# 제1장 · 사칙연산을 의미로 읽기 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R1-W01 | | **선행 내용** | 없음 — 이 책의 첫 장이다 | | **요지** | 사칙연산 네 개를 절차가 아니라 **의미**로 다시 읽는다. 특히 뺄셈은 *차이*, 나눗셈은 *몇 묶음*. | ::: ## 도입 다음 값이 $1$ 보다 큰지 작은지를 계산 없이 판단한다. $$1 \div \frac{1}{2} = \ ?$$ 이 물음에 대한 빈번한 오답은 "작다"이다. 나눗셈이 항상 값을 작게 만든다고 인식하기 때문이다. 이 인식은 틀린 것이 아니라 적용 범위가 좁은 것이다. $1$ 보다 큰 수로 나눌 때는 언제나 성립하지만, $1$ 보다 작은 수로 나누면 결과가 달라진다. 실제로 이 값은 $2$ 이다. 수학을 오래 다루지 않다가 다시 시작할 때 막히는 지점은 대개 새로운 개념이 아니라, 오래전에 **절차만 남고 의미가 흐려진** 자리다. 뺄셈을 "빼앗기"로만, 나눗셈을 "쪼개기"로만 기억하면 익숙하지 않은 형태의 문제에서 적용이 되지 않는다. 절차의 기억은 시간이 지나면 사라지지만, 의미에 대한 이해는 상대적으로 오래 유지된다. 이 장에서는 사칙연산 네 개를 의미로 다시 읽는다. **뺄셈은 두 수 사이의 차이, 나눗셈은 몇 묶음이 나오는지 세는 일이다.** 이 장의 내용은 이 두 문장으로 요약된다. ## 뺄셈은 "차이"다 $91 - 88$ 은 세로셈으로 계산하지 않아도 된다. 수직선 위에서 $88$ 과 $91$ 사이가 몇 칸인지 확인하면 된다. ```{image} /_static/figs/ch01_diff_numline.svg :alt: 수직선에서 88과 91 사이 거리 3 :width: 520px :align: center :class: chfig ``` $$91 - 88 = 3$$ $91$ 에서 $88$ 을 "빼앗는" 것이 아니라, **$88$ 에서 $91$ 까지 몇 칸인가**를 묻는 것이다. 따라서 세 칸, 곧 $3$ 이다. 이 읽기는 큰 수가 서로 가까이 있을 때 특히 효율적이다. $$1000 - 997 = 3, \qquad 102 - 98 = 4$$ $1000 - 997$ 은 받아내림을 세 번 수행하는 대신 "$997$ 에서 $1000$ 까지 세 걸음"으로 읽으면 곧바로 답이 나온다. 계산의 문제가 아니라 읽기의 문제였던 것이다. ## 나눗셈은 "몇 묶음"이다 점 $12$ 개를 $3$ 개씩 묶는다. ```{image} /_static/figs/ch01_dots.svg :alt: 점 12개를 3개씩 묶으면 4묶음 :width: 430px :align: center :class: chfig ``` $$12 \div 3 = 4 \qquad \text{“12 안에 3이 4번 들어간다”}$$ 나눗셈은 이 문장으로 읽는다. 분수가 나와도, 소수가 나와도, 문자가 나와도 동일하다. $$A \div B \ = \ \text{“}A \text{ 안에 } B \text{가 몇 번 들어가나”}$$ 도입에서 제시한 물음으로 돌아간다. 피자 한 판을 반쪽 크기로 자르면 조각의 개수는 $2$ 이다. 이는 단위 $1$ 을 크기 $\tfrac{1}{2}$ 인 조각으로 분할하는 것에 해당한다. ```{image} /_static/figs/ch01_pizza.svg :alt: 피자 한 판을 반으로 자르면 반쪽 2개 :width: 440px :align: center :class: chfig ``` $$1 \div \frac{1}{2} = 2$$ "$1$ 판 안에 반쪽이 몇 개인가"로 읽으면 답은 두 개다. **나눗셈의 결과가 나뉘는 수보다 크다.** 조각의 크기가 작을수록 조각의 *개수*는 늘어난다. $$1 \div \frac{1}{4} = 4, \qquad 6 \div \frac{1}{2} = 12$$ 이것이 계산으로도 성립하는 이유, 그리고 분수 나눗셈에서 "뒤집어 곱하는" 이유는 [제3장](ch03.md)에서 밝힌다. 여기서는 다음 사실만 확인한다. **나누는 수가 $1$ 보다 작으면 답은 커진다.** ## 곱셈과 나눗셈은 같은 구조의 두 방향 곱셈은 "같은 것이 몇 묶음"이다. $$7 \times 8 = \text{“7개짜리가 8묶음”} = 56$$ $7$ 개짜리 $8$ 묶음은 $56$ 개다. 역으로 $56$ 을 $7$ 개씩 묶으면 $8$ 묶음이 나온다. 곱셈과 나눗셈은 서로 다른 절차가 아니라 **같은 묶음 구조를 어느 방향에서 읽는가**의 차이다. ## 자릿값은 "10개 묶음"의 계층 $806 - 348$ 에서 오류가 발생하는 이유는 십의 자리가 $0$ 이어서 받아내림할 대상이 없기 때문이다. 자릿값을 화폐 단위에 대응시키면 절차가 명확해진다. ```{image} /_static/figs/ch01_money.svg :alt: 806과 348을 100·10·1원 단위로 나눈 표 :width: 430px :align: center :class: chfig ``` $1$ 원짜리를 $8$ 개 지급해야 하는데 $6$ 개뿐이고, 헐어 쓸 $10$ 원짜리도 없다. 그래서 $100$ 원짜리 한 장을 $10$ 원짜리 $10$ 장으로 먼저 교환한다. 이것이 받아내림, 곧 **잔돈 교환**이다. 미리 풀어써 두면 받아내림이라는 별도의 절차가 필요하지 않다. 이 교환 과정을 식으로 옮긴다. 한 줄에 한 단계씩 진행한다. 먼저 $806$ 을 자리대로 풀어쓴다. 십의 자리는 비어 있다. $$806 = 800 + 0 + 6$$ 십의 자리에 헐 것이 없으므로 백의 자리에서 $100$ 원짜리 한 장을 꺼낸다. $$806 = 700 + 100 + 6$$ 꺼낸 $100$ 을 $10$ 원짜리로 교환한다. $100 = 90 + 10$ 이므로 $90$ 은 십의 자리에 두고 $10$ 만 일의 자리로 내린다. $$806 = 700 + 90 + 10 + 6$$ 마지막으로 일의 자리 두 항을 합친다. $10 + 6 = 16$. $$806 = 700 + 90 + 16$$ 각 항을 돈 그림의 칸과 하나씩 대응시키면 다음과 같다. | 자리 | 바꾸기 전 | 바꾼 뒤 | 값 | |---|---|---|---| | $100$ 원 | $8$ 장 | $7$ 장 | $700$ | | $10$ 원 | $0$ 개 | $9$ 개 | $90$ | | $1$ 원 | $6$ 개 | $16$ 개 | $16$ | $100$ 원짜리 한 장을 헐어 $10$ 원짜리 $10$ 개로 바꾸고, 그중 한 개를 다시 $1$ 원짜리 $10$ 개로 바꾼 것이다. 두 번 헐었으므로 가운데 자리에는 $10$ 개 중 $9$ 개가 남는다. 이로부터 다음이 성립한다. **헐어 쓴 가운데 자리에는 항상 $9$ 가 남는다.** $$500 = 400 + 90 + 10, \qquad 703 = 600 + 90 + 13$$ $$806 = 700 + 90 + 16$$ $$806 - 348 = (700-300) + (90-40) + (16-8) = 400 + 50 + 8 = 458$$ 앞 절의 "차이"로 읽어도 같은 답이 나온다. $$348 \to 350\ (2) \to 800\ (450) \to 806\ (6), \qquad 2 + 450 + 6 = 458$$ 괄호 안의 수는 도착점이 아니라 **한 걸음의 길이**다. 풀어 읽으면 다음과 같다. $348$ 에서 $350$ 까지 $2$ 걸음, $350$ 에서 $800$ 까지 $450$ 걸음, $800$ 에서 $806$ 까지 $6$ 걸음이며, 합은 $458$ 걸음이다. 가운데 걸음이 가장 크므로 그것만 다시 분해한다. $350$ 에 $50$ 을 더하면 $400$ 이고, $400$ 에서 $800$ 까지는 $400$ 이다. 따라서 $50 + 400 = 450$ 이다. | 걸음 | 어디서 어디까지 | 길이 | |---|---|---| | 첫째 | $348 \to 350$ | $2$ | | 둘째 | $350 \to 800$ | $450$ | | 셋째 | $800 \to 806$ | $6$ | | | 합계 | $458$ | 중간 지점으로 $350$ 과 $800$ 을 택한 이유는 $0$ 으로 끝나는 수의 계산이 간단하기 때문이다. 앞 절에서 "차이"로 읽은 $1000 - 997$ 은 두 수가 가까워 한 걸음으로 끝나지만, $348$ 과 $806$ 처럼 거리가 멀면 중간 지점을 둔다. 중간 지점의 선택은 하나로 정해져 있지 않으며, 계산이 간단해지는 수를 택하면 된다. 두 방법은 같은 답을 준다. 한 문제에 대한 계산 방법은 여러 가지가 있으며, **어떤 방법을 택할지 판단하는 것도 계산 능력의 일부다.** ## 암산은 수의 분해다 암산은 계산 속도의 문제가 아니라, 수를 다루기 쉬운 형태로 바꾸는 방법의 문제다. 다음 세 가지로 대부분을 처리할 수 있다. **보정 — 가까운 계산하기 쉬운 수로 옮겼다가 되돌린다.** $$47 + 68 = 50 + 65 = 115, \qquad 98 + 57 = 100 + 55 = 155$$ $47$ 에 $3$ 을 더하고 $68$ 에서 $3$ 을 빼면 합은 변하지 않는다. $50 + 65$ 는 곧바로 계산된다. **분해 — 곱셈을 쪼갠다.** $$25 \times 16 = 25 \times 4 \times 4 = 100 \times 4 = 400$$ $25$ 에 $4$ 를 곱하면 $100$ 이 된다. $16$ 안에 $4$ 가 두 번 들어 있으므로 두 번에 나누어 곱한다. **기준수 이용 — $999$ 는 $1000$ 에서 $1$ 을 뺀 수다.** $$999 \times 7 = 1000 \times 7 - 7 = 7000 - 7 = 6993$$ ## 연산의 우선순위 $3 + 4 \times 2$ 를 왼쪽부터 차례로 계산하면 $3 + 4 = 7$, $7 \times 2 = 14$ 가 된다. 그러나 올바른 답은 $11$ 이다. 그 근거는 규칙이 아니라 의미에 있다. $3 + 4 \times 2$ 를 물건의 개수로 읽으면 **낱개 $3$ 개에, $4$ 개짜리 묶음이 두 개 있는 것**이다. 묶음은 먼저 풀어야 셀 수 있다. $4$ 개짜리 두 묶음이 $8$ 개이고, 여기에 낱개 $3$ 개를 더하면 $11$ 개다. $$3 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11$$ 따라서 곱셈이 덧셈보다 먼저다. 나눗셈도 곱셈과 같은 우선순위를 갖는다. 덧셈을 먼저 수행해야 할 때 사용하는 표시가 **괄호**다. 괄호는 "여기부터 먼저 계산하라"는 뜻이다. 같은 수라도 이 표시 하나로 답이 달라진다. $$(3 + 4) \times 2 = 7 \times 2 = 14$$ 이 장에서는 여기까지만 다룬다. 연산 순서 규칙의 전체는 [제7장](ch07.md)에서 다룬다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} "나눗셈은 항상 작아진다" :class: warning 정수만 다루는 범위에서는 이 판단이 **언제나 성립했다.** $1$ 보다 큰 수로만 나누었기 때문이다. 틀린 규칙이 아니라 적용 범위가 좁은 규칙이다. $1$ 보다 작은 수로 나누면 답은 오히려 커진다. "$1$ 안에 반쪽이 몇 개인가"로 읽으면 $1 \div \tfrac{1}{2} = 2$ 가 성립함을 확인할 수 있다. *확인 문제*: $6 \div \tfrac{1}{2}$ 은 $6$ 보다 큰가, 작은가? (답: 크다. $12$.) ::: :::{admonition} 뺄셈을 "빼앗기"로만 읽는다 :class: warning $1000 - 997$ 을 받아내림 세 번으로 처리하다 오류가 나는 것은, 뺄셈의 두 번째 의미인 **차이(거리)**를 학습한 적이 없기 때문이다. 두 수가 가까이 있으면 거리로 읽는 편이 훨씬 빠르다. *확인 문제*: $1000 - 994$ 를 세로셈 없이. (답: $6$.) ::: :::{admonition} $0$ 이 포함된 받아내림에서의 오류 :class: warning $806 - 348$ 을 각 자리에서 큰 수 빼기 작은 수로 처리하면 ($8{-}3,\ 4{-}0,\ 8{-}6$) $542$ 라는 틀린 답이 나온다. 자릿값을 "칸"이 아니라 "$10$ 개 묶음의 계층"으로 읽어야 한다. $806 = 700 + 90 + 16$ 으로 미리 풀어쓰면 이 오류가 발생하지 않는다. *확인 문제*: $500 - 236$. (답: $264$.) ::: ## 연습문제 계산기를 사용하지 않는다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 암산으로 하고, 어떻게 쪼갰는지 옆에 한 줄로 적어라. (1) $47 + 68$ (2) $93 - 27$ (3) $8 \times 7$ 2. `A` 계산하라. (1) $806 - 348$ (2) $25 \times 16$ 3. `A` $132 \div 11$ 을 계산하고, "몇 번 들어가나" 문장으로 읽어서 옆에 적어라. 4. `B` 계산 순서에 주의하라. (1) $3 + 4 \times 2$ (2) $(3 + 4) \times 2$ 5. `B` $1 \div \dfrac{1}{4}$ 를 계산하고, 답이 $1$ 보다 큰 이유를 한 문장으로 쓰라. 6. `B` $12{,}000$ 원짜리 점심을 $4$ 명이 똑같이 나눠 내면 한 사람당 얼마인가? $3$ 명이면 얼마인가? 두 답을 비교해 알게 된 것을 한 줄로 쓰라. 7. `B` 사과 $45$ 개를 한 상자에 $6$ 개씩 담는다. 가득 찬 상자는 몇 개이고 몇 개가 남는가? 하나도 남기지 않으려면 상자가 몇 개 필요한가? 8. `C` $999 \times 7$ 을 세로셈 없이 구하라. 어떻게 쪼갰는지 쓰라. 9. `C` $2 \div \dfrac{1}{2}$ 와 $2 \times \dfrac{1}{2}$ 중 어느 쪽이 클까? **계산하기 전에** 예측을 쓰고, 그다음 둘 다 계산하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $115$ — 예: $50 + 65$ (2) $66$ — 예: $93 - 30 + 3$ (3) $56$ 2. (1) $458$ — $806 = 700 + 90 + 16$ 으로 풀어쓰면 받아내림이 필요 없다 (2) $400$ — $25 \times 4 \times 4$ 3. $12$ — "$132$ 안에 $11$ 이 $12$ 번 들어간다." 4. (1) $11$ (2) $14$ — 곱셈이 덧셈보다 먼저다. 왼쪽부터 계산해 $14$ 로 쓰면 (1)이 틀린다. 이 규칙은 [제7장](ch07.md)에서 제대로 다룬다. 5. $4$. 예: "$1$ 안에 $\tfrac{1}{4}$ 짜리가 네 개 들어가므로." 핵심은 **개수를 센다**는 말이 들어가는 것이다. 6. $4$ 명이면 $3{,}000$ 원, $3$ 명이면 $4{,}000$ 원. 알 수 있는 것: **나누는 수가 작아지면 몫은 커진다.** 도입에서 확인한 사실과 같다. 7. 가득 찬 상자 $7$ 개, $3$ 개 남는다. 하나도 남기지 않으려면 $8$ 개. $45 \div 6 = 7.5$ 로 답하면 안 된다. 상자의 개수는 정수이므로 나머지를 별도로 처리해야 한다. 8. $6993$ — $1000 \times 7 - 7 = 7000 - 7$. 9. 예측: 나눗셈 쪽이 크다. 계산: $2 \div \tfrac{1}{2} = 4$, $2 \times \tfrac{1}{2} = 1$. $\tfrac{1}{2}$ 을 곱하는 것은 값을 반으로 줄이는 연산이고, $\tfrac{1}{2}$ 로 나누는 것은 반쪽이 몇 개인지 세는 연산이다. 두 연산은 서로 다르다. ::: ### 추가 연습문제 1. $58 + 76$ 2. $124 + 89$ 3. $500 - 237$ 4. $703 - 468$ 5. $12 \times 15$ 6. $24 \times 25$ 7. $7 \times 8 \times 2$ 8. $96 \div 8$ 9. $144 \div 12$ 10. $210 \div 7$ 11. $6 + 3 \times 4$ 12. $(6 + 3) \times 4$ 13. $20 - 12 \div 4$ 14. $1 \div \dfrac{1}{3}$ 15. 한 상자에 계란이 $12$ 개 있다. $5$ 상자면 모두 몇 개인가? 16. 사탕 $84$ 개를 $7$ 명에게 똑같이 나눠 주면 한 사람이 몇 개를 받는가? 17. $3{,}500$ 원짜리 커피를 $4$ 잔 사고 $20{,}000$ 원을 냈다. 거스름돈은 얼마인가? 18. $56 \div 8$ 을 계산하고, "몇 번 들어가나" 문장으로 읽어 쓰라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $134$ 2. $213$ 3. $263$ 4. $235$ 5. $180$ 6. $600$ 7. $112$ 8. $12$ 9. $12$ 10. $30$ 11. $18$ 12. $36$ 13. $17$ 14. $3$ 11번과 12번을 비교한다. 같은 수로 이루어져 있으나 괄호 하나로 답이 두 배 가까이 달라진다. 곱셈·나눗셈이 덧셈·뺄셈보다 먼저다. 15. $60$ 개 — $12 \times 5$ 16. $12$ 개 — $84 \div 7$ 17. $6{,}000$ 원 — $3{,}500 \times 4 = 14{,}000$, $20{,}000 - 14{,}000 = 6{,}000$. $20{,}000 - 3{,}500$ 을 먼저 계산하면 틀린 답이 된다. 무엇을 먼저 계산하는가가 곧 연산 순서다. 18. $7$ — "$56$ 안에 $8$ 이 $7$ 번 들어간다." ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 두 문장이다. **뺄셈은 차이, 나눗셈은 몇 묶음.** 여기에 자릿값이 $10$ 개 묶음의 계층이라는 것, 암산이 재능이 아니라 수의 분해라는 것을 더했다. 특히 $1 \div \tfrac{1}{2} = 2$ 에서 확인한 사실 — 작은 수로 나누면 값이 커진다 — 은 이후 장들에서 반복적으로 사용된다. [제2장](ch02.md)에서 분수를 "전체를 똑같이 나눈 조각 몇 개"로 다시 읽고, 크기가 다른 조각을 어떻게 더하는지(통분)를 다룬다.