제19장 · 분수식·유리식

제19장 · 분수식·유리식#

이 장

원본 코드

R2-W11

선행 내용

제18장 — 연립방정식

요지

제1부의 분수를, 이제 문자로. 곱으로 만들기 전에는 아무것도 지울 수 없다.

도입#

제1부에서 분수를 약분했다. \(\dfrac{6}{9}\) 를 \(\dfrac{2}{3}\) 로 줄였다. 같은 방식으로 \(\dfrac{6x}{9x}\) 를 계산하면 값은 \(\dfrac{2}{3}\) 이다. \(x\) 가 분자와 분모에 함께 붙어 있으므로 함께 약분된다.

이 장에서 새로 도입하는 규칙은 없다. 통분, 약분, 뒤집어 곱하기는 제1부에서 이미 다루었다. 이 장에서는 그 규칙 위에 문자가 하나 얹힌다. 문자가 붙어도 계산 규칙은 동일하다. 제1부의 분수를, 이제 문자로. 이것이 이 장의 요지다.

다만 다음 식은 앞의 예와 성격이 다르다.

\[\frac{x^2+x}{x} = \ ?\]

분자와 분모에 \(x\) 가 보인다. 분자에 \(x\) 가 하나, 분모에 \(x\) 가 하나 있으므로 짝지어 소거하면 \(x^2\) 이 남는다고 답하는 경우가 빈번하다. 이 장은 이 한 줄을 다룬다. 답은 뒤에서 확정하며, 수 하나를 대입하면 판정된다.

약분은 “인수”를 지우는 일이다#

문자를 쓰기 전에 수로 먼저 확인한다. 문자로 따지면 판단이 흐려질 여지가 남지만, 수로 따지면 결과가 즉시 확정된다. 다음 두 식을 나란히 놓는다.

\[\frac{2 \times 4}{2} \qquad\qquad \frac{2+4}{2}\]

계산기는 필요 없다. 둘 다 계산하면

\[\frac{2 \times 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 \qquad\qquad \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

이제 왼쪽에서 \(2\) 를 지운다.

\[\frac{\cancel{2} \times 4}{\cancel{2}} = 4 \quad \checkmark\]

답이 \(4\) 로 유지된다. 소거가 성립한다. 오른쪽에서도 똑같이 \(2\) 를 지운다.

\[\frac{\cancel{2}+4}{\cancel{2}} = 4 \quad \text{✘ 그런데 답은 } 3 \text{ 이었다}\]

지운 결과는 \(4\) 이고 실제 값은 \(3\) 이다. 등식이 성립하지 않는다. 초등 산수 수준의 계산으로 반례가 나온다. 왼쪽에서는 성립하고 오른쪽에서는 성립하지 않는 이유를 확인한다.

인수는 지울 수 있고 항은 지울 수 없다

곱하기로 이어져 있는 덩어리를 인수라 하고, 더하기로 이어져 있는 덩어리를 항이라 한다. 약분은 인수를 지우는 조작이다. 항은 지울 수 없다. 이것이 이 장의 핵심이다.

\[\textbf{곱으로 만들기 전에는 아무것도 지울 수 없다.}\]

인수를 지울 수 있는 이유는 다음과 같다. 실제로는 지운 것이 아니다.

\[\frac{2 \times 4}{2} = \frac{2}{2} \times 4 = 1 \times 4 = 4\]

\(\dfrac{2}{2}\) 를 분리해 \(1\) 로 만든 것이다. 약분은 \(1\) 을 곱하는 조작이고, \(1\) 을 곱하면 값이 변하지 않는다. 그래서 성립한다. 합에서는 \(\dfrac{2}{2}\) 를 분리할 수 없다. \(2+4\) 에서 \(2\) 만 따로 뽑아낼 방법이 없기 때문이다.

수에서 문자로#

문자가 붙어도 달라지는 것은 없다. 분자와 분모가 전부 곱이면 공통인수를 지운다.

\[\frac{6x}{9x} = \frac{3 \times 2 \times x}{3 \times 3 \times x} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{3x^2}{6x} = \frac{3 \cdot x \cdot x}{2 \cdot 3 \cdot x} = \frac{x}{2}\]

전부 곱이므로 분자와 분모의 공통인수 \(3\), \(x\) 를 지운 것이다. 도입에서 확인한 \(\dfrac{6x}{9x}=\dfrac{2}{3}\) 과 같다.

합이 보이면 곱으로 바꾼다 — 인수분해가 먼저#

도입에서 미뤄 둔 식으로 돌아간다.

\[\frac{x^2+x}{x}\]

분자가 \(x^2+x\) 다. 가운데가 더하기이므로 항이다. 지울 수 없다. 이 경우에는 곱으로 바꾼다. 합을 곱으로 바꾸는 절차는 앞에서 이미 다루었다. 이름은 인수분해다.

\[\frac{x^2+x}{x} = \frac{x(x+1)}{x} = x+1\]

\(x\) 를 묶어냈다. 분자가 \(x\) 와 \((x+1)\) 의 곱이므로 \(x\) 를 지울 수 있다. 답은 \(x+1\) 이며 \(x^2\) 이 아니다. 수를 대입하면 확정된다. \(x=2\) 를 대입한다.

\[x=2: \quad \frac{2^2+2}{2} = \frac{6}{2} = 3, \qquad x+1 = 3 \ \checkmark, \qquad x^2 = 4 \ \text{✘}\]

약분한 결과 \(x+1\) 은 원식과 일치하고, 짝지어 지운 \(x^2\) 은 일치하지 않는다. 도입에서 제기한 물음이 여기서 확정된다.

같은 절차를 한 번 더 적용한다.

\[\frac{x^2-9}{x+3}\]

이 식에서 \(9\) 와 \(3\) 을 지우는 오류가 자주 나타난다. 그러나 \(9\) 도 항이고 \(3\) 도 항이다. 둘 다 더하기·빼기로 붙어 있으므로 지울 수 없다. 곱으로 바꾼다. \(x^2-9\) 는 합차 공식으로 \((x+3)(x-3)\) 이 된다.

\[\frac{x^2-9}{x+3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x-3\]

분자와 분모에 \((x+3)\) 이라는 덩어리 하나가 통째로 공통이다. 이것은 인수이므로 지운다. 답은 \(x-3\) 이다. 확인은 수로 한다. 단, \(x=0\) 이나 \(x=1\) 은 우연히 값이 일치할 수 있으므로 다른 수를 사용한다.

\[x=2: \quad \frac{4-9}{5} = -1, \quad x-3 = -1 \ \checkmark \qquad\qquad x=5: \quad \frac{25-9}{8} = 2, \quad x-3 = 2 \ \checkmark\]

여기서 절차 하나를 확정한다. 유리식을 보면 ① 분자와 분모가 곱인지 먼저 확인 → ② 곱이 아니면 인수분해 → ③ 그다음에 지운다. 예를 들어 \(\dfrac{3x+6}{3}\) 은 분자와 분모에 \(3\) 이 보이지만, 분자의 \(3\) 만 지워 \(x+6\) 으로 쓰면 틀린다. \(3x+6\) 은 합이다. 먼저 \(3(x+2)\) 로 묶어야 \(3\) 이 인수가 되고, 그때 지워서 \(x+2\) 이다.

한 가지 더 확인한다. \(\dfrac{2x+4}{x+2} = \dfrac{2(x+2)}{x+2} = 2\) 처럼 답에 문자가 하나도 남지 않는 경우가 있다. 이 결과는 옳다. \(x\) 에 어떤 수를 대입해도(\(x=1\) 이면 \(\tfrac{6}{3}=2\), \(x=10\) 이면 \(\tfrac{24}{12}=2\)) 항상 \(2\) 이다. 유리식도 하나의 값을 나타낸다.

정의되지 않는 값 — 약분에는 조건이 붙는다#

앞에서 \(\dfrac{x^2-9}{x+3} = x-3\) 이라고 썼다. 그런데 이 두 식은 한 곳에서 다르다.

\[\frac{x^2-9}{x+3} = x-3 \qquad (x \ne -3)\]

\(x=-3\) 을 원래 식에 대입하면 분모가 \(0\) 이 된다. 분모가 \(0\) 인 분수는 정의되지 않는다. 반면 약분한 \(x-3\) 에 \(-3\) 을 대입하면 \(-6\) 이 나온다. 두 식은 정확히 이 한 점에서 갈라진다.

\[x=-3: \quad \text{원식은 값이 없다}, \qquad x-3 = -6\]

\(x=-3\) 이 걸리는 이유는 하나다. 지운 인수가 \((x+3)\) 이고, \(-3\) 이 바로 그 \((x+3)\) 을 \(0\) 으로 만드는 값이기 때문이다. 그러므로 이것은 이 예제에만 해당하는 사정이 아니다. 규칙은 언제나 같다.

\[\textbf{지운 인수를 } 0 \textbf{ 으로 만드는 } x \textbf{ 는 애초에 쓸 수 없었던 값이다.}\]

따라서 이 장 앞쪽에서 이미 약분한 식들에도 조건이 있었다. 명시하지 않았을 뿐이다. 되돌아가 조건을 붙인다.

앞에서 쓴 것

지운 인수

그 인수를 \(0\) 으로 만드는 \(x\)

조건까지 붙이면

\(\dfrac{x^2+x}{x}=x+1\)

\(x\)

\(x=0\)

\(\dfrac{x^2+x}{x}=x+1 \ (x \ne 0)\)

\(\dfrac{2x+4}{x+2}=2\)

\(x+2\)

\(x=-2\)

\(\dfrac{2x+4}{x+2}=2 \ (x \ne -2)\)

\(\dfrac{x^2-9}{x+3}=x-3\)

\(x+3\)

\(x=-3\)

\(\dfrac{x^2-9}{x+3}=x-3 \ (x \ne -3)\)

첫 줄을 확인한다. \(\dfrac{x^2+x}{x}\) 에 \(x=0\) 을 대입하면 분모가 \(0\) 이므로 값이 없는데, 약분한 \(x+1\) 에 대입하면 \(1\) 이 나온다. \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 에서와 동일한 현상이다. 이 장의 주요 예제에도 조건이 있었다.

\(\dfrac{3x+6}{3}=x+2\) 에는 조건이 붙지 않는다. 지운 인수가 수 \(3\) 이고, \(3\) 은 \(x\) 에 무엇을 대입해도 \(0\) 이 되지 않기 때문이다. 조건이 붙는지 여부는 지운 것이 괄호 모양인지가 아니라, 지운 인수 안에 \(x\) 가 들어 있는지로 결정된다.

그러므로 약분할 때는 항상 “\(x \ne -3\) 이라는 조건 아래에서”를 함께 쓴다. 이 단계에서는 조건을 명시하는 절차를 익히는 것으로 충분하다. 여기서 제외된 한 점은 이후 극한을 배울 때 논의의 중심이 된다. “\(x\) 를 \(-3\) 에 한없이 가까이 보내면 이 식의 값은 무엇에 가까워지는가”라는 물음의 답이 바로 \(-6\) 이다. 약분에서 제외된 그 점이 그때 논의의 대상이 된다.

통분과 사칙연산 — 규칙은 제1부 그대로#

유리식의 곱셈·나눗셈·덧셈·뺄셈은 제1부에서 다룬 분수 계산과 규칙이 동일하다. 달라지는 것은 하나 — 약분하려면 인수분해가 먼저라는 점이다. 한 줄씩 왼쪽(수)과 오른쪽(문자)을 대조한다.

하는 일

수 (제1부)

문자 (이 장)

규칙이 바뀌었나

곱셈

\(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{x+1}{x} \times \dfrac{x^2}{x+1} = x\)

아니오 — 분자끼리, 분모끼리

나눗셈

\(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C}\)

아니오 — 뒤엣것을 뒤집는다

덧셈·뺄셈

\(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{12}\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}\)

아니오 — 조각 크기를 맞춘다(위아래에 같은 것을 곱한다 = \(1\) 을 곱한다)

약분

공통인수를 지운다

공통인수를 지운다

아니오 — 다만 인수분해가 먼저

맨 오른쪽 칸이 전부 “아니오”다. 새 규칙은 없다. 마지막 줄에 “인수분해가 먼저”라는 조건이 추가되었을 뿐이다.

곱셈 — 먼저 약분하고 곱한다. 제1부에서 “곱하기 전에 분자와 분모에 같은 인수가 보이면 먼저 지운다”고 했다. 동일하게 적용한다.

\[\frac{x+1}{x} \times \frac{x^2}{x+1} = \frac{\cancel{(x+1)} \cdot x^{\cancel{2}}}{\cancel{x} \cdot \cancel{(x+1)}} = x\]

\((x+1)\) 이 분자와 분모에 통째로 있으므로 인수로서 지우고, \(x^2\) 과 \(x\) 도 지운다. 큰 식을 모두 곱한 뒤에 약분하면 계산량이 크게 늘어난다. 먼저 지우고 곱한다.

나눗셈 — 뒤엣것을 뒤집는다. 제3장에서 분수 나눗셈이 “뒤집어 곱하기”가 되는 이유까지 밝혔다. 뒤집는 대상은 언제나 뒤에 오는 것이었다. 여기서도 동일하다.

\[\frac{x^2-9}{x} \div \frac{x+3}{2x} = \frac{x^2-9}{x} \times \frac{2x}{x+3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x} \times \frac{2x}{x+3} = 2(x-3)\]

뒤집은 직후에 인수분해를 먼저 한다. \(x^2-9\) 를 쪼개면 \((x+3)\) 이 나타나고, 오른쪽 분모에도 \((x+3)\) 이 있어 지워진다. \(x\) 와 \(2x\) 도 지운다. 제3장에서 \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}\) 을 계산할 때와 절차가 동일하며, 약분 전에 인수분해 한 단계가 추가된 점만 다르다.

덧셈 — 통분한다. 그리고 성립하지 않는 조작. 분모끼리 더하는 조작은 성립하지 않는다.

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \ne \frac{1}{2x+1}\]

제2장에서 \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\) 이 \(\dfrac{2}{5}\) 가 아님을 확인한 것과 동일한 오류다. 문자만 추가되었다. 수를 대입하면 분명해진다. \(x=1\) 을 대입하면 왼쪽은 \(1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\), 오른쪽은 \(\dfrac{1}{3}\) 으로 서로 다르다. 올바른 절차는 분모를 맞추는 것이다.

두 분모를 \(x(x+1)\) 로 맞춘다. 그러려면 \(\dfrac1x\) 의 분모에 \((x+1)\) 을 곱해야 하는데, 분모에만 곱하면 값이 달라진다. 분자에도 똑같이 곱한다. 분자와 분모에 같은 것을 곱하는 조작은 \(\dfrac{x+1}{x+1}\) 을 곱하는 것이고, \(\dfrac{x+1}{x+1}\) 은 \(1\) 이다. \(1\) 을 곱했으므로 값은 변하지 않는다.

\[\frac{1}{x} = \frac{1}{x} \times \frac{x+1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{x \cdot (x+1)} = \frac{x+1}{x(x+1)}\]

\(\dfrac{1}{x+1}\) 도 동일하다. 이번에는 \(\dfrac{x}{x}\) 를, 곧 \(1\) 을 곱한다.

\[\frac{1}{x+1} = \frac{1}{x+1} \times \frac{x}{x} = \frac{1 \cdot x}{(x+1) \cdot x} = \frac{x}{x(x+1)}\]

이 장 앞부분에서 약분을 다음과 같이 설명했다 — \(\dfrac{2\times4}{2}=\dfrac{2}{2}\times4=1\times4\), 곧 약분은 \(1\) 을 분리하는 조작이다. 통분은 정확히 그 반대 방향의 조작이다.

\[\textbf{약분이 } 1 \textbf{ 을 떼어내는 일이면, 통분은 } 1 \textbf{ 을 곱해 넣는 일이다. 둘 다 값을 건드리지 않는다.}\]

이제 두 조각의 분모가 같아졌으므로 분자끼리 더한다.

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = \frac{(x+1)+x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}\]

분모를 \(x(x+1)\) 로 맞춘 것이 통분이다. \(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}\) 에서 분모를 최소공배수 \(12\) 로 맞춘 것과 같은 조작이다. 그때도 하는 일은 동일했다 — \(\dfrac56\) 에 \(\dfrac22\) 를, \(\dfrac14\) 에 \(\dfrac33\) 을 곱했다. 둘 다 \(1\) 이다.

뺄셈 — 부호를 분자 전체에 건다. 뺄 때는 뒤에 오는 식 전체에 마이너스가 걸린다. 괄호를 반드시 쓴다.

\[\frac{3}{x} - \frac{2}{x+1} = \frac{3(x+1) - 2x}{x(x+1)} = \frac{3x+3-2x}{x(x+1)} = \frac{x+3}{x(x+1)}\]

괄호를 쓰지 않아 부호를 놓치는 것이 이 단원에서 빈번한 오류 중 하나다.

분모를 인수분해해야 통분이 보인다. 분모가 \(x^2-9\) 와 \(x+3\) 이면, 두 분모를 그대로 곱한 \((x^2-9)(x+3)\) 은 불필요하게 크다. 분모를 인수분해한다. \(x^2-9=(x+3)(x-3)\) 이므로 \((x+3)\) 이 이미 안에 들어 있다.

\[\frac{1}{x^2-9} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{(x+3)(x-3)} + \frac{x-3}{(x+3)(x-3)} = \frac{1+(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x-2}{(x+3)(x-3)}\]

분모를 인수분해하기 전에는 최소공배수가 드러나지 않는다. 이것도 제1부와 같다. \(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{18}\) 에서 \(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\) 으로 쪼개야 최소공배수 \(36\) 이 나오는 것과 동일하다.

분수 막대는 나눗셈이다. 분수 막대 자체가 나눗셈이라는 사실은 놓치기 쉽다.

\[\frac{A}{B} = A \div B\]

그러므로 분자나 분모에 다시 분수가 들어 있어도 새로 필요한 규칙은 없다. 분자를 하나의 분수로 묶은 다음, 분모로 나눈다. 수로 먼저 확인한다.

\[\frac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}{5} = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) \div 5 = \frac{1}{6} \div 5 = \frac{1}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{30}\]

\(5\) 는 \(\dfrac{5}{1}\) 이므로 뒤집으면 \(\dfrac{1}{5}\) 이다. 분수가 아닌 수도 분모가 \(1\) 인 분수로 본다. 문자도 절차가 동일하다.

\[\frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}}{x-2} = \frac{2-x}{2x} \div (x-2) = \frac{2-x}{2x} \times \frac{1}{x-2} = \frac{2-x}{2x(x-2)}\]

분자를 통분해 \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2x}-\dfrac{x}{2x}=\dfrac{2-x}{2x}\) 로 묶은 것이 첫째 단계, 분모의 \(x-2\) 를 \(\dfrac{x-2}{1}\) 로 보아 뒤집어 곱한 것이 둘째 단계다. 여기에 한 단계가 더 남아 있다. 그것이 다음 항목이다.

뒤집힌 인수는 마이너스 하나로 맞춘다. 앞의 결과에 \((2-x)\) 와 \((x-2)\) 가 함께 있다. 순서만 뒤바뀐 두 덩어리다. 이 상태로는 모양이 달라 지울 수 없으나, 한쪽에서 \(-1\) 을 묶어내면 같아진다.

\[2-x = -(x-2)\]

수로 확인한다. \(x=5\) 를 대입하면 왼쪽은 \(2-5=-3\), 오른쪽은 \(-(5-2)=-3\) 으로 같다. \(x=0\) 이면 왼쪽은 \(2\), 오른쪽은 \(-(0-2)=-(-2)=2\) 로 역시 같다. 그러므로 이런 모양은 전체가 \(-1\) 이다.

\[\frac{3-x}{x-3} = \frac{-(x-3)}{x-3} = -1\]

이 조작을 앞의 계산에 적용하면 계산이 완결된다.

\[\frac{2-x}{2x(x-2)} = \frac{-(x-2)}{2x(x-2)} = -\frac{1}{2x}\]

검산은 수를 대입해서 한다. \(x=4\) 이면 원식은 \(\dfrac{\frac14-\frac12}{2}=\dfrac{-\frac14}{2}=-\dfrac{1}{8}\), 답은 \(-\dfrac{1}{2\cdot4}=-\dfrac18\) ✔

곱으로 만들기 전에는 지울 수 없다는 이 장의 요지에 항목이 하나 추가된다 — 모양이 뒤집혀 있으면 \(-1\) 을 묶어내어 모양을 먼저 맞춘다. 작은 연습 두 문항. \(\dfrac{5-x}{x-5}\) 를 간단히 한다. (답: \(-1\).) \(\dfrac{3-x}{2x-6}\) 을 간단히 한다. (분모를 \(2(x-3)\) 으로 묶고 \(3-x=-(x-3)\) 을 적용하면 \(-\dfrac{1}{2}\).)

빈번한 오류#

약분할 때 항을 소거한다

\(\dfrac{x^2+x}{x}=x^2\) 이라고 쓴다. \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 에서 \(9\) 와 \(3\) 을 지운다. \(\dfrac{x+5}{x}\) 를 \(5\) 라고 쓴다. 분자와 분모에 같은 문자가 보였고 지웠으므로 옳다고 판단한 결과다.

이 오류의 근원은 “약분 = 분자와 분모에 같은 것이 있으면 지운다”는 요약이다. 제1부에서는 이 요약이 반례를 만나지 않았다. 수 분수는 분자·분모가 애초에 곱(또는 한 덩어리)이어서, 항이 여러 개인 경우가 나타나지 않았기 때문이다. 틀린 규칙이 아니라 좁은 규칙이다. 문자가 붙으면서 분자에 항이 두 개인 경우가 처음 생기고, 그 지점에서 요약이 성립하지 않게 된다. 절차를 확정한다. ① 분자와 분모가 곱인지 확인 → ② 아니면 인수분해 → ③ 그다음 지운다.

확인 문제: \(\dfrac{x^2+5x}{x}\) 를 약분하고 \(x=2\) 로 검산하라. (답: \(x+5\). 원식 \(\tfrac{4+10}{2}=7\), \(x+5=7\) ✔, \(x^2=4\) 는 아니다.)

분모끼리 더한다

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{x+3}\), 또는 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2}{2x+1}\) 이라고 쓴다. 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 따로 계산해 합치는 조작이다.

문자를 제거하면 즉시 확인된다. \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\) 은 \(\dfrac{1}{5}\) 가 아니다. 따라서 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}\) 도 \(\dfrac{1}{x+3}\) 이 아니다. 구조가 완전히 같은 식이다. \(x\) 자리에 \(2\) 가 들어가 있었을 뿐이다. 문자가 붙으면 새 규칙이 생긴다고 판단하기 쉬우나, 새 규칙은 생기지 않는다. 이 오류는 \((a+b)^2 = a^2+b^2\) 이라고 쓰는 오류와 같은 유형이다.

확인 문제: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4}\) 를 계산하고 \(x=4\) 로 검산하라. (답: \(\dfrac{x+4}{4x}\). \(x=4\) 면 \(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}\), 답에 넣어도 \(\tfrac{8}{16}=\tfrac{1}{2}\) ✔.)

인수분해를 시도조차 하지 않는다

\(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 을 보고 “약분이 안 된다”고 판단해 그대로 둔다. 유리식과 인수분해가 서로 다른 단원으로 저장되어 있어, 분수 계산 중에는 인수분해를 적용할 대상으로 인식하지 못하는 것이다. 능력의 문제가 아니라 연결의 문제다.

분수를 잠시 분리하면 된다. 분자의 \(x^2-9\) 만 따로 떼어 보면 \((x+3)(x-3)\) 으로 인수분해된다. 이를 다시 분수에 넣으면 소거할 인수가 드러난다. 유리식 문제에서 가장 먼저 하는 것은 계산이 아니라, 분자와 분모를 각각 인수분해해서 다시 쓰는 것이다. 그 뒤에야 무엇을 지울지 결정할 수 있다.

확인 문제: \(\dfrac{x^2+7x+12}{x+4}\) 를 약분하라. (답: \(x+3\). 먼저 분자를 \((x+3)(x+4)\) 로 쓰는 것이 첫 줄이다.)

약분한 식이 원래 식과 완전히 같다고 믿는다

\(\dfrac{x^2-9}{x+3} = x-3\) 이라고 쓰고 아무 조건도 붙이지 않는다. 등호를 “완전히 같다”로만 해석하고, 조건부 등식을 다룬 적이 없기 때문이다. 이 수준에서는 조건을 명시하지 않아도 계산 결과가 일치하므로, 지적되지 않고 넘어가는 경우가 많다.

원식에 \(x=-3\) 을 직접 대입하면 분모가 \(0\) 이 된다. \(0\) 으로 나눌 수 없으므로 원래 식은 \(x=-3\) 에서 정의되지 않는다. 반면 약분한 \(x-3\) 은 \(-6\) 을 준다. 정확히 한 점에서 두 식이 다르다. 그래서 \(\dfrac{x^2-9}{x+3} = x-3\ (x \ne -3)\) 처럼 조건을 붙인다. 이 단계에서는 조건을 명시하는 절차를 익히는 것으로 충분하다.

확인 문제: \(\dfrac{x^2-25}{x-5}\) 를 약분하고, 쓰면 안 되는 \(x\) 값을 함께 쓰라. (답: \(x+5\), \(x \ne 5\).)

연습문제#

계산기를 쓰지 않는다. 규칙 하나를 지킨다: 지우기 전에 분자와 분모가 곱인지 확인한다. 곱이 아니면 인수분해부터 한다. 답이 의심스러우면 \(x\) 에 \(2\) 나 \(5\) 를 대입해 원식과 비교한다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

  1. A 약분하라. (1) \(\dfrac{6x}{9}\) (2) \(\dfrac{10x^2}{5x}\) (3) \(\dfrac{4x+8}{4}\)

  2. A 약분하라. (1) \(\dfrac{x^2+3x}{x}\) (2) \(\dfrac{x^2-2x}{x}\) (3) \(\dfrac{5x+15}{x+3}\)

  3. A 약분하라. (1) \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) (2) \(\dfrac{x^2-25}{x-5}\)

  4. A 약분하라. (1) \(\dfrac{x^2+7x+12}{x+3}\) (2) \(\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}\)

  5. A 계산하라. (1) \(\dfrac{3}{x} \times \dfrac{x}{6}\) (2) \(\dfrac{x}{2} \div \dfrac{x}{4}\)

  6. B 약분하라. (1) \(\dfrac{x^2-4}{x^2+4x+4}\) (2) \(\dfrac{x^2+2x-15}{x^2-9}\)

  7. B 계산하고 끝까지 약분하라. (1) \(\dfrac{x+2}{x} \times \dfrac{x^2}{x^2-4}\) (2) \(\dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x+1}{x^2}\)

  8. B 통분해서 계산하라. (1) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2x}\) (2) \(\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x+1}\)

  9. B 통분해서 계산하라. \(\dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x+2}\)

  10. B \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 을 약분하면 \(x-3\) 이다. 그런데 이 둘은 완전히 같은 식은 아니다. 무엇이 다른가? 한 문장으로 쓰라.

  11. B 어떤 일을 A 혼자 하면 \(x\) 시간, B 혼자 하면 \(x+2\) 시간이 걸린다. 두 사람이 함께 일할 때 한 시간 동안 하는 일의 양을 하나의 유리식으로 나타내라.

  12. B 시속 \(x\) km로 \(60\) km를 갔다가, 시속 \(x+10\) km로 같은 \(60\) km를 돌아왔다. 왕복에 걸린 시간을 하나의 유리식으로 나타내라.

  13. C 약분하라. \(\dfrac{x^2-x-6}{x^2-4}\)

  14. C 다음을 간단히 하라. (힌트: 분자를 먼저 하나의 분수로 묶는다. 「분수 막대는 나눗셈이다」와 「뒤집힌 인수는 마이너스 하나로 맞춘다」 두 항목을 순서대로 적용한다. 앞에서 다룬 \(\dfrac{\frac1x-\frac12}{x-2}\) 와 수치만 다르다.)

\[\frac{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{3}}{x-3}\]

정답과 해설

  1. (1) \(\dfrac{2x}{3}\) (2) \(2x\) (3) \(x+2\) — (3)은 \(\dfrac{4(x+2)}{4}\). 분자의 \(4\) 만 지워 \(x+8\) 로 쓰면 틀린다. \(4x+8\) 은 합이므로 먼저 \(4\) 를 묶는다.

  2. (1) \(x+3 \ (x \ne 0)\) (2) \(x-2 \ (x \ne 0)\) (3) \(5 \ (x \ne -3)\) — 지운 인수를 \(0\) 으로 만드는 값이 조건이다. (1)(2)는 \(x\) 를 지웠으므로 \(x \ne 0\), (3)은 \((x+3)\) 을 지웠으므로 \(x \ne -3\). (1)은 \(\dfrac{x(x+3)}{x}\). \(x^2\) 이라고 쓰는 것이 이 장의 핵심 오류다. \(x=2\) 를 대입하면 원식 \(\tfrac{4+6}{2}=5\), \(x+3=5\) ✔, \(x^2=4\) ✘. (3)은 \(\dfrac{5(x+3)}{x+3}=5\) — 답에 문자가 남지 않으며, 이 결과는 옳다.

  3. (1) \(x-3 \ (x \ne -3)\) (2) \(x+5 \ (x \ne 5)\) — (1)은 \(\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}\). \(9\) 와 \(3\) 을 지워 \(x^2-3\) 따위로 쓰면 틀린다. \(x=2\) 로 확인하면 원식 \(-1\), \(x-3=-1\) ✔, \(x^2-3=1\) ✘. (\(x=0\) 이나 \(x=1\) 은 우연히 같은 값이 나오므로 사용하지 않는다.)

  4. (1) \(x+4 \ (x \ne -3)\) (2) \(x-3 \ (x \ne 2)\) — 분자를 쪼갠다. \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\), \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). 지운 것이 (1)은 \((x+3)\), (2)는 \((x-2)\) 다.

  5. (1) \(\dfrac{1}{2}\) (2) \(2\) — (2)는 \(\dfrac{x}{2} \times \dfrac{4}{x} = 2\). 앞의 것을 뒤집으면 틀린다. 뒤집는 것은 뒤에 오는 것이다(제3장과 같다).

  6. (1) \(\dfrac{x-2}{x+2} \ (x \ne -2)\) — \(\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}\). 분자와 분모의 \((x+2)\) 를 하나씩 지우면 분모에 \((x+2)\) 가 하나 남는다. (2) \(\dfrac{x+5}{x+3} \ (x \ne 3)\) — \(\dfrac{(x+5)(x-3)}{(x+3)(x-3)}\). 지운 것이 \((x-3)\) 이므로 조건은 \(x \ne 3\) 이다(답의 분모에 남은 \(x \ne -3\) 은 식에 드러나지만, \(x \ne 3\) 은 약분 과정에서 사라져 드러나지 않는다 — 그래서 따로 적는다). 분자와 분모에 \(x\) 가 보인다고 지우면 틀린다. \(x\) 는 여기서 인수가 아니다.

  7. (1) \(\dfrac{x}{x-2}\) — \(\dfrac{(x+2) \cdot x^2}{x \cdot (x+2)(x-2)}\). (2) \(x(x-1)\) (또는 \(x^2-x\)) — 뒤집으면 \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x} \times \dfrac{x^2}{x+1}\).

  8. (1) \(\dfrac{3}{2x}\) — 공통 분모는 \(2x\). \(\dfrac{2}{2x}+\dfrac{1}{2x}\). (2) \(\dfrac{x+2}{x(x+1)}\) — \(\dfrac{2(x+1)-x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+2-x}{x(x+1)}\). \(2(x+1)\) 에서 괄호를 쓰지 않아 \(2x+1-x\) 로 만들면 틀린다.

  9. \(\dfrac{2x}{(x-2)(x+2)}\) (또는 \(\dfrac{2x}{x^2-4}\)) — \(\dfrac{(x+2)+(x-2)}{(x-2)(x+2)}\). 분자에서 \(+2\) 와 \(-2\) 가 상쇄된다.

  10. 예시 답안: “\(x=-3\) 일 때 원래 식은 분모가 \(0\) 이라 값이 없는데, \(x-3\) 은 \(-6\) 이라는 값을 갖는다. 그 한 점에서만 다르다.” 핵심은 \(x=-3\) 을 지목하는 것이다. “정의역이 다르다”만 써도 정답이다.

  11. \(\dfrac{2x+2}{x(x+2)}\) — A는 한 시간에 전체의 \(\dfrac{1}{x}\), B는 \(\dfrac{1}{x+2}\) 를 한다. 합치면 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2} = \dfrac{(x+2)+x}{x(x+2)}\). \(\dfrac{1}{2x+2}\) 라고 분모끼리 더하면 틀린다. 그 계산을 따르면 혼자 \(3\) 시간, 혼자 \(6\) 시간이 걸리는 일을 두 사람이 함께 할 때 \(9\) 시간이 걸린다는 결론이 되므로 성립하지 않는다.

  12. \(\dfrac{120x+600}{x(x+10)}\) — 갈 때 \(\dfrac{60}{x}\) 시간, 올 때 \(\dfrac{60}{x+10}\) 시간. 통분하면 \(\dfrac{60(x+10)+60x}{x(x+10)}\). 평균 속력을 \(\dfrac{x+(x+10)}{2}\) 로 잡고 거리를 나누면 틀린다. 왕복 문제에서 속력의 산술평균은 답이 아니다. 시간을 먼저 더한다.

  13. \(\dfrac{x-3}{x-2}\) — \(\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\). 분자와 분모를 모두 인수분해해야 \((x+2)\) 가 드러난다. 분자와 분모에서 \(x^2\) 을 지우면 틀린다. \(x^2\) 은 항이다.

  14. \(-\dfrac{1}{3x}\) — 분자를 먼저 묶는다. \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{3-x}{3x}\). 그러면 전체는 \(\dfrac{3-x}{3x} \div (x-3) = \dfrac{3-x}{3x(x-3)}\). 여기서 \(3-x = -(x-3)\) 이므로 \((x-3)\) 이 지워지고 마이너스만 남아 \(-\dfrac{1}{3x}\) 이다. 검산: \(x=2\) 면 원식 \(\dfrac{0.5-0.333\ldots}{-1} = -\dfrac{1}{6}\), 답도 \(-\dfrac{1}{6}\) ✔. 이 형태는 이후 미분에서 도함수를 정의에 따라 구할 때 동일하게 나타난다.

추가 연습문제#

이어서 푼다. 약분에서 시작해 사칙연산으로 진행한다. 모든 문항에서 지우기 전에 분자와 분모가 곱인지 먼저 확인한다.

약분 기본

  1. \(\dfrac{8x}{12}\) 2. \(\dfrac{6x^2}{3x}\) 3. \(\dfrac{5x+10}{5}\) 4. \(\dfrac{x^2+4x}{x}\) 5. \(\dfrac{x^2-7x}{x}\) 6. \(\dfrac{3x+9}{x+3}\) 7. \(\dfrac{4x-8}{x-2}\)

인수분해 후 약분 8. \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 9. \(\dfrac{x^2-16}{x-4}\) 10. \(\dfrac{x^2+5x+6}{x+2}\) 11. \(\dfrac{x^2-x-12}{x-4}\) 12. \(\dfrac{x^2+6x+9}{x+3}\) 13. \(\dfrac{x^2-4}{x^2+5x+6}\)

곱셈·나눗셈 14. \(\dfrac{2}{x} \times \dfrac{x}{7}\) 15. \(\dfrac{x}{5} \times \dfrac{10}{x^2}\) 16. \(\dfrac{x+1}{3} \times \dfrac{6}{x+1}\) 17. \(\dfrac{x}{3} \div \dfrac{x}{9}\) 18. \(\dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x-1}{x}\) 19. \(\dfrac{x^2-4}{x+1} \div \dfrac{x+2}{x+1}\)

통분·덧뺄셈 · 서술 20. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x}\) 21. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4}\) 22. \(\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x+2}\) 23. \(\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1}\) 24. 어떤 사람이 \(\dfrac{x^2+x}{x} = x^2\) 이라고 답했다. (1) 무엇이 틀렸는지 한 문장으로 쓰라. (2) \(x\) 에 수를 하나 넣어 틀렸음을 보여라. (3) 올바른 답을 구하라. 25. \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 을 약분하면 \(x-3\) 이다. \(x=-3\) 을 두 식에 각각 넣으면 어떻게 되는가? 두 식의 차이를 두 문장으로 쓰라.

정답과 해설

  1. \(\dfrac{2x}{3}\) 2. \(2x\) 3. \(x+2\) 4. \(x+4\) 5. \(x-7\) 6. \(3\) 7. \(4\)

3번은 분자의 \(5\) 만 지워 \(x+10\) 으로 쓰면 틀린다. 먼저 \(5(x+2)\) 로 묶는다. 4번을 \(x^2\) 이라고 쓰는 것이 이 장의 핵심 오류다. \(x=2\) 로 검산하면 원식 \(6\), \(x+4=6\) ✔, \(x^2=4\) ✘. 6번·7번은 답이 수 하나다. \(\dfrac{3(x+3)}{x+3}=3\), \(\dfrac{4(x-2)}{x-2}=4\). 답에 문자가 남지 않는 경우도 성립한다.

  1. \(x-3\) 9. \(x+4\) 10. \(x+3\) 11. \(x+3\) 12. \(x+3\) 13. \(\dfrac{x-2}{x+3}\)

8번은 \(\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}\). \(9\) 와 \(3\) 을 지우면 틀린다. 11번은 \(x^2-x-12=(x-4)(x+3)\). 13번은 분자와 분모를 둘 다 인수분해한다. \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)}\).

  1. \(\dfrac{2}{7}\) 15. \(\dfrac{2}{x}\) 16. \(2\) 17. \(3\) 18. \(x+1\) 19. \(x-2\)

17번은 앞의 것을 뒤집어 \(\dfrac{3}{x} \times \dfrac{x}{9}\) 로 만들면 틀린다. 뒤집는 것은 뒤에 오는 것이다(제3장과 같다). 18번은 뒤집으면 \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x} \times \dfrac{x}{x-1}\). \(x\) 와 \((x-1)\) 이 지워지고 \(x+1\) 이 남는다.

  1. \(\dfrac{4}{x}\) 21. \(\dfrac{x+4}{4x}\) 22. \(\dfrac{x+4}{x(x+2)}\) 23. \(\dfrac{2x}{(x-1)(x+1)}\)

21번을 \(\dfrac{1}{x+4}\) 라고 쓰면 분모끼리 더한 것이다. \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{1}{5}\) 와 같은 오류다. 22번은 괄호를 반드시 쓴다. \(\dfrac{2(x+2)-x}{x(x+2)} = \dfrac{2x+4-x}{x(x+2)}\). 23번은 분자에서 \((x+1)+(x-1)=2x\), 곧 \(-1\) 과 \(+1\) 이 상쇄된다.

  1. (1) 예시 답안: “\(x^2+x\) 는 곱이 아니라 합이므로, \(x\) 는 인수가 아니라 항이다. 항은 약분할 수 없다.” (2) \(x=2\): 원식 \(\dfrac{4+2}{2}=3\), \(x^2=4\). 다르다. (3) \(\dfrac{x(x+1)}{x} = x+1\). 검산 \(x=2\) 면 \(3\) ✔. 핵심은 (2)를 실제로 계산했는지다. “인수가 아니라 항이라서”라고만 서술한 것은 절반만 수행한 것이다. 수를 대입해 반례를 확인하는 절차가 이 문항의 목적이다.

  2. 예시 답안: “\(x=-3\) 을 원식에 넣으면 분모가 \(0\) 이 되어 값이 없고, \(x-3\) 에 넣으면 \(-6\) 이 나온다. 두 식은 \(x=-3\) 이라는 한 점을 빼면 완전히 같고, 그래서 약분은 \(x \ne -3\) 이라는 조건 아래에서만 성립한다.”

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 한 문장이다. 곱으로 만들기 전에는 아무것도 지울 수 없다. 약분은 공통 “인수”를 지우는 조작이지 공통 “항”을 지우는 조작이 아니다. 그래서 유리식에서는 계산보다 인수분해가 먼저다. 절차를 다시 정리한다. ① 분자와 분모가 곱인가 → ② 아니면 인수분해 → ③ 그다음 지운다.

통분·곱셈·나눗셈·덧뺄셈의 규칙은 제1부의 분수와 동일하다. 문자가 얹혔고, 약분 전에 인수분해 한 단계가 추가되었을 뿐이다. 특히 나눗셈에서 “뒤에 오는 것을 뒤집는다”는 제3장에서 이유까지 밝힌 그대로다.

그리고 약분에서 제외된 점 하나(\(x \ne -3\))를 기억한다. 이 단계에서는 조건을 명시하는 절차로 충분하지만, 이후 극한을 배울 때 이 한 점이 논의의 중심이 된다.

다음 제20장에서는 지금까지 다룬 대수를 한자리에 모아 종합한다. 인수분해, 방정식, 그리고 이 장의 유리식이 서로 어떻게 맞물리는지 한 장에 놓고 확인한다.