $3$ 개를 사고 $4$ 개들이 봉지를 $2$ 봉지 더 사면 모두 $11$ 개이다. 곱셈을 먼저 계산하는 것은 임의의 규칙이기 때문이 아니라 이미 묶인 것을 나타내기 때문이다. 식을 확인한 즉시 곱셈·나눗셈에 연필로 괄호를 표시해 두면 남는 연산은 덧셈뿐이므로 오류가 발생하지 않는다.

*확인 문제*: $10 - 2 \times 3$ 과 $(10-2) \times 3$. (답: $4$ 와 $24$.)
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:::{admonition} $-2^2$ 과 $(-2)^2$ 을 같은 것으로 본다
:class: warning
$-2^2$ 을 $4$ 로 쓰거나, $(-2)^3$ 과 $-2^3$ 이 둘 다 $-8$ 인 것을 보고 "괄호는 상관없다"고 결론짓는다. 지수는 바로 앞에 붙은 것 하나에만 적용된다. $-2^2$ 에서 제곱이 적용된 것은 $2$ 하나이고 음의 부호는 밖에 있으므로 $-(2^2) = -4$ 이다. $(-2)^2$ 은 괄호가 음의 부호까지 안에 포함하므로 $(-2)\times(-2) = 4$ 이다. 홀수 제곱에서 두 값이 같아지는 것은 특수한 경우이다. 음수를 홀수 번 곱하면 음의 부호가 하나 남아 밖에 붙인 음의 부호와 결과가 같아질 뿐이고, 짝수 제곱에서는 값이 갈린다. 괄호가 무엇을 묶고 있는지 매번 확인하는 것이 유일한 방법이다.

*확인 문제*: $(-5)^2$ 과 $-5^2$, 그리고 $(-1)^{10}$ 과 $-1^{10}$. (답: $25$, $-25$, $1$, $-1$.)
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:::{admonition} $2^4$ 을 $8$ 이라고 쓴다
:class: warning
지수를 곱하는 수로 읽어 $2^4 = 2 \times 4 = 8$ 로 쓴다. 특히 밑이 $2$ 일 때 자주 나타난다. 위에 작게 쓴 숫자는 곱하는 값이 아니라 **곱한 횟수**이다. 판단이 어려우면 지수의 횟수만큼 풀어 쓴다. $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ 이고 $2$ 가 네 개이다. 시간은 더 걸리지만 오류가 발생하지 않는다.

*확인 문제*: $3^4$ 과 $3 \times 4$ 를 각각. (답: $81$ 과 $12$.)
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## 연습문제

계산기는 $11$ 번과 $12$ 번에서만 사용한다. 해결되지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` 계산하라. (1) $4^2$  (2) $3^3$  (3) $2^5$  (4) $10^4$
2. `A` 계산하라. (1) $\sqrt{49}$  (2) $\sqrt{64}$  (3) $\sqrt{121}$  (4) $\sqrt{169}$
3. `A` 계산하라. (1) $5 + 2 \times 3$  (2) $(5+2) \times 3$  (3) $20 - 6 \div 2$
4. `A` 계산하라. (1) $2 + 3 \times 4^2$  (2) $12 \div 4 + 2^3$
5. `A` 계산하라. (1) $(-4)^2$  (2) $-4^2$  (3) $(-2)^3$  (4) $-2^3$
6. `B` 계산하라. (1) $\sqrt{25 + 144}$  (2) $\sqrt{25} + \sqrt{144}$
7. `B` (1) $\sqrt{36 \times 4}$ 와 (2) $\sqrt{36} \times \sqrt{4}$ 를 계산하고, (3) 6번의 결과와 비교해 알게 된 것을 한 줄로 쓰라.
8. `B` 계산하라. (1) $3 \times (4+2)^2 - 10$  (2) $\dfrac{8 + 4^2}{2^3}$
9. `B` 계산하라. (1) $18 \div 3 \times 2$  (2) $18 \div (3 \times 2)$
10. `B` 계산하라. $(-2)^2 \times 3 - \sqrt{81}$
11. `B` 한 변이 $12$ cm인 정사각형 화단의 넓이는 몇 cm$^2$ 인가? 그리고 넓이가 $196$ cm$^2$ 인 정사각형 타일의 한 변은 몇 cm인가?
12. `B` 정사각형 방이 두 개 있다. 넓이가 각각 $9$ m$^2$ 와 $16$ m$^2$ 다. (1) 두 방의 넓이를 합치면? (2) 두 방의 한 변 길이를 합치면? (3) 넓이가 (1)의 답과 같은 정사각형 방 하나를 만든다면 그 방의 한 변은? (4) (2)와 (3)의 답이 왜 다른지 한 줄로 쓰라.
13. `C` $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ 가 성립하는 경우가 **아예 없는가?** $a$ 와 $b$ 에 여러 수를 넣어보고, 성립하는 경우를 찾으면 그 조건을 쓰라. (단 $a$, $b$ 는 0 이상)
14. `C` 다음 식에 괄호를 **한 쌍만** 넣어서 답이 $15$ 가 되게 하라. $\ 1 + 2 \times 3 + 4$

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $16$  (2) $27$  (3) $32$  (4) $10000$ — (3)을 $10$ 으로 쓰면 지수를 곱셈으로 읽은 것이다($2 \times 5$).
2. (1) $7$  (2) $8$  (3) $11$  (4) $13$ — 넓이에서 한 변을 되찾는 연산이다. $11 \times 11 = 121$, $13 \times 13 = 169$ 로 확인한다.
3. (1) $11$  (2) $21$  (3) $17$ — **빈번한 오류**: (1)을 $21$, (3)을 $7$ 로 쓴다. 왼쪽부터 계산한 결과이다. (3)에서 나눗셈이 뺄셈보다 먼저이다.
4. (1) $50$  (2) $11$ — (2)는 $12 \div 4 = 3$, $2^3 = 8$, 합하여 $11$ 이다.
5. (1) $16$  (2) $-16$  (3) $-8$  (4) $-8$ — (1)과 (2)는 다르고 (3)과 (4)는 같다. **빈번한 오류**: (3)과 (4)가 같은 것을 보고 "괄호는 상관없다"고 결론짓는다. 짝수 제곱에서 값이 갈린다.
6. (1) $13$ — $25+144 = 169$  (2) $17$ — $5+12$. **다르다.**
7. (1) $12$ — $\sqrt{144}$  (2) $12$ — $6 \times 2$  (3) 예시 답안: "곱셈에서는 제곱근이 분배되어도 값이 같지만, 덧셈에서는 다르다." **핵심은 곱셈과 덧셈의 대조를 언급하는 것이다.** 이 한 줄을 쓸 수 있으면 이 장의 목표를 달성한 것이다.
8. (1) $98$ — 괄호 먼저 $6$, 제곱하여 $36$, $3 \times 36 = 108$, $-10$ 하여 $98$  (2) $3$ — 분자가 $24$, 분모가 $8$
9. (1) $12$  (2) $3$ — **빈번한 오류**: (1)을 $3$ 으로 쓴다. 곱셈이 나눗셈보다 먼저인 것이 아니다. 우선순위가 같으면 왼쪽부터 계산한다.
10. $3$ — $(-2)^2 = 4$, $4 \times 3 = 12$, $\sqrt{81} = 9$, $12 - 9 = 3$
11. **$144$ cm$^2$, $14$ cm** — 앞은 제곱, 뒤는 제곱근이다. $14 \times 14 = 196$ 으로 확인한다. 두 물음이 정확히 반대 방향의 연산이라는 점을 확인한다.
12. (1) $25$ m$^2$  (2) $3 + 4 = 7$ m  (3) $\sqrt{25} = 5$ m  (4) 예시 답안: "넓이는 그대로 합칠 수 있지만 변의 길이는 합쳐지지 않는다. 한 변을 $7$ 로 만들면 넓이가 $49$ 가 되어 주어진 $25$ 보다 $24$ 만큼 많아진다." — **이 문항이 이 장의 요약이다.** (2)와 (3)이 각각 $\sqrt{9}+\sqrt{16}$ 과 $\sqrt{9+16}$ 임을 확인한다.
13. **$a = 0$ 또는 $b = 0$ 일 때만 성립한다.** 예: $\sqrt{0+9} = 3$ 이고 $\sqrt{0} + \sqrt{9} = 0 + 3 = 3$ 이다. 확인은 이 장의 넓이 그림으로 한다. 넓이가 $a$ 인 정사각형(한 변 $\sqrt{a}$)과 넓이가 $b$ 인 정사각형(한 변 $\sqrt{b}$)을 이어 붙여 한 변이 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 인 큰 정사각형을 만들면, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ 인 직사각형이 **두 개** 추가로 발생한다. 도입의 $12 + 12 = 24$ 가 바로 그 두 개이다. 두 식이 같아지려면 추가로 발생한 그 두 개가 $0$ 이어야 하고, 직사각형의 넓이가 $0$ 이려면 한 변이 $0$ 이어야 하므로 결국 $a$ 나 $b$ 중 하나가 $0$ 이어야 한다. (제2부에서 다룰 곱셈 공식으로 쓰면 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ 이고, $2\sqrt{ab} = 0$ 이라는 같은 결론이 나온다. 이 장에서는 그림으로 확인한다.) **여기서 배울 것**: 틀린 공식도 특수한 경우에는 성립할 수 있다. 따라서 한두 개의 사례가 맞는다는 이유로 일반적으로 성립한다고 판단해서는 안 된다.
14. $1 + 2 \times (3+4) = 1 + 14 = 15$ — 원래 식은 $1+6+4 = 11$ 이다. 다른 위치도 시도하면 $(1+2) \times 3 + 4 = 13$, $(1+2) \times (3+4) = 21$ 로 모두 다르다. 괄호 하나가 결과를 바꾼다는 것을 확인하는 문항이다.
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### 추가 연습문제

연산 순서 문항은 **계산 순서를 한 줄씩 적는다.** 답만 기록하면 오류가 발생한 지점을 찾을 수 없다. 계산기는 $12$ 번과 $21$ 번에서만 사용한다.

1. 계산하라. (1) $2^3$  (2) $3^4$  (3) $5^2$  (4) $10^5$
2. 계산하라. (1) $1^{100}$  (2) $0^5$  (3) $7^2$  (4) $12^2$
3. 계산하라. (1) $(-3)^2$  (2) $(-3)^3$  (3) $(-1)^{10}$  (4) $(-1)^{11}$
4. 계산하라. (1) $-3^2$  (2) $-3^3$  (3) $-1^{10}$
5. $2^5$ 과 $5^2$ 중 어느 쪽이 큰가? 각각 계산해서 보이라.
6. $2^{10}$ 을 계산하라. (힌트: $2^5 = 32$ 를 이용해도 좋다)
7. 종이를 한 번 접으면 두 겹, 두 번 접으면 네 겹이다. 열 번 접으면 몇 겹인가?
8. 계산하라. (1) $\sqrt{4}$  (2) $\sqrt{25}$  (3) $\sqrt{81}$  (4) $\sqrt{121}$
9. 계산하라. (1) $\sqrt{144}$  (2) $\sqrt{169}$  (3) $\sqrt{225}$  (4) $\sqrt{400}$
10. 계산하라. (1) $\sqrt{9+16}$  (2) $\sqrt{9} + \sqrt{16}$  (3) $\sqrt{169-144}$  (4) $\sqrt{169} - \sqrt{144}$
11. (1) $\sqrt{4 \times 25}$ 와 (2) $\sqrt{4} \times \sqrt{25}$ 를 계산하라. (3) 10번과 무엇이 다른지 한 줄로 쓰라.
12. 계산기로 $\sqrt{2}$ 를 구해 소수점 아래 넷째 자리까지 쓰라. 그다음 $1.4142$ 를 제곱해서 계산기에 나오는 값을 그대로 적으라. 정확히 $2$ 가 나오는가?
13. 넓이가 $64$ m$^2$ 인 정사각형 마당이 있다. 한 변은 몇 m인가? 마당 둘레에 울타리를 두르려면 울타리가 몇 m 필요한가?
14. 계산하라. (1) $7 + 2 \times 5$  (2) $(7+2) \times 5$  (3) $7 \times 2 + 5$
15. 계산하라. (1) $30 - 12 \div 3$  (2) $(30-12) \div 3$  (3) $30 \div 6 - 2$
16. 계산하라. (1) $2 + 3 \times 4^2$  (2) $(2+3) \times 4^2$  (3) $2 + (3 \times 4)^2$
17. 계산하라. (1) $24 \div 4 \times 2$  (2) $24 \div (4 \times 2)$  (3) $100 - 20 - 30$  (4) $100 - (20-30)$
18. 계산하라. (1) $5^2 - 3 \times 4$  (2) $(5-3)^2 \times 4$  (3) $\dfrac{6^2 - 4}{2^4}$
19. 계산하라. (1) $\sqrt{16} + 3 \times 2$  (2) $\sqrt{4 \times 16}$  (3) $(-2)^4 \div 2^3$
20. 각 식에 괄호를 **한 쌍만** 넣어서 오른쪽 값이 나오게 하라. (1) $2 + 4 \times 6 = 36$  (2) $10 - 4 \times 2 + 8 = 20$  (3) $12 \div 2 + 4 = 2$
21. 계산기에 $3 + 4 \times 2$ 를 그대로 쳤을 때 $11$ 이 나오는 계산기와 $14$ 가 나오는 계산기가 있다. 각각 어떤 종류의 계산기인지 쓰고, 수학적으로 옳은 답이 무엇인지 쓰라. 집에 있는 계산기와 휴대폰 계산기로 직접 확인해 보라.
22. $\sqrt{9+16} = \sqrt{9} + \sqrt{16}$ 이 왜 틀렸는지 **넓이 그림을 직접 그려서** 설명하라. (그림 + 두 문장)
23. $(-2)^2$, $-2^2$, $(-2)^3$, $-2^3$ 을 각각 계산하라. 그중 답이 **같은 짝**은 어느 것인가? 그리고 왜 그 짝만 같은지 한 문장으로 쓰라.
24. 저금통에 첫날 $2$ 원, 둘째 날 $4$ 원, 셋째 날 $8$ 원, 이렇게 매일 전날의 두 배를 넣는다. 열째 날에 넣는 금액은 얼마인가?
25. 정사각형 모양 논의 넓이가 $2500$ m$^2$ 다. (1) 한 변의 길이는 몇 m인가? (2) 이 논의 넓이를 정확히 4배로 늘리려면 한 변을 몇 배로 해야 하는가?

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $8$  (2) $81$  (3) $25$  (4) $100000$
2. (1) $1$  (2) $0$  (3) $49$  (4) $144$ — (1) $1$ 은 몇 번을 곱해도 $1$ 이다.
3. (1) $9$  (2) $-27$  (3) $1$  (4) $-1$ — **음수를 짝수 번 곱하면 양수, 홀수 번 곱하면 음수이다.** (3)과 (4)가 그 규칙을 그대로 보여준다.
4. (1) $-9$  (2) $-27$  (3) $-1$ — 3번과 나란히 놓고 비교한다. $(-3)^2 = 9$ 인데 $-3^2 = -9$ 이다. $(-3)^3$ 과 $-3^3$ 은 둘 다 $-27$ 로 같다. **홀수 제곱에서만 같아진다.**
5. $2^5 = 32$, $5^2 = 25$. **$2^5$ 이 더 크다.** 밑과 지수를 바꾸면 값이 달라진다. 지수가 밑보다 값에 크게 작용한다.
6. $1024$ — $2^{10} = 2^5 \times 2^5 = 32 \times 32 = 1024$
7. $1024$ 겹 — $2^{10}$. **여기서 배울 것**: 실제로 종이는 7~8번까지만 접힌다. 두께가 $2^{10}$ 배가 되기 때문이다. 거듭제곱은 직관보다 훨씬 빠르게 증가한다.
8. (1) $2$  (2) $5$  (3) $9$  (4) $11$
9. (1) $12$  (2) $13$  (3) $15$  (4) $20$
10. (1) $5$  (2) $7$  (3) $5$  (4) $1$ — **(1)과 (2)가 다르고, (3)과 (4)도 다르다.** 덧셈에서도 뺄셈에서도 제곱근은 분배되지 않는다.
11. (1) $10$  (2) $10$  (3) 예시 답안: "10번은 덧셈·뺄셈이라 값이 달랐는데, 11번은 곱셈이라 값이 같다. 제곱근은 곱셈에서만 분배된다." — **이 한 줄이 이 절의 핵심이다.**
12. $\sqrt{2} \approx 1.4142$ (더 정확히는 $1.41421356\ldots$). $1.4142^2 = 1.99996164$ — **정확히 $2$ 가 아니다.** **여기서 배울 것**: $\sqrt{2}$ 는 소수로 완전히 적을 수 없는 수이다. 계산기가 출력하는 값은 잘라낸 근삿값이다. 이런 수를 무리수라고 부르며, 이 장에서는 명칭만 확인한다.
13. $8$ m, 울타리 $32$ m — $\sqrt{64} = 8$, 둘레는 $8 \times 4$ 이다. **빈번한 오류**: 넓이 $64$ 를 그대로 둘레로 쓴다. 넓이와 둘레는 다른 양이다.
14. (1) $17$  (2) $45$  (3) $19$
15. (1) $26$  (2) $6$  (3) $3$ — (1)을 $6$ 으로 쓰면 왼쪽부터 계산한 것이다. 나눗셈이 뺄셈보다 먼저이다.
16. (1) $50$  (2) $80$  (3) $146$ — 같은 숫자인데 괄호 위치에 따라 세 개의 값이 나온다. (3)은 $(3 \times 4)^2 = 12^2 = 144$ 이고, 여기에 $2$ 를 더해 $146$ 이다.
17. (1) $12$  (2) $3$  (3) $50$  (4) $110$ — (1)과 (3)은 **왼쪽부터** 계산한다. (4)에서 $20-30 = -10$ 이고 $100 - (-10) = 110$ 이다. 음수의 뺄셈이 여기에서 나타난다.
18. (1) $13$  (2) $16$  (3) $2$ — (3)은 분자가 $36-4 = 32$, 분모가 $16$ 이다.
19. (1) $10$  (2) $8$ — $\sqrt{64}$  (3) $2$ — $16 \div 8$
20. (1) $(2+4) \times 6$  (2) $(10-4) \times 2 + 8$  (3) $12 \div (2+4)$ — 원래 값은 각각 $26$, $10$, $10$ 이었다. **괄호 하나가 결과를 통째로 바꾼다.**
21. $11$ 이 나오는 것: 공학용 계산기, 스마트폰 계산기, 컴퓨터 스프레드시트. 식 전체를 입력받아 연산 순서를 적용한다. $14$ 가 나오는 것: 마트·사무용 간이 계산기. 버튼을 누른 순서대로 즉시 계산한다. **수학적으로 옳은 답은 $11$ 이다.** 실무 요령: 중요한 계산은 $3 + (4 \times 2)$ 처럼 괄호를 직접 입력한다.
22. 예시 답안: 넓이가 $9$ 인 정사각형(한 변 $3$)과 넓이가 $16$ 인 정사각형(한 변 $4$)을 그린다. 넓이를 합치면 $25$ 이고 그 정사각형의 한 변은 $5$ 이다. 한 변을 $3+4=7$ 로 만들면 넓이가 $49$ 가 되는데, 이는 주어진 $25$ 보다 $24$ 만큼 많다. 그 $24$ 는 $3 \times 4$ 인 직사각형 두 개로, 주어지지 않은 넓이이다. — **그림에 $3 \times 4$ 직사각형 두 개가 표시되어 있으면 완전 정답이다.**
23. $(-2)^2 = 4$, $-2^2 = -4$, $(-2)^3 = -8$, $-2^3 = -8$. **같은 짝은 $(-2)^3$ 과 $-2^3$ 이다.** 예시 답안: "음수를 홀수 번 곱하면 음의 부호가 하나 남는데, 그것은 밖에 음의 부호를 하나 붙인 것과 결과가 같기 때문이다. 짝수 번이면 음의 부호가 짝을 이루어 사라지므로 값이 갈린다."
24. $1{,}024$ 원 — 첫날이 $2^1$, 둘째 날이 $2^2$ 이므로 열째 날은 $2^{10} = 1{,}024$ 원이다. **빈번한 오류**: $2 \times 10 = 20$ 원으로 쓴다. 매일 두 배가 되는 것은 곱셈의 반복, 곧 거듭제곱이다.
25. (1) $50$ m — $\sqrt{2500}$  (2) **$2$ 배** — 한 변을 $100$ m로 하면 넓이는 $10000$ m$^2$ 이고 이는 $2500$ 의 4배이다. **여기서 배울 것**: 변을 2배로 하면 넓이는 4배, 3배로 하면 9배가 된다. 넓이는 변의 **제곱**으로 증가한다. 이 장 그림의 다른 표현이다.
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## 요약과 다음 장

이 장의 내용은 세 문장으로 정리된다. **거듭제곱은 같은 수를 몇 번 곱한 것, 제곱은 정사각형의 넓이, 제곱근은 넓이에서 한 변으로 되돌아가는 연산이다.** 여기에 두 가지를 추가했다. 넓이는 더할 수 있어도 변의 길이는 더해지지 않는다는 것($\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$, 곱셈에서는 제곱근이 분배되어도 덧셈에서는 분배되지 않는다), 그리고 식은 왼쪽부터가 아니라 우선순위가 높은 연산부터 계산하되 지수는 바로 앞에 붙은 것 하나에만 적용된다는 것이다.

특히 넓이 그림에서 확인한 비대칭 — 곱셈에서는 분배되고 덧셈에서는 분배되지 않는다 — 은 이후에도 형태를 바꾸어 다시 나타난다. 그때 각 항을 따로 처리해서는 안 되는 연산이 있다는 이 장의 판단 기준을 적용한다.

다음 장에서는 지금까지 다룬 분수·소수·백분율·음수·지수를 한자리에 모아 섞어 푼다. [제8장](ch08.md)은 이 산술 전체를 종합하는 장이다.