제14장 · 인수분해 ①

내용

제14장 · 인수분해 ①#

이 장


원본 코드	R2-W06
선행 내용	제13장 — 다항식의 곱셈
요지	인수분해는 전개의 역방향이다 — 넓이에 해당하는 식에서 두 변에 해당하는 인수를 되찾는 절차이다.

도입#

수 하나를 곱셈으로 분해한다.

\[12 = 3 \times 4 = 2 \times 6 = 12 \times 1\]

분해 방식은 여러 가지이며, 더 이상 분해되지 않는 단계까지 진행하면 다음과 같다.

\[12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \cdot 3\]

이를 소인수분해라 한다. 초등 과정에서 이미 다룬 내용이다.

여기서 용어를 하나 정의한다. 곱해서 그 수(그 식)를 만드는 각각의 조각을 인수라 한다. \(12 = 2 \times 2 \times 3\) 에서 인수는 \(2\) 와 \(3\) 이고, \((x+3)(x-3)\) 에서 인수는 \((x+3)\) 과 \((x-3)\) 이다. 따라서 인수분해란 늘어놓은 식을 인수들의 곱으로 바꾸는 절차이다. 두 꼴을 나란히 놓으면 다음과 같다.

	원래 꼴	인수들의 곱
수	\(12\)	\(2 \times 2 \times 3\)
식	\(x^2-9\)	\((x+3)(x-3)\)
식	\(x^2+6x+9\)	\((x+3)(x+3)\)

왼쪽 열은 덧셈·뺄셈으로 늘어서 있고, 오른쪽 열은 곱으로 묶여 있다. 오른쪽 열이 이 장의 목표다. ‘인수’라는 용어는 제16장까지 계속 사용하므로 여기서 정확히 정의해 둔다.

이 장에서 다루는 것은 위와 동일한 절차이며, 대상이 수가 아니라 식이라는 점만 다르다.

\[x^2 - 9 = (\quad)(\quad)\]

\(12\) 를 \(2^2 \cdot 3\) 으로 분해할 수 있으면 \(x^2-9\) 도 분해할 수 있다. 같은 종류의 작업이다.

전개와 인수분해의 관계는 다음과 같다. 전개는 주어진 곱을 정해진 순서에 따라 펼치는 작업이며, 지난 장에서 다루었다. 인수분해는 그 결과만 주어진 상태에서 무엇을 곱했는지 찾는 작업이다. 정해진 순서가 없고 탐색이 필요하므로 전개보다 어렵다.

그래서 이 장 전체를 관통하는 질문은 하나다.

\[\text{이 식은 무엇을 곱한 결과인가?}\]

인수분해는 이 과정 전체에서 답을 스스로 검증할 수 있는 거의 유일한 단원이다. 답이 맞는지는 곱해 보면 확인된다. 곱해서 원래 식이 나오면 맞고, 나오지 않으면 틀린 것이다.

전개와 인수분해의 관계#

전개와 인수분해는 서로 다른 두 기술이 아니다. 같은 등호를 방향만 바꾸어 읽는 것이다.

\[3(2x+3) \ \xrightarrow{\ \ \text{전개}\ \ } \ 6x+9\]

\[6x+9 \ \xrightarrow{\ \ \text{인수분해}\ \ } \ 3(2x+3)\]

같은 두 식이고 화살표 방향만 다르다. 위는 지난 장의 내용이고 아래가 이 장의 내용이다. 새로 외울 공식은 하나도 없다.

아래쪽이 더 어려운 이유는 두 작업의 성격이 다르기 때문이다. 위쪽은 할 일이 정해져 있다. 괄호를 풀고 곱하면 되며, 정해진 순서를 따라가면 종료된다. 아래쪽은 무엇을 빼낼지 직접 찾아야 한다. 정해진 시작점이 없는 탐색이므로 절차를 따라가는 작업보다 어렵다. 이 장은 그 탐색을 훈련한다.

답을 쓴 뒤 곧바로 곱해서 원래 식이 나오는지 확인하는 절차를 되전개라 한다. 이 장에서는 계산기를 쓰지 않는 대신 되전개가 검산 수단이 된다.

공통인수 묶기#

인수분해의 첫 단계는 분배법칙을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는 것이다. 새로운 기술이 아니다.

\(6x+9\) 의 두 항 \(6x\) 와 \(9\) 에 둘 다 들어 있는 것을 찾는다. \(6 = 2 \cdot 3\), \(9 = 3 \cdot 3\) 이므로 둘 다 \(3\) 을 갖는다.

\[6x + 9 = 3 \cdot 2x + 3 \cdot 3 = 3(2x+3)\]

\(3\) 을 앞으로 빼내고 남은 것을 괄호에 넣는다. 제거한 것이 아니라 위치를 옮긴 것이다.

문자도 동일하다. \(x^2\) 은 \(x\) 를 두 개, \(5x\) 는 \(x\) 를 하나 갖는다. 둘 다 \(x\) 를 가지므로 \(x\) 를 빼낸다.

\[x^2 + 5x = x \cdot x + x \cdot 5 = x(x+5)\]

수와 문자를 함께 빼낼 수도 있다. \(4x^2-6x\) 는 수 쪽 공통인수 \(2\) 와 문자 쪽 공통인수 \(x\) 를 합쳐 \(2x\) 를 빼낸다. 최대한 많이 빼내는 것이 원칙이다. \(2\) 만 빼내도 등식은 성립하지만 인수분해가 완결되지 않은 상태이다.

\[4x^2 - 6x = 2x \cdot 2x - 2x \cdot 3 = 2x(2x-3)\]

여기서 이 장 전체에 적용되는 절차를 하나 고정한다. 답을 쓰면 곧바로 곱해서 원래 식이 나오는지 확인한다.

\[2x(2x-3) = 4x^2 - 6x\]

이 확인은 한 줄로 끝난다. 검산을 거치면 인수분해의 오류는 그 자리에서 발견된다.

문자가 두 종류인 경우도 같은 방법으로 처리한다. \(3a^2b + 6ab^2\) 은 인수를 하나씩 확인한다. 수는 \(3\) 과 \(6\) 이므로 공통인수는 \(3\) 이다. \(a\) 는 앞 항에 둘, 뒤 항에 하나이므로 적은 쪽에 맞추어 하나이다. \(b\) 는 앞 항에 하나, 뒤 항에 둘이므로 하나이다. 따라서 \(3ab\) 를 빼낸다.

\[3a^2b + 6ab^2 = 3ab \cdot a + 3ab \cdot 2b = 3ab(a+2b)\]

빈번한 오류 중 하나는 \(x^2 + x\) 에서 나타난다. \(x\) 를 빼내면 앞에는 \(x\) 가 남는데, 뒤에 무엇이 남는지가 문제가 된다. 아무것도 남지 않는다고 판단하는 것이 오류이다.

\[x^2 + x = x \cdot x + x \cdot 1 = x(x+1)\]

\(x\) 를 빼내면 \(1\) 이 남는다. \(0\) 이 아니라 \(1\) 이다. \(x = x \times 1\) 이기 때문이다. 여기서 \(x(x)\) 라고 쓰면 곱했을 때 \(x^2\) 이 된다. 곱해 보면 즉시 확인되며, 검산이 필요한 이유가 이것이다.

두 제곱의 차#

곱셈 공식을 거꾸로 읽으면 두 번째 도구가 나온다. 지난 장에서 정리한 네 줄 중 하나를 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는다.

\[a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\]

넓이 모형으로 근거를 확인한다. 한 변이 \(a\) 인 정사각형에서 한 변이 \(b\) 인 정사각형을 귀퉁이에서 도려낸다.

남은 넓이가 \(a^2 - b^2\) 이다. 이 L자 조각을 한 번 잘라 옮겨 붙이면 가로 \(a+b\), 세로 \(a-b\) 인 직사각형이 된다. 넓이는 변하지 않는다. 따라서 \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\) 이 성립한다. 도입에서 제시한 요지 — 넓이에 해당하는 식에서 두 변을 되찾는다 — 가 이 상황이다.

이 논증은 ‘한 번 잘라 옮겨 붙인다’는 조작으로 이루어지므로, 자르는 위치를 정확히 규정한다. L자의 안쪽 모서리에서 가로로 한 번 자른다. 기준은 하나이다. 세로가 둘 다 \(a-b\) 로 같은 두 조각이 나오도록 자른다. 세로가 같아야 두 조각을 옆으로 붙일 수 있기 때문이다.

단계	도형	가로	세로	넓이
① 도려냄	L자 조각	—	—	\(a^2-b^2\)
② 자름	큰 조각	\(a\)	\(a-b\)	\(a(a-b)\)
② 자름	작은 조각	\(a-b\)	\(b\)	\(b(a-b)\)
③ 옮겨 붙임	작은 조각을 돌려 큰 조각 옆에	\(a+b\)	\(a-b\)	\((a+b)(a-b)\)

작은 조각을 \(90^\circ\) 돌리면 가로와 세로가 맞바뀌어 세로가 \(b\) 에서 \(a-b\) 로 바뀐다. 큰 조각과 세로가 같으므로 옆에 붙는다. 가로는 \(a\) 에 \(b\) 가 이어져 \(a+b\) 이다. 자르고 옮기는 조작만 했으므로 넓이는 변하지 않는다.

\[a^2 - b^2 = a(a-b) + b(a-b) = (a+b)(a-b)\]

가운데 식은 두 항에서 공통인수 \((a-b)\) 를 묶은 꼴이며, 바로 앞 절에서 다룬 절차이다.

판정은 세 가지 질문으로 한다. \(x^2 - 9\) 에 적용한다. ① 항이 두 개인가? 그렇다. ② 둘 다 제곱인가? \(x^2\) 은 \(x\) 의 제곱, \(9\) 는 \(3\) 의 제곱이므로 그렇다. ③ 사이가 뺄셈인가? 그렇다. 세 조건이 모두 충족되면 두 제곱의 차이다.

\[x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)\]

\(a\) 자리에 \(x\), \(b\) 자리에 \(3\) 을 대입한 결과이다. 검산하면 \((x+3)(x-3) = x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9\) 이다. 가운데 \(-3x + 3x\) 가 소거된다. 두 제곱의 차에 가운데 항이 없는 이유가 이것이다.

계수가 붙어도 같다. \(4x^2\) 이 제곱인지는 \(4x^2 = (2x)^2\) 으로 확인되며, \(2x\) 의 제곱이다.

\[4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x+3)(2x-3)\]

지수가 큰 항도 같은 방법으로 처리한다. 지수가 짝수면 제곱이다. \(x^4 = (x^2)^2\), \(x^6 = (x^3)^2\) 이므로 지수를 반으로 나누면 그 안에 든 제곱이 확인된다. 제12장 지수법칙에서 확인한 \((x^2)^2 = x^4\) 을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽은 것이므로 새 규칙이 아니다. 따라서 \(x^4-81\) 도 두 제곱의 차이다.

\[x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2+9)(x^2-9)\]

그리고 괄호 안의 \(x^2-9\) 가 다시 두 제곱의 차이다. 한 번 분해한 뒤 괄호 안을 다시 확인하는 절차는 뒤의 순서표에서 정리한다.

항의 순서가 바뀌어도 같다. 큰 제곱에서 작은 제곱을 뺀 모양이면 적용된다.

\[49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7+x)(7-x)\]

주의할 경우가 하나 있다. \(2x^2 - 50\) 의 두 항은 제곱인가? \(2x^2\) 은 제곱이 아니다. 여기서 판단을 멈추기 쉽다. 먼저 공통인수를 확인한다. 두 항 모두 \(2\) 를 갖는다.

\[2x^2 - 50 = 2(x^2 - 25) = 2(x+5)(x-5)\]

\(2\) 를 빼내면 괄호 안이 두 제곱의 차가 된다. 공통인수를 먼저 빼면 그 전에 보이지 않던 구조가 드러난다. 뒤의 순서표가 필요한 이유가 이것이다.

\(1\) 도 제곱이라는 점을 덧붙인다. \(1 = 1^2\) 이므로 \(x^2 - 1 = (x+1)(x-1)\) 이며, 이 경우를 놓치는 오류가 빈번하다.

완전제곱식#

세 번째 도구는 항이 세 개일 때 사용한다. 지난 장의 \((a+b)^2\) 넓이 모형을 거꾸로 읽는다.

\[a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\]

\[a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\]

넓이 모형은 다음과 같다. 큰 정사각형 안에 조각이 넷 있다. \(a^2\) 하나, \(b^2\) 하나, 그리고 \(ab\) 짜리 직사각형 두 개이다.

지난 장에서는 이 네 조각을 펼치는 것이 전개였다. 이 장에서는 반대로 묻는다. 조각 네 개가 주어졌을 때 정사각형으로 다시 맞출 수 있는가? 가운데 두 조각의 합 \(2ab\) 가 완전제곱을 판정하는 기준이다.

\(x^2 + 6x + 9\) 에 적용한다. ① 양 끝이 제곱인가? \(x^2\) 은 \(x\) 의 제곱, \(9\) 는 \(3\) 의 제곱이므로 그렇다. ② 가운데가 \(2ab\) 인가? \(a=x\), \(b=3\) 이면 \(2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x\) 이고, 주어진 식의 가운데도 \(6x\) 이므로 일치한다. ③ 부호는? 가운데가 양이므로 \((a+b)^2\) 이다.

\[x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\]

넓이 모형에서는 \(ab\) 조각 두 개가 \(3x + 3x = 6x\) 에 해당한다. ②를 건너뛰고 양 끝만으로 판정하면 오류가 발생한다. 해당 사례는 뒤의 「빈번한 오류」에서 다룬다.

가운데가 음이면 괄호 안도 음이다.

\[x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2\]

\(a=x\), \(b=5\), \(2ab = 10x\) 이고 부호가 음이므로 \((x-5)^2\) 이다. 끝의 \(25\) 는 음이 아니다. \((-5) \times (-5) = +25\) 이기 때문이다.

계수가 붙어도 같다. \(4x^2 + 12x + 9\) 는 \(4x^2 = (2x)^2\), \(9 = 3^2\) 이고 가운데는 \(2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x\) 로 일치한다.

\[4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2\]

인수분해 순서표#

도구가 세 가지이므로 적용 순서를 정한다.

\[\text{① 공통인수가 있나? } \Rightarrow \text{ 무조건 먼저 빼낸다}\]

\[\text{② 항이 2개인가? } \Rightarrow \text{ } a^2-b^2 \text{ 인지 본다}\]

\[\text{③ 항이 3개인가? } \Rightarrow \text{ } a^2 \pm 2ab+b^2 \text{ 인지 본다}\]

이 순서를 지킨다. ①을 건너뛰면 ②와 ③의 구조가 드러나지 않는다. \(2x^2-50\) 에서 확인한 바와 같다. ③에서도 해당하지 않으면 이 장의 도구로는 인수분해가 완결되지 않는다. 이는 인수분해가 불가능한 것이 아니라 이 장의 범위를 벗어난 것이다. 예를 들어 \(x^2+8x+15\) 는 \(15\) 가 제곱수가 아니므로 완전제곱이 아니고, \((x+4)^2\) 이라고 쓰면 검산에서 \(x^2+8x+16\) 이 나와 즉시 확인된다. ‘이 장의 도구로는 되지 않는다’고 판정하는 것이 정답이다. 이런 식들은 다음 장에서 전부 처리한다.

한 가지를 덧붙인다. 순서표는 한 번 적용하고 끝나는 것이 아니라 괄호 안에서 다시 적용된다. \(x^3 - x\) 는 먼저 \(x\) 를 빼내 \(x(x^2-1)\) 이 되는데, 괄호 안 \(x^2-1\) 이 다시 두 제곱의 차이다. \(x(x+1)(x-1)\) 까지 진행해야 완결된다.

빈번한 오류#

전개는 되지만 역방향이 되지 않는다

같은 식을 전개하는 것은 문제없이 수행하면서 그 결과를 거꾸로 되돌리는 것은 수행하지 못하는 경우가 흔하다. 이는 두 작업의 방향이 다르기 때문이다. 전개는 절차이므로 시작점과 순서가 정해져 있고 따라가면 종료된다. 인수분해는 탐색이므로 무엇을 빼낼지 스스로 찾아야 하고 정해진 시작점이 없다. 역방향의 근거는 이미 지난 장에 있다. 다음 연쇄를 오른쪽 끝(지난 장에서 확인한 식)에서 왼쪽으로 읽으면 된다.

\[x^2-9 \ \leftarrow \ x^2-3^2 \ \leftarrow \ a^2-b^2 \ \leftarrow \ (a+b)(a-b)\]

훈련 방법은 짝으로 반복하는 것이다. 전개를 하나 수행하고 곧바로 그 결과를 인수분해한다. 이 짝을 여러 번 반복한다.

확인 문제: (가) \((x+4)(x-4)\) 를 전개하라. (나) 그 결과를 인수분해하라. (답: (가) \(x^2-16\) (나) \((x+4)(x-4)\).)

공통인수를 빼내면서 \(1\) 을 지운다

\(x^2 + x\) 에서 \(x\) 를 빼내면 뒤에 아무것도 남지 않는다고 판단하여 \(x(x)\) 라고 쓰는 오류가 발생한다. 그러나 곱해 보면 \(x(x) = x^2\) 이므로 원래의 \(+x\) 가 사라진다. ‘빼낸다’는 것은 제거하는 것이 아니라 앞으로 옮기는 것이다. \(x = x \times 1\) 이므로 옮기고 나면 자리에 \(1\) 이 남는다. 빈자리는 \(0\) 이 아니라 \(1\) 이다. 곱셈에서 \(1\) 은 곱해도 값을 바꾸지 않는 항등원이기 때문이다.

\[x^2 + x = x \cdot x + x \cdot 1 = x(x+1)\]

확인 문제: \(2x^2+2x\), \(\ 7x+7\), \(\ x^3+x^2\) 을 인수분해하라. (답: \(2x(x+1)\), \(\ 7(x+1)\), \(\ x^2(x+1)\). 셋 다 \(1\) 이 남는 자리가 있다.)

\(x^2+9\) 를 인수분해한다

항이 두 개이고 둘 다 제곱이므로 \((x+3)^2\) 이나 \((x+3)(x-3)\) 으로 쓰는 오류가 발생한다. 그런데 \(x\) 와 \(3\) 으로 만들 수 있는 곱은 세 개뿐이다.

\[(x+3)^2 = x^2+6x+9 \qquad (x-3)^2 = x^2-6x+9 \qquad (x+3)(x-3) = x^2-9\]

이 셋 중에 \(x^2+9\) 는 없다. 두 제곱의 합 \(a^2+b^2\) 은 (실수 범위에서) 인수분해되지 않는다. 방법을 모르는 것이 아니라 인수분해가 존재하지 않는 것이며, 소수 \(17\) 을 곱셈으로 분해할 수 없는 것과 같다. ‘인수분해되지 않는다’가 정답이다. 더하기 제곱에는 언제나 가운데 항이 따라온다는 사실은, 제13장에서 확인한 \((a+b)^2 \ne a^2+b^2\) 과 같은 사실의 다른 표현이다.

확인 문제: (가) \(x^2+16\) 을 인수분해할 수 있나? (나) \(x^2-16\) 은? (답: (가) 불가능 — \((x+4)^2 = x^2+8x+16\) 이지 \(x^2+16\) 이 아니다. (나) \((x+4)(x-4)\).)

양 끝만 보고 완전제곱으로 판정한다

\(x^2+10x+16\) 을 양 끝(\(x^2\) 과 \(16\))이 제곱이라는 이유로 \((x+4)^2\) 이라고 판정하는 오류가 발생한다. 그러나 완전제곱은 양 끝만으로 정해지지 않는다. 가운데가 반드시 \(2ab\) 여야 한다. \(a=x\), \(b=4\) 이면 \(2ab = 8x\) 인데 주어진 식의 가운데는 \(10x\) 이다. 일치하지 않으므로 완전제곱이 아니다. 판정은 항상 세 가지 질문으로 한다. ① 양 끝이 제곱인가? ② \(a\) 와 \(b\) 는 무엇인가? ③ \(2ab\) 가 가운데와 같은가? 그리고 답을 쓰면 곧바로 곱해 확인한다. 이 오류는 검산 한 줄로 확인된다. ‘되지 않는다’고 판정하는 것도 정답이다. \(x^2+10x+16\) 은 이 장의 도구로는 되지 않으며, 다음 장에서 처리한다.

확인 문제: 완전제곱인 것만 골라라. \(x^2+12x+36\), \(\ x^2+13x+36\), \(\ x^2-12x+36\). (답: 첫째와 셋째 — \((x+6)^2\), \((x-6)^2\). 가운데가 \(13x\) 인 것은 \(2ab = 12x\) 와 달라 아니다.)

연습문제#

계산기를 쓰지 않는다. 대신 규칙이 두 개다. 하나, 순서표 ①②③을 확인하고 시작한다. 둘, 답을 쓰면 곧바로 곱해서 검산한다. 검산하지 않은 문항은 완결되지 않은 것이다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A 공통인수로 인수분해하라. (1) \(7x+21\) (2) \(x^2-4x\) (3) \(10x^2+15x\)
A (가) \((x+8)(x-8)\) 을 전개하라. (나) 그 결과를 다시 인수분해하라.
A 인수분해하라. (1) \(x^2-49\) (2) \(x^2-100\) (3) \(25-x^2\)
A (가) \((x+7)^2\) 을 전개하라. (나) 그 결과를 다시 인수분해하라.
A 인수분해하라. (1) \(x^2+2x+1\) (2) \(x^2-12x+36\)
B 인수분해하라. (1) \(9x^2-1\) (2) \(16x^2-25\) (3) \(4x^2-20x+25\)
B 순서표 ①을 먼저 쓴다. (1) \(5x^2-45\) (2) \(2x^2+12x+18\) (3) \(x^3-x\)
B 두 걸음. (가) \(3x(x+4)\) 를 전개하고 그 결과를 다시 인수분해하라. (나) \((2x+5)(2x-5)\) 를 전개하고 그 결과를 다시 인수분해하라.
B 다음 네 개 중 인수분해되는 것을 모두 고르고, 각각 인수분해하라. 안 되는 것은 왜 안 되는지 한 줄로 쓰라.
\[x^2+9 \qquad x^2-9 \qquad x^2+6x+9 \qquad x^2-6x+9\]
B 한 변이 \(x\) 인 정사각형 합판에서, 한 변이 \(3\) 인 정사각형 구멍을 도려냈다. 남은 부분의 넓이를 식으로 쓰고 인수분해하라.
B 어떤 정사각형 화단의 넓이가 \(x^2+10x+25\) 다. 이 화단의 한 변의 길이와 둘레를 각각 \(x\) 로 나타내라.
C \(x^4-16\) 을 더 이상 쪼갤 수 없을 때까지 인수분해하라.
C (가) \(98 \times 102\) 를 계산기 없이 암산하라. (힌트: 두 수를 \(100\) 을 기준으로 다시 써본다.) (나) 방금 쓴 방법이 이 장에서 배운 어느 공식인지 쓰라.

정답과 해설

(1) \(7(x+3)\) (2) \(x(x-4)\) (3) \(5x(2x+3)\) — (3)에서 \(5\) 만 빼내거나 \(x\) 만 빼내면 인수분해가 완결되지 않는다. 수와 문자를 둘 다 확인한다.
(가) \(x^2-64\) (나) \((x+8)(x-8)\) — 출발점으로 돌아온다. 두 작업이 서로 역방향임을 확인하는 문항이다.
(1) \((x+7)(x-7)\) (2) \((x+10)(x-10)\) (3) \((5+x)(5-x)\) — (3)은 \(x\) 가 뒤에 있을 뿐 같은 모양이다. \(-(x^2-25) = -(x+5)(x-5)\) 라고 써도 맞다.
(가) \(x^2+14x+49\) (나) \((x+7)^2\)
(1) \((x+1)^2\) (2) \((x-6)^2\) — (2)에서 \((x+6)^2\) 이라 쓰면 가운데가 \(+12x\) 가 된다. 가운데 항의 부호가 괄호 안 부호다.
(1) \((3x+1)(3x-1)\) (2) \((4x+5)(4x-5)\) (3) \((2x-5)^2\) — (3) 확인: \(a=2x\), \(b=5\), \(2ab = 20x\) ✔
(1) \(5(x+3)(x-3)\) (2) \(2(x+3)^2\) (3) \(x(x+1)(x-1)\) — 셋 다 공통인수를 먼저 빼야 다음 단계가 드러난다. 빈번한 오류: (2)를 \(2(x^2+6x+9)\) 까지만 쓰고 멈춤. 괄호 안이 완전제곱이다. 순서표는 괄호 안에서 다시 적용된다.
(가) \(3x^2+12x \to 3x(x+4)\) (나) \(4x^2-25 \to (2x+5)(2x-5)\)
\(x^2-9 = (x+3)(x-3)\), \(x^2+6x+9 = (x+3)^2\), \(x^2-6x+9 = (x-3)^2\) — 세 개는 된다. \(x^2+9\) 는 안 된다. 이유: 항이 두 개이고 둘 다 제곱이지만 사이가 덧셈이다. \(a^2+b^2\) 은 인수분해 공식이 없다. 확인법: \((x+3)^2 = x^2+6x+9 \ne x^2+9\), \((x+3)(x-3) = x^2-9 \ne x^2+9\). 빈번한 오류: \(x^2+9 = (x+3)^2\). 제13장에서 경계한 \((a+b)^2 = a^2+b^2\) 과 같은 오류이다.
\(x^2-9 = (x+3)(x-3)\) — 큰 정사각형 넓이 \(x^2\) 에서 구멍 \(3^2=9\) 를 뺀다. 「두 제곱의 차」의 L자 넓이 모형이 바로 이 상황이다.
한 변 \(x+5\), 둘레 \(4x+20\) — 넓이가 \((x+5)^2\) 이므로 한 변은 \(x+5\) 이다. 둘레는 \(4(x+5) = 4x+20\) 이다. 빈번한 오류: 한 변을 \(x+25\) 나 \(x^2+5\) 로 씀. 넓이가 제곱꼴로 정리되면 괄호 안이 곧 한 변이다.
\(x^4-16 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x+2)(x-2)\) — 한 번 분해한 뒤 괄호 안을 다시 확인한다. \(x^2-4\) 는 다시 분해된다. \(x^2+4\) 는 더 분해되지 않는다(9번과 같은 이유). 검산: \((x^2+4)(x^2-4) = x^4-16\) ✔
(가) \(9996\) — \(98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 100^2 - 2^2 = 10000-4 = 9996\). (나) \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\) 를 거꾸로 쓴 것이다. 인수분해 공식은 암산 도구이기도 하다. \(97 \times 103\), \(95 \times 105\) 도 같은 방법으로 계산된다.

추가 연습문제#

추가 연습을 위한 문항이다. 모든 문항, 답을 쓴 뒤 곱해서 원래 식이 나오는지 확인한다. 검산 한 줄이 없는 문항은 완결되지 않은 것이다. \(1\)–\(3\), \(9\)–\(10\), \(17\)–\(18\) 번은 전개부터 시작하는 두 걸음 문항이다.

공통인수 묶기

(가) \(4(x+2)\) 를 전개하라. (나) 그 결과를 다시 인수분해하라.
(가) \(x(x+9)\) 를 전개하라. (나) 그 결과를 다시 인수분해하라.
(가) \(3x(x-2)\) 를 전개하라. (나) 그 결과를 다시 인수분해하라.
\(6x+15\)
\(x^2-8x\)
\(14x^2+21x\)
\(10a^2b - 15ab^2\)
\(9x^2y + 12xy^2\)

두 제곱의 차

(가) \((x+2)(x-2)\) 를 전개하라. (나) 그 결과를 다시 인수분해하라.
(가) \((x+10)(x-10)\) 을 전개하라. (나) 그 결과를 다시 인수분해하라.
\(x^2-36\)
\(x^2-81\)
\(64-x^2\)
\(4x^2-9\)
\(25x^2-49\)
\(9x^2-16y^2\)

완전제곱식

(가) \((x+1)^2\) 을 전개하라. (나) 그 결과를 다시 인수분해하라.
(가) \((x-6)^2\) 을 전개하라. (나) 그 결과를 다시 인수분해하라.
\(x^2+8x+16\)
\(x^2-14x+49\)
\(x^2+20x+100\)
\(9x^2+6x+1\)
\(4x^2-28x+49\)
\(x^2+10x+16\) — 완전제곱인지 판정하라. 아니면 왜 아닌지 한 줄로 쓰라.

혼합 · 두 번 쪼개기 · 서술

\(3x^2-12\)
\(2x^2+16x+32\)
\(x^3-25x\)
\(x^4-1\)
어떤 학생이 \(x^2+16\) 을 인수분해하라는 문제에 \((x+4)^2\) 이라고 답했다. 전개해서 왜 틀렸는지 보이고, \(x^2+16\) 에 대해 옳은 답이 무엇인지 쓰라.
인수분해한 답이 맞는지 혼자서 확인하는 방법을 한 문장으로 쓰고, 27번의 답으로 실제로 그 확인을 해 보여라.

정답과 해설

(가) \(4x+8\) (나) \(4(x+2)\)
(가) \(x^2+9x\) (나) \(x(x+9)\)
(가) \(3x^2-6x\) (나) \(3x(x-2)\)
\(3(2x+5)\) 5. \(x(x-8)\) 6. \(7x(2x+3)\) 7. \(5ab(2a-3b)\) 8. \(3xy(3x+4y)\)
(가) \(x^2-4\) (나) \((x+2)(x-2)\)
(가) \(x^2-100\) (나) \((x+10)(x-10)\)
\((x+6)(x-6)\) 12. \((x+9)(x-9)\) 13. \((8+x)(8-x)\) 14. \((2x+3)(2x-3)\) 15. \((5x+7)(5x-7)\) 16. \((3x+4y)(3x-4y)\)
(가) \(x^2+2x+1\) (나) \((x+1)^2\)
(가) \(x^2-12x+36\) (나) \((x-6)^2\)
\((x+4)^2\) 20. \((x-7)^2\) 21. \((x+10)^2\) 22. \((3x+1)^2\) 23. \((2x-7)^2\)
완전제곱이 아니다. \(a=x\), \(b=4\) 라면 \(2ab = 8x\) 여야 하는데 가운데가 \(10x\) 다. 빈번한 오류: 양 끝 \(x^2\) 과 \(16\) 만 보고 \((x+4)^2\) 이라고 씀. 되전개하면 \(x^2+8x+16\) 이 나와 즉시 확인된다. 이 식은 다음 장의 도구로 분해된다.
\(3(x+2)(x-2)\) — \(3\) 을 먼저 빼면 \(3(x^2-4)\) 이고, 괄호 안이 다시 분해된다.
\(2(x+4)^2\) — 빈번한 오류: \(2(x^2+8x+16)\) 까지만 쓰고 멈춤. 순서표는 괄호 안에서 다시 적용된다.
\(x(x+5)(x-5)\) — \(x\) 를 먼저 빼면 \(x(x^2-25)\) 이다.
\((x^2+1)(x+1)(x-1)\) — \(x^4-1 = (x^2+1)(x^2-1)\) 로 한 번, \(x^2-1\) 을 다시 분해하여 두 번이다. \(x^2+1\) 은 더 분해되지 않는다(「빈번한 오류」에서 다룬 \(x^2+9\) 와 같은 이유).
\((x+4)^2 = x^2+8x+16\) 이다. 원래 식 \(x^2+16\) 에는 \(8x\) 가 없으므로 다르다. 옳은 답: \(x^2+16\) 은 (실수 범위에서) 인수분해되지 않는다. ‘되지 않는다’가 정답인 문제다. 제13장에서 확인한 \((a+b)^2 \ne a^2+b^2\) 의 다른 표현이다.
예시 답안: “인수분해한 답을 다시 전개해서 원래 식과 같은지 본다.” 27번 확인: \(x(x+5)(x-5) = x(x^2-25) = x^3-25x\) ✔ 원래 식과 같으므로 맞다.

요약과 다음 장#

이 장의 질문은 하나였다. 이 식은 무엇을 곱한 결과인가. 되돌리는 도구는 셋이다. 공통인수 묶기, 두 제곱의 차 \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\), 완전제곱식 \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\) 이다. 그리고 순서표 ①②③으로 적용 순서를 정했다. 여기에 답을 쓰면 곧바로 곱해서 검산하는 절차가 더해진다. 이 절차가 인수분해를 스스로 채점할 수 있는 단원으로 만든다.

\[x^2 - 9 = (x+3)(x-3), \qquad x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\]

이 두 줄이 이 장의 핵심이다. 전개는 수행되는데 인수분해가 되지 않는 것은 두 작업의 방향이 다르기 때문이며, 전개와 인수분해를 짝으로 반복하는 훈련으로 해소된다.

이 장에서 ‘다음 장의 내용’으로 미뤄둔 식들이 있다. \(x^2+8x+15\), \(x^2+10x+16\) 처럼 완전제곱이 아닌 세 항짜리다. 제15장에서 그것들을 전부 처리한다. 방법은 다음 한 줄로 요약된다. 곱해서 뒤의 수, 더해서 가운데 수 — 두 수를 찾으면 된다.