# 제2장 · 분수 ① — 의미와 덧셈·뺄셈 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R1-W02 | | **선행 내용** | 제1장(사칙연산을 의미로 읽기) | | **요지** | 분수를 "전체를 똑같이 나눈 조각 몇 개"로 읽고, 크기가 다른 조각은 통분해서 더한다. | ::: ## 도입 레시피에 물 $\dfrac{1}{2}$ 컵, 우유 $\dfrac{1}{3}$ 컵이 적혀 있다. 두 양을 한 컵에 합쳤을 때의 전체 양을 구한다. $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \ ?$$ 가장 자주 제시되는 답은 $\dfrac{2}{5}$ 이다. 위는 위끼리 $1+1=2$, 아래는 아래끼리 $2+3=5$ 로 계산한 결과다. 이것은 분수 계산에서 **가장 빈번한 오류 중 하나**이며, 수학을 오래 쉬었던 사람에게만 나타나는 것이 아니라 학교에서 분수를 배우는 중에도 널리 관찰된다. 이 오류는 개인의 부주의에서 오는 것이 아니라 **분수 표기의 구조**에서 비롯된다. 계산에 앞서 크기만 먼저 확인한다. 반 컵을 붓고 거기에 얼마를 더 부었으므로, 컵에 든 양은 **반 컵보다 많다.** 이 사실이 답을 검산하는 기준이 된다. 그런데 $\dfrac{2}{5}$ 는 반보다 **작다.** 다섯 조각 중 두 조각이므로 반(두 조각 반)에 미치지 못한다. 반에 어떤 양을 **더했는데** 결과가 반보다 작아지므로 앞뒤가 맞지 않는다. 무엇이 잘못되었는지가 이 장의 주제다. ## 분수는 "몇 등분한 것 중 몇 개"다 종이 원 한 장을 똑같이 넷으로 접어 펴면 조각 하나가 $\dfrac{1}{4}$ 이다. 세 개를 모으면 $\dfrac{3}{4}$ 이다. $$\frac{3}{4} \ = \ \text{“} \frac{1}{4} \text{ 짜리 조각이 3개”}$$ ```{image} /_static/figs/ch02_bar_threequarter.svg :alt: 막대 네 칸 중 세 칸이 3/4 :width: 430px :align: center :class: chfig ``` 여기서 결정적인 조건은 **똑같이**다. 임의로 넷으로 자른 것이 아니라 똑같이 넷으로 나눈 것이다. 그래서 아랫수(분모)는 조각의 *개수*가 아니라 **한 조각의 크기**를 정하는 이름이다. $\dfrac{1}{4}$ 은 "네 번째 조각"이 아니라 "$4$ 등분한 조각"이다. 윗수(분자)가 그 조각이 몇 개인지를 센다. ## 분모가 커지면 조각은 작아진다 $\dfrac{1}{2}$ 과 $\dfrac{1}{3}$ 의 크기를 비교한다. $3$ 이 $2$ 보다 크므로 $\dfrac{1}{3}$ 이 크다고 판단하기 쉽다. 그러나 전체를 **더 많이** 나눌수록 **한 조각은 작아진다.** 피자 한 판을 여덟 명이 나누면 두 명이 나눌 때보다 한 사람의 몫이 작다. 나누는 사람이 많을수록 한 사람 몫이 작아지는 것과 같은 관계다. $$\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{8}$$ 분모가 커지면 조각이 작아진다. 이는 암기할 규칙이 아니라 등분의 정의에서 직접 따라오는 사실이다. ## 분수는 수직선 위의 한 점이다 분수는 조각이기도 하지만, 수직선 위의 한 점이기도 하다. 자에 표시된 눈금이 그 예다. ```{image} /_static/figs/ch02_numline_0_2.svg :alt: 0부터 2까지 수직선 위 분수 눈금 :width: 540px :align: center :class: chfig ``` $0$ 과 $1$ 사이를 $4$ 등분하면 $\dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{4}$ 눈금이 생긴다. $\dfrac{1}{2}$ 은 $0$ 과 $1$ 의 정확히 가운데 점이다. $\dfrac{5}{4}$ 는 $\dfrac{1}{4}$ 짜리가 다섯 개다. 네 개가 $1$ 이므로 $1$ 을 넘어 한 칸 더 간 점, 곧 $1$ 보다 큰 수다. 이렇게 윗수가 아랫수보다 큰 분수를 **가분수**라 한다. 가분수는 $1$ 보다 큰 수를 나타내는 정상적인 표기다. $$\frac{5}{4} = 1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4}$$ $1\dfrac{1}{4}$ 은 **대분수**다. $\dfrac{5}{4}$ 와 $1\dfrac{1}{4}$ 은 수직선에서 **같은 점**이며, 같은 수에 대한 두 가지 표기다. ## 같은 수, 여러 이름 — 등가분수와 약분 $\dfrac{3}{4}$ 이 칠해진 종이를 한 번 더 반으로 접으면 조각 수가 두 배로 늘어난다. 색칠된 부분은 여섯 조각, 전체는 여덟 조각이 된다. **넓이는 변하지 않고 표기만 바뀐다.** $$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}$$ 위아래에 **같은 수**를 곱하면 값이 변하지 않는다. 접은 횟수만 늘어난 것이다. $$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8} \qquad \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$$ 거꾸로 위아래를 같은 수로 나누는 것이 **약분**이다. 더 이상 나누어지지 않으면 **기약분수**다. 답은 항상 기약분수로 쓴다. 같은 수를 서로 다른 이름으로 두면 이후 비교가 어렵기 때문이다. $$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$$ $\dfrac{16}{24}$ 을 기약분수로 고친다. $$\frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3}$$ $8$ 이 바로 보이지 않으면 $2$ 로 여러 번 나누어도 된다. $\dfrac{16}{24} \to \dfrac{8}{12} \to \dfrac{4}{6} \to \dfrac{2}{3}$. 단계가 늘어날 뿐 도달하는 결과는 같다. 크기가 다른 두 분수를 비교할 때도 같은 도구를 쓴다. $\dfrac{3}{5}$ 와 $\dfrac{1}{2}$ 의 크기를 비교한다. 조각의 크기가 다르므로 윗수만으로는 비교할 수 없다. 먼저 조각의 크기를 맞춘다. $$\frac{3}{5} = \frac{6}{10} \qquad \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \ \Rightarrow \ \frac{6}{10} > \frac{5}{10} \ \Rightarrow \ \frac{3}{5} > \frac{1}{2}$$ 조각을 같은 크기로 맞추면 개수만 비교하면 된다. 이 절차가 다음 절의 **통분**이다. ## 크기가 다른 조각은 더할 수 없다 도입에서 제시한 $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ 을 그림으로 확인한다. 판 두 장에 각각 반과 $\dfrac{1}{3}$ 을 칠해 한 접시에 이어 붙이면, 합은 반을 확실히 넘고 한 판을 다 채우지는 못한다. 따라서 답은 **반보다 크고 $1$ 보다 작다.** $\dfrac{2}{5}$ 가 답이 될 수 없는 이유는 두 가지다. 첫째, $\dfrac{2}{5}$ 는 반보다 작은데 그림에서 확인한 답은 반보다 크다. 둘째, $\dfrac{2}{5}$ 로 쓰려면 접시를 **다섯 조각**으로 잘라야 하지만, 주어진 것은 반쪽 판과 $\dfrac{1}{3}$ 판뿐이다. $5$ 는 $2 + 3$ 에서 나온 수이며, 이는 조각의 개수를 더한 것이 아니라 **조각 크기의 이름**을 더한 결과다. $$\text{아랫수는 “크기의 이름”이다. 이름은 더하지 않는다.}$$ 덧셈이 성립하지 않는 원인은 하나다. **조각의 크기가 다르다.** 반쪽과 $\dfrac{1}{3}$ 쪽은 크기가 달라 같은 단위로 셀 수 없다. 사과 두 개와 바나나 세 개를 합쳐 "다섯 개"로 부를 공통 단위가 없는 것과 같다. 해결 방법도 하나다. 두 양을 **같은 크기의 조각으로 다시 자른다.** ## 통분 — 조각 크기를 맞춘다 두 분수가 모두 딱 떨어지는 조각 크기를 정한다. $\dfrac{1}{2}$ 을 한 번 더 잘라 $\dfrac{1}{6}$ 로, $\dfrac{1}{3}$ 을 한 번 더 잘라 $\dfrac{1}{6}$ 로 만들면 두 분수 모두 $\dfrac{1}{6}$ 짜리 조각으로 표현된다. ```{image} /_static/figs/ch02_sixths.svg :alt: 6등분 막대로 본 1/2+1/3=5/6 :width: 520px :align: center :class: chfig ``` 조각의 크기가 같으므로 개수만 세면 된다. 세 조각과 두 조각을 합하면 다섯 조각이고, 한 조각이 $\dfrac{1}{6}$ 이므로 답은 $\dfrac{5}{6}$ 이다. $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$ $\dfrac{5}{6}$ 은 반($\dfrac{3}{6}$)보다 크고 $1$ 보다 작다. 도입에서 어림한 범위와 일치한다. 이 절차의 이름은 다음과 같다. $$\text{통분} \ = \ \text{두 분수의 조각 크기를 같게 맞추는 일}$$ $\dfrac{1}{2}$ 을 $\dfrac{3}{6}$ 으로 바꾼 것은 앞 절의 "위아래에 같은 수 곱하기"와 동일하다. 값은 그대로 두고 조각만 잘게 쪼갠 것이다. $$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \qquad \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$$ 맞추는 기준은 두 분모의 공배수이며, 보통 최소공배수를 사용한다. $2$ 와 $3$ 의 최소공배수는 $6$ 이다. 최소공배수가 떠오르지 않으면 **두 분모를 그대로 곱해도 된다.** $2 \times 3 = 6$. 숫자가 커지면 마지막에 약분한다. 용어보다 절차를 먼저 확인한다. 어떤 수의 **배수**는 그 수를 몇 번 이어 붙인 수다. $6$ 을 한 번, 두 번, 세 번 이어 붙이면 $6$, $12$, $18$ 이다. $$6 \text{ 의 배수}: 6,\ 12,\ 18,\ 24,\ 30 \ldots \qquad 8 \text{ 의 배수}: 8,\ 16,\ 24,\ 32 \ldots$$ 두 분모의 배수를 나란히 적고 **처음 일치하는 수**를 고른다. $\dfrac{5}{8}$ 과 $\dfrac{1}{6}$ 을 더하는 경우는 다음과 같다. | 분모 | 배수를 차례로 적는다 | |---|---| | $8$ | $8$, $16$, **$24$**, $32$ … | | $6$ | $6$, $12$, $18$, **$24$** … | 두 목록은 $24$ 에서 처음 일치한다. 양쪽 목록에 모두 들어 있는 수를 **공배수**, 그중 가장 작은 수를 **최소공배수**라 한다. 따라서 $\dfrac{5}{8}$ 과 $\dfrac{1}{6}$ 은 $\dfrac{1}{24}$ 짜리 조각으로 맞춘다. $4$ 와 $6$ 으로 한 번 더 확인한다. $4 \to 4,\ 8,\ 12$ / $6 \to 6,\ 12$. 처음 일치하는 수는 $12$ 다. 뒤에 나오는 $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6}$ 을 $12$ 로 맞추는 이유가 이것이다. $4 \times 6 = 24$ 가 아니라 $12$ 다. 최소공배수가 끝내 보이지 않으면 앞서 말한 대로 두 분모를 그대로 곱한다. **숫자가 커질 뿐 마지막에 약분하면 답은 같다.** $\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{6}$ 을 $8 \times 6 = 48$ 로 맞추면 다음과 같다. $$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 6}{8 \times 6} = \frac{30}{48} \qquad \frac{1}{6} = \frac{1 \times 8}{6 \times 8} = \frac{8}{48}$$ $$\frac{30}{48} + \frac{8}{48} = \frac{38}{48} = \frac{38 \div 2}{48 \div 2} = \frac{19}{24}$$ $24$ 로 맞췄을 때와 같은 $\dfrac{19}{24}$ 를 얻는다. 계산 단계가 늘어날 뿐 결과는 같으며, 마지막 약분만 빠뜨리지 않으면 된다. 한쪽 분모가 다른 쪽의 배수일 때는 한쪽만 고치면 된다. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}$ 에서는 $8$ 을 기준으로 삼는다. $4$ 가 이미 $8$ 의 약수이므로 $\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$ 로 한쪽만 바꾸면 된다. 양쪽을 모두 고칠 필요는 없다. ## 뺄셈도 동일하다 뺄셈에는 새로 배울 절차가 없다. 조각의 크기를 맞추고 개수를 빼면 된다. $$\frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}$$ 여기서 오류가 하나 나타난다. 크기를 맞춘 다음 아랫수까지 빼는 것이다. $\dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12}$ 를 $\dfrac{7}{0}$ 으로 쓰면 안 된다. **아랫수는 조각 크기의 이름이므로 변하지 않는다.** 사과 아홉 개에서 두 개를 빼면 사과 일곱 개이며, 단위인 "사과"는 사라지지 않는다. ## 답이 1을 넘을 때 — 가분수와 대분수 $$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}$$ $\dfrac{17}{12}$ 은 윗수가 아랫수보다 크다. 곧 $1$ 보다 큰 수이고 가분수다. $\dfrac{12}{12}$ 이 $1$ 이므로 여기서 하나를 떼어내면 대분수가 된다. $$\frac{17}{12} = \frac{12}{12} + \frac{5}{12} = 1\frac{5}{12}$$ 반대로 대분수를 가분수로 되돌리려면 정수를 아랫수만큼 곱해 윗수에 더한다. $$1\frac{5}{12} = \frac{1 \times 12 + 5}{12} = \frac{17}{12}$$ 아랫수를 곱하는 이유는 조각을 세어 보면 드러난다. 한 판이 $12$ 조각이므로 정수 $1$ 은 조각 $12$ 개다. 거기에 $\dfrac{5}{12}$, 곧 조각 $5$ 개를 더하면 조각은 모두 $17$ 개다. 그래서 $\dfrac{17}{12}$ 이다. $$1\frac{5}{12} = \frac{12}{12} + \frac{5}{12} = \frac{17}{12}$$ 정수부가 $2$ 일 때도 절차는 동일하다. $2\dfrac{1}{3}$ 에서 한 판은 조각 $3$ 개이므로 두 판이면 $6$ 개다. $$2\frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$ 두 판이 $6$ 조각인 것을 $2 \times 3 = 6$ 으로 한 번에 세면, 그 계산이 곧 "정수 $\times$ 아랫수"다. 거기에 윗수 $1$ 을 더해 $7$ 조각이 된다. **"정수를 아랫수만큼 곱해 윗수에 더한다"는 규칙은 이 조각 세기를 줄여 쓴 표현**이다. 곱셈은 "몇 판이 몇 조각씩"을 빠르게 세는 도구다. 두 표기 중 어느 쪽을 써도 된다. 다만 다음 장의 곱셈·나눗셈에서는 대분수를 가분수로 바꾸어야 하므로, 이 변환을 미리 익혀 둔다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} "분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 더한다" :class: warning 분수를 **하나의 수**가 아니라 **숫자 두 개가 위아래로 놓인 것**으로 보면, 각각 따로 더해도 된다고 판단하기 쉽다. 게다가 곱셈에서는 실제로 그 방식이 성립한다($\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12}$). 곱셈 규칙을 먼저 외운 경우 그 절차를 덧셈에 그대로 옮긴다. 규칙 자체가 틀린 것이 아니라 **적용 범위를 벗어나 옮겨온 규칙**이다. 크기가 다른 조각은 함께 셀 수 없으므로, 먼저 통분해 같은 크기로 맞춘 뒤 개수만 더한다. 답이 반보다 큰지 먼저 어림하면 이 오류를 스스로 검출할 수 있다. *확인 문제*: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}$ 을 계산하고 $\dfrac{1}{2}$ 보다 큰지 작은지도 말하라. (답: $\dfrac{7}{12}$, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}$ 보다 크다.) ::: :::{admonition} "분모가 클수록 큰 수다" :class: warning 자연수에서 형성된 판단 기준을 그대로 적용한 결과다. 자연수에서는 "$3$ 이 $2$ 보다 크다"는 판단이 예외 없이 성립한다. 기준 자체가 틀린 것이 아니라 **자연수에만 적용되는 기준**이다. 분모를 나누는 사람 수로 바꾸면 관계가 분명해진다. 피자 한 판을 두 명이 나눌 때와 여덟 명이 나눌 때를 비교하면, 나누는 사람이 많을수록 한 사람의 몫이 작으므로 $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{8}$ 이 성립한다. *확인 문제*: $\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{3}$ 을 작은 것부터 나열하라. (답: $\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}$.) ::: :::{admonition} 통분해 놓고 아랫수까지 계산한다 :class: warning $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}$ 을 $\dfrac{5}{12}$ 로 쓰는 오류다. 통분은 올바르게 수행하고 마지막에 아랫수를 더해 버린다. 통분을 "규칙의 $1$ 단계"로만 기억하고 그 목적을 파악하지 않으면, 계산이 끝난 뒤 다시 "위는 위끼리, 아래는 아래끼리" 절차로 되돌아간다. 아랫수는 조각의 **단위 이름**이다. $3$ 미터 더하기 $2$ 미터는 $5$ 미터이며 $5$ 제곱미터가 아니다. 단위는 더하지 않는다. $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}$ 은 "여섯 조각짜리 $3$ 개 더하기 $2$ 개 = $5$ 개", 곧 $\dfrac{5}{6}$ 이다. *확인 문제*: $\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9}$ 를 계산하고 기약분수로. (답: $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.) ::: :::{admonition} 대분수를 두 덩어리로 읽는다 :class: warning $2\dfrac{1}{3}$ 을 "$2$ 와 $\dfrac{1}{3}$ 이라는 별개의 두 물건"으로 보는 오류다. 그 결과 $2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{1}{2}$ 을 $3\dfrac{2}{5}$ 로 쓰거나, 가분수로 바꿀 때 $\dfrac{2}{3}$ 을 쓴다. 실제로는 $2\dfrac{1}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}$ 인 **하나의 수**이며, 생략된 덧셈 기호가 드러나지 않은 것이다. 그 기호를 복원하고, 가분수로 바꿀 때는 정수를 아랫수만큼 곱해 윗수에 더한다: $2\dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}$. *확인 문제*: $1\dfrac{3}{4}$ 을 가분수로, $\dfrac{11}{5}$ 를 대분수로. (답: $\dfrac{7}{4}$, $2\dfrac{1}{5}$.) ::: ## 연습문제 계산기를 쓰지 않는다. 통분한 중간 과정을 반드시 적는다 — 답만 적으면 오류가 발생한 지점을 확인할 수 없다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 계산하라. (1) $\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}$ (2) $\dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7}$ (3) $\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8}$ 2. `A` 기약분수로 고쳐라. (1) $\dfrac{9}{12}$ (2) $\dfrac{16}{20}$ (3) $\dfrac{24}{36}$ 3. `A` 계산하라. (1) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$ (2) $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}$ (3) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{10}$ 4. `A` 계산하라. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ 5. `A` 계산하라. (1) $1 - \dfrac{3}{7}$ (2) $\dfrac{9}{10} - \dfrac{3}{10}$ 6. `B` 계산하라. (1) $\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}$ (2) $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$ (3) $\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{6}$ 7. `B` 계산하라. (1) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8}$ (2) $\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{3}$ (3) $\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{5}$ 8. `B` 계산하라. $2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{1}{2}$ 9. `B` 계산하라. $3 - \dfrac{3}{4}$ 10. `B` 반죽에 물 $\dfrac{1}{2}$ 컵과 우유 $\dfrac{1}{3}$ 컵을 넣었다. 액체는 모두 몇 컵인가? 집에 $\dfrac{1}{6}$ 컵짜리 계량컵 하나밖에 없다면 몇 번을 퍼야 하는가? 11. `B` 물통에 물이 $\dfrac{3}{4}$ L 들어 있다. 여기에 $\dfrac{2}{5}$ L를 더 부었다. 물은 모두 몇 L인가? 12. `B` 어떤 사람이 하루의 $\dfrac{1}{3}$ 을 자고, $\dfrac{1}{4}$ 을 일한다. 나머지는 하루의 얼마인가? 그것은 몇 시간인가? 13. `C` $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$ 가 왜 틀렸는지 **계산을 쓰지 말고** 두 문장으로 설명하라. (크기 비교나 그림 중 하나를 쓸 것) 14. `C` (1) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}$ 을 계산하라. (2) $\dfrac{3}{4} - \square = \dfrac{1}{3}$ 에서 $\square$ 에 들어갈 수를 구하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $\dfrac{3}{5}$ (2) $\dfrac{3}{7}$ (3) $\dfrac{1}{2}$ — $\dfrac{4}{8}$ 을 약분. 아랫수가 같으면 윗수만 계산한다. **아랫수는 그대로 둔다.** 2. (1) $\dfrac{3}{4}$ (2) $\dfrac{4}{5}$ (3) $\dfrac{2}{3}$ — (3)은 12로 나눈다. 12가 보이지 않으면 $\dfrac{24}{36} \to \dfrac{12}{18} \to \dfrac{6}{9} \to \dfrac{2}{3}$. 3. (1) $\dfrac{3}{4}$ (2) $\dfrac{1}{2}$ — $\dfrac{3}{6}$ 을 약분 (3) $\dfrac{1}{2}$ — $\dfrac{5}{10}$ 을 약분. **셋 다 한쪽만 고치면 된다.** 4는 이미 없고 2, 6, 10에 맞추면 된다. 4. $\dfrac{5}{6}$ — $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}$. **이렇게 틀린다**: $\dfrac{2}{5}$. 이 장에서 가장 빈번한 오류다. 답이 반보다 큰지 먼저 확인하면 스스로 검출할 수 있다. 5. (1) $\dfrac{4}{7}$ — $1 = \dfrac{7}{7}$ 로 바꾼다 (2) $\dfrac{3}{5}$ — $\dfrac{6}{10}$ 을 약분 6. (1) $\dfrac{17}{12}$ (또는 $1\dfrac{5}{12}$) — $\dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12}$ (2) $\dfrac{19}{12}$ (또는 $1\dfrac{7}{12}$) — $\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12}$ (3) $\dfrac{19}{24}$ — $\dfrac{15}{24} + \dfrac{4}{24}$ 7. (1) $\dfrac{11}{24}$ — $\dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24}$ (2) $\dfrac{4}{9}$ — $\dfrac{7}{9} - \dfrac{3}{9}$ (3) $\dfrac{7}{20}$ — $\dfrac{15}{20} - \dfrac{8}{20}$ 8. $\dfrac{23}{6}$ (또는 $3\dfrac{5}{6}$) — $\dfrac{7}{3} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{14}{6} + \dfrac{9}{6}$. **이렇게 틀린다**: $3\dfrac{2}{5}$. 정수는 정수끼리 더하는 것이 맞지만, 분수부에서 $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{5}$ 를 한 결과다. 가분수로 바꾼 뒤 시작하면 이 오류가 발생하지 않는다. 9. $\dfrac{9}{4}$ (또는 $2\dfrac{1}{4}$) — $3 = \dfrac{12}{4}$ 로 바꾼다. **이렇게 틀린다**: $3\dfrac{3}{4}$ 라고 쓴다(빼야 하는데 붙여 씀). 10. **$\dfrac{5}{6}$ 컵, $\dfrac{1}{6}$컵으로 5번** — $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$. 두 번째 물음이 핵심이다. $\dfrac{5}{6}$ 은 "$\dfrac{1}{6}$ 짜리가 5개"라는 뜻이고, 그 개수가 그대로 답이다. **분수의 의미를 읽으면 추가 계산 없이 답이 나온다.** 11. $\dfrac{23}{20}$ L (또는 $1\dfrac{3}{20}$ L) — $\dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20}$. 1 L를 조금 넘는다. 물통 하나에 담기는 양이므로 값의 크기가 타당하다. 12. **하루의 $\dfrac{5}{12}$, 시간으로는 $10$ 시간** — $1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{12}{12} - \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$. 하루는 24시간이므로 24를 12조각으로 가르면 한 조각이 2시간, 다섯 조각이면 10시간이다. **여기서 배울 것**: 분수는 언제나 "무엇의 분수"인지가 있다. 여기서는 하루 24시간이 전체다. 13. 예시 답안: "$\dfrac{2}{5}$ 는 반보다 작은데, 반에 어떤 양을 더했으므로 답은 반보다 커야 한다. 그리고 $\dfrac{2}{5}$ 로 쓰려면 판을 5조각으로 잘라야 하는데, 그런 판은 주어지지 않았다." — 핵심은 **크기 비교** 또는 **아랫수가 어디서 왔는지**를 언급하는 것이다. 둘 중 하나만 있어도 정답으로 본다. 14. (1) $1$ — $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6}$. 정확히 한 판이 채워진다. (2) $\dfrac{5}{12}$ — $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{4}{12}$. 빈칸의 위치와 무관하게 절차는 같다. 큰 쪽에서 작은 쪽을 뺀다. ::: ### 추가 연습문제 통분한 중간 과정을 반드시 적는다. 계산기는 쓰지 않는다. 1. 기약분수로 고쳐라. (1) $\dfrac{6}{9}$ (2) $\dfrac{12}{16}$ (3) $\dfrac{18}{24}$ (4) $\dfrac{35}{40}$ 2. 빈칸을 채워라. (1) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{\square}{15}$ (2) $\dfrac{3}{4} = \dfrac{\square}{20}$ (3) $\dfrac{5}{7} = \dfrac{\square}{28}$ 3. 둘 중 큰 것에 동그라미 치고, 왜 그런지 한 줄로 쓰라. (1) $\dfrac{3}{5}$ 와 $\dfrac{1}{2}$ (2) $\dfrac{4}{7}$ 와 $\dfrac{5}{9}$ 4. 0부터 3까지 수직선을 그리고 $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{5}{4}$, $2\dfrac{1}{4}$ 의 위치를 표시하라. 5. 가분수로 고쳐라. (1) $1\dfrac{2}{5}$ (2) $3\dfrac{1}{3}$ (3) $2\dfrac{3}{4}$ 6. 대분수로 고쳐라. (1) $\dfrac{9}{4}$ (2) $\dfrac{17}{5}$ (3) $\dfrac{22}{7}$ 7. $\dfrac{12}{18}$ 과 $\dfrac{20}{30}$ 은 같은 수인가 다른 수인가? 판단하고 이유를 한 줄로 쓰라. 8. (1) $\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7}$ (2) $\dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{10}$ (3) $\dfrac{5}{9} + \dfrac{4}{9}$ 9. (1) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$ (2) $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{9}$ (3) $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{10}$ 10. (1) $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{8}$ (2) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}$ (3) $\dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{4}$ 11. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ 12. $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$ 13. (1) $1 - \dfrac{2}{5}$ (2) $2 - \dfrac{1}{3}$ 14. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}$ 15. (1) $\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}$ (2) $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$ (3) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}$ 16. (1) $\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{3}$ (2) $\dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{2}$ (3) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{5}$ 17. (1) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ (2) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}$ 18. (1) $1\dfrac{1}{2} + 2\dfrac{1}{3}$ (2) $3\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{1}{2}$ 19. (1) $2\dfrac{2}{5} + 1\dfrac{1}{10}$ (2) $4 - 1\dfrac{3}{7}$ 20. 빈칸을 채워라. (1) $\dfrac{2}{3} + \square = \dfrac{5}{6}$ (2) $\square - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}$ 21. 케이크 레시피에 설탕 $\dfrac{1}{2}$컵과 꿀 $\dfrac{1}{3}$컵이 들어간다. 단맛 재료는 모두 몇 컵인가? 22. 페인트 $\dfrac{7}{8}$ L가 있었다. 벽을 칠하는 데 $\dfrac{1}{3}$ L를 썼다. 남은 페인트는 몇 L인가? 23. 집에서 학교까지 $\dfrac{3}{4}$ km다. 지금까지 $\dfrac{2}{5}$ km를 걸었다. 남은 거리는 몇 km인가? 24. 피자 한 판을 셋이 나눠 먹었다. A는 전체의 $\dfrac{1}{4}$, B는 전체의 $\dfrac{1}{3}$ 을 먹었고, C가 나머지를 다 먹었다. C는 전체의 얼마를 먹었나? 25. 물통에 물이 $\dfrac{2}{5}$ L 들어 있다. $\dfrac{1}{4}$ L를 더 붓고, 그다음 $\dfrac{1}{10}$ L를 따라냈다. 지금 물통에 든 물은 몇 L인가? :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $\dfrac{2}{3}$ (2) $\dfrac{3}{4}$ (3) $\dfrac{3}{4}$ (4) $\dfrac{7}{8}$ 2. (1) $10$ (2) $15$ (3) $20$ 3. (1) $\dfrac{3}{5}$ — 10으로 맞추면 $\dfrac{6}{10}$ 과 $\dfrac{5}{10}$ (2) $\dfrac{4}{7}$ — 63으로 맞추면 $\dfrac{36}{63}$ 과 $\dfrac{35}{63}$. **두 값의 크기가 거의 같아 어림으로는 구분되지 않는다. 통분이 필요한 이유가 이것이다.** 4. $\dfrac{3}{4}$ 는 0과 1 사이 네 칸 중 세 번째, $\dfrac{5}{4}$ 는 1을 지나 한 칸, $2\dfrac{1}{4}$ 는 2를 지나 한 칸이다. $\dfrac{5}{4}$ 와 $2\dfrac{1}{4}$ 사이 간격이 정확히 1이면 올바르게 그린 것이다. 5. (1) $\dfrac{7}{5}$ (2) $\dfrac{10}{3}$ (3) $\dfrac{11}{4}$ 6. (1) $2\dfrac{1}{4}$ (2) $3\dfrac{2}{5}$ (3) $3\dfrac{1}{7}$ 7. **같은 수다.** 예시 답안: "둘 다 약분하면 $\dfrac{2}{3}$ 이 된다. 위아래에 같은 수를 곱하거나 나눠도 값은 변하지 않는다." 8. (1) $\dfrac{5}{7}$ (2) $\dfrac{2}{5}$ (3) $1$ — (3)에서 $\dfrac{9}{9}$ 는 한 판이 다 찬 것이므로 $1$ 이다. $\dfrac{9}{18}$ 이라고 쓰면 분모까지 더한 것이다 — 분모는 조각의 크기이지 더하는 대상이 아니다. 9. (1) $\dfrac{3}{4}$ (2) $\dfrac{7}{9}$ (3) $\dfrac{7}{10}$ — 셋 다 한쪽 아랫수가 다른 쪽의 배수라서 **큰 쪽에 맞추면 된다.** 10. (1) $\dfrac{5}{8}$ (2) $\dfrac{1}{2}$ (3) $\dfrac{1}{3}$ 11. $\dfrac{5}{6}$ 12. $\dfrac{1}{6}$ — 11번과 나란히 놓고 비교한다. 같은 두 수인데 더하면 $\dfrac{5}{6}$, 빼면 $\dfrac{1}{6}$ 이다. 통분한 뒤의 연산만 다르다. 13. (1) $\dfrac{3}{5}$ (2) $\dfrac{5}{3}$ (또는 $1\dfrac{2}{3}$) — 정수는 원하는 아랫수의 분수로 바꿀 수 있다. $2 = \dfrac{6}{3}$. 14. $\dfrac{3}{4}$ — 아랫수는 그대로 두고 윗수만 셋이 된다. $\dfrac{3}{12}$ 이라고 쓰면 분모까지 건드린 것이다 — 조각의 크기는 변하지 않는다. 15. (1) $\dfrac{17}{12}$ (또는 $1\dfrac{5}{12}$) (2) $\dfrac{19}{12}$ (또는 $1\dfrac{7}{12}$) (3) $\dfrac{11}{15}$ 16. (1) $\dfrac{13}{24}$ (2) $\dfrac{3}{10}$ (3) $\dfrac{13}{30}$ 17. (1) $\dfrac{13}{12}$ (또는 $1\dfrac{1}{12}$) — 12로 맞추면 $\dfrac{6}{12}+\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}$ (2) $\dfrac{7}{8}$ — 8로 맞추면 $\dfrac{4}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}$ 18. (1) $\dfrac{23}{6}$ (또는 $3\dfrac{5}{6}$) (2) $\dfrac{7}{4}$ (또는 $1\dfrac{3}{4}$) — (2)는 $\dfrac{13}{4} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{13}{4} - \dfrac{6}{4}$. **이렇게 틀린다**: 정수끼리 $3-1=2$, 분수끼리 $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$ 을 하려다 막힌다. 가분수로 바꾼 뒤 시작하면 이 문제가 생기지 않는다. 19. (1) $\dfrac{7}{2}$ (또는 $3\dfrac{1}{2}$) — $\dfrac{12}{5} + \dfrac{11}{10} = \dfrac{24}{10} + \dfrac{11}{10} = \dfrac{35}{10}$, 약분해서 $\dfrac{7}{2}$ (2) $\dfrac{18}{7}$ (또는 $2\dfrac{4}{7}$) — $4 = \dfrac{28}{7}$, $1\dfrac{3}{7} = \dfrac{10}{7}$ 20. (1) $\dfrac{1}{6}$ (2) $\dfrac{5}{8}$ — (2)는 빼는 것이 아니라 **더해야** 나온다. $\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}$. 빈칸의 자리를 보고 무엇을 할지 정한다. 21. $\dfrac{5}{6}$ 컵 — $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}$. 도입에서 다룬 것과 같은 계산이다. 22. $\dfrac{13}{24}$ L — $\dfrac{21}{24} - \dfrac{8}{24}$. 절반보다 조금 많은 양이 남는다. 그림으로 그려 보면 값의 타당성을 검토할 수 있다. 23. $\dfrac{7}{20}$ km — $\dfrac{15}{20} - \dfrac{8}{20}$. **이렇게 틀린다**: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5}$ 로 더한다. "남은 거리"는 뺄셈이다. 문장에서 무엇을 묻는지 먼저 표시하고 시작한다. 24. 전체의 $\dfrac{5}{12}$ — $1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{12}{12} - \dfrac{3}{12} - \dfrac{4}{12}$. **여기서 배울 것**: 전체를 $1$ 로 놓는 것이 분수 문장제의 출발점이다. C가 A와 B를 합친 것($\dfrac{7}{12}$)보다 적게 먹었다는 점도 함께 확인한다. 25. $\dfrac{11}{20}$ L — 20으로 맞춘다. $\dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} - \dfrac{2}{20} = \dfrac{11}{20}$. **여기서 배울 것**: 항이 세 개 이상이어도 방법은 같다. 한 번에 전부 같은 아랫수로 맞춘 뒤 순서대로 계산한다. 통분을 두 번에 나누어 하면 오류가 늘어난다. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 한 문장으로 정리된다. **크기가 다른 조각은 그냥 더할 수 없다.** 그래서 분모를 맞춰(통분) 같은 크기 조각으로 다시 자른 뒤, 개수(분자)만 더하거나 뺀다. 분모는 조각 크기의 이름이므로 계산 도중에 변하지 않는다. 여기에 약분과 기약분수, 가분수와 대분수의 맞바꿈을 더했다. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ 을 그림으로 확인하는 것이 이 장의 도달점이다. [제3장](ch03.md)에서는 분수를 더하는 대신 곱하고 나눈다. $\dfrac{3}{4}$ 을 $\dfrac{2}{3}$ 으로 나누는 계산에서 "뒤집어 곱한다"는 규칙이 성립하는 이유를 그림으로 밝힌다.