# 제25장 · 극한의 계산

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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| **원본 코드** | R3-W05 |
| **선행 내용** | 제24장 — 변화율과 극한의 직관 |
| **요지** | $\dfrac{0}{0}$ 꼴 극한은 인수분해하고 약분해서 계산한다 — **제2부의 대수가 그대로 사용된다.** |
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## 도입

두 식을 나란히 놓고 차이를 확인한다.

$$\frac{x^2-9}{x+3} \qquad\qquad \lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$$

왼쪽은 [제19장](../part2/ch19.md)에서 약분한 식이고, 오른쪽은 이 장에서 계산할 식이다. 두 식의 차이는 두 가지이다. **$\lim$ 이라는 기호가 붙었고, $+3$ 이 $-3$ 으로 바뀌었다.** 이 장에서 새로 다루는 것은 $\lim$ 기호를 처리하는 규칙 몇 개이며, 나머지 계산은 제19장과 [제14·15장](../part2/ch14.md)에서 이미 다룬 내용이다.

이 장의 계산이 진행되지 않는 경우, 막히는 지점은 극한이 아니라 **인수분해이다.** 그 경우에는 제14·15장으로 돌아가 인수분해를 다시 확인한다.

앞 장에서 표로 확인한 결과는 다음과 같다. $x$ 를 $3$ 에 가까이 가져가면 이 식의 값은 $6$ 에 접근한다.

$$\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3} = 6 \qquad (\text{표로 확인함})$$

그런데 $x=3$ 을 **그대로 대입하면** 분모가 $0$ 이 된다.

$$\frac{3^2-9}{3-3} = \frac{0}{0}$$

극한값은 $6$ 이지만 대입한 결과는 $\dfrac{0}{0}$ 이다. 이 장은 이 두 사실이 어떻게 양립하는지를 밝히고, 표를 만들지 않고 계산만으로 $6$ 을 얻는 방법을 제시한다.

제19장 끝에서, 약분으로 사라진 점 하나가 극한을 다룰 때 중심 소재가 된다고 예고했다. 이 장에서 그 내용을 다룬다.

## 극한을 만나면 먼저 대입한다

극한 문제에서 가장 먼저 할 일은 **대입이다.** 대부분의 문항은 대입으로 계산이 끝난다. 대입한 결과가 $\dfrac{0}{0}$ 인 경우에만 추가 처리가 필요하다.

대입이 허용되는 근거를 먼저 확인한다. 극한에는 네 가지 기본 법칙이 있다. 네 법칙은 모두 극한을 항별로 따로 취할 수 있다는 내용이다.

$$\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big) = \lim_{x\to a}f(x) + \lim_{x\to a}g(x)$$

$$\lim_{x\to a}\big(f(x)\cdot g(x)\big) = \lim_{x\to a}f(x) \cdot \lim_{x\to a}g(x)$$

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} \quad (\text{단, 분모의 극한이 } 0 \text{ 이 아닐 때})$$

$$\lim_{x\to a} c\,f(x) = c \lim_{x\to a} f(x)$$

합의 극한은 극한의 합이고, 곱의 극한은 극한의 곱이다. 단서는 하나이다. **몫의 법칙에만 분모의 극한이 $0$ 이 아니라는 조건이 붙는다.** 이 장에서 다루는 계산은 모두 그 조건이 성립하지 않는 자리에서 발생한다.

이 법칙들을 반복해서 적용하면 다음 결론을 얻는다. **다항함수의 극한은 대입으로 계산된다.**

$$\lim_{x\to2}(x^2+3x-1) = 2^2 + 3\cdot2 - 1 = 4+6-1 = 9$$

분수식도 같다. **분모에 대입한 값이 $0$ 이 아니면** 대입으로 계산이 끝난다.

$$\lim_{x\to1}\frac{x+3}{x^2+1} = \frac{1+3}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$$

## 대입 결과의 세 가지 경우

대입한 결과는 셋 중 하나이다. 다음 표가 이 장의 계산 절차를 정리한 것이다. 문제를 받으면 먼저 대입해서 어느 칸에 해당하는지를 확인한다.

| 대입 결과 | 이름 | 할 일 |
|---|---|---|
| $\dfrac{\text{숫자}}{\text{숫자} \ne 0}$ | 확정 | 그 값이 극한값이다 |
| $\dfrac{\text{숫자} \ne 0}{0}$ | 발산 | 좌우 극한을 따로 조사한다. 대개 극한 없음 |
| $\dfrac{0}{0}$ | **부정형** | 손기술을 쓴다 |

추가 처리가 필요한 경우는 셋째 칸뿐이다. 첫째 칸은 이미 극한값을 얻은 경우이고, 둘째 칸은 대개 극한이 존재하지 않는다.

둘째 칸을 먼저 정리한다. 분모만 $0$ 이 되고 분자는 $0$ 이 아닌 경우이다.

$$\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x} = -\infty$$

$x$ 가 $0$ 에 오른쪽에서 접근하면 $\dfrac1x$ 는 한없이 커지고, 왼쪽에서 접근하면 음수 쪽으로 한없이 작아진다. 오른쪽과 왼쪽이 서로 다른 곳으로 가므로 $\lim_{x\to0}\dfrac1x$ 는 존재하지 않는다. 극한이 존재하려면 양쪽에서 접근한 값이 같은 값에 수렴해야 한다.

$$\lim_{x\to a} f(x) \text{ 가 존재한다} \ \Longleftrightarrow \ \lim_{x\to a^+}f(x) = \lim_{x\to a^-}f(x)$$

표의 둘째 칸에는 성격이 다른 두 경우가 섞여 있다. 표에 적은 "**대개** 극한 없음"의 "대개"를 여기에서 설명한다.

첫째, **좌우 극한이 서로 다른 곳으로 가면 극한은 존재하지 않는다.** 앞에서 본 $\dfrac1x$ 가 이 경우이다. 오른쪽은 $+\infty$, 왼쪽은 $-\infty$ 로 갈라진다. 일치하는 값이 없으므로 극한이 없다.

둘째, **좌우 모두 한없이 커지는 경우**가 있다.

$$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2} = +\infty$$

$x$ 가 오른쪽에서 접근하든 왼쪽에서 접근하든 $x^2$ 은 양수이므로, $\dfrac{1}{x^2}$ 은 양쪽 모두 한없이 커진다. 이 경우에도 **수렴하는 값은 존재하지 않는다.** 다만 발산하는 방향을 하나로 특정할 수 있으므로 $+\infty$ 로 표기한다.

따라서 표기 약속을 하나 확정한다. **$=\infty$ 는 "값이 $\infty$ 이다"가 아니라 "한없이 커진다"를 줄여 쓴 표기이다.** 등호가 쓰여 있어도 특정한 수를 극한값으로 제시한 것이 아니다. 서술형으로 답할 때는 "극한값은 없고, 양쪽 모두 양의 무한대로 발산한다"로 쓰는 것이 정확하다.

주의할 점이 하나 있다. **$\infty$ 는 수가 아니다.** "한없이 커진다"는 상태를 나타내는 기호이다. $\infty$ 에 $1$ 을 더하거나 $\infty - \infty = 0$ 으로 계산하는 것은 성립하지 않는다. 이 내용은 이 장 뒤에서 한 번 더 다룬다.

## $\dfrac{0}{0}$ 이면 인수분해하고 약분한다

이제 셋째 칸을 다룬다. **$\dfrac{0}{0}$ 이 나왔다는 것은 분자와 분모에 같은 인수가 들어 있다는 뜻이다.** 그 인수를 찾아 약분하는 것이 손기술의 전부이다. 도입에서 제시한 식으로 돌아간다.

$$\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$$

**1단계. 대입해서 어느 칸인지 확인한다.**

$$\frac{3^2-9}{3-3} = \frac{0}{0} \quad \text{— 셋째 칸. 손기술이 필요하다.}$$

**2단계. 분자를 인수분해한다.** 합차 공식이다. [제14장](../part2/ch14.md)에서 다룬 것과 같다.

$$x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$$

$$\lim_{x \to 3}\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}$$

**3단계. 약분한다.** 분자와 분모에 인수 $(x-3)$ 이 통째로 들어 있으므로 약분한다.

$$\lim_{x \to 3}\frac{(x+3)\,\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)}} = \lim_{x \to 3}(x+3)$$

**4단계. 대입한다.** 남은 식은 다항식이므로 첫째 칸에 해당한다.

$$= 3 + 3 = 6$$

극한값은 $6$ 이다. 앞 장에서 표로 확인한 값과 같은 값을, 표 없이 계산만으로 얻었다.

같은 절차를 한 번 더 적용한다. 분모가 $x-2$ 인 경우이다.

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}$$

대입하면 $\dfrac{4-10+6}{0}=\dfrac00$ 으로 부정형이다. 분자를 인수분해한다. 곱이 $6$, 합이 $-5$ 인 두 수는 $-2$ 와 $-3$ 이다. [제15장](../part2/ch15.md)의 부호 규칙과 같다 — 곱이 양수이고 합이 음수이면 두 수는 모두 음수이다.

$$x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$$

$$\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = \lim_{x\to2}(x-3) = -1$$

## $x-3$ 을 약분할 수 있는 이유

여기에서 한 가지 해명이 필요하다. 앞에서는 $x=3$ 을 넣으면 분모가 $0$ 이 되므로 대입할 수 없다고 했는데, 곧바로 $x-3$ 을 약분했다. **$x-3$ 이 $0$ 이라면 약분은 $0$ 으로 나누는 조작이 되어 허용되지 않는다.** 이 점을 정리해야 한다.

이 문제의 해명이 이 장에서 가장 중요한 부분이다. 근거는 다음 한 문장이다.

$$x \to 3 \quad \text{은} \quad x \ne 3 \quad \text{인 채로 다가가는 것이다.}$$

$x \to 3$ 이라는 기호는 "$x$ 가 $3$ 이 된다"는 뜻이 아니라 "$x$ 가 $3$ 에 **가까워진다**"는 뜻이다. $2.9$, $2.99$, $2.999$, $\ldots$ 중에 정확히 $3$ 인 값은 하나도 없다. 앞 장의 표에도 정확히 그 점은 들어 있지 않았다.

$$x \ne 3 \ \Rightarrow \ x - 3 \ne 0 \ \Rightarrow \ \text{약분 가능}$$

$x$ 가 $3$ 이 아니므로 $x-3$ 은 $0$ 이 아니다. $0$ 이 아닌 것으로는 나눌 수 있다. **따라서 약분이 가능하며, $0$ 으로 나눈 조작은 어디에도 없다.** 4단계에서 마지막에 $3$ 을 대입한 것은, 그 시점에 식이 이미 다항식 $x+3$ 이 되어 있었기 때문이다. 다항식은 첫째 칸에 해당하므로 대입에 아무 문제가 없다.

여기에서 [제19장](../part2/ch19.md)의 내용이 다시 사용된다. 제19장에서는 $\dfrac{x^2-9}{x+3}$ 을 약분해 $x-3$ 을 만든 다음, 약분으로 사라진 점은 여전히 정의역 밖이라고 했다. 원래 식은 그 점에서 값이 없는데 약분한 뒤의 식은 그 점에서 값이 있으므로, 두 식은 완전히 같은 식이 아니라고 했다. 그때 붙여 둔 조건이 이 장에서 핵심 역할을 한다.

$$\frac{x^2-9}{x-3} \quad \text{과} \quad x+3 \quad \text{은 } x \ne 3 \text{ 인 모든 곳에서 같다}$$

$$\text{그리고 극한은 } x \ne 3 \text{ 인 곳만 본다. 그래서 바꿔치기해도 된다.}$$

정의역 제한이 여기에서 실제로 사용된다. **"$x=3$ 만 제외하면 같다"는 사실이, "$x=3$ 은 보지 않는" 극한의 정의와 정확히 대응한다.** 이것이 이 장의 핵심이다. 제19장에서 조건 하나를 붙이는 절차를 익힌 이유가 여기에 있다.

## 공통인수는 반드시 존재한다 — 분모도 인수분해한다

분자와 분모가 **다항식**이고 $x \to a$ 에서 $\dfrac{0}{0}$ 이면, 분자와 분모에 공통인수가 **반드시** 존재한다. 근거는 다음과 같다. 대입해서 분자와 분모가 둘 다 $0$ 이 되었다는 것은 $x=a$ 가 분자를 $0$ 으로 만들고 분모도 $0$ 으로 만든다는 뜻인데, $x=a$ 에서 $0$ 이 되는 다항식은 $(x-a)$ 를 인수로 갖는다. 앞의 $x^2-9$ 가 그 예이다 — $x=3$ 을 대입하면 $0$ 이고, 실제로 인수분해하면 $(x-3)$ 이 들어 있다. 따라서 분자와 분모 양쪽에 $(x-a)$ 가 들어 있고, **약분할 인수가 반드시 존재한다.** 분자만 인수분해해서 공통인수가 보이지 않으면 분모도 인수분해한다. 드러나지 않았을 뿐 존재하지 않는 것이 아니다.

$$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$$

대입하면 $\dfrac00$ 이다. 분자와 분모를 모두 인수분해한다.

$$x^2-1 = (x+1)(x-1), \qquad x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$$

$$\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x\to1}\frac{x+1}{x-2} = \frac{2}{-1} = -2$$

공통인수 $(x-1)$ 은 분모까지 인수분해한 뒤에 드러났다.

여기에 단서가 하나 붙는다. 위의 "반드시"는 **분자와 분모가 다항식일 때** 성립하는 진술이다. 제곱근이 포함되면 사정이 달라진다. 분자나 분모가 다항식이 아니므로 인수분해로는 $(x-a)$ 가 드러나지 않는다. 이 경우는 **인수분해로 처리되지 않는 형태이며**, 그런 형태에 사용하는 손기술이 따로 하나 더 있다. 다음 절에서 다룬다.

## 제곱근이 있으면 유리화한다

인수분해할 대상이 보이지 않는 경우가 있다. 제곱근이 포함된 식이다.

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$$

대입하면 $\dfrac{\sqrt{1}-1}{0}=\dfrac{1-1}{0}=\dfrac00$ 으로 부정형이다. 그런데 인수분해할 대상이 없다. 이 경우에 사용하는 손기술이 하나 더 있다. **켤레를 곱한다.** $\sqrt{x+1}-1$ 의 켤레는 부호만 바꾼 $\sqrt{x+1}+1$ 이다. 분자와 분모에 같은 식을 곱하므로 식의 값은 변하지 않는다.

$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}$$

분자가 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 꼴이다. 제14장의 합차 공식이 여기에서 다시 사용된다. 제곱근이 제곱되면서 사라진다.

$$= \frac{(\sqrt{x+1})^2 - 1^2}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}$$

분자에 $x$ 가 나타났고 분모에도 $x$ 가 있다. 유리화의 목적이 이것이다. $x \to 0$ 이지만 $x \ne 0$ 이므로 약분한다. 앞에서 $x-3$ 을 약분한 것과 같은 논리이다.

$$= \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \ \longrightarrow \ \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}$$

손기술은 두 가지이다. **인수분해와 유리화이다.** 두 기법의 목적은 같다 — 분자와 분모에서 함께 $0$ 이 되는 인수를 드러내어 약분하는 것이다.

## 무한대로 갈 때는 최고차항으로 나눈다

$x$ 가 어떤 수에 접근하는 것이 아니라 한없이 커지는 극한도 있다.

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3x}{x^2-1}$$

분자도 무한대로 가고 분모도 무한대로 간다. 이 또한 부정형이다. 여기에서 빈번한 오류가 하나 발생하는데, **$\dfrac{\infty}{\infty}$ 는 $1$ 이 아니다.** 처리 방법은 분자와 분모를 최고차항으로 나누는 것이다. 여기에서 최고차항은 $x^2$ 이다.

나눗셈이 허용되는 근거는 유리화의 경우와 같다. **분자와 분모에 똑같이 $\dfrac{1}{x^2}$ 을 곱하는 것이므로 식의 값은 변하지 않는다.** 나누는 계산은 항별로 하나씩 수행한다.

$$\frac{2x^2}{x^2} = 2 \qquad \frac{3x}{x^2} = \frac{3}{x} \qquad \frac{x^2}{x^2} = 1 \qquad \frac{-1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$$

둘째 항을 한 번 더 확인한다. $\dfrac{3x}{x^2}$ 에서 $\dfrac{x}{x^2} = x^{1-2} = x^{-1} = \dfrac1x$ 이므로 결과는 $\dfrac{3}{x}$ 이다. 지수법칙을 한 번 적용한 것이다. $3x$ 가 $\dfrac3x$ 로 뒤집힌 것처럼 보이지만, 분자와 분모를 $x^2$ 으로 나눈 결과이다. 네 조각을 제자리에 놓으면 다음을 얻는다.

$$= \lim_{x\to\infty}\frac{2 + \dfrac{3}{x}}{1 - \dfrac{1}{x^2}}$$

$x$ 가 커지면 $\dfrac{3}{x}$ 는 $0$ 으로 가고 $\dfrac{1}{x^2}$ 도 $0$ 으로 간다. 큰 수로 나눌수록 값이 작아진다는 제1부의 내용과 같다.

$$= \frac{2+0}{1-0} = 2$$

다음 규칙이 성립한다. **분자와 분모의 최고차항의 차수가 같으면 계수의 비, 분모의 차수가 더 높으면 $0$, 분자의 차수가 더 높으면 발산이다.**

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x^2+2} = 0 \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x+1} = \infty$$

다만 이 규칙만 암기하지 말고 최소한 한 번은 최고차항으로 직접 나누어 계산한다. 규칙은 결과이고, 나누는 과정이 그 근거이다.

결과를 확인하려면 큰 수를 직접 대입한다. 이 장 뒤의 오해 상자 「$\infty$ 를 수처럼 다룬다」에 $x=1000$ 을 대입한 계산이 있다 — $\dfrac{2003000}{999999} \approx 2.003$ 으로, 위에서 얻은 $2$ 에 근접한다. 규칙의 적용이 맞았는지는 이 방법으로 확인할 수 있다.

## 빈번한 오류

:::{admonition} 약분할 때 항을 소거한다
:class: warning
$\dfrac{x^2+3x}{x} = x^2+3$ 이라고 쓴다. $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ 에서 $9$ 와 $3$ 을 지워 $\dfrac{x^2}{x}=x$ 라고 한다. 극한 문제에서는 이 오류가 그럴듯한 답을 만들어 내므로, 오류를 인지하지 못한 채 지나가기 쉽다.

원인은 제19장에서 다룬 것과 같다. "분자와 분모에 같은 것이 있으면 지운다"는 요약은 제1부의 수 분수에서는 항상 성립했다. 틀린 규칙이 아니라 **요약이 지나치게 짧은 규칙**이다. 약분할 수 있는 것은 곱해져 있는 것, 즉 인수뿐이다. $x^2$ 과 $3x$ 는 항이므로, 먼저 $x$ 로 묶어 곱의 형태를 만들어야 약분할 수 있다. 답은 $x^2+3$ 이 아니라 $x+3$ 이다.

*확인 문제*: $\lim_{x\to0}\dfrac{x^2-2x}{x}$. (답: $-2$. $x-2$ 로 약분한 뒤 대입.)
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:::{admonition} $x=3$ 을 대입하는 시점을 혼동한다
:class: warning
약분까지는 수행하지만 마지막 대입에서 계산이 멈춘다. 또는 반대로, 약분하기 **전에** 대입해 $\dfrac00$ 을 얻고 "답 없음"이라고 쓴다. 이것은 개념 오류라기보다 논리적 혼란에 해당한다.

두 식이 서로 다른 식이라는 점을 구분하면 해결된다. $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ 은 $x=3$ 에서 값이 없다(분모 $0$). 약분한 $x+3$ 은 $x=3$ 에서 값이 있다($=6$). 그리고 두 식은 $x \ne 3$ 인 모든 곳에서 같다. 극한은 $x \ne 3$ 인 곳만 보므로, 극한을 구할 때는 앞의 식을 뒤의 식으로 바꿔 쓸 수 있다. 그 뒤에 다루는 대상은 다항식 $x+3$ 이다. **금지되는 것은 원래 식에 대입하는 것이며, 약분한 다항식에 대입하는 것은 금지되지 않는다.**

*확인 문제*: $\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ 를 구하는 과정에서 $x=2$ 를 대입해도 되는 시점은 언제인가? (답: 약분해서 $x+2$ 가 된 다음.)
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:::{admonition} 극한값과 함숫값을 같은 것으로 본다
:class: warning
"$\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=6$ 이므로 $f(3)=6$ 이다"라고 쓴다. 또는 반대로 "$f(3)$ 이 없으므로 극한도 없다"라고 쓴다. 이는 지금까지 다룬 함수가 모두 대입값과 극한값이 일치하는 함수였기 때문이다. 대입하면 값이 나왔고 그 값이 곧 그래프의 높이였다. 함숫값과 극한값이 갈라지는 경우는 이 장에서 처음 다룬다.

세 함수를 나란히 놓고 확인한다. 셋 다 $x\to1$ 에서 극한은 $2$ 이다. $f(x)=x+1$ 은 $f(1)=2$ 로 극한과 일치한다. $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 은 $g(1)$ 이 정의되지 않지만 극한은 $2$ 이다. 그리고 $x\ne1$ 일 때 $h(x)=x+1$, $h(1)=5$ 로 그 점만 따로 정의한 함수는 $h(1)=5$ 이고 극한은 $2$ 로 서로 다르다. **극한은 그 점을 보지 않고 주변만 본다.** 함숫값과 극한값은 서로 다른 두 질문에 대한 답이다. (두 값이 일치하는 경우에 "연속"이라는 이름을 붙이며, 그 내용은 뒤에서 다룬다.)

*확인 문제*: 위 $h(x)$ 에 대해 $h(1)$ 과 $\lim_{x\to1}h(x)$ 는 각각 얼마인가? (답: $5$ 와 $2$.)
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:::{admonition} $\infty$ 를 수처럼 다룬다
:class: warning
$\dfrac{\infty}{\infty}=1$, $\infty-\infty=0$ 처럼 계산한다. 또는 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+3x}{x^2-1}$ 을 "분자도 무한대이고 분모도 무한대이므로 $1$"이라고 답한다. $\infty$ 가 기호로 쓰이므로 수라고 간주하는 것이다.

수치를 대입하면 결과가 분명해진다. $x=1000$ 을 대입하면 $\dfrac{2(1000)^2+3(1000)}{(1000)^2-1}=\dfrac{2003000}{999999}\approx 2.003$ 이다. $1$ 이 아니라 $2$ 에 가깝다. 분자가 분모보다 두 배 빠르게 커지기 때문이다. 둘 다 무한대로 가지만 **커지는 속도가 다르다.** $\infty$ 는 크기가 아니라 "한없이 커진다"는 문장의 줄임말이며, 문장은 나눗셈의 대상이 아니다.

*확인 문제*: $\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{x}$ 와 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2}$ 는 각각 얼마인가? 둘 다 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 이다. (답: 앞은 $\infty$ 로 발산, 뒤는 $0$.)
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## 연습문제

계산기는 거의 사용하지 않는다. **모든 문항에서 1단계는 대입이다.** 대입한 결과가 세 칸 중 어느 칸인지를 문제 옆에 먼저 적고 시작한다. 이 절차만으로도 상당수 문항의 처리 방향이 결정된다. 처리되지 않는 문항에는 표시를 하고, 그 옆에 "인수분해가 되지 않음"인지 "극한 논리가 정리되지 않음"인지를 한 단어로 적는다. 그 기록이 복습할 지점을 지시한다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` 대입해서 구하라. (1) $\lim_{x\to1}(x^2+4x)$  (2) $\lim_{x\to-2}(x^3+3x^2)$  (3) $\lim_{x\to0}\dfrac{x+5}{x-5}$
2. `A` (1) $\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$  (2) $\lim_{x\to4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$
3. `A` $\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}$
4. `A` $\lim_{x\to0}\dfrac{x^2+3x}{x}$
5. `B` $\lim_{x\to-1}\dfrac{x^2-1}{x+1}$
6. `B` $\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-9}$
7. `B` $\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$
8. `B` $\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}$
9. `B` (1) $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{x^2+5}$  (2) $\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+7}{5x-1}$
10. `B` $\lim_{x\to1^+}\dfrac{1}{x-1}$ 과 $\lim_{x\to1^-}\dfrac{1}{x-1}$ 을 각각 구하고, $\lim_{x\to1}\dfrac{1}{x-1}$ 이 존재하는지 답하라.
11. `B` 어떤 제품을 $x$ 개 만들 때 총비용이 $500 + 20x$ 원이다. 제품 $1$ 개당 평균 비용은 $C(x) = \dfrac{500+20x}{x}$ 원이다. 생산량을 한없이 늘리면 개당 비용은 얼마에 가까워지는가? 그 값이 무엇을 뜻하는지 한 줄로 쓰라.
12. `B` 공을 떨어뜨렸다. $t$ 초 후 낙하거리가 $s(t) = 5t^2$ 미터다. $t=2$ 에서의 순간속도는 $\lim_{h\to0}\dfrac{5(2+h)^2-20}{h}$ 로 구할 수 있다. 계산하라.
13. `C` $\lim_{x\to2}\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}}{x-2}$ (힌트: 분자를 먼저 한 분수로 통분한다 — 제19장.)
14. `C` $\lim_{h\to0}\dfrac{(3+h)^2-9}{h}$ 를 계산하라. 그리고 이 값이 **앞 장에서 다룬 무엇과 같은지** 한 줄로 쓰라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $1+4 = 5$  (2) $-8+12 = 4$  (3) $\dfrac{5}{-5} = -1$ — 셋 다 첫째 칸이다. 대입으로 계산이 끝난다.
2. (1) $\mathbf{6}$ — $\dfrac{(x+3)(x-3)}{x-3} \to x+3 \to 6$  (2) $\mathbf{8}$ — $\dfrac{(x+4)(x-4)}{x-4} \to x+4 \to 8$
3. $-1$ — $\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2} \to x-3 \to -1$. **빈번한 오류**: 곱이 $+6$, 합이 $-5$ 인 두 수를 $2$ 와 $3$ 으로 잡아 $(x+2)(x+3)$ 이라고 쓴다. 부호를 확인하려면 전개해서 원식과 대조한다.
4. $3$ — $\dfrac{x(x+3)}{x} \to x+3 \to 3$. **빈번한 오류**: $\dfrac{x^2+3x}{x} = x^2+3$. $x^2$ 과 $3x$ 는 **항**이고, 약분할 수 있는 것은 **인수**뿐이다. 먼저 $x$ 로 묶어 곱의 형태를 만들어야 한다. (제19장의 핵심 오류이다.)
5. $-2$ — $\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} \to x-1 \to -2$
6. $\dfrac{2}{3}$ — $\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+3)} \to \dfrac{x+1}{x+3} \to \dfrac{4}{6} = \dfrac23$. 분모도 인수분해해야 공통인수가 드러난다.
7. $\dfrac{1}{6}$ — 켤레 $\sqrt{x+9}+3$ 을 곱하면 $\dfrac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+9}+3} \to \dfrac16$
8. $\dfrac{1}{2}$ — 켤레 $\sqrt{x}+1$ 을 곱하면 분자가 $x-1$ 이 되어 $\dfrac{x-1}{(x-1)(\sqrt x+1)} = \dfrac{1}{\sqrt x+1} \to \dfrac12$. (분모 $x-1$ 을 $(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$ 로 보고 바로 약분해도 결과는 같다.)
9. (1) $3$  (2) $\dfrac{2}{5}$ — 둘 다 분자와 분모의 최고차항의 계수 비이다. 최고차항으로 직접 나누어 확인한다.
10. $\lim_{x\to1^+}\dfrac{1}{x-1} = +\infty$, $\lim_{x\to1^-}\dfrac{1}{x-1} = -\infty$. **좌우 극한이 다르므로 $\lim_{x\to1}\dfrac{1}{x-1}$ 은 존재하지 않는다.** **빈번한 오류**: 둘 다 $\infty$ 라고 쓴다. 왼쪽에서 접근하면 $x-1$ 이 **음수**이면서 $0$ 에 가까워지므로 결과는 음의 무한대이다. 부호를 확인하려면 $x = 0.99$ 를 대입한다: $\dfrac{1}{-0.01} = -100$.
11. $\mathbf{20}$ 원 — $\dfrac{500+20x}{x} = \dfrac{500}{x} + 20 \to 0 + 20 = 20$. 의미: 생산량이 늘수록 고정비 $500$ 원이 잘게 분산되어 개당 비용이 **재료비 $20$ 원에 한없이 가까워진다.** 다만 개당 비용이 $20$ 원 아래로 내려가지는 않는다. 극한이 도달이 아니라는 사실이 여기에서도 확인된다.
12. $\mathbf{20}$ m/s — $\dfrac{20h+5h^2}{h} = 20+5h \to 20$. 앞 장에서 표로 확인한 값을 이번에는 계산으로 확인한 것이다.
13. $-\dfrac{1}{4}$ — 분자를 통분하면 $\dfrac1x - \dfrac12 = \dfrac{2-x}{2x}$ 이다. 따라서 전체는 $\dfrac{2-x}{2x(x-2)} = \dfrac{-(x-2)}{2x(x-2)} = \dfrac{-1}{2x} \to -\dfrac14$. **빈번한 오류**: $2-x$ 와 $x-2$ 를 같은 것으로 보고 약분해 $\dfrac{1}{2x}$ 를 만든다. **$2-x = -(x-2)$** 이다. 음의 부호 하나가 답의 부호를 뒤집는다.
14. $\mathbf{6}$ — $\dfrac{6h+h^2}{h} = 6+h \to 6$. 앞 장에서 표가 $7,\ 6.1,\ 6.01,\ 6.001$ 로 $6$ 을 가리켰던 값과 같다. 표로 확인한 값을 계산으로 확인한 것이다. 그리고 이 값이 다음 [제26장](ch26.md)에서 다룰 "$f(x)=x^2$ 의 $x=3$ 에서의 순간변화율"이다.
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### 추가 연습문제

이어서 푸는 문항이다. 여기에서도 모든 문항의 1단계는 대입이다. 대입한 결과가 $\dfrac{0}{0}$ 인지 아닌지를 문제 옆에 반드시 적고 시작한다. 이 절차가 이 장에서 다룬 내용의 절반에 해당한다. 하루에 몰아서 푸는 것보다 여러 날에 나누어 푸는 편이 정착에 유리하다.

**직접 대입**
1. $\lim_{x\to2}(x^2+3x-1)$  2. $\lim_{x\to-1}(2x^3-x)$  3. $\lim_{x\to0}(x^2-5x+4)$  4. $\lim_{x\to3}\dfrac{x+1}{x-1}$  5. $\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$  6. $\lim_{x\to1}\sqrt{x+8}$

**$\dfrac{0}{0}$ — 인수분해 후 약분**
7. $\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$  8. $\lim_{x\to-3}\dfrac{x^2-9}{x+3}$  9. $\lim_{x\to5}\dfrac{x^2-25}{x-5}$  10. $\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+3x-4}{x-1}$  11. $\lim_{x\to-2}\dfrac{x^2+5x+6}{x+2}$  12. $\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-9}$  13. $\lim_{x\to0}\dfrac{x^2-2x}{x}$  14. $\lim_{x\to4}\dfrac{x^2-16}{x^2-3x-4}$

**유리화 · 무한대 극한**
15. $\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$  16. $\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$  17. $\lim_{x\to9}\dfrac{\sqrt{x}-3}{x-9}$  18. $\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x^2+x}{2x^2-3}$  19. $\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+5}{3x^2+1}$  20. $\lim_{x\to\infty}\dfrac{6x^3-x}{2x^3+5x^2}$

**한쪽 극한 · 혼합 · 서술**
21. $\lim_{x\to3^+}\dfrac{1}{x-3}$ 과 $\lim_{x\to3^-}\dfrac{1}{x-3}$ 을 각각 구하고, $\lim_{x\to3}\dfrac{1}{x-3}$ 이 존재하는지 답하라.
22. $\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}$ (힌트: $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$)
23. $\lim_{x\to2}\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}}{x-2}$
24. $\lim_{h\to0}\dfrac{(2+h)^2-4}{h}$
25. $\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$ 에서 $x-3$ 을 약분할 수 있는 이유를 **두 문장**으로 쓰라. 두 문장 안에 다음 두 가지가 모두 들어가야 한다: (1) $x \to 3$ 이 무슨 뜻인지, (2) 원래 식은 $x=3$ 에서 값이 없는데 극한이 존재하는 것이 왜 모순이 아닌지.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $4+6-1 = 9$  2. $-2+1 = -1$  3. $4$  4. $\dfrac{4}{2} = 2$  5. $\dfrac{5}{3}$  6. $3$

7. $4$  8. $-6$  9. $10$  10. $5$ — $\dfrac{(x+4)(x-1)}{x-1} \to x+4$  11. $1$ — $\dfrac{(x+2)(x+3)}{x+2} \to x+3$
12. $\dfrac{1}{3}$ — $\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \to \dfrac{x-1}{x+3} \to \dfrac{2}{6}$
13. $-2$ — $\dfrac{x(x-2)}{x} \to x-2$. **빈번한 오류**: $x^2-2$. 항이 아니라 인수를 약분해야 한다 (제19장의 핵심 오류).
14. $\dfrac{8}{5}$ — $\dfrac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+1)} \to \dfrac{x+4}{x+1} \to \dfrac{8}{5}$

15. $\dfrac{1}{2}$  16. $\dfrac{1}{4}$  17. $\dfrac{1}{6}$ — 켤레 $\sqrt x+3$ 을 곱하면 $\dfrac{x-9}{(x-9)(\sqrt x+3)} = \dfrac{1}{\sqrt x+3}$
18. $2$  19. $0$ — 분모의 차수가 더 높다  20. $3$

21. $+\infty$, $-\infty$, **존재하지 않는다.** 좌우 극한이 다르기 때문이다. **빈번한 오류**: 둘 다 $+\infty$ 로 쓴다. 왼쪽에서 접근하면 $x-3$ 이 음수이다. $x=2.99$ 를 대입하면 $-100$ 임을 확인할 수 있다.
22. $3$ — $\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} \to x^2+x+1 \to 1+1+1 = 3$
23. $-\dfrac{1}{4}$ — 분자를 통분하면 $\dfrac{2-x}{2x}$ 이다. 전체는 $\dfrac{2-x}{2x(x-2)} = \dfrac{-1}{2x} \to -\dfrac14$. **빈번한 오류**: $2-x$ 를 $x-2$ 로 보아 $+\dfrac14$ 로 답한다. $2-x = -(x-2)$ 이다.
24. $4$ — $\dfrac{4h+h^2}{h} = 4+h \to 4$. 앞 장에서 표가 $5,\ 4.1,\ 4.01,\ 4.001$ 로 가리키던 값과 같다. 다음 [제26장](ch26.md)에서 이 계산에 이름이 붙는다.
25. 예시 답안: "$x \to 3$ 은 $x$ 가 $3$ 에 가까워진다는 뜻이지 $3$ 이 된다는 뜻이 아니므로, 계산하는 내내 $x \ne 3$ 이고 따라서 $x-3 \ne 0$ 이다. $0$ 이 아닌 것으로는 나눌 수 있으므로 약분이 정당하다. 원래 식은 $x=3$ 에서 값이 없지만 극한은 $x=3$ 을 제외한 근처만 보는 질문이므로, 값이 없는 것과 극한이 있는 것은 서로 다른 이야기다." — 핵심은 **$x \ne 3$** 을 명시하는 것이다. 그 조건만 있어도 부분 정답으로 인정된다.
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## 요약과 다음 장

이 장의 내용을 정리한다. 극한을 만나면 먼저 대입한다. 대입한 결과가 $\dfrac{0}{0}$ 인 경우에만 손기술을 사용하며, 손기술은 두 가지이다 — **인수분해 후 약분, 그리고 유리화이다.** 두 기법의 목적은 같다. 분자와 분모에서 함께 $0$ 이 되는 인수를 드러내어 약분하는 것이다.

새로 다룬 것은 $\lim$ 이라는 기호를 처리하는 규칙 몇 개이다. 인수분해는 [제14·15장](../part2/ch14.md)에서, 약분과 유리식은 [제19장](../part2/ch19.md)에서 이미 다루었다. **대수가 여기에서 그대로 다시 사용된다.** 따라서 이 장의 계산이 진행되지 않는 경우, 막힌 지점은 극한이 아니라 그 아래층이며 돌아갈 지점이 분명하다.

이 장의 핵심은 다음 한 문장이다. **$x \to 3$ 은 $x \ne 3$ 인 채로 다가가는 것이다.** 따라서 $x-3$ 은 $0$ 이 아니고, 약분이 정당하다. 제19장에서 약분으로 사라진 점 하나가 이 장에서 중심 역할을 했다.

다음 [제26장](ch26.md)에서는 이 장의 마지막 두 문제와 같은 형태 — $\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ — 에 이름을 붙인다. **도함수이다.** 이름이 붙는 시점부터 이 장에서 익힌 손기술이 그대로 미분 기술이 된다. 이 장에서 다룬 내용을 다음 장에서 다시 사용한다.