# 제17장 · 이차방정식 ② — 근의 공식

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **원본 코드** | R2-W09 |
| **선행 내용** | 제16장(이차방정식 ①) |
| **요지** | 근의 공식은 새로 외울 것이 아니라, 완전제곱 5단계를 문자로 한 번 더 한 결과다. |
:::

## 도입

앞 장에서는 완전제곱으로 이차방정식을 풀었다. 예를 들어 $x^2+6x+2=0$ 에 다섯 단계를 적용하여 $x=-3\pm\sqrt{7}$ 을 얻었다. 이 방법은 계수가 바뀔 때마다 다섯 단계를 처음부터 다시 수행해야 한다.

반복을 없애는 방법은 계수를 문자로 두고 다섯 단계를 한 번만 수행하는 것이다. 그러면 결과가 계수에 대한 일반식으로 남고, 이후에는 그 식의 문자 자리에 숫자를 대입하는 것으로 계산이 끝난다. 문자로 하는 계산의 절차는 숫자로 하는 계산의 절차와 동일하다. 계수 자리에 $3$ 대신 $b$ 를 쓰는 차이만 있다.

따라서 이 장에서 새로 배우는 절차는 없다. **앞 장에서 숫자로 수행한 것을 이번에는 문자로 동일하게 수행한다.** 왼쪽에 $x^2+6x+2=0$ 을 두고 오른쪽에 일반형 $ax^2+bx+c=0$ 을 둔 다음, 한 단계마다 두 열을 나란히 내려간다. 왼쪽은 계수가 정해져 있으므로 답도 하나의 수로 나온다. 오른쪽은 계수가 문자이므로 답도 **문자로** 나온다. 그 문자로 나온 답이 **모든 이차방정식의 해**, 즉 $a$, $b$, $c$ 자리에 숫자를 넣기만 하면 되는 근의 공식이다.

이 장을 마치면 이차방정식은 예외 없이 전부 풀린다. $x^2$ 앞에 숫자가 붙은 것도, 인수분해가 되지 않는 것도 포함된다.

## 왼쪽은 숫자, 오른쪽은 문자 — 나란한 유도

앞 장의 완전제곱 5단계를 그대로 가져온다. 그 다섯 단계를 왼쪽 열에서는 숫자 $x^2+6x+2=0$ 에, 오른쪽 열에서는 문자 $ax^2+bx+c=0$ 에 나란히 적용한다. **한 단계마다 왼쪽 한 줄, 오른쪽 한 줄이다.** 오른쪽이 이해되지 않으면 왼쪽을 대조한다. 왼쪽은 앞 장에서 이미 수행한 계산이다.

| 5단계 | 왼쪽 · 숫자 $x^2+6x+2=0$ | 오른쪽 · 문자 $ax^2+bx+c=0$ |
|---|---|---|
| ① $x^2$ 계수를 1로 | 이미 $1$ 이다. 할 일 없음<br>$x^2+6x+2=0$ | 양변을 $a$ 로 나눈다<br>$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ |
| ② 상수를 우변으로 | $x^2+6x=-2$ | $x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}$ |
| ③ (일차항 계수의 절반)$^2$ 을 양변에 | 절반은 $3$, 제곱은 $9$<br>$x^2+6x+9=-2+9$ | 절반은 $\dfrac{b}{2a}$, 제곱은 $\dfrac{b^2}{4a^2}$<br>$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}$ |
| ④ 좌변을 제곱꼴로 | $(x+3)^2=7$ | $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$ |
| ⑤ 제곱근, $\pm$ 포함 | $x+3=\pm\sqrt{7}$<br>$x=-3\pm\sqrt{7}$ | $x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$<br>$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ |

**① 에서.** 왼쪽은 계수가 이미 1이므로 수행할 조작이 없다. 오른쪽은 양변을 $a$ 로 나눈다. 이 장에서 새로 생기는 유일한 단계가 이것이다. 나머지 네 단계는 앞 장과 글자만 다르다.

**② 에서.** 상수를 우변으로 넘긴다. 왼쪽은 $2$ 를 넘겨 $-2$, 오른쪽은 $\dfrac{c}{a}$ 를 넘겨 $-\dfrac{c}{a}$ 가 된다. 넘기면 부호가 바뀐다. 앞에서 양변 조작으로 다룬 것, 이항이라 이름 붙인 조작이다.

**③ 에서.** 이 단계가 유도의 핵심이다. 5단계 중 ③은 "일차항 계수의 **절반**을 **제곱**해서 양변에 더한다"였다. 왼쪽에서 일차항 계수는 $6$, 절반은 $3$, 제곱은 $9$ 이다. 오른쪽에서 일차항 계수는 $\dfrac{b}{a}$, 절반은 $\dfrac{b}{2a}$, 제곱은 $\dfrac{b^2}{4a^2}$ 이다. 두 열은 동일한 조작을 수행하며, 표기가 다를 뿐이다.

$$6 \ \to \ 3 \ \to \ 9 \qquad\qquad \frac{b}{a} \ \to \ \frac{b}{2a} \ \to \ \frac{b^2}{4a^2}$$

**④ 에서.** 우변의 통분이 이 유도의 핵심이다. 이 한 줄을 건너뛰면 $b^2-4ac$ 의 출처를 알 수 없다.

$$-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} = \frac{-4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

$-\dfrac{c}{a}$ 의 분모를 $4a^2$ 으로 맞추려면 분모와 분자에 $4a$ 를 곱한다. 그러면 분자가 $-4ac$ 가 되고, 여기에 $b^2$ 을 더하면 $b^2-4ac$ 가 된다. 이 장 전체에서 반복해 등장하는 식이 여기서 생성된다. 출처는 통분이다.

**⑤ 에서.** 왼쪽은 $x+3=\pm\sqrt{7}$ 이다. $\pm$ 를 빠뜨리면 해가 하나만 남는다. 오른쪽에도 동일하게 $\pm$ 가 붙는다. 분모 $\sqrt{4a^2}$ 은 $2a$ 이다.

이 단계도 세부까지 확인한다. ④의 우변은 $\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$ 이라는 **분수**였다. 여기에 제곱근을 씌우면 근호가 분수 전체를 덮는다. 그러므로 먼저 근호를 분자와 분모에 각각 씌운다.

$$\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}$$

[제7장](../part1/ch07.md)에서 다룬 **분수의 근호는 위아래에 따로 씌운다**($\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$)를 그대로 적용한 것이다. 다음은 분모이다. $\sqrt{4a^2}$ 은 제곱해서 $4a^2$ 이 되는 값이고, 그 값은 $2a$ 이다. $(2a)^2=2a\cdot2a=4a^2$ 이므로 성립한다.

$$\sqrt{4a^2} = \sqrt{(2a)^2} = 2a$$

근호는 임의로 사라진 것이 아니다. 분모에 있던 값이 **원래 제곱꼴이므로** 근호가 벗겨진 것이다. 그리고 그 $4a^2$ 은 ③단계에서 $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ 을 만들 때 생긴 분모이다. 출처가 분명하다. 분자 $\sqrt{b^2-4ac}$ 는 안이 제곱꼴이 아니므로 근호가 그대로 남는다. 그 결과 우변은 $\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 가 된다.

$$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

분모가 둘 다 $2a$ 이므로 하나의 분수로 합친다. 이것이 근의 공식이다. 외부에서 주어진 식이 아니라 완전제곱 5단계에서 유도된 식이다.

($a$ 가 음수인 경우에 대한 보충이다. $a<0$ 이면 $\sqrt{4a^2}$ 은 $2a$ 가 아니라 $-2a$ 이다. 제곱근은 음수가 될 수 없기 때문이다. 그러나 앞에 붙은 $\pm$ 가 그 부호를 흡수하므로 두 해는 자리만 맞바뀌고 결과는 같다. 따라서 공식은 $a$ 의 부호와 무관하게 그대로 사용한다.)

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

## 유도가 옳은지 확인한다

방금 유도한 공식을 왼쪽 문제에 다시 적용한다. $x^2+6x+2=0$ 이므로 $a=1$, $b=6$, $c=2$ 이다.

$$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}=\frac{-6\pm\sqrt{36-8}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{28}}{2}$$

$\sqrt{28}$ 은 $28=4\times7$ 이므로 $2\sqrt{7}$ 이다.

$$=\frac{-6\pm2\sqrt{7}}{2}=-3\pm\sqrt{7}$$

앞 장에서 완전제곱으로 구한 해와 **일치한다.** 두 경로가 같은 결과에 도달했으며, 이는 유도가 옳다는 근거이자 공식이 유도의 산물임을 보여준다.

다음은 $x^2-4x+1=0$ 이다. 여기서는 $a=1$, $b=-4$, $c=1$ 이다. $b$ 가 **음수**이므로 $-b$ 는 $-(-4)=4$ 이다. 오류가 자주 발생하는 지점이므로 $b=-4$, $-b=4$ 를 명시적으로 적는다.

$$x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot1}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}$$

$(-4)^2$ 은 $16$ 이며 $-16$ 이 아니다. 제곱하면 음의 부호가 사라진다. 이 지점에서도 오류가 자주 발생한다.

## 공식의 적용 — 네 단계

공식을 사용하는 절차는 네 단계이다.

$$\text{① } =0 \text{ 꼴로 정리} \ \to \ \text{② } a,b,c \text{ 를 부호까지} \ \to \ \text{③ } D=b^2-4ac \text{ 먼저} \ \to \ \text{④ 공식에 대입 · 약분}$$

③을 따로 두는 이유는 두 가지이다. 근호 안을 먼저 계산해 두면 이후 대입에서 처리할 항이 줄어들고, 이 값 자체가 이 장 후반의 주제이기 때문이다. ②도 형식적인 단계가 아니다. 부호 오류가 가장 자주 발생하는 지점이다. $c$ 를 $-4$ 대신 $4$ 로 적으면 이후 계산이 모두 옳아도 답은 틀린다. **$a$, $b$, $c$ 를 부호까지 먼저 적는 것**이 첫 단계이다.

먼저 $x^2$ 앞에 숫자가 붙은 경우를 다룬다. $2x^2-7x+3=0$ 이다. 앞 장까지의 방법으로는 처리가 까다로웠으나, 이제는 $a$ 자리에 $2$ 를 넣으면 된다. ① 이미 $=0$ 꼴이다. ② $a=2$, $b=-7$, $c=3$. ③ $D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25$. ④ 대입한다.

$$x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{7\pm5}{4}$$

$$x=\frac{12}{4}=3 \quad \text{또는} \quad x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

$25$ 가 제곱수이므로 근호가 벗겨졌다. **해가 유리수로 나왔다는 것은 이 식이 인수분해로도 풀린다는 뜻이다.**

$$2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)$$

따라서 근의 공식은 인수분해를 **대체**하는 것이 아니라 **포함**한다. 인수분해가 보이면 그 방법이 더 빠르고, 보이지 않으면 공식을 쓴다. 두 경우 모두 처리된다.

다음은 해가 무리수로 나오는 경우이다. $2x^2+4x-1=0$ 이다. ② $a=2$, $b=4$, $c=-1$. ③ $D=16-4\cdot2\cdot(-1)=16+8=24$. $c$ 가 음수이므로 $-4ac$ 가 **덧셈**이 된다. 즉 $16-(-8)=16+8$ 이다. 부호가 두 번 겹치는 지점이다.

$$x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{6}}{2}$$

마지막 약분에 주의한다. 분자의 **세 덩어리 전부**를 2로 나눈다. $-4\div2=-2$, $2\sqrt{6}\div2=\sqrt{6}$, 분모 $4\div2=2$ 이다. 한 항만 나누면 결과가 틀린다. $\sqrt{6}\approx2.449$ 이므로 $x\approx0.225$ 또는 $x\approx-2.225$ 이다. 원식에 $0.225$ 를 대입하면 값이 $0$ 에 가깝게 나온다. 해에 근호가 남아도 이 방식의 검산은 항상 가능하다.

### 근호가 남았을 때의 검산 — 두 답을 더하고 곱한다

소수를 이용한 검산에는 두 가지 한계가 있다. "$0$ 에 가깝다"는 판정의 기준이 없고, 부호를 하나 틀려도 근삿값이 그럴듯하게 보일 수 있다. 근의 공식 자체에서 **정확한** 검산 도구가 곧바로 유도된다. 두 해를 각각 $x_1$, $x_2$ 라 하고 $D=b^2-4ac$ 라 둔다.

먼저 **두 해를 더한다.** 분모가 같으므로 분자끼리 더하면 된다.

$$x_1+x_2 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$$

$+\sqrt{D}$ 와 $-\sqrt{D}$ 가 상쇄되어 **근호가 전부 사라진다.** 이 점이 핵심이다. 각 해에 근호가 복잡하게 남아 있어도 두 해의 합은 근호 없는 값이 된다.

다음으로 **두 해를 곱한다.** $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ 이라는 합차 공식을 $A=-b$, $B=\sqrt{D}$ 에 적용한다.

$$x_1 x_2 = \frac{(-b+\sqrt{D})(-b-\sqrt{D})}{2a\cdot2a} = \frac{b^2-D}{4a^2} = \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$

여기서도 근호가 사라진다. 결과는 두 식이다.

$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$

앞에서 푼 $2x^2+4x-1=0$ 에 바로 적용한다. $a=2$, $b=4$, $c=-1$ 이고 해는 $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{6}}{2}$ 였다.

- **합**: $\dfrac{-2+\sqrt6}{2}+\dfrac{-2-\sqrt6}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$. 그리고 $-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{4}{2}=-2$ ✔
- **곱**: $\dfrac{(-2)^2-(\sqrt6)^2}{4}=\dfrac{4-6}{4}=-\dfrac{1}{2}$. 그리고 $\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$ ✔

이 검산에는 계산기도 소수 근사도 필요하지 않다. 또한 이 검산은 **부호 오류를 정확히 검출한다.** $-b$ 를 잘못 적어 $x=\dfrac{2\pm\sqrt6}{2}$ 라고 답했다면 합이 $+2$ 가 되어 $-\dfrac{b}{a}=-2$ 와 어긋난다. 근삿값 대입으로는 통과할 오류가 여기서 검출된다. **해에 근호가 남으면 합과 곱을 확인한다.** 이 장에서는 이것이 검산 방법이다.

## 판별식 — 근호 안의 부호

해가 두 개인 이유는 $\pm$ 때문이다. $\pm$ 앞의 근호 안이 $0$ 이면 더한 값과 뺀 값이 같으므로 **해가 하나**가 된다. 근호 안이 음수이면 제곱해서 음수가 되는 실수가 없으므로 **실수 해가 존재하지 않는다.** 따라서 해의 개수를 결정하는 것은 근호 안의 값뿐이다.

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\boxed{b^2-4ac}}}{2a}$$

이 근호 안의 식 $b^2-4ac$ 를 **판별식**(discriminant)이라 하고 $D$ 로 쓴다.

$$D=b^2-4ac$$

| $D$ 의 부호 | 근호 안 | 실수 해의 개수 |
|---|---|---|
| $D>0$ | 양수 → 근호가 값을 가짐 | 2개 (서로 다른 두 실수해) |
| $D=0$ | $0$ → $\pm0$ 은 하나 | 1개 (중근) |
| $D<0$ | 음수 → 실수 범위에 없음 | 0개 (실수 해 없음) |

'판별식'이라는 이름은 별도의 개념을 가리키지 않는다. 판별식은 근의 공식의 **근호 안**이다. 이름을 모르더라도 근호 안의 값을 보면 판정할 수 있다.

그래프로 보면 이 관계가 더 분명해진다. 앞의 두 항이 같고 상수만 $1$ 씩 커지는 세 식을 나란히 놓는다.

$$y=x^2+4x+3 \qquad y=x^2+4x+4 \qquad y=x^2+4x+5$$

$$D=16-12=4 \qquad D=16-16=0 \qquad D=16-20=-4$$

그림을 읽기 위해 필요한 개념을 먼저 정리한다. 여기서 등장한 $y$ 와 포물선과 $x$ 축이 무엇인지부터 정의한다.

$x^2+4x+3$ 은 $x$ 를 하나 정해 대입하면 값이 하나 결정되는 식이다. 그 결정된 값에 **$y$ 라는 이름**을 붙인 것이 $y=x^2+4x+3$ 이다. 다섯 개의 값을 계산한다.

| $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y=x^2+4x+3$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ |

($x=-4$ 이면 $16-16+3=3$, $x=-3$ 이면 $9-12+3=0$, $x=-2$ 이면 $4-8+3=-1$ 이다. 각 $x$ 에 대해 이렇게 대입한 결과이다.)

이제 제1부에서 사용한 **수직선**을 두 개 준비한다. 하나는 가로로 놓아 $x$ 를 재고, 하나는 세로로 놓아 $y$ 를 잰다. 가로로 놓인 것을 **$x$ 축**이라 한다. 표의 다섯 쌍을 점으로 찍는다. $x=-4$, $y=3$ 이면 가로로 $-4$ 인 자리에서 위로 $3$ 만큼 올라간 위치에 점을 찍는다. 그렇게 찍은 다섯 점을 매끄럽게 이으면 아래로 볼록한 그릇 모양의 곡선이 되고, 이 곡선을 **포물선**이라 한다.

그러면 방정식 $x^2+4x+3=0$ 을 푸는 일이 그림에서 무엇에 대응하는지 정해진다. **$y$ 가 $0$ 이 되는 $x$ 를 찾는 일**이다. $y=0$ 은 위로도 아래로도 이동하지 않은 위치, 곧 가로선인 $x$ 축 **위의 점**을 뜻한다. 따라서 방정식을 푸는 것은 **포물선이 $x$ 축과 만나는 위치를 찾는 일**이 된다. 표에 이미 그 값이 나와 있다. $x=-3$ 과 $x=-1$ 에서 $y$ 가 $0$ 이다. 해가 두 개이며, 실제로 $D=4>0$ 이다.

좌표평면은 [제18장](ch18.md)에서 정식으로 다룬다. 이 절에서는 그림을 읽는 데 필요한 정도만 사용한다.

완전제곱으로 바꾸면 세 식은 모두 $(x+2)^2$ 에 상수만 다르다. 각각 $(x+2)^2-1$, $(x+2)^2$, $(x+2)^2+1$ 이다. **같은 포물선을 $1$ 씩 위로 평행이동한 것이다.** 그에 따라 $x$ 축과 만나는 방식이 달라진다.

```{image} /_static/figs/ch17_discriminant.svg
:alt: 판별식에 따른 포물선과 x축: D>0, D=0, D<0
:width: 640px
:align: center
:class: chfig
```

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 을 푸는 것은 **포물선이 $x$ 축과 만나는 위치를 찾는 일**이다. 두 점에서 만나면 해가 두 개, 한 점에서 접하면 하나, 만나지 않으면 실수 해가 없다. 판별식은 이 셋 중 어느 경우인지를 **풀기 전에** 알려준다.

인수분해가 되지 않던 식의 성질도 여기서 설명된다. $x^2+4x+5$ 는 인수분해 기법이 부족해서 안 되는 것이 아니라, $x$ 축과 만나는 위치가 없어서($D=-4$) 실수 범위에서 해가 존재하지 않는 것이다. (실수 범위를 벗어나면 해가 존재하지만, 그 내용은 이 책의 범위 밖이다.)

## 빈번한 오류

:::{admonition} 공식은 외웠는데 유도를 모른다
:class: warning
$\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 를 분모가 $2$ 인 꼴이나 근호 안이 $b^2+4ac$ 인 꼴로 잘못 쓰고도 어긋난 지점을 인지하지 못한다. 유도 없이 결과만 암기한 경우에 발생한다. 암기가 흐려져도 **비슷한 모양**은 남지만, 근거가 없으므로 흐려진 부분을 스스로 복구할 수단이 없다. 이 오류의 교정 방법은 공식을 다시 암기하는 것이 아니라 **대조표로 돌아가는 것**이다. $4ac$ 앞의 마이너스는 ②단계에서 상수를 우변으로 넘길 때 붙은 부호가 ④단계 통분에서 유지된 것이고, 분모 $2a$ 는 $\sqrt{4a^2}$ 에서 나왔으며, 그 $4a^2$ 은 ③단계에서 생성된 것이다. 모든 항에 출처가 있다.

*확인 문제*: 근의 공식에서 $4ac$ 앞의 부호는 왜 마이너스인가? (답: 상수를 우변으로 넘길 때 붙은 마이너스가 통분되어 남은 것.)
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:::{admonition} $b$ 가 음수일 때 $-b$ 를 음수로 쓴다
:class: warning
$2x^2-3x+1=0$ 에서 분자를 $3\pm1$ 이 아니라 $-3\pm1$ 로 쓴다. 이 장에서 빈번한 오류 중 하나이다. 공식의 첫 항을 "$-b$"가 아니라 "마이너스가 붙은 항"이라는 형태로 기억하기 때문에 발생한다. $b$ 라는 문자에 이미 부호가 포함되어 있다는 인식이 없는 상태이다. 교정 방법은 부호에 주의하라는 지시가 아니라 **적는 순서를 바꾸는 것**이다. 모든 문제에서 $a=$, $b=$, $c=$ 세 줄을 먼저 적고, **네 번째 줄에 $-b=$ 를 따로 적는다.** $b=-3$ 이면 $-b=3$ 이다. $-b$ 의 값은 암산으로 처리하지 않고 별도의 줄에 적는다.

$$2x^2+3x-1=0 \ \Rightarrow \ b=3,\ -b=-3 \qquad 2x^2-3x+1=0 \ \Rightarrow \ b=-3,\ -b=3$$

부호만 뒤집힌 두 식에서 $-b$ 가 정반대가 된다. $b^2$ 도 함께 확인한다. $(-3)^2=9$ 이며 $-9$ 가 아니다.

*확인 문제*: $x^2-7x+10=0$ 을 근의 공식으로. (답: $D=49-40=9$, $x=\dfrac{7\pm3}{2}$ → $x=5$ 또는 $x=2$. 분자가 $7\pm3$ 으로 시작하면 통과.)
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:::{admonition} 판별식 부호와 해의 개수를 뒤집는다
:class: warning
"$D<0$ 이면 해가 두 개", 또는 "$D=0$ 이면 해가 없다"고 답한다. 표를 참조할 때는 맞히지만 표가 없으면 방향을 혼동한다. 판별식을 근의 공식과 분리된 **독립 규칙**으로 암기했기 때문이다. $D$ 가 근의 공식의 근호 안이라는 연결이 끊기면 대응 방향을 판정할 근거가 사라진다. 표를 암기하는 대신 **매번 근호 안의 값을 직접 판정한다.** $\sqrt{-4}$ 는 실수 범위에서 계산되지 않으므로 해도 존재하지 않는다. 혼동될 때는 세 포물선 그림을 참조한다. 포물선이 $x$ 축 위쪽에 떠 있으면 만나는 점이 없고, 만나는 점이 없으면 실수 해가 없다.

*확인 문제*: $x^2+2x+5=0$ 과 $x^2+2x-5=0$ 의 실수 해는 각각 몇 개인가? (답: $D=4-20=-16<0$ → 0개 / $D=4+20=24>0$ → 2개. 상수의 부호가 해의 개수를 결정한다.)
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:::{admonition} 답을 정리하는 단계에서 틀린다
:class: warning
두 가지가 함께 나타난다. **(가) 약분** — $\dfrac{4\pm2\sqrt{10}}{4}$ 를 $1\pm2\sqrt{10}$ 처럼 분자의 한 항만 나눈다. **(나) 근호 쪼개기** — $\sqrt{16+8}$ 을 $4+\sqrt{8}$ 로 쓴다. (나)는 [제7장](../part1/ch07.md)에서 제곱근을 다룰 때 나온 것과 같은 오류이다($\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$). 근호를 괄호와 같은 것으로 간주하여 내부의 항을 개별적으로 꺼낼 수 있다고 판단하는 데서 발생하며, 수치로 바로 반증된다. $\sqrt{16+8}=\sqrt{24}\approx4.9$ 인 반면 $4+\sqrt{8}\approx6.83$ 으로 서로 다른 수이다. **근호 안의 덧셈은 밖으로 분리할 수 없다.** 약분은 분자를 먼저 **곱셈 꼴로 묶은 뒤에 수행한다.** 묶이면 약분할 수 있고, 묶이지 않으면 약분해서는 안 된다.

$$\frac{4\pm2\sqrt{10}}{4}=\frac{2(2\pm\sqrt{10})}{4}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}$$

*확인 문제*: $\dfrac{6\pm3\sqrt{2}}{3}$ 를 간단히 하라. (답: $2\pm\sqrt{2}$. $6\pm\sqrt{2}$ 나 $2\pm3\sqrt{2}$ 라고 쓰면 다시 묶기부터.)
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## 연습문제

계산기는 검산할 때만 쓴다. 모든 문항에서 $a$, $b$, $c$ 를 **부호까지** 먼저 적고 시작한다. 이 한 줄이 부호 오류를 크게 줄인다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` 근의 공식으로 풀어라. (1) $x^2+5x+6=0$  (2) $x^2-2x-3=0$
2. `A` 근의 공식으로 풀어라. (1) $x^2+2x-1=0$  (2) $x^2-6x+7=0$
3. `A` 근의 공식으로 풀어라. $x^2+6x+4=0$
4. `A` **풀지 말고** 판별식만으로 실수 해의 개수를 답하라. (1) $x^2-7x+12=0$  (2) $4x^2-12x+9=0$  (3) $x^2+x+3=0$
5. `B` $2x^2+3x-1=0$
6. `B` $2x^2-3x+1=0$
7. `B` $3x^2-5x-2=0$
8. `B` $2x^2-4x-3=0$
9. `B` $x^2=5x-6$ (**먼저 $=0$ 꼴로 정리한다**)
10. `B` 5번과 6번의 답을 나란히 놓아라. 한쪽은 근호가 남고 한쪽은 안 남는다. 근호가 안 남은 쪽을 **인수분해로도** 풀어서 같은 답이 나오는지 확인하라.
11. `B` 텃밭을 직사각형으로 만드는데, 가로가 세로보다 $3$ m 길다. 넓이가 $40$ m$^2$ 이 되게 하려면 세로를 몇 m로 해야 하는가?
12. `C` 어떤 카페가 커피를 한 잔 $3{,}000$ 원에 팔아 하루 $200$ 잔을 판다. 가격을 $100$ 원 올릴 때마다 판매량이 하루 $5$ 잔씩 줄어든다. 하루 매출이 $612{,}000$ 원이 되게 하려면 가격을 얼마로 정해야 하는가? (답이 두 개 나온다. 둘 다 쓰고, 둘 다 말이 되는지 확인하라)
13. `C` $x^2+kx+9=0$ 이 중근을 갖도록 하는 $k$ 의 값을 모두 구하라.
14. `C` 근의 공식 유도의 ③단계에서 양변에 무엇을 더했는지 쓰고, **왜 하필 그것인지** 한 문장으로 설명하라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $D=25-24=1$, $x=\dfrac{-5\pm1}{2}$ → $x=-2$ 또는 $x=-3$ **[유리수 해 — 인수분해 $(x+2)(x+3)$ 로도 풀린다]**
   (2) $D=4+12=16$, $x=\dfrac{2\pm4}{2}$ → $x=3$ 또는 $x=-1$ **[유리수 해 — $(x-3)(x+1)$]**
2. (1) $D=4+4=8$, $x=\dfrac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$ **[무리수 해 — 인수분해로는 안 된다]**. **합·곱 확인**: 합 $(-1+\sqrt2)+(-1-\sqrt2)=-2=-\dfrac{b}{a}$ ✔, 곱 $(-1)^2-(\sqrt2)^2=1-2=-1=\dfrac{c}{a}$ ✔
   (2) $D=36-28=8$, $x=\dfrac{6\pm2\sqrt{2}}{2}=3\pm\sqrt{2}$ **[무리수 해]**. **합·곱 확인**: 합 $6=-\dfrac{b}{a}$ ✔, 곱 $9-2=7=\dfrac{c}{a}$ ✔
3. $D=36-16=20$, $x=\dfrac{-6\pm2\sqrt{5}}{2}=-3\pm\sqrt{5}$ **[무리수 해]**. **이렇게 틀린다**: $\dfrac{-6\pm2\sqrt5}{2}=-6\pm\sqrt5$ 로 쓴다. 분자의 두 덩어리를 **둘 다** 나눠야 한다. **합·곱 확인**: 합 $-6=-\dfrac{b}{a}$ ✔, 곱 $9-5=4=\dfrac{c}{a}$ ✔ (틀린 답 $-6\pm\sqrt5$ 로는 합이 $-12$ 라 즉시 걸린다)
4. (1) $D=49-48=1>0$ → **2개**  (2) $D=144-144=0$ → **1개 (중근)**  (3) $D=1-12=-11<0$ → **0개**
5. $D=9+8=17$, $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$ **[무리수 해]**. $17$ 은 제곱수가 아니므로 여기서 끝이다. 더 정리되지 않는다. **합·곱 확인**: 합 $\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{b}{a}$ ✔, 곱 $\dfrac{9-17}{16}=-\dfrac{1}{2}=\dfrac{c}{a}$ ✔
6. $D=9-8=1$, $x=\dfrac{3\pm1}{4}$ → $x=1$ 또는 $x=\dfrac{1}{2}$ **[유리수 해 — $(2x-1)(x-1)$]**. **이렇게 틀린다**: $b=-3$ 인데 분자를 $-3\pm1$ 로 쓴다. 이 장에서 빈번한 오류 중 하나이다.
7. $D=25+24=49$, $x=\dfrac{5\pm7}{6}$ → $x=2$ 또는 $x=-\dfrac{1}{3}$ **[유리수 해 — $(x-2)(3x+1)$]**
8. $D=16+24=40$, $x=\dfrac{4\pm2\sqrt{10}}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{2}$ **[무리수 해]**. $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ 까지 가야 약분이 보인다. **합·곱 확인**: 합 $\dfrac{4}{2}=2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{4}{2}$ ✔, 곱 $\dfrac{4-10}{4}=-\dfrac{3}{2}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{2}$ ✔
9. 먼저 $x^2-5x+6=0$ 으로 정리. $D=25-24=1$, $x=\dfrac{5\pm1}{2}$ → $x=3$ 또는 $x=2$ **[유리수 해]**. **이렇게 틀린다**: 정리하지 않고 우변의 $-6$ 을 그대로 $c$ 에 넣는다. **$=0$ 꼴이 아니면 $a,b,c$ 를 뽑을 수 없다.**
10. 5번은 $\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$ (근호 남음), 6번은 $1$ 과 $\dfrac12$ (근호 없음). 6번 인수분해: $2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$ → $x=\dfrac12$ 또는 $x=1$. 일치한다. **핵심**: 판별식이 제곱수면 유리수 해가 나오고, 그때는 인수분해로도 풀린다. 판별식이 제곱수가 아니면 인수분해로는 못 푼다. 근의 공식은 두 경우를 다 처리한다.
11. **세로 $5$ m** (가로 $8$ m) — 세로를 $x$ 라 하면 $x(x+3)=40$, 즉 $x^2+3x-40=0$. $D=9+160=169$, $x=\dfrac{-3\pm13}{2}$ → $x=5$ 또는 $x=-8$. **길이는 음수일 수 없으므로 $-8$ 은 버린다.** 검산: $5\times8=40$ ✔ **이렇게 틀린다**: $-8$ 도 답이라고 쓴다. 문장제는 수학적 해를 구한 뒤 그 해가 문제 상황에서 성립하는지 판정하는 단계가 하나 더 있다.
12. **$3{,}400$ 원 또는 $3{,}600$ 원** — 인상 횟수를 $n$ 이라 하면 매출은 $(3000+100n)(200-5n)=612000$. 전개하면 $-500n^2+5000n+600000=612000$, 정리하면 $n^2-10n+24=0$. $D=100-96=4$, $n=\dfrac{10\pm2}{2}$ → $n=4$ 또는 $n=6$. 검산: $3400\times180=612{,}000$ ✔, $3600\times170=612{,}000$ ✔ 둘 다 실제로 가능한 답이다. **여기서 배울 것**: 이차방정식의 두 해가 **둘 다 의미 있는** 경우도 있다. 11번처럼 하나를 버리는 경우와 대조된다. 버릴지 말지는 수학이 아니라 상황이 정한다.
13. $k=6$ 또는 $k=-6$ — 중근 조건은 $D=0$. $D=k^2-4\cdot1\cdot9=k^2-36=0$ 이므로 $k=\pm6$. 확인: $x^2+6x+9=(x+3)^2$, $x^2-6x+9=(x-3)^2$. 둘 다 중근이다. **이렇게 틀린다**: $k=6$ 만 쓴다. $k^2=36$ 의 해는 두 개다.
14. 예시 답안: "일차항 계수 $\dfrac{b}{a}$ 의 절반인 $\dfrac{b}{2a}$ 를 제곱한 $\dfrac{b^2}{4a^2}$ 을 더했다. 좌변을 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ 이라는 제곱꼴로 만들려면 정확히 그 값이 필요하기 때문이다." — 핵심은 **"제곱꼴을 만들기 위해"**라는 목적을 말하는 것.
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### 추가 연습문제

전부 근의 공식으로 푼다. **유리수 해가 나오는 문제와 무리수 해가 나오는 문제를 일부러 섞었다.** 답이 근호 없이 딱 떨어지면 그 식은 인수분해로도 풀린다는 뜻이다. 모든 문항에서 $a$, $b$, $c$, $-b$ 를 먼저 적고 시작한다. 그리고 **답에 근호가 남으면 두 답의 합이 $-\dfrac{b}{a}$, 곱이 $\dfrac{c}{a}$ 인지 확인한다.** 부호를 하나 틀렸으면 여기서 검출된다.

1. $x^2+3x+2=0$
2. $x^2-7x+12=0$
3. $x^2+2x-8=0$
4. $x^2-2x-1=0$
5. $x^2+4x+1=0$
6. $x^2-6x+4=0$
7. $x^2-x-6=0$
8. $x^2-5x+2=0$
9. $x^2+x-1=0$
10. $x^2-8x+15=0$
11. $x^2+6x+7=0$
12. $x^2-4x-2=0$
13. $x^2+9x+20=0$
14. $x^2-10x+21=0$
15. $2x^2+5x+2=0$
16. $2x^2-3x+1=0$
17. $3x^2-5x+2=0$
18. $2x^2+3x-1=0$
19. $3x^2+2x-1=0$
20. $2x^2-4x-1=0$
21. $4x^2-4x-1=0$
22. **풀지 말고** 판별식만으로 실수 해의 개수를 답하라. (1) $x^2-3x+5=0$  (2) $9x^2-6x+1=0$  (3) $2x^2+7x-4=0$
23. $x^2=4x+5$ 를 풀어라. (먼저 $=0$ 꼴로 정리한다)
24. 방을 직사각형으로 만드는데 세로가 가로보다 $2$ m 짧다. 넓이가 $24$ m$^2$ 이 되게 하려면 가로를 몇 m로 해야 하는가?
25. $D<0$ 이면 왜 실수 해가 없는지, 근의 공식의 **어느 부분** 때문인지를 짚어서 두 문장으로 쓰라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
**표기**: [유] = 유리수 해(인수분해로도 풀린다, 인수분해 결과를 함께 적었다) / [무] = 무리수 해(인수분해로는 못 푼다)

1. $x=-1$ 또는 $x=-2$ **[유]** $(x+1)(x+2)$
2. $x=3$ 또는 $x=4$ **[유]** $(x-3)(x-4)$
3. $x=2$ 또는 $x=-4$ **[유]** $(x-2)(x+4)$
4. $x=1\pm\sqrt{2}$ **[무]** — $D=8$, $\dfrac{2\pm2\sqrt2}{2}$
5. $x=-2\pm\sqrt{3}$ **[무]** — $D=12$, $\dfrac{-4\pm2\sqrt3}{2}$
6. $x=3\pm\sqrt{5}$ **[무]** — $D=20$, $\dfrac{6\pm2\sqrt5}{2}$
7. $x=3$ 또는 $x=-2$ **[유]** $(x-3)(x+2)$
8. $x=\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{2}$ **[무]** — $D=17$. 제곱수가 아니므로 여기서 끝이다.
9. $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ **[무]** — $D=5$. 참고로 이 식의 양수 해가 황금비 $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ 다.
10. $x=3$ 또는 $x=5$ **[유]** $(x-3)(x-5)$
11. $x=-3\pm\sqrt{2}$ **[무]** — $D=8$, $\dfrac{-6\pm2\sqrt2}{2}$
12. $x=2\pm\sqrt{6}$ **[무]** — $D=24$, $\dfrac{4\pm2\sqrt6}{2}$
13. $x=-4$ 또는 $x=-5$ **[유]** $(x+4)(x+5)$
14. $x=3$ 또는 $x=7$ **[유]** $(x-3)(x-7)$
15. $x=-\dfrac{1}{2}$ 또는 $x=-2$ **[유]** $(2x+1)(x+2)$ — $D=9$, $\dfrac{-5\pm3}{4}$
16. $x=1$ 또는 $x=\dfrac{1}{2}$ **[유]** $(x-1)(2x-1)$ — $D=1$, $\dfrac{3\pm1}{4}$. **함정**: $b=-3$ 이므로 분자는 $3\pm1$ 이다. $-3\pm1$ 로 쓰면 답이 통째로 틀린다.
17. $x=1$ 또는 $x=\dfrac{2}{3}$ **[유]** $(x-1)(3x-2)$ — $D=1$, $\dfrac{5\pm1}{6}$
18. $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$ **[무]** — $D=17$.
19. $x=\dfrac{1}{3}$ 또는 $x=-1$ **[유]** $(3x-1)(x+1)$ — $D=16$, $\dfrac{-2\pm4}{6}$
20. $x=\dfrac{2\pm\sqrt{6}}{2}$ **[무]** — $D=24$, $\dfrac{4\pm2\sqrt6}{4}$. 분자 두 덩어리를 **둘 다** 2로 나눈다.
21. $x=\dfrac{1\pm\sqrt{2}}{2}$ **[무]** — $D=32$, $\sqrt{32}=4\sqrt2$, $\dfrac{4\pm4\sqrt2}{8}$. 분자·분모를 4로 나눈다.
22. (1) $D=9-20=-11<0$ → **0개**  (2) $D=36-36=0$ → **1개 (중근** $x=\dfrac13$**)**  (3) $D=49+32=81>0$ → **2개**
23. $x=5$ 또는 $x=-1$ **[유]** — 먼저 $x^2-4x-5=0$ 으로 정리. $(x-5)(x+1)$. **이렇게 틀린다**: 정리하지 않고 $c$ 자리에 $5$ 를 넣는다. 우변의 항을 넘길 때 부호가 바뀐다.
24. **가로 $6$ m** (세로 $4$ m) — 가로를 $x$ 라 하면 $x(x-2)=24$, 즉 $x^2-2x-24=0$. $D=4+96=100$, $x=\dfrac{2\pm10}{2}$ → $x=6$ 또는 $x=-4$. **길이는 음수일 수 없으므로 $-4$ 는 버린다.** 검산: $6\times4=24$ ✔
25. 예시 답안: "근의 공식에서 $D$ 는 근호 안에 있다. 제곱해서 음수가 되는 실수는 없으므로 $D<0$ 이면 $\sqrt{D}$ 자체가 실수 범위에 존재하지 않고, 따라서 실수 해가 없다." — 핵심은 **"근호 안"**을 짚는 것. 그래프로 "포물선이 $x$ 축과 만나지 않아서"라고 써도 정답이다.
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## 요약과 다음 장

이 장의 핵심은 한 문장이다. **근의 공식은 새로 외울 것이 아니라, 완전제곱 5단계를 문자로 한 번 더 한 결과다.** 그 유도에서 생성된 근호 안의 식 $b^2-4ac$ 가 판별식이고, 그 부호만으로 실수 해가 두 개인지, 하나인지, 없는지를 풀기 전에 판정할 수 있다. 이는 포물선이 $x$ 축과 만나는 방식과 대응한다.

여기까지 미지수는 언제나 하나였다. $x$ 하나이다. [제18장](ch18.md)에서는 미지수가 두 개가 된다. $x$ 와 $y$ 이다. 그러면 식도 두 개가 필요해진다. 그 이유와, 그 두 식이 **그래프에서는 무엇으로 나타나는지**를 다음 장에서 다룬다.