# 제11장 · 일차부등식과 응용 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R2-W03 | | **선행 내용** | 제10장(일차방정식) | | **요지** | 부등식도 방정식과 같은 방식으로 양변을 조작해 풀되, **음수로 곱하거나 나누면** 부등호의 방향이 뒤집힌다. | ::: ## 도입 다음 부등식에서 시작한다. $$3 < 5$$ 참인 부등식이다. 앞 장에서 방정식을 풀 때 사용한 도구를 그대로 적용한다. **양변에 같은 연산을 적용한다.** 양변에 $2$ 를 더하면 $5 < 7$ 이고 부등호는 그대로다. 양변에 $2$ 를 곱하면 $6 < 10$ 이고 역시 그대로다. 여기까지는 방정식과 동일하다. 다음으로 양변에 $-1$ 을 곱한다. $$3 \times (-1) = -3 \qquad 5 \times (-1) = -5$$ 이제 $-3$ 과 $-5$ 사이에 들어갈 부등호를 정해야 한다. $5$ 가 $3$ 보다 크므로 $-5$ 도 더 크다고 답하는 경우가 많다. 그러나 수직선 위에서 $-3$ 은 $-5$ 보다 오른쪽에 있고, 오른쪽에 있는 수가 더 큰 수다. 따라서 $-3 > -5$ 이다. **양변에 같은 수를 곱했는데 부등호의 방향이 뒤집혔다.** 이 지점이 이 장의 핵심이며, 부등식에서 발생하는 오류의 대부분이 여기에서 나온다. 부등식은 방정식과 동일한 방식으로 풀린다. 예외는 하나이며, 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호가 뒤집힌다. 이 장에서는 그것이 **왜** 뒤집히는지를 암기하지 않고 수직선 위에서 확인한다. ## 부등식도 저울처럼 양변에 같은 연산을 적용한다 앞 장에서는 양팔 저울 모형으로 방정식을 풀었다. 저울의 균형을 유지하려면 한쪽에 적용한 연산을 반대쪽에도 동일하게 적용해야 한다. 부등식에도 같은 모형을 적용한다. 다만 이 저울은 어느 쪽이 무거운지가 이미 정해져 기울어 있는 저울이다. $3 < 5$ 는 왼쪽 접시가 가볍고 오른쪽 접시가 무겁다는 뜻이다. 기울어진 저울의 양쪽에 같은 무게를 얹으면 기운 방향은 유지된다. 같은 무게를 덜어내도 유지된다. 양쪽을 똑같이 두 배로 늘리거나 절반으로 줄여도 유지된다. 실제로 $3 < 5$ 에 여러 연산을 적용해도 대부분의 경우 부등호는 유지된다. | $3 < 5$ 의 양변에 한 일 | 왼쪽 | 오른쪽 | 참인 부등식 | 방향 | |---|---|---|---|---| | $+2$ | $5$ | $7$ | $5 < 7$ | 유지 | | $-10$ | $-7$ | $-5$ | $-7 < -5$ | 유지 | | $\times 2$ | $6$ | $10$ | $6 < 10$ | 유지 | | $\div 2$ | $1.5$ | $2.5$ | $1.5 < 2.5$ | 유지 | | $\times (-1)$ | $-3$ | $-5$ | $-3 > -5$ | **뒤집힘** | | $\times (-2)$ | $-6$ | $-10$ | $-6 > -10$ | **뒤집힘** | | $\div (-1)$ | $-3$ | $-5$ | $-3 > -5$ | **뒤집힘** | 일곱 행 중 위의 네 행은 방향이 유지된다. 더하기, 빼기(음수를 더하는 경우 포함), 양수 곱하기, 양수로 나누기이다. 아래 세 행에서만 방향이 뒤집힌다. 세 행의 공통점은 하나다. **음수를 곱하거나 음수로 나눴다.** 더하기와 빼기는 아무리 큰 음수를 사용해도 방향이 뒤집히지 않는다. 두 번째 행에서 $-10$ 을 더했지만 방향은 유지된다. 방향이 뒤집히는 것은 음수를 곱하거나 음수로 나눌 때뿐이다. ## 음수를 곱하거나 나누면 부등호가 뒤집힌다 음수를 곱할 때만 방향이 뒤집히는 이유는 그렇게 정해진 규칙이기 때문이 아니다. 수직선 위에서 그 이유가 드러난다. ```{image} /_static/figs/ch11_flip.svg :alt: 음수를 곱하면 수직선에서 순서가 뒤집힌다 :width: 560px :align: center :class: chfig ``` `*` 는 원래의 $3$ 과 $5$, `o` 는 양변에 $-1$ 을 곱한 뒤의 $-3$ 과 $-5$ 이다. 수직선의 오른쪽 절반에서 $3$ 과 $5$ 중 $5$ 가 더 오른쪽에 있으므로 $5$ 가 크다. 여기까지는 방정식과 다르지 않다. $-1$ 을 곱하면 $3$ 은 $-3$ 으로, $5$ 는 $-5$ 로 옮겨 간다. 두 수 모두 **$0$ 을 기준으로 정반대편으로 이동한다.** 이 이동은 $0$ 에 대한 대칭 이동이며, 대칭 이동은 수직선의 왼쪽과 오른쪽을 서로 바꾼다. 원래 $5$ 는 오른쪽에 있었으나, 이동한 뒤 $-5$ 는 **왼쪽**에 놓인다. 수직선에서 왼쪽은 작은 쪽이다. 따라서 순서가 뒤집힌다. $$\text{0을 기준으로 뒤집히니까, 순서도 뒤집힌다}$$ 방정식에서 등식의 성질 네 가지를 다루었다. 부등식의 성질도 네 가지이다. $$a < b \ \Rightarrow \ a + c < b + c$$ $$a < b \ \Rightarrow \ a - c < b - c$$ $$a < b, \ c > 0 \ \Rightarrow \ ac < bc$$ $$a < b, \ c < 0 \ \Rightarrow \ ac > bc$$ 위의 세 가지는 등식의 성질과 동일하다. **네 번째 하나만 다르다.** 곱하거나 나누는 수 $c$ 가 음수일 때 부등호가 뒤집힌다($<$ 가 $>$ 로 바뀐다). 이 한 줄이 이 장의 핵심이다. 이 성질은 암기의 대상이 아니라 앞에서 수직선으로 확인한 사실이다. 방향이 불확실하면 $3 < 5$ 의 양변에 $-1$ 을 곱해 보면 된다. $-3$ 과 $-5$ 중 무엇이 큰지 수직선에서 확인하는 데 $3$ 초면 충분하다. **기억에 의존하지 않고 확인 절차를 사용한다.** 이 절차는 $20$ 년 뒤에도 동일하게 사용할 수 있다. 계수에 숨어 있는 음수도 확인해야 한다. $-x > 2$ 에는 $-1$ 이 포함되어 있다. $-x$ 는 $(-1) \times x$ 이다. 양변에 $-1$ 을 곱하거나 $-1$ 로 나누면 부등호가 뒤집힌다. 따라서 답은 $x < -2$ 이다. 식에 음의 부호가 하나라도 있으면 방향을 판단하는 단계를 거친다. ```{image} /_static/figs/ch11_ineq_left.svg :alt: x < -2: -2에서 왼쪽으로 뻗는 반직선(빈 점) :width: 560px :align: center :class: chfig ``` ## 해는 하나의 수가 아니라 구간이다 방정식과 부등식이 갈라지는 지점이 하나 더 있다. 해의 형태이다. $$x + 4 > 1$$ $$x + 4 - 4 > 1 - 4$$ $$x > -3$$ 방정식이면 여기에서 풀이가 끝난다. 그러나 $x > -3$ 을 만족하는 수는 하나가 아니다. $-2$ 도 해이고 $0$ 도 해이며 $1000$ 도 해이다. **해가 무한히 많다.** 모두 나열할 수 없으므로 수직선 위에 나타낸다. ```{image} /_static/figs/ch11_ineq_right.svg :alt: x > -3: -3에서 오른쪽으로 뻗는 반직선(빈 점) :width: 560px :align: center :class: chfig ``` 여기에서 기호가 두 개 추가된다. 읽는 방법을 먼저 정한다. $$a \le b \quad \text{“} a \text{ 는 } b \text{ 보다 작거나 같다”} \qquad a \ge b \quad \text{“} a \text{ 는 } b \text{ 보다 크거나 같다”}$$ 핵심은 가운데의 **'또는'** 이다. '작거나 같다'는 "작다 **또는** 같다"를 뜻하며, 둘 중 **하나만 참이면 전체가 참**이다. 둘 다 참일 필요는 없다. | 문장 | 앞쪽(작다) | 뒤쪽(같다) | 전체 | |---|---|---|---| | $3 \le 5$ | 참 | 거짓 | **참** | | $4 \le 4$ | 거짓 | 참 | **참** | | $5 \le 4$ | 거짓 | 거짓 | **거짓** | 가운데 행이 혼동을 일으키는 지점이다. $4$ 는 $4$ 보다 작지 않지만 **같기 때문에** 전체가 참이다. 두 조건 중 하나만 만족하면 된다. 기호의 모양에서도 같은 사실이 확인된다. $\le$ 는 $<$ 아래에 등호 한 줄을 더한 것이다. 그 한 줄이 "끝점 자기 자신도 해에 포함된다"는 뜻이고, 수직선에서는 그것이 **속이 찬 점**으로 나타난다. 기호의 한 줄과 그림의 채움은 같은 내용을 나타낸다. 수직선 표기에는 다음 약속을 사용한다. ```{image} /_static/figs/ch11_legend.svg :alt: 수직선 부등식 표기 약속 :width: 440px :align: center :class: chfig ``` 즉 $<$ 와 $>$ 에는 속 빈 동그라미 `o`, $\le$ 와 $\ge$ 에는 속이 찬 점 `*` 를 쓴다. $x > -3$ 에서 $-3$ 자체는 해가 아니다. $-3$ 을 대입하면 $-3 > -3$ 이 되는데, 어떤 수도 자기 자신보다 클 수 없다. 따라서 속이 빈 동그라미로 표시한다. 끝점이 포함되는 경우를 확인한다. $$3x \le 12 \ \Rightarrow \ x \le 4$$ ```{image} /_static/figs/ch11_ineq_le.svg :alt: x ≤ 4: 4에서 왼쪽으로 뻗는 반직선(찬 점) :width: 560px :align: center :class: chfig ``` $4$ 는 해에 포함된다($4 \le 4$ 는 참이다). 따라서 속이 찬 점으로 표시한다. 이 표기를 지금 익혀 두면 이후 함수의 그래프에서 구간을 읽을 때 그대로 사용된다. ## 부등호 방향은 세 점 검산으로 확인한다 앞 장에서는 방정식을 푼 뒤 해를 대입해 검산했다. 부등식에서도 검산한다. 다만 해가 하나의 수가 아니라 구간이므로 방식이 다르다. **점을 세 개 대입한다.** $-2x + 1 < 7$ 을 푼다. $$-2x + 1 - 1 < 7 - 1$$ $$-2x < 6$$ 양변을 $-2$ 로 나눈다. **나누는 수가 음수이므로 부등호를 뒤집는다.** $$x > -3$$ 세 점을 대입해 확인한다. 구간 안의 수, 구간 밖의 수, 경계의 수이다. $$\text{구간 안 } (x = 0): \quad -2 \times 0 + 1 = 1 < 7 \quad \text{참}$$ $$\text{구간 밖 } (x = -4): \quad -2 \times (-4) + 1 = 9 < 7 \quad \text{거짓}$$ $$\text{경계 } (x = -3): \quad -2 \times (-3) + 1 = 7 < 7 \quad \text{거짓}$$ 구간 안에서 참, 구간 밖에서 거짓, 경계에서 거짓이다. 세 결과가 모두 기대와 일치하면 부등호 방향과 끝점 포함 여부가 함께 확인된다. **부등호 방향을 확인하는 가장 확실한 방법이 대입이다.** 규칙을 잘못 기억하더라도 대입 결과는 달라지지 않는다. 답을 $x < -3$ 이라고 잘못 쓴 경우, $x = -4$ 를 대입하면 $9 < 7$ 로 거짓이다. 해라고 한 값에서 거짓이 나왔으므로 방향이 틀렸음이 그 자리에서 확인된다. 다만 경계에서 **거짓이 나와야 맞다**고 일반화해서는 안 된다. 위의 예는 부등호가 $<$ 이므로 경계가 거짓이었다. 등호가 붙어 있으면($\le$, $\ge$) 경계에서는 **참**이 나와야 맞다. $2x-3 \le 7$ 을 풀면 $2x \le 10$, $x \le 5$ 인데, 경계 $x=5$ 를 원식에 대입하면 다음과 같다. $$2 \times 5 - 3 = 7 \le 7 \quad \text{참}$$ 이 '참'이 끝점이 포함된다는 근거이다. 수직선에 속이 찬 점을 표시하는 근거도 여기에서 나온다. 세 점의 기대값을 정리하면 다음과 같다. | 넣는 자리 | $<$, $>$ 일 때 | $\le$, $\ge$ 일 때 | |---|---|---| | 구간 안 | 참 | 참 | | 구간 밖 | 거짓 | 거짓 | | 경계 | **거짓** | **참** | 경계 행 하나만 다르며, 그 차이가 `o` 와 `*` 를 가른다. ## 분수와 소수가 있는 부등식 부등식에도 분수와 소수가 나타난다. 방정식에서와 같은 방식으로 먼저 분모를 없앤다. 이때 곱셈을 하므로 부등호를 뒤집어야 하는지 판단이 필요하다. 앞에서 "곱하거나 나누면 부호를 확인한다"는 절차를 세웠기 때문에 이 단계에서 판단이 요구된다. 결론은 **뒤집지 않는다**이다. 그 이유를 풀이 과정에서 확인한다. $$\frac{x}{2} - 1 < \frac{x}{3}$$ 분모 $2$ 와 $3$ 의 최소공배수 $6$ 을 양변에 곱한다. 여기에서 두 가지를 확인한다. 첫째, **모든 항에** 곱한다. 왼쪽은 항이 $\dfrac{x}{2}$ 와 $-1$ 로 두 개다. $-1$ 에도 $6$ 을 곱한다. $$6 \times \frac{x}{2} - 6 \times 1 < 6 \times \frac{x}{3}$$ 둘째, **$6$ 은 양수이므로 방향은 유지된다.** 뒤집을 근거가 없다. $$3x - 6 < 2x$$ 이후는 방정식과 동일하다. 양변에서 $2x$ 를 뺀다. $$3x - 6 - 2x < 2x - 2x$$ $$x - 6 < 0$$ $$x < 6$$ 세 점 검산을 한다. 부등호에 등호가 없으므로 경계에서는 거짓이 나와야 한다. $$\text{안 } (x=0): \ 0-1 = -1 < 0 \quad \text{참}$$ $$\text{밖 } (x=12): \ 6-1 = 5 < 4 \quad \text{거짓}$$ $$\text{경계 } (x=6): \ 3-1 = 2 < 2 \quad \text{거짓}$$ 세 결과가 모두 일치한다. 이를 규칙으로 정리한다. **분수와 소수를 없애기 위해 곱하는 최소공배수(또는 $10$, $100$)는 언제나 양수이다. 따라서 이 단계에서는 부등호가 뒤집히지 않는다.** 방향을 판단하는 시점은 마지막 단계, 곧 $x$ 의 계수로 나눌 때 한 번뿐이다. **계수가 음수인 분수일 때.** 부등호 뒤집기와 분수가 함께 나타나는 경우를 확인한다. $$-\frac{2}{3}x \le 4$$ $x$ 의 계수는 $-\dfrac{2}{3}$ 이며, 음의 부호까지가 계수이다. 이 수로 나누는 것은 역수 $-\dfrac{3}{2}$ 를 곱하는 것과 같다(제1부에서 다룬 나눗셈과 동일하다). 곱하는 수가 **음수이므로 뒤집는다.** $$-\frac{3}{2} \times \left(-\frac{2}{3}x\right) \ \ge \ -\frac{3}{2} \times 4$$ $$x \ge -6$$ 세 점 검산을 한다. 이번에는 $\le$ 이므로 경계에서 참이 나와야 한다. $$\text{안 } (x=0): \ 0 \le 4 \quad \text{참}$$ $$\text{밖 } (x=-9): \ -\frac{2}{3} \times (-9) = 6 \le 4 \quad \text{거짓}$$ $$\text{경계 } (x=-6): \ -\frac{2}{3} \times (-6) = 4 \le 4 \quad \text{참}$$ 분수라는 사실은 판단에 영향을 주지 않는다. 부호만으로 판단했다. **뒤집기의 기준은 언제나 곱하거나 나누는 수의 부호 하나뿐이다.** ## 한국어를 부등호로 옮기기 부등식 문장제에서 오류가 발생하는 지점은 계산이 아니라 한국어를 부등호로 옮기는 첫 줄이다. 그 줄이 정확하면 나머지 과정은 앞에서 다룬 내용과 동일하다. | 한국어 표현 | 부등호 | 끝점 포함 | 예: 기준이 $20$ 일 때 | |---|---|---|---| | $20$ 보다 크다 | $>$ | 아니오 | $x > 20$ | | $20$ 초과 | $>$ | 아니오 | $x > 20$ | | $20$ 보다 많다 / 많아진다 | $>$ | 아니오 | $x > 20$ | | $20$ 보다 작다 | $<$ | 아니오 | $x < 20$ | | $20$ 미만 | $<$ | 아니오 | $x < 20$ | | $20$ 이 안 된다 | $<$ | 아니오 | $x < 20$ | | $20$ 이상 | $\ge$ | **예** | $x \ge 20$ | | 적어도 $20$ | $\ge$ | **예** | $x \ge 20$ | | 최소 $20$ | $\ge$ | **예** | $x \ge 20$ | | $20$ 은 되어야 한다 | $\ge$ | **예** | $x \ge 20$ | | $20$ 이하 | $\le$ | **예** | $x \le 20$ | | $20$ 을 넘지 않는다 | $\le$ | **예** | $x \le 20$ | | 최대 $20$ / 많아야 $20$ | $\le$ | **예** | $x \le 20$ | | $20$ 을 넘으면 안 된다 | $\le$ | **예** | $x \le 20$ | 표로 정리하면 구분이 명확하지만, 같은 표현이 문장 속에 들어가면 오류가 자주 발생한다. 특히 두 지점이다. $$\text{“적어도” = “최소” = } \ge \qquad \text{(“보다 크다”가 아니다)}$$ $$\text{“이상·이하”는 그 수를 포함, “초과·미만”은 포함하지 않는다}$$ '적어도 $20$ 명'은 $20$ 명일 때 조건을 만족한다. '$20$ 명 초과'는 $20$ 명일 때 조건을 만족하지 않는다. 차이는 한 명이지만, 시험에서도 계약서에서도 세금에서도 이 한 명에 따라 판정이 갈린다. 확인할 지점이 하나 더 있다. '$20$ 을 넘지 않는다'는 $\le$ 이다. '넘는다'가 $>$ 이므로 넘지 않는 경우는 그 나머지 전부이며, $20$ 자체를 포함한다. 부정문은 **반대쪽 전체**를 뜻한다. 판단이 불확실할 때 사용하는 방법은 표를 암기하는 것이 아니라 **끝점 하나를 대입해 확인**하는 것이다. '그 수 자체가 조건을 만족하는가'를 물으면 된다. '적어도 $20$ 명이 모여야 문을 연다. $20$ 명이 왔다. 문이 열리는가?' 열린다. 따라서 $20$ 이 포함된다. 이 질문 하나로 네 표현을 모두 판정할 수 있다. ## 문장제는 네 단계로 풀고 현실로 되돌린다 문장제는 네 단계로 푼다. $$\text{① 모르는 것을 } x \text{ 로 둔다 (단위까지 쓴다)}$$ $$\text{② 조건 문장을 찾아 부등호로 옮긴다}$$ $$\text{③ 푼다 (양변 조작, 음수 나눗셈에 주의)}$$ $$\text{④ 현실로 되돌린다 (단위·개수·정수 여부)}$$ ④를 생략하면 '사과 $11.875$ 개'와 같은 답이 나온다. 사과의 개수는 정수이므로 이 값은 답이 될 수 없다. **예제 1 — 최대 몇 개.** 한 개에 $800$ 원인 사과를 사고, 봉투값 $500$ 원을 따로 낸다. $10000$ 원으로 사과를 최대 몇 개까지 살 수 있는지 구한다. $$\text{① } x = \text{사과의 개수}$$ $$\text{② 총액이 10000원을 넘지 않아야 한다} \ \Rightarrow \ 800x + 500 \le 10000$$ $$\text{③ } 800x \le 9500 \ \Rightarrow \ x \le \frac{9500}{800} = 11.875$$ $$\text{④ 개수는 정수} \ \Rightarrow \ \text{최대 } 11 \text{ 개}$$ 대입해 확인한다. $$11 \text{ 개}: \ 800 \times 11 + 500 = 9300 \le 10000 \quad \text{참}$$ $$12 \text{ 개}: \ 800 \times 12 + 500 = 10100 \le 10000 \quad \text{거짓}$$ $11$ 은 조건을 만족하고 $12$ 는 만족하지 않는다. 따라서 최대는 $11$ 이다. **$11.875$ 는 답이 아니라 중간 계산 값이다.** 부등식 문장제는 마지막 해석 단계를 거쳐야 완결된다. 반올림이 아니라, 조건을 만족하는 가장 큰 정수를 찾는 것이다. **예제 2 — 적어도 몇 점.** 시험을 세 번 본다. 평균이 $80$ 점 이상이어야 통과다. 두 번은 $82$ 점, $75$ 점을 받았다. 세 번째에 최소 몇 점을 받아야 하는지 구한다. $$\text{① } x = \text{세 번째 시험 점수}$$ $$\text{② 평균이 80 이상} \ \Rightarrow \ \frac{82 + 75 + x}{3} \ge 80$$ $$\text{③ 양변에 3을 곱한다} \ \Rightarrow \ 157 + x \ge 240 \ \Rightarrow \ x \ge 83$$ $$\text{④ 최소 } 83 \text{ 점}$$ $$\text{검산: } x = 83 \ \Rightarrow \ \frac{82+75+83}{3} = \frac{240}{3} = 80 \ge 80 \quad \text{참}$$ $$x = 82 \ \Rightarrow \ \frac{239}{3} = 79.67 \ge 80 \quad \text{거짓}$$ '이상'이므로 정확히 $80$ 점도 통과다. 조건이 '$80$ 점을 넘어야 한다'였다면 $x > 83$ 이 되고, 점수가 정수라면 $84$ 점이 답이다. **표현 하나가 답을 한 점 바꾼다.** **부등호를 등호로 바꾸면 방정식 문장제가 된다.** 같은 네 단계로 풀린다. 형은 동생보다 $4$ 살 많고, 두 사람 나이의 합이 $30$ 살일 때 각각 몇 살인지 구한다. $$x = \text{동생의 나이} \ \Rightarrow \ x + (x + 4) = 30$$ $$2x + 4 = 30 \ \Rightarrow \ 2x = 26 \ \Rightarrow \ x = 13$$ $$\text{동생 } 13 \text{ 살, 형 } 17 \text{ 살}$$ $$\text{검산: 합 } 13 + 17 = 30 \qquad \text{차 } 17 - 13 = 4$$ 여기에서도 ④가 필요하다. $x = 13$ 에서 풀이를 멈추면 안 된다. 문제가 요구한 것은 **두 사람의 나이**이다. 검산에서도 조건 두 개를 모두 확인한다. 합과 차가 모두 맞아야 한다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} 음수로 곱하거나 나눌 때 부등호를 그대로 둔다 :class: warning $-2x < 6$ 을 $x < -3$ 이라고 쓰거나, $-x > 2$ 를 $x > -2$ 라고 쓴다. 부등식에서 가장 빈번한 오류 중 하나이다. 원인은 두 가지이다. 앞 장의 '양변에 같은 연산을 적용한다'는 원칙이 확립된 상태에서 예외를 함께 적용하지 못하는 것이 하나이고, 이 예외를 '음수를 곱하면 뒤집는다'는 근거 없는 규칙으로만 익힌 것이 다른 하나이다. 근거 없이 암기한 규칙은 먼저 소실된다. 규칙을 다시 암기하는 방법은 효과가 없다. 두 가지 절차를 사용한다. 하나, $3 < 5$ 에 $-1$ 을 곱해 수직선에 네 점을 표시한다. $0$ 을 기준으로 위치가 뒤집히므로 순서도 뒤집힌다. 둘, 자신이 쓴 답에 포함된 수 하나를 원식에 대입한다. 답이 $x < -3$ 이면 $x = -10$ 이 해라는 뜻인데, $-2x < 6$ 에 대입하면 $20 < 6$ 으로 거짓이다. **부등호 방향은 기억으로 유지하는 것이 아니라 대입으로 확인한다.** *확인 문제*: $-4x + 1 > 13$ 을 풀어라. (답: $x < -3$. $-4x > 12$ 에서 뒤집힌다.) ::: :::{admonition} "이상/이하"와 "초과/미만"을 구별하지 않는다 :class: warning '적어도 $20$ 명'을 $x > 20$ 으로, '$20$ 을 넘지 않는다'를 $x < 20$ 으로 쓴다. 수직선에도 `o` 와 `*` 를 구분 없이 표시한다. 일상 대화에서 이 네 표현을 느슨하게 사용하는 것이 원인이다. '$20$ 명 이상 오세요'와 '$20$ 명 넘게 오세요'를 실생활에서는 구별하지 않고 말한다. 정의를 암기하는 대신 **끝점 하나를 대입해 확인한다.** '적어도 $20$ 명이 모여야 문을 연다. $20$ 명이 왔다. 문이 열리는가?' 열리므로 $20$ 이 포함된다. '$20$ 명을 초과해야 한다. $20$ 명이 왔다. 조건을 만족하는가?' 만족하지 않으므로 $20$ 은 포함되지 않는다. *확인 문제*: 두 문장을 부등식으로 쓰고 수직선에 그려라. (1) "$x$ 는 $7$ 이상이다" (2) "$x$ 는 $7$ 을 초과한다". (답: $x \ge 7$ 은 `*`, $x > 7$ 은 `o`. 두 그림이 달라야 한다.) ::: :::{admonition} 부등식의 해를 하나의 수로 쓴다 :class: warning $-2x + 1 < 7$ 을 풀고 '$x = -3$'이라 쓰거나, $x > -3$ 까지 맞게 진행한 뒤 최종 답을 별도로 찾으려 한다. 앞 장까지 모든 방정식의 해가 수 하나였기 때문에, '푼다'를 '수 하나를 찾는다'로 인식하는 것이 원인이다. 해가 무한히 많은 상태를 답으로 받아들이지 못하는 것이다. $x > -3$ 을 만족하는 수는 $0$, $5$, $1000$ 과 같이 무한히 많다. 그래서 수직선 위에 그림으로 나타내고, 식으로는 $x > -3$ 이라고 한 줄로 쓴다. **이 한 줄이 답이다.** 방정식 $-2x + 1 = 7$ 의 답은 $x = -3$ 하나이고, 부등식 $-2x + 1 < 7$ 의 답은 $-3$ 의 오른쪽 전체이다. *확인 문제*: $2x - 3 \le 7$ 을 풀고, 해를 만족하는 수를 세 개 써라. (답: $x \le 5$. 예: $5, 0, -100$.) ::: :::{admonition} 답을 현실로 되돌리지 않는다 :class: warning '사과 $11.875$ 개', '사람 $6.25$ 명', '$83.33$ 점'. 계산은 맞지만 해당 단위에서는 존재하지 않는 값이다. 또는 $x \le 11.875$ 를 반올림해 $12$ 개라고 답한다. 문장제를 '식으로 바꿔 계산하면 끝난다'는 절차로만 익혔고, 마지막 해석 단계를 훈련하지 않은 것이 원인이다. 계산 결과가 이런 형태이면 계산이 틀린 것이 아니라 **해석 단계가 남아 있는 것**이다. 반올림이 아니다. $x \le 11.875$ 에서 $12$ 는 조건 자체를 위반한다. **조건을 만족하는 가장 큰 정수**를 찾는 것이고, 답은 $11$ 개와 $12$ 개를 각각 대입해 확인하는 데서 나온다. *확인 문제*: 한 상자에 $7$ 개씩 담는다. 사과 $50$ 개를 담으려면 상자가 최소 몇 개 필요한가? (답: $8$ 개. $7x \ge 50$, $x \ge 7.14\ldots$, 최소 정수 $8$. 여기서는 올림, 앞의 사과 예제에서는 내림 — 반올림 규칙이 아니라 조건 확인이기 때문이다.) ::: ## 연습문제 계산기를 사용하지 않는다. 부등식 문항은 반드시 수직선을 그리고, 구간 안의 수 하나를 원식에 대입해 확인한다. 음수로 나누는 줄에서는 부등호 방향을 판단하는 단계를 명시한다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 풀고 수직선에 나타내라. (1) $x + 5 > 2$ (2) $x - 3 \le 1$ (3) $4x < 20$ (4) $\dfrac{x}{3} \ge -2$ 2. `A` 풀고 수직선에 나타내라. (1) $-x < 4$ (2) $-5x \ge 15$ 3. `A` 풀어라. $-2x + 1 < 7$ 4. `A` 풀어라. $2x - 3 \le 7$ 5. `B` 풀어라. $3x + 2 > 5x - 6$ 6. `B` 풀어라. $5 - 2x \ge 11$ 7. `B` 풀어라. $\dfrac{x}{2} - 1 < \dfrac{x}{3}$ 8. `B` 풀어라. $-\dfrac{2}{3}x + 4 \le 8$ 9. `B` 한 개에 $800$ 원인 사과를 사고 봉투값 $500$ 원을 따로 낸다. $10000$ 원으로 사과를 최대 몇 개까지 살 수 있는가? 10. `B` 세 번의 시험 평균이 $80$ 점 이상이어야 통과다. 두 번은 $82$ 점, $75$ 점을 받았다. 세 번째에 최소 몇 점을 받아야 하는가? 11. `B` 가로가 세로보다 $3$ cm 긴 직사각형이 있다. 둘레가 $26$ cm를 넘지 않게 하려면 세로의 길이는 최대 몇 cm인가? 12. `B` 형은 동생보다 $4$ 살 많다. 두 사람 나이의 합이 $30$ 살이다. 각각 몇 살인가? 13. `C` 아래는 어떤 학생의 풀이다. **구간 안팎의 수를 실제로 넣어 답이 틀렸음을 보이고**, 바르게 고쳐라. $$4 - 3x \ge 19$$ $$-3x \ge 15$$ $$x \ge -5$$ 14. `C` $x$ 가 자연수일 때 $3x - 7 < 5$ 를 만족하는 $x$ 를 **모두** 구하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $x > -3$ (2) $x \le 4$ (3) $x < 5$ (4) $x \ge -6$ — (4) 양변에 $3$ 을 곱한다. $3$ 은 양수이므로 방향은 그대로. 끝점 $-6$ 은 포함(`*`). 2. (1) $x > -4$ — 양변에 $-1$ 을 곱하니 뒤집힌다. 확인: $x=0$ → $0 < 4$ 참. (2) $x \le -3$ — 양변을 $-5$ 로 나누니 뒤집힌다. 확인: $x=-4$ → $20 \ge 15$ 참, $x=0$ → $0 \ge 15$ 거짓. 3. $x > -3$ — $-2x < 6$ 에서 양변을 $-2$ 로 나누며 뒤집는다. **이렇게 틀린다**: $x < -3$. $x = 0$ 을 대입하면 원식은 $1 < 7$ 로 참인데 $x < -3$ 에는 $0$ 이 없다. 즉시 확인된다. 4. $x \le 5$ — $2x \le 10$. 양수로 나누므로 방향 유지. 확인: $x=5$ → $7 \le 7$ 참(끝점 포함). 5. $x < 4$ — 양변에서 $5x$ 를 빼면 $-2x + 2 > -6$, 양변에서 $2$ 를 빼면 $-2x > -8$, 양변을 $-2$ 로 나누며 뒤집어 $x < 4$. (양변에서 $3x$ 를 빼는 경로로 가면 $2 > 2x - 6$, $8 > 2x$, $4 > x$ 로 **뒤집기 없이** 같은 답이 나온다. 두 경로 모두 옳다.) 확인: $x=0$ → $2 > -6$ 참. 6. $x \le -3$ — $-2x \ge 6$, 뒤집어 $x \le -3$. 확인: $x=-3$ → $11 \ge 11$ 참, $x=0$ → $5 \ge 11$ 거짓. 7. $x < 6$ — 양변에 $6$ 을 곱하면 $3x - 6 < 2x$, 양변에서 $2x$ 를 빼면 $x - 6 < 0$, 즉 $x < 6$. **이렇게 틀린다**: 왼쪽의 $-1$ 에 $6$ 을 곱하지 않아 $3x - 1 < 2x$ 가 된다. 곱할 때는 **모든 항에** 곱한다. 8. $x \ge -6$ — 양변에서 $4$ 를 빼면 $-\dfrac{2}{3}x \le 4$, 양변에 $-\dfrac{3}{2}$ 를 곱하며 뒤집어 $x \ge -6$. 확인: $x=-6$ → $4+4 = 8 \le 8$ 참, $x=-7$ → $\dfrac{14}{3}+4 \approx 8.67 \le 8$ 거짓. 9. **$11$ 개** — $800x + 500 \le 10000$, $x \le 11.875$. 개수는 정수이므로 $11$ 개. 확인: $9300 \le 10000$ 참, $12$ 개면 $10100$ 으로 거짓. **이렇게 틀린다**: $11.875$ 개라고 답하거나, 반올림해서 $12$ 개라고 답한다. 부등식 문장제는 반올림이 아니라 **조건을 만족하는 가장 큰 정수**를 찾는 것이다. 10. **$83$ 점** — $\dfrac{82+75+x}{3} \ge 80$, $157 + x \ge 240$, $x \ge 83$. 확인: $83$ 점이면 평균 정확히 $80$ 점으로 통과, $82$ 점이면 평균 $79.67$ 로 미달. 11. **$5$ cm** — 세로를 $x$ 로 두면 가로는 $x+3$, 둘레는 $2(x + x + 3) = 4x + 6 \le 26$, $x \le 5$. 확인: $x=5$ 면 둘레 $26$ (넘지 않음, 참), $x=6$ 이면 둘레 $30$ (거짓). **이렇게 틀린다**: 둘레를 $x + (x+3)$ 으로 쓴다. 둘레는 네 변의 합이다. 12. **동생 $13$ 살, 형 $17$ 살** — $x + (x+4) = 30$, $2x = 26$, $x = 13$. 검산: 합 $13+17 = 30$ ✔, 차 $17-13 = 4$ ✔. **이렇게 틀린다**: $x = 13$ 에서 멈춘다. 물은 것은 두 사람의 나이다. 13. 먼저 확인: 학생의 답 $x \ge -5$ 에는 $x = 0$ 이 들어간다. 원식에 대입하면 $4 - 0 = 4 \ge 19$ 로 **거짓**. 해라고 한 값이 조건을 위반했으므로 답이 틀렸다. 반대로 $x = -6$ 을 대입하면 $4 + 18 = 22 \ge 19$ 로 **참**인데, 학생의 답에는 $-6$ 이 없다. 방향이 뒤집혀 있다. 틀린 줄은 **셋째 줄**이다. 양변을 $-3$ 으로 나눌 때 부등호를 뒤집지 않았다. 바르게: $-3x \ge 15$ 에서 양변을 $-3$ 으로 나누며 뒤집어 $x \le -5$. 세 점 검산: 안 $x=-6$ → $22 \ge 19$ 참, 밖 $x=0$ → $4 \ge 19$ 거짓, 경계 $x=-5$ → $19 \ge 19$ 참(포함). 14. **$x = 1, 2, 3$** — $3x < 12$, $x < 4$. 자연수 중 $4$ 보다 작은 것은 $1, 2, 3$. **이렇게 틀린다**: $x < 4$ 라고만 쓰고 끝낸다. 또는 $4$ 를 포함시킨다($3 \times 4 - 7 = 5$ 인데 $5 < 5$ 는 거짓). $0$ 은 자연수가 아니므로 넣지 않는다. ::: ### 추가 연습문제 하루 $20$ 분씩 나누어 푸는 편이 한 번에 몰아서 푸는 것보다 효과적이다. 규칙은 세 가지다. 모든 부등식 문항에 수직선을 그리고 `o` 와 `*` 를 구별해 표시한다. 구간 안의 수 하나를 원식에 대입해 확인한다. 음수로 나누는 줄 옆에는 "뒤집음"이라고 표기한다. **기본 부등식** 1. $x + 3 > 8$ 2. $x - 5 \le 2$ 3. $2x < 14$ 4. $5x \ge -20$ 5. $\dfrac{x}{4} > 3$ 6. $3x + 1 \le 10$ 7. $4x - 5 > 7$ **음수 계수 — 뒤집히는 것들** (전부 뒤집힌다고 미리 단정하지 말고, 각 문항에서 직접 판단한다) 8. $-x > 5$ 9. $-2x \le 10$ 10. $-3x > -12$ 11. $-2x + 1 < 7$ 12. $-4x - 3 \ge 5$ 13. $7 - 2x \le 1$ 14. $-\dfrac{x}{2} < 4$ **양변에 문자·괄호·분수·소수** 15. $5x - 2 > 2x + 7$ 16. $x + 6 \le 4x - 3$ 17. $2(x - 3) < 4$ 18. $3(x + 1) \ge 5x - 7$ 19. $\dfrac{x}{3} + 1 > \dfrac{x}{2}$ 20. $0.5x - 1 \le 0.2x + 0.5$ **문장제** 21. 한 권에 $1200$ 원인 공책을 사고 $500$ 원짜리 봉투 하나를 산다. $8000$ 원으로 공책을 최대 몇 권까지 살 수 있는가? 22. 어떤 수의 $4$ 배에서 $3$ 을 뺀 것이 $21$ 이하이다. 어떤 수의 범위를 부등식으로 나타내고 수직선에 그려라. 23. 세 번의 시험 평균이 $85$ 점 이상이어야 장학금을 받는다. 앞의 두 번은 $88$ 점, $79$ 점이었다. 세 번째에 최소 몇 점을 받아야 하는가? 24. 가로가 세로보다 $5$ cm 긴 직사각형이 있다. 둘레가 $34$ cm 이하가 되게 하려면 세로의 길이는 최대 몇 cm인가? 25. 어떤 수의 $5$ 배에서 $8$ 을 뺀 것이, 그 수의 $3$ 배에 $2$ 를 더한 것과 같다. 어떤 수인가? (이것은 부등식이 아니라 방정식이다. 문장을 끝까지 읽어야 판별된다.) :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $x > 5$ 2. $x \le 7$ 3. $x < 7$ 4. $x \ge -4$ 5. $x > 12$ 6. $x \le 3$ 7. $x > 3$ $4$ 번: 양변을 $5$ 로 나눈다. **양수**로 나누므로 방향은 그대로다. 답이 음수라고 해서 뒤집는 것이 아니다. 뒤집는 기준은 **나누는 수의 부호**이지 답의 부호가 아니다. $5$ 번: 양변에 $4$ 를 곱한다. 8. $x < -5$ 9. $x \ge -5$ 10. $x < 4$ 11. $x > -3$ 12. $x \le -2$ 13. $x \ge 3$ 14. $x > -8$ 전부 뒤집힌다. $10$ 번 **이렇게 틀린다**: 오른쪽이 음수라는 이유로 방향을 두 번 바꾼다. 뒤집는 근거는 **양변을 $-3$ 으로 나누는 것**이지 오른쪽의 $-12$ 가 아니다. 확인 $x=0$ → $0 > -12$ 참. $13$ 번: $-2x \le -6$ 에서 양변을 $-2$ 로 나누며 뒤집어 $x \ge 3$. 확인 $x=3$ → $7-6 = 1 \le 1$ 참, $x=2$ → $3 \le 1$ 거짓. 15. $x > 3$ 16. $x \ge 3$ 17. $x < 5$ 18. $x \le 5$ 19. $x < 6$ 20. $x \le 5$ $18$ 번: $3x + 3 \ge 5x - 7$ 에서 양변에서 $5x$ 를 빼면 $-2x + 3 \ge -7$, $-2x \ge -10$, 뒤집어 $x \le 5$. (양변에서 $3x$ 를 빼는 경로이면 $3 \ge 2x - 7$, $10 \ge 2x$, $5 \ge x$ 로 뒤집기 없이 같은 답이 나온다.) $19$ 번: 양변에 $6$ 을 곱해 $2x + 6 > 3x$. **이렇게 틀린다**: $+1$ 에 $6$ 을 곱하지 않는다. $20$ 번: 양변에 $10$ 을 곱해 $5x - 10 \le 2x + 5$. 21. **$6$ 권** — $1200x + 500 \le 8000$, $x \le 6.25$. 확인: $6$ 권이면 $7700 \le 8000$ 참, $7$ 권이면 $8900$ 으로 거짓. 반올림해서 $6$ 이 된 것이 아니라 **조건을 만족하는 가장 큰 정수**가 $6$ 이다. 22. $4x - 3 \le 21$ 이므로 $x \le 6$. 수직선에 $6$ 을 `*` 로 찍고 왼쪽 전부를 칠한다. 확인: $x=6$ → $21 \le 21$ 참, $x=7$ → $25 \le 21$ 거짓. 23. **$88$ 점** — $\dfrac{88+79+x}{3} \ge 85$, 양변에 $3$ 을 곱하면 $167 + x \ge 255$, $x \ge 88$. 확인: $88$ 점이면 평균 정확히 $85$ 점(통과), $87$ 점이면 평균 $84.67$ 로 미달. **이렇게 틀린다**: 평균이 $85$ 이므로 세 번째도 $85$ 정도라고 어림하여 답한다. 앞의 두 점수 합이 $167$ 이므로 목표 $255$ 에 $88$ 이 모자란다. 24. **$6$ cm** — 세로를 $x$ 로 두면 둘레는 $2(x + x + 5) = 4x + 10 \le 34$, $x \le 6$. 확인: $x=6$ 이면 둘레 $34$ (이하이므로 참), $x=7$ 이면 둘레 $38$ (거짓). 25. **$5$** — $5x - 8 = 3x + 2$. 양변에서 $3x$ 를 빼면 $2x - 8 = 2$, $2x = 10$, $x = 5$. 검산: 좌변 $25 - 8 = 17$, 우변 $15 + 2 = 17$ ✔. **여기서 확인할 것**: '같다'가 나오면 등호, '이상·이하·초과·미만'이 나오면 부등호다. 문장을 끝까지 읽은 뒤 기호를 고른다. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 한 문장이다. **부등식은 방정식과 똑같이 양변을 조작해 풀되, 음수를 곱하거나 나눌 때만 부등호가 뒤집힌다.** 뒤집히는 이유는 정해진 규칙이 아니라 수직선의 구조다. 음수를 곱하면 수가 $0$ 의 반대편으로 이동하므로 순서가 거꾸로 된다. 여기에 세 가지를 더했다. 부등식의 해는 하나의 수가 아니라 수직선 위의 구간이라는 것, 부등호 방향은 세 점 검산으로 확인한다는 것, 그리고 한국어 문장을 부등호로 옮길 때는 표를 암기하기보다 끝점 하나를 대입해 확인한다는 것이다. 특히 '음수로 나눌 때는 뒤집는다'는 한 줄은 기억이 아니라 확인 절차로 유지한다. $3 < 5$ 에 $-1$ 을 곱해 확인하는 데 $3$ 초면 충분하다. 이 절차는 $20$ 년 뒤에도 동일하게 사용할 수 있다. 다음 장에서는 다루는 대상이 바뀐다. 지금까지는 식을 **풀었다.** 다음은 식을 **쓰는 문법**, 곧 지수로 간다. A4 종이 한 장을 반으로 접는 과정을 반복하면 겹의 수가 어떻게 증가하는지, 그 값이 어느 정도까지 커지는지를 지수로 기술한다. [제12장](ch12.md)에서 지수법칙을 다룬다.