제11장 · 일차부등식과 응용#
이 장
원본 코드 |
R2-W03 |
선행 내용 |
제10장(일차방정식) |
요지 |
부등식도 방정식과 같은 방식으로 양변을 조작해 풀되, 음수로 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 뒤집힌다. |
도입#
다음 부등식에서 시작한다.
참인 부등식이다. 앞 장에서 방정식을 풀 때 사용한 도구를 그대로 적용한다. 양변에 같은 연산을 적용한다. 양변에 \(2\) 를 더하면 \(5 < 7\) 이고 부등호는 그대로다. 양변에 \(2\) 를 곱하면 \(6 < 10\) 이고 역시 그대로다. 여기까지는 방정식과 동일하다.
다음으로 양변에 \(-1\) 을 곱한다.
이제 \(-3\) 과 \(-5\) 사이에 들어갈 부등호를 정해야 한다. \(5\) 가 \(3\) 보다 크므로 \(-5\) 도 더 크다고 답하는 경우가 많다. 그러나 수직선 위에서 \(-3\) 은 \(-5\) 보다 오른쪽에 있고, 오른쪽에 있는 수가 더 큰 수다. 따라서 \(-3 > -5\) 이다. 양변에 같은 수를 곱했는데 부등호의 방향이 뒤집혔다.
이 지점이 이 장의 핵심이며, 부등식에서 발생하는 오류의 대부분이 여기에서 나온다. 부등식은 방정식과 동일한 방식으로 풀린다. 예외는 하나이며, 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호가 뒤집힌다. 이 장에서는 그것이 왜 뒤집히는지를 암기하지 않고 수직선 위에서 확인한다.
부등식도 저울처럼 양변에 같은 연산을 적용한다#
앞 장에서는 양팔 저울 모형으로 방정식을 풀었다. 저울의 균형을 유지하려면 한쪽에 적용한 연산을 반대쪽에도 동일하게 적용해야 한다. 부등식에도 같은 모형을 적용한다. 다만 이 저울은 어느 쪽이 무거운지가 이미 정해져 기울어 있는 저울이다. \(3 < 5\) 는 왼쪽 접시가 가볍고 오른쪽 접시가 무겁다는 뜻이다.
기울어진 저울의 양쪽에 같은 무게를 얹으면 기운 방향은 유지된다. 같은 무게를 덜어내도 유지된다. 양쪽을 똑같이 두 배로 늘리거나 절반으로 줄여도 유지된다. 실제로 \(3 < 5\) 에 여러 연산을 적용해도 대부분의 경우 부등호는 유지된다.
\(3 < 5\) 의 양변에 한 일 |
왼쪽 |
오른쪽 |
참인 부등식 |
방향 |
|---|---|---|---|---|
\(+2\) |
\(5\) |
\(7\) |
\(5 < 7\) |
유지 |
\(-10\) |
\(-7\) |
\(-5\) |
\(-7 < -5\) |
유지 |
\(\times 2\) |
\(6\) |
\(10\) |
\(6 < 10\) |
유지 |
\(\div 2\) |
\(1.5\) |
\(2.5\) |
\(1.5 < 2.5\) |
유지 |
\(\times (-1)\) |
\(-3\) |
\(-5\) |
\(-3 > -5\) |
뒤집힘 |
\(\times (-2)\) |
\(-6\) |
\(-10\) |
\(-6 > -10\) |
뒤집힘 |
\(\div (-1)\) |
\(-3\) |
\(-5\) |
\(-3 > -5\) |
뒤집힘 |
일곱 행 중 위의 네 행은 방향이 유지된다. 더하기, 빼기(음수를 더하는 경우 포함), 양수 곱하기, 양수로 나누기이다. 아래 세 행에서만 방향이 뒤집힌다. 세 행의 공통점은 하나다. 음수를 곱하거나 음수로 나눴다. 더하기와 빼기는 아무리 큰 음수를 사용해도 방향이 뒤집히지 않는다. 두 번째 행에서 \(-10\) 을 더했지만 방향은 유지된다. 방향이 뒤집히는 것은 음수를 곱하거나 음수로 나눌 때뿐이다.
음수를 곱하거나 나누면 부등호가 뒤집힌다#
음수를 곱할 때만 방향이 뒤집히는 이유는 그렇게 정해진 규칙이기 때문이 아니다. 수직선 위에서 그 이유가 드러난다.
* 는 원래의 \(3\) 과 \(5\), o 는 양변에 \(-1\) 을 곱한 뒤의 \(-3\) 과 \(-5\) 이다. 수직선의 오른쪽 절반에서 \(3\) 과 \(5\) 중 \(5\) 가 더 오른쪽에 있으므로 \(5\) 가 크다. 여기까지는 방정식과 다르지 않다.
\(-1\) 을 곱하면 \(3\) 은 \(-3\) 으로, \(5\) 는 \(-5\) 로 옮겨 간다. 두 수 모두 \(0\) 을 기준으로 정반대편으로 이동한다. 이 이동은 \(0\) 에 대한 대칭 이동이며, 대칭 이동은 수직선의 왼쪽과 오른쪽을 서로 바꾼다. 원래 \(5\) 는 오른쪽에 있었으나, 이동한 뒤 \(-5\) 는 왼쪽에 놓인다. 수직선에서 왼쪽은 작은 쪽이다. 따라서 순서가 뒤집힌다.
방정식에서 등식의 성질 네 가지를 다루었다. 부등식의 성질도 네 가지이다.
위의 세 가지는 등식의 성질과 동일하다. 네 번째 하나만 다르다. 곱하거나 나누는 수 \(c\) 가 음수일 때 부등호가 뒤집힌다(\(<\) 가 \(>\) 로 바뀐다). 이 한 줄이 이 장의 핵심이다.
이 성질은 암기의 대상이 아니라 앞에서 수직선으로 확인한 사실이다. 방향이 불확실하면 \(3 < 5\) 의 양변에 \(-1\) 을 곱해 보면 된다. \(-3\) 과 \(-5\) 중 무엇이 큰지 수직선에서 확인하는 데 \(3\) 초면 충분하다. 기억에 의존하지 않고 확인 절차를 사용한다. 이 절차는 \(20\) 년 뒤에도 동일하게 사용할 수 있다.
계수에 숨어 있는 음수도 확인해야 한다. \(-x > 2\) 에는 \(-1\) 이 포함되어 있다. \(-x\) 는 \((-1) \times x\) 이다. 양변에 \(-1\) 을 곱하거나 \(-1\) 로 나누면 부등호가 뒤집힌다. 따라서 답은 \(x < -2\) 이다. 식에 음의 부호가 하나라도 있으면 방향을 판단하는 단계를 거친다.
해는 하나의 수가 아니라 구간이다#
방정식과 부등식이 갈라지는 지점이 하나 더 있다. 해의 형태이다.
방정식이면 여기에서 풀이가 끝난다. 그러나 \(x > -3\) 을 만족하는 수는 하나가 아니다. \(-2\) 도 해이고 \(0\) 도 해이며 \(1000\) 도 해이다. 해가 무한히 많다. 모두 나열할 수 없으므로 수직선 위에 나타낸다.
여기에서 기호가 두 개 추가된다. 읽는 방법을 먼저 정한다.
핵심은 가운데의 ‘또는’ 이다. ‘작거나 같다’는 “작다 또는 같다”를 뜻하며, 둘 중 하나만 참이면 전체가 참이다. 둘 다 참일 필요는 없다.
문장 |
앞쪽(작다) |
뒤쪽(같다) |
전체 |
|---|---|---|---|
\(3 \le 5\) |
참 |
거짓 |
참 |
\(4 \le 4\) |
거짓 |
참 |
참 |
\(5 \le 4\) |
거짓 |
거짓 |
거짓 |
가운데 행이 혼동을 일으키는 지점이다. \(4\) 는 \(4\) 보다 작지 않지만 같기 때문에 전체가 참이다. 두 조건 중 하나만 만족하면 된다.
기호의 모양에서도 같은 사실이 확인된다. \(\le\) 는 \(<\) 아래에 등호 한 줄을 더한 것이다. 그 한 줄이 “끝점 자기 자신도 해에 포함된다”는 뜻이고, 수직선에서는 그것이 속이 찬 점으로 나타난다. 기호의 한 줄과 그림의 채움은 같은 내용을 나타낸다.
수직선 표기에는 다음 약속을 사용한다.
즉 \(<\) 와 \(>\) 에는 속 빈 동그라미 o, \(\le\) 와 \(\ge\) 에는 속이 찬 점 * 를 쓴다. \(x > -3\) 에서 \(-3\) 자체는 해가 아니다. \(-3\) 을 대입하면 \(-3 > -3\) 이 되는데, 어떤 수도 자기 자신보다 클 수 없다. 따라서 속이 빈 동그라미로 표시한다.
끝점이 포함되는 경우를 확인한다.
\(4\) 는 해에 포함된다(\(4 \le 4\) 는 참이다). 따라서 속이 찬 점으로 표시한다. 이 표기를 지금 익혀 두면 이후 함수의 그래프에서 구간을 읽을 때 그대로 사용된다.
부등호 방향은 세 점 검산으로 확인한다#
앞 장에서는 방정식을 푼 뒤 해를 대입해 검산했다. 부등식에서도 검산한다. 다만 해가 하나의 수가 아니라 구간이므로 방식이 다르다. 점을 세 개 대입한다.
\(-2x + 1 < 7\) 을 푼다.
양변을 \(-2\) 로 나눈다. 나누는 수가 음수이므로 부등호를 뒤집는다.
세 점을 대입해 확인한다. 구간 안의 수, 구간 밖의 수, 경계의 수이다.
구간 안에서 참, 구간 밖에서 거짓, 경계에서 거짓이다. 세 결과가 모두 기대와 일치하면 부등호 방향과 끝점 포함 여부가 함께 확인된다. 부등호 방향을 확인하는 가장 확실한 방법이 대입이다. 규칙을 잘못 기억하더라도 대입 결과는 달라지지 않는다. 답을 \(x < -3\) 이라고 잘못 쓴 경우, \(x = -4\) 를 대입하면 \(9 < 7\) 로 거짓이다. 해라고 한 값에서 거짓이 나왔으므로 방향이 틀렸음이 그 자리에서 확인된다.
다만 경계에서 거짓이 나와야 맞다고 일반화해서는 안 된다. 위의 예는 부등호가 \(<\) 이므로 경계가 거짓이었다. 등호가 붙어 있으면(\(\le\), \(\ge\)) 경계에서는 참이 나와야 맞다. \(2x-3 \le 7\) 을 풀면 \(2x \le 10\), \(x \le 5\) 인데, 경계 \(x=5\) 를 원식에 대입하면 다음과 같다.
이 ‘참’이 끝점이 포함된다는 근거이다. 수직선에 속이 찬 점을 표시하는 근거도 여기에서 나온다. 세 점의 기대값을 정리하면 다음과 같다.
넣는 자리 |
\(<\), \(>\) 일 때 |
\(\le\), \(\ge\) 일 때 |
|---|---|---|
구간 안 |
참 |
참 |
구간 밖 |
거짓 |
거짓 |
경계 |
거짓 |
참 |
경계 행 하나만 다르며, 그 차이가 o 와 * 를 가른다.
분수와 소수가 있는 부등식#
부등식에도 분수와 소수가 나타난다. 방정식에서와 같은 방식으로 먼저 분모를 없앤다. 이때 곱셈을 하므로 부등호를 뒤집어야 하는지 판단이 필요하다. 앞에서 “곱하거나 나누면 부호를 확인한다”는 절차를 세웠기 때문에 이 단계에서 판단이 요구된다. 결론은 뒤집지 않는다이다. 그 이유를 풀이 과정에서 확인한다.
분모 \(2\) 와 \(3\) 의 최소공배수 \(6\) 을 양변에 곱한다. 여기에서 두 가지를 확인한다.
첫째, 모든 항에 곱한다. 왼쪽은 항이 \(\dfrac{x}{2}\) 와 \(-1\) 로 두 개다. \(-1\) 에도 \(6\) 을 곱한다.
둘째, \(6\) 은 양수이므로 방향은 유지된다. 뒤집을 근거가 없다.
이후는 방정식과 동일하다. 양변에서 \(2x\) 를 뺀다.
세 점 검산을 한다. 부등호에 등호가 없으므로 경계에서는 거짓이 나와야 한다.
세 결과가 모두 일치한다. 이를 규칙으로 정리한다. 분수와 소수를 없애기 위해 곱하는 최소공배수(또는 \(10\), \(100\))는 언제나 양수이다. 따라서 이 단계에서는 부등호가 뒤집히지 않는다. 방향을 판단하는 시점은 마지막 단계, 곧 \(x\) 의 계수로 나눌 때 한 번뿐이다.
계수가 음수인 분수일 때. 부등호 뒤집기와 분수가 함께 나타나는 경우를 확인한다.
\(x\) 의 계수는 \(-\dfrac{2}{3}\) 이며, 음의 부호까지가 계수이다. 이 수로 나누는 것은 역수 \(-\dfrac{3}{2}\) 를 곱하는 것과 같다(제1부에서 다룬 나눗셈과 동일하다). 곱하는 수가 음수이므로 뒤집는다.
세 점 검산을 한다. 이번에는 \(\le\) 이므로 경계에서 참이 나와야 한다.
분수라는 사실은 판단에 영향을 주지 않는다. 부호만으로 판단했다. 뒤집기의 기준은 언제나 곱하거나 나누는 수의 부호 하나뿐이다.
한국어를 부등호로 옮기기#
부등식 문장제에서 오류가 발생하는 지점은 계산이 아니라 한국어를 부등호로 옮기는 첫 줄이다. 그 줄이 정확하면 나머지 과정은 앞에서 다룬 내용과 동일하다.
한국어 표현 |
부등호 |
끝점 포함 |
예: 기준이 \(20\) 일 때 |
|---|---|---|---|
\(20\) 보다 크다 |
\(>\) |
아니오 |
\(x > 20\) |
\(20\) 초과 |
\(>\) |
아니오 |
\(x > 20\) |
\(20\) 보다 많다 / 많아진다 |
\(>\) |
아니오 |
\(x > 20\) |
\(20\) 보다 작다 |
\(<\) |
아니오 |
\(x < 20\) |
\(20\) 미만 |
\(<\) |
아니오 |
\(x < 20\) |
\(20\) 이 안 된다 |
\(<\) |
아니오 |
\(x < 20\) |
\(20\) 이상 |
\(\ge\) |
예 |
\(x \ge 20\) |
적어도 \(20\) |
\(\ge\) |
예 |
\(x \ge 20\) |
최소 \(20\) |
\(\ge\) |
예 |
\(x \ge 20\) |
\(20\) 은 되어야 한다 |
\(\ge\) |
예 |
\(x \ge 20\) |
\(20\) 이하 |
\(\le\) |
예 |
\(x \le 20\) |
\(20\) 을 넘지 않는다 |
\(\le\) |
예 |
\(x \le 20\) |
최대 \(20\) / 많아야 \(20\) |
\(\le\) |
예 |
\(x \le 20\) |
\(20\) 을 넘으면 안 된다 |
\(\le\) |
예 |
\(x \le 20\) |
표로 정리하면 구분이 명확하지만, 같은 표현이 문장 속에 들어가면 오류가 자주 발생한다. 특히 두 지점이다.
‘적어도 \(20\) 명’은 \(20\) 명일 때 조건을 만족한다. ‘\(20\) 명 초과’는 \(20\) 명일 때 조건을 만족하지 않는다. 차이는 한 명이지만, 시험에서도 계약서에서도 세금에서도 이 한 명에 따라 판정이 갈린다.
확인할 지점이 하나 더 있다. ‘\(20\) 을 넘지 않는다’는 \(\le\) 이다. ‘넘는다’가 \(>\) 이므로 넘지 않는 경우는 그 나머지 전부이며, \(20\) 자체를 포함한다. 부정문은 반대쪽 전체를 뜻한다.
판단이 불확실할 때 사용하는 방법은 표를 암기하는 것이 아니라 끝점 하나를 대입해 확인하는 것이다. ‘그 수 자체가 조건을 만족하는가’를 물으면 된다. ‘적어도 \(20\) 명이 모여야 문을 연다. \(20\) 명이 왔다. 문이 열리는가?’ 열린다. 따라서 \(20\) 이 포함된다. 이 질문 하나로 네 표현을 모두 판정할 수 있다.
문장제는 네 단계로 풀고 현실로 되돌린다#
문장제는 네 단계로 푼다.
④를 생략하면 ‘사과 \(11.875\) 개’와 같은 답이 나온다. 사과의 개수는 정수이므로 이 값은 답이 될 수 없다.
예제 1 — 최대 몇 개. 한 개에 \(800\) 원인 사과를 사고, 봉투값 \(500\) 원을 따로 낸다. \(10000\) 원으로 사과를 최대 몇 개까지 살 수 있는지 구한다.
대입해 확인한다.
\(11\) 은 조건을 만족하고 \(12\) 는 만족하지 않는다. 따라서 최대는 \(11\) 이다. \(11.875\) 는 답이 아니라 중간 계산 값이다. 부등식 문장제는 마지막 해석 단계를 거쳐야 완결된다. 반올림이 아니라, 조건을 만족하는 가장 큰 정수를 찾는 것이다.
예제 2 — 적어도 몇 점. 시험을 세 번 본다. 평균이 \(80\) 점 이상이어야 통과다. 두 번은 \(82\) 점, \(75\) 점을 받았다. 세 번째에 최소 몇 점을 받아야 하는지 구한다.
‘이상’이므로 정확히 \(80\) 점도 통과다. 조건이 ‘\(80\) 점을 넘어야 한다’였다면 \(x > 83\) 이 되고, 점수가 정수라면 \(84\) 점이 답이다. 표현 하나가 답을 한 점 바꾼다.
부등호를 등호로 바꾸면 방정식 문장제가 된다. 같은 네 단계로 풀린다. 형은 동생보다 \(4\) 살 많고, 두 사람 나이의 합이 \(30\) 살일 때 각각 몇 살인지 구한다.
여기에서도 ④가 필요하다. \(x = 13\) 에서 풀이를 멈추면 안 된다. 문제가 요구한 것은 두 사람의 나이이다. 검산에서도 조건 두 개를 모두 확인한다. 합과 차가 모두 맞아야 한다.
빈번한 오류#
음수로 곱하거나 나눌 때 부등호를 그대로 둔다
\(-2x < 6\) 을 \(x < -3\) 이라고 쓰거나, \(-x > 2\) 를 \(x > -2\) 라고 쓴다. 부등식에서 가장 빈번한 오류 중 하나이다. 원인은 두 가지이다. 앞 장의 ‘양변에 같은 연산을 적용한다’는 원칙이 확립된 상태에서 예외를 함께 적용하지 못하는 것이 하나이고, 이 예외를 ‘음수를 곱하면 뒤집는다’는 근거 없는 규칙으로만 익힌 것이 다른 하나이다. 근거 없이 암기한 규칙은 먼저 소실된다.
규칙을 다시 암기하는 방법은 효과가 없다. 두 가지 절차를 사용한다. 하나, \(3 < 5\) 에 \(-1\) 을 곱해 수직선에 네 점을 표시한다. \(0\) 을 기준으로 위치가 뒤집히므로 순서도 뒤집힌다. 둘, 자신이 쓴 답에 포함된 수 하나를 원식에 대입한다. 답이 \(x < -3\) 이면 \(x = -10\) 이 해라는 뜻인데, \(-2x < 6\) 에 대입하면 \(20 < 6\) 으로 거짓이다. 부등호 방향은 기억으로 유지하는 것이 아니라 대입으로 확인한다.
확인 문제: \(-4x + 1 > 13\) 을 풀어라. (답: \(x < -3\). \(-4x > 12\) 에서 뒤집힌다.)
“이상/이하”와 “초과/미만”을 구별하지 않는다
‘적어도 \(20\) 명’을 \(x > 20\) 으로, ‘\(20\) 을 넘지 않는다’를 \(x < 20\) 으로 쓴다. 수직선에도 o 와 * 를 구분 없이 표시한다. 일상 대화에서 이 네 표현을 느슨하게 사용하는 것이 원인이다. ‘\(20\) 명 이상 오세요’와 ‘\(20\) 명 넘게 오세요’를 실생활에서는 구별하지 않고 말한다. 정의를 암기하는 대신 끝점 하나를 대입해 확인한다. ‘적어도 \(20\) 명이 모여야 문을 연다. \(20\) 명이 왔다. 문이 열리는가?’ 열리므로 \(20\) 이 포함된다. ‘\(20\) 명을 초과해야 한다. \(20\) 명이 왔다. 조건을 만족하는가?’ 만족하지 않으므로 \(20\) 은 포함되지 않는다.
확인 문제: 두 문장을 부등식으로 쓰고 수직선에 그려라. (1) “\(x\) 는 \(7\) 이상이다” (2) “\(x\) 는 \(7\) 을 초과한다”. (답: \(x \ge 7\) 은 *, \(x > 7\) 은 o. 두 그림이 달라야 한다.)
부등식의 해를 하나의 수로 쓴다
\(-2x + 1 < 7\) 을 풀고 ‘\(x = -3\)’이라 쓰거나, \(x > -3\) 까지 맞게 진행한 뒤 최종 답을 별도로 찾으려 한다. 앞 장까지 모든 방정식의 해가 수 하나였기 때문에, ‘푼다’를 ‘수 하나를 찾는다’로 인식하는 것이 원인이다. 해가 무한히 많은 상태를 답으로 받아들이지 못하는 것이다. \(x > -3\) 을 만족하는 수는 \(0\), \(5\), \(1000\) 과 같이 무한히 많다. 그래서 수직선 위에 그림으로 나타내고, 식으로는 \(x > -3\) 이라고 한 줄로 쓴다. 이 한 줄이 답이다. 방정식 \(-2x + 1 = 7\) 의 답은 \(x = -3\) 하나이고, 부등식 \(-2x + 1 < 7\) 의 답은 \(-3\) 의 오른쪽 전체이다.
확인 문제: \(2x - 3 \le 7\) 을 풀고, 해를 만족하는 수를 세 개 써라. (답: \(x \le 5\). 예: \(5, 0, -100\).)
답을 현실로 되돌리지 않는다
‘사과 \(11.875\) 개’, ‘사람 \(6.25\) 명’, ‘\(83.33\) 점’. 계산은 맞지만 해당 단위에서는 존재하지 않는 값이다. 또는 \(x \le 11.875\) 를 반올림해 \(12\) 개라고 답한다. 문장제를 ‘식으로 바꿔 계산하면 끝난다’는 절차로만 익혔고, 마지막 해석 단계를 훈련하지 않은 것이 원인이다. 계산 결과가 이런 형태이면 계산이 틀린 것이 아니라 해석 단계가 남아 있는 것이다. 반올림이 아니다. \(x \le 11.875\) 에서 \(12\) 는 조건 자체를 위반한다. 조건을 만족하는 가장 큰 정수를 찾는 것이고, 답은 \(11\) 개와 \(12\) 개를 각각 대입해 확인하는 데서 나온다.
확인 문제: 한 상자에 \(7\) 개씩 담는다. 사과 \(50\) 개를 담으려면 상자가 최소 몇 개 필요한가? (답: \(8\) 개. \(7x \ge 50\), \(x \ge 7.14\ldots\), 최소 정수 \(8\). 여기서는 올림, 앞의 사과 예제에서는 내림 — 반올림 규칙이 아니라 조건 확인이기 때문이다.)
연습문제#
계산기를 사용하지 않는다. 부등식 문항은 반드시 수직선을 그리고, 구간 안의 수 하나를 원식에 대입해 확인한다. 음수로 나누는 줄에서는 부등호 방향을 판단하는 단계를 명시한다. A 기본 · B 표준 · C 도전.
A풀고 수직선에 나타내라. (1) \(x + 5 > 2\) (2) \(x - 3 \le 1\) (3) \(4x < 20\) (4) \(\dfrac{x}{3} \ge -2\)A풀고 수직선에 나타내라. (1) \(-x < 4\) (2) \(-5x \ge 15\)A풀어라. \(-2x + 1 < 7\)A풀어라. \(2x - 3 \le 7\)B풀어라. \(3x + 2 > 5x - 6\)B풀어라. \(5 - 2x \ge 11\)B풀어라. \(\dfrac{x}{2} - 1 < \dfrac{x}{3}\)B풀어라. \(-\dfrac{2}{3}x + 4 \le 8\)B한 개에 \(800\) 원인 사과를 사고 봉투값 \(500\) 원을 따로 낸다. \(10000\) 원으로 사과를 최대 몇 개까지 살 수 있는가?B세 번의 시험 평균이 \(80\) 점 이상이어야 통과다. 두 번은 \(82\) 점, \(75\) 점을 받았다. 세 번째에 최소 몇 점을 받아야 하는가?B가로가 세로보다 \(3\) cm 긴 직사각형이 있다. 둘레가 \(26\) cm를 넘지 않게 하려면 세로의 길이는 최대 몇 cm인가?B형은 동생보다 \(4\) 살 많다. 두 사람 나이의 합이 \(30\) 살이다. 각각 몇 살인가?C아래는 어떤 학생의 풀이다. 구간 안팎의 수를 실제로 넣어 답이 틀렸음을 보이고, 바르게 고쳐라.\[4 - 3x \ge 19\]\[-3x \ge 15\]\[x \ge -5\]C\(x\) 가 자연수일 때 \(3x - 7 < 5\) 를 만족하는 \(x\) 를 모두 구하라.
정답과 해설
(1) \(x > -3\) (2) \(x \le 4\) (3) \(x < 5\) (4) \(x \ge -6\) — (4) 양변에 \(3\) 을 곱한다. \(3\) 은 양수이므로 방향은 그대로. 끝점 \(-6\) 은 포함(
*).(1) \(x > -4\) — 양변에 \(-1\) 을 곱하니 뒤집힌다. 확인: \(x=0\) → \(0 < 4\) 참. (2) \(x \le -3\) — 양변을 \(-5\) 로 나누니 뒤집힌다. 확인: \(x=-4\) → \(20 \ge 15\) 참, \(x=0\) → \(0 \ge 15\) 거짓.
\(x > -3\) — \(-2x < 6\) 에서 양변을 \(-2\) 로 나누며 뒤집는다. 이렇게 틀린다: \(x < -3\). \(x = 0\) 을 대입하면 원식은 \(1 < 7\) 로 참인데 \(x < -3\) 에는 \(0\) 이 없다. 즉시 확인된다.
\(x \le 5\) — \(2x \le 10\). 양수로 나누므로 방향 유지. 확인: \(x=5\) → \(7 \le 7\) 참(끝점 포함).
\(x < 4\) — 양변에서 \(5x\) 를 빼면 \(-2x + 2 > -6\), 양변에서 \(2\) 를 빼면 \(-2x > -8\), 양변을 \(-2\) 로 나누며 뒤집어 \(x < 4\). (양변에서 \(3x\) 를 빼는 경로로 가면 \(2 > 2x - 6\), \(8 > 2x\), \(4 > x\) 로 뒤집기 없이 같은 답이 나온다. 두 경로 모두 옳다.) 확인: \(x=0\) → \(2 > -6\) 참.
\(x \le -3\) — \(-2x \ge 6\), 뒤집어 \(x \le -3\). 확인: \(x=-3\) → \(11 \ge 11\) 참, \(x=0\) → \(5 \ge 11\) 거짓.
\(x < 6\) — 양변에 \(6\) 을 곱하면 \(3x - 6 < 2x\), 양변에서 \(2x\) 를 빼면 \(x - 6 < 0\), 즉 \(x < 6\). 이렇게 틀린다: 왼쪽의 \(-1\) 에 \(6\) 을 곱하지 않아 \(3x - 1 < 2x\) 가 된다. 곱할 때는 모든 항에 곱한다.
\(x \ge -6\) — 양변에서 \(4\) 를 빼면 \(-\dfrac{2}{3}x \le 4\), 양변에 \(-\dfrac{3}{2}\) 를 곱하며 뒤집어 \(x \ge -6\). 확인: \(x=-6\) → \(4+4 = 8 \le 8\) 참, \(x=-7\) → \(\dfrac{14}{3}+4 \approx 8.67 \le 8\) 거짓.
\(11\) 개 — \(800x + 500 \le 10000\), \(x \le 11.875\). 개수는 정수이므로 \(11\) 개. 확인: \(9300 \le 10000\) 참, \(12\) 개면 \(10100\) 으로 거짓. 이렇게 틀린다: \(11.875\) 개라고 답하거나, 반올림해서 \(12\) 개라고 답한다. 부등식 문장제는 반올림이 아니라 조건을 만족하는 가장 큰 정수를 찾는 것이다.
\(83\) 점 — \(\dfrac{82+75+x}{3} \ge 80\), \(157 + x \ge 240\), \(x \ge 83\). 확인: \(83\) 점이면 평균 정확히 \(80\) 점으로 통과, \(82\) 점이면 평균 \(79.67\) 로 미달.
\(5\) cm — 세로를 \(x\) 로 두면 가로는 \(x+3\), 둘레는 \(2(x + x + 3) = 4x + 6 \le 26\), \(x \le 5\). 확인: \(x=5\) 면 둘레 \(26\) (넘지 않음, 참), \(x=6\) 이면 둘레 \(30\) (거짓). 이렇게 틀린다: 둘레를 \(x + (x+3)\) 으로 쓴다. 둘레는 네 변의 합이다.
동생 \(13\) 살, 형 \(17\) 살 — \(x + (x+4) = 30\), \(2x = 26\), \(x = 13\). 검산: 합 \(13+17 = 30\) ✔, 차 \(17-13 = 4\) ✔. 이렇게 틀린다: \(x = 13\) 에서 멈춘다. 물은 것은 두 사람의 나이다.
먼저 확인: 학생의 답 \(x \ge -5\) 에는 \(x = 0\) 이 들어간다. 원식에 대입하면 \(4 - 0 = 4 \ge 19\) 로 거짓. 해라고 한 값이 조건을 위반했으므로 답이 틀렸다. 반대로 \(x = -6\) 을 대입하면 \(4 + 18 = 22 \ge 19\) 로 참인데, 학생의 답에는 \(-6\) 이 없다. 방향이 뒤집혀 있다. 틀린 줄은 셋째 줄이다. 양변을 \(-3\) 으로 나눌 때 부등호를 뒤집지 않았다. 바르게: \(-3x \ge 15\) 에서 양변을 \(-3\) 으로 나누며 뒤집어 \(x \le -5\). 세 점 검산: 안 \(x=-6\) → \(22 \ge 19\) 참, 밖 \(x=0\) → \(4 \ge 19\) 거짓, 경계 \(x=-5\) → \(19 \ge 19\) 참(포함).
\(x = 1, 2, 3\) — \(3x < 12\), \(x < 4\). 자연수 중 \(4\) 보다 작은 것은 \(1, 2, 3\). 이렇게 틀린다: \(x < 4\) 라고만 쓰고 끝낸다. 또는 \(4\) 를 포함시킨다(\(3 \times 4 - 7 = 5\) 인데 \(5 < 5\) 는 거짓). \(0\) 은 자연수가 아니므로 넣지 않는다.
추가 연습문제#
하루 \(20\) 분씩 나누어 푸는 편이 한 번에 몰아서 푸는 것보다 효과적이다. 규칙은 세 가지다. 모든 부등식 문항에 수직선을 그리고 o 와 * 를 구별해 표시한다. 구간 안의 수 하나를 원식에 대입해 확인한다. 음수로 나누는 줄 옆에는 “뒤집음”이라고 표기한다.
기본 부등식
\(x + 3 > 8\) 2. \(x - 5 \le 2\) 3. \(2x < 14\) 4. \(5x \ge -20\) 5. \(\dfrac{x}{4} > 3\) 6. \(3x + 1 \le 10\) 7. \(4x - 5 > 7\)
음수 계수 — 뒤집히는 것들 (전부 뒤집힌다고 미리 단정하지 말고, 각 문항에서 직접 판단한다)
\(-x > 5\) 9. \(-2x \le 10\) 10. \(-3x > -12\) 11. \(-2x + 1 < 7\) 12. \(-4x - 3 \ge 5\) 13. \(7 - 2x \le 1\) 14. \(-\dfrac{x}{2} < 4\)
양변에 문자·괄호·분수·소수
\(5x - 2 > 2x + 7\) 16. \(x + 6 \le 4x - 3\) 17. \(2(x - 3) < 4\) 18. \(3(x + 1) \ge 5x - 7\) 19. \(\dfrac{x}{3} + 1 > \dfrac{x}{2}\) 20. \(0.5x - 1 \le 0.2x + 0.5\)
문장제
한 권에 \(1200\) 원인 공책을 사고 \(500\) 원짜리 봉투 하나를 산다. \(8000\) 원으로 공책을 최대 몇 권까지 살 수 있는가?
어떤 수의 \(4\) 배에서 \(3\) 을 뺀 것이 \(21\) 이하이다. 어떤 수의 범위를 부등식으로 나타내고 수직선에 그려라.
세 번의 시험 평균이 \(85\) 점 이상이어야 장학금을 받는다. 앞의 두 번은 \(88\) 점, \(79\) 점이었다. 세 번째에 최소 몇 점을 받아야 하는가?
가로가 세로보다 \(5\) cm 긴 직사각형이 있다. 둘레가 \(34\) cm 이하가 되게 하려면 세로의 길이는 최대 몇 cm인가?
어떤 수의 \(5\) 배에서 \(8\) 을 뺀 것이, 그 수의 \(3\) 배에 \(2\) 를 더한 것과 같다. 어떤 수인가? (이것은 부등식이 아니라 방정식이다. 문장을 끝까지 읽어야 판별된다.)
정답과 해설
\(x > 5\) 2. \(x \le 7\) 3. \(x < 7\) 4. \(x \ge -4\) 5. \(x > 12\) 6. \(x \le 3\) 7. \(x > 3\)
\(4\) 번: 양변을 \(5\) 로 나눈다. 양수로 나누므로 방향은 그대로다. 답이 음수라고 해서 뒤집는 것이 아니다. 뒤집는 기준은 나누는 수의 부호이지 답의 부호가 아니다. \(5\) 번: 양변에 \(4\) 를 곱한다.
\(x < -5\) 9. \(x \ge -5\) 10. \(x < 4\) 11. \(x > -3\) 12. \(x \le -2\) 13. \(x \ge 3\) 14. \(x > -8\)
전부 뒤집힌다. \(10\) 번 이렇게 틀린다: 오른쪽이 음수라는 이유로 방향을 두 번 바꾼다. 뒤집는 근거는 양변을 \(-3\) 으로 나누는 것이지 오른쪽의 \(-12\) 가 아니다. 확인 \(x=0\) → \(0 > -12\) 참. \(13\) 번: \(-2x \le -6\) 에서 양변을 \(-2\) 로 나누며 뒤집어 \(x \ge 3\). 확인 \(x=3\) → \(7-6 = 1 \le 1\) 참, \(x=2\) → \(3 \le 1\) 거짓.
\(x > 3\) 16. \(x \ge 3\) 17. \(x < 5\) 18. \(x \le 5\) 19. \(x < 6\) 20. \(x \le 5\)
\(18\) 번: \(3x + 3 \ge 5x - 7\) 에서 양변에서 \(5x\) 를 빼면 \(-2x + 3 \ge -7\), \(-2x \ge -10\), 뒤집어 \(x \le 5\). (양변에서 \(3x\) 를 빼는 경로이면 \(3 \ge 2x - 7\), \(10 \ge 2x\), \(5 \ge x\) 로 뒤집기 없이 같은 답이 나온다.) \(19\) 번: 양변에 \(6\) 을 곱해 \(2x + 6 > 3x\). 이렇게 틀린다: \(+1\) 에 \(6\) 을 곱하지 않는다. \(20\) 번: 양변에 \(10\) 을 곱해 \(5x - 10 \le 2x + 5\).
\(6\) 권 — \(1200x + 500 \le 8000\), \(x \le 6.25\). 확인: \(6\) 권이면 \(7700 \le 8000\) 참, \(7\) 권이면 \(8900\) 으로 거짓. 반올림해서 \(6\) 이 된 것이 아니라 조건을 만족하는 가장 큰 정수가 \(6\) 이다.
\(4x - 3 \le 21\) 이므로 \(x \le 6\). 수직선에 \(6\) 을
*로 찍고 왼쪽 전부를 칠한다. 확인: \(x=6\) → \(21 \le 21\) 참, \(x=7\) → \(25 \le 21\) 거짓.\(88\) 점 — \(\dfrac{88+79+x}{3} \ge 85\), 양변에 \(3\) 을 곱하면 \(167 + x \ge 255\), \(x \ge 88\). 확인: \(88\) 점이면 평균 정확히 \(85\) 점(통과), \(87\) 점이면 평균 \(84.67\) 로 미달. 이렇게 틀린다: 평균이 \(85\) 이므로 세 번째도 \(85\) 정도라고 어림하여 답한다. 앞의 두 점수 합이 \(167\) 이므로 목표 \(255\) 에 \(88\) 이 모자란다.
\(6\) cm — 세로를 \(x\) 로 두면 둘레는 \(2(x + x + 5) = 4x + 10 \le 34\), \(x \le 6\). 확인: \(x=6\) 이면 둘레 \(34\) (이하이므로 참), \(x=7\) 이면 둘레 \(38\) (거짓).
\(5\) — \(5x - 8 = 3x + 2\). 양변에서 \(3x\) 를 빼면 \(2x - 8 = 2\), \(2x = 10\), \(x = 5\). 검산: 좌변 \(25 - 8 = 17\), 우변 \(15 + 2 = 17\) ✔. 여기서 확인할 것: ‘같다’가 나오면 등호, ‘이상·이하·초과·미만’이 나오면 부등호다. 문장을 끝까지 읽은 뒤 기호를 고른다.
요약과 다음 장#
이 장의 핵심은 한 문장이다. 부등식은 방정식과 똑같이 양변을 조작해 풀되, 음수를 곱하거나 나눌 때만 부등호가 뒤집힌다. 뒤집히는 이유는 정해진 규칙이 아니라 수직선의 구조다. 음수를 곱하면 수가 \(0\) 의 반대편으로 이동하므로 순서가 거꾸로 된다. 여기에 세 가지를 더했다. 부등식의 해는 하나의 수가 아니라 수직선 위의 구간이라는 것, 부등호 방향은 세 점 검산으로 확인한다는 것, 그리고 한국어 문장을 부등호로 옮길 때는 표를 암기하기보다 끝점 하나를 대입해 확인한다는 것이다.
특히 ‘음수로 나눌 때는 뒤집는다’는 한 줄은 기억이 아니라 확인 절차로 유지한다. \(3 < 5\) 에 \(-1\) 을 곱해 확인하는 데 \(3\) 초면 충분하다. 이 절차는 \(20\) 년 뒤에도 동일하게 사용할 수 있다.
다음 장에서는 다루는 대상이 바뀐다. 지금까지는 식을 풀었다. 다음은 식을 쓰는 문법, 곧 지수로 간다. A4 종이 한 장을 반으로 접는 과정을 반복하면 겹의 수가 어떻게 증가하는지, 그 값이 어느 정도까지 커지는지를 지수로 기술한다. 제12장에서 지수법칙을 다룬다.