제1장 · 사칙연산을 의미로 읽기#
이 장
원본 코드 |
R1-W01 |
선행 내용 |
없음 — 이 책의 첫 장이다 |
요지 |
사칙연산 네 개를 절차가 아니라 의미로 다시 읽는다. 특히 뺄셈은 차이, 나눗셈은 몇 묶음. |
도입#
다음 값이 \(1\) 보다 큰지 작은지를 계산 없이 판단한다.
이 물음에 대한 빈번한 오답은 “작다”이다. 나눗셈이 항상 값을 작게 만든다고 인식하기 때문이다. 이 인식은 틀린 것이 아니라 적용 범위가 좁은 것이다. \(1\) 보다 큰 수로 나눌 때는 언제나 성립하지만, \(1\) 보다 작은 수로 나누면 결과가 달라진다. 실제로 이 값은 \(2\) 이다.
수학을 오래 다루지 않다가 다시 시작할 때 막히는 지점은 대개 새로운 개념이 아니라, 오래전에 절차만 남고 의미가 흐려진 자리다. 뺄셈을 “빼앗기”로만, 나눗셈을 “쪼개기”로만 기억하면 익숙하지 않은 형태의 문제에서 적용이 되지 않는다. 절차의 기억은 시간이 지나면 사라지지만, 의미에 대한 이해는 상대적으로 오래 유지된다.
이 장에서는 사칙연산 네 개를 의미로 다시 읽는다. 뺄셈은 두 수 사이의 차이, 나눗셈은 몇 묶음이 나오는지 세는 일이다. 이 장의 내용은 이 두 문장으로 요약된다.
뺄셈은 “차이”다#
\(91 - 88\) 은 세로셈으로 계산하지 않아도 된다. 수직선 위에서 \(88\) 과 \(91\) 사이가 몇 칸인지 확인하면 된다.
\(91\) 에서 \(88\) 을 “빼앗는” 것이 아니라, \(88\) 에서 \(91\) 까지 몇 칸인가를 묻는 것이다. 따라서 세 칸, 곧 \(3\) 이다.
이 읽기는 큰 수가 서로 가까이 있을 때 특히 효율적이다.
\(1000 - 997\) 은 받아내림을 세 번 수행하는 대신 “\(997\) 에서 \(1000\) 까지 세 걸음”으로 읽으면 곧바로 답이 나온다. 계산의 문제가 아니라 읽기의 문제였던 것이다.
나눗셈은 “몇 묶음”이다#
점 \(12\) 개를 \(3\) 개씩 묶는다.
나눗셈은 이 문장으로 읽는다. 분수가 나와도, 소수가 나와도, 문자가 나와도 동일하다.
도입에서 제시한 물음으로 돌아간다. 피자 한 판을 반쪽 크기로 자르면 조각의 개수는 \(2\) 이다. 이는 단위 \(1\) 을 크기 \(\tfrac{1}{2}\) 인 조각으로 분할하는 것에 해당한다.
“\(1\) 판 안에 반쪽이 몇 개인가”로 읽으면 답은 두 개다. 나눗셈의 결과가 나뉘는 수보다 크다. 조각의 크기가 작을수록 조각의 개수는 늘어난다.
이것이 계산으로도 성립하는 이유, 그리고 분수 나눗셈에서 “뒤집어 곱하는” 이유는 제3장에서 밝힌다. 여기서는 다음 사실만 확인한다. 나누는 수가 \(1\) 보다 작으면 답은 커진다.
곱셈과 나눗셈은 같은 구조의 두 방향#
곱셈은 “같은 것이 몇 묶음”이다.
\(7\) 개짜리 \(8\) 묶음은 \(56\) 개다. 역으로 \(56\) 을 \(7\) 개씩 묶으면 \(8\) 묶음이 나온다. 곱셈과 나눗셈은 서로 다른 절차가 아니라 같은 묶음 구조를 어느 방향에서 읽는가의 차이다.
자릿값은 “10개 묶음”의 계층#
\(806 - 348\) 에서 오류가 발생하는 이유는 십의 자리가 \(0\) 이어서 받아내림할 대상이 없기 때문이다. 자릿값을 화폐 단위에 대응시키면 절차가 명확해진다.
\(1\) 원짜리를 \(8\) 개 지급해야 하는데 \(6\) 개뿐이고, 헐어 쓸 \(10\) 원짜리도 없다. 그래서 \(100\) 원짜리 한 장을 \(10\) 원짜리 \(10\) 장으로 먼저 교환한다. 이것이 받아내림, 곧 잔돈 교환이다. 미리 풀어써 두면 받아내림이라는 별도의 절차가 필요하지 않다.
이 교환 과정을 식으로 옮긴다. 한 줄에 한 단계씩 진행한다.
먼저 \(806\) 을 자리대로 풀어쓴다. 십의 자리는 비어 있다.
십의 자리에 헐 것이 없으므로 백의 자리에서 \(100\) 원짜리 한 장을 꺼낸다.
꺼낸 \(100\) 을 \(10\) 원짜리로 교환한다. \(100 = 90 + 10\) 이므로 \(90\) 은 십의 자리에 두고 \(10\) 만 일의 자리로 내린다.
마지막으로 일의 자리 두 항을 합친다. \(10 + 6 = 16\).
각 항을 돈 그림의 칸과 하나씩 대응시키면 다음과 같다.
자리 |
바꾸기 전 |
바꾼 뒤 |
값 |
|---|---|---|---|
\(100\) 원 |
\(8\) 장 |
\(7\) 장 |
\(700\) |
\(10\) 원 |
\(0\) 개 |
\(9\) 개 |
\(90\) |
\(1\) 원 |
\(6\) 개 |
\(16\) 개 |
\(16\) |
\(100\) 원짜리 한 장을 헐어 \(10\) 원짜리 \(10\) 개로 바꾸고, 그중 한 개를 다시 \(1\) 원짜리 \(10\) 개로 바꾼 것이다. 두 번 헐었으므로 가운데 자리에는 \(10\) 개 중 \(9\) 개가 남는다. 이로부터 다음이 성립한다. 헐어 쓴 가운데 자리에는 항상 \(9\) 가 남는다.
앞 절의 “차이”로 읽어도 같은 답이 나온다.
괄호 안의 수는 도착점이 아니라 한 걸음의 길이다. 풀어 읽으면 다음과 같다. \(348\) 에서 \(350\) 까지 \(2\) 걸음, \(350\) 에서 \(800\) 까지 \(450\) 걸음, \(800\) 에서 \(806\) 까지 \(6\) 걸음이며, 합은 \(458\) 걸음이다.
가운데 걸음이 가장 크므로 그것만 다시 분해한다. \(350\) 에 \(50\) 을 더하면 \(400\) 이고, \(400\) 에서 \(800\) 까지는 \(400\) 이다. 따라서 \(50 + 400 = 450\) 이다.
걸음 |
어디서 어디까지 |
길이 |
|---|---|---|
첫째 |
\(348 \to 350\) |
\(2\) |
둘째 |
\(350 \to 800\) |
\(450\) |
셋째 |
\(800 \to 806\) |
\(6\) |
합계 |
\(458\) |
중간 지점으로 \(350\) 과 \(800\) 을 택한 이유는 \(0\) 으로 끝나는 수의 계산이 간단하기 때문이다. 앞 절에서 “차이”로 읽은 \(1000 - 997\) 은 두 수가 가까워 한 걸음으로 끝나지만, \(348\) 과 \(806\) 처럼 거리가 멀면 중간 지점을 둔다. 중간 지점의 선택은 하나로 정해져 있지 않으며, 계산이 간단해지는 수를 택하면 된다.
두 방법은 같은 답을 준다. 한 문제에 대한 계산 방법은 여러 가지가 있으며, 어떤 방법을 택할지 판단하는 것도 계산 능력의 일부다.
암산은 수의 분해다#
암산은 계산 속도의 문제가 아니라, 수를 다루기 쉬운 형태로 바꾸는 방법의 문제다. 다음 세 가지로 대부분을 처리할 수 있다.
보정 — 가까운 계산하기 쉬운 수로 옮겼다가 되돌린다.
\(47\) 에 \(3\) 을 더하고 \(68\) 에서 \(3\) 을 빼면 합은 변하지 않는다. \(50 + 65\) 는 곧바로 계산된다.
분해 — 곱셈을 쪼갠다.
\(25\) 에 \(4\) 를 곱하면 \(100\) 이 된다. \(16\) 안에 \(4\) 가 두 번 들어 있으므로 두 번에 나누어 곱한다.
기준수 이용 — \(999\) 는 \(1000\) 에서 \(1\) 을 뺀 수다.
연산의 우선순위#
\(3 + 4 \times 2\) 를 왼쪽부터 차례로 계산하면 \(3 + 4 = 7\), \(7 \times 2 = 14\) 가 된다. 그러나 올바른 답은 \(11\) 이다. 그 근거는 규칙이 아니라 의미에 있다.
\(3 + 4 \times 2\) 를 물건의 개수로 읽으면 낱개 \(3\) 개에, \(4\) 개짜리 묶음이 두 개 있는 것이다. 묶음은 먼저 풀어야 셀 수 있다. \(4\) 개짜리 두 묶음이 \(8\) 개이고, 여기에 낱개 \(3\) 개를 더하면 \(11\) 개다.
따라서 곱셈이 덧셈보다 먼저다. 나눗셈도 곱셈과 같은 우선순위를 갖는다.
덧셈을 먼저 수행해야 할 때 사용하는 표시가 괄호다. 괄호는 “여기부터 먼저 계산하라”는 뜻이다. 같은 수라도 이 표시 하나로 답이 달라진다.
이 장에서는 여기까지만 다룬다. 연산 순서 규칙의 전체는 제7장에서 다룬다.
빈번한 오류#
“나눗셈은 항상 작아진다”
정수만 다루는 범위에서는 이 판단이 언제나 성립했다. \(1\) 보다 큰 수로만 나누었기 때문이다. 틀린 규칙이 아니라 적용 범위가 좁은 규칙이다. \(1\) 보다 작은 수로 나누면 답은 오히려 커진다. “\(1\) 안에 반쪽이 몇 개인가”로 읽으면 \(1 \div \tfrac{1}{2} = 2\) 가 성립함을 확인할 수 있다.
확인 문제: \(6 \div \tfrac{1}{2}\) 은 \(6\) 보다 큰가, 작은가? (답: 크다. \(12\).)
뺄셈을 “빼앗기”로만 읽는다
\(1000 - 997\) 을 받아내림 세 번으로 처리하다 오류가 나는 것은, 뺄셈의 두 번째 의미인 **차이(거리)**를 학습한 적이 없기 때문이다. 두 수가 가까이 있으면 거리로 읽는 편이 훨씬 빠르다.
확인 문제: \(1000 - 994\) 를 세로셈 없이. (답: \(6\).)
\(0\) 이 포함된 받아내림에서의 오류
\(806 - 348\) 을 각 자리에서 큰 수 빼기 작은 수로 처리하면 (\(8{-}3,\ 4{-}0,\ 8{-}6\)) \(542\) 라는 틀린 답이 나온다. 자릿값을 “칸”이 아니라 “\(10\) 개 묶음의 계층”으로 읽어야 한다. \(806 = 700 + 90 + 16\) 으로 미리 풀어쓰면 이 오류가 발생하지 않는다.
확인 문제: \(500 - 236\). (답: \(264\).)
연습문제#
계산기를 사용하지 않는다. A 기본 · B 표준 · C 도전.
A암산으로 하고, 어떻게 쪼갰는지 옆에 한 줄로 적어라. (1) \(47 + 68\) (2) \(93 - 27\) (3) \(8 \times 7\)A계산하라. (1) \(806 - 348\) (2) \(25 \times 16\)A\(132 \div 11\) 을 계산하고, “몇 번 들어가나” 문장으로 읽어서 옆에 적어라.B계산 순서에 주의하라. (1) \(3 + 4 \times 2\) (2) \((3 + 4) \times 2\)B\(1 \div \dfrac{1}{4}\) 를 계산하고, 답이 \(1\) 보다 큰 이유를 한 문장으로 쓰라.B\(12{,}000\) 원짜리 점심을 \(4\) 명이 똑같이 나눠 내면 한 사람당 얼마인가? \(3\) 명이면 얼마인가? 두 답을 비교해 알게 된 것을 한 줄로 쓰라.B사과 \(45\) 개를 한 상자에 \(6\) 개씩 담는다. 가득 찬 상자는 몇 개이고 몇 개가 남는가? 하나도 남기지 않으려면 상자가 몇 개 필요한가?C\(999 \times 7\) 을 세로셈 없이 구하라. 어떻게 쪼갰는지 쓰라.C\(2 \div \dfrac{1}{2}\) 와 \(2 \times \dfrac{1}{2}\) 중 어느 쪽이 클까? 계산하기 전에 예측을 쓰고, 그다음 둘 다 계산하라.
정답과 해설
(1) \(115\) — 예: \(50 + 65\) (2) \(66\) — 예: \(93 - 30 + 3\) (3) \(56\)
(1) \(458\) — \(806 = 700 + 90 + 16\) 으로 풀어쓰면 받아내림이 필요 없다 (2) \(400\) — \(25 \times 4 \times 4\)
\(12\) — “\(132\) 안에 \(11\) 이 \(12\) 번 들어간다.”
(1) \(11\) (2) \(14\) — 곱셈이 덧셈보다 먼저다. 왼쪽부터 계산해 \(14\) 로 쓰면 (1)이 틀린다. 이 규칙은 제7장에서 제대로 다룬다.
\(4\). 예: “\(1\) 안에 \(\tfrac{1}{4}\) 짜리가 네 개 들어가므로.” 핵심은 개수를 센다는 말이 들어가는 것이다.
\(4\) 명이면 \(3{,}000\) 원, \(3\) 명이면 \(4{,}000\) 원. 알 수 있는 것: 나누는 수가 작아지면 몫은 커진다. 도입에서 확인한 사실과 같다.
가득 찬 상자 \(7\) 개, \(3\) 개 남는다. 하나도 남기지 않으려면 \(8\) 개. \(45 \div 6 = 7.5\) 로 답하면 안 된다. 상자의 개수는 정수이므로 나머지를 별도로 처리해야 한다.
\(6993\) — \(1000 \times 7 - 7 = 7000 - 7\).
예측: 나눗셈 쪽이 크다. 계산: \(2 \div \tfrac{1}{2} = 4\), \(2 \times \tfrac{1}{2} = 1\). \(\tfrac{1}{2}\) 을 곱하는 것은 값을 반으로 줄이는 연산이고, \(\tfrac{1}{2}\) 로 나누는 것은 반쪽이 몇 개인지 세는 연산이다. 두 연산은 서로 다르다.
추가 연습문제#
\(58 + 76\) 2. \(124 + 89\) 3. \(500 - 237\) 4. \(703 - 468\) 5. \(12 \times 15\) 6. \(24 \times 25\) 7. \(7 \times 8 \times 2\) 8. \(96 \div 8\) 9. \(144 \div 12\) 10. \(210 \div 7\)
\(6 + 3 \times 4\) 12. \((6 + 3) \times 4\) 13. \(20 - 12 \div 4\) 14. \(1 \div \dfrac{1}{3}\)
한 상자에 계란이 \(12\) 개 있다. \(5\) 상자면 모두 몇 개인가?
사탕 \(84\) 개를 \(7\) 명에게 똑같이 나눠 주면 한 사람이 몇 개를 받는가?
\(3{,}500\) 원짜리 커피를 \(4\) 잔 사고 \(20{,}000\) 원을 냈다. 거스름돈은 얼마인가?
\(56 \div 8\) 을 계산하고, “몇 번 들어가나” 문장으로 읽어 쓰라.
정답과 해설
\(134\) 2. \(213\) 3. \(263\) 4. \(235\) 5. \(180\) 6. \(600\) 7. \(112\) 8. \(12\) 9. \(12\) 10. \(30\)
\(18\) 12. \(36\) 13. \(17\) 14. \(3\)
11번과 12번을 비교한다. 같은 수로 이루어져 있으나 괄호 하나로 답이 두 배 가까이 달라진다. 곱셈·나눗셈이 덧셈·뺄셈보다 먼저다.
\(60\) 개 — \(12 \times 5\)
\(12\) 개 — \(84 \div 7\)
\(6{,}000\) 원 — \(3{,}500 \times 4 = 14{,}000\), \(20{,}000 - 14{,}000 = 6{,}000\). \(20{,}000 - 3{,}500\) 을 먼저 계산하면 틀린 답이 된다. 무엇을 먼저 계산하는가가 곧 연산 순서다.
\(7\) — “\(56\) 안에 \(8\) 이 \(7\) 번 들어간다.”
요약과 다음 장#
이 장의 핵심은 두 문장이다. 뺄셈은 차이, 나눗셈은 몇 묶음. 여기에 자릿값이 \(10\) 개 묶음의 계층이라는 것, 암산이 재능이 아니라 수의 분해라는 것을 더했다.
특히 \(1 \div \tfrac{1}{2} = 2\) 에서 확인한 사실 — 작은 수로 나누면 값이 커진다 — 은 이후 장들에서 반복적으로 사용된다. 제2장에서 분수를 “전체를 똑같이 나눈 조각 몇 개”로 다시 읽고, 크기가 다른 조각을 어떻게 더하는지(통분)를 다룬다.