제4장 · 소수와 분수의 연결

내용

제4장 · 소수와 분수의 연결#

이 장


원본 코드	R1-W04
선행 내용	제3장 — 분수의 곱셈·나눗셈
요지	소수는 분모가 \(10\), \(100\), \(1000\) 인 분수이다. 이 관계를 이용하면 \(0.1 \times 0.1 = 0.01\) 도, 분수↔소수 변환도, 어림도 하나의 원리로 설명된다.

도입#

다음 두 계산을 비교한다. \(0.1 + 0.1\) 의 값은 \(0.2\) 이다. 그러면 \(0.1\) 과 \(0.1\) 의 곱은 얼마인가.

\[0.1 + 0.1 = 0.2, \qquad 0.1 \times 0.1 = \ ?\]

이 물음에 \(0.2\) 라고 답하는 경우가 많다. 덧셈과 곱셈을 동일한 규칙으로 처리한 결과이다. \(0.1\) 이라고 답하는 경우도 있다. “\(1\) 을 곱하면 값이 그대로다”라는 규칙이 남은 것인데, \(0.1\) 은 \(1\) 이 아니다. 정답은 \(0.01\) 이다. 그런데 정답을 쓴 경우에도 이유를 물으면 대개 “소수점을 두 칸 옮기니까”라고 답한다. 이는 규칙에 대한 서술이지 이유에 대한 설명이 아니다.

같은 두 수인데 더하면 자리가 유지되고 곱하면 자리가 한 칸 오른쪽으로 이동한다. 이 차이의 원인을 규명하는 것이 이 장의 주제이다. 그 답은 앞 장에서 다룬 분수 곱셈 안에 이미 들어 있다. \(0.1\) 을 \(\dfrac{1}{10}\) 으로 바꿔 쓰면 계산의 구조가 드러난다.

이 장의 핵심 명제는 하나이다. 소수는 분모가 \(10\), \(100\), \(1000\) 인 분수를 짧게 쓴 표기이다. 이 관계를 이용하면 소수의 곱셈, 분수와 소수 사이의 변환, 계산 전에 답의 크기를 가늠하는 어림이 모두 같은 원리로 설명된다.

소수는 분모가 10, 100, 1000인 분수다#

소수점 오른쪽의 각 자리는 \(\dfrac{1}{10}\), \(\dfrac{1}{100}\), \(\dfrac{1}{1000}\) 짜리 자리이다. 자릿값 표를 소수점 왼쪽과 오른쪽이 대칭이 되도록 놓으면 이 구조가 한눈에 드러난다.

왼쪽으로 한 칸 이동할 때마다 자리의 크기가 \(10\) 배가 된다. 일, 십, 백의 순서이다. 마찬가지로 오른쪽으로 한 칸 이동할 때마다 자리의 크기가 \(10\) 분의 \(1\) 이 된다. 소수점은 다른 규칙이 시작되는 경계가 아니다. 같은 규칙이 오른쪽으로 이어질 뿐이다.

\[347.528 = 300 + 40 + 7 + \frac{5}{10} + \frac{2}{100} + \frac{8}{1000}\]

\(0.5\) 의 \(5\) 는 \(5\) 가 아니라 \(10\) 분의 \(1\) 이 다섯 개라는 뜻이다. \(0.02\) 의 \(2\) 는 \(100\) 분의 \(1\) 이 두 개이다. 자릿값을 이렇게 말로 읽으면 이 장의 나머지 내용이 모두 이 규칙에서 따라 나온다.

금액으로 환산해도 같은 구조이다. \(1000\) 원을 \(1\) 이라고 하면 \(100\) 원짜리는 \(0.1\), \(10\) 원짜리는 \(0.01\) 이다. \(100\) 원짜리 열 개가 \(1000\) 원이다. 이것이 자릿값이다.

분수를 소수로, 소수를 분수로#

같은 수를 두 가지 표기로 쓰는 것이므로, 두 표기 사이의 변환은 단순하다.

방법 1 — 분모를 \(10\) 의 거듭제곱으로 키운다. 분모가 \(2\) 와 \(5\) 로만 이루어졌을 때 사용할 수 있다.

\[\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75\]

\(4\) 에 \(25\) 를 곱하면 \(100\) 이 된다. 분자와 분모에 똑같이 곱한다. 앞에서 다룬 통분과 같은 과정이다.

\[\frac{5}{8} = \frac{5 \times 125}{8 \times 125} = \frac{625}{1000} = 0.625\]

\(8 \times 125 = 1000\) 이라는 관계를 기억해 두면 계산이 빠르다. \(\dfrac{1}{8} = 0.125\) 를 그대로 기억해 두는 경우도 많다.

방법 2 — 분자를 분모로 나눈다. 이 방법은 모든 경우에 적용된다.

\[\frac{a}{b} = a \div b\]

분수 막대는 나눗셈 기호이다. 위를 아래로 나눈다. \(5 \div 8 = 0.625\) 이다. 방법 1의 변환이 보이지 않으면 이 방법을 사용한다.

소수를 분수로 바꾸는 변환은 더 단순하다. 읽는 대로 쓰면 된다.

\[0.375 = \frac{375}{1000} = \frac{375 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{3}{8}\]

\(0.375\) 는 “\(1000\) 분의 \(375\)”로 읽는다. 읽은 대로 쓴 다음 약분한다. 소수점 아래 자릿수가 곧 분모에 붙는 \(0\) 의 개수이다. 세 자리이면 분모가 \(1000\) 이다.

\[0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \qquad 0.06 = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}\]

자릿수가 한 자리이면 분모가 \(10\), 두 자리이면 \(100\) 이다. \(0.06\) 을 \(\dfrac{6}{10}\) 이라고 쓰면 안 된다. “\(100\) 분의 \(6\)”이다.

안 끝나는 소수#

모든 분수가 유한소수로 표현되지는 않는다.

\[\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333\ldots\]

\(3\) 이 끝없이 반복된다. 이러한 소수를 순환소수라고 하고 \(0.\dot{3}\) 처럼 점을 찍어 쓰기도 한다. 어떤 분수는 유한소수가 되고 어떤 분수는 그렇지 않다.

\[\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{20},\ \frac{1}{25} \ \Rightarrow \ \text{끝난다}\]

\[\frac{1}{3},\ \frac{1}{6},\ \frac{1}{7},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{12} \ \Rightarrow \ \text{안 끝난다}\]

두 목록을 가르는 기준이 있다. 목록을 통째로 외우는 대신 이 기준을 파악하면 된다. 먼저 분모를 곱셈으로 끝까지 분해한다.

\[10 = 2 \times 5, \qquad 100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5, \qquad 1000 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5\]

\(10\), \(100\), \(1000\) 은 끝까지 분해해도 \(2\) 와 \(5\) 만 나온다. 이처럼 곱해서 그 수를 만드는 재료를 인수라고 한다. \(100\) 의 인수는 \(2\) 와 \(5\) 뿐이다.

판별 기준은 한 문장으로 정리된다. 분모를 끝까지 분해했을 때 \(2\) 와 \(5\) 만 나오면 유한소수이고, \(3\) 이나 \(7\) 이 하나라도 섞여 있으면 유한소수가 아니다.

\[8 = 2 \times 2 \times 2 \ \Rightarrow \ \text{끝난다}, \qquad 20 = 2 \times 2 \times 5 \ \Rightarrow \ \text{끝난다}\]

\[6 = 2 \times 3 \ \Rightarrow \ \text{안 끝난다}, \qquad 12 = 2 \times 2 \times 3 \ \Rightarrow \ \text{안 끝난다}\]

\(\dfrac{1}{12}\) 로 확인한다. 분모를 아무리 키워도 그 안의 \(3\) 은 사라지지 않는다. 그런데 \(10\) 에도 \(100\) 에도 \(1000\) 에도 \(3\) 은 없다. 따라서 \(\dfrac{1}{12}\) 을 분모가 \(10\), \(100\), \(1000\) 인 분수로 바꿀 방법이 존재하지 않는다. 실제로 나누면 \(1 \div 12 = 0.08333\ldots\) 으로 끝나지 않는다.

\(10\), \(100\), \(1000\) 을 분해하면 \(2\) 와 \(5\) 만 나온다. 따라서 분모에 \(2\) 와 \(5\) 이외의 인수가 들어 있으면 아무리 키워도 \(10\) 의 거듭제곱이 될 수 없다. 이것이 소수가 끝나지 않는 이유이다. 계산 방법의 문제가 아니라 그 수의 성질이다. (여기서 “\(10\) 의 거듭제곱”이란 \(10\), \(100\), \(1000\) 처럼 \(10\) 을 거듭 곱해 만든 수를 말한다.)

반대로 \(0.333\ldots\) 에서 \(\dfrac{1}{3}\) 을 복원할 수도 있다. \(x = 0.333\ldots\) 이라 두고 \(10x\) 를 만드는 방법인데, 이 절차는 문자와 방정식을 다룬 뒤에 적용할 수 있다. 이 장에서는 “안 끝나는 소수가 있다”는 사실까지만 다룬다.

0.1 × 0.1 = 0.01 인 이유#

도입에서 제시한 두 식으로 돌아간다. 이번에는 양쪽을 모두 분수로 바꿔 쓴다.

\[0.1 + 0.1 = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = 0.2\]

같은 크기의 조각 두 개를 합한 것이다. 조각의 크기는 변하지 않았다. 따라서 자리도 변하지 않는다. \(\dfrac{1}{10}\) 짜리가 두 개이다.

\[0.1 \times 0.1 = \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{100} = 0.01\]

곱셈은 구조가 다르다. \(\dfrac{1}{10}\) 의 \(\dfrac{1}{10}\) 을 구한 것이다. 조각을 다시 분할했으므로 조각이 더 작아지고, 자리가 오른쪽으로 이동한다. 앞 장의 넓이 모형을 그대로 적용하면 이 관계가 그림으로 확인된다. 한 변이 \(1\) 인 정사각형을 가로 \(10\) 등분, 세로 \(10\) 등분 한다.

가로 \(10\) 칸, 세로 \(10\) 칸이면 전체가 \(100\) 칸이고 겹친 칸은 \(1\) 칸이다. \(\dfrac{1}{100}\) 이다. 분모끼리 곱해져 \(100\) 이 나온 것이다. 새로운 규칙이 아니라 앞 장에서 다룬 분수 곱셈 규칙이다. 여기서 한 가지 성질이 함께 확인된다. \(0.1 \times 0.1\) 은 \(0.1\) 보다 작다. “\(1\) 보다 작은 수를 곱하면 결과가 작아진다”는 성질이 여기서도 성립한다.

자릿수가 다른 경우도 같은 방식이다.

\[0.3 \times 0.04 = \frac{3}{10} \times \frac{4}{100} = \frac{12}{1000} = 0.012\]

분자끼리 \(3 \times 4 = 12\), 분모끼리 \(10 \times 100 = 1000\) 이다. 분모가 \(1000\) 이므로 소수점 아래 세 자리가 된다. 학교에서 배운 “소수점 아래 자릿수를 더한다”는 규칙이 어디에서 나왔는지가 여기에서 드러난다.

\[\text{소수점 아래 } 1 \text{자리} \times \text{소수점 아래 } 2 \text{자리} = \text{소수점 아래 } 3 \text{자리}\]

분모끼리 곱해지면서 \(0\) 의 개수가 더해진 것이다. 이 규칙을 폐기하라는 뜻이 아니다. 규칙 아래에 이유를 두는 것이 이 장이 하는 일이다.

한 가지 주의할 경우가 있다. \(0.5 \times 0.4\) 를 계산한다.

\[0.5 \times 0.4 = \frac{5}{10} \times \frac{4}{10} = \frac{20}{100} = 0.20 = 0.2\]

\(0.20\) 이 나왔고 끝의 \(0\) 은 생략할 수 있다. \(\dfrac{20}{100} = \dfrac{2}{10}\) 이기 때문이다. “두 자리여야 하는데 왜 한 자리인가”라는 혼동이 여기에서 자주 발생한다. 자릿수를 더한다는 규칙이 틀린 것이 아니라, 약분이 가능한 경우이다.

소수 나눗셈은 위아래에 똑같이 곱하는 것#

\[0.6 \div 0.2 = \ ?\]

나눗셈의 의미를 다시 적용한다. “\(0.6\) 안에 \(0.2\) 가 몇 번 들어가는가”이다. \(0.2\) 가 세 번이면 \(0.6\) 이므로 답은 \(3\) 이다. 분수로도 확인한다.

\[0.6 \div 0.2 = \frac{6}{10} \div \frac{2}{10} = \frac{6}{10} \times \frac{10}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

\(\dfrac{10}{10}\) 이 약분되어 결국 \(6 \div 2\) 가 되었다. 학교에서 “소수점을 똑같이 옮겨라”라고 가르친 절차의 실체가 이것이다. 소수점을 옮긴 것이 아니라 분자와 분모에 똑같이 \(10\) 을 곱한 것이다. 분수에서 분자와 분모에 같은 수를 곱하면 값은 변하지 않는다. 통분에서 이미 사용한 과정이다.

\[1.2 \div 0.4 = \frac{12}{4} = 3, \qquad 0.36 \div 0.6 = \frac{36}{60} = 0.6\]

앞의 \(1.2 \div 0.4\) 는 소수점 아래가 양쪽 다 한 자리이므로 분자와 분모에 \(10\) 을 곱하면 끝난다. 그런데 \(0.36 \div 0.6\) 은 자릿수가 서로 다르다. 소수 나눗셈에서 오류가 가장 자주 발생하는 지점이 여기이므로 단계별로 확인한다.

\[0.36 = \frac{36}{100}, \qquad 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{60}{100}\]

먼저 두 분모를 같게 맞춘다. \(0.6\) 을 \(\dfrac{6}{10}\) 이 아니라 \(\dfrac{60}{100}\) 으로 고쳐 쓰는 것이 이 계산의 핵심이다.

\[0.36 \div 0.6 = \frac{36}{100} \div \frac{60}{100} = \frac{36}{100} \times \frac{100}{60} = \frac{36}{60}\]

결과가 \(\dfrac{36}{6}\) 이 아니라 \(\dfrac{36}{60}\) 인 이유가 여기에 있다. \(0.6\) 을 “\(100\) 분의 몇”으로 다시 읽으면 \(6\) 이 아니라 \(60\) 이다. 원칙을 한 줄로 정리한다.

\[\text{자릿수가 다르면 } \textbf{긴 쪽에 맞춰 } \text{양쪽에 똑같은 수를 곱한다}\]

남은 \(\dfrac{36}{60}\) 을 마저 계산한다. 분자와 분모를 \(12\) 로 나누면 \(\dfrac{3}{5}\) 이고, \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = 0.6\) 이다.

\[\frac{36}{60} = \frac{36 \div 12}{60 \div 12} = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0.6\]

여기에 의미에 따른 검산을 덧붙일 수 있다. “\(0.36\) 안에 \(0.6\) 이 몇 번 들어가는가”에서 \(0.6\) 은 \(0.36\) 보다 크므로 한 번도 들어가지 않는다. 따라서 답은 반드시 \(1\) 보다 작다. 결과가 \(0.6\) 이므로 조건에 맞는다.

\(0.36 \div 0.6\) 의 답은 \(0.6\) 이다. 나누었는데 값이 커졌다. \(0.6\) 은 \(1\) 보다 작으므로 “\(1\) 보다 작은 수로 나누면 결과가 커진다”는 성질이 그대로 성립한다. 수가 큰 경우도 같은 방식이다.

\[7.5 \div 0.25 = \frac{750}{25} = 30\]

분자와 분모에 똑같이 \(100\) 을 곱했다. 검산하면 \(0.25\) 가 네 개이면 \(1\) 이므로 \(30\) 개이면 \(7.5\) 이다. 결과가 일치한다.

덧셈·뺄셈은 자리를 맞춘다#

곱셈과 반대로, 소수의 덧셈·뺄셈은 자리를 맞춰야 한다.

\[2.5 + 0.75 = \ ?\]

소수점을 세로로 맞춰 쓰고, 자리가 비면 \(0\) 을 채운다.

\[2.50 + 0.75 = 3.25\]

\(2.5\) 를 \(2.50\) 으로 쓰는 이유는 분수로 보면 분명하다. \(\dfrac{50}{100} + \dfrac{75}{100} = \dfrac{125}{100}\) 이다. \(100\) 분의 조각끼리 더한 것이다. 덧셈은 같은 크기의 조각끼리만 가능하다. 통분에서 확인한 내용과 같다.

\[\text{덧셈·뺄셈} \ \Rightarrow \ \text{소수점을 세로로 맞춘다}\]

\[\text{곱셈} \ \Rightarrow \ \text{맞출 필요 없다. 자릿수를 더한다}\]

덧셈에서는 자리를 맞추고, 곱셈에서는 맞추지 않는다. 두 규칙을 뒤섞는 데서 오류가 발생한다.

자릿수가 큰 곱셈도 같은 규칙이다#

지금까지 다룬 소수 곱셈은 \(0.3 \times 0.04\) 처럼 수가 작은 경우였다. 실제로는 \(32.5 \times 1{,}680\) 과 같은 형태를 다루게 된다. 이 경우에도 규칙은 달라지지 않는다. 분수 표기로 바꾸어 처리한다.

\[32.5 = \frac{325}{10}\]

\[32.5 \times 1{,}680 = \frac{325}{10} \times 1{,}680 = \frac{325 \times 1{,}680}{10} = \frac{546{,}000}{10} = 54{,}600\]

가운데의 \(325 \times 1{,}680\) 은 소수점이 없는 정수 곱셈이다. 이 계산도 분해하면 간단해진다. \(325 \times 1{,}000 = 325{,}000\), \(325 \times 680 = 221{,}000\), 합이 \(546{,}000\) 이다. 제1장에서 다룬 “분해”가 여기에서도 사용된다.

이 계산을 학교에서 절차로 배운 방식과 나란히 놓고 비교한다.

분수로 본 것	절차로 배운 것
\(32.5 = \dfrac{325}{10}\) 으로 고친다	소수점을 떼고 \(325\) 로 본다
\(325 \times 1{,}680 = 546{,}000\)	\(325 \times 1{,}680 = 546{,}000\)
마지막에 \(10\) 으로 나눈다	소수점 아래가 한 자리였으니 한 칸 되돌린다

\(10\) 으로 나누는 것과 소수점을 한 칸 왼쪽으로 옮기는 것은 같은 연산이다. “소수점을 떼고 곱한 뒤 자릿수만큼 찍는다”는 절차는 분모를 마지막에 처리하는 방식이다. 앞에서 세운 “분모끼리 곱한다”는 근거가 큰 수에서도 그대로 성립한다.

마지막으로 어림값과 대조한다. \(30 \times 1{,}700 = 51{,}000\) 이다. 정확한 값 \(54{,}600\) 과 자릿수가 같다.

어림 — 계산 전에 크기를 판단한다#

계산하기 전에 답의 크기를 먼저 말하는 것을 어림이라고 한다. 어림은 실생활에서 자주 사용되는 계산이며, 소수점 위치의 오류를 스스로 검출하는 주된 방법이다.

계산기가 있어도 어림이 필요한 이유가 있다. 계산기는 입력한 대로 계산한다. 소수점을 하나 잘못 입력하면 열 배 틀린 값을 그대로 출력한다. 이 오류를 검출하는 것은 계산기가 아니라 미리 계산해 둔 어림값이다.

\[6.4 \times 2.5 = \ ?\]

계산기가 \(1.6\) 을 출력했다고 하자. \(6.4\) 는 대략 \(6\), \(2.5\) 는 \(2\) 와 반이다. \(6 \times 2.5 = 15\) 이므로 답은 \(15\) 부근이어야 한다. \(1.6\) 은 이보다 열 배 작다. 정확한 계산을 하지 않고도 입력 오류를 판단할 수 있다. 실제 값은 \(6.4 \times 2.5 = 16\) 이다. 앞 절의 방식으로 확인하면 \(\dfrac{64}{10} \times \dfrac{25}{10} = \dfrac{1{,}600}{100} = 16\) 이다. 숫자 배열 \(16\) 은 계산기가 정확히 산출한다. 오류가 발생하는 것은 자리이고, 자리는 어림으로 확인한다.

어림에는 몇 가지 방법이 있다.

① 곱셈은 두 수를 가까운 쉬운 수로 바꾼다. 한쪽을 올렸으면 다른 쪽은 내린다.

\[4.8 \times 3.1 \ \approx \ 5 \times 3 = 15 \qquad (\text{실제 } 14.88)\]

\(4.8\) 을 \(5\) 로 올렸으므로 \(3.1\) 은 \(3\) 으로 내린다. 두 오차가 서로 상쇄되어 어림값의 정확도가 높아진다.

② 곱셈에 \(0.5\), \(0.25\) 가 보이면 분수로 바꾼다.

\[0.49 \times 82 \ \approx \ \frac{1}{2} \times 80 = 40 \qquad (\text{실제 } 40.18)\]

\(0.49\) 는 \(\dfrac{1}{2}\) 에 가깝고, \(82\) 의 반은 \(41\) 이다. 암산으로 처리된다. \(0.5\) 는 반, \(0.25\) 는 \(4\) 분의 \(1\), \(0.2\) 는 \(5\) 분의 \(1\) 이다. 이 세 가지 대응만으로 일상적인 어림 계산의 상당 부분이 처리된다.

③ 나눗셈은 나누는 수를 “딱 떨어지는 수”로 바꾼다.

\[58.8 \div 5.6 \ \approx \ 60 \div 6 = 10 \qquad (\text{실제 } 10.5)\]

④ 덧셈은 반올림해서 앞자리만 더한다.

\[3{,}900 + 12{,}400 + 8{,}700 \ \approx \ 4{,}000 + 12{,}000 + 9{,}000 = 25{,}000\]

정확히 더해도 \(25{,}000\) 원이다. 합계가 \(25{,}000\) 원인데 \(30{,}000\) 원을 지불하고 거스름돈이 \(1{,}000\) 원이면 계산에 오류가 있음을 그 자리에서 판단할 수 있다. 이것이 어림의 실제 용도이다.

한 예로 정리한다.

\[19.8 \times 0.51 \ \approx \ 20 \times \frac{1}{2} = 10 \qquad (\text{실제 } 10.098)\]

어림값은 \(10\), 실제 값은 \(10.098\) 이다. 어림의 목적은 정확한 값을 산출하는 것이 아니라 자릿수를 확인하는 것이다. \(10.098\) 이 나와야 할 자리에 \(1.0098\) 이나 \(100.98\) 이 나오면 즉시 오류를 판단할 수 있다.

빈번한 오류#

\(0.1 \times 0.1\) 의 답을 맞혀도 이유는 “소수점 두 칸”뿐이다

“소수점 아래 자릿수를 더한다”는 규칙만 받아들이고, 그 규칙이 분모끼리 곱해지는 데서 나왔다는 근거는 받지 못한 상태이다. 근거 없는 규칙은 덧셈 규칙과 뒤섞여 저장되고, 그 결과 \(0.1 \times 0.1\) 을 \(0.2\) 나 \(0.1\) 이라고 쓴다. 규칙을 다시 외우는 대신 분수로 되돌리면 구조가 분명해진다. \(0.1 + 0.1 = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{10}\) 은 같은 조각을 합한 것이므로 자리가 유지되고, \(0.1 \times 0.1 = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100}\) 은 조각을 다시 분할해 작아진 것이므로 자리가 오른쪽으로 이동한다.

확인 문제: \(0.2 \times 0.4\) 를 계산하고 분수로도 쓰라. (답: \(0.08\). \(\tfrac{2}{10} \times \tfrac{4}{10} = \tfrac{8}{100}\).)

소수점 뒤를 통째로 정수처럼 읽는다

\(0.25 > 0.5\) 라고 답하거나(”\(25\) 가 \(5\) 보다 크므로”) \(2.5 + 0.75 = 2.80\) 이라고 쓴다(”\(5\) 와 \(75\) 를 더하면 \(80\)”). 자릿값이 소수점에서 끊긴다고 보고, 소수점 뒤를 “별개의 작은 정수”로 읽는 것이다. 금액으로 환산하면 확인된다. 천 원을 \(1\) 이라 하면 \(0.5\) 는 \(500\) 원, \(0.25\) 는 \(250\) 원이므로 \(0.5\) 가 크다. 숫자의 개수가 많다고 값이 큰 것이 아니다. \(0\) 을 채워 자릿수를 맞추면(\(0.5 = 0.50\)) \(50 > 25\) 가 드러난다. 덧셈도 마찬가지로 \(2.5\) 를 \(2.50\) 으로 쓴 뒤에 더한다.

확인 문제: \(0.5\), \(0.25\), \(0.125\) 를 큰 것부터 나열하고 \(2.5 + 0.75\) 를 계산하라. (답: \(0.5 > 0.25 > 0.125\), 그리고 \(3.25\).)

“소수점을 옮긴다”만 남아 방향을 틀린다

\(1.5 \div 0.5\) 에서 소수점을 한쪽만 옮겨 \(0.3\) 이나 \(30\) 이라고 쓴다. 옮기는 이유를 모르므로 어느 쪽을 몇 칸 옮길지도 결정하지 못하는 것이다. 분수로 다시 쓰면 이 조작이 옮기는 것이 아니라 분자와 분모에 똑같이 \(10\) 을 곱하는 것임이 드러난다. \(1.5 \div 0.5 = \dfrac{1.5}{0.5} = \dfrac{15}{5} = 3\) 이다. 분자와 분모에 같은 수를 곱해야 값이 유지되므로 “한쪽만 옮긴다”는 조작은 성립하지 않는다. 의미로도 검산된다. “\(1.5\) 안에 \(0.5\) 가 몇 번 들어가는가”의 답은 세 번이다.

확인 문제: \(2.4 \div 0.8\) 을 분수로 고쳐 계산하라. (답: \(3\). \(\tfrac{24}{8} = 3\).)

분수를 소수로 바꿀 때 위아래를 헷갈린다

\(\dfrac{3}{8}\) 을 소수로 바꾸라고 하면 \(0.38\) 이라고 쓰거나 \(8 \div 3 = 2.666\ldots\) 이라고 순서를 바꿔 나눈다. 분수 막대를 나눗셈 기호로 읽은 적이 없어서 \(\dfrac{3}{8}\) 이 “\(3\) 과 \(8\)”이라는 두 숫자로 저장되어 있는 것이다. 다음 관계를 기억한다. \(\dfrac{a}{b} = a \div b\), 위를 아래로 나눈다. 순서가 바뀌면 완전히 다른 수가 된다. 크기 감각으로도 확인할 수 있다. \(\dfrac{3}{8}\) 은 \(1\) 보다 작은데 \(2.666\) 은 \(1\) 보다 크므로, 답이 나온 시점에 오류를 판단할 수 있다.

확인 문제: \(\dfrac{3}{8}\) 과 \(\dfrac{8}{3}\) 을 각각 소수로 쓰라. (답: \(0.375\) 와 \(2.666\ldots\) — 완전히 다른 두 수이다.)

연습문제#

A 기본 · B 표준 · C 도전.

A 기약분수로 고쳐라. (1) \(0.4\) (2) \(0.25\) (3) \(0.06\)
A 소수로 고쳐라. (1) \(\dfrac{1}{5}\) (2) \(\dfrac{3}{8}\) (3) \(\dfrac{9}{20}\)
A 계산하라. \(2.7 + 0.45\)
A 계산하라. \(3.6 - 1.85\)
A 계산하라. (1) \(0.3 \times 0.7\) (2) \(0.6 \times 0.05\)
B 계산하라. \(1.25 \times 0.8\)
B 계산하라. (1) \(2.4 \div 0.6\) (2) \(0.45 \div 0.9\)
B 먼저 어림값을 쓰고, 그다음 정확히 계산하라. \(19.8 \times 0.51\)
B 우유 \(1.5\) L를 \(0.25\) L짜리 컵에 나눠 담으면 몇 컵이 나오는가?
B 휘발유를 \(32.5\) L 넣었다. \(1\) 리터에 \(1{,}680\) 원이면 얼마를 내야 하는가? (어림값을 먼저 쓰고 계산할 것)
C \(\dfrac{1}{3} + 0.25\) 를 계산하라. 답을 분수로 쓰고, 소수로도 써라.
C \(0.1 + 0.1 = 0.2\) 인데 \(0.1 \times 0.1 = 0.01\) 인 이유를, 분수를 써서 두세 문장으로 설명하라.

정답과 해설

(1) \(\dfrac{2}{5}\) — \(\dfrac{4}{10}\) 을 약분 (2) \(\dfrac{1}{4}\) — \(\dfrac{25}{100}\) 을 약분 (3) \(\dfrac{3}{50}\) — \(\dfrac{6}{100}\) 을 약분. 빈번한 오류: \(\dfrac{6}{10}\) 이라고 쓴다. \(0.06\) 은 “\(100\) 분의 \(6\)”이다. 자릿수가 두 자리이면 분모는 \(100\) 이다.
(1) \(0.2\) (2) \(0.375\) — \(3 \div 8\). 빈번한 오류: \(0.38\) 이라고 쓴다(분자와 분모를 그대로 붙여 읽은 것). (3) \(0.45\) — \(\dfrac{9}{20} = \dfrac{45}{100}\)
\(3.15\) — \(2.70 + 0.45\). 빈번한 오류: \(2.72\) (오른쪽 끝을 맞춰서 더한 것).
\(1.75\) — \(3.60 - 1.85\). 빈 자리에 \(0\) 을 채우고 세로셈으로 계산한다.
(1) \(0.21\) (2) \(0.03\) — \(\dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{100} = \dfrac{30}{1000} = 0.030\). 끝의 \(0\) 을 생략해 \(0.03\) 이다.
\(1\) — \(\dfrac{125}{100} \times \dfrac{8}{10} = \dfrac{1000}{1000} = 1\). 어림으로 검산하면 \(1.25\) 는 \(1\) 보다 조금 크고 \(0.8\) 은 \(1\) 보다 조금 작으므로 답은 \(1\) 부근이다. 실제로 \(1\) 이다.
(1) \(4\) — \(\dfrac{24}{6}\) (2) \(0.5\) — 자릿수가 다르므로 긴 쪽에 맞춘다. \(0.45 = \dfrac{45}{100}\), \(0.9 = \dfrac{90}{100}\) 이므로 \(\dfrac{45}{100} \div \dfrac{90}{100} = \dfrac{45}{90} = \dfrac{1}{2} = 0.5\). \(1\) 보다 큰 수로 나누었으므로 결과가 작아진다.
어림 \(20 \times 0.5 = 10\). 실제 \(10.098\). 어림값과 실제 값의 자릿수가 일치하면 계산이 타당하다.
\(6\) 컵 — \(1.5 \div 0.25 = \dfrac{150}{25} = 6\). 의미로는 \(0.25\) 가 네 개이면 \(1\) 이므로 \(1.5\) 에는 여섯 개가 들어간다.
\(54{,}600\) 원 — \(32.5 \times 1{,}680\). 어림 \(30 \times 1{,}700 = 51{,}000\) 원. 실제 값과 자릿수가 같다. 빈번한 오류: \(5{,}460\) 원 또는 \(546{,}000\) 원. 어림값을 먼저 계산하면 즉시 검출된다.
분수 \(\dfrac{7}{12}\), 소수 \(0.58333\ldots\) (\(0.58\dot{3}\)) — \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\). 핵심: \(\dfrac{1}{3}\) 은 유한소수가 아니므로 분수로 계산하는 편이 정확하다. 소수 표기가 항상 유리한 것은 아니다. 분모가 \(3\), \(7\), \(9\) 와 같은 수이면 분수 표기가 낫다.
예시 답안: “\(0.1\) 은 \(\dfrac{1}{10}\) 이다. 덧셈은 \(\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{10}\) 이라 조각의 크기가 유지되므로 자리도 유지된다. 곱셈은 \(\dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100}\) 이라 조각을 다시 분할하므로 자리가 한 칸 이동한다.” — 핵심은 분모끼리 곱해진다는 점을 언급하는 것이다. “\(\dfrac{1}{10}\) 의 \(\dfrac{1}{10}\) 이므로”라고만 써도 정답으로 처리한다.

추가 연습문제#

소수 계산 \(25\) 문제와 분수·소수 변환 \(15\) 문제, 모두 \(40\) 문제이다. \(18\) 번부터는 어림값을 먼저 적고 계산한다.

소수 덧셈·뺄셈 — 자리를 세로로 맞춰 쓰고 빈 자리에는 \(0\) 을 채운다.

\(0.7 + 0.4\) 2. \(2.5 + 1.35\) 3. \(0.8 - 0.35\) 4. \(4 - 1.6\) 5. \(3.14 + 0.86\) 6. \(10 - 0.05\) 7. \(1.25 + 0.5 + 0.25\) 8. \(6.2 - 3.75\)

소수 곱셈·나눗셈

\(0.4 \times 0.2\) 10. \(0.3 \times 0.03\) 11. \(1.5 \times 0.6\) 12. \(2.5 \times 0.4\) 13. \(0.25 \times 8\) 14. \(0.9 \div 0.3\) 15. \(2.4 \div 0.8\) 16. \(0.56 \div 0.7\) 17. \(7.5 \div 0.25\)

어림 + 문장제 — \(18\) 번부터 \(22\) 번까지는 어림값을 먼저 쓰고 그 아래에 정확한 답을 쓴다.

\(9.8 \times 5.1\) 19. \(0.48 \times 200\) 20. \(48.6 \div 6\)
우유 한 팩이 \(2{,}450\) 원이다. \(4\) 팩이면 얼마인가?
휘발유 \(1\) 리터에 \(1{,}650\) 원이다. \(28.4\) 리터를 넣으면 얼마인가?
주스 \(1.8\) L를 \(0.3\) L짜리 병에 나눠 담으면 몇 병인가?
삼겹살을 \(0.65\) kg 샀다. \(100\) g에 \(3{,}200\) 원이면 얼마인가?
무게가 \(0.25\) kg인 물건 \(12\) 개의 총 무게는 몇 kg인가?

분수와 소수의 변환 — \(26\) 번부터 \(33\) 번까지는 소수를 기약분수로 고친다.

\(0.5\) 27. \(0.75\) 28. \(0.2\) 29. \(0.35\) 30. \(0.125\) 31. \(0.06\) 32. \(0.375\) 33. \(1.4\)

\(34\) 번부터 \(40\) 번까지는 분수를 소수로 고친다. 유한소수가 아닌 것이 있으면 “안 끝난다”라고 쓰고 소수 넷째 자리까지만 적는다.

\(\dfrac{1}{4}\) 35. \(\dfrac{3}{5}\) 36. \(\dfrac{7}{8}\) 37. \(\dfrac{9}{25}\) 38. \(\dfrac{11}{20}\) 39. \(\dfrac{2}{3}\) 40. \(\dfrac{5}{6}\)

정답과 해설

\(1.1\) 2. \(3.85\) 3. \(0.45\) 4. \(2.4\) 5. \(4\) 6. \(9.95\) 7. \(2\) 8. \(2.45\)
\(0.08\) 10. \(0.009\) 11. \(0.9\) 12. \(1\) 13. \(2\) 14. \(3\) 15. \(3\) 16. \(0.8\) 17. \(30\)
어림 \(10 \times 5 = 50\) / 실제 \(49.98\)
어림 \(0.5 \times 200 = 100\) / 실제 \(96\)
어림 \(48 \div 6 = 8\) / 실제 \(8.1\)
어림 \(2{,}500 \times 4 = 10{,}000\) 원 / 실제 \(9{,}800\) 원
어림 \(1{,}600 \times 30 = 48{,}000\) 원 / 실제 \(46{,}860\) 원. 빈번한 오류: \(4{,}686\) 원 또는 \(468{,}600\) 원. 어림값을 먼저 계산하면 자릿수 오류가 검출된다.
\(6\) 병 — \(1.8 \div 0.3 = \dfrac{18}{3} = 6\)
\(20{,}800\) 원 — \(0.65\) kg은 \(650\) g이다. \(100\) g 단위가 \(6.5\) 개이므로 \(6.5 \times 3{,}200\) 이다. 빈번한 오류: \(0.65 \times 3{,}200 = 2{,}080\) 원. 단위가 kg인지 \(100\) g인지 먼저 맞춰야 한다.
\(3\) kg — \(0.25 \times 12\). \(0.25\) 가 네 개이면 \(1\) kg이므로 \(12\) 개이면 \(3\) kg이다. 암산으로 계산된다.
\(\dfrac{1}{2}\) 27. \(\dfrac{3}{4}\) 28. \(\dfrac{1}{5}\) 29. \(\dfrac{7}{20}\) 30. \(\dfrac{1}{8}\) 31. \(\dfrac{3}{50}\) 32. \(\dfrac{3}{8}\) 33. \(\dfrac{7}{5}\) (또는 \(1\dfrac{2}{5}\))
\(0.25\) 35. \(0.6\) 36. \(0.875\) 37. \(0.36\) 38. \(0.55\)
\(0.6666\ldots\) — 안 끝난다. 분모 \(3\) 에 \(2\) 도 \(5\) 도 아닌 인수가 있다.
\(0.8333\ldots\) — 안 끝난다. \(6 = 2 \times 3\) 이고, 그 \(3\) 이 원인이다.

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 다음 한 문장이다. 소수는 분모가 \(10\), \(100\), \(1000\) 인 분수를 짧게 쓴 표기이다. 자릿값이 소수점 오른쪽으로도 이어진다는 것, 그래서 \(0.1 \times 0.1 = 0.01\) 은 소수점을 옮긴 결과가 아니라 \(\dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100}\) 으로 분모끼리 곱해진 결과라는 것을 확인했다. 분수와 소수 사이의 변환은 “읽는 대로 쓰기”였고, 나눗셈의 “소수점 옮기기”는 분자와 분모에 똑같은 수를 곱하는 통분의 다른 이름이었다. 그리고 어림은 계산기가 검출하지 못하는 자릿수 오류를 스스로 확인하는 방법이다.

여기까지 다룬 수는 전부 \(0\) 보다 큰 수였다. 제5장에서는 \(0\) 보다 작은 수를 다룬다. 겨울 아침 기온, 통장 잔액, 지하 주차장 층수가 그 예이다. 일상에서 이미 사용하는 수이지만 계산 규칙, 특히 \(-5 - (-8)\) 과 같은 형태에서 오류가 빈번하다. 제5장에서 그 규칙을 다룬다.