# 제19장 · 분수식·유리식

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **원본 코드** | R2-W11 |
| **선행 내용** | 제18장 — 연립방정식 |
| **요지** | 제1부의 분수를, 이제 문자로. **곱으로 만들기 전에는 아무것도 지울 수 없다.** |
:::

## 도입

제1부에서 분수를 약분했다. $\dfrac{6}{9}$ 를 $\dfrac{2}{3}$ 로 줄였다. 같은 방식으로 $\dfrac{6x}{9x}$ 를 계산하면 값은 $\dfrac{2}{3}$ 이다. $x$ 가 분자와 분모에 함께 붙어 있으므로 함께 약분된다.

이 장에서 **새로 도입하는 규칙은 없다.** 통분, 약분, 뒤집어 곱하기는 제1부에서 이미 다루었다. 이 장에서는 그 규칙 위에 문자가 하나 얹힌다. 문자가 붙어도 계산 규칙은 동일하다. **제1부의 분수를, 이제 문자로.** 이것이 이 장의 요지다.

다만 다음 식은 앞의 예와 성격이 다르다.

$$\frac{x^2+x}{x} = \ ?$$

분자와 분모에 $x$ 가 보인다. 분자에 $x$ 가 하나, 분모에 $x$ 가 하나 있으므로 짝지어 소거하면 $x^2$ 이 남는다고 답하는 경우가 빈번하다. 이 장은 이 한 줄을 다룬다. 답은 뒤에서 확정하며, **수 하나를 대입하면 판정된다.**

## 약분은 "인수"를 지우는 일이다

문자를 쓰기 전에 수로 먼저 확인한다. 문자로 따지면 판단이 흐려질 여지가 남지만, 수로 따지면 결과가 즉시 확정된다. 다음 두 식을 나란히 놓는다.

$$\frac{2 \times 4}{2} \qquad\qquad \frac{2+4}{2}$$

계산기는 필요 없다. 둘 다 계산하면

$$\frac{2 \times 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 \qquad\qquad \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

이제 왼쪽에서 $2$ 를 지운다.

$$\frac{\cancel{2} \times 4}{\cancel{2}} = 4 \quad \checkmark$$

답이 $4$ 로 유지된다. 소거가 성립한다. 오른쪽에서도 똑같이 $2$ 를 지운다.

$$\frac{\cancel{2}+4}{\cancel{2}} = 4 \quad \text{✘ 그런데 답은 } 3 \text{ 이었다}$$

지운 결과는 $4$ 이고 실제 값은 $3$ 이다. **등식이 성립하지 않는다.** 초등 산수 수준의 계산으로 반례가 나온다. 왼쪽에서는 성립하고 오른쪽에서는 성립하지 않는 이유를 확인한다.

```{image} /_static/figs/ch19_cancel.svg
:alt: 인수는 지울 수 있고 항은 지울 수 없다
:width: 560px
:align: center
:class: chfig
```

곱하기로 이어져 있는 덩어리를 **인수**라 하고, 더하기로 이어져 있는 덩어리를 **항**이라 한다. 약분은 인수를 지우는 조작이다. 항은 지울 수 없다. 이것이 이 장의 핵심이다.

$$\textbf{곱으로 만들기 전에는 아무것도 지울 수 없다.}$$

인수를 지울 수 있는 이유는 다음과 같다. 실제로는 지운 것이 아니다.

$$\frac{2 \times 4}{2} = \frac{2}{2} \times 4 = 1 \times 4 = 4$$

$\dfrac{2}{2}$ 를 분리해 $1$ 로 만든 것이다. **약분은 $1$ 을 곱하는 조작이고, $1$ 을 곱하면 값이 변하지 않는다.** 그래서 성립한다. 합에서는 $\dfrac{2}{2}$ 를 분리할 수 없다. $2+4$ 에서 $2$ 만 따로 뽑아낼 방법이 없기 때문이다.

## 수에서 문자로

문자가 붙어도 달라지는 것은 없다. 분자와 분모가 전부 곱이면 공통인수를 지운다.

$$\frac{6x}{9x} = \frac{3 \times 2 \times x}{3 \times 3 \times x} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{3x^2}{6x} = \frac{3 \cdot x \cdot x}{2 \cdot 3 \cdot x} = \frac{x}{2}$$

전부 곱이므로 분자와 분모의 공통인수 $3$, $x$ 를 지운 것이다. 도입에서 확인한 $\dfrac{6x}{9x}=\dfrac{2}{3}$ 과 같다.

## 합이 보이면 곱으로 바꾼다 — 인수분해가 먼저

도입에서 미뤄 둔 식으로 돌아간다.

$$\frac{x^2+x}{x}$$

분자가 $x^2+x$ 다. 가운데가 **더하기**이므로 항이다. 지울 수 없다. 이 경우에는 **곱으로 바꾼다.** 합을 곱으로 바꾸는 절차는 앞에서 이미 다루었다. 이름은 **인수분해**다.

$$\frac{x^2+x}{x} = \frac{x(x+1)}{x} = x+1$$

$x$ 를 묶어냈다. 분자가 $x$ 와 $(x+1)$ 의 곱이므로 $x$ 를 지울 수 있다. 답은 $x+1$ 이며 $x^2$ 이 아니다. 수를 대입하면 확정된다. $x=2$ 를 대입한다.

$$x=2: \quad \frac{2^2+2}{2} = \frac{6}{2} = 3, \qquad x+1 = 3 \ \checkmark, \qquad x^2 = 4 \ \text{✘}$$

약분한 결과 $x+1$ 은 원식과 일치하고, 짝지어 지운 $x^2$ 은 일치하지 않는다. 도입에서 제기한 물음이 여기서 확정된다.

같은 절차를 한 번 더 적용한다.

$$\frac{x^2-9}{x+3}$$

이 식에서 $9$ 와 $3$ 을 지우는 오류가 자주 나타난다. 그러나 $9$ 도 항이고 $3$ 도 항이다. 둘 다 더하기·빼기로 붙어 있으므로 **지울 수 없다.** 곱으로 바꾼다. $x^2-9$ 는 합차 공식으로 $(x+3)(x-3)$ 이 된다.

$$\frac{x^2-9}{x+3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x-3$$

분자와 분모에 $(x+3)$ 이라는 **덩어리 하나**가 통째로 공통이다. 이것은 인수이므로 지운다. 답은 $x-3$ 이다. 확인은 수로 한다. 단, $x=0$ 이나 $x=1$ 은 우연히 값이 일치할 수 있으므로 다른 수를 사용한다.

$$x=2: \quad \frac{4-9}{5} = -1, \quad x-3 = -1 \ \checkmark \qquad\qquad x=5: \quad \frac{25-9}{8} = 2, \quad x-3 = 2 \ \checkmark$$

여기서 절차 하나를 확정한다. 유리식을 보면 **① 분자와 분모가 곱인지 먼저 확인 → ② 곱이 아니면 인수분해 → ③ 그다음에 지운다.** 예를 들어 $\dfrac{3x+6}{3}$ 은 분자와 분모에 $3$ 이 보이지만, 분자의 $3$ 만 지워 $x+6$ 으로 쓰면 틀린다. $3x+6$ 은 합이다. 먼저 $3(x+2)$ 로 묶어야 $3$ 이 인수가 되고, 그때 지워서 $x+2$ 이다.

한 가지 더 확인한다. $\dfrac{2x+4}{x+2} = \dfrac{2(x+2)}{x+2} = 2$ 처럼 답에 문자가 하나도 남지 않는 경우가 있다. 이 결과는 옳다. $x$ 에 어떤 수를 대입해도($x=1$ 이면 $\tfrac{6}{3}=2$, $x=10$ 이면 $\tfrac{24}{12}=2$) 항상 $2$ 이다. **유리식도 하나의 값을 나타낸다.**

## 정의되지 않는 값 — 약분에는 조건이 붙는다

앞에서 $\dfrac{x^2-9}{x+3} = x-3$ 이라고 썼다. 그런데 이 두 식은 한 곳에서 다르다.

$$\frac{x^2-9}{x+3} = x-3 \qquad (x \ne -3)$$

$x=-3$ 을 원래 식에 대입하면 분모가 $0$ 이 된다. **분모가 $0$ 인 분수는 정의되지 않는다.** 반면 약분한 $x-3$ 에 $-3$ 을 대입하면 $-6$ 이 나온다. 두 식은 정확히 이 한 점에서 갈라진다.

$$x=-3: \quad \text{원식은 값이 없다}, \qquad x-3 = -6$$

$x=-3$ 이 걸리는 이유는 하나다. 지운 인수가 $(x+3)$ 이고, $-3$ 이 바로 그 $(x+3)$ 을 $0$ 으로 만드는 값이기 때문이다. 그러므로 이것은 이 예제에만 해당하는 사정이 아니다. 규칙은 언제나 같다.

$$\textbf{지운 인수를 } 0 \textbf{ 으로 만드는 } x \textbf{ 는 애초에 쓸 수 없었던 값이다.}$$

따라서 이 장 앞쪽에서 이미 약분한 식들에도 조건이 있었다. 명시하지 않았을 뿐이다. 되돌아가 조건을 붙인다.

| 앞에서 쓴 것 | 지운 인수 | 그 인수를 $0$ 으로 만드는 $x$ | 조건까지 붙이면 |
|---|---|---|---|
| $\dfrac{x^2+x}{x}=x+1$ | $x$ | $x=0$ | $\dfrac{x^2+x}{x}=x+1 \ (x \ne 0)$ |
| $\dfrac{2x+4}{x+2}=2$ | $x+2$ | $x=-2$ | $\dfrac{2x+4}{x+2}=2 \ (x \ne -2)$ |
| $\dfrac{x^2-9}{x+3}=x-3$ | $x+3$ | $x=-3$ | $\dfrac{x^2-9}{x+3}=x-3 \ (x \ne -3)$ |

첫 줄을 확인한다. $\dfrac{x^2+x}{x}$ 에 $x=0$ 을 대입하면 분모가 $0$ 이므로 값이 없는데, 약분한 $x+1$ 에 대입하면 $1$ 이 나온다. $\dfrac{x^2-9}{x+3}$ 에서와 동일한 현상이다. **이 장의 주요 예제에도 조건이 있었다.**

$\dfrac{3x+6}{3}=x+2$ 에는 조건이 붙지 않는다. 지운 인수가 **수** $3$ 이고, $3$ 은 $x$ 에 무엇을 대입해도 $0$ 이 되지 않기 때문이다. 조건이 붙는지 여부는 지운 것이 괄호 모양인지가 아니라, **지운 인수 안에 $x$ 가 들어 있는지**로 결정된다.

그러므로 약분할 때는 항상 "$x \ne -3$ 이라는 조건 아래에서"를 함께 쓴다. 이 단계에서는 조건을 명시하는 절차를 익히는 것으로 충분하다. 여기서 제외된 한 점은 이후 **극한**을 배울 때 논의의 중심이 된다. "$x$ 를 $-3$ 에 한없이 가까이 보내면 이 식의 값은 무엇에 가까워지는가"라는 물음의 답이 바로 $-6$ 이다. 약분에서 제외된 그 점이 그때 논의의 대상이 된다.

## 통분과 사칙연산 — 규칙은 제1부 그대로

유리식의 곱셈·나눗셈·덧셈·뺄셈은 제1부에서 다룬 분수 계산과 규칙이 동일하다. 달라지는 것은 하나 — **약분하려면 인수분해가 먼저**라는 점이다. 한 줄씩 왼쪽(수)과 오른쪽(문자)을 대조한다.

| 하는 일 | 수 (제1부) | 문자 (이 장) | 규칙이 바뀌었나 |
|---|---|---|---|
| 곱셈 | $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{x+1}{x} \times \dfrac{x^2}{x+1} = x$ | 아니오 — 분자끼리, 분모끼리 |
| 나눗셈 | $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2}$ | $\dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C}$ | 아니오 — 뒤엣것을 뒤집는다 |
| 덧셈·뺄셈 | $\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{12}$ | $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ | 아니오 — 조각 크기를 맞춘다(위아래에 같은 것을 곱한다 = $1$ 을 곱한다) |
| 약분 | 공통인수를 지운다 | 공통인수를 지운다 | 아니오 — **다만 인수분해가 먼저** |

맨 오른쪽 칸이 전부 "아니오"다. 새 규칙은 없다. 마지막 줄에 "인수분해가 먼저"라는 조건이 추가되었을 뿐이다.

**곱셈 — 먼저 약분하고 곱한다.** 제1부에서 "곱하기 전에 분자와 분모에 같은 인수가 보이면 먼저 지운다"고 했다. 동일하게 적용한다.

$$\frac{x+1}{x} \times \frac{x^2}{x+1} = \frac{\cancel{(x+1)} \cdot x^{\cancel{2}}}{\cancel{x} \cdot \cancel{(x+1)}} = x$$

$(x+1)$ 이 분자와 분모에 통째로 있으므로 인수로서 지우고, $x^2$ 과 $x$ 도 지운다. 큰 식을 모두 곱한 뒤에 약분하면 계산량이 크게 늘어난다. **먼저 지우고 곱한다.**

**나눗셈 — 뒤엣것을 뒤집는다.** 제3장에서 분수 나눗셈이 "뒤집어 곱하기"가 되는 이유까지 밝혔다. 뒤집는 대상은 언제나 **뒤에 오는 것**이었다. 여기서도 동일하다.

$$\frac{x^2-9}{x} \div \frac{x+3}{2x} = \frac{x^2-9}{x} \times \frac{2x}{x+3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x} \times \frac{2x}{x+3} = 2(x-3)$$

뒤집은 직후에 **인수분해를 먼저** 한다. $x^2-9$ 를 쪼개면 $(x+3)$ 이 나타나고, 오른쪽 분모에도 $(x+3)$ 이 있어 지워진다. $x$ 와 $2x$ 도 지운다. 제3장에서 $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}$ 을 계산할 때와 절차가 동일하며, 약분 전에 인수분해 한 단계가 추가된 점만 다르다.

**덧셈 — 통분한다. 그리고 성립하지 않는 조작.** 분모끼리 더하는 조작은 성립하지 않는다.

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \ne \frac{1}{2x+1}$$

제2장에서 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ 이 $\dfrac{2}{5}$ 가 아님을 확인한 것과 동일한 오류다. 문자만 추가되었다. 수를 대입하면 분명해진다. $x=1$ 을 대입하면 왼쪽은 $1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$, 오른쪽은 $\dfrac{1}{3}$ 으로 서로 다르다. 올바른 절차는 분모를 맞추는 것이다.

두 분모를 $x(x+1)$ 로 맞춘다. 그러려면 $\dfrac1x$ 의 분모에 $(x+1)$ 을 곱해야 하는데, 분모에만 곱하면 값이 달라진다. **분자에도 똑같이 곱한다.** 분자와 분모에 같은 것을 곱하는 조작은 $\dfrac{x+1}{x+1}$ 을 곱하는 것이고, $\dfrac{x+1}{x+1}$ 은 $1$ 이다. $1$ 을 곱했으므로 값은 변하지 않는다.

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{x} \times \frac{x+1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{x \cdot (x+1)} = \frac{x+1}{x(x+1)}$$

$\dfrac{1}{x+1}$ 도 동일하다. 이번에는 $\dfrac{x}{x}$ 를, 곧 $1$ 을 곱한다.

$$\frac{1}{x+1} = \frac{1}{x+1} \times \frac{x}{x} = \frac{1 \cdot x}{(x+1) \cdot x} = \frac{x}{x(x+1)}$$

이 장 앞부분에서 약분을 다음과 같이 설명했다 — $\dfrac{2\times4}{2}=\dfrac{2}{2}\times4=1\times4$, 곧 **약분은 $1$ 을 분리하는 조작**이다. 통분은 정확히 그 반대 방향의 조작이다.

$$\textbf{약분이 } 1 \textbf{ 을 떼어내는 일이면, 통분은 } 1 \textbf{ 을 곱해 넣는 일이다. 둘 다 값을 건드리지 않는다.}$$

이제 두 조각의 분모가 같아졌으므로 분자끼리 더한다.

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = \frac{(x+1)+x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}$$

분모를 $x(x+1)$ 로 맞춘 것이 통분이다. $\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}$ 에서 분모를 최소공배수 $12$ 로 맞춘 것과 같은 조작이다. 그때도 하는 일은 동일했다 — $\dfrac56$ 에 $\dfrac22$ 를, $\dfrac14$ 에 $\dfrac33$ 을 곱했다. 둘 다 $1$ 이다.

**뺄셈 — 부호를 분자 전체에 건다.** 뺄 때는 뒤에 오는 식 **전체**에 마이너스가 걸린다. 괄호를 반드시 쓴다.

$$\frac{3}{x} - \frac{2}{x+1} = \frac{3(x+1) - 2x}{x(x+1)} = \frac{3x+3-2x}{x(x+1)} = \frac{x+3}{x(x+1)}$$

괄호를 쓰지 않아 부호를 놓치는 것이 이 단원에서 빈번한 오류 중 하나다.

**분모를 인수분해해야 통분이 보인다.** 분모가 $x^2-9$ 와 $x+3$ 이면, 두 분모를 그대로 곱한 $(x^2-9)(x+3)$ 은 불필요하게 크다. 분모를 인수분해한다. $x^2-9=(x+3)(x-3)$ 이므로 $(x+3)$ 이 이미 안에 들어 있다.

$$\frac{1}{x^2-9} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{(x+3)(x-3)} + \frac{x-3}{(x+3)(x-3)} = \frac{1+(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x-2}{(x+3)(x-3)}$$

**분모를 인수분해하기 전에는 최소공배수가 드러나지 않는다.** 이것도 제1부와 같다. $\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{18}$ 에서 $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$ 으로 쪼개야 최소공배수 $36$ 이 나오는 것과 동일하다.

**분수 막대는 나눗셈이다.** 분수 막대 자체가 나눗셈이라는 사실은 놓치기 쉽다.

$$\frac{A}{B} = A \div B$$

그러므로 분자나 분모에 다시 분수가 들어 있어도 새로 필요한 규칙은 없다. **분자를 하나의 분수로 묶은 다음, 분모로 나눈다.** 수로 먼저 확인한다.

$$\frac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}{5} = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) \div 5 = \frac{1}{6} \div 5 = \frac{1}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{30}$$

$5$ 는 $\dfrac{5}{1}$ 이므로 뒤집으면 $\dfrac{1}{5}$ 이다. **분수가 아닌 수도 분모가 $1$ 인 분수로 본다.** 문자도 절차가 동일하다.

$$\frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}}{x-2} = \frac{2-x}{2x} \div (x-2) = \frac{2-x}{2x} \times \frac{1}{x-2} = \frac{2-x}{2x(x-2)}$$

분자를 통분해 $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2x}-\dfrac{x}{2x}=\dfrac{2-x}{2x}$ 로 묶은 것이 첫째 단계, 분모의 $x-2$ 를 $\dfrac{x-2}{1}$ 로 보아 뒤집어 곱한 것이 둘째 단계다. 여기에 한 단계가 더 남아 있다. 그것이 다음 항목이다.

**뒤집힌 인수는 마이너스 하나로 맞춘다.** 앞의 결과에 $(2-x)$ 와 $(x-2)$ 가 함께 있다. 순서만 뒤바뀐 두 덩어리다. 이 상태로는 모양이 달라 지울 수 없으나, 한쪽에서 $-1$ 을 묶어내면 같아진다.

$$2-x = -(x-2)$$

수로 확인한다. $x=5$ 를 대입하면 왼쪽은 $2-5=-3$, 오른쪽은 $-(5-2)=-3$ 으로 같다. $x=0$ 이면 왼쪽은 $2$, 오른쪽은 $-(0-2)=-(-2)=2$ 로 역시 같다. 그러므로 이런 모양은 전체가 $-1$ 이다.

$$\frac{3-x}{x-3} = \frac{-(x-3)}{x-3} = -1$$

이 조작을 앞의 계산에 적용하면 계산이 완결된다.

$$\frac{2-x}{2x(x-2)} = \frac{-(x-2)}{2x(x-2)} = -\frac{1}{2x}$$

검산은 수를 대입해서 한다. $x=4$ 이면 원식은 $\dfrac{\frac14-\frac12}{2}=\dfrac{-\frac14}{2}=-\dfrac{1}{8}$, 답은 $-\dfrac{1}{2\cdot4}=-\dfrac18$ ✔

**곱으로 만들기 전에는 지울 수 없다**는 이 장의 요지에 항목이 하나 추가된다 — 모양이 뒤집혀 있으면 $-1$ 을 묶어내어 **모양을 먼저 맞춘다.** 작은 연습 두 문항. $\dfrac{5-x}{x-5}$ 를 간단히 한다. (답: $-1$.) $\dfrac{3-x}{2x-6}$ 을 간단히 한다. (분모를 $2(x-3)$ 으로 묶고 $3-x=-(x-3)$ 을 적용하면 $-\dfrac{1}{2}$.)

## 빈번한 오류

:::{admonition} 약분할 때 항을 소거한다
:class: warning
$\dfrac{x^2+x}{x}=x^2$ 이라고 쓴다. $\dfrac{x^2-9}{x+3}$ 에서 $9$ 와 $3$ 을 지운다. $\dfrac{x+5}{x}$ 를 $5$ 라고 쓴다. 분자와 분모에 같은 문자가 보였고 지웠으므로 옳다고 판단한 결과다.

이 오류의 근원은 "약분 = 분자와 분모에 같은 것이 있으면 지운다"는 요약이다. 제1부에서는 이 요약이 반례를 만나지 않았다. 수 분수는 분자·분모가 애초에 곱(또는 한 덩어리)이어서, 항이 여러 개인 경우가 나타나지 않았기 때문이다. **틀린 규칙이 아니라 좁은 규칙**이다. 문자가 붙으면서 분자에 항이 두 개인 경우가 처음 생기고, 그 지점에서 요약이 성립하지 않게 된다. 절차를 확정한다. **① 분자와 분모가 곱인지 확인 → ② 아니면 인수분해 → ③ 그다음 지운다.**

*확인 문제*: $\dfrac{x^2+5x}{x}$ 를 약분하고 $x=2$ 로 검산하라. (답: $x+5$. 원식 $\tfrac{4+10}{2}=7$, $x+5=7$ ✔, $x^2=4$ 는 아니다.)
:::

:::{admonition} 분모끼리 더한다
:class: warning
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{x+3}$, 또는 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2}{2x+1}$ 이라고 쓴다. 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 따로 계산해 합치는 조작이다.

문자를 제거하면 즉시 확인된다. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ 은 $\dfrac{1}{5}$ 가 아니다. 따라서 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}$ 도 $\dfrac{1}{x+3}$ 이 아니다. **구조가 완전히 같은 식이다.** $x$ 자리에 $2$ 가 들어가 있었을 뿐이다. 문자가 붙으면 새 규칙이 생긴다고 판단하기 쉬우나, 새 규칙은 생기지 않는다. 이 오류는 $(a+b)^2 = a^2+b^2$ 이라고 쓰는 오류와 같은 유형이다.

*확인 문제*: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4}$ 를 계산하고 $x=4$ 로 검산하라. (답: $\dfrac{x+4}{4x}$. $x=4$ 면 $\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}$, 답에 넣어도 $\tfrac{8}{16}=\tfrac{1}{2}$ ✔.)
:::

:::{admonition} 인수분해를 시도조차 하지 않는다
:class: warning
$\dfrac{x^2-9}{x+3}$ 을 보고 "약분이 안 된다"고 판단해 그대로 둔다. 유리식과 인수분해가 서로 **다른 단원**으로 저장되어 있어, 분수 계산 중에는 인수분해를 적용할 대상으로 인식하지 못하는 것이다. 능력의 문제가 아니라 연결의 문제다.

분수를 잠시 분리하면 된다. 분자의 $x^2-9$ 만 따로 떼어 보면 $(x+3)(x-3)$ 으로 인수분해된다. 이를 다시 분수에 넣으면 소거할 인수가 드러난다. **유리식 문제에서 가장 먼저 하는 것은 계산이 아니라, 분자와 분모를 각각 인수분해해서 다시 쓰는 것이다.** 그 뒤에야 무엇을 지울지 결정할 수 있다.

*확인 문제*: $\dfrac{x^2+7x+12}{x+4}$ 를 약분하라. (답: $x+3$. 먼저 분자를 $(x+3)(x+4)$ 로 쓰는 것이 첫 줄이다.)
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:::{admonition} 약분한 식이 원래 식과 완전히 같다고 믿는다
:class: warning
$\dfrac{x^2-9}{x+3} = x-3$ 이라고 쓰고 아무 조건도 붙이지 않는다. 등호를 "완전히 같다"로만 해석하고, 조건부 등식을 다룬 적이 없기 때문이다. 이 수준에서는 조건을 명시하지 않아도 계산 결과가 일치하므로, 지적되지 않고 넘어가는 경우가 많다.

원식에 $x=-3$ 을 직접 대입하면 분모가 $0$ 이 된다. $0$ 으로 나눌 수 없으므로 원래 식은 $x=-3$ 에서 **정의되지 않는다.** 반면 약분한 $x-3$ 은 $-6$ 을 준다. 정확히 한 점에서 두 식이 다르다. 그래서 $\dfrac{x^2-9}{x+3} = x-3\ (x \ne -3)$ 처럼 조건을 붙인다. 이 단계에서는 조건을 명시하는 절차를 익히는 것으로 충분하다.

*확인 문제*: $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ 를 약분하고, 쓰면 안 되는 $x$ 값을 함께 쓰라. (답: $x+5$, $x \ne 5$.)
:::

## 연습문제

계산기를 쓰지 않는다. **규칙 하나를 지킨다: 지우기 전에 분자와 분모가 곱인지 확인한다. 곱이 아니면 인수분해부터 한다.** 답이 의심스러우면 $x$ 에 $2$ 나 $5$ 를 대입해 원식과 비교한다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` 약분하라. (1) $\dfrac{6x}{9}$  (2) $\dfrac{10x^2}{5x}$  (3) $\dfrac{4x+8}{4}$
2. `A` 약분하라. (1) $\dfrac{x^2+3x}{x}$  (2) $\dfrac{x^2-2x}{x}$  (3) $\dfrac{5x+15}{x+3}$
3. `A` 약분하라. (1) $\dfrac{x^2-9}{x+3}$  (2) $\dfrac{x^2-25}{x-5}$
4. `A` 약분하라. (1) $\dfrac{x^2+7x+12}{x+3}$  (2) $\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}$
5. `A` 계산하라. (1) $\dfrac{3}{x} \times \dfrac{x}{6}$  (2) $\dfrac{x}{2} \div \dfrac{x}{4}$
6. `B` 약분하라. (1) $\dfrac{x^2-4}{x^2+4x+4}$  (2) $\dfrac{x^2+2x-15}{x^2-9}$
7. `B` 계산하고 끝까지 약분하라. (1) $\dfrac{x+2}{x} \times \dfrac{x^2}{x^2-4}$  (2) $\dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x+1}{x^2}$
8. `B` 통분해서 계산하라. (1) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2x}$  (2) $\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x+1}$
9. `B` 통분해서 계산하라. $\dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x+2}$
10. `B` $\dfrac{x^2-9}{x+3}$ 을 약분하면 $x-3$ 이다. 그런데 이 둘은 **완전히 같은 식은 아니다.** 무엇이 다른가? 한 문장으로 쓰라.
11. `B` 어떤 일을 A 혼자 하면 $x$ 시간, B 혼자 하면 $x+2$ 시간이 걸린다. 두 사람이 함께 일할 때 **한 시간 동안 하는 일의 양**을 하나의 유리식으로 나타내라.
12. `B` 시속 $x$ km로 $60$ km를 갔다가, 시속 $x+10$ km로 같은 $60$ km를 돌아왔다. 왕복에 걸린 시간을 하나의 유리식으로 나타내라.
13. `C` 약분하라. $\dfrac{x^2-x-6}{x^2-4}$
14. `C` 다음을 간단히 하라. (힌트: 분자를 먼저 하나의 분수로 묶는다. 「분수 막대는 나눗셈이다」와 「뒤집힌 인수는 마이너스 하나로 맞춘다」 두 항목을 순서대로 적용한다. 앞에서 다룬 $\dfrac{\frac1x-\frac12}{x-2}$ 와 수치만 다르다.)

$$\frac{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{3}}{x-3}$$

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $\dfrac{2x}{3}$  (2) $2x$  (3) $x+2$ — (3)은 $\dfrac{4(x+2)}{4}$. 분자의 $4$ 만 지워 $x+8$ 로 쓰면 틀린다. $4x+8$ 은 합이므로 먼저 $4$ 를 묶는다.
2. (1) $x+3 \ (x \ne 0)$  (2) $x-2 \ (x \ne 0)$  (3) $5 \ (x \ne -3)$ — 지운 인수를 $0$ 으로 만드는 값이 조건이다. (1)(2)는 $x$ 를 지웠으므로 $x \ne 0$, (3)은 $(x+3)$ 을 지웠으므로 $x \ne -3$. (1)은 $\dfrac{x(x+3)}{x}$. $x^2$ 이라고 쓰는 것이 이 장의 핵심 오류다. $x=2$ 를 대입하면 원식 $\tfrac{4+6}{2}=5$, $x+3=5$ ✔, $x^2=4$ ✘. (3)은 $\dfrac{5(x+3)}{x+3}=5$ — 답에 문자가 남지 않으며, 이 결과는 옳다.
3. (1) $x-3 \ (x \ne -3)$  (2) $x+5 \ (x \ne 5)$ — (1)은 $\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}$. $9$ 와 $3$ 을 지워 $x^2-3$ 따위로 쓰면 틀린다. $x=2$ 로 확인하면 원식 $-1$, $x-3=-1$ ✔, $x^2-3=1$ ✘. ($x=0$ 이나 $x=1$ 은 우연히 같은 값이 나오므로 사용하지 않는다.)
4. (1) $x+4 \ (x \ne -3)$  (2) $x-3 \ (x \ne 2)$ — 분자를 쪼갠다. $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. 지운 것이 (1)은 $(x+3)$, (2)는 $(x-2)$ 다.
5. (1) $\dfrac{1}{2}$  (2) $2$ — (2)는 $\dfrac{x}{2} \times \dfrac{4}{x} = 2$. 앞의 것을 뒤집으면 틀린다. 뒤집는 것은 **뒤에 오는 것**이다(제3장과 같다).
6. (1) $\dfrac{x-2}{x+2} \ (x \ne -2)$ — $\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}$. 분자와 분모의 $(x+2)$ 를 하나씩 지우면 분모에 $(x+2)$ 가 하나 남는다.  (2) $\dfrac{x+5}{x+3} \ (x \ne 3)$ — $\dfrac{(x+5)(x-3)}{(x+3)(x-3)}$. 지운 것이 $(x-3)$ 이므로 조건은 $x \ne 3$ 이다(답의 분모에 남은 $x \ne -3$ 은 식에 드러나지만, $x \ne 3$ 은 약분 과정에서 사라져 드러나지 않는다 — 그래서 따로 적는다). 분자와 분모에 $x$ 가 보인다고 지우면 틀린다. $x$ 는 여기서 인수가 아니다.
7. (1) $\dfrac{x}{x-2}$ — $\dfrac{(x+2) \cdot x^2}{x \cdot (x+2)(x-2)}$.  (2) $x(x-1)$ (또는 $x^2-x$) — 뒤집으면 $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x} \times \dfrac{x^2}{x+1}$.
8. (1) $\dfrac{3}{2x}$ — 공통 분모는 $2x$. $\dfrac{2}{2x}+\dfrac{1}{2x}$.  (2) $\dfrac{x+2}{x(x+1)}$ — $\dfrac{2(x+1)-x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+2-x}{x(x+1)}$. $2(x+1)$ 에서 괄호를 쓰지 않아 $2x+1-x$ 로 만들면 틀린다.
9. $\dfrac{2x}{(x-2)(x+2)}$ (또는 $\dfrac{2x}{x^2-4}$) — $\dfrac{(x+2)+(x-2)}{(x-2)(x+2)}$. 분자에서 $+2$ 와 $-2$ 가 상쇄된다.
10. 예시 답안: "$x=-3$ 일 때 원래 식은 분모가 $0$ 이라 값이 없는데, $x-3$ 은 $-6$ 이라는 값을 갖는다. 그 한 점에서만 다르다." 핵심은 **$x=-3$ 을 지목**하는 것이다. "정의역이 다르다"만 써도 정답이다.
11. $\dfrac{2x+2}{x(x+2)}$ — A는 한 시간에 전체의 $\dfrac{1}{x}$, B는 $\dfrac{1}{x+2}$ 를 한다. 합치면 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2} = \dfrac{(x+2)+x}{x(x+2)}$. $\dfrac{1}{2x+2}$ 라고 분모끼리 더하면 틀린다. 그 계산을 따르면 혼자 $3$ 시간, 혼자 $6$ 시간이 걸리는 일을 두 사람이 함께 할 때 $9$ 시간이 걸린다는 결론이 되므로 성립하지 않는다.
12. $\dfrac{120x+600}{x(x+10)}$ — 갈 때 $\dfrac{60}{x}$ 시간, 올 때 $\dfrac{60}{x+10}$ 시간. 통분하면 $\dfrac{60(x+10)+60x}{x(x+10)}$. 평균 속력을 $\dfrac{x+(x+10)}{2}$ 로 잡고 거리를 나누면 틀린다. 왕복 문제에서 속력의 산술평균은 답이 아니다. **시간을 먼저 더한다.**
13. $\dfrac{x-3}{x-2}$ — $\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-2)(x+2)}$. 분자와 분모를 **모두** 인수분해해야 $(x+2)$ 가 드러난다. 분자와 분모에서 $x^2$ 을 지우면 틀린다. $x^2$ 은 항이다.
14. $-\dfrac{1}{3x}$ — 분자를 먼저 묶는다. $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{3-x}{3x}$. 그러면 전체는 $\dfrac{3-x}{3x} \div (x-3) = \dfrac{3-x}{3x(x-3)}$. 여기서 $3-x = -(x-3)$ 이므로 $(x-3)$ 이 지워지고 마이너스만 남아 $-\dfrac{1}{3x}$ 이다. 검산: $x=2$ 면 원식 $\dfrac{0.5-0.333\ldots}{-1} = -\dfrac{1}{6}$, 답도 $-\dfrac{1}{6}$ ✔. 이 형태는 이후 미분에서 도함수를 정의에 따라 구할 때 동일하게 나타난다.
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### 추가 연습문제

이어서 푼다. 약분에서 시작해 사칙연산으로 진행한다. **모든 문항에서 지우기 전에 분자와 분모가 곱인지 먼저 확인한다.**

**약분 기본**
1. $\dfrac{8x}{12}$  2. $\dfrac{6x^2}{3x}$  3. $\dfrac{5x+10}{5}$  4. $\dfrac{x^2+4x}{x}$  5. $\dfrac{x^2-7x}{x}$  6. $\dfrac{3x+9}{x+3}$  7. $\dfrac{4x-8}{x-2}$

**인수분해 후 약분**
8. $\dfrac{x^2-9}{x+3}$  9. $\dfrac{x^2-16}{x-4}$  10. $\dfrac{x^2+5x+6}{x+2}$  11. $\dfrac{x^2-x-12}{x-4}$  12. $\dfrac{x^2+6x+9}{x+3}$  13. $\dfrac{x^2-4}{x^2+5x+6}$

**곱셈·나눗셈**
14. $\dfrac{2}{x} \times \dfrac{x}{7}$  15. $\dfrac{x}{5} \times \dfrac{10}{x^2}$  16. $\dfrac{x+1}{3} \times \dfrac{6}{x+1}$  17. $\dfrac{x}{3} \div \dfrac{x}{9}$  18. $\dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x-1}{x}$  19. $\dfrac{x^2-4}{x+1} \div \dfrac{x+2}{x+1}$

**통분·덧뺄셈 · 서술**
20. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x}$  21. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4}$  22. $\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x+2}$  23. $\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1}$
24. 어떤 사람이 $\dfrac{x^2+x}{x} = x^2$ 이라고 답했다. (1) 무엇이 틀렸는지 한 문장으로 쓰라. (2) $x$ 에 수를 하나 넣어 틀렸음을 보여라. (3) 올바른 답을 구하라.
25. $\dfrac{x^2-9}{x+3}$ 을 약분하면 $x-3$ 이다. $x=-3$ 을 두 식에 각각 넣으면 어떻게 되는가? 두 식의 차이를 **두 문장**으로 쓰라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $\dfrac{2x}{3}$  2. $2x$  3. $x+2$  4. $x+4$  5. $x-7$  6. $3$  7. $4$

3번은 분자의 $5$ 만 지워 $x+10$ 으로 쓰면 틀린다. 먼저 $5(x+2)$ 로 묶는다. 4번을 $x^2$ 이라고 쓰는 것이 이 장의 핵심 오류다. $x=2$ 로 검산하면 원식 $6$, $x+4=6$ ✔, $x^2=4$ ✘. 6번·7번은 답이 수 하나다. $\dfrac{3(x+3)}{x+3}=3$, $\dfrac{4(x-2)}{x-2}=4$. 답에 문자가 남지 않는 경우도 성립한다.

8. $x-3$  9. $x+4$  10. $x+3$  11. $x+3$  12. $x+3$  13. $\dfrac{x-2}{x+3}$

8번은 $\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}$. $9$ 와 $3$ 을 지우면 틀린다. 11번은 $x^2-x-12=(x-4)(x+3)$. 13번은 분자와 분모를 **둘 다** 인수분해한다. $\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)}$.

14. $\dfrac{2}{7}$  15. $\dfrac{2}{x}$  16. $2$  17. $3$  18. $x+1$  19. $x-2$

17번은 앞의 것을 뒤집어 $\dfrac{3}{x} \times \dfrac{x}{9}$ 로 만들면 틀린다. 뒤집는 것은 **뒤에 오는 것**이다(제3장과 같다). 18번은 뒤집으면 $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x} \times \dfrac{x}{x-1}$. $x$ 와 $(x-1)$ 이 지워지고 $x+1$ 이 남는다.

20. $\dfrac{4}{x}$  21. $\dfrac{x+4}{4x}$  22. $\dfrac{x+4}{x(x+2)}$  23. $\dfrac{2x}{(x-1)(x+1)}$

21번을 $\dfrac{1}{x+4}$ 라고 쓰면 분모끼리 더한 것이다. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{1}{5}$ 와 같은 오류다. 22번은 괄호를 반드시 쓴다. $\dfrac{2(x+2)-x}{x(x+2)} = \dfrac{2x+4-x}{x(x+2)}$. 23번은 분자에서 $(x+1)+(x-1)=2x$, 곧 $-1$ 과 $+1$ 이 상쇄된다.

24. (1) 예시 답안: "$x^2+x$ 는 곱이 아니라 합이므로, $x$ 는 인수가 아니라 항이다. 항은 약분할 수 없다." (2) $x=2$: 원식 $\dfrac{4+2}{2}=3$, $x^2=4$. 다르다. (3) $\dfrac{x(x+1)}{x} = x+1$. 검산 $x=2$ 면 $3$ ✔. 핵심은 (2)를 실제로 계산했는지다. "인수가 아니라 항이라서"라고만 서술한 것은 절반만 수행한 것이다. **수를 대입해 반례를 확인하는 절차**가 이 문항의 목적이다.
25. 예시 답안: "$x=-3$ 을 원식에 넣으면 분모가 $0$ 이 되어 값이 없고, $x-3$ 에 넣으면 $-6$ 이 나온다. 두 식은 $x=-3$ 이라는 한 점을 빼면 완전히 같고, 그래서 약분은 $x \ne -3$ 이라는 조건 아래에서만 성립한다."
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## 요약과 다음 장

이 장의 핵심은 한 문장이다. **곱으로 만들기 전에는 아무것도 지울 수 없다.** 약분은 공통 "인수"를 지우는 조작이지 공통 "항"을 지우는 조작이 아니다. 그래서 유리식에서는 계산보다 인수분해가 먼저다. 절차를 다시 정리한다. **① 분자와 분모가 곱인가 → ② 아니면 인수분해 → ③ 그다음 지운다.**

통분·곱셈·나눗셈·덧뺄셈의 규칙은 제1부의 분수와 동일하다. 문자가 얹혔고, 약분 전에 인수분해 한 단계가 추가되었을 뿐이다. 특히 나눗셈에서 "뒤에 오는 것을 뒤집는다"는 제3장에서 이유까지 밝힌 그대로다.

그리고 약분에서 제외된 점 하나($x \ne -3$)를 기억한다. 이 단계에서는 조건을 명시하는 절차로 충분하지만, 이후 극한을 배울 때 이 한 점이 논의의 중심이 된다.

다음 [제20장](ch20.md)에서는 지금까지 다룬 대수를 한자리에 모아 종합한다. 인수분해, 방정식, 그리고 이 장의 유리식이 서로 어떻게 맞물리는지 한 장에 놓고 확인한다.