제2장 · 분수 ① — 의미와 덧셈·뺄셈

제2장 · 분수 ① — 의미와 덧셈·뺄셈#

이 장

원본 코드

R1-W02

선행 내용

제1장(사칙연산을 의미로 읽기)

요지

분수를 “전체를 똑같이 나눈 조각 몇 개”로 읽고, 크기가 다른 조각은 통분해서 더한다.

도입#

레시피에 물 \(\dfrac{1}{2}\) 컵, 우유 \(\dfrac{1}{3}\) 컵이 적혀 있다. 두 양을 한 컵에 합쳤을 때의 전체 양을 구한다.

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \ ?\]

가장 자주 제시되는 답은 \(\dfrac{2}{5}\) 이다. 위는 위끼리 \(1+1=2\), 아래는 아래끼리 \(2+3=5\) 로 계산한 결과다. 이것은 분수 계산에서 가장 빈번한 오류 중 하나이며, 수학을 오래 쉬었던 사람에게만 나타나는 것이 아니라 학교에서 분수를 배우는 중에도 널리 관찰된다. 이 오류는 개인의 부주의에서 오는 것이 아니라 분수 표기의 구조에서 비롯된다.

계산에 앞서 크기만 먼저 확인한다. 반 컵을 붓고 거기에 얼마를 더 부었으므로, 컵에 든 양은 반 컵보다 많다. 이 사실이 답을 검산하는 기준이 된다.

그런데 \(\dfrac{2}{5}\) 는 반보다 작다. 다섯 조각 중 두 조각이므로 반(두 조각 반)에 미치지 못한다. 반에 어떤 양을 더했는데 결과가 반보다 작아지므로 앞뒤가 맞지 않는다. 무엇이 잘못되었는지가 이 장의 주제다.

분수는 “몇 등분한 것 중 몇 개”다#

종이 원 한 장을 똑같이 넷으로 접어 펴면 조각 하나가 \(\dfrac{1}{4}\) 이다. 세 개를 모으면 \(\dfrac{3}{4}\) 이다.

\[\frac{3}{4} \ = \ \text{“} \frac{1}{4} \text{ 짜리 조각이 3개”}\]
막대 네 칸 중 세 칸이 3/4

여기서 결정적인 조건은 똑같이다. 임의로 넷으로 자른 것이 아니라 똑같이 넷으로 나눈 것이다. 그래서 아랫수(분모)는 조각의 개수가 아니라 한 조각의 크기를 정하는 이름이다. \(\dfrac{1}{4}\) 은 “네 번째 조각”이 아니라 “\(4\) 등분한 조각”이다. 윗수(분자)가 그 조각이 몇 개인지를 센다.

분모가 커지면 조각은 작아진다#

\(\dfrac{1}{2}\) 과 \(\dfrac{1}{3}\) 의 크기를 비교한다. \(3\) 이 \(2\) 보다 크므로 \(\dfrac{1}{3}\) 이 크다고 판단하기 쉽다. 그러나 전체를 더 많이 나눌수록 한 조각은 작아진다. 피자 한 판을 여덟 명이 나누면 두 명이 나눌 때보다 한 사람의 몫이 작다. 나누는 사람이 많을수록 한 사람 몫이 작아지는 것과 같은 관계다.

\[\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{8}\]

분모가 커지면 조각이 작아진다. 이는 암기할 규칙이 아니라 등분의 정의에서 직접 따라오는 사실이다.

분수는 수직선 위의 한 점이다#

분수는 조각이기도 하지만, 수직선 위의 한 점이기도 하다. 자에 표시된 눈금이 그 예다.

0부터 2까지 수직선 위 분수 눈금

\(0\) 과 \(1\) 사이를 \(4\) 등분하면 \(\dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{4}\) 눈금이 생긴다. \(\dfrac{1}{2}\) 은 \(0\) 과 \(1\) 의 정확히 가운데 점이다.

\(\dfrac{5}{4}\) 는 \(\dfrac{1}{4}\) 짜리가 다섯 개다. 네 개가 \(1\) 이므로 \(1\) 을 넘어 한 칸 더 간 점, 곧 \(1\) 보다 큰 수다. 이렇게 윗수가 아랫수보다 큰 분수를 가분수라 한다. 가분수는 \(1\) 보다 큰 수를 나타내는 정상적인 표기다.

\[\frac{5}{4} = 1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4}\]

\(1\dfrac{1}{4}\) 은 대분수다. \(\dfrac{5}{4}\) 와 \(1\dfrac{1}{4}\) 은 수직선에서 같은 점이며, 같은 수에 대한 두 가지 표기다.

같은 수, 여러 이름 — 등가분수와 약분#

\(\dfrac{3}{4}\) 이 칠해진 종이를 한 번 더 반으로 접으면 조각 수가 두 배로 늘어난다. 색칠된 부분은 여섯 조각, 전체는 여덟 조각이 된다. 넓이는 변하지 않고 표기만 바뀐다.

\[\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}\]

위아래에 같은 수를 곱하면 값이 변하지 않는다. 접은 횟수만 늘어난 것이다.

\[\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8} \qquad \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}\]

거꾸로 위아래를 같은 수로 나누는 것이 약분이다. 더 이상 나누어지지 않으면 기약분수다. 답은 항상 기약분수로 쓴다. 같은 수를 서로 다른 이름으로 두면 이후 비교가 어렵기 때문이다.

\[\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}\]

\(\dfrac{16}{24}\) 을 기약분수로 고친다.

\[\frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3}\]

\(8\) 이 바로 보이지 않으면 \(2\) 로 여러 번 나누어도 된다. \(\dfrac{16}{24} \to \dfrac{8}{12} \to \dfrac{4}{6} \to \dfrac{2}{3}\). 단계가 늘어날 뿐 도달하는 결과는 같다.

크기가 다른 두 분수를 비교할 때도 같은 도구를 쓴다. \(\dfrac{3}{5}\) 와 \(\dfrac{1}{2}\) 의 크기를 비교한다. 조각의 크기가 다르므로 윗수만으로는 비교할 수 없다. 먼저 조각의 크기를 맞춘다.

\[\frac{3}{5} = \frac{6}{10} \qquad \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \ \Rightarrow \ \frac{6}{10} > \frac{5}{10} \ \Rightarrow \ \frac{3}{5} > \frac{1}{2}\]

조각을 같은 크기로 맞추면 개수만 비교하면 된다. 이 절차가 다음 절의 통분이다.

크기가 다른 조각은 더할 수 없다#

도입에서 제시한 \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\) 을 그림으로 확인한다. 판 두 장에 각각 반과 \(\dfrac{1}{3}\) 을 칠해 한 접시에 이어 붙이면, 합은 반을 확실히 넘고 한 판을 다 채우지는 못한다. 따라서 답은 반보다 크고 \(1\) 보다 작다.

\(\dfrac{2}{5}\) 가 답이 될 수 없는 이유는 두 가지다. 첫째, \(\dfrac{2}{5}\) 는 반보다 작은데 그림에서 확인한 답은 반보다 크다. 둘째, \(\dfrac{2}{5}\) 로 쓰려면 접시를 다섯 조각으로 잘라야 하지만, 주어진 것은 반쪽 판과 \(\dfrac{1}{3}\) 판뿐이다. \(5\) 는 \(2 + 3\) 에서 나온 수이며, 이는 조각의 개수를 더한 것이 아니라 조각 크기의 이름을 더한 결과다.

\[\text{아랫수는 “크기의 이름”이다. 이름은 더하지 않는다.}\]

덧셈이 성립하지 않는 원인은 하나다. 조각의 크기가 다르다. 반쪽과 \(\dfrac{1}{3}\) 쪽은 크기가 달라 같은 단위로 셀 수 없다. 사과 두 개와 바나나 세 개를 합쳐 “다섯 개”로 부를 공통 단위가 없는 것과 같다. 해결 방법도 하나다. 두 양을 같은 크기의 조각으로 다시 자른다.

통분 — 조각 크기를 맞춘다#

두 분수가 모두 딱 떨어지는 조각 크기를 정한다. \(\dfrac{1}{2}\) 을 한 번 더 잘라 \(\dfrac{1}{6}\) 로, \(\dfrac{1}{3}\) 을 한 번 더 잘라 \(\dfrac{1}{6}\) 로 만들면 두 분수 모두 \(\dfrac{1}{6}\) 짜리 조각으로 표현된다.

6등분 막대로 본 1/2+1/3=5/6

조각의 크기가 같으므로 개수만 세면 된다. 세 조각과 두 조각을 합하면 다섯 조각이고, 한 조각이 \(\dfrac{1}{6}\) 이므로 답은 \(\dfrac{5}{6}\) 이다.

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\]

\(\dfrac{5}{6}\) 은 반(\(\dfrac{3}{6}\))보다 크고 \(1\) 보다 작다. 도입에서 어림한 범위와 일치한다.

이 절차의 이름은 다음과 같다.

\[\text{통분} \ = \ \text{두 분수의 조각 크기를 같게 맞추는 일}\]

\(\dfrac{1}{2}\) 을 \(\dfrac{3}{6}\) 으로 바꾼 것은 앞 절의 “위아래에 같은 수 곱하기”와 동일하다. 값은 그대로 두고 조각만 잘게 쪼갠 것이다.

\[\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \qquad \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}\]

맞추는 기준은 두 분모의 공배수이며, 보통 최소공배수를 사용한다. \(2\) 와 \(3\) 의 최소공배수는 \(6\) 이다. 최소공배수가 떠오르지 않으면 두 분모를 그대로 곱해도 된다. \(2 \times 3 = 6\). 숫자가 커지면 마지막에 약분한다.

용어보다 절차를 먼저 확인한다. 어떤 수의 배수는 그 수를 몇 번 이어 붙인 수다. \(6\) 을 한 번, 두 번, 세 번 이어 붙이면 \(6\), \(12\), \(18\) 이다.

\[6 \text{ 의 배수}: 6,\ 12,\ 18,\ 24,\ 30 \ldots \qquad 8 \text{ 의 배수}: 8,\ 16,\ 24,\ 32 \ldots\]

두 분모의 배수를 나란히 적고 처음 일치하는 수를 고른다. \(\dfrac{5}{8}\) 과 \(\dfrac{1}{6}\) 을 더하는 경우는 다음과 같다.

분모

배수를 차례로 적는다

\(8\)

\(8\), \(16\), \(24\), \(32\) …

\(6\)

\(6\), \(12\), \(18\), \(24\) …

두 목록은 \(24\) 에서 처음 일치한다. 양쪽 목록에 모두 들어 있는 수를 공배수, 그중 가장 작은 수를 최소공배수라 한다. 따라서 \(\dfrac{5}{8}\) 과 \(\dfrac{1}{6}\) 은 \(\dfrac{1}{24}\) 짜리 조각으로 맞춘다.

\(4\) 와 \(6\) 으로 한 번 더 확인한다. \(4 \to 4,\ 8,\ 12\) / \(6 \to 6,\ 12\). 처음 일치하는 수는 \(12\) 다. 뒤에 나오는 \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6}\) 을 \(12\) 로 맞추는 이유가 이것이다. \(4 \times 6 = 24\) 가 아니라 \(12\) 다.

최소공배수가 끝내 보이지 않으면 앞서 말한 대로 두 분모를 그대로 곱한다. 숫자가 커질 뿐 마지막에 약분하면 답은 같다. \(\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{6}\) 을 \(8 \times 6 = 48\) 로 맞추면 다음과 같다.

\[\frac{5}{8} = \frac{5 \times 6}{8 \times 6} = \frac{30}{48} \qquad \frac{1}{6} = \frac{1 \times 8}{6 \times 8} = \frac{8}{48}\]
\[\frac{30}{48} + \frac{8}{48} = \frac{38}{48} = \frac{38 \div 2}{48 \div 2} = \frac{19}{24}\]

\(24\) 로 맞췄을 때와 같은 \(\dfrac{19}{24}\) 를 얻는다. 계산 단계가 늘어날 뿐 결과는 같으며, 마지막 약분만 빠뜨리지 않으면 된다.

한쪽 분모가 다른 쪽의 배수일 때는 한쪽만 고치면 된다. \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}\) 에서는 \(8\) 을 기준으로 삼는다. \(4\) 가 이미 \(8\) 의 약수이므로 \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}\) 로 한쪽만 바꾸면 된다. 양쪽을 모두 고칠 필요는 없다.

뺄셈도 동일하다#

뺄셈에는 새로 배울 절차가 없다. 조각의 크기를 맞추고 개수를 빼면 된다.

\[\frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}\]

여기서 오류가 하나 나타난다. 크기를 맞춘 다음 아랫수까지 빼는 것이다. \(\dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12}\) 를 \(\dfrac{7}{0}\) 으로 쓰면 안 된다. 아랫수는 조각 크기의 이름이므로 변하지 않는다. 사과 아홉 개에서 두 개를 빼면 사과 일곱 개이며, 단위인 “사과”는 사라지지 않는다.

답이 1을 넘을 때 — 가분수와 대분수#

\[\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}\]

\(\dfrac{17}{12}\) 은 윗수가 아랫수보다 크다. 곧 \(1\) 보다 큰 수이고 가분수다. \(\dfrac{12}{12}\) 이 \(1\) 이므로 여기서 하나를 떼어내면 대분수가 된다.

\[\frac{17}{12} = \frac{12}{12} + \frac{5}{12} = 1\frac{5}{12}\]

반대로 대분수를 가분수로 되돌리려면 정수를 아랫수만큼 곱해 윗수에 더한다.

\[1\frac{5}{12} = \frac{1 \times 12 + 5}{12} = \frac{17}{12}\]

아랫수를 곱하는 이유는 조각을 세어 보면 드러난다. 한 판이 \(12\) 조각이므로 정수 \(1\) 은 조각 \(12\) 개다. 거기에 \(\dfrac{5}{12}\), 곧 조각 \(5\) 개를 더하면 조각은 모두 \(17\) 개다. 그래서 \(\dfrac{17}{12}\) 이다.

\[1\frac{5}{12} = \frac{12}{12} + \frac{5}{12} = \frac{17}{12}\]

정수부가 \(2\) 일 때도 절차는 동일하다. \(2\dfrac{1}{3}\) 에서 한 판은 조각 \(3\) 개이므로 두 판이면 \(6\) 개다.

\[2\frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\]

두 판이 \(6\) 조각인 것을 \(2 \times 3 = 6\) 으로 한 번에 세면, 그 계산이 곧 “정수 \(\times\) 아랫수”다. 거기에 윗수 \(1\) 을 더해 \(7\) 조각이 된다. “정수를 아랫수만큼 곱해 윗수에 더한다”는 규칙은 이 조각 세기를 줄여 쓴 표현이다. 곱셈은 “몇 판이 몇 조각씩”을 빠르게 세는 도구다.

두 표기 중 어느 쪽을 써도 된다. 다만 다음 장의 곱셈·나눗셈에서는 대분수를 가분수로 바꾸어야 하므로, 이 변환을 미리 익혀 둔다.

빈번한 오류#

“분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 더한다”

분수를 하나의 수가 아니라 숫자 두 개가 위아래로 놓인 것으로 보면, 각각 따로 더해도 된다고 판단하기 쉽다. 게다가 곱셈에서는 실제로 그 방식이 성립한다(\(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12}\)). 곱셈 규칙을 먼저 외운 경우 그 절차를 덧셈에 그대로 옮긴다. 규칙 자체가 틀린 것이 아니라 적용 범위를 벗어나 옮겨온 규칙이다. 크기가 다른 조각은 함께 셀 수 없으므로, 먼저 통분해 같은 크기로 맞춘 뒤 개수만 더한다. 답이 반보다 큰지 먼저 어림하면 이 오류를 스스로 검출할 수 있다.

확인 문제: \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}\) 을 계산하고 \(\dfrac{1}{2}\) 보다 큰지 작은지도 말하라. (답: \(\dfrac{7}{12}\), \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}\) 보다 크다.)

“분모가 클수록 큰 수다”

자연수에서 형성된 판단 기준을 그대로 적용한 결과다. 자연수에서는 “\(3\) 이 \(2\) 보다 크다”는 판단이 예외 없이 성립한다. 기준 자체가 틀린 것이 아니라 자연수에만 적용되는 기준이다. 분모를 나누는 사람 수로 바꾸면 관계가 분명해진다. 피자 한 판을 두 명이 나눌 때와 여덟 명이 나눌 때를 비교하면, 나누는 사람이 많을수록 한 사람의 몫이 작으므로 \(\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{8}\) 이 성립한다.

확인 문제: \(\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{3}\) 을 작은 것부터 나열하라. (답: \(\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}\).)

통분해 놓고 아랫수까지 계산한다

\(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\) 을 \(\dfrac{5}{12}\) 로 쓰는 오류다. 통분은 올바르게 수행하고 마지막에 아랫수를 더해 버린다. 통분을 “규칙의 \(1\) 단계”로만 기억하고 그 목적을 파악하지 않으면, 계산이 끝난 뒤 다시 “위는 위끼리, 아래는 아래끼리” 절차로 되돌아간다. 아랫수는 조각의 단위 이름이다. \(3\) 미터 더하기 \(2\) 미터는 \(5\) 미터이며 \(5\) 제곱미터가 아니다. 단위는 더하지 않는다. \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\) 은 “여섯 조각짜리 \(3\) 개 더하기 \(2\) 개 = \(5\) 개”, 곧 \(\dfrac{5}{6}\) 이다.

확인 문제: \(\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9}\) 를 계산하고 기약분수로. (답: \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\).)

대분수를 두 덩어리로 읽는다

\(2\dfrac{1}{3}\) 을 “\(2\) 와 \(\dfrac{1}{3}\) 이라는 별개의 두 물건”으로 보는 오류다. 그 결과 \(2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{1}{2}\) 을 \(3\dfrac{2}{5}\) 로 쓰거나, 가분수로 바꿀 때 \(\dfrac{2}{3}\) 을 쓴다. 실제로는 \(2\dfrac{1}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}\) 인 하나의 수이며, 생략된 덧셈 기호가 드러나지 않은 것이다. 그 기호를 복원하고, 가분수로 바꿀 때는 정수를 아랫수만큼 곱해 윗수에 더한다: \(2\dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}\).

확인 문제: \(1\dfrac{3}{4}\) 을 가분수로, \(\dfrac{11}{5}\) 를 대분수로. (답: \(\dfrac{7}{4}\), \(2\dfrac{1}{5}\).)

연습문제#

계산기를 쓰지 않는다. 통분한 중간 과정을 반드시 적는다 — 답만 적으면 오류가 발생한 지점을 확인할 수 없다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

  1. A 계산하라. (1) \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}\) (2) \(\dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7}\) (3) \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8}\)

  2. A 기약분수로 고쳐라. (1) \(\dfrac{9}{12}\) (2) \(\dfrac{16}{20}\) (3) \(\dfrac{24}{36}\)

  3. A 계산하라. (1) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\) (2) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\) (3) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{10}\)

  4. A 계산하라. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\)

  5. A 계산하라. (1) \(1 - \dfrac{3}{7}\) (2) \(\dfrac{9}{10} - \dfrac{3}{10}\)

  6. B 계산하라. (1) \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\) (2) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\) (3) \(\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{6}\)

  7. B 계산하라. (1) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8}\) (2) \(\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{3}\) (3) \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{5}\)

  8. B 계산하라. \(2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{1}{2}\)

  9. B 계산하라. \(3 - \dfrac{3}{4}\)

  10. B 반죽에 물 \(\dfrac{1}{2}\) 컵과 우유 \(\dfrac{1}{3}\) 컵을 넣었다. 액체는 모두 몇 컵인가? 집에 \(\dfrac{1}{6}\) 컵짜리 계량컵 하나밖에 없다면 몇 번을 퍼야 하는가?

  11. B 물통에 물이 \(\dfrac{3}{4}\) L 들어 있다. 여기에 \(\dfrac{2}{5}\) L를 더 부었다. 물은 모두 몇 L인가?

  12. B 어떤 사람이 하루의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 자고, \(\dfrac{1}{4}\) 을 일한다. 나머지는 하루의 얼마인가? 그것은 몇 시간인가?

  13. C \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}\) 가 왜 틀렸는지 계산을 쓰지 말고 두 문장으로 설명하라. (크기 비교나 그림 중 하나를 쓸 것)

  14. C (1) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\) 을 계산하라. (2) \(\dfrac{3}{4} - \square = \dfrac{1}{3}\) 에서 \(\square\) 에 들어갈 수를 구하라.

정답과 해설

  1. (1) \(\dfrac{3}{5}\) (2) \(\dfrac{3}{7}\) (3) \(\dfrac{1}{2}\) — \(\dfrac{4}{8}\) 을 약분. 아랫수가 같으면 윗수만 계산한다. 아랫수는 그대로 둔다.

  2. (1) \(\dfrac{3}{4}\) (2) \(\dfrac{4}{5}\) (3) \(\dfrac{2}{3}\) — (3)은 12로 나눈다. 12가 보이지 않으면 \(\dfrac{24}{36} \to \dfrac{12}{18} \to \dfrac{6}{9} \to \dfrac{2}{3}\).

  3. (1) \(\dfrac{3}{4}\) (2) \(\dfrac{1}{2}\) — \(\dfrac{3}{6}\) 을 약분 (3) \(\dfrac{1}{2}\) — \(\dfrac{5}{10}\) 을 약분. 셋 다 한쪽만 고치면 된다. 4는 이미 없고 2, 6, 10에 맞추면 된다.

  4. \(\dfrac{5}{6}\) — \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\). 이렇게 틀린다: \(\dfrac{2}{5}\). 이 장에서 가장 빈번한 오류다. 답이 반보다 큰지 먼저 확인하면 스스로 검출할 수 있다.

  5. (1) \(\dfrac{4}{7}\) — \(1 = \dfrac{7}{7}\) 로 바꾼다 (2) \(\dfrac{3}{5}\) — \(\dfrac{6}{10}\) 을 약분

  6. (1) \(\dfrac{17}{12}\) (또는 \(1\dfrac{5}{12}\)) — \(\dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12}\) (2) \(\dfrac{19}{12}\) (또는 \(1\dfrac{7}{12}\)) — \(\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12}\) (3) \(\dfrac{19}{24}\) — \(\dfrac{15}{24} + \dfrac{4}{24}\)

  7. (1) \(\dfrac{11}{24}\) — \(\dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24}\) (2) \(\dfrac{4}{9}\) — \(\dfrac{7}{9} - \dfrac{3}{9}\) (3) \(\dfrac{7}{20}\) — \(\dfrac{15}{20} - \dfrac{8}{20}\)

  8. \(\dfrac{23}{6}\) (또는 \(3\dfrac{5}{6}\)) — \(\dfrac{7}{3} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{14}{6} + \dfrac{9}{6}\). 이렇게 틀린다: \(3\dfrac{2}{5}\). 정수는 정수끼리 더하는 것이 맞지만, 분수부에서 \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{5}\) 를 한 결과다. 가분수로 바꾼 뒤 시작하면 이 오류가 발생하지 않는다.

  9. \(\dfrac{9}{4}\) (또는 \(2\dfrac{1}{4}\)) — \(3 = \dfrac{12}{4}\) 로 바꾼다. 이렇게 틀린다: \(3\dfrac{3}{4}\) 라고 쓴다(빼야 하는데 붙여 씀).

  10. \(\dfrac{5}{6}\) 컵, \(\dfrac{1}{6}\)컵으로 5번 — \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\). 두 번째 물음이 핵심이다. \(\dfrac{5}{6}\) 은 “\(\dfrac{1}{6}\) 짜리가 5개”라는 뜻이고, 그 개수가 그대로 답이다. 분수의 의미를 읽으면 추가 계산 없이 답이 나온다.

  11. \(\dfrac{23}{20}\) L (또는 \(1\dfrac{3}{20}\) L) — \(\dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20}\). 1 L를 조금 넘는다. 물통 하나에 담기는 양이므로 값의 크기가 타당하다.

  12. 하루의 \(\dfrac{5}{12}\), 시간으로는 \(10\) 시간 — \(1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{12}{12} - \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}\). 하루는 24시간이므로 24를 12조각으로 가르면 한 조각이 2시간, 다섯 조각이면 10시간이다. 여기서 배울 것: 분수는 언제나 “무엇의 분수”인지가 있다. 여기서는 하루 24시간이 전체다.

  13. 예시 답안: “\(\dfrac{2}{5}\) 는 반보다 작은데, 반에 어떤 양을 더했으므로 답은 반보다 커야 한다. 그리고 \(\dfrac{2}{5}\) 로 쓰려면 판을 5조각으로 잘라야 하는데, 그런 판은 주어지지 않았다.” — 핵심은 크기 비교 또는 아랫수가 어디서 왔는지를 언급하는 것이다. 둘 중 하나만 있어도 정답으로 본다.

  14. (1) \(1\) — \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6}\). 정확히 한 판이 채워진다. (2) \(\dfrac{5}{12}\) — \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{4}{12}\). 빈칸의 위치와 무관하게 절차는 같다. 큰 쪽에서 작은 쪽을 뺀다.

추가 연습문제#

통분한 중간 과정을 반드시 적는다. 계산기는 쓰지 않는다.

  1. 기약분수로 고쳐라. (1) \(\dfrac{6}{9}\) (2) \(\dfrac{12}{16}\) (3) \(\dfrac{18}{24}\) (4) \(\dfrac{35}{40}\)

  2. 빈칸을 채워라. (1) \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{\square}{15}\) (2) \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{\square}{20}\) (3) \(\dfrac{5}{7} = \dfrac{\square}{28}\)

  3. 둘 중 큰 것에 동그라미 치고, 왜 그런지 한 줄로 쓰라. (1) \(\dfrac{3}{5}\) 와 \(\dfrac{1}{2}\) (2) \(\dfrac{4}{7}\) 와 \(\dfrac{5}{9}\)

  4. 0부터 3까지 수직선을 그리고 \(\dfrac{3}{4}\), \(\dfrac{5}{4}\), \(2\dfrac{1}{4}\) 의 위치를 표시하라.

  5. 가분수로 고쳐라. (1) \(1\dfrac{2}{5}\) (2) \(3\dfrac{1}{3}\) (3) \(2\dfrac{3}{4}\)

  6. 대분수로 고쳐라. (1) \(\dfrac{9}{4}\) (2) \(\dfrac{17}{5}\) (3) \(\dfrac{22}{7}\)

  7. \(\dfrac{12}{18}\) 과 \(\dfrac{20}{30}\) 은 같은 수인가 다른 수인가? 판단하고 이유를 한 줄로 쓰라.

  8. (1) \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7}\) (2) \(\dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{10}\) (3) \(\dfrac{5}{9} + \dfrac{4}{9}\)

  9. (1) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\) (2) \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{9}\) (3) \(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{10}\)

  10. (1) \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{8}\) (2) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\) (3) \(\dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{4}\)

  11. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\)

  12. \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\)

  13. (1) \(1 - \dfrac{2}{5}\) (2) \(2 - \dfrac{1}{3}\)

  14. \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\)

  15. (1) \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\) (2) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\) (3) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}\)

  16. (1) \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{3}\) (2) \(\dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{2}\) (3) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{5}\)

  17. (1) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\) (2) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}\)

  18. (1) \(1\dfrac{1}{2} + 2\dfrac{1}{3}\) (2) \(3\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{1}{2}\)

  19. (1) \(2\dfrac{2}{5} + 1\dfrac{1}{10}\) (2) \(4 - 1\dfrac{3}{7}\)

  20. 빈칸을 채워라. (1) \(\dfrac{2}{3} + \square = \dfrac{5}{6}\) (2) \(\square - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}\)

  21. 케이크 레시피에 설탕 \(\dfrac{1}{2}\)컵과 꿀 \(\dfrac{1}{3}\)컵이 들어간다. 단맛 재료는 모두 몇 컵인가?

  22. 페인트 \(\dfrac{7}{8}\) L가 있었다. 벽을 칠하는 데 \(\dfrac{1}{3}\) L를 썼다. 남은 페인트는 몇 L인가?

  23. 집에서 학교까지 \(\dfrac{3}{4}\) km다. 지금까지 \(\dfrac{2}{5}\) km를 걸었다. 남은 거리는 몇 km인가?

  24. 피자 한 판을 셋이 나눠 먹었다. A는 전체의 \(\dfrac{1}{4}\), B는 전체의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 먹었고, C가 나머지를 다 먹었다. C는 전체의 얼마를 먹었나?

  25. 물통에 물이 \(\dfrac{2}{5}\) L 들어 있다. \(\dfrac{1}{4}\) L를 더 붓고, 그다음 \(\dfrac{1}{10}\) L를 따라냈다. 지금 물통에 든 물은 몇 L인가?

정답과 해설

  1. (1) \(\dfrac{2}{3}\) (2) \(\dfrac{3}{4}\) (3) \(\dfrac{3}{4}\) (4) \(\dfrac{7}{8}\)

  2. (1) \(10\) (2) \(15\) (3) \(20\)

  3. (1) \(\dfrac{3}{5}\) — 10으로 맞추면 \(\dfrac{6}{10}\) 과 \(\dfrac{5}{10}\) (2) \(\dfrac{4}{7}\) — 63으로 맞추면 \(\dfrac{36}{63}\) 과 \(\dfrac{35}{63}\). 두 값의 크기가 거의 같아 어림으로는 구분되지 않는다. 통분이 필요한 이유가 이것이다.

  4. \(\dfrac{3}{4}\) 는 0과 1 사이 네 칸 중 세 번째, \(\dfrac{5}{4}\) 는 1을 지나 한 칸, \(2\dfrac{1}{4}\) 는 2를 지나 한 칸이다. \(\dfrac{5}{4}\) 와 \(2\dfrac{1}{4}\) 사이 간격이 정확히 1이면 올바르게 그린 것이다.

  5. (1) \(\dfrac{7}{5}\) (2) \(\dfrac{10}{3}\) (3) \(\dfrac{11}{4}\)

  6. (1) \(2\dfrac{1}{4}\) (2) \(3\dfrac{2}{5}\) (3) \(3\dfrac{1}{7}\)

  7. 같은 수다. 예시 답안: “둘 다 약분하면 \(\dfrac{2}{3}\) 이 된다. 위아래에 같은 수를 곱하거나 나눠도 값은 변하지 않는다.”

  8. (1) \(\dfrac{5}{7}\) (2) \(\dfrac{2}{5}\) (3) \(1\) — (3)에서 \(\dfrac{9}{9}\) 는 한 판이 다 찬 것이므로 \(1\) 이다. \(\dfrac{9}{18}\) 이라고 쓰면 분모까지 더한 것이다 — 분모는 조각의 크기이지 더하는 대상이 아니다.

  9. (1) \(\dfrac{3}{4}\) (2) \(\dfrac{7}{9}\) (3) \(\dfrac{7}{10}\) — 셋 다 한쪽 아랫수가 다른 쪽의 배수라서 큰 쪽에 맞추면 된다.

  10. (1) \(\dfrac{5}{8}\) (2) \(\dfrac{1}{2}\) (3) \(\dfrac{1}{3}\)

  11. \(\dfrac{5}{6}\)

  12. \(\dfrac{1}{6}\) — 11번과 나란히 놓고 비교한다. 같은 두 수인데 더하면 \(\dfrac{5}{6}\), 빼면 \(\dfrac{1}{6}\) 이다. 통분한 뒤의 연산만 다르다.

  13. (1) \(\dfrac{3}{5}\) (2) \(\dfrac{5}{3}\) (또는 \(1\dfrac{2}{3}\)) — 정수는 원하는 아랫수의 분수로 바꿀 수 있다. \(2 = \dfrac{6}{3}\).

  14. \(\dfrac{3}{4}\) — 아랫수는 그대로 두고 윗수만 셋이 된다. \(\dfrac{3}{12}\) 이라고 쓰면 분모까지 건드린 것이다 — 조각의 크기는 변하지 않는다.

  15. (1) \(\dfrac{17}{12}\) (또는 \(1\dfrac{5}{12}\)) (2) \(\dfrac{19}{12}\) (또는 \(1\dfrac{7}{12}\)) (3) \(\dfrac{11}{15}\)

  16. (1) \(\dfrac{13}{24}\) (2) \(\dfrac{3}{10}\) (3) \(\dfrac{13}{30}\)

  17. (1) \(\dfrac{13}{12}\) (또는 \(1\dfrac{1}{12}\)) — 12로 맞추면 \(\dfrac{6}{12}+\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}\) (2) \(\dfrac{7}{8}\) — 8로 맞추면 \(\dfrac{4}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}\)

  18. (1) \(\dfrac{23}{6}\) (또는 \(3\dfrac{5}{6}\)) (2) \(\dfrac{7}{4}\) (또는 \(1\dfrac{3}{4}\)) — (2)는 \(\dfrac{13}{4} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{13}{4} - \dfrac{6}{4}\). 이렇게 틀린다: 정수끼리 \(3-1=2\), 분수끼리 \(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\) 을 하려다 막힌다. 가분수로 바꾼 뒤 시작하면 이 문제가 생기지 않는다.

  19. (1) \(\dfrac{7}{2}\) (또는 \(3\dfrac{1}{2}\)) — \(\dfrac{12}{5} + \dfrac{11}{10} = \dfrac{24}{10} + \dfrac{11}{10} = \dfrac{35}{10}\), 약분해서 \(\dfrac{7}{2}\) (2) \(\dfrac{18}{7}\) (또는 \(2\dfrac{4}{7}\)) — \(4 = \dfrac{28}{7}\), \(1\dfrac{3}{7} = \dfrac{10}{7}\)

  20. (1) \(\dfrac{1}{6}\) (2) \(\dfrac{5}{8}\) — (2)는 빼는 것이 아니라 더해야 나온다. \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}\). 빈칸의 자리를 보고 무엇을 할지 정한다.

  21. \(\dfrac{5}{6}\) 컵 — \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\). 도입에서 다룬 것과 같은 계산이다.

  22. \(\dfrac{13}{24}\) L — \(\dfrac{21}{24} - \dfrac{8}{24}\). 절반보다 조금 많은 양이 남는다. 그림으로 그려 보면 값의 타당성을 검토할 수 있다.

  23. \(\dfrac{7}{20}\) km — \(\dfrac{15}{20} - \dfrac{8}{20}\). 이렇게 틀린다: \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5}\) 로 더한다. “남은 거리”는 뺄셈이다. 문장에서 무엇을 묻는지 먼저 표시하고 시작한다.

  24. 전체의 \(\dfrac{5}{12}\) — \(1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{12}{12} - \dfrac{3}{12} - \dfrac{4}{12}\). 여기서 배울 것: 전체를 \(1\) 로 놓는 것이 분수 문장제의 출발점이다. C가 A와 B를 합친 것(\(\dfrac{7}{12}\))보다 적게 먹었다는 점도 함께 확인한다.

  25. \(\dfrac{11}{20}\) L — 20으로 맞춘다. \(\dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} - \dfrac{2}{20} = \dfrac{11}{20}\). 여기서 배울 것: 항이 세 개 이상이어도 방법은 같다. 한 번에 전부 같은 아랫수로 맞춘 뒤 순서대로 계산한다. 통분을 두 번에 나누어 하면 오류가 늘어난다.

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 한 문장으로 정리된다. 크기가 다른 조각은 그냥 더할 수 없다. 그래서 분모를 맞춰(통분) 같은 크기 조각으로 다시 자른 뒤, 개수(분자)만 더하거나 뺀다. 분모는 조각 크기의 이름이므로 계산 도중에 변하지 않는다. 여기에 약분과 기약분수, 가분수와 대분수의 맞바꿈을 더했다.

\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\) 을 그림으로 확인하는 것이 이 장의 도달점이다. 제3장에서는 분수를 더하는 대신 곱하고 나눈다. \(\dfrac{3}{4}\) 을 \(\dfrac{2}{3}\) 으로 나누는 계산에서 “뒤집어 곱한다”는 규칙이 성립하는 이유를 그림으로 밝힌다.