# 제24장 · 변화율과 극한의 직관 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R3-W04 | | **선행 내용** | 제23장 (라디안) | | **요지** | 순간변화율은 평균변화율의 구간을 한없이 좁혀서 얻는 값이다. 극한은 '도달'이 아니라 '다가감'이다. | ::: ## 도입 차를 타고 $100$ km를 $2$ 시간에 이동한 경우, 평균 시속은 다음과 같다. $$\frac{100 \text{ km}}{2 \text{ 시간}} = 50 \text{ km/h}$$ 그러나 그 $2$ 시간 동안 속도가 시속 $50$ 으로 일정했던 것은 아니다. 정체 구간에서는 $20$ 이었고 원활한 구간에서는 $90$ 이었다. 속도계는 매 순간 다른 값을 가리킨다. 지금 계기판이 $70$ 을 가리키고 있다고 하자. 이 $70$ 이 무엇을 잰 값인지 묻는다. 속도는 거리를 시간으로 나눈 값이다. 그런데 '지금 이 순간'에 해당하는 시간은 $0$ 초이고, $0$ 초 동안 이동한 거리는 $0$ m이다. 그러면 속도는 $$\frac{0 \text{ m}}{0 \text{ 초}} = \ ?$$ $0 \div 0$ 이다. $0$ 을 $0$ 으로 나눈 값은 계산기에서 오류로 처리된다. 그런데 속도계는 오류 대신 $70$ 이라는 값을 표시한다. $$\text{“이 순간의 속도”란 무엇인가?}$$ 이 문제가 미적분의 출발점이다. 뉴턴과 라이프니츠가 $300$ 년 전에 다룬 것이 정확히 이 질문이다. 이 장에서는 이 질문의 답을 완결하지 않는다. 답이 놓인 위치를 수치와 그림으로 확인하는 데까지 다룬다. '지금 이 순간의 속도'를 재려면 시간 구간을 얼마로 잡아야 하는지 검토한다. $1$ 초, $0.1$ 초로 짧게 잡을수록 값이 정확해진다. 그렇다면 $0.01$ 초는 그보다 정확하고 $0.001$ 초는 다시 그보다 정확하며, 이 과정에는 끝이 없다. 실제 속도계도 진짜 '순간'을 재지 못한다. 아주 짧은 구간 동안 바퀴가 회전한 횟수를 세어 그 구간의 평균을 산출한다. 이 장에서 다루는 것이 이 방식이다. 순간의 값을, 아주 짧은 구간의 평균을 한없이 좁혀서 정의한다. ## 평균변화율은 할선의 기울기다 $y = x^2$ 의 포물선 위에 $x=1$ 인 점과 $x=3$ 인 점을 찍고 두 점을 직선으로 잇는다. ```{image} /_static/figs/ch24_secant.svg :alt: 포물선 위 두 점을 잇는 할선과 평균변화율 :width: 320px :align: center :class: chfig ``` 두 점 $P$, $Q$ 를 잇는 이 직선을 할선(secant)이라 한다. 이 직선의 기울기는 세로 변화를 가로 변화로 나눈 값, 곧 $8 \div 2 = 4$ 이다. 이것이 $x=1$ 에서 $x=3$ 까지의 **평균변화율**이다. 이름과 달리 내용은 단순하다. 두 점 사이에서 평균적으로 얼마나 가팔랐는지를 나타내는 값이다. $100$ km를 $2$ 시간에 이동했을 때 시속 $50$ 이라 한 것과 같은 계산이다. 새로운 개념이 아니라 "기울기 = 변화율"에 이름을 붙인 것이다. $$\text{평균변화율} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$ 분자는 세로 변화량이고 분모는 가로 변화량이다. 앞에서 다룬 직선의 기울기 공식과 같다. 같은 내용을 다르게 표기해 둔다. 두 번째 점을 $b$ 라고 부르는 대신 "$a$ 에서 $h$ 만큼 떨어진 점"이라고 부른다. $$b = a + h \quad \Rightarrow \quad \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ 같은 식이다. 이렇게 표기하는 이유는 이후에 수행할 작업이 **$h$ 를 줄이는 일**이기 때문이다. 줄일 대상에 미리 이름을 붙여 둔다. $$\text{할선의 기울기} = \text{평균변화율}$$ 이제 몇 개를 실제로 계산한다. $f(x) = x^2$ 에서 $x=1$ 부터 $x=3$ 까지의 평균변화율은, 먼저 두 점의 높이를 구하면 $$f(3) = 9, \qquad f(1) = 1$$ $$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ 그림에서 잰 값과 일치한다. 이제 출발점은 $x=1$ 에 고정하고 도착점만 $x=1$ 쪽으로 당긴다. $$[1, 3] : \ \frac{9 - 1}{2} = 4, \qquad [1, 2] : \ \frac{4 - 1}{1} = 3, \qquad [1, 1.5] : \ \frac{2.25 - 1}{0.5} = 2.5$$ 세 값을 나란히 놓는다. $4$, $3$, $2.5$. 도착점을 $x=1$ 쪽으로 당길수록 값이 작아지면서 어떤 값에 접근한다. 접근하는 값이 무엇인지는 뒤에서 확인한다. 곡선이므로 이런 현상이 나타난다. 직선에서는 나타나지 않는다. $f(x) = 2x + 5$ 에서 계산하면 $$[1, 3] : \ \frac{11 - 7}{2} = 2, \qquad [4, 9] : \ \frac{23 - 13}{5} = 2$$ 직선은 어느 구간에서 재도 평균변화율이 같다. 가파르기가 변하지 않기 때문이다. 곡선은 구간에 따라 값이 달라지므로, 곡선에서는 "이 지점의 가파르기"라는 새로운 질문이 성립한다. 직선에서는 이 질문이 성립하지 않는다. 한 가지를 더 확인한다. $f(x) = x^2$ 에서 $x=-1$ 부터 $x=1$ 까지의 평균변화율을 계산하면 $$\frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \frac{1 - 1}{2} = 0$$ $0$ 이다. 두 점의 높이가 같으므로 평균 기울기가 $0$ 이다. 그러나 그 사이에서 곡선은 한 번 내려갔다가 다시 올라온다. 평균변화율은 구간 내부에서 일어난 변화를 반영하지 않는다. 도입에서 다룬 차량의 경우와 같다. 평균 시속은 $50$ 이지만 어떤 순간의 속도는 $90$ 이었다. 이것이 순간변화율을 따로 정의하는 이유이다. ## 할선에서 접선으로 — 수치적 확인 두 점을 가깝게 하면 할선은 접선에 접근한다. 그리고 접선의 기울기가 순간변화율이다. 점 $P$ 는 $x=1$ 에 고정하고 점 $Q$ 만 왼쪽으로 이동시킨다. ```{image} /_static/figs/ch24_sec2tan.svg :alt: Q가 P로 다가가면 할선이 접선이 된다 :width: 340px :align: center :class: chfig ``` $Q$ 를 $P$ 쪽으로 이동시키면 직선의 기울기가 점점 작아진다. 이때 직선은 임의의 방향으로 변하는 것이 아니라 어떤 한 직선에 접근한다. $P$ 에서 곡선에 접하는 그 직선을 접선이라 하고, 접선의 기울기가 곧 '이 지점의 가파르기'이다. 여기에는 제약이 하나 있다. $Q$ 가 $P$ 에 **완전히** 일치하면 점이 하나뿐이므로 직선을 결정할 수 없다. 한 점을 지나는 직선은 무수히 많기 때문이다. 따라서 두 점을 일치시키지 않고 접근시키기만 한다. 이것이 이 장의 핵심이다. 이제 수치로 확인한다. 함수는 $f(x) = x^2$, 기준점은 $x=1$ 이다. $h$ 를 점점 줄이면서 평균변화율을 계산한다. $$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h}$$ **오른쪽에서 다가가기** | $h$ | $1+h$ | $f(1+h) = (1+h)^2$ | $f(1+h) - f(1)$ | 평균변화율 | |---|---|---|---|---| | $1$ | $2$ | $4$ | $3$ | $3$ | | $0.5$ | $1.5$ | $2.25$ | $1.25$ | $2.5$ | | $0.1$ | $1.1$ | $1.21$ | $0.21$ | $2.1$ | | $0.01$ | $1.01$ | $1.0201$ | $0.0201$ | $2.01$ | | $0.001$ | $1.001$ | $1.002001$ | $0.002001$ | $2.001$ | **왼쪽에서 다가가기** ($h$ 가 음수면 $Q$ 가 $P$ 의 왼쪽에 있다) | $h$ | $1+h$ | $f(1+h)$ | $f(1+h) - f(1)$ | 평균변화율 | |---|---|---|---|---| | $-0.1$ | $0.9$ | $0.81$ | $-0.19$ | $1.9$ | | $-0.01$ | $0.99$ | $0.9801$ | $-0.0199$ | $1.99$ | | $-0.001$ | $0.999$ | $0.998001$ | $-0.001999$ | $1.999$ | 마지막 열을 세로로 읽는다. 오른쪽에서는 $3, 2.5, 2.1, 2.01, 2.001$ 로 위에서 감소하고, 왼쪽에서는 $1.9, 1.99, 1.999$ 로 아래에서 증가한다. 양쪽이 모두 $2$ 로 수렴한다. 그런데 어느 행에도 정확히 $2$ 는 없다. **$2$ 는 표 안에 없으나, 표 전체가 $2$ 를 가리킨다.** ## 극한값이 2인 이유 — 대수적 확인 표는 $2$ 를 가리킨다. 그러나 표는 유한하다. $h = 0.0000001$ 에서 값이 다른 곳으로 갈 가능성은 표만으로 배제되지 않는다. 대수로 확인한다. $$\frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}$$ $(1+h)^2$ 을 전개하면 $1 + 2h + h^2$ 이다. $(1+h)^2$ 은 $1 + h^2$ 이 아니다. 가운데 항 $2h$ 가 있다. $$= \frac{2h + h^2}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h$$ 분자를 $h$ 로 묶은 다음 분자와 분모의 $h$ 를 약분했다. 약분이 가능한 이유는 **$h \ne 0$ 이기 때문이다.** $h$ 는 $0$ 에 접근하는 중이지 $0$ 이 아니다. 이 논리는 이후에도 반복해서 사용된다. $$\text{평균변화율} = 2 + h$$ 이 식으로 표의 값이 설명된다. $h=1$ 이면 $3$, $h=0.1$ 이면 $2.1$, $h=0.001$ 이면 $2.001$ 이다. $h$ 를 $0$ 에 가깝게 하면 $2+h$ 는 $2$ 에 가까워진다. 아무리 가까이 가도 정확히 $2$ 가 되지는 않지만, 차이를 얼마든지 작게 만들 수 있다. 이것을 극한 기호로 표기한다. $$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2$$ 이 기호는 "$h$ 를 $0$ 으로 보낼 때 이 식이 접근하는 값"이라고 읽는다. "$h$ 에 $0$ 을 대입한다"가 아니라 "$0$ 으로 보낸다"이다. $\to$ 는 화살표이고, 화살표는 도착이 아니라 방향을 나타낸다. 기준점 $1$ 은 특별한 값이 아니다. 기준점을 $1$ 대신 $a$ 로 두고 같은 계산을 하면 앞의 계산은 다음과 같이 적힌다. $$\text{$x=a$ 에서의 순간변화율} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ 앞에서 평균변화율을 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 로 표기해 둔 식과 비교하면, 새로 추가된 것은 앞의 $\lim_{h\to0}$ 하나뿐이다. **평균변화율에 극한을 취하면 순간변화율이다.** $h$ 를 줄일 대상에 미리 이름을 붙여 둔 이유가 이것이다. 이후에는 이 형태가 반복해서 나온다. 이 식을 직접 유도하는 것이 연습문제 5번이다($2a+h$ 가 나온다). 거기에 $a=1, 2, 3$ 을 대입해 값이 $2a$ 로 정해지는 것을 확인하는 것이 추가 연습문제 10번이다. 두 문항을 풀면 이 형태가 정착된다. ## 극한은 도달이 아니다 — 구멍 뚫린 그래프 극한이 '도달'이 아니라는 점을 한 번 더 확인한다. 새로운 함수를 본다. $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$ $x=1$ 을 대입하면 분모가 $1-1 = 0$ 이 된다. $0$ 으로 나눌 수 없으므로 $f(1)$ 은 존재하지 않는다. 이 함수는 $x=1$ 에서 정의되지 않는다. 그러나 $x \ne 1$ 이면 약분된다. $$\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x + 1 \quad (\text{단, } x \ne 1)$$ $$f(0.9) = 1.9, \quad f(0.99) = 1.99, \quad f(1.01) = 2.01, \quad f(1.1) = 2.1$$ $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2$$ 직선 $y = x+1$ 을 그리되 $x=1$ 인 자리에는 점이 없다. 그 자리에는 속이 빈 원을 표시한다. ```{image} /_static/figs/ch24_hole.svg :alt: y=x+1 그래프에서 x=1에 뚫린 구멍 :width: 300px :align: center :class: chfig ``` 그래프에 구멍이 하나 있다. $x=1$ 에서 이 함수는 값을 갖지 않는다. 그러나 극한은 $2$ 이다. 두 사실은 모순되지 않는다. 극한은 '그 점에서의 함숫값'을 묻는 것이 아니라 '그 점 **근처**에서 함숫값이 어디로 가는가'를 묻는 것이기 때문이다. 구멍이 있어도 그 주변의 값들은 $2$ 를 향한다. $$\text{무한히 가까이 가되, 도달할 필요는 없다.}$$ 이 문장이 미적분 전체의 기반이다. 도입에서 다룬 $0 \div 0$ 의 문제는 이 방식으로 처리된다. $0 \div 0$ 을 직접 계산하는 것이 아니라, $0$ 초에 도달하지 않고 $0$ 초에 접근하기만 한다. 그러면 값이 정해진다. ## 0을 0으로 나누기 — 부정형 마지막으로 한 가지를 더 다룬다. 앞의 $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 에 $x=1$ 을 그대로 대입하면 다음과 같다. $$\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$ $\dfrac{0}{0}$ 이다. 도입에서 본 형태와 같다. 그런데 이 극한이 $2$ 라는 것은 앞에서 확인했다. 같은 $\dfrac{0}{0}$ 이지만 극한값은 $2$ 이다. 다른 문제에서는 $\dfrac{0}{0}$ 이면서 극한값이 $6$ 이거나 $\dfrac{1}{2}$ 일 수 있다. 따라서 $\dfrac{0}{0}$ 은 '답이 없다'가 아니라 '이 형태만으로는 값이 결정되지 않는다'는 신호이다. 이러한 형태를 부정형이라 한다. $\dfrac{0}{0}$ 을 처리하는 방법이 다음 장의 내용이다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} "극한은 결국 $h$ 에 0을 넣는 것이다" :class: warning 화살표 $\to$ 를 등호로 읽어서 생기는 오류이다. 이 책에서 지금까지 다룬 수학에서 "$x$ 에 값을 넣는다"는 언제나 대입을 뜻했고, 접근이라는 조작은 이 장에서 처음 등장한다. 그러나 조작의 순서가 대입과 반대이다. $$\text{틀린 순서: } \frac{(1+h)^2-1}{h} \ \xrightarrow{\ h=0\ } \ \frac{0}{0} \ \text{(막힘)}$$ $$\text{맞는 순서: } \frac{(1+h)^2-1}{h} \ = \ 2+h \ \xrightarrow{\ h \to 0\ } \ 2$$ 같은 식이지만 하나는 계산이 막히고 하나는 값이 나온다. 차이는 **약분을 먼저 했는가**이다. 약분은 $h \ne 0$ 일 때만 허용되는 조작이므로, 끝까지 $h \ne 0$ 을 유지한다. $h$ 가 $0$ 에 도달하면 약분이 허용되지 않는다. *확인 문제*: $\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$ 일 때 $f(1)$ 은 얼마인가? (답: 없다. $x=1$ 에서 정의되지 않는다. 도달하지 않아도 값은 정해진다.) ::: :::{admonition} "0을 0으로 나누면 1이다" :class: warning "같은 수끼리 나누면 $1$ 이다"라는 규칙을 $\dfrac{0}{0}$ 에 그대로 적용해 생기는 오류이다. $\dfrac{0}{0}$ 에 하나의 값이 대응한다고 보는 것이다. 나눗셈이 곱셈의 역연산이라는 점을 적용한다. $\dfrac{6}{2} = 3$ 은 $2 \times 3 = 6$ 을 뜻한다. 그렇다면 $\dfrac{0}{0} = \ ?$ 는 $0 \times \ ? = 0$ 을 묻는 것인데, $?$ 에 어떤 수를 넣어도 등식이 성립한다. $5$ 도 성립하고 $100$ 도 성립한다. 답이 없는 것이 아니라 조건을 만족하는 값이 무수히 많아 하나로 결정되지 않는다. 그래서 이를 부정형이라 하고, 그래서 표를 만들어 주변 값의 거동을 확인한 것이다. *확인 문제*: $\dfrac{0}{0}$ 이 왜 하나로 정해지지 않는가? (답: $0 \times \ ? = 0$ 을 만족하는 $?$ 가 무수히 많아서.) ::: :::{admonition} "접선은 곡선과 한 점에서만 만나는 직선이다" :class: warning 중학교에서 배운 원의 접선 정의를 그대로 적용해 생기는 오류이다. 원에서는 접선이 정확히 한 점에서 만난다. 틀린 정의가 아니라 원에 한정해서만 성립하는 정의이다. 곡선이 원보다 복잡해지면 이 정의는 적용되지 않는다. $y = x^3$ 의 $x=0$ 에서의 접선은 곡선을 가로질러 지나가는 수평선이다. 곡선을 가로지르지만 접선이다. 접선의 정의는 '한 점에서 만나는 직선'이 아니라 **'할선이 접근하는 직선'**이다. 만나는 점의 개수는 접선의 정의와 무관하다. *확인 문제*: 포물선 $y=x^2$ 의 $x=0$ 에서의 접선은 어떤 직선인가? (답: $x$ 축, 곧 $y=0$. 기울기 $0$. $\dfrac{h^2-0}{h} = h \to 0$ 으로도 확인된다.) ::: :::{admonition} "평균속도는 속도들을 평균한 것이다" :class: warning "$1$ 시간은 시속 $40$, 다음 $1$ 시간은 시속 $60$, 평균은 $50$"까지는 성립한다. 그러나 "$40$ km를 시속 $40$ 으로, 그다음 $40$ km를 시속 $60$ 으로"인 경우에 같은 방식으로 $50$ 이라 답하면 오류이다. 이때는 총 거리가 $80$ km, 총 시간이 $\dfrac{40}{40} + \dfrac{40}{60} = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$ 시간이므로 $$\text{평균속도} = \frac{80}{5/3} = 48 \text{ km/h}$$ $50$ 이 아니라 $48$ 이다. 느린 구간에 더 긴 시간이 배정되므로 평균이 느린 쪽으로 치우친다. 평균변화율은 전체 변화량을 전체 구간의 크기로 나눈 값이며, 중간값들을 평균 낸 값이 아니다. 두 계산은 각 구간의 시간이 같을 때에만 일치한다. *확인 문제*: $f(x)=x^2$ 에서 $[1,3]$ 의 평균변화율은? $f(1)$ 과 $f(3)$ 의 평균과 같은가? (답: 평균변화율은 $\dfrac{9-1}{2}=4$, 두 값의 평균은 $\dfrac{1+9}{2}=5$. 다르다.) ::: ## 연습문제 표를 채우는 문항에서는 계산기를 사용해도 된다. 이 장에서는 표를 채우는 문항이 가장 중요하다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` $f(x) = x^2$ 의 평균변화율을 구하라. (1) $x=0$ 에서 $x=2$ 까지 (2) $x=2$ 에서 $x=4$ 까지 (3) $x=3$ 에서 $x=5$ 까지 2. `A` $f(x) = 2x + 5$ 의 평균변화율을 구하라. (1) $x=1$ 에서 $x=3$ 까지 (2) $x=4$ 에서 $x=9$ 까지. 두 답을 비교해 한 줄로 쓰라. 3. `A` $f(x) = x^2 - 2x$ 의 $x=1$ 에서 $x=4$ 까지의 평균변화율. 4. `A` $f(x) = x^2$, 기준점 $x=3$. 표를 채우고 마지막 칸에 수렴하는 값을 쓰라. | $h$ | $\dfrac{(3+h)^2 - 9}{h}$ | |---|---| | $1$ | | | $0.1$ | | | $0.01$ | | | $0.001$ | | | $h \to 0$ | | 5. `B` $f(x) = x^2$ 에서 $x=a$ 부터 $x=a+h$ 까지의 평균변화율을 $a$ 와 $h$ 로 나타내라. (전개하고 약분할 것) 6. `B` $f(x) = x^3$, 기준점 $x=2$. $h = 1,\ 0.1,\ 0.01$ 에 대해 평균변화율을 계산하고, 수렴하는 값을 추측하라. 7. `B` $g(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ 에 대하여. (1) $g(2)$ 를 구할 수 있는가? (2) $x = 1.9,\ 1.99,\ 2.01,\ 2.1$ 에서의 값을 구하라. (3) $\lim_{x \to 2} g(x)$ 는? 8. `B` 어떤 차의 주행 기록이다. 출발 후 시간과 총 주행거리다. | 시간(h) | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | |---|---|---|---|---| | 거리(km) | $0$ | $40$ | $90$ | $150$ | (1) $3$ 시간 전체의 평균속도는? (2) 세 개의 $1$ 시간 구간 중 가장 빨랐던 구간은? 9. `B` 물탱크에 물을 채운다. $t$ 분 후 물의 양이 $V(t) = t^2$ 리터다. (1) $t=3$ 에서 $t=5$ 까지의 평균 유량(분당 리터)을 구하라. (2) $t=3$ 에서의 순간 유량을 $h = 0.1,\ 0.01$ 로 추정하라. 10. `B` 공을 떨어뜨렸다. $t$ 초 후 낙하거리가 $s(t) = 5t^2$ 미터다. (1) $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균속도를 $h$ 로 나타내라. (2) $h = 0.1,\ 0.01$ 을 넣어 계산하라. (3) $t=2$ 에서의 순간속도는? 11. `C` $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 에서 $x=1$ 부터 $x=1+h$ 까지의 평균변화율을 $h$ 로 나타내고(약분할 것), $h \to 0$ 일 때 어디로 가는지 답하라. 12. `C` $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 은 $x=1$ 에서 값이 없는데 $x \to 1$ 의 극한은 $2$ 다. 이것이 왜 모순이 아닌지 **두 문장**으로 설명하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $\dfrac{4-0}{2} = 2$ (2) $\dfrac{16-4}{2} = 6$ (3) $\dfrac{25-9}{2} = 8$ — 같은 폭 $2$ 칸이지만 오른쪽으로 갈수록 값이 커진다. 포물선은 오른쪽으로 갈수록 가파르다. 2. (1) $2$ (2) $2$ — 직선은 어느 구간에서 재도 평균변화율이 같다. 그 값이 곧 기울기이다. 3. $3$ — $f(4) = 16-8 = 8$, $f(1) = 1-2 = -1$, $\dfrac{8-(-1)}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$. 빈번한 오류: $f(1) = -1$ 인데 부호를 놓쳐 $\dfrac{8-1}{3}$ 으로 계산한다. 4. 위에서부터 $7$, $6.1$, $6.01$, $6.001$, 수렴값 $\mathbf{6}$. (검산: $\dfrac{(3+h)^2-9}{h} = \dfrac{6h+h^2}{h} = 6+h$) 5. $\dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = \dfrac{h(2a+h)}{h} = 2a + h$. 빈번한 오류: $(a+h)^2 = a^2+h^2$ 으로 전개해서 $h$ 만 남긴다. 가운데 항 $2ah$ 가 이 문제의 핵심이다. $a=1$ 을 넣으면 앞에서 본 $2+h$ 가 그대로 나온다. 6. 먼저 $(2+h)^3$ 을 전개한다. 세제곱은 제곱에 한 번 더 곱하는 것이다. $(2+h)^3 = (2+h)^2(2+h) = (4+4h+h^2)(2+h) = 8+12h+6h^2+h^3$. 여기서 $8$ 을 빼면 분자는 $12h+6h^2+h^3$ 이고, $h$ 로 묶어 나누면 $\dfrac{h(12+6h+h^2)}{h} = 12+6h+h^2$. $h=1$ 이면 $19$, $h=0.1$ 이면 $12.61$, $h=0.01$ 이면 $12.0601$. 수렴값 $\mathbf{12}$. **검산**: $h=1$ 을 원래 식에 그대로 넣으면 $\dfrac{3^3-8}{1} = \dfrac{27-8}{1} = 19$ 이고, 정리한 식에 넣어도 $12+6+1 = 19$ 로 일치한다. 이 문항에서 막히는 경우 원인은 극한이 아니라 **전개**이다. $(2+h)^3$ 을 $8+h^3$ 으로 쓰면 교차항 $12h$ 와 $6h^2$ 이 함께 사라진다. 바로 앞 5번에서 다룬 $2ah$ 와 같은 유형의 오류이며, 세제곱에서는 빠뜨리는 항이 하나가 아니라 둘이다. 7. (1) **구할 수 없다.** 분모가 $2-2=0$ 이 되어 정의되지 않는다. (2) $3.9,\ 3.99,\ 4.01,\ 4.1$ (3) $\mathbf{4}$. 빈번한 오류: (1)에 $4$ 라고 쓴다. 약분한 뒤 대입하면 $4$ 가 나오지만, 약분은 $x \ne 2$ 일 때만 허용되는 조작이다. $x=2$ 는 그 조작의 적용 범위 밖이다. 8. (1) $\dfrac{150 - 0}{3} = 50$ km/h (2) 각 구간이 $40$, $50$, $60$ km/h 이므로 **$2$ 시간에서 $3$ 시간 사이**가 가장 빠르다. 전체 평균 $50$ 은 어느 구간에서도 실제로 나오지 않은 값이다 — 도입에서 다룬 차량과 같다. 9. (1) $\dfrac{25 - 9}{2} = 8$ 리터/분 (2) $\dfrac{(3+h)^2-9}{h} = 6+h$ 이므로 $6.1$, $6.01$. 순간 유량은 약 $\mathbf{6}$ 리터/분. 10. (1) $\dfrac{5(2+h)^2 - 20}{h} = \dfrac{20h + 5h^2}{h} = 20 + 5h$ (2) $h=0.1$ 이면 $20.5$, $h=0.01$ 이면 $20.05$ (3) $\mathbf{20}$ m/s 11. $\dfrac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} = \dfrac{\frac{1 - (1+h)}{1+h}}{h} = \dfrac{-h}{h(1+h)} = \dfrac{-1}{1+h}$. $h \to 0$ 이면 $\mathbf{-1}$. 음수가 나온 이유: $y = \dfrac1x$ 는 감소하는 곡선이므로 기울기가 음수이다. 12. 예시 답안: "극한은 $x=1$ 에서의 함숫값을 묻는 것이 아니라 $x$ 가 $1$ 에 가까워질 때 식의 값이 어디로 가는지를 묻는 것이다. $x \ne 1$ 인 모든 점에서 이 식은 $x+1$ 과 같으므로, $1$ 근처의 값들은 모두 $2$ 를 향한다." — 핵심은 **"함숫값과 극한값은 다른 질문"** 임을 언급하는 것. "구멍이 있어도 주변이 가리키는 값은 있다"만 써도 부분 정답. ::: ### 추가 연습문제 참고 자료로 3Blue1Brown의 *Essence of Calculus* $1$ 화 "The essence of calculus"와 $2$ 화 "The paradox of the derivative"가 있다(각 약 $17$ 분, 한국어 자막 제공). $2$ 화 제목의 '역설'은 도입에서 속도계를 두고 다룬 문제와 같은 내용이며, 그 내용을 두 문장으로 정리하면 이 장의 내용이 한 번 더 정리된다. 1. $f(x) = x^2$ 의 $x=1$ 에서 $x=4$ 까지의 평균변화율. 2. $f(x) = x^2 + 1$ 의 $x=0$ 에서 $x=3$ 까지의 평균변화율. 3. $f(x) = -x^2$ 의 $x=1$ 에서 $x=3$ 까지의 평균변화율. 4. $f(x) = 4x - 7$ 의 $x=2$ 에서 $x=6$ 까지의 평균변화율. 5. $f(x) = x^3$ 의 $x=0$ 에서 $x=2$ 까지의 평균변화율. 6. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 의 $x=1$ 에서 $x=4$ 까지의 평균변화율. 7. $f(x) = x^2 - 4x$ 의 $x=1$ 에서 $x=5$ 까지의 평균변화율. 8. $f(x) = x^2$, 기준점 $x=2$. 표를 채우고 수렴값을 쓰라. | $h$ | $1$ | $0.1$ | $0.01$ | $0.001$ | $h \to 0$ | |---|---|---|---|---|---| | $\dfrac{(2+h)^2-4}{h}$ | | | | | | 9. 같은 함수, 같은 기준점. 이번엔 **왼쪽에서** 다가간다. $h = -1,\ -0.1,\ -0.01$ 에 대해 계산하고, $8$ 번과 같은 값으로 수렴하는지 답하라. 10. $f(x) = x^2$ 의 $x=a$ 에서 $x=a+h$ 까지의 평균변화율을 $a$, $h$ 로 나타내라. 그다음 $a=1,\ 2,\ 3$ 을 각각 넣어 $8$ 번 및 앞의 표와 비교하라. 11. $f(x) = x^2 + 3x$ 의 $x=1$ 에서 $x=1+h$ 까지의 평균변화율을 $h$ 로 나타내라(약분할 것). $h \to 0$ 이면 어디로 가는가? 12. $g(x) = \dfrac{x^2-9}{x-3}$ 에 대하여. (1) $g(3)$ 을 구할 수 있는가? 이유도 쓰라. (2) $x = 2.9,\ 2.99,\ 3.01,\ 3.1$ 에서의 값을 계산하라. (3) $\lim_{x \to 3} g(x)$ 는 얼마라고 생각하는가? 13. 어떤 도시의 인구가 $P(t) = 2t^2 + 10$ (단위: 천 명, $t$ 는 연 단위)으로 늘어난다. $t=0$ 에서 $t=5$ 까지 인구는 연평균 몇 천 명씩 늘었는가? 14. 공을 위로 던졌다. $t$ 초 후 높이가 $H(t) = 20t - 5t^2$ 미터다. (1) $t=0$ 에서 $t=2$ 까지의 평균속도. (2) $t=2$ 에서 $t=4$ 까지의 평균속도. (3) (2)의 답이 음수인 것은 무슨 뜻인가? 한 줄로. 15. **평균변화율과 순간변화율의 차이**를 두 문장으로 쓰라. 두 문장 안에 "할선"과 "접선"이라는 말을 반드시 넣을 것. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $\dfrac{16-1}{3} = 5$ 2. $\dfrac{10-1}{3} = 3$ 3. $\dfrac{-9-(-1)}{2} = -4$ 4. $\dfrac{17-1}{4} = 4$ 5. $\dfrac{8-0}{2} = 4$ 6. $\dfrac{\frac14 - 1}{3} = \dfrac{-\frac34}{3} = -\dfrac{1}{4}$ 7. $f(5)=5$, $f(1)=-3$ 이므로 $\dfrac{5-(-3)}{4} = 2$ 8. $5,\ 4.1,\ 4.01,\ 4.001$, 수렴값 $\mathbf{4}$ 9. $3,\ 3.9,\ 3.99$ — **같은 값 $4$ 로 수렴한다.** 왼쪽에서는 아래에서 올라오고 오른쪽에서는 위에서 내려온다. 양쪽이 같은 값을 가리켜야 극한이 존재한다. (양쪽이 다르면 극한은 존재하지 않는다 — 다음 장에서 다룬다.) 10. $\dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$. $a=1$ 이면 $2+h$, $a=2$ 이면 $4+h$, $a=3$ 이면 $6+h$. $h\to0$ 이면 각각 $2, 4, 6$ — 즉 $2a$ 이다. 이 규칙은 뒤에서 도함수를 다룰 때 그대로 사용된다. 11. $\dfrac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \dfrac{5h + h^2}{h} = 5 + h$. $h \to 0$ 이면 $\mathbf{5}$. 12. (1) **없다.** 분모가 $3-3 = 0$ 이 되어 정의되지 않는다. (2) $5.9,\ 5.99,\ 6.01,\ 6.1$ (3) $\mathbf{6}$. 이 문항의 요점은 값이 없는 점에서도 극한은 존재한다는 것이다. 다음 장에서는 이 문제를 표가 아니라 계산으로 푼다. 그리고 그 계산이 곧 약분이다. 13. **연평균 $10$ 천 명($1$ 만 명).** $P(5) = 60$, $P(0) = 10$, $\dfrac{60-10}{5} = 10$. 빈번한 오류: $P(5) - P(0) = 50$ 까지 구하고 $5$ 로 나누지 않는다. "연평균"이므로 시간으로 나눠야 한다. 14. (1) $H(2) = 40 - 20 = 20$, $H(0)=0$ 이므로 $\dfrac{20-0}{2} = 10$ m/s (2) $H(4) = 80-80 = 0$ 이므로 $\dfrac{0-20}{2} = -10$ m/s (3) **내려오고 있다는 뜻.** 변화율의 부호는 방향을 나타낸다. 양수면 올라가는 중, 음수면 내려가는 중이다. 15. 예시 답안: "평균변화율은 그래프 위 두 점을 이은 **할선**의 기울기로, 두 점 사이에서 평균적으로 얼마나 가팔랐는지를 나타낸다. 순간변화율은 두 점을 한없이 가까이 붙일 때 할선이 접근하는 직선, 즉 **접선**의 기울기로, 한 지점에서의 가파르기를 나타낸다." — 핵심은 두 단어를 정확한 자리에 쓰는 것. "평균은 구간, 순간은 한 점"만 써도 부분 정답. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 짝을 이루는 두 문장이다. **평균변화율은 두 점을 이은 할선의 기울기이며 구간에 대한 값이다. 순간변화율은 그 점에 접하는 접선의 기울기이며 한 점에 대한 값이다.** 두 점을 한없이 가깝게 하면 할선은 접선으로 접근하고, 그때 값이 정해진다. 그 접근 과정을 떠받치는 문장이 하나 있다. **무한히 가까이 가되, 도달할 필요는 없다.** $h$ 를 $0$ 으로 보내는 것이지 $0$ 을 대입하는 것이 아니다. $0$ 에 도달하면 $\dfrac{0}{0}$ 이 되어 값이 결정되지 않지만, 도달하지 않고 접근하기만 하면 표 어디에도 없던 값이 정해진다. 이 장에서는 극한을 표와 수치 계산으로 확인했다. 그러나 모든 문제에서 표를 만들 수는 없다. 다음 장에서는 표 없이 계산으로 극한을 구한다. 다음 장에서 사용하는 도구는 새로운 것이 아니라 인수분해와 약분이다. 도입과 이 장의 구멍 뚫린 그래프에서 나타난 $\dfrac{0}{0}$ 을 [제25장](ch25.md)에서 그 두 도구로 처리한다.