제25장 · 극한의 계산

제25장 · 극한의 계산#

이 장

원본 코드

R3-W05

선행 내용

제24장 — 변화율과 극한의 직관

요지

\(\dfrac{0}{0}\) 꼴 극한은 인수분해하고 약분해서 계산한다 — 제2부의 대수가 그대로 사용된다.

도입#

두 식을 나란히 놓고 차이를 확인한다.

\[\frac{x^2-9}{x+3} \qquad\qquad \lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}\]

왼쪽은 제19장에서 약분한 식이고, 오른쪽은 이 장에서 계산할 식이다. 두 식의 차이는 두 가지이다. \(\lim\) 이라는 기호가 붙었고, \(+3\) 이 \(-3\) 으로 바뀌었다. 이 장에서 새로 다루는 것은 \(\lim\) 기호를 처리하는 규칙 몇 개이며, 나머지 계산은 제19장과 제14·15장에서 이미 다룬 내용이다.

이 장의 계산이 진행되지 않는 경우, 막히는 지점은 극한이 아니라 인수분해이다. 그 경우에는 제14·15장으로 돌아가 인수분해를 다시 확인한다.

앞 장에서 표로 확인한 결과는 다음과 같다. \(x\) 를 \(3\) 에 가까이 가져가면 이 식의 값은 \(6\) 에 접근한다.

\[\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3} = 6 \qquad (\text{표로 확인함})\]

그런데 \(x=3\) 을 그대로 대입하면 분모가 \(0\) 이 된다.

\[\frac{3^2-9}{3-3} = \frac{0}{0}\]

극한값은 \(6\) 이지만 대입한 결과는 \(\dfrac{0}{0}\) 이다. 이 장은 이 두 사실이 어떻게 양립하는지를 밝히고, 표를 만들지 않고 계산만으로 \(6\) 을 얻는 방법을 제시한다.

제19장 끝에서, 약분으로 사라진 점 하나가 극한을 다룰 때 중심 소재가 된다고 예고했다. 이 장에서 그 내용을 다룬다.

극한을 만나면 먼저 대입한다#

극한 문제에서 가장 먼저 할 일은 대입이다. 대부분의 문항은 대입으로 계산이 끝난다. 대입한 결과가 \(\dfrac{0}{0}\) 인 경우에만 추가 처리가 필요하다.

대입이 허용되는 근거를 먼저 확인한다. 극한에는 네 가지 기본 법칙이 있다. 네 법칙은 모두 극한을 항별로 따로 취할 수 있다는 내용이다.

\[\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big) = \lim_{x\to a}f(x) + \lim_{x\to a}g(x)\]
\[\lim_{x\to a}\big(f(x)\cdot g(x)\big) = \lim_{x\to a}f(x) \cdot \lim_{x\to a}g(x)\]
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} \quad (\text{단, 분모의 극한이 } 0 \text{ 이 아닐 때})\]
\[\lim_{x\to a} c\,f(x) = c \lim_{x\to a} f(x)\]

합의 극한은 극한의 합이고, 곱의 극한은 극한의 곱이다. 단서는 하나이다. 몫의 법칙에만 분모의 극한이 \(0\) 이 아니라는 조건이 붙는다. 이 장에서 다루는 계산은 모두 그 조건이 성립하지 않는 자리에서 발생한다.

이 법칙들을 반복해서 적용하면 다음 결론을 얻는다. 다항함수의 극한은 대입으로 계산된다.

\[\lim_{x\to2}(x^2+3x-1) = 2^2 + 3\cdot2 - 1 = 4+6-1 = 9\]

분수식도 같다. 분모에 대입한 값이 \(0\) 이 아니면 대입으로 계산이 끝난다.

\[\lim_{x\to1}\frac{x+3}{x^2+1} = \frac{1+3}{1+1} = \frac{4}{2} = 2\]

대입 결과의 세 가지 경우#

대입한 결과는 셋 중 하나이다. 다음 표가 이 장의 계산 절차를 정리한 것이다. 문제를 받으면 먼저 대입해서 어느 칸에 해당하는지를 확인한다.

대입 결과

이름

할 일

\(\dfrac{\text{숫자}}{\text{숫자} \ne 0}\)

확정

그 값이 극한값이다

\(\dfrac{\text{숫자} \ne 0}{0}\)

발산

좌우 극한을 따로 조사한다. 대개 극한 없음

\(\dfrac{0}{0}\)

부정형

손기술을 쓴다

추가 처리가 필요한 경우는 셋째 칸뿐이다. 첫째 칸은 이미 극한값을 얻은 경우이고, 둘째 칸은 대개 극한이 존재하지 않는다.

둘째 칸을 먼저 정리한다. 분모만 \(0\) 이 되고 분자는 \(0\) 이 아닌 경우이다.

\[\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x} = -\infty\]

\(x\) 가 \(0\) 에 오른쪽에서 접근하면 \(\dfrac1x\) 는 한없이 커지고, 왼쪽에서 접근하면 음수 쪽으로 한없이 작아진다. 오른쪽과 왼쪽이 서로 다른 곳으로 가므로 \(\lim_{x\to0}\dfrac1x\) 는 존재하지 않는다. 극한이 존재하려면 양쪽에서 접근한 값이 같은 값에 수렴해야 한다.

\[\lim_{x\to a} f(x) \text{ 가 존재한다} \ \Longleftrightarrow \ \lim_{x\to a^+}f(x) = \lim_{x\to a^-}f(x)\]

표의 둘째 칸에는 성격이 다른 두 경우가 섞여 있다. 표에 적은 “대개 극한 없음”의 “대개”를 여기에서 설명한다.

첫째, 좌우 극한이 서로 다른 곳으로 가면 극한은 존재하지 않는다. 앞에서 본 \(\dfrac1x\) 가 이 경우이다. 오른쪽은 \(+\infty\), 왼쪽은 \(-\infty\) 로 갈라진다. 일치하는 값이 없으므로 극한이 없다.

둘째, 좌우 모두 한없이 커지는 경우가 있다.

\[\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2} = +\infty\]

\(x\) 가 오른쪽에서 접근하든 왼쪽에서 접근하든 \(x^2\) 은 양수이므로, \(\dfrac{1}{x^2}\) 은 양쪽 모두 한없이 커진다. 이 경우에도 수렴하는 값은 존재하지 않는다. 다만 발산하는 방향을 하나로 특정할 수 있으므로 \(+\infty\) 로 표기한다.

따라서 표기 약속을 하나 확정한다. \(=\infty\) 는 “값이 \(\infty\) 이다”가 아니라 “한없이 커진다”를 줄여 쓴 표기이다. 등호가 쓰여 있어도 특정한 수를 극한값으로 제시한 것이 아니다. 서술형으로 답할 때는 “극한값은 없고, 양쪽 모두 양의 무한대로 발산한다”로 쓰는 것이 정확하다.

주의할 점이 하나 있다. \(\infty\) 는 수가 아니다. “한없이 커진다”는 상태를 나타내는 기호이다. \(\infty\) 에 \(1\) 을 더하거나 \(\infty - \infty = 0\) 으로 계산하는 것은 성립하지 않는다. 이 내용은 이 장 뒤에서 한 번 더 다룬다.

\(\dfrac{0}{0}\) 이면 인수분해하고 약분한다#

이제 셋째 칸을 다룬다. \(\dfrac{0}{0}\) 이 나왔다는 것은 분자와 분모에 같은 인수가 들어 있다는 뜻이다. 그 인수를 찾아 약분하는 것이 손기술의 전부이다. 도입에서 제시한 식으로 돌아간다.

\[\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}\]

1단계. 대입해서 어느 칸인지 확인한다.

\[\frac{3^2-9}{3-3} = \frac{0}{0} \quad \text{— 셋째 칸. 손기술이 필요하다.}\]

2단계. 분자를 인수분해한다. 합차 공식이다. 제14장에서 다룬 것과 같다.

\[x^2 - 9 = (x+3)(x-3)\]
\[\lim_{x \to 3}\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}\]

3단계. 약분한다. 분자와 분모에 인수 \((x-3)\) 이 통째로 들어 있으므로 약분한다.

\[\lim_{x \to 3}\frac{(x+3)\,\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)}} = \lim_{x \to 3}(x+3)\]

4단계. 대입한다. 남은 식은 다항식이므로 첫째 칸에 해당한다.

\[= 3 + 3 = 6\]

극한값은 \(6\) 이다. 앞 장에서 표로 확인한 값과 같은 값을, 표 없이 계산만으로 얻었다.

같은 절차를 한 번 더 적용한다. 분모가 \(x-2\) 인 경우이다.

\[\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}\]

대입하면 \(\dfrac{4-10+6}{0}=\dfrac00\) 으로 부정형이다. 분자를 인수분해한다. 곱이 \(6\), 합이 \(-5\) 인 두 수는 \(-2\) 와 \(-3\) 이다. 제15장의 부호 규칙과 같다 — 곱이 양수이고 합이 음수이면 두 수는 모두 음수이다.

\[x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)\]
\[\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = \lim_{x\to2}(x-3) = -1\]

\(x-3\) 을 약분할 수 있는 이유#

여기에서 한 가지 해명이 필요하다. 앞에서는 \(x=3\) 을 넣으면 분모가 \(0\) 이 되므로 대입할 수 없다고 했는데, 곧바로 \(x-3\) 을 약분했다. \(x-3\) 이 \(0\) 이라면 약분은 \(0\) 으로 나누는 조작이 되어 허용되지 않는다. 이 점을 정리해야 한다.

이 문제의 해명이 이 장에서 가장 중요한 부분이다. 근거는 다음 한 문장이다.

\[x \to 3 \quad \text{은} \quad x \ne 3 \quad \text{인 채로 다가가는 것이다.}\]

\(x \to 3\) 이라는 기호는 “\(x\) 가 \(3\) 이 된다”는 뜻이 아니라 “\(x\) 가 \(3\) 에 가까워진다”는 뜻이다. \(2.9\), \(2.99\), \(2.999\), \(\ldots\) 중에 정확히 \(3\) 인 값은 하나도 없다. 앞 장의 표에도 정확히 그 점은 들어 있지 않았다.

\[x \ne 3 \ \Rightarrow \ x - 3 \ne 0 \ \Rightarrow \ \text{약분 가능}\]

\(x\) 가 \(3\) 이 아니므로 \(x-3\) 은 \(0\) 이 아니다. \(0\) 이 아닌 것으로는 나눌 수 있다. 따라서 약분이 가능하며, \(0\) 으로 나눈 조작은 어디에도 없다. 4단계에서 마지막에 \(3\) 을 대입한 것은, 그 시점에 식이 이미 다항식 \(x+3\) 이 되어 있었기 때문이다. 다항식은 첫째 칸에 해당하므로 대입에 아무 문제가 없다.

여기에서 제19장의 내용이 다시 사용된다. 제19장에서는 \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 을 약분해 \(x-3\) 을 만든 다음, 약분으로 사라진 점은 여전히 정의역 밖이라고 했다. 원래 식은 그 점에서 값이 없는데 약분한 뒤의 식은 그 점에서 값이 있으므로, 두 식은 완전히 같은 식이 아니라고 했다. 그때 붙여 둔 조건이 이 장에서 핵심 역할을 한다.

\[\frac{x^2-9}{x-3} \quad \text{과} \quad x+3 \quad \text{은 } x \ne 3 \text{ 인 모든 곳에서 같다}\]
\[\text{그리고 극한은 } x \ne 3 \text{ 인 곳만 본다. 그래서 바꿔치기해도 된다.}\]

정의역 제한이 여기에서 실제로 사용된다. “\(x=3\) 만 제외하면 같다”는 사실이, “\(x=3\) 은 보지 않는” 극한의 정의와 정확히 대응한다. 이것이 이 장의 핵심이다. 제19장에서 조건 하나를 붙이는 절차를 익힌 이유가 여기에 있다.

공통인수는 반드시 존재한다 — 분모도 인수분해한다#

분자와 분모가 다항식이고 \(x \to a\) 에서 \(\dfrac{0}{0}\) 이면, 분자와 분모에 공통인수가 반드시 존재한다. 근거는 다음과 같다. 대입해서 분자와 분모가 둘 다 \(0\) 이 되었다는 것은 \(x=a\) 가 분자를 \(0\) 으로 만들고 분모도 \(0\) 으로 만든다는 뜻인데, \(x=a\) 에서 \(0\) 이 되는 다항식은 \((x-a)\) 를 인수로 갖는다. 앞의 \(x^2-9\) 가 그 예이다 — \(x=3\) 을 대입하면 \(0\) 이고, 실제로 인수분해하면 \((x-3)\) 이 들어 있다. 따라서 분자와 분모 양쪽에 \((x-a)\) 가 들어 있고, 약분할 인수가 반드시 존재한다. 분자만 인수분해해서 공통인수가 보이지 않으면 분모도 인수분해한다. 드러나지 않았을 뿐 존재하지 않는 것이 아니다.

\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}\]

대입하면 \(\dfrac00\) 이다. 분자와 분모를 모두 인수분해한다.

\[x^2-1 = (x+1)(x-1), \qquad x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\]
\[\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x\to1}\frac{x+1}{x-2} = \frac{2}{-1} = -2\]

공통인수 \((x-1)\) 은 분모까지 인수분해한 뒤에 드러났다.

여기에 단서가 하나 붙는다. 위의 “반드시”는 분자와 분모가 다항식일 때 성립하는 진술이다. 제곱근이 포함되면 사정이 달라진다. 분자나 분모가 다항식이 아니므로 인수분해로는 \((x-a)\) 가 드러나지 않는다. 이 경우는 인수분해로 처리되지 않는 형태이며, 그런 형태에 사용하는 손기술이 따로 하나 더 있다. 다음 절에서 다룬다.

제곱근이 있으면 유리화한다#

인수분해할 대상이 보이지 않는 경우가 있다. 제곱근이 포함된 식이다.

\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\]

대입하면 \(\dfrac{\sqrt{1}-1}{0}=\dfrac{1-1}{0}=\dfrac00\) 으로 부정형이다. 그런데 인수분해할 대상이 없다. 이 경우에 사용하는 손기술이 하나 더 있다. 켤레를 곱한다. \(\sqrt{x+1}-1\) 의 켤레는 부호만 바꾼 \(\sqrt{x+1}+1\) 이다. 분자와 분모에 같은 식을 곱하므로 식의 값은 변하지 않는다.

\[\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}\]

분자가 \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) 꼴이다. 제14장의 합차 공식이 여기에서 다시 사용된다. 제곱근이 제곱되면서 사라진다.

\[= \frac{(\sqrt{x+1})^2 - 1^2}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}\]

분자에 \(x\) 가 나타났고 분모에도 \(x\) 가 있다. 유리화의 목적이 이것이다. \(x \to 0\) 이지만 \(x \ne 0\) 이므로 약분한다. 앞에서 \(x-3\) 을 약분한 것과 같은 논리이다.

\[= \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \ \longrightarrow \ \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}\]

손기술은 두 가지이다. 인수분해와 유리화이다. 두 기법의 목적은 같다 — 분자와 분모에서 함께 \(0\) 이 되는 인수를 드러내어 약분하는 것이다.

무한대로 갈 때는 최고차항으로 나눈다#

\(x\) 가 어떤 수에 접근하는 것이 아니라 한없이 커지는 극한도 있다.

\[\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3x}{x^2-1}\]

분자도 무한대로 가고 분모도 무한대로 간다. 이 또한 부정형이다. 여기에서 빈번한 오류가 하나 발생하는데, \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 는 \(1\) 이 아니다. 처리 방법은 분자와 분모를 최고차항으로 나누는 것이다. 여기에서 최고차항은 \(x^2\) 이다.

나눗셈이 허용되는 근거는 유리화의 경우와 같다. 분자와 분모에 똑같이 \(\dfrac{1}{x^2}\) 을 곱하는 것이므로 식의 값은 변하지 않는다. 나누는 계산은 항별로 하나씩 수행한다.

\[\frac{2x^2}{x^2} = 2 \qquad \frac{3x}{x^2} = \frac{3}{x} \qquad \frac{x^2}{x^2} = 1 \qquad \frac{-1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}\]

둘째 항을 한 번 더 확인한다. \(\dfrac{3x}{x^2}\) 에서 \(\dfrac{x}{x^2} = x^{1-2} = x^{-1} = \dfrac1x\) 이므로 결과는 \(\dfrac{3}{x}\) 이다. 지수법칙을 한 번 적용한 것이다. \(3x\) 가 \(\dfrac3x\) 로 뒤집힌 것처럼 보이지만, 분자와 분모를 \(x^2\) 으로 나눈 결과이다. 네 조각을 제자리에 놓으면 다음을 얻는다.

\[= \lim_{x\to\infty}\frac{2 + \dfrac{3}{x}}{1 - \dfrac{1}{x^2}}\]

\(x\) 가 커지면 \(\dfrac{3}{x}\) 는 \(0\) 으로 가고 \(\dfrac{1}{x^2}\) 도 \(0\) 으로 간다. 큰 수로 나눌수록 값이 작아진다는 제1부의 내용과 같다.

\[= \frac{2+0}{1-0} = 2\]

다음 규칙이 성립한다. 분자와 분모의 최고차항의 차수가 같으면 계수의 비, 분모의 차수가 더 높으면 \(0\), 분자의 차수가 더 높으면 발산이다.

\[\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x^2+2} = 0 \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x+1} = \infty\]

다만 이 규칙만 암기하지 말고 최소한 한 번은 최고차항으로 직접 나누어 계산한다. 규칙은 결과이고, 나누는 과정이 그 근거이다.

결과를 확인하려면 큰 수를 직접 대입한다. 이 장 뒤의 오해 상자 「\(\infty\) 를 수처럼 다룬다」에 \(x=1000\) 을 대입한 계산이 있다 — \(\dfrac{2003000}{999999} \approx 2.003\) 으로, 위에서 얻은 \(2\) 에 근접한다. 규칙의 적용이 맞았는지는 이 방법으로 확인할 수 있다.

빈번한 오류#

약분할 때 항을 소거한다

\(\dfrac{x^2+3x}{x} = x^2+3\) 이라고 쓴다. \(\dfrac{x^2-9}{x-3}\) 에서 \(9\) 와 \(3\) 을 지워 \(\dfrac{x^2}{x}=x\) 라고 한다. 극한 문제에서는 이 오류가 그럴듯한 답을 만들어 내므로, 오류를 인지하지 못한 채 지나가기 쉽다.

원인은 제19장에서 다룬 것과 같다. “분자와 분모에 같은 것이 있으면 지운다”는 요약은 제1부의 수 분수에서는 항상 성립했다. 틀린 규칙이 아니라 요약이 지나치게 짧은 규칙이다. 약분할 수 있는 것은 곱해져 있는 것, 즉 인수뿐이다. \(x^2\) 과 \(3x\) 는 항이므로, 먼저 \(x\) 로 묶어 곱의 형태를 만들어야 약분할 수 있다. 답은 \(x^2+3\) 이 아니라 \(x+3\) 이다.

확인 문제: \(\lim_{x\to0}\dfrac{x^2-2x}{x}\). (답: \(-2\). \(x-2\) 로 약분한 뒤 대입.)

\(x=3\) 을 대입하는 시점을 혼동한다

약분까지는 수행하지만 마지막 대입에서 계산이 멈춘다. 또는 반대로, 약분하기 전에 대입해 \(\dfrac00\) 을 얻고 “답 없음”이라고 쓴다. 이것은 개념 오류라기보다 논리적 혼란에 해당한다.

두 식이 서로 다른 식이라는 점을 구분하면 해결된다. \(\dfrac{x^2-9}{x-3}\) 은 \(x=3\) 에서 값이 없다(분모 \(0\)). 약분한 \(x+3\) 은 \(x=3\) 에서 값이 있다(\(=6\)). 그리고 두 식은 \(x \ne 3\) 인 모든 곳에서 같다. 극한은 \(x \ne 3\) 인 곳만 보므로, 극한을 구할 때는 앞의 식을 뒤의 식으로 바꿔 쓸 수 있다. 그 뒤에 다루는 대상은 다항식 \(x+3\) 이다. 금지되는 것은 원래 식에 대입하는 것이며, 약분한 다항식에 대입하는 것은 금지되지 않는다.

확인 문제: \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}\) 를 구하는 과정에서 \(x=2\) 를 대입해도 되는 시점은 언제인가? (답: 약분해서 \(x+2\) 가 된 다음.)

극한값과 함숫값을 같은 것으로 본다

“\(\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=6\) 이므로 \(f(3)=6\) 이다”라고 쓴다. 또는 반대로 “\(f(3)\) 이 없으므로 극한도 없다”라고 쓴다. 이는 지금까지 다룬 함수가 모두 대입값과 극한값이 일치하는 함수였기 때문이다. 대입하면 값이 나왔고 그 값이 곧 그래프의 높이였다. 함숫값과 극한값이 갈라지는 경우는 이 장에서 처음 다룬다.

세 함수를 나란히 놓고 확인한다. 셋 다 \(x\to1\) 에서 극한은 \(2\) 이다. \(f(x)=x+1\) 은 \(f(1)=2\) 로 극한과 일치한다. \(g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) 은 \(g(1)\) 이 정의되지 않지만 극한은 \(2\) 이다. 그리고 \(x\ne1\) 일 때 \(h(x)=x+1\), \(h(1)=5\) 로 그 점만 따로 정의한 함수는 \(h(1)=5\) 이고 극한은 \(2\) 로 서로 다르다. 극한은 그 점을 보지 않고 주변만 본다. 함숫값과 극한값은 서로 다른 두 질문에 대한 답이다. (두 값이 일치하는 경우에 “연속”이라는 이름을 붙이며, 그 내용은 뒤에서 다룬다.)

확인 문제: 위 \(h(x)\) 에 대해 \(h(1)\) 과 \(\lim_{x\to1}h(x)\) 는 각각 얼마인가? (답: \(5\) 와 \(2\).)

\(\infty\) 를 수처럼 다룬다

\(\dfrac{\infty}{\infty}=1\), \(\infty-\infty=0\) 처럼 계산한다. 또는 \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+3x}{x^2-1}\) 을 “분자도 무한대이고 분모도 무한대이므로 \(1\)”이라고 답한다. \(\infty\) 가 기호로 쓰이므로 수라고 간주하는 것이다.

수치를 대입하면 결과가 분명해진다. \(x=1000\) 을 대입하면 \(\dfrac{2(1000)^2+3(1000)}{(1000)^2-1}=\dfrac{2003000}{999999}\approx 2.003\) 이다. \(1\) 이 아니라 \(2\) 에 가깝다. 분자가 분모보다 두 배 빠르게 커지기 때문이다. 둘 다 무한대로 가지만 커지는 속도가 다르다. \(\infty\) 는 크기가 아니라 “한없이 커진다”는 문장의 줄임말이며, 문장은 나눗셈의 대상이 아니다.

확인 문제: \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{x}\) 와 \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2}\) 는 각각 얼마인가? 둘 다 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 이다. (답: 앞은 \(\infty\) 로 발산, 뒤는 \(0\).)

연습문제#

계산기는 거의 사용하지 않는다. 모든 문항에서 1단계는 대입이다. 대입한 결과가 세 칸 중 어느 칸인지를 문제 옆에 먼저 적고 시작한다. 이 절차만으로도 상당수 문항의 처리 방향이 결정된다. 처리되지 않는 문항에는 표시를 하고, 그 옆에 “인수분해가 되지 않음”인지 “극한 논리가 정리되지 않음”인지를 한 단어로 적는다. 그 기록이 복습할 지점을 지시한다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

  1. A 대입해서 구하라. (1) \(\lim_{x\to1}(x^2+4x)\) (2) \(\lim_{x\to-2}(x^3+3x^2)\) (3) \(\lim_{x\to0}\dfrac{x+5}{x-5}\)

  2. A (1) \(\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\) (2) \(\lim_{x\to4}\dfrac{x^2-16}{x-4}\)

  3. A \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}\)

  4. A \(\lim_{x\to0}\dfrac{x^2+3x}{x}\)

  5. B \(\lim_{x\to-1}\dfrac{x^2-1}{x+1}\)

  6. B \(\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-9}\)

  7. B \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}\)

  8. B \(\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}\)

  9. B (1) \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{x^2+5}\) (2) \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+7}{5x-1}\)

  10. B \(\lim_{x\to1^+}\dfrac{1}{x-1}\) 과 \(\lim_{x\to1^-}\dfrac{1}{x-1}\) 을 각각 구하고, \(\lim_{x\to1}\dfrac{1}{x-1}\) 이 존재하는지 답하라.

  11. B 어떤 제품을 \(x\) 개 만들 때 총비용이 \(500 + 20x\) 원이다. 제품 \(1\) 개당 평균 비용은 \(C(x) = \dfrac{500+20x}{x}\) 원이다. 생산량을 한없이 늘리면 개당 비용은 얼마에 가까워지는가? 그 값이 무엇을 뜻하는지 한 줄로 쓰라.

  12. B 공을 떨어뜨렸다. \(t\) 초 후 낙하거리가 \(s(t) = 5t^2\) 미터다. \(t=2\) 에서의 순간속도는 \(\lim_{h\to0}\dfrac{5(2+h)^2-20}{h}\) 로 구할 수 있다. 계산하라.

  13. C \(\lim_{x\to2}\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}}{x-2}\) (힌트: 분자를 먼저 한 분수로 통분한다 — 제19장.)

  14. C \(\lim_{h\to0}\dfrac{(3+h)^2-9}{h}\) 를 계산하라. 그리고 이 값이 앞 장에서 다룬 무엇과 같은지 한 줄로 쓰라.

정답과 해설

  1. (1) \(1+4 = 5\) (2) \(-8+12 = 4\) (3) \(\dfrac{5}{-5} = -1\) — 셋 다 첫째 칸이다. 대입으로 계산이 끝난다.

  2. (1) \(\mathbf{6}\) — \(\dfrac{(x+3)(x-3)}{x-3} \to x+3 \to 6\) (2) \(\mathbf{8}\) — \(\dfrac{(x+4)(x-4)}{x-4} \to x+4 \to 8\)

  3. \(-1\) — \(\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2} \to x-3 \to -1\). 빈번한 오류: 곱이 \(+6\), 합이 \(-5\) 인 두 수를 \(2\) 와 \(3\) 으로 잡아 \((x+2)(x+3)\) 이라고 쓴다. 부호를 확인하려면 전개해서 원식과 대조한다.

  4. \(3\) — \(\dfrac{x(x+3)}{x} \to x+3 \to 3\). 빈번한 오류: \(\dfrac{x^2+3x}{x} = x^2+3\). \(x^2\) 과 \(3x\) 는 항이고, 약분할 수 있는 것은 인수뿐이다. 먼저 \(x\) 로 묶어 곱의 형태를 만들어야 한다. (제19장의 핵심 오류이다.)

  5. \(-2\) — \(\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} \to x-1 \to -2\)

  6. \(\dfrac{2}{3}\) — \(\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+3)} \to \dfrac{x+1}{x+3} \to \dfrac{4}{6} = \dfrac23\). 분모도 인수분해해야 공통인수가 드러난다.

  7. \(\dfrac{1}{6}\) — 켤레 \(\sqrt{x+9}+3\) 을 곱하면 \(\dfrac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+9}+3} \to \dfrac16\)

  8. \(\dfrac{1}{2}\) — 켤레 \(\sqrt{x}+1\) 을 곱하면 분자가 \(x-1\) 이 되어 \(\dfrac{x-1}{(x-1)(\sqrt x+1)} = \dfrac{1}{\sqrt x+1} \to \dfrac12\). (분모 \(x-1\) 을 \((\sqrt x-1)(\sqrt x+1)\) 로 보고 바로 약분해도 결과는 같다.)

  9. (1) \(3\) (2) \(\dfrac{2}{5}\) — 둘 다 분자와 분모의 최고차항의 계수 비이다. 최고차항으로 직접 나누어 확인한다.

  10. \(\lim_{x\to1^+}\dfrac{1}{x-1} = +\infty\), \(\lim_{x\to1^-}\dfrac{1}{x-1} = -\infty\). 좌우 극한이 다르므로 \(\lim_{x\to1}\dfrac{1}{x-1}\) 은 존재하지 않는다. 빈번한 오류: 둘 다 \(\infty\) 라고 쓴다. 왼쪽에서 접근하면 \(x-1\) 이 음수이면서 \(0\) 에 가까워지므로 결과는 음의 무한대이다. 부호를 확인하려면 \(x = 0.99\) 를 대입한다: \(\dfrac{1}{-0.01} = -100\).

  11. \(\mathbf{20}\) 원 — \(\dfrac{500+20x}{x} = \dfrac{500}{x} + 20 \to 0 + 20 = 20\). 의미: 생산량이 늘수록 고정비 \(500\) 원이 잘게 분산되어 개당 비용이 재료비 \(20\) 원에 한없이 가까워진다. 다만 개당 비용이 \(20\) 원 아래로 내려가지는 않는다. 극한이 도달이 아니라는 사실이 여기에서도 확인된다.

  12. \(\mathbf{20}\) m/s — \(\dfrac{20h+5h^2}{h} = 20+5h \to 20\). 앞 장에서 표로 확인한 값을 이번에는 계산으로 확인한 것이다.

  13. \(-\dfrac{1}{4}\) — 분자를 통분하면 \(\dfrac1x - \dfrac12 = \dfrac{2-x}{2x}\) 이다. 따라서 전체는 \(\dfrac{2-x}{2x(x-2)} = \dfrac{-(x-2)}{2x(x-2)} = \dfrac{-1}{2x} \to -\dfrac14\). 빈번한 오류: \(2-x\) 와 \(x-2\) 를 같은 것으로 보고 약분해 \(\dfrac{1}{2x}\) 를 만든다. \(2-x = -(x-2)\) 이다. 음의 부호 하나가 답의 부호를 뒤집는다.

  14. \(\mathbf{6}\) — \(\dfrac{6h+h^2}{h} = 6+h \to 6\). 앞 장에서 표가 \(7,\ 6.1,\ 6.01,\ 6.001\) 로 \(6\) 을 가리켰던 값과 같다. 표로 확인한 값을 계산으로 확인한 것이다. 그리고 이 값이 다음 제26장에서 다룰 “\(f(x)=x^2\) 의 \(x=3\) 에서의 순간변화율”이다.

추가 연습문제#

이어서 푸는 문항이다. 여기에서도 모든 문항의 1단계는 대입이다. 대입한 결과가 \(\dfrac{0}{0}\) 인지 아닌지를 문제 옆에 반드시 적고 시작한다. 이 절차가 이 장에서 다룬 내용의 절반에 해당한다. 하루에 몰아서 푸는 것보다 여러 날에 나누어 푸는 편이 정착에 유리하다.

직접 대입

  1. \(\lim_{x\to2}(x^2+3x-1)\) 2. \(\lim_{x\to-1}(2x^3-x)\) 3. \(\lim_{x\to0}(x^2-5x+4)\) 4. \(\lim_{x\to3}\dfrac{x+1}{x-1}\) 5. \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\) 6. \(\lim_{x\to1}\sqrt{x+8}\)

\(\dfrac{0}{0}\) — 인수분해 후 약분 7. \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}\) 8. \(\lim_{x\to-3}\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 9. \(\lim_{x\to5}\dfrac{x^2-25}{x-5}\) 10. \(\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+3x-4}{x-1}\) 11. \(\lim_{x\to-2}\dfrac{x^2+5x+6}{x+2}\) 12. \(\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-9}\) 13. \(\lim_{x\to0}\dfrac{x^2-2x}{x}\) 14. \(\lim_{x\to4}\dfrac{x^2-16}{x^2-3x-4}\)

유리화 · 무한대 극한 15. \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}\) 16. \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\) 17. \(\lim_{x\to9}\dfrac{\sqrt{x}-3}{x-9}\) 18. \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x^2+x}{2x^2-3}\) 19. \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+5}{3x^2+1}\) 20. \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{6x^3-x}{2x^3+5x^2}\)

한쪽 극한 · 혼합 · 서술 21. \(\lim_{x\to3^+}\dfrac{1}{x-3}\) 과 \(\lim_{x\to3^-}\dfrac{1}{x-3}\) 을 각각 구하고, \(\lim_{x\to3}\dfrac{1}{x-3}\) 이 존재하는지 답하라. 22. \(\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}\) (힌트: \(x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)\)) 23. \(\lim_{x\to2}\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}}{x-2}\) 24. \(\lim_{h\to0}\dfrac{(2+h)^2-4}{h}\) 25. \(\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\) 에서 \(x-3\) 을 약분할 수 있는 이유를 두 문장으로 쓰라. 두 문장 안에 다음 두 가지가 모두 들어가야 한다: (1) \(x \to 3\) 이 무슨 뜻인지, (2) 원래 식은 \(x=3\) 에서 값이 없는데 극한이 존재하는 것이 왜 모순이 아닌지.

정답과 해설

  1. \(4+6-1 = 9\) 2. \(-2+1 = -1\) 3. \(4\) 4. \(\dfrac{4}{2} = 2\) 5. \(\dfrac{5}{3}\) 6. \(3\)

  2. \(4\) 8. \(-6\) 9. \(10\) 10. \(5\) — \(\dfrac{(x+4)(x-1)}{x-1} \to x+4\) 11. \(1\) — \(\dfrac{(x+2)(x+3)}{x+2} \to x+3\)

  3. \(\dfrac{1}{3}\) — \(\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \to \dfrac{x-1}{x+3} \to \dfrac{2}{6}\)

  4. \(-2\) — \(\dfrac{x(x-2)}{x} \to x-2\). 빈번한 오류: \(x^2-2\). 항이 아니라 인수를 약분해야 한다 (제19장의 핵심 오류).

  5. \(\dfrac{8}{5}\) — \(\dfrac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+1)} \to \dfrac{x+4}{x+1} \to \dfrac{8}{5}\)

  6. \(\dfrac{1}{2}\) 16. \(\dfrac{1}{4}\) 17. \(\dfrac{1}{6}\) — 켤레 \(\sqrt x+3\) 을 곱하면 \(\dfrac{x-9}{(x-9)(\sqrt x+3)} = \dfrac{1}{\sqrt x+3}\)

  7. \(2\) 19. \(0\) — 분모의 차수가 더 높다 20. \(3\)

  8. \(+\infty\), \(-\infty\), 존재하지 않는다. 좌우 극한이 다르기 때문이다. 빈번한 오류: 둘 다 \(+\infty\) 로 쓴다. 왼쪽에서 접근하면 \(x-3\) 이 음수이다. \(x=2.99\) 를 대입하면 \(-100\) 임을 확인할 수 있다.

  9. \(3\) — \(\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} \to x^2+x+1 \to 1+1+1 = 3\)

  10. \(-\dfrac{1}{4}\) — 분자를 통분하면 \(\dfrac{2-x}{2x}\) 이다. 전체는 \(\dfrac{2-x}{2x(x-2)} = \dfrac{-1}{2x} \to -\dfrac14\). 빈번한 오류: \(2-x\) 를 \(x-2\) 로 보아 \(+\dfrac14\) 로 답한다. \(2-x = -(x-2)\) 이다.

  11. \(4\) — \(\dfrac{4h+h^2}{h} = 4+h \to 4\). 앞 장에서 표가 \(5,\ 4.1,\ 4.01,\ 4.001\) 로 가리키던 값과 같다. 다음 제26장에서 이 계산에 이름이 붙는다.

  12. 예시 답안: “\(x \to 3\) 은 \(x\) 가 \(3\) 에 가까워진다는 뜻이지 \(3\) 이 된다는 뜻이 아니므로, 계산하는 내내 \(x \ne 3\) 이고 따라서 \(x-3 \ne 0\) 이다. \(0\) 이 아닌 것으로는 나눌 수 있으므로 약분이 정당하다. 원래 식은 \(x=3\) 에서 값이 없지만 극한은 \(x=3\) 을 제외한 근처만 보는 질문이므로, 값이 없는 것과 극한이 있는 것은 서로 다른 이야기다.” — 핵심은 \(x \ne 3\) 을 명시하는 것이다. 그 조건만 있어도 부분 정답으로 인정된다.

요약과 다음 장#

이 장의 내용을 정리한다. 극한을 만나면 먼저 대입한다. 대입한 결과가 \(\dfrac{0}{0}\) 인 경우에만 손기술을 사용하며, 손기술은 두 가지이다 — 인수분해 후 약분, 그리고 유리화이다. 두 기법의 목적은 같다. 분자와 분모에서 함께 \(0\) 이 되는 인수를 드러내어 약분하는 것이다.

새로 다룬 것은 \(\lim\) 이라는 기호를 처리하는 규칙 몇 개이다. 인수분해는 제14·15장에서, 약분과 유리식은 제19장에서 이미 다루었다. 대수가 여기에서 그대로 다시 사용된다. 따라서 이 장의 계산이 진행되지 않는 경우, 막힌 지점은 극한이 아니라 그 아래층이며 돌아갈 지점이 분명하다.

이 장의 핵심은 다음 한 문장이다. \(x \to 3\) 은 \(x \ne 3\) 인 채로 다가가는 것이다. 따라서 \(x-3\) 은 \(0\) 이 아니고, 약분이 정당하다. 제19장에서 약분으로 사라진 점 하나가 이 장에서 중심 역할을 했다.

다음 제26장에서는 이 장의 마지막 두 문제와 같은 형태 — \(\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) — 에 이름을 붙인다. 도함수이다. 이름이 붙는 시점부터 이 장에서 익힌 손기술이 그대로 미분 기술이 된다. 이 장에서 다룬 내용을 다음 장에서 다시 사용한다.