제21장 · 함수와 그래프

내용

제21장 · 함수와 그래프#

이 장


원본 코드	R3-W01
선행 내용	제2부 · 대수 재건
요지	함수는 입력을 출력으로 보내는 규칙이고, 미적분의 대상은 함수이다. \(y=f(x-2)\) 는 그래프를 오른쪽으로 이동시킨다.

도입#

미적분의 정의는 한 문장으로 요약된다. 미적분은 함수를 다루는 학문이다. 함수가 어떻게 변하는지를 다루는 것이 미분이고, 함수가 얼마나 쌓이는지를 다루는 것이 적분이다. 따라서 함수가 정리되지 않으면 미적분의 논의는 성립하지 않는다.

\[\text{극한} \ \to \ \text{함수가 어디로 가는가}\]

\[\text{미분} \ \to \ \text{함수가 얼마나 빨리 변하는가}\]

\[\text{적분} \ \to \ \text{함수가 얼마나 쌓이는가}\]

세 진술의 주어는 모두 함수이다. 미적분에 들어가기 전에 함수를 먼저 정리하는 이유가 여기에 있다.

함수가 무엇인지 물으면 “\(y = 2x + 1\) 과 같은 식”이라는 답이 먼저 나오는 경우가 많다. 이 답이 틀린 것은 아니지만, 그것은 함수의 예시이지 정의가 아니다. 예시는 정의가 규정하는 대상 가운데 하나일 뿐이므로, 예시를 정의로 대신하면 그 밖의 함수를 함수로 인식하지 못한다. 이 장에서 다루는 것이 그 차이이다. 함수는 입력 하나에 출력 하나를 정해 주는 대응이고, 공식은 그 대응을 적는 여러 방법 중 하나이다.

\[\text{입력} \ \to \ \boxed{\ f \ } \ \to \ \text{출력}\]

이 한 줄이 이 장 전체의 기준이 된다.

함수는 공식이 아니라 기계다#

\(f\) 는 입력을 넣으면 출력이 나오는 상자로 나타낸다. 입력 \(3\) 에 대응하는 출력은 \(7\) 이다.

이 관계를 다음과 같이 쓴다.

\[f(3) = 7\]

\(f(3)\) 은 “\(f\) 곱하기 \(3\)” 이 아니다. “\(f\) 라는 기계에 \(3\) 을 넣었을 때 나오는 값” 이다. 이 오류는 대수에서 \(2x\) 를 \(2+x\) 로 읽는 것과 같은 종류이다. 기호는 소리 내어 “에프 오브 쓰리” 또는 “에프에 3을 넣은 값”으로 읽는다.

값을 구하는 일은 대입이다. \(f(x) = 3x - 4\) 이면 \(f(0) = -4\), \(f(2) = 2\), \(f(-1) = -7\) 이다. 넣는 값이 정해지면 나오는 값도 하나로 정해진다.

함수의 규칙은 하나이다.

\[\text{입력 하나에 출력은 반드시 하나}\]

이 조건이 함수의 정의이다. 같은 입력에 대해 서로 다른 출력이 나오면 그 대응은 함수가 아니다.

공식이 없어도 함수이다. 하루 동안의 기온 그래프를 예로 든다. 입력은 시각, 출력은 기온이다. 오전 9시를 넣으면 18도가 나온다. 오전 9시를 두 번 넣으면 두 번 다 18도가 나온다. 입력 하나에 출력 하나가 대응하므로 이것은 함수이다. 그러나 이 함수를 나타내는 공식은 알려져 있지 않다. 주가나 매일 아침 측정한 몸무게도 마찬가지이다. 미적분에서 다루는 함수의 상당수는 데이터로 먼저 주어지고 공식은 나중에 붙거나 끝내 주어지지 않는다. 함수를 공식으로만 규정하면 이런 함수들이 논의에서 제외된다.

같은 함수를 적는 방법은 네 가지이다.

\[\text{① 말로} \ : \ \text{“2배 하고 1을 더한다”}\]

\[\text{② 식으로} \ : \ f(x) = 2x+1\]

\[\begin{split}\text{③ 표로} \ : \ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 1 & 3 & 5 \end{array}\end{split}\]

\[\text{④ 그래프로} \ : \ \text{점 } (0,1), (1,3), (2,5) \ \text{를 찍은 그림}\]

네 가지는 모두 같은 함수를 나타내며 표기만 다르다. 미적분에서 가장 자주 쓰이는 것은 ④ 그래프이다. 이 장의 나머지 부분은 주로 그래프를 다룬다.

주어진 그림이 함수인지는 그림에서 직접 판정할 수 있다. 세로줄(수직선)을 왼쪽에서 오른쪽으로 이동시킨다. 어디서든 그래프와 한 점에서만 만나면 함수이다. 두 점에서 만나는 자리가 한 군데라도 있으면 함수가 아니다. 입력 하나에 출력이 두 개라는 뜻이기 때문이다. 이것을 수직선 판정법이라고 한다.

원 \(x^2 + y^2 = 25\) 를 예로 든다. \(x = 0\) 을 넣으면 \(y^2 = 25\) 이므로 \(y = 5\) 와 \(y = -5\), 두 개가 나온다. 따라서 원은 함수가 아니다. 식이 있는데도 함수가 아니다. 공식의 유무는 함수인지 아닌지와 무관하다.

한 가지를 덧붙인다. \(h(x) = \dfrac{1}{x-3}\) 에는 넣을 수 없는 입력이 하나 있다. \(x = 3\) 이다. 분모가 \(0\) 이 되어 값이 정해지지 않기 때문이다. 넣을 수 있는 입력들의 모임을 정의역이라고 한다. 용어보다 중요한 것은 넣을 수 없는 입력이 있다는 사실이다. 주의할 곳은 둘, 분모가 \(0\) 이 되는 곳과 루트 안이 음수가 되는 곳이다.

직선의 기울기는 변화율이다#

물탱크에 물이 \(200\) 리터 있고, 아래쪽 구멍으로 \(1\) 분에 \(8\) 리터씩 빠진다. \(t\) 분 뒤 남은 양을 \(V(t)\) 라 하면 다음이 성립한다.

\[V(t) = 200 - 8t\]

\[V(0) = 200 \qquad V(10) = 120 \qquad V(25) = 0\]

여기서 \(-8\) 은 “1분에 8리터씩 줄어든다” 를 뜻한다. 기울기는 그래프가 기울어진 정도가 아니라 변화의 빠르기, 곧 변화율이다.

\[\text{기울기} \ = \ \text{변화율} \ = \ \frac{y \text{의 변화량}}{x \text{의 변화량}}\]

이 등식은 이후 논의의 기준이 된다. 뒤에서는 직선이 아니라 곡선의 기울기를 다루게 되며, 곡선에 기울기를 정의하는 작업이 곧 미분이다.

두 점에서 기울기를 구한다.

\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

점 \((1, 2)\) 와 \((4, 11)\) 에 적용하면 다음과 같다.

\[m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3\]

\(x\) 가 \(3\) 늘 때 \(y\) 가 \(9\) 늘었으므로, \(x\) 가 \(1\) 늘 때 \(y\) 는 \(3\) 는다. 나눗셈은 여기서도 “1당 얼마”를 구하는 연산이다.

\(y\) 절편은 출발점이다.

\[y = mx + b \qquad (m = \text{기울기}, \ b = y \text{절편})\]

\(b\) 는 \(x = 0\) 일 때의 값, 곧 출발점에 해당하는 값이다. 물탱크 예에서 \(200\) 이 \(b\) 이다.

두 절편은 다음과 같이 구한다. \(y = 3x - 6\) 을 예로 든다.

\[y \text{절편} \ : \ x = 0 \ \Rightarrow \ y = -6\]

\[x \text{절편} \ : \ y = 0 \ \Rightarrow \ 3x - 6 = 0 \ \Rightarrow \ x = 2\]

\(x\) 절편을 구하는 것은 방정식 풀기이다. 새로운 기술이 아니라 대수에서 사용한 절차와 같다.

이차함수의 그래프#

\(y = x^2 - 6x + 5\) 를 다룬다. 그래프를 그리는 데 필요한 것은 세 가지이다.

\(x\) 절편 — 인수분해로 구한다.

\[x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5) = 0 \ \Rightarrow \ x = 1, \ 5\]

꼭짓점 — 완전제곱으로 구한다.

\[x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4\]

\[\text{꼭짓점} \ (3, -4)\]

완전제곱은 앞에서 이차방정식을 풀기 위해 사용한 방법이다. 여기서는 꼭짓점을 구하는 데 사용한다. 같은 방법을 다른 목적에 적용한 것이다. \((x-3)^2\) 은 항상 \(0\) 이상이고 \(x = 3\) 일 때 \(0\) 이므로, 그때 \(y\) 가 최소가 된다.

모양 — \(x^2\) 의 계수가 양수면 아래로 볼록(위로 열림)이다.

\(x\) 절편 \(1\) 과 \(5\), 꼭짓점 \((3, -4)\), 그리고 \(x = 0\) 일 때 \(y = 5\) 인 점을 찍어 잇는다. 점 네 개면 포물선이 그려진다 — 절편 두 개, 꼭짓점 하나, \(y\) 절편 하나. 이 네 점을 찍는 절차가 이차함수 그래프 작도의 전부이다.

앞선 대수에서 판별식 \(D\) 의 부호로 이차방정식의 해가 몇 개인지 판정한 것은, 이 포물선이 \(x\) 축을 몇 번 자르는가와 같은 내용이다. 연립방정식의 해가 두 그래프의 교점이라는 것도 같은 내용이다.

그래프를 움직인다#

이 절은 이 장에서 오류가 가장 자주 발생하는 부분이다. \(y = f(x)\) 를 가로 방향으로 옮기면 어느 쪽으로 이동하는지를, 설명에 앞서 값의 표로 확인한다.

함수 \(f\) 의 값을 표로 제시한다. 공식은 주어지지 않는다. 표만으로도 대응이 정해지므로 이것은 함수이다.

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(5\)	\(8\)	\(6\)	\(1\)	\(0\)

\(f\) 가 최댓값 \(8\) 을 내놓는 것은 \(x = 1\) 일 때이다. 이제 새 함수를 정의한다.

\[g(x) = f(x-2)\]

\(g\) 의 작동은 다음과 같다. \(x\) 를 받으면 \(2\) 를 뺀 다음 \(f\) 에 넣는다. 한 칸씩 채우면 다음을 얻는다.

\[g(-1) = f(-3) = 0 \qquad g(0) = f(-2) = 1 \qquad g(1) = f(-1) = 2\]

\[g(2) = f(0) = 5 \qquad g(3) = f(1) = 8 \qquad g(4) = f(2) = 6\]

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(g(x) = f(x-2)\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(5\)	\(8\)	\(6\)

\(g\) 가 최댓값 \(8\) 을 내놓는 \(x\) 를 확인한다.

\[f \ \text{는} \ x=1 \ \text{에서 } 8 \qquad g \ \text{는} \ x=3 \ \text{에서 } 8\]

최댓값의 위치가 \(1\) 에서 \(3\) 으로, 오른쪽으로 \(2\) 이동했다. 식의 \(-2\) 만 보고 왼쪽 이동으로 판단하기 쉬우나, 기준은 표의 값이다. \(f(x-2)\) 는 왼쪽이 아니라 오른쪽으로 이동한다.

\[f(x-2) \ : \ \textbf{입력을 늦게 주니 반응도 늦게 나온다}\]

\(g\) 는 입력 \(x\) 에 대해 \(f\) 가 \(x-2\) 에서 내던 값을 출력한다. 즉 같은 출력이 나오는 위치가 \(2\) 만큼 뒤로 밀리고, 그 결과 그래프 전체가 오른쪽으로 \(2\) 이동한다.

이동 방향을 규칙으로만 암기하면 부호를 반대로 적용하기 쉽다. 판단이 서지 않으면 점 하나를 대입해 확인한다. \(f(0) = 5\) 이므로 \(g\) 가 \(5\) 를 내놓는 것은 \(x - 2 = 0\), 즉 \(x = 2\) 일 때이다. 오른쪽 이동이 확인된다.

변환은 네 가지로 정리된다. \(y = f(x)\) 를 기준으로 다음이 성립한다.

\[y = f(x - a) \ : \ \text{오른쪽으로 } a \ (\text{입력 쪽, 직관과 반대})\]

\[y = f(x) + b \ : \ \text{위로 } b \ (\text{출력 쪽, 직관과 같음})\]

\[y = k \, f(x) \ : \ \text{세로로 } k \text{배 늘림}\]

\[y = -f(x) \ : \ x \text{축에 대해 뒤집기}\]

여기에는 규칙성이 있다. 출력 쪽(\(y\) 쪽) 변환은 부호와 방향이 일치하여 \(+3\) 이면 위로 \(3\) 이다. 입력 쪽(\(x\) 쪽) 변환은 부호와 방향이 반대여서 \(-2\) 이면 오른쪽으로 \(2\) 이다. 반대가 되는 이유는 앞의 표에서 확인했다. 이 비대칭이 이 절의 핵심이다.

예제로 확인한다.

\[y = -2(x+1)^2 + 8\]

\(x^2\) 을 기준으로 읽는다. \((x+1)\) 이므로 왼쪽으로 \(1\), \(-2\) 배이므로 세로로 \(2\) 배 늘리고 뒤집기, \(+8\) 이므로 위로 \(8\) 이다. 꼭짓점은 \((-1, 8)\) 이고 위로 볼록이다. \(x\) 절편은 다음과 같다.

\[-2(x+1)^2 + 8 = 0 \ \Rightarrow \ (x+1)^2 = 4 \ \Rightarrow \ x = 1 \ \text{또는} \ x = -3\]

합성함수 — 기계를 이어 붙인다#

한 함수로 처리한 값을 다른 함수에 다시 넣을 수 있다. \(g\) 로 처리한 값을 \(f\) 에 넣는 것을 \(f(g(x))\) 라 쓴다.

먼저 지나가는 \(g\) 가 속, 나중에 지나가는 \(f\) 가 겉이다. 이것을 합성함수라고 한다.

\[f(x) = x^2, \quad g(x) = x+1\]

여기서는 결과만 옮겨 적지 말고 대입 과정을 직접 확인한다. \(f\) 의 규칙을 빈칸으로 다시 쓰면 다음과 같다.

\[f(\square) = \square^2\]

“빈칸에 무엇이 들어오든 그것을 통째로 제곱한다”는 뜻이다. 따라서 빈칸 자리에 \(g(x) = x+1\) 을 통째로 넣으면 다음을 얻는다.

\[f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2\]

순서를 뒤집으면 빈칸의 주인이 바뀐다. 이번에는 \(g\) 가 겉이다.

\[g(\square) = \square + 1\]

\[g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1\]

빈칸을 두고 대입하는 이 절차가 합성의 전부이다. 빈칸을 명시하지 않으면 \(f(x)=x^2\) 에 \(x+1\) 을 넣으면서 \(x^2+1\) 이라고 쓰기 쉽다. 이는 이 장 뒤의 빈번한 오류 절에서 다시 다루는 오류 — \(f\) 는 괄호 안으로 분배되지 않는다 — 와 같은 것이다. 대입되는 것은 항 하나가 아니라 식 전체이다.

순서를 바꾸면 결과가 다르다. \((x+1)^2\) 과 \(x^2+1\) 은 서로 다른 식이다. \(x = 2\) 를 넣으면 각각 \(9\) 와 \(5\) 이다. 합성의 순서는 결과를 바꾼다.

여기서 필요한 것은 계산이 아니라 분해이다. 다음 세 식을 겉과 속으로 분해한다.

\[(2x+1)^5 \ : \ \text{속} = 2x+1, \ \text{겉} = (\ \cdot\ )^5\]

\[\sin(3x) \ : \ \text{속} = 3x, \ \text{겉} = \sin(\ \cdot\ )\]

\[(\sin x)^2 \ : \ \text{속} = \sin x, \ \text{겉} = (\ \cdot\ )^2\]

뒤의 두 식을 비교한다. \(\sin(3x)\) 와 \((\sin x)^2\) 은 겉과 속이 서로 뒤바뀐 관계이다. 표기가 비슷해 혼동하기 쉬우나 판단 기준은 하나이다 — 괄호 안에 먼저 들어간 것이 속이다.

역함수 — 기계를 거꾸로 돌린다#

\(f(x) = 2x + 1\) 이고 \(f(a) = 9\) 일 때 \(a\) 를 찾는 물음을 생각한다. 답은 \(a = 4\) 이다. 이것은 방향이 반대인 물음이다. 넣는 값을 알고 나오는 값을 구하는 것이 보통이라면, 이번에는 나오는 값을 알고 넣은 값을 되묻는 것이다. 이 되묻기가 역함수이다.

\[f(x) = 3x - 6 \quad \text{에 대해} \quad f(4) = 6 \quad \Rightarrow \quad f^{-1}(6) = 4\]

\(f\) 는 \(4\) 를 넣으면 \(6\) 을 내놓는다. 반대로 \(6\) 을 넣으면 \(4\) 를 내놓는 함수를 역함수라 하고, 기호는 \(f^{-1}\), “에프 인버스”라고 읽는다. \(f\) 의 마이너스 1제곱이 아니고, \(\dfrac{1}{f}\) 도 아니다.

구하는 절차는 세 줄이다.

\[\text{① } y = 3x - 6 \quad \text{② } x \text{에 대해 푼다: } x = \frac{y+6}{3}\]

②까지 하면 역함수의 규칙은 이미 정해진다. “\(6\) 을 더하고 \(3\) 으로 나눈다” — 이것이 \(f\) 를 거꾸로 돌리는 규칙이다. 여기서 멈추지 않고 문자를 한 번 더 바꾸는 이유는 어떤 함수든 입력을 \(x\) 로 표기하는 관례를 따르기 때문이다. ②의 식에서 입력 자리에 있는 것은 \(y\) 이므로, 그 \(y\) 를 \(x\) 로 고쳐 부른다. 규칙이 바뀌는 것이 아니라 이름만 바꾸는 것이다.

\[\text{③ 문자를 바꾼다: } f^{-1}(x) = \frac{x+6}{3}\]

검산하면 \(f^{-1}(6) = \dfrac{6+6}{3} = 4\) 로 일치한다.

③에서 입력과 출력의 이름을 맞바꾸었으므로, 그림에서도 두 좌표가 자리를 맞바꾼다. 역함수의 그래프는 \(y = x\) 에 대해 뒤집은 것이다. 입력과 출력의 자리를 바꾸는 일이므로 좌표 \((a, b)\) 가 \((b, a)\) 로 간다. ③은 그 뒤집기를 식에서 미리 수행한 것이다.

빈번한 오류#

“함수는 공식이다”

그래프만 주어졌을 때 “식이 없는데 어떻게 푸느냐”고 묻거나, 표만 주어졌을 때 함수가 아니라고 판단한다면 이 오류에 해당한다. 원인은 경험의 편향이다. 학교에서 다룬 함수가 거의 전부 식으로 주어졌기 때문에 “함수”와 “공식”이 하나로 결합된 것이다. 두 반례를 나란히 놓으면 구분된다. 어제의 기온 그래프는 공식이 없어도 함수이고, 원 \(x^2+y^2=25\) 는 공식이 있어도 함수가 아니다. 판정 기준은 식의 유무가 아니라 오직 하나, 입력 하나에 출력 하나이다.

확인 문제: 다음 중 함수인 것을 모두 고르라. (가) 어제의 시각별 기온 그래프 (나) 원 \(x^2+y^2=1\) (다) 표: \(x=1\) 일 때 \(y=3\), \(x=2\) 일 때 \(y=3\). (답: (가)와 (다). (다)는 출력끼리 같을 뿐이므로 조건에 어긋나지 않는다. 입력이 겹치면서 출력이 다른 경우가 조건에 어긋난다.)

“\(f(x)\) 는 \(f\) 곱하기 \(x\) 다”

\(f(a+b)\) 를 \(f \cdot a + f \cdot b\) 로 전개하거나 \(f(2x)\) 를 \(2f(x)\) 로 쓴다면 이 오류에 해당한다. 괄호 앞에 문자가 있으면 곱셈이라는 대수의 습관이 그대로 적용된 것이다. 두 표기의 형태가 동일하기 때문에 발생하는 혼동이다. 구체적인 수를 대입하면 즉시 반증된다.

\[f(x) = x^2 \quad \Rightarrow \quad f(1+2) = f(3) = 9 \qquad f(1) + f(2) = 1 + 4 = 5\]

\(9\) 와 \(5\) 는 다르다. 괄호 안은 분배되지 않는다. \(f\) 는 곱해지는 수가 아니라 함수의 이름이다.

확인 문제: \(f(x) = 3x\) 일 때 \(f(2+5)\) 와 \(f(2)+f(5)\) 를 각각 구하라. (답: 둘 다 \(21\). 이 함수에서는 두 값이 우연히 일치한다. \(f(x)=x^2\) 로 다시 계산하면 \(f(2+5)=49\), \(f(2)+f(5)=29\) 로 서로 다르다. 일부 함수에서 우연히 일치하기 때문에 오류가 발견되지 않은 채 남는다.)

“\(y = f(x-2)\) 는 왼쪽으로 간다”

“\(-2\) 이므로 왼쪽으로 \(2\)” 로 판단하는 오류가 자주 발생하는 자리이다. \(y = (x-3)^2\) 의 꼭짓점을 \((-3, 0)\) 으로 쓰는 것이 그 예이다. 원인은 수직선에서 형성된 “\(-\) 는 왼쪽”이라는 감각인데, 이 감각은 부분적으로만 옳다 — 출력 쪽(\(y\) 쪽)에서는 \(-2\) 가 실제로 아래로 \(2\) 이다. 출력 쪽에서만 성립하는 규칙을 입력 쪽에 적용한 것이고, 절반이 맞기 때문에 교정될 기회가 없었던 것이다. 처방은 설명이 아니라 표이다. \(f\) 값 표를 놓고 \(g(x)=f(x-2)\) 를 직접 채워, 최댓값이 나오는 \(x\) 가 어디에서 어디로 이동했는지 확인한다. 그리고 다음 문장을 기준으로 삼는다 — “입력을 늦게 주니 반응도 늦게 나온다.” 판단이 서지 않으면 점 하나를 대입해 확인한다.

확인 문제: \(f(0) = 7\) 이고 \(g(x) = f(x-3)\) 일 때, \(g\) 가 \(7\) 을 내놓는 \(x\) 는? (답: \(x = 3\). \(x-3=0\) 이므로.)

“역함수는 역수다”

\(f^{-1}(x)\) 를 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 로 쓴다면 이 오류에 해당한다. \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\) 를 지수법칙에서 배웠고 그 규칙이 성립했기 때문에, 위첨자 \(-1\) 을 역수로 읽는 반응이 형성된 것이다. 지수의 \(-1\) 과 함수의 \(-1\) 은 서로 다른 표기 관습이므로 구별해 사용한다 — 괄호 앞에 붙으면 역함수, 숫자 위에 붙으면 역수. 구별은 검산으로 확인한다. 역함수는 넣었다 되돌리면 처음 값으로 돌아온다. \(f(4) = 6\), \(f^{-1}(6) = 4\) 는 처음 값으로 돌아오지만 \(\dfrac{1}{f(4)} = \dfrac{1}{6}\) 은 그렇지 않다.

확인 문제: \(f(x) = x + 10\) 의 역함수를 구하고, \(f(3)\) 과 \(f^{-1}\) 에 그 값을 넣은 결과를 확인하라. (답: \(f^{-1}(x) = x - 10\), \(f(3) = 13\), \(f^{-1}(13) = 3\).)

연습문제#

계산기를 사용하지 않는다. 그래프를 그리라는 문항은 손으로 그린다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A \(f(x) = 4x - 5\) 일 때 (1) \(f(0)\) (2) \(f(3)\) (3) \(f(-2)\)
A \(g(x) = x^2 + 1\) 일 때 (1) \(g(2)\) (2) \(g(-2)\) (3) \(g(0)\)
A 두 점 \((2, 1)\) 과 \((5, 10)\) 을 지나는 직선의 기울기를 구하라.
A \(y = 3x - 6\) 의 \(x\) 절편과 \(y\) 절편을 구하라.
A \(f(0)=5\), \(f(1)=8\), \(f(2)=6\) 이다. \(g(x) = f(x-2)\) 일 때 \(g(2)\), \(g(3)\), \(g(4)\) 를 구하라.
A \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x+1\) 일 때 (1) \(f(g(3))\) (2) \(g(f(3))\) 을 구하고, (3) \(f(g(x))\) 와 \(g(f(x))\) 를 각각 식으로 쓰라.
B \(y = x^2 - 6x + 5\) 의 \(x\) 절편과 꼭짓점을 구하고 그래프를 그려라.
B \(y = x^2\) 를 오른쪽으로 \(2\), 위로 \(3\) 평행이동한 식을 쓰라.
B \(y = -2(x+1)^2 + 8\) 에 대해 (1) 볼록한 방향 (2) 꼭짓점 (3) \(x\) 절편을 구하라.
B 택시 요금은 기본 \(4800\) 원에 \(1\) km당 \(1000\) 원이 붙는다. \(d\) km 갔을 때 요금 \(C(d)\) 를 식으로 쓰고, 기울기 \(1000\) 이 무슨 뜻인지 문장으로 쓰고, \(7\) km 요금을 구하라.
B 물탱크에 \(200\) L가 있고 \(1\) 분에 \(8\) L씩 빠진다. \(V(t)\) 를 쓰고, 물이 다 빠지는 시각과 \(V(10)\) 을 구하라.
B \(f(x) = 3x - 6\) 의 역함수를 구하고, \(f(4)\) 와 \(f^{-1}(6)\) 을 각각 구하라.
C \(f(x) = x^2\) 일 때 \(\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1}\) 을 계산하라. 이 값이 그래프에서 무엇을 뜻하는지 한 문장으로 쓰라.
C \(y = f(x-2)\) 의 그래프가 오른쪽으로 움직이는 이유를, 점 하나를 실제로 대입해서 두 문장으로 설명하라.
C 원 \(x^2 + y^2 = 25\) 는 함수인가? 근거를 한 문장으로 쓰라.

정답과 해설

(1) \(-5\) (2) \(7\) (3) \(-13\) — \(4 \times (-2) - 5 = -8 - 5\)
(1) \(5\) (2) \(5\) (3) \(1\) — (1)과 (2)의 값이 같다. \(x^2\) 이 부호를 없앤다.
\(3\) — \(\dfrac{10-1}{5-2} = \dfrac{9}{3}\)
\(x\) 절편 \((2, 0)\), \(y\) 절편 \((0, -6)\)
\(g(2) = f(0) = 5\), \(g(3) = f(1) = 8\), \(g(4) = f(2) = 6\). 빈번한 오류: \(g(2) = f(4)\) 로 읽어 오른쪽 대신 왼쪽으로 옮긴다. 괄호 안 \(x-2\) 를 먼저 계산하면 이 오류를 피한다.
(1) \(f(g(3)) = f(4) = 16\) (2) \(g(f(3)) = g(9) = 10\) (3) \(f(g(x)) = (x+1)^2\), \(g(f(x)) = x^2+1\). 빈번한 오류: \(f(g(x))\) 를 \(x^2+1\) 이라고 쓴다. \(f(\square)=\square^2\) 의 빈칸에는 \(x+1\) 이 통째로 들어가므로 \((x+1)^2\) 이다. 검산은 (1)·(2)로 한다. \(x=3\) 에서 \((3+1)^2 = 16\), \(3^2+1 = 10\) — 두 값이 다르므로 두 식도 다른 식이다.
\(x\) 절편 \(1, 5\) / 꼭짓점 \((3, -4)\) — \((x-1)(x-5)\), \((x-3)^2 - 4\). 그래프는 \((0,5)\), \((1,0)\), \((3,-4)\), \((5,0)\) 네 점을 찍고 잇는다.
\(y = (x-2)^2 + 3\). 빈번한 오류: \(y = (x+2)^2 + 3\). 오른쪽 이동인데 부호를 \(+\) 로 쓴다. 꼭짓점이 \((2,3)\) 이 되는지 대입해 확인하면 잡힌다.
(1) 위로 볼록 (\(x^2\) 계수가 음수) (2) \((-1, 8)\) (3) \(x = 1\) 과 \(x = -3\) — \((x+1)^2 = 4\)
\(C(d) = 4800 + 1000d\) / 기울기의 뜻: “1km 더 갈 때마다 요금이 1000원씩 오른다” / \(C(7) = 4800 + 7000 = 11800\) 원
\(V(t) = 200 - 8t\) / \(t = 25\) 분에 다 빠진다 / \(V(10) = 120\) L
\(f^{-1}(x) = \dfrac{x+6}{3}\) / \(f(4) = 6\) / \(f^{-1}(6) = 4\). 두 값이 서로 뒤집힌 관계인지 확인한다. 빈번한 오류: \(f^{-1}(x) = \dfrac{1}{3x-6}\) 이라고 쓴다. \(f^{-1}\) 은 역수가 아니다.
\(\dfrac{9-1}{2} = 4\). 뜻: “그래프 위의 두 점 \((1,1)\) 과 \((3,9)\) 를 잇는 직선의 기울기” 또는 “\(x\) 가 1에서 3으로 갈 때 \(y\) 의 평균적인 변화율”. 이 문항이 미분으로 이어진다. 뒤에서 두 점을 무한히 가까이 접근시키면 그 점에서의 순간 기울기가 된다.
예시 답안: “\(f(0)=5\) 라고 하자. \(g(x)=f(x-2)\) 가 5를 내놓으려면 \(x-2=0\), 즉 \(x=2\) 여야 한다. 원래 \(x=0\) 에서 나던 값이 \(x=2\) 에서 나므로 오른쪽으로 2 옮겨진 것이다.” — 핵심은 점을 실제로 대입했는지이다. “입력을 늦게 주니 늦게 반응해서”만 써도 부분 정답.
함수가 아니다. 근거: “\(x=0\) 을 넣으면 \(y=5\) 와 \(y=-5\) 두 개가 나온다” 또는 “수직선을 그으면 두 점에서 만난다”. 요점: 식이 있어도 함수가 아닐 수 있다. 함수인지 아닌지는 식의 유무가 아니라 입력 하나에 출력 하나로 판정한다.

추가 연습문제#

그래프를 그리라는 문항은 손으로 그린다.

\(f(x) = 3x - 4\) 일 때 (1) \(f(0)\) (2) \(f(2)\) (3) \(f(-1)\)
\(g(x) = x^2 - 2x\) 일 때 (1) \(g(0)\) (2) \(g(3)\) (3) \(g(-2)\)
\(f(x) = 2x + 1\) 이고 \(f(a) = 9\) 일 때 \(a\) 를 구하라.
\(h(x) = \dfrac{1}{x-3}\) 에 넣을 수 없는 입력은 무엇인가? 이유도 쓰라.
다음 중 함수인 것을 모두 고르라. (가) 어제의 시각별 기온 그래프 (나) 원 \(x^2+y^2=1\) (다) 표: \(x=1\) 일 때 \(y=3\), \(x=2\) 일 때 \(y=3\) (라) 표: \(x=1\) 일 때 \(y=3\), \(x=1\) 일 때 \(y=5\)
\(f(x) = x^2\) 일 때 \(f(3) - f(1)\) 과 \(f(3-1)\) 을 각각 구하고, 두 값이 같은지 다른지 쓰라.
두 점 \((1, 2)\) 와 \((4, 11)\) 을 지나는 직선의 기울기를 구하라.
기울기가 \(-2\) 이고 점 \((0, 5)\) 를 지나는 직선의 식을 쓰라.
\(y = \dfrac{1}{2}x - 3\) 의 기울기와 \(y\) 절편을 쓰라.
두 점 \((-2, 7)\) 과 \((3, -3)\) 을 지나는 직선의 식을 구하라.
어떤 직선은 \(x\) 가 \(1\) 늘 때 \(y\) 가 \(4\) 줄어든다. 기울기는 얼마인가?
물탱크에 물이 \(200\) L 있고 \(1\) 분에 \(8\) L씩 빠진다. (1) \(V(t)\) 를 식으로 쓰라 (2) 기울기 \(-8\) 이 무슨 뜻인지 문장으로 쓰라 (3) \(V(15)\) 를 구하라.
\(y = (x-3)^2\) 의 꼭짓점을 쓰고, 그래프를 그려라.
\(y = x^2 + 4x + 1\) 을 완전제곱 꼴로 고치고 꼭짓점을 구하라.
\(y = x^2\) 를 어떻게 옮기면 \(y = (x+1)^2 - 5\) 가 되는가?
\(f(-1)=2\), \(f(0)=5\), \(f(1)=8\), \(f(2)=6\) 일 때, \(g(x) = f(x-2)\) 의 \(g(1)\), \(g(2)\), \(g(3)\), \(g(4)\) 를 구하라.
\(y = -x^2\) 는 \(y = x^2\) 를 어떻게 한 것인가?
\(f(x) = 2x + 6\) 의 역함수를 구하고, \(f(1)\) 과 \(f^{-1}\) 에 그 값을 넣은 결과로 검산하라.
\(f(x) = \dfrac{x}{3} - 1\) 의 역함수를 구하라. 그리고 \(g(x) = 3x\) 일 때 \(f(g(x))\) 와 \(g(f(x))\) 를 각각 구하라.
\(y = f(x-2)\) 의 그래프가 왜 오른쪽으로 가는지, 점 하나를 실제로 대입해서 두 문장으로 설명하라.

정답과 해설

(1) \(-4\) (2) \(2\) (3) \(-7\)
(1) \(0\) (2) \(3\) (3) \(8\) — \((-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4\)
\(a = 4\)
\(x = 3\) — 넣으면 분모가 \(0\) 이 되어 값이 정해지지 않는다.
(가), (다) — (나)는 \(x=0\) 에서 출력이 두 개이므로 함수가 아니다. (라)는 같은 입력 \(1\) 에 출력이 \(3\) 과 \(5\) 두 개이므로 함수가 아니다. (다)는 출력끼리 같을 뿐이므로 조건에 어긋나지 않는다.
\(f(3)-f(1) = 9-1 = 8\), \(f(3-1) = f(2) = 4\). 다르다. 요점: 괄호 안에서 먼저 빼는 것과, 함수를 통과시킨 뒤 빼는 것은 서로 다른 연산이다. \(f\) 는 분배되지 않는다.
\(3\) — \(\dfrac{11-2}{4-1}\)
\(y = -2x + 5\)
기울기 \(\dfrac{1}{2}\), \(y\) 절편 \(-3\)
\(y = -2x + 3\) — 기울기 \(\dfrac{-3-7}{3-(-2)} = \dfrac{-10}{5} = -2\). 그다음 \((3,-3)\) 을 넣어 절편을 정한다. 검산: \(x=-2\) 를 넣으면 \(4+3=7\).
\(-4\)
(1) \(V(t) = 200 - 8t\) (2) “1분마다 물이 8L씩 줄어든다” (3) \(V(15) = 80\) L
꼭짓점 \((3, 0)\) — 오른쪽으로 3 옮긴 것이다.
\(y = (x+2)^2 - 3\), 꼭짓점 \((-2, -3)\). 검산: 전개하면 \(x^2+4x+4-3 = x^2+4x+1\).
왼쪽으로 1, 아래로 5. \(x\) 쪽 \(+1\) 은 왼쪽, \(y\) 쪽 \(-5\) 는 아래이다.
\(g(1) = f(-1) = 2\), \(g(2) = f(0) = 5\), \(g(3) = f(1) = 8\), \(g(4) = f(2) = 6\). 빈번한 오류: \(g(1)=f(3)\) 으로 읽는다. 괄호 안 \(x-2\) 를 먼저 계산한다.
\(x\) 축에 대해 뒤집은 것(위아래 반사)이다. 아래로 볼록이던 것이 위로 볼록이 된다.
\(f^{-1}(x) = \dfrac{x-6}{2}\). \(f(1) = 8\), \(f^{-1}(8) = \dfrac{8-6}{2} = 1\). 처음 값으로 돌아온다.
\(f^{-1}(x) = 3x + 3\) — \(y = \dfrac{x}{3}-1\) 에서 \(x = 3(y+1)\). 검산: \(f(3x+3) = \dfrac{3x+3}{3} - 1 = x\). / \(f(g(x)) = \dfrac{3x}{3} - 1 = x - 1\), \(g(f(x)) = 3\left(\dfrac{x}{3}-1\right) = x - 3\). 다르다. 순서를 바꾸면 다른 함수가 된다.
예시 답안: “\(f(0)=5\) 라 하자. \(g(x)=f(x-2)\) 에서 출력 5가 나오려면 \(x-2=0\), 즉 \(x=2\) 여야 한다. 원래 \(x=0\) 자리에 있던 값이 \(x=2\) 자리로 옮겨 갔으므로 그래프는 오른쪽으로 2 이동한다.” — 핵심은 점을 실제로 대입했는지이다.

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 두 가지이다. 함수는 공식이 아니라 입력 하나에 출력 하나를 정해 주는 대응이라는 것, 그리고 \(y = f(x-2)\) 는 왼쪽이 아니라 오른쪽으로 옮겨진다는 것이다. 후자는 규칙으로 암기하지 말고 점 하나를 대입해 확인한다. 여기에 직선의 기울기는 변화율이라는 것, 이차함수 그래프는 절편 두 개·꼭짓점·\(y\) 절편 네 점으로 그린다는 것, 합성함수는 겉과 속으로 분해한다는 것, 역함수는 대응을 거꾸로 돌린 것이라는 내용을 더했다.

특히 “기울기 = 변화율”과 연습문제 13번에서 다룬 두 점 사이의 평균 변화율은 미분의 출발점이다. 직선이 아니라 곡선의 기울기를 다루는 지점에서 미적분이 시작된다.

다음 장에서는 함수의 종류를 넓힌다. 급격히 증가하는 지수함수와 그 역함수인 로그함수, 그리고 직각삼각형의 틀을 벗어나는 삼각함수를 다룬다. 역함수의 세 줄 절차가 로그에서 그대로 쓰인다. 제22장에서 이어 간다.