제17장 · 이차방정식 ② — 근의 공식

제17장 · 이차방정식 ② — 근의 공식#

이 장

원본 코드

R2-W09

선행 내용

제16장(이차방정식 ①)

요지

근의 공식은 새로 외울 것이 아니라, 완전제곱 5단계를 문자로 한 번 더 한 결과다.

도입#

앞 장에서는 완전제곱으로 이차방정식을 풀었다. 예를 들어 \(x^2+6x+2=0\) 에 다섯 단계를 적용하여 \(x=-3\pm\sqrt{7}\) 을 얻었다. 이 방법은 계수가 바뀔 때마다 다섯 단계를 처음부터 다시 수행해야 한다.

반복을 없애는 방법은 계수를 문자로 두고 다섯 단계를 한 번만 수행하는 것이다. 그러면 결과가 계수에 대한 일반식으로 남고, 이후에는 그 식의 문자 자리에 숫자를 대입하는 것으로 계산이 끝난다. 문자로 하는 계산의 절차는 숫자로 하는 계산의 절차와 동일하다. 계수 자리에 \(3\) 대신 \(b\) 를 쓰는 차이만 있다.

따라서 이 장에서 새로 배우는 절차는 없다. 앞 장에서 숫자로 수행한 것을 이번에는 문자로 동일하게 수행한다. 왼쪽에 \(x^2+6x+2=0\) 을 두고 오른쪽에 일반형 \(ax^2+bx+c=0\) 을 둔 다음, 한 단계마다 두 열을 나란히 내려간다. 왼쪽은 계수가 정해져 있으므로 답도 하나의 수로 나온다. 오른쪽은 계수가 문자이므로 답도 문자로 나온다. 그 문자로 나온 답이 모든 이차방정식의 해, 즉 \(a\), \(b\), \(c\) 자리에 숫자를 넣기만 하면 되는 근의 공식이다.

이 장을 마치면 이차방정식은 예외 없이 전부 풀린다. \(x^2\) 앞에 숫자가 붙은 것도, 인수분해가 되지 않는 것도 포함된다.

왼쪽은 숫자, 오른쪽은 문자 — 나란한 유도#

앞 장의 완전제곱 5단계를 그대로 가져온다. 그 다섯 단계를 왼쪽 열에서는 숫자 \(x^2+6x+2=0\) 에, 오른쪽 열에서는 문자 \(ax^2+bx+c=0\) 에 나란히 적용한다. 한 단계마다 왼쪽 한 줄, 오른쪽 한 줄이다. 오른쪽이 이해되지 않으면 왼쪽을 대조한다. 왼쪽은 앞 장에서 이미 수행한 계산이다.

5단계

왼쪽 · 숫자 \(x^2+6x+2=0\)

오른쪽 · 문자 \(ax^2+bx+c=0\)

① \(x^2\) 계수를 1로

이미 \(1\) 이다. 할 일 없음
\(x^2+6x+2=0\)

양변을 \(a\) 로 나눈다
\(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\)

② 상수를 우변으로

\(x^2+6x=-2\)

\(x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}\)

③ (일차항 계수의 절반)\(^2\) 을 양변에

절반은 \(3\), 제곱은 \(9\)
\(x^2+6x+9=-2+9\)

절반은 \(\dfrac{b}{2a}\), 제곱은 \(\dfrac{b^2}{4a^2}\)
\(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}\)

④ 좌변을 제곱꼴로

\((x+3)^2=7\)

\(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\)

⑤ 제곱근, \(\pm\) 포함

\(x+3=\pm\sqrt{7}\)
\(x=-3\pm\sqrt{7}\)

\(x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

① 에서. 왼쪽은 계수가 이미 1이므로 수행할 조작이 없다. 오른쪽은 양변을 \(a\) 로 나눈다. 이 장에서 새로 생기는 유일한 단계가 이것이다. 나머지 네 단계는 앞 장과 글자만 다르다.

② 에서. 상수를 우변으로 넘긴다. 왼쪽은 \(2\) 를 넘겨 \(-2\), 오른쪽은 \(\dfrac{c}{a}\) 를 넘겨 \(-\dfrac{c}{a}\) 가 된다. 넘기면 부호가 바뀐다. 앞에서 양변 조작으로 다룬 것, 이항이라 이름 붙인 조작이다.

③ 에서. 이 단계가 유도의 핵심이다. 5단계 중 ③은 “일차항 계수의 절반을 제곱해서 양변에 더한다”였다. 왼쪽에서 일차항 계수는 \(6\), 절반은 \(3\), 제곱은 \(9\) 이다. 오른쪽에서 일차항 계수는 \(\dfrac{b}{a}\), 절반은 \(\dfrac{b}{2a}\), 제곱은 \(\dfrac{b^2}{4a^2}\) 이다. 두 열은 동일한 조작을 수행하며, 표기가 다를 뿐이다.

\[6 \ \to \ 3 \ \to \ 9 \qquad\qquad \frac{b}{a} \ \to \ \frac{b}{2a} \ \to \ \frac{b^2}{4a^2}\]

④ 에서. 우변의 통분이 이 유도의 핵심이다. 이 한 줄을 건너뛰면 \(b^2-4ac\) 의 출처를 알 수 없다.

\[-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} = \frac{-4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\]

\(-\dfrac{c}{a}\) 의 분모를 \(4a^2\) 으로 맞추려면 분모와 분자에 \(4a\) 를 곱한다. 그러면 분자가 \(-4ac\) 가 되고, 여기에 \(b^2\) 을 더하면 \(b^2-4ac\) 가 된다. 이 장 전체에서 반복해 등장하는 식이 여기서 생성된다. 출처는 통분이다.

⑤ 에서. 왼쪽은 \(x+3=\pm\sqrt{7}\) 이다. \(\pm\) 를 빠뜨리면 해가 하나만 남는다. 오른쪽에도 동일하게 \(\pm\) 가 붙는다. 분모 \(\sqrt{4a^2}\) 은 \(2a\) 이다.

이 단계도 세부까지 확인한다. ④의 우변은 \(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\) 이라는 분수였다. 여기에 제곱근을 씌우면 근호가 분수 전체를 덮는다. 그러므로 먼저 근호를 분자와 분모에 각각 씌운다.

\[\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}\]

제7장에서 다룬 분수의 근호는 위아래에 따로 씌운다(\(\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\))를 그대로 적용한 것이다. 다음은 분모이다. \(\sqrt{4a^2}\) 은 제곱해서 \(4a^2\) 이 되는 값이고, 그 값은 \(2a\) 이다. \((2a)^2=2a\cdot2a=4a^2\) 이므로 성립한다.

\[\sqrt{4a^2} = \sqrt{(2a)^2} = 2a\]

근호는 임의로 사라진 것이 아니다. 분모에 있던 값이 원래 제곱꼴이므로 근호가 벗겨진 것이다. 그리고 그 \(4a^2\) 은 ③단계에서 \(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\) 을 만들 때 생긴 분모이다. 출처가 분명하다. 분자 \(\sqrt{b^2-4ac}\) 는 안이 제곱꼴이 아니므로 근호가 그대로 남는다. 그 결과 우변은 \(\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) 가 된다.

\[x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

분모가 둘 다 \(2a\) 이므로 하나의 분수로 합친다. 이것이 근의 공식이다. 외부에서 주어진 식이 아니라 완전제곱 5단계에서 유도된 식이다.

(\(a\) 가 음수인 경우에 대한 보충이다. \(a<0\) 이면 \(\sqrt{4a^2}\) 은 \(2a\) 가 아니라 \(-2a\) 이다. 제곱근은 음수가 될 수 없기 때문이다. 그러나 앞에 붙은 \(\pm\) 가 그 부호를 흡수하므로 두 해는 자리만 맞바뀌고 결과는 같다. 따라서 공식은 \(a\) 의 부호와 무관하게 그대로 사용한다.)

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

유도가 옳은지 확인한다#

방금 유도한 공식을 왼쪽 문제에 다시 적용한다. \(x^2+6x+2=0\) 이므로 \(a=1\), \(b=6\), \(c=2\) 이다.

\[x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}=\frac{-6\pm\sqrt{36-8}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{28}}{2}\]

\(\sqrt{28}\) 은 \(28=4\times7\) 이므로 \(2\sqrt{7}\) 이다.

\[=\frac{-6\pm2\sqrt{7}}{2}=-3\pm\sqrt{7}\]

앞 장에서 완전제곱으로 구한 해와 일치한다. 두 경로가 같은 결과에 도달했으며, 이는 유도가 옳다는 근거이자 공식이 유도의 산물임을 보여준다.

다음은 \(x^2-4x+1=0\) 이다. 여기서는 \(a=1\), \(b=-4\), \(c=1\) 이다. \(b\) 가 음수이므로 \(-b\) 는 \(-(-4)=4\) 이다. 오류가 자주 발생하는 지점이므로 \(b=-4\), \(-b=4\) 를 명시적으로 적는다.

\[x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot1}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\]

\((-4)^2\) 은 \(16\) 이며 \(-16\) 이 아니다. 제곱하면 음의 부호가 사라진다. 이 지점에서도 오류가 자주 발생한다.

공식의 적용 — 네 단계#

공식을 사용하는 절차는 네 단계이다.

\[\text{① } =0 \text{ 꼴로 정리} \ \to \ \text{② } a,b,c \text{ 를 부호까지} \ \to \ \text{③ } D=b^2-4ac \text{ 먼저} \ \to \ \text{④ 공식에 대입 · 약분}\]

③을 따로 두는 이유는 두 가지이다. 근호 안을 먼저 계산해 두면 이후 대입에서 처리할 항이 줄어들고, 이 값 자체가 이 장 후반의 주제이기 때문이다. ②도 형식적인 단계가 아니다. 부호 오류가 가장 자주 발생하는 지점이다. \(c\) 를 \(-4\) 대신 \(4\) 로 적으면 이후 계산이 모두 옳아도 답은 틀린다. \(a\), \(b\), \(c\) 를 부호까지 먼저 적는 것이 첫 단계이다.

먼저 \(x^2\) 앞에 숫자가 붙은 경우를 다룬다. \(2x^2-7x+3=0\) 이다. 앞 장까지의 방법으로는 처리가 까다로웠으나, 이제는 \(a\) 자리에 \(2\) 를 넣으면 된다. ① 이미 \(=0\) 꼴이다. ② \(a=2\), \(b=-7\), \(c=3\). ③ \(D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25\). ④ 대입한다.

\[x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{7\pm5}{4}\]
\[x=\frac{12}{4}=3 \quad \text{또는} \quad x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]

\(25\) 가 제곱수이므로 근호가 벗겨졌다. 해가 유리수로 나왔다는 것은 이 식이 인수분해로도 풀린다는 뜻이다.

\[2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)\]

따라서 근의 공식은 인수분해를 대체하는 것이 아니라 포함한다. 인수분해가 보이면 그 방법이 더 빠르고, 보이지 않으면 공식을 쓴다. 두 경우 모두 처리된다.

다음은 해가 무리수로 나오는 경우이다. \(2x^2+4x-1=0\) 이다. ② \(a=2\), \(b=4\), \(c=-1\). ③ \(D=16-4\cdot2\cdot(-1)=16+8=24\). \(c\) 가 음수이므로 \(-4ac\) 가 덧셈이 된다. 즉 \(16-(-8)=16+8\) 이다. 부호가 두 번 겹치는 지점이다.

\[x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{6}}{2}\]

마지막 약분에 주의한다. 분자의 세 덩어리 전부를 2로 나눈다. \(-4\div2=-2\), \(2\sqrt{6}\div2=\sqrt{6}\), 분모 \(4\div2=2\) 이다. 한 항만 나누면 결과가 틀린다. \(\sqrt{6}\approx2.449\) 이므로 \(x\approx0.225\) 또는 \(x\approx-2.225\) 이다. 원식에 \(0.225\) 를 대입하면 값이 \(0\) 에 가깝게 나온다. 해에 근호가 남아도 이 방식의 검산은 항상 가능하다.

근호가 남았을 때의 검산 — 두 답을 더하고 곱한다#

소수를 이용한 검산에는 두 가지 한계가 있다. “\(0\) 에 가깝다”는 판정의 기준이 없고, 부호를 하나 틀려도 근삿값이 그럴듯하게 보일 수 있다. 근의 공식 자체에서 정확한 검산 도구가 곧바로 유도된다. 두 해를 각각 \(x_1\), \(x_2\) 라 하고 \(D=b^2-4ac\) 라 둔다.

먼저 두 해를 더한다. 분모가 같으므로 분자끼리 더하면 된다.

\[x_1+x_2 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\]

\(+\sqrt{D}\) 와 \(-\sqrt{D}\) 가 상쇄되어 근호가 전부 사라진다. 이 점이 핵심이다. 각 해에 근호가 복잡하게 남아 있어도 두 해의 합은 근호 없는 값이 된다.

다음으로 두 해를 곱한다. \((A+B)(A-B)=A^2-B^2\) 이라는 합차 공식을 \(A=-b\), \(B=\sqrt{D}\) 에 적용한다.

\[x_1 x_2 = \frac{(-b+\sqrt{D})(-b-\sqrt{D})}{2a\cdot2a} = \frac{b^2-D}{4a^2} = \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\]

여기서도 근호가 사라진다. 결과는 두 식이다.

\[x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}\]

앞에서 푼 \(2x^2+4x-1=0\) 에 바로 적용한다. \(a=2\), \(b=4\), \(c=-1\) 이고 해는 \(x=\dfrac{-2\pm\sqrt{6}}{2}\) 였다.

  • 합: \(\dfrac{-2+\sqrt6}{2}+\dfrac{-2-\sqrt6}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\). 그리고 \(-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{4}{2}=-2\) ✔

  • 곱: \(\dfrac{(-2)^2-(\sqrt6)^2}{4}=\dfrac{4-6}{4}=-\dfrac{1}{2}\). 그리고 \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}\) ✔

이 검산에는 계산기도 소수 근사도 필요하지 않다. 또한 이 검산은 부호 오류를 정확히 검출한다. \(-b\) 를 잘못 적어 \(x=\dfrac{2\pm\sqrt6}{2}\) 라고 답했다면 합이 \(+2\) 가 되어 \(-\dfrac{b}{a}=-2\) 와 어긋난다. 근삿값 대입으로는 통과할 오류가 여기서 검출된다. 해에 근호가 남으면 합과 곱을 확인한다. 이 장에서는 이것이 검산 방법이다.

판별식 — 근호 안의 부호#

해가 두 개인 이유는 \(\pm\) 때문이다. \(\pm\) 앞의 근호 안이 \(0\) 이면 더한 값과 뺀 값이 같으므로 해가 하나가 된다. 근호 안이 음수이면 제곱해서 음수가 되는 실수가 없으므로 실수 해가 존재하지 않는다. 따라서 해의 개수를 결정하는 것은 근호 안의 값뿐이다.

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{\boxed{b^2-4ac}}}{2a}\]

이 근호 안의 식 \(b^2-4ac\) 를 판별식(discriminant)이라 하고 \(D\) 로 쓴다.

\[D=b^2-4ac\]

\(D\) 의 부호

근호 안

실수 해의 개수

\(D>0\)

양수 → 근호가 값을 가짐

2개 (서로 다른 두 실수해)

\(D=0\)

\(0\) → \(\pm0\) 은 하나

1개 (중근)

\(D<0\)

음수 → 실수 범위에 없음

0개 (실수 해 없음)

‘판별식’이라는 이름은 별도의 개념을 가리키지 않는다. 판별식은 근의 공식의 근호 안이다. 이름을 모르더라도 근호 안의 값을 보면 판정할 수 있다.

그래프로 보면 이 관계가 더 분명해진다. 앞의 두 항이 같고 상수만 \(1\) 씩 커지는 세 식을 나란히 놓는다.

\[y=x^2+4x+3 \qquad y=x^2+4x+4 \qquad y=x^2+4x+5\]
\[D=16-12=4 \qquad D=16-16=0 \qquad D=16-20=-4\]

그림을 읽기 위해 필요한 개념을 먼저 정리한다. 여기서 등장한 \(y\) 와 포물선과 \(x\) 축이 무엇인지부터 정의한다.

\(x^2+4x+3\) 은 \(x\) 를 하나 정해 대입하면 값이 하나 결정되는 식이다. 그 결정된 값에 \(y\) 라는 이름을 붙인 것이 \(y=x^2+4x+3\) 이다. 다섯 개의 값을 계산한다.

\(x\)

\(-4\)

\(-3\)

\(-2\)

\(-1\)

\(0\)

\(y=x^2+4x+3\)

\(3\)

\(0\)

\(-1\)

\(0\)

\(3\)

(\(x=-4\) 이면 \(16-16+3=3\), \(x=-3\) 이면 \(9-12+3=0\), \(x=-2\) 이면 \(4-8+3=-1\) 이다. 각 \(x\) 에 대해 이렇게 대입한 결과이다.)

이제 제1부에서 사용한 수직선을 두 개 준비한다. 하나는 가로로 놓아 \(x\) 를 재고, 하나는 세로로 놓아 \(y\) 를 잰다. 가로로 놓인 것을 \(x\) 축이라 한다. 표의 다섯 쌍을 점으로 찍는다. \(x=-4\), \(y=3\) 이면 가로로 \(-4\) 인 자리에서 위로 \(3\) 만큼 올라간 위치에 점을 찍는다. 그렇게 찍은 다섯 점을 매끄럽게 이으면 아래로 볼록한 그릇 모양의 곡선이 되고, 이 곡선을 포물선이라 한다.

그러면 방정식 \(x^2+4x+3=0\) 을 푸는 일이 그림에서 무엇에 대응하는지 정해진다. \(y\) 가 \(0\) 이 되는 \(x\) 를 찾는 일이다. \(y=0\) 은 위로도 아래로도 이동하지 않은 위치, 곧 가로선인 \(x\) 축 위의 점을 뜻한다. 따라서 방정식을 푸는 것은 포물선이 \(x\) 축과 만나는 위치를 찾는 일이 된다. 표에 이미 그 값이 나와 있다. \(x=-3\) 과 \(x=-1\) 에서 \(y\) 가 \(0\) 이다. 해가 두 개이며, 실제로 \(D=4>0\) 이다.

좌표평면은 제18장에서 정식으로 다룬다. 이 절에서는 그림을 읽는 데 필요한 정도만 사용한다.

완전제곱으로 바꾸면 세 식은 모두 \((x+2)^2\) 에 상수만 다르다. 각각 \((x+2)^2-1\), \((x+2)^2\), \((x+2)^2+1\) 이다. 같은 포물선을 \(1\) 씩 위로 평행이동한 것이다. 그에 따라 \(x\) 축과 만나는 방식이 달라진다.

판별식에 따른 포물선과 x축: D>0, D=0, D<0

이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\) 을 푸는 것은 포물선이 \(x\) 축과 만나는 위치를 찾는 일이다. 두 점에서 만나면 해가 두 개, 한 점에서 접하면 하나, 만나지 않으면 실수 해가 없다. 판별식은 이 셋 중 어느 경우인지를 풀기 전에 알려준다.

인수분해가 되지 않던 식의 성질도 여기서 설명된다. \(x^2+4x+5\) 는 인수분해 기법이 부족해서 안 되는 것이 아니라, \(x\) 축과 만나는 위치가 없어서(\(D=-4\)) 실수 범위에서 해가 존재하지 않는 것이다. (실수 범위를 벗어나면 해가 존재하지만, 그 내용은 이 책의 범위 밖이다.)

빈번한 오류#

공식은 외웠는데 유도를 모른다

\(\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) 를 분모가 \(2\) 인 꼴이나 근호 안이 \(b^2+4ac\) 인 꼴로 잘못 쓰고도 어긋난 지점을 인지하지 못한다. 유도 없이 결과만 암기한 경우에 발생한다. 암기가 흐려져도 비슷한 모양은 남지만, 근거가 없으므로 흐려진 부분을 스스로 복구할 수단이 없다. 이 오류의 교정 방법은 공식을 다시 암기하는 것이 아니라 대조표로 돌아가는 것이다. \(4ac\) 앞의 마이너스는 ②단계에서 상수를 우변으로 넘길 때 붙은 부호가 ④단계 통분에서 유지된 것이고, 분모 \(2a\) 는 \(\sqrt{4a^2}\) 에서 나왔으며, 그 \(4a^2\) 은 ③단계에서 생성된 것이다. 모든 항에 출처가 있다.

확인 문제: 근의 공식에서 \(4ac\) 앞의 부호는 왜 마이너스인가? (답: 상수를 우변으로 넘길 때 붙은 마이너스가 통분되어 남은 것.)

\(b\) 가 음수일 때 \(-b\) 를 음수로 쓴다

\(2x^2-3x+1=0\) 에서 분자를 \(3\pm1\) 이 아니라 \(-3\pm1\) 로 쓴다. 이 장에서 빈번한 오류 중 하나이다. 공식의 첫 항을 “\(-b\)”가 아니라 “마이너스가 붙은 항”이라는 형태로 기억하기 때문에 발생한다. \(b\) 라는 문자에 이미 부호가 포함되어 있다는 인식이 없는 상태이다. 교정 방법은 부호에 주의하라는 지시가 아니라 적는 순서를 바꾸는 것이다. 모든 문제에서 \(a=\), \(b=\), \(c=\) 세 줄을 먼저 적고, 네 번째 줄에 \(-b=\) 를 따로 적는다. \(b=-3\) 이면 \(-b=3\) 이다. \(-b\) 의 값은 암산으로 처리하지 않고 별도의 줄에 적는다.

\[2x^2+3x-1=0 \ \Rightarrow \ b=3,\ -b=-3 \qquad 2x^2-3x+1=0 \ \Rightarrow \ b=-3,\ -b=3\]

부호만 뒤집힌 두 식에서 \(-b\) 가 정반대가 된다. \(b^2\) 도 함께 확인한다. \((-3)^2=9\) 이며 \(-9\) 가 아니다.

확인 문제: \(x^2-7x+10=0\) 을 근의 공식으로. (답: \(D=49-40=9\), \(x=\dfrac{7\pm3}{2}\) → \(x=5\) 또는 \(x=2\). 분자가 \(7\pm3\) 으로 시작하면 통과.)

판별식 부호와 해의 개수를 뒤집는다

“\(D<0\) 이면 해가 두 개”, 또는 “\(D=0\) 이면 해가 없다”고 답한다. 표를 참조할 때는 맞히지만 표가 없으면 방향을 혼동한다. 판별식을 근의 공식과 분리된 독립 규칙으로 암기했기 때문이다. \(D\) 가 근의 공식의 근호 안이라는 연결이 끊기면 대응 방향을 판정할 근거가 사라진다. 표를 암기하는 대신 매번 근호 안의 값을 직접 판정한다. \(\sqrt{-4}\) 는 실수 범위에서 계산되지 않으므로 해도 존재하지 않는다. 혼동될 때는 세 포물선 그림을 참조한다. 포물선이 \(x\) 축 위쪽에 떠 있으면 만나는 점이 없고, 만나는 점이 없으면 실수 해가 없다.

확인 문제: \(x^2+2x+5=0\) 과 \(x^2+2x-5=0\) 의 실수 해는 각각 몇 개인가? (답: \(D=4-20=-16<0\) → 0개 / \(D=4+20=24>0\) → 2개. 상수의 부호가 해의 개수를 결정한다.)

답을 정리하는 단계에서 틀린다

두 가지가 함께 나타난다. (가) 약분 — \(\dfrac{4\pm2\sqrt{10}}{4}\) 를 \(1\pm2\sqrt{10}\) 처럼 분자의 한 항만 나눈다. (나) 근호 쪼개기 — \(\sqrt{16+8}\) 을 \(4+\sqrt{8}\) 로 쓴다. (나)는 제7장에서 제곱근을 다룰 때 나온 것과 같은 오류이다(\(\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}\)). 근호를 괄호와 같은 것으로 간주하여 내부의 항을 개별적으로 꺼낼 수 있다고 판단하는 데서 발생하며, 수치로 바로 반증된다. \(\sqrt{16+8}=\sqrt{24}\approx4.9\) 인 반면 \(4+\sqrt{8}\approx6.83\) 으로 서로 다른 수이다. 근호 안의 덧셈은 밖으로 분리할 수 없다. 약분은 분자를 먼저 곱셈 꼴로 묶은 뒤에 수행한다. 묶이면 약분할 수 있고, 묶이지 않으면 약분해서는 안 된다.

\[\frac{4\pm2\sqrt{10}}{4}=\frac{2(2\pm\sqrt{10})}{4}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}\]

확인 문제: \(\dfrac{6\pm3\sqrt{2}}{3}\) 를 간단히 하라. (답: \(2\pm\sqrt{2}\). \(6\pm\sqrt{2}\) 나 \(2\pm3\sqrt{2}\) 라고 쓰면 다시 묶기부터.)

연습문제#

계산기는 검산할 때만 쓴다. 모든 문항에서 \(a\), \(b\), \(c\) 를 부호까지 먼저 적고 시작한다. 이 한 줄이 부호 오류를 크게 줄인다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

  1. A 근의 공식으로 풀어라. (1) \(x^2+5x+6=0\) (2) \(x^2-2x-3=0\)

  2. A 근의 공식으로 풀어라. (1) \(x^2+2x-1=0\) (2) \(x^2-6x+7=0\)

  3. A 근의 공식으로 풀어라. \(x^2+6x+4=0\)

  4. A 풀지 말고 판별식만으로 실수 해의 개수를 답하라. (1) \(x^2-7x+12=0\) (2) \(4x^2-12x+9=0\) (3) \(x^2+x+3=0\)

  5. B \(2x^2+3x-1=0\)

  6. B \(2x^2-3x+1=0\)

  7. B \(3x^2-5x-2=0\)

  8. B \(2x^2-4x-3=0\)

  9. B \(x^2=5x-6\) (먼저 \(=0\) 꼴로 정리한다)

  10. B 5번과 6번의 답을 나란히 놓아라. 한쪽은 근호가 남고 한쪽은 안 남는다. 근호가 안 남은 쪽을 인수분해로도 풀어서 같은 답이 나오는지 확인하라.

  11. B 텃밭을 직사각형으로 만드는데, 가로가 세로보다 \(3\) m 길다. 넓이가 \(40\) m\(^2\) 이 되게 하려면 세로를 몇 m로 해야 하는가?

  12. C 어떤 카페가 커피를 한 잔 \(3{,}000\) 원에 팔아 하루 \(200\) 잔을 판다. 가격을 \(100\) 원 올릴 때마다 판매량이 하루 \(5\) 잔씩 줄어든다. 하루 매출이 \(612{,}000\) 원이 되게 하려면 가격을 얼마로 정해야 하는가? (답이 두 개 나온다. 둘 다 쓰고, 둘 다 말이 되는지 확인하라)

  13. C \(x^2+kx+9=0\) 이 중근을 갖도록 하는 \(k\) 의 값을 모두 구하라.

  14. C 근의 공식 유도의 ③단계에서 양변에 무엇을 더했는지 쓰고, 왜 하필 그것인지 한 문장으로 설명하라.

정답과 해설

  1. (1) \(D=25-24=1\), \(x=\dfrac{-5\pm1}{2}\) → \(x=-2\) 또는 \(x=-3\) [유리수 해 — 인수분해 \((x+2)(x+3)\) 로도 풀린다] (2) \(D=4+12=16\), \(x=\dfrac{2\pm4}{2}\) → \(x=3\) 또는 \(x=-1\) [유리수 해 — \((x-3)(x+1)\)]

  2. (1) \(D=4+4=8\), \(x=\dfrac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\) [무리수 해 — 인수분해로는 안 된다]. 합·곱 확인: 합 \((-1+\sqrt2)+(-1-\sqrt2)=-2=-\dfrac{b}{a}\) ✔, 곱 \((-1)^2-(\sqrt2)^2=1-2=-1=\dfrac{c}{a}\) ✔ (2) \(D=36-28=8\), \(x=\dfrac{6\pm2\sqrt{2}}{2}=3\pm\sqrt{2}\) [무리수 해]. 합·곱 확인: 합 \(6=-\dfrac{b}{a}\) ✔, 곱 \(9-2=7=\dfrac{c}{a}\) ✔

  3. \(D=36-16=20\), \(x=\dfrac{-6\pm2\sqrt{5}}{2}=-3\pm\sqrt{5}\) [무리수 해]. 이렇게 틀린다: \(\dfrac{-6\pm2\sqrt5}{2}=-6\pm\sqrt5\) 로 쓴다. 분자의 두 덩어리를 둘 다 나눠야 한다. 합·곱 확인: 합 \(-6=-\dfrac{b}{a}\) ✔, 곱 \(9-5=4=\dfrac{c}{a}\) ✔ (틀린 답 \(-6\pm\sqrt5\) 로는 합이 \(-12\) 라 즉시 걸린다)

  4. (1) \(D=49-48=1>0\) → 2개 (2) \(D=144-144=0\) → 1개 (중근) (3) \(D=1-12=-11<0\) → 0개

  5. \(D=9+8=17\), \(x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}\) [무리수 해]. \(17\) 은 제곱수가 아니므로 여기서 끝이다. 더 정리되지 않는다. 합·곱 확인: 합 \(\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{b}{a}\) ✔, 곱 \(\dfrac{9-17}{16}=-\dfrac{1}{2}=\dfrac{c}{a}\) ✔

  6. \(D=9-8=1\), \(x=\dfrac{3\pm1}{4}\) → \(x=1\) 또는 \(x=\dfrac{1}{2}\) [유리수 해 — \((2x-1)(x-1)\)]. 이렇게 틀린다: \(b=-3\) 인데 분자를 \(-3\pm1\) 로 쓴다. 이 장에서 빈번한 오류 중 하나이다.

  7. \(D=25+24=49\), \(x=\dfrac{5\pm7}{6}\) → \(x=2\) 또는 \(x=-\dfrac{1}{3}\) [유리수 해 — \((x-2)(3x+1)\)]

  8. \(D=16+24=40\), \(x=\dfrac{4\pm2\sqrt{10}}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{2}\) [무리수 해]. \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) 까지 가야 약분이 보인다. 합·곱 확인: 합 \(\dfrac{4}{2}=2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{4}{2}\) ✔, 곱 \(\dfrac{4-10}{4}=-\dfrac{3}{2}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{2}\) ✔

  9. 먼저 \(x^2-5x+6=0\) 으로 정리. \(D=25-24=1\), \(x=\dfrac{5\pm1}{2}\) → \(x=3\) 또는 \(x=2\) [유리수 해]. 이렇게 틀린다: 정리하지 않고 우변의 \(-6\) 을 그대로 \(c\) 에 넣는다. \(=0\) 꼴이 아니면 \(a,b,c\) 를 뽑을 수 없다.

  10. 5번은 \(\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}\) (근호 남음), 6번은 \(1\) 과 \(\dfrac12\) (근호 없음). 6번 인수분해: \(2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)\) → \(x=\dfrac12\) 또는 \(x=1\). 일치한다. 핵심: 판별식이 제곱수면 유리수 해가 나오고, 그때는 인수분해로도 풀린다. 판별식이 제곱수가 아니면 인수분해로는 못 푼다. 근의 공식은 두 경우를 다 처리한다.

  11. 세로 \(5\) m (가로 \(8\) m) — 세로를 \(x\) 라 하면 \(x(x+3)=40\), 즉 \(x^2+3x-40=0\). \(D=9+160=169\), \(x=\dfrac{-3\pm13}{2}\) → \(x=5\) 또는 \(x=-8\). 길이는 음수일 수 없으므로 \(-8\) 은 버린다. 검산: \(5\times8=40\) ✔ 이렇게 틀린다: \(-8\) 도 답이라고 쓴다. 문장제는 수학적 해를 구한 뒤 그 해가 문제 상황에서 성립하는지 판정하는 단계가 하나 더 있다.

  12. \(3{,}400\) 원 또는 \(3{,}600\) 원 — 인상 횟수를 \(n\) 이라 하면 매출은 \((3000+100n)(200-5n)=612000\). 전개하면 \(-500n^2+5000n+600000=612000\), 정리하면 \(n^2-10n+24=0\). \(D=100-96=4\), \(n=\dfrac{10\pm2}{2}\) → \(n=4\) 또는 \(n=6\). 검산: \(3400\times180=612{,}000\) ✔, \(3600\times170=612{,}000\) ✔ 둘 다 실제로 가능한 답이다. 여기서 배울 것: 이차방정식의 두 해가 둘 다 의미 있는 경우도 있다. 11번처럼 하나를 버리는 경우와 대조된다. 버릴지 말지는 수학이 아니라 상황이 정한다.

  13. \(k=6\) 또는 \(k=-6\) — 중근 조건은 \(D=0\). \(D=k^2-4\cdot1\cdot9=k^2-36=0\) 이므로 \(k=\pm6\). 확인: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\), \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). 둘 다 중근이다. 이렇게 틀린다: \(k=6\) 만 쓴다. \(k^2=36\) 의 해는 두 개다.

  14. 예시 답안: “일차항 계수 \(\dfrac{b}{a}\) 의 절반인 \(\dfrac{b}{2a}\) 를 제곱한 \(\dfrac{b^2}{4a^2}\) 을 더했다. 좌변을 \(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\) 이라는 제곱꼴로 만들려면 정확히 그 값이 필요하기 때문이다.” — 핵심은 **”제곱꼴을 만들기 위해”**라는 목적을 말하는 것.

추가 연습문제#

전부 근의 공식으로 푼다. 유리수 해가 나오는 문제와 무리수 해가 나오는 문제를 일부러 섞었다. 답이 근호 없이 딱 떨어지면 그 식은 인수분해로도 풀린다는 뜻이다. 모든 문항에서 \(a\), \(b\), \(c\), \(-b\) 를 먼저 적고 시작한다. 그리고 답에 근호가 남으면 두 답의 합이 \(-\dfrac{b}{a}\), 곱이 \(\dfrac{c}{a}\) 인지 확인한다. 부호를 하나 틀렸으면 여기서 검출된다.

  1. \(x^2+3x+2=0\)

  2. \(x^2-7x+12=0\)

  3. \(x^2+2x-8=0\)

  4. \(x^2-2x-1=0\)

  5. \(x^2+4x+1=0\)

  6. \(x^2-6x+4=0\)

  7. \(x^2-x-6=0\)

  8. \(x^2-5x+2=0\)

  9. \(x^2+x-1=0\)

  10. \(x^2-8x+15=0\)

  11. \(x^2+6x+7=0\)

  12. \(x^2-4x-2=0\)

  13. \(x^2+9x+20=0\)

  14. \(x^2-10x+21=0\)

  15. \(2x^2+5x+2=0\)

  16. \(2x^2-3x+1=0\)

  17. \(3x^2-5x+2=0\)

  18. \(2x^2+3x-1=0\)

  19. \(3x^2+2x-1=0\)

  20. \(2x^2-4x-1=0\)

  21. \(4x^2-4x-1=0\)

  22. 풀지 말고 판별식만으로 실수 해의 개수를 답하라. (1) \(x^2-3x+5=0\) (2) \(9x^2-6x+1=0\) (3) \(2x^2+7x-4=0\)

  23. \(x^2=4x+5\) 를 풀어라. (먼저 \(=0\) 꼴로 정리한다)

  24. 방을 직사각형으로 만드는데 세로가 가로보다 \(2\) m 짧다. 넓이가 \(24\) m\(^2\) 이 되게 하려면 가로를 몇 m로 해야 하는가?

  25. \(D<0\) 이면 왜 실수 해가 없는지, 근의 공식의 어느 부분 때문인지를 짚어서 두 문장으로 쓰라.

정답과 해설

표기: [유] = 유리수 해(인수분해로도 풀린다, 인수분해 결과를 함께 적었다) / [무] = 무리수 해(인수분해로는 못 푼다)

  1. \(x=-1\) 또는 \(x=-2\) [유] \((x+1)(x+2)\)

  2. \(x=3\) 또는 \(x=4\) [유] \((x-3)(x-4)\)

  3. \(x=2\) 또는 \(x=-4\) [유] \((x-2)(x+4)\)

  4. \(x=1\pm\sqrt{2}\) [무] — \(D=8\), \(\dfrac{2\pm2\sqrt2}{2}\)

  5. \(x=-2\pm\sqrt{3}\) [무] — \(D=12\), \(\dfrac{-4\pm2\sqrt3}{2}\)

  6. \(x=3\pm\sqrt{5}\) [무] — \(D=20\), \(\dfrac{6\pm2\sqrt5}{2}\)

  7. \(x=3\) 또는 \(x=-2\) [유] \((x-3)(x+2)\)

  8. \(x=\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{2}\) [무] — \(D=17\). 제곱수가 아니므로 여기서 끝이다.

  9. \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\) [무] — \(D=5\). 참고로 이 식의 양수 해가 황금비 \(\dfrac{\sqrt5-1}{2}\) 다.

  10. \(x=3\) 또는 \(x=5\) [유] \((x-3)(x-5)\)

  11. \(x=-3\pm\sqrt{2}\) [무] — \(D=8\), \(\dfrac{-6\pm2\sqrt2}{2}\)

  12. \(x=2\pm\sqrt{6}\) [무] — \(D=24\), \(\dfrac{4\pm2\sqrt6}{2}\)

  13. \(x=-4\) 또는 \(x=-5\) [유] \((x+4)(x+5)\)

  14. \(x=3\) 또는 \(x=7\) [유] \((x-3)(x-7)\)

  15. \(x=-\dfrac{1}{2}\) 또는 \(x=-2\) [유] \((2x+1)(x+2)\) — \(D=9\), \(\dfrac{-5\pm3}{4}\)

  16. \(x=1\) 또는 \(x=\dfrac{1}{2}\) [유] \((x-1)(2x-1)\) — \(D=1\), \(\dfrac{3\pm1}{4}\). 함정: \(b=-3\) 이므로 분자는 \(3\pm1\) 이다. \(-3\pm1\) 로 쓰면 답이 통째로 틀린다.

  17. \(x=1\) 또는 \(x=\dfrac{2}{3}\) [유] \((x-1)(3x-2)\) — \(D=1\), \(\dfrac{5\pm1}{6}\)

  18. \(x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}\) [무] — \(D=17\).

  19. \(x=\dfrac{1}{3}\) 또는 \(x=-1\) [유] \((3x-1)(x+1)\) — \(D=16\), \(\dfrac{-2\pm4}{6}\)

  20. \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{6}}{2}\) [무] — \(D=24\), \(\dfrac{4\pm2\sqrt6}{4}\). 분자 두 덩어리를 둘 다 2로 나눈다.

  21. \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{2}}{2}\) [무] — \(D=32\), \(\sqrt{32}=4\sqrt2\), \(\dfrac{4\pm4\sqrt2}{8}\). 분자·분모를 4로 나눈다.

  22. (1) \(D=9-20=-11<0\) → 0개 (2) \(D=36-36=0\) → 1개 (중근 \(x=\dfrac13\)) (3) \(D=49+32=81>0\) → 2개

  23. \(x=5\) 또는 \(x=-1\) [유] — 먼저 \(x^2-4x-5=0\) 으로 정리. \((x-5)(x+1)\). 이렇게 틀린다: 정리하지 않고 \(c\) 자리에 \(5\) 를 넣는다. 우변의 항을 넘길 때 부호가 바뀐다.

  24. 가로 \(6\) m (세로 \(4\) m) — 가로를 \(x\) 라 하면 \(x(x-2)=24\), 즉 \(x^2-2x-24=0\). \(D=4+96=100\), \(x=\dfrac{2\pm10}{2}\) → \(x=6\) 또는 \(x=-4\). 길이는 음수일 수 없으므로 \(-4\) 는 버린다. 검산: \(6\times4=24\) ✔

  25. 예시 답안: “근의 공식에서 \(D\) 는 근호 안에 있다. 제곱해서 음수가 되는 실수는 없으므로 \(D<0\) 이면 \(\sqrt{D}\) 자체가 실수 범위에 존재하지 않고, 따라서 실수 해가 없다.” — 핵심은 **”근호 안”**을 짚는 것. 그래프로 “포물선이 \(x\) 축과 만나지 않아서”라고 써도 정답이다.

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 한 문장이다. 근의 공식은 새로 외울 것이 아니라, 완전제곱 5단계를 문자로 한 번 더 한 결과다. 그 유도에서 생성된 근호 안의 식 \(b^2-4ac\) 가 판별식이고, 그 부호만으로 실수 해가 두 개인지, 하나인지, 없는지를 풀기 전에 판정할 수 있다. 이는 포물선이 \(x\) 축과 만나는 방식과 대응한다.

여기까지 미지수는 언제나 하나였다. \(x\) 하나이다. 제18장에서는 미지수가 두 개가 된다. \(x\) 와 \(y\) 이다. 그러면 식도 두 개가 필요해진다. 그 이유와, 그 두 식이 그래프에서는 무엇으로 나타나는지를 다음 장에서 다룬다.