제24장 · 변화율과 극한의 직관

이 장

원본 코드	R3-W04
선행 내용	제23장 (라디안)
요지	순간변화율은 평균변화율의 구간을 한없이 좁혀서 얻는 값이다. 극한은 ‘도달’이 아니라 ‘다가감’이다.

도입

차를 타고 \(100\) km를 \(2\) 시간에 이동한 경우, 평균 시속은 다음과 같다.

\[\frac{100 \text{ km}}{2 \text{ 시간}} = 50 \text{ km/h}\]

그러나 그 \(2\) 시간 동안 속도가 시속 \(50\) 으로 일정했던 것은 아니다. 정체 구간에서는 \(20\) 이었고 원활한 구간에서는 \(90\) 이었다. 속도계는 매 순간 다른 값을 가리킨다. 지금 계기판이 \(70\) 을 가리키고 있다고 하자.

이 \(70\) 이 무엇을 잰 값인지 묻는다. 속도는 거리를 시간으로 나눈 값이다. 그런데 ‘지금 이 순간’에 해당하는 시간은 \(0\) 초이고, \(0\) 초 동안 이동한 거리는 \(0\) m이다. 그러면 속도는

\[\frac{0 \text{ m}}{0 \text{ 초}} = \ ?\]

\(0 \div 0\) 이다. \(0\) 을 \(0\) 으로 나눈 값은 계산기에서 오류로 처리된다. 그런데 속도계는 오류 대신 \(70\) 이라는 값을 표시한다.

\[\text{“이 순간의 속도”란 무엇인가?}\]

이 문제가 미적분의 출발점이다. 뉴턴과 라이프니츠가 \(300\) 년 전에 다룬 것이 정확히 이 질문이다. 이 장에서는 이 질문의 답을 완결하지 않는다. 답이 놓인 위치를 수치와 그림으로 확인하는 데까지 다룬다.

‘지금 이 순간의 속도’를 재려면 시간 구간을 얼마로 잡아야 하는지 검토한다. \(1\) 초, \(0.1\) 초로 짧게 잡을수록 값이 정확해진다. 그렇다면 \(0.01\) 초는 그보다 정확하고 \(0.001\) 초는 다시 그보다 정확하며, 이 과정에는 끝이 없다. 실제 속도계도 진짜 ‘순간’을 재지 못한다. 아주 짧은 구간 동안 바퀴가 회전한 횟수를 세어 그 구간의 평균을 산출한다. 이 장에서 다루는 것이 이 방식이다. 순간의 값을, 아주 짧은 구간의 평균을 한없이 좁혀서 정의한다.

평균변화율은 할선의 기울기다

\(y = x^2\) 의 포물선 위에 \(x=1\) 인 점과 \(x=3\) 인 점을 찍고 두 점을 직선으로 잇는다.

두 점 \(P\), \(Q\) 를 잇는 이 직선을 할선(secant)이라 한다. 이 직선의 기울기는 세로 변화를 가로 변화로 나눈 값, 곧 \(8 \div 2 = 4\) 이다. 이것이 \(x=1\) 에서 \(x=3\) 까지의 평균변화율이다.

이름과 달리 내용은 단순하다. 두 점 사이에서 평균적으로 얼마나 가팔랐는지를 나타내는 값이다. \(100\) km를 \(2\) 시간에 이동했을 때 시속 \(50\) 이라 한 것과 같은 계산이다. 새로운 개념이 아니라 “기울기 = 변화율”에 이름을 붙인 것이다.

\[\text{평균변화율} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

분자는 세로 변화량이고 분모는 가로 변화량이다. 앞에서 다룬 직선의 기울기 공식과 같다.

같은 내용을 다르게 표기해 둔다. 두 번째 점을 \(b\) 라고 부르는 대신 “\(a\) 에서 \(h\) 만큼 떨어진 점”이라고 부른다.

\[b = a + h \quad \Rightarrow \quad \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

같은 식이다. 이렇게 표기하는 이유는 이후에 수행할 작업이 \(h\) 를 줄이는 일이기 때문이다. 줄일 대상에 미리 이름을 붙여 둔다.

\[\text{할선의 기울기} = \text{평균변화율}\]

이제 몇 개를 실제로 계산한다. \(f(x) = x^2\) 에서 \(x=1\) 부터 \(x=3\) 까지의 평균변화율은, 먼저 두 점의 높이를 구하면

\[f(3) = 9, \qquad f(1) = 1\]

\[\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

그림에서 잰 값과 일치한다. 이제 출발점은 \(x=1\) 에 고정하고 도착점만 \(x=1\) 쪽으로 당긴다.

\[[1, 3] : \ \frac{9 - 1}{2} = 4, \qquad [1, 2] : \ \frac{4 - 1}{1} = 3, \qquad [1, 1.5] : \ \frac{2.25 - 1}{0.5} = 2.5\]

세 값을 나란히 놓는다. \(4\), \(3\), \(2.5\). 도착점을 \(x=1\) 쪽으로 당길수록 값이 작아지면서 어떤 값에 접근한다. 접근하는 값이 무엇인지는 뒤에서 확인한다.

곡선이므로 이런 현상이 나타난다. 직선에서는 나타나지 않는다. \(f(x) = 2x + 5\) 에서 계산하면

\[[1, 3] : \ \frac{11 - 7}{2} = 2, \qquad [4, 9] : \ \frac{23 - 13}{5} = 2\]

직선은 어느 구간에서 재도 평균변화율이 같다. 가파르기가 변하지 않기 때문이다. 곡선은 구간에 따라 값이 달라지므로, 곡선에서는 “이 지점의 가파르기”라는 새로운 질문이 성립한다. 직선에서는 이 질문이 성립하지 않는다.

한 가지를 더 확인한다. \(f(x) = x^2\) 에서 \(x=-1\) 부터 \(x=1\) 까지의 평균변화율을 계산하면

\[\frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \frac{1 - 1}{2} = 0\]

\(0\) 이다. 두 점의 높이가 같으므로 평균 기울기가 \(0\) 이다. 그러나 그 사이에서 곡선은 한 번 내려갔다가 다시 올라온다. 평균변화율은 구간 내부에서 일어난 변화를 반영하지 않는다. 도입에서 다룬 차량의 경우와 같다. 평균 시속은 \(50\) 이지만 어떤 순간의 속도는 \(90\) 이었다. 이것이 순간변화율을 따로 정의하는 이유이다.

할선에서 접선으로 — 수치적 확인

두 점을 가깝게 하면 할선은 접선에 접근한다. 그리고 접선의 기울기가 순간변화율이다. 점 \(P\) 는 \(x=1\) 에 고정하고 점 \(Q\) 만 왼쪽으로 이동시킨다.

\(Q\) 를 \(P\) 쪽으로 이동시키면 직선의 기울기가 점점 작아진다. 이때 직선은 임의의 방향으로 변하는 것이 아니라 어떤 한 직선에 접근한다. \(P\) 에서 곡선에 접하는 그 직선을 접선이라 하고, 접선의 기울기가 곧 ‘이 지점의 가파르기’이다.

여기에는 제약이 하나 있다. \(Q\) 가 \(P\) 에 완전히 일치하면 점이 하나뿐이므로 직선을 결정할 수 없다. 한 점을 지나는 직선은 무수히 많기 때문이다. 따라서 두 점을 일치시키지 않고 접근시키기만 한다. 이것이 이 장의 핵심이다.

이제 수치로 확인한다. 함수는 \(f(x) = x^2\), 기준점은 \(x=1\) 이다. \(h\) 를 점점 줄이면서 평균변화율을 계산한다.

\[\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h}\]

오른쪽에서 다가가기

\(h\)	\(1+h\)	\(f(1+h) = (1+h)^2\)	\(f(1+h) - f(1)\)	평균변화율
\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(3\)	\(3\)
\(0.5\)	\(1.5\)	\(2.25\)	\(1.25\)	\(2.5\)
\(0.1\)	\(1.1\)	\(1.21\)	\(0.21\)	\(2.1\)
\(0.01\)	\(1.01\)	\(1.0201\)	\(0.0201\)	\(2.01\)
\(0.001\)	\(1.001\)	\(1.002001\)	\(0.002001\)	\(2.001\)

왼쪽에서 다가가기 (\(h\) 가 음수면 \(Q\) 가 \(P\) 의 왼쪽에 있다)

\(h\)	\(1+h\)	\(f(1+h)\)	\(f(1+h) - f(1)\)	평균변화율
\(-0.1\)	\(0.9\)	\(0.81\)	\(-0.19\)	\(1.9\)
\(-0.01\)	\(0.99\)	\(0.9801\)	\(-0.0199\)	\(1.99\)
\(-0.001\)	\(0.999\)	\(0.998001\)	\(-0.001999\)	\(1.999\)

마지막 열을 세로로 읽는다. 오른쪽에서는 \(3, 2.5, 2.1, 2.01, 2.001\) 로 위에서 감소하고, 왼쪽에서는 \(1.9, 1.99, 1.999\) 로 아래에서 증가한다. 양쪽이 모두 \(2\) 로 수렴한다. 그런데 어느 행에도 정확히 \(2\) 는 없다. \(2\) 는 표 안에 없으나, 표 전체가 \(2\) 를 가리킨다.

극한값이 2인 이유 — 대수적 확인

표는 \(2\) 를 가리킨다. 그러나 표는 유한하다. \(h = 0.0000001\) 에서 값이 다른 곳으로 갈 가능성은 표만으로 배제되지 않는다. 대수로 확인한다.

\[\frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}\]

\((1+h)^2\) 을 전개하면 \(1 + 2h + h^2\) 이다. \((1+h)^2\) 은 \(1 + h^2\) 이 아니다. 가운데 항 \(2h\) 가 있다.

\[= \frac{2h + h^2}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h\]

분자를 \(h\) 로 묶은 다음 분자와 분모의 \(h\) 를 약분했다. 약분이 가능한 이유는 \(h \ne 0\) 이기 때문이다. \(h\) 는 \(0\) 에 접근하는 중이지 \(0\) 이 아니다. 이 논리는 이후에도 반복해서 사용된다.

\[\text{평균변화율} = 2 + h\]

이 식으로 표의 값이 설명된다. \(h=1\) 이면 \(3\), \(h=0.1\) 이면 \(2.1\), \(h=0.001\) 이면 \(2.001\) 이다. \(h\) 를 \(0\) 에 가깝게 하면 \(2+h\) 는 \(2\) 에 가까워진다. 아무리 가까이 가도 정확히 \(2\) 가 되지는 않지만, 차이를 얼마든지 작게 만들 수 있다. 이것을 극한 기호로 표기한다.

\[\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2\]

이 기호는 “\(h\) 를 \(0\) 으로 보낼 때 이 식이 접근하는 값”이라고 읽는다. “\(h\) 에 \(0\) 을 대입한다”가 아니라 “\(0\) 으로 보낸다”이다. \(\to\) 는 화살표이고, 화살표는 도착이 아니라 방향을 나타낸다.

기준점 \(1\) 은 특별한 값이 아니다. 기준점을 \(1\) 대신 \(a\) 로 두고 같은 계산을 하면 앞의 계산은 다음과 같이 적힌다.

\[\text{$x=a$ 에서의 순간변화율} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

앞에서 평균변화율을 \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 로 표기해 둔 식과 비교하면, 새로 추가된 것은 앞의 \(\lim_{h\to0}\) 하나뿐이다. 평균변화율에 극한을 취하면 순간변화율이다. \(h\) 를 줄일 대상에 미리 이름을 붙여 둔 이유가 이것이다. 이후에는 이 형태가 반복해서 나온다.

이 식을 직접 유도하는 것이 연습문제 5번이다(\(2a+h\) 가 나온다). 거기에 \(a=1, 2, 3\) 을 대입해 값이 \(2a\) 로 정해지는 것을 확인하는 것이 추가 연습문제 10번이다. 두 문항을 풀면 이 형태가 정착된다.

극한은 도달이 아니다 — 구멍 뚫린 그래프

극한이 ‘도달’이 아니라는 점을 한 번 더 확인한다. 새로운 함수를 본다.

\[f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\]

\(x=1\) 을 대입하면 분모가 \(1-1 = 0\) 이 된다. \(0\) 으로 나눌 수 없으므로 \(f(1)\) 은 존재하지 않는다. 이 함수는 \(x=1\) 에서 정의되지 않는다. 그러나 \(x \ne 1\) 이면 약분된다.

\[\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x + 1 \quad (\text{단, } x \ne 1)\]

\[f(0.9) = 1.9, \quad f(0.99) = 1.99, \quad f(1.01) = 2.01, \quad f(1.1) = 2.1\]

\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2\]

직선 \(y = x+1\) 을 그리되 \(x=1\) 인 자리에는 점이 없다. 그 자리에는 속이 빈 원을 표시한다.

그래프에 구멍이 하나 있다. \(x=1\) 에서 이 함수는 값을 갖지 않는다. 그러나 극한은 \(2\) 이다. 두 사실은 모순되지 않는다. 극한은 ‘그 점에서의 함숫값’을 묻는 것이 아니라 ‘그 점 근처에서 함숫값이 어디로 가는가’를 묻는 것이기 때문이다. 구멍이 있어도 그 주변의 값들은 \(2\) 를 향한다.

\[\text{무한히 가까이 가되, 도달할 필요는 없다.}\]

이 문장이 미적분 전체의 기반이다. 도입에서 다룬 \(0 \div 0\) 의 문제는 이 방식으로 처리된다. \(0 \div 0\) 을 직접 계산하는 것이 아니라, \(0\) 초에 도달하지 않고 \(0\) 초에 접근하기만 한다. 그러면 값이 정해진다.

0을 0으로 나누기 — 부정형

마지막으로 한 가지를 더 다룬다. 앞의 \(\dfrac{x^2-1}{x-1}\) 에 \(x=1\) 을 그대로 대입하면 다음과 같다.

\[\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}\]

\(\dfrac{0}{0}\) 이다. 도입에서 본 형태와 같다. 그런데 이 극한이 \(2\) 라는 것은 앞에서 확인했다. 같은 \(\dfrac{0}{0}\) 이지만 극한값은 \(2\) 이다. 다른 문제에서는 \(\dfrac{0}{0}\) 이면서 극한값이 \(6\) 이거나 \(\dfrac{1}{2}\) 일 수 있다. 따라서 \(\dfrac{0}{0}\) 은 ‘답이 없다’가 아니라 ‘이 형태만으로는 값이 결정되지 않는다’는 신호이다. 이러한 형태를 부정형이라 한다. \(\dfrac{0}{0}\) 을 처리하는 방법이 다음 장의 내용이다.

빈번한 오류

“극한은 결국 \(h\) 에 0을 넣는 것이다”

화살표 \(\to\) 를 등호로 읽어서 생기는 오류이다. 이 책에서 지금까지 다룬 수학에서 “\(x\) 에 값을 넣는다”는 언제나 대입을 뜻했고, 접근이라는 조작은 이 장에서 처음 등장한다. 그러나 조작의 순서가 대입과 반대이다.

\[\text{틀린 순서: } \frac{(1+h)^2-1}{h} \ \xrightarrow{\ h=0\ } \ \frac{0}{0} \ \text{(막힘)}\]

\[\text{맞는 순서: } \frac{(1+h)^2-1}{h} \ = \ 2+h \ \xrightarrow{\ h \to 0\ } \ 2\]

같은 식이지만 하나는 계산이 막히고 하나는 값이 나온다. 차이는 약분을 먼저 했는가이다. 약분은 \(h \ne 0\) 일 때만 허용되는 조작이므로, 끝까지 \(h \ne 0\) 을 유지한다. \(h\) 가 \(0\) 에 도달하면 약분이 허용되지 않는다.

확인 문제: \(\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2\) 일 때 \(f(1)\) 은 얼마인가? (답: 없다. \(x=1\) 에서 정의되지 않는다. 도달하지 않아도 값은 정해진다.)

“0을 0으로 나누면 1이다”

“같은 수끼리 나누면 \(1\) 이다”라는 규칙을 \(\dfrac{0}{0}\) 에 그대로 적용해 생기는 오류이다. \(\dfrac{0}{0}\) 에 하나의 값이 대응한다고 보는 것이다. 나눗셈이 곱셈의 역연산이라는 점을 적용한다. \(\dfrac{6}{2} = 3\) 은 \(2 \times 3 = 6\) 을 뜻한다. 그렇다면 \(\dfrac{0}{0} = \ ?\) 는 \(0 \times \ ? = 0\) 을 묻는 것인데, \(?\) 에 어떤 수를 넣어도 등식이 성립한다. \(5\) 도 성립하고 \(100\) 도 성립한다. 답이 없는 것이 아니라 조건을 만족하는 값이 무수히 많아 하나로 결정되지 않는다. 그래서 이를 부정형이라 하고, 그래서 표를 만들어 주변 값의 거동을 확인한 것이다.

확인 문제: \(\dfrac{0}{0}\) 이 왜 하나로 정해지지 않는가? (답: \(0 \times \ ? = 0\) 을 만족하는 \(?\) 가 무수히 많아서.)

“접선은 곡선과 한 점에서만 만나는 직선이다”

중학교에서 배운 원의 접선 정의를 그대로 적용해 생기는 오류이다. 원에서는 접선이 정확히 한 점에서 만난다. 틀린 정의가 아니라 원에 한정해서만 성립하는 정의이다. 곡선이 원보다 복잡해지면 이 정의는 적용되지 않는다. \(y = x^3\) 의 \(x=0\) 에서의 접선은 곡선을 가로질러 지나가는 수평선이다. 곡선을 가로지르지만 접선이다. 접선의 정의는 ‘한 점에서 만나는 직선’이 아니라 **’할선이 접근하는 직선’**이다. 만나는 점의 개수는 접선의 정의와 무관하다.

확인 문제: 포물선 \(y=x^2\) 의 \(x=0\) 에서의 접선은 어떤 직선인가? (답: \(x\) 축, 곧 \(y=0\). 기울기 \(0\). \(\dfrac{h^2-0}{h} = h \to 0\) 으로도 확인된다.)

“평균속도는 속도들을 평균한 것이다”

“\(1\) 시간은 시속 \(40\), 다음 \(1\) 시간은 시속 \(60\), 평균은 \(50\)”까지는 성립한다. 그러나 “\(40\) km를 시속 \(40\) 으로, 그다음 \(40\) km를 시속 \(60\) 으로”인 경우에 같은 방식으로 \(50\) 이라 답하면 오류이다. 이때는 총 거리가 \(80\) km, 총 시간이 \(\dfrac{40}{40} + \dfrac{40}{60} = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}\) 시간이므로

\[\text{평균속도} = \frac{80}{5/3} = 48 \text{ km/h}\]

\(50\) 이 아니라 \(48\) 이다. 느린 구간에 더 긴 시간이 배정되므로 평균이 느린 쪽으로 치우친다. 평균변화율은 전체 변화량을 전체 구간의 크기로 나눈 값이며, 중간값들을 평균 낸 값이 아니다. 두 계산은 각 구간의 시간이 같을 때에만 일치한다.

확인 문제: \(f(x)=x^2\) 에서 \([1,3]\) 의 평균변화율은? \(f(1)\) 과 \(f(3)\) 의 평균과 같은가? (답: 평균변화율은 \(\dfrac{9-1}{2}=4\), 두 값의 평균은 \(\dfrac{1+9}{2}=5\). 다르다.)

연습문제

표를 채우는 문항에서는 계산기를 사용해도 된다. 이 장에서는 표를 채우는 문항이 가장 중요하다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

1. A \(f(x) = x^2\) 의 평균변화율을 구하라. (1) \(x=0\) 에서 \(x=2\) 까지 (2) \(x=2\) 에서 \(x=4\) 까지 (3) \(x=3\) 에서 \(x=5\) 까지

2. A \(f(x) = 2x + 5\) 의 평균변화율을 구하라. (1) \(x=1\) 에서 \(x=3\) 까지 (2) \(x=4\) 에서 \(x=9\) 까지. 두 답을 비교해 한 줄로 쓰라.

3. A \(f(x) = x^2 - 2x\) 의 \(x=1\) 에서 \(x=4\) 까지의 평균변화율.

4. A \(f(x) = x^2\), 기준점 \(x=3\). 표를 채우고 마지막 칸에 수렴하는 값을 쓰라.

   \(h\)	\(\dfrac{(3+h)^2 - 9}{h}\)
   \(1\)
   \(0.1\)
   \(0.01\)
   \(0.001\)
   \(h \to 0\)

5. B \(f(x) = x^2\) 에서 \(x=a\) 부터 \(x=a+h\) 까지의 평균변화율을 \(a\) 와 \(h\) 로 나타내라. (전개하고 약분할 것)

6. B \(f(x) = x^3\), 기준점 \(x=2\). \(h = 1,\ 0.1,\ 0.01\) 에 대해 평균변화율을 계산하고, 수렴하는 값을 추측하라.

7. B \(g(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}\) 에 대하여. (1) \(g(2)\) 를 구할 수 있는가? (2) \(x = 1.9,\ 1.99,\ 2.01,\ 2.1\) 에서의 값을 구하라. (3) \(\lim_{x \to 2} g(x)\) 는?

8. B 어떤 차의 주행 기록이다. 출발 후 시간과 총 주행거리다.

   시간(h)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
   거리(km)	\(0\)	\(40\)	\(90\)	\(150\)

   (1) \(3\) 시간 전체의 평균속도는? (2) 세 개의 \(1\) 시간 구간 중 가장 빨랐던 구간은?

9. B 물탱크에 물을 채운다. \(t\) 분 후 물의 양이 \(V(t) = t^2\) 리터다. (1) \(t=3\) 에서 \(t=5\) 까지의 평균 유량(분당 리터)을 구하라. (2) \(t=3\) 에서의 순간 유량을 \(h = 0.1,\ 0.01\) 로 추정하라.

10. B 공을 떨어뜨렸다. \(t\) 초 후 낙하거리가 \(s(t) = 5t^2\) 미터다. (1) \(t=2\) 에서 \(t=2+h\) 까지의 평균속도를 \(h\) 로 나타내라. (2) \(h = 0.1,\ 0.01\) 을 넣어 계산하라. (3) \(t=2\) 에서의 순간속도는?

11. C \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) 에서 \(x=1\) 부터 \(x=1+h\) 까지의 평균변화율을 \(h\) 로 나타내고(약분할 것), \(h \to 0\) 일 때 어디로 가는지 답하라.

12. C \(\dfrac{x^2-1}{x-1}\) 은 \(x=1\) 에서 값이 없는데 \(x \to 1\) 의 극한은 \(2\) 다. 이것이 왜 모순이 아닌지 두 문장으로 설명하라.

정답과 해설

1. (1) \(\dfrac{4-0}{2} = 2\) (2) \(\dfrac{16-4}{2} = 6\) (3) \(\dfrac{25-9}{2} = 8\) — 같은 폭 \(2\) 칸이지만 오른쪽으로 갈수록 값이 커진다. 포물선은 오른쪽으로 갈수록 가파르다.

2. (1) \(2\) (2) \(2\) — 직선은 어느 구간에서 재도 평균변화율이 같다. 그 값이 곧 기울기이다.

3. \(3\) — \(f(4) = 16-8 = 8\), \(f(1) = 1-2 = -1\), \(\dfrac{8-(-1)}{3} = \dfrac{9}{3} = 3\). 빈번한 오류: \(f(1) = -1\) 인데 부호를 놓쳐 \(\dfrac{8-1}{3}\) 으로 계산한다.

4. 위에서부터 \(7\), \(6.1\), \(6.01\), \(6.001\), 수렴값 \(\mathbf{6}\). (검산: \(\dfrac{(3+h)^2-9}{h} = \dfrac{6h+h^2}{h} = 6+h\))

5. \(\dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = \dfrac{h(2a+h)}{h} = 2a + h\). 빈번한 오류: \((a+h)^2 = a^2+h^2\) 으로 전개해서 \(h\) 만 남긴다. 가운데 항 \(2ah\) 가 이 문제의 핵심이다. \(a=1\) 을 넣으면 앞에서 본 \(2+h\) 가 그대로 나온다.

6. 먼저 \((2+h)^3\) 을 전개한다. 세제곱은 제곱에 한 번 더 곱하는 것이다. \((2+h)^3 = (2+h)^2(2+h) = (4+4h+h^2)(2+h) = 8+12h+6h^2+h^3\). 여기서 \(8\) 을 빼면 분자는 \(12h+6h^2+h^3\) 이고, \(h\) 로 묶어 나누면 \(\dfrac{h(12+6h+h^2)}{h} = 12+6h+h^2\). \(h=1\) 이면 \(19\), \(h=0.1\) 이면 \(12.61\), \(h=0.01\) 이면 \(12.0601\). 수렴값 \(\mathbf{12}\). 검산: \(h=1\) 을 원래 식에 그대로 넣으면 \(\dfrac{3^3-8}{1} = \dfrac{27-8}{1} = 19\) 이고, 정리한 식에 넣어도 \(12+6+1 = 19\) 로 일치한다. 이 문항에서 막히는 경우 원인은 극한이 아니라 전개이다. \((2+h)^3\) 을 \(8+h^3\) 으로 쓰면 교차항 \(12h\) 와 \(6h^2\) 이 함께 사라진다. 바로 앞 5번에서 다룬 \(2ah\) 와 같은 유형의 오류이며, 세제곱에서는 빠뜨리는 항이 하나가 아니라 둘이다.

7. (1) 구할 수 없다. 분모가 \(2-2=0\) 이 되어 정의되지 않는다. (2) \(3.9,\ 3.99,\ 4.01,\ 4.1\) (3) \(\mathbf{4}\). 빈번한 오류: (1)에 \(4\) 라고 쓴다. 약분한 뒤 대입하면 \(4\) 가 나오지만, 약분은 \(x \ne 2\) 일 때만 허용되는 조작이다. \(x=2\) 는 그 조작의 적용 범위 밖이다.

8. (1) \(\dfrac{150 - 0}{3} = 50\) km/h (2) 각 구간이 \(40\), \(50\), \(60\) km/h 이므로 \(2\) 시간에서 \(3\) 시간 사이가 가장 빠르다. 전체 평균 \(50\) 은 어느 구간에서도 실제로 나오지 않은 값이다 — 도입에서 다룬 차량과 같다.

9. (1) \(\dfrac{25 - 9}{2} = 8\) 리터/분 (2) \(\dfrac{(3+h)^2-9}{h} = 6+h\) 이므로 \(6.1\), \(6.01\). 순간 유량은 약 \(\mathbf{6}\) 리터/분.

10. (1) \(\dfrac{5(2+h)^2 - 20}{h} = \dfrac{20h + 5h^2}{h} = 20 + 5h\) (2) \(h=0.1\) 이면 \(20.5\), \(h=0.01\) 이면 \(20.05\) (3) \(\mathbf{20}\) m/s

11. \(\dfrac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} = \dfrac{\frac{1 - (1+h)}{1+h}}{h} = \dfrac{-h}{h(1+h)} = \dfrac{-1}{1+h}\). \(h \to 0\) 이면 \(\mathbf{-1}\). 음수가 나온 이유: \(y = \dfrac1x\) 는 감소하는 곡선이므로 기울기가 음수이다.

12. 예시 답안: “극한은 \(x=1\) 에서의 함숫값을 묻는 것이 아니라 \(x\) 가 \(1\) 에 가까워질 때 식의 값이 어디로 가는지를 묻는 것이다. \(x \ne 1\) 인 모든 점에서 이 식은 \(x+1\) 과 같으므로, \(1\) 근처의 값들은 모두 \(2\) 를 향한다.” — 핵심은 “함숫값과 극한값은 다른 질문” 임을 언급하는 것. “구멍이 있어도 주변이 가리키는 값은 있다”만 써도 부분 정답.

추가 연습문제

참고 자료로 3Blue1Brown의 Essence of Calculus \(1\) 화 “The essence of calculus”와 \(2\) 화 “The paradox of the derivative”가 있다(각 약 \(17\) 분, 한국어 자막 제공). \(2\) 화 제목의 ‘역설’은 도입에서 속도계를 두고 다룬 문제와 같은 내용이며, 그 내용을 두 문장으로 정리하면 이 장의 내용이 한 번 더 정리된다.

1. \(f(x) = x^2\) 의 \(x=1\) 에서 \(x=4\) 까지의 평균변화율.

2. \(f(x) = x^2 + 1\) 의 \(x=0\) 에서 \(x=3\) 까지의 평균변화율.

3. \(f(x) = -x^2\) 의 \(x=1\) 에서 \(x=3\) 까지의 평균변화율.

4. \(f(x) = 4x - 7\) 의 \(x=2\) 에서 \(x=6\) 까지의 평균변화율.

5. \(f(x) = x^3\) 의 \(x=0\) 에서 \(x=2\) 까지의 평균변화율.

6. \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) 의 \(x=1\) 에서 \(x=4\) 까지의 평균변화율.

7. \(f(x) = x^2 - 4x\) 의 \(x=1\) 에서 \(x=5\) 까지의 평균변화율.

8. \(f(x) = x^2\), 기준점 \(x=2\). 표를 채우고 수렴값을 쓰라.

   \(h\)	\(1\)	\(0.1\)	\(0.01\)	\(0.001\)	\(h \to 0\)
   \(\dfrac{(2+h)^2-4}{h}\)

9. 같은 함수, 같은 기준점. 이번엔 왼쪽에서 다가간다. \(h = -1,\ -0.1,\ -0.01\) 에 대해 계산하고, \(8\) 번과 같은 값으로 수렴하는지 답하라.

10. \(f(x) = x^2\) 의 \(x=a\) 에서 \(x=a+h\) 까지의 평균변화율을 \(a\), \(h\) 로 나타내라. 그다음 \(a=1,\ 2,\ 3\) 을 각각 넣어 \(8\) 번 및 앞의 표와 비교하라.

11. \(f(x) = x^2 + 3x\) 의 \(x=1\) 에서 \(x=1+h\) 까지의 평균변화율을 \(h\) 로 나타내라(약분할 것). \(h \to 0\) 이면 어디로 가는가?

12. \(g(x) = \dfrac{x^2-9}{x-3}\) 에 대하여. (1) \(g(3)\) 을 구할 수 있는가? 이유도 쓰라. (2) \(x = 2.9,\ 2.99,\ 3.01,\ 3.1\) 에서의 값을 계산하라. (3) \(\lim_{x \to 3} g(x)\) 는 얼마라고 생각하는가?

13. 어떤 도시의 인구가 \(P(t) = 2t^2 + 10\) (단위: 천 명, \(t\) 는 연 단위)으로 늘어난다. \(t=0\) 에서 \(t=5\) 까지 인구는 연평균 몇 천 명씩 늘었는가?

14. 공을 위로 던졌다. \(t\) 초 후 높이가 \(H(t) = 20t - 5t^2\) 미터다. (1) \(t=0\) 에서 \(t=2\) 까지의 평균속도. (2) \(t=2\) 에서 \(t=4\) 까지의 평균속도. (3) (2)의 답이 음수인 것은 무슨 뜻인가? 한 줄로.

15. 평균변화율과 순간변화율의 차이를 두 문장으로 쓰라. 두 문장 안에 “할선”과 “접선”이라는 말을 반드시 넣을 것.

정답과 해설

1. \(\dfrac{16-1}{3} = 5\) 2. \(\dfrac{10-1}{3} = 3\) 3. \(\dfrac{-9-(-1)}{2} = -4\) 4. \(\dfrac{17-1}{4} = 4\) 5. \(\dfrac{8-0}{2} = 4\)

2. \(\dfrac{\frac14 - 1}{3} = \dfrac{-\frac34}{3} = -\dfrac{1}{4}\) 7. \(f(5)=5\), \(f(1)=-3\) 이므로 \(\dfrac{5-(-3)}{4} = 2\)

3. \(5,\ 4.1,\ 4.01,\ 4.001\), 수렴값 \(\mathbf{4}\)

4. \(3,\ 3.9,\ 3.99\) — 같은 값 \(4\) 로 수렴한다. 왼쪽에서는 아래에서 올라오고 오른쪽에서는 위에서 내려온다. 양쪽이 같은 값을 가리켜야 극한이 존재한다. (양쪽이 다르면 극한은 존재하지 않는다 — 다음 장에서 다룬다.)

5. \(\dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = 2a + h\). \(a=1\) 이면 \(2+h\), \(a=2\) 이면 \(4+h\), \(a=3\) 이면 \(6+h\). \(h\to0\) 이면 각각 \(2, 4, 6\) — 즉 \(2a\) 이다. 이 규칙은 뒤에서 도함수를 다룰 때 그대로 사용된다.

6. \(\dfrac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \dfrac{5h + h^2}{h} = 5 + h\). \(h \to 0\) 이면 \(\mathbf{5}\).

7. (1) 없다. 분모가 \(3-3 = 0\) 이 되어 정의되지 않는다. (2) \(5.9,\ 5.99,\ 6.01,\ 6.1\) (3) \(\mathbf{6}\). 이 문항의 요점은 값이 없는 점에서도 극한은 존재한다는 것이다. 다음 장에서는 이 문제를 표가 아니라 계산으로 푼다. 그리고 그 계산이 곧 약분이다.

8. 연평균 \(10\) 천 명(\(1\) 만 명). \(P(5) = 60\), \(P(0) = 10\), \(\dfrac{60-10}{5} = 10\). 빈번한 오류: \(P(5) - P(0) = 50\) 까지 구하고 \(5\) 로 나누지 않는다. “연평균”이므로 시간으로 나눠야 한다.

9. (1) \(H(2) = 40 - 20 = 20\), \(H(0)=0\) 이므로 \(\dfrac{20-0}{2} = 10\) m/s (2) \(H(4) = 80-80 = 0\) 이므로 \(\dfrac{0-20}{2} = -10\) m/s (3) 내려오고 있다는 뜻. 변화율의 부호는 방향을 나타낸다. 양수면 올라가는 중, 음수면 내려가는 중이다.

10. 예시 답안: “평균변화율은 그래프 위 두 점을 이은 할선의 기울기로, 두 점 사이에서 평균적으로 얼마나 가팔랐는지를 나타낸다. 순간변화율은 두 점을 한없이 가까이 붙일 때 할선이 접근하는 직선, 즉 접선의 기울기로, 한 지점에서의 가파르기를 나타낸다.” — 핵심은 두 단어를 정확한 자리에 쓰는 것. “평균은 구간, 순간은 한 점”만 써도 부분 정답.

요약과 다음 장

이 장의 핵심은 짝을 이루는 두 문장이다. 평균변화율은 두 점을 이은 할선의 기울기이며 구간에 대한 값이다. 순간변화율은 그 점에 접하는 접선의 기울기이며 한 점에 대한 값이다. 두 점을 한없이 가깝게 하면 할선은 접선으로 접근하고, 그때 값이 정해진다.

그 접근 과정을 떠받치는 문장이 하나 있다. 무한히 가까이 가되, 도달할 필요는 없다. \(h\) 를 \(0\) 으로 보내는 것이지 \(0\) 을 대입하는 것이 아니다. \(0\) 에 도달하면 \(\dfrac{0}{0}\) 이 되어 값이 결정되지 않지만, 도달하지 않고 접근하기만 하면 표 어디에도 없던 값이 정해진다.

이 장에서는 극한을 표와 수치 계산으로 확인했다. 그러나 모든 문제에서 표를 만들 수는 없다. 다음 장에서는 표 없이 계산으로 극한을 구한다. 다음 장에서 사용하는 도구는 새로운 것이 아니라 인수분해와 약분이다. 도입과 이 장의 구멍 뚫린 그래프에서 나타난 \(\dfrac{0}{0}\) 을 제25장에서 그 두 도구로 처리한다.