# 제21장 · 함수와 그래프 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R3-W01 | | **선행 내용** | 제2부 · 대수 재건 | | **요지** | 함수는 입력을 출력으로 보내는 규칙이고, 미적분의 대상은 함수이다. $y=f(x-2)$ 는 그래프를 오른쪽으로 이동시킨다. | ::: ## 도입 미적분의 정의는 한 문장으로 요약된다. **미적분은 함수를 다루는 학문이다.** 함수가 어떻게 변하는지를 다루는 것이 미분이고, 함수가 얼마나 쌓이는지를 다루는 것이 적분이다. 따라서 함수가 정리되지 않으면 미적분의 논의는 성립하지 않는다. $$\text{극한} \ \to \ \text{함수가 어디로 가는가}$$ $$\text{미분} \ \to \ \text{함수가 얼마나 빨리 변하는가}$$ $$\text{적분} \ \to \ \text{함수가 얼마나 쌓이는가}$$ 세 진술의 주어는 모두 **함수**이다. 미적분에 들어가기 전에 함수를 먼저 정리하는 이유가 여기에 있다. 함수가 무엇인지 물으면 "$y = 2x + 1$ 과 같은 식"이라는 답이 먼저 나오는 경우가 많다. 이 답이 틀린 것은 아니지만, 그것은 함수의 **예시**이지 정의가 아니다. 예시는 정의가 규정하는 대상 가운데 하나일 뿐이므로, 예시를 정의로 대신하면 그 밖의 함수를 함수로 인식하지 못한다. 이 장에서 다루는 것이 그 차이이다. **함수는 입력 하나에 출력 하나를 정해 주는 대응이고, 공식은 그 대응을 적는 여러 방법 중 하나이다.** $$\text{입력} \ \to \ \boxed{\ f \ } \ \to \ \text{출력}$$ 이 한 줄이 이 장 전체의 기준이 된다. ## 함수는 공식이 아니라 기계다 $f$ 는 입력을 넣으면 출력이 나오는 상자로 나타낸다. 입력 $3$ 에 대응하는 출력은 $7$ 이다. ```{image} /_static/figs/ch21_fbox.svg :alt: 함수 상자: 입력을 넣으면 출력이 나온다 :width: 440px :align: center :class: chfig ``` 이 관계를 다음과 같이 쓴다. $$f(3) = 7$$ $f(3)$ 은 "$f$ 곱하기 $3$" 이 아니다. **"$f$ 라는 기계에 $3$ 을 넣었을 때 나오는 값"** 이다. 이 오류는 대수에서 $2x$ 를 $2+x$ 로 읽는 것과 같은 종류이다. 기호는 소리 내어 "에프 오브 쓰리" 또는 "에프에 3을 넣은 값"으로 읽는다. 값을 구하는 일은 대입이다. $f(x) = 3x - 4$ 이면 $f(0) = -4$, $f(2) = 2$, $f(-1) = -7$ 이다. 넣는 값이 정해지면 나오는 값도 하나로 정해진다. 함수의 규칙은 하나이다. $$\text{입력 하나에 출력은 반드시 하나}$$ 이 조건이 함수의 정의이다. 같은 입력에 대해 서로 다른 출력이 나오면 그 대응은 함수가 아니다. **공식이 없어도 함수이다.** 하루 동안의 기온 그래프를 예로 든다. 입력은 시각, 출력은 기온이다. 오전 9시를 넣으면 18도가 나온다. 오전 9시를 두 번 넣으면 두 번 다 18도가 나온다. 입력 하나에 출력 하나가 대응하므로 이것은 함수이다. 그러나 이 함수를 나타내는 공식은 알려져 있지 않다. 주가나 매일 아침 측정한 몸무게도 마찬가지이다. 미적분에서 다루는 함수의 상당수는 데이터로 먼저 주어지고 공식은 나중에 붙거나 끝내 주어지지 않는다. **함수를 공식으로만 규정하면 이런 함수들이 논의에서 제외된다.** **같은 함수를 적는 방법은 네 가지이다.** $$\text{① 말로} \ : \ \text{“2배 하고 1을 더한다”}$$ $$\text{② 식으로} \ : \ f(x) = 2x+1$$ $$\text{③ 표로} \ : \ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 1 & 3 & 5 \end{array}$$ $$\text{④ 그래프로} \ : \ \text{점 } (0,1), (1,3), (2,5) \ \text{를 찍은 그림}$$ 네 가지는 모두 같은 함수를 나타내며 표기만 다르다. 미적분에서 가장 자주 쓰이는 것은 ④ 그래프이다. 이 장의 나머지 부분은 주로 그래프를 다룬다. **주어진 그림이 함수인지는 그림에서 직접 판정할 수 있다.** 세로줄(수직선)을 왼쪽에서 오른쪽으로 이동시킨다. 어디서든 그래프와 **한 점에서만** 만나면 함수이다. 두 점에서 만나는 자리가 한 군데라도 있으면 함수가 아니다. 입력 하나에 출력이 두 개라는 뜻이기 때문이다. 이것을 **수직선 판정법**이라고 한다. ```{image} /_static/figs/ch21_vlt.svg :alt: 수직선 판정: 함수 vs 함수 아님 :width: 520px :align: center :class: chfig ``` 원 $x^2 + y^2 = 25$ 를 예로 든다. $x = 0$ 을 넣으면 $y^2 = 25$ 이므로 $y = 5$ 와 $y = -5$, 두 개가 나온다. 따라서 원은 함수가 아니다. **식이 있는데도 함수가 아니다.** 공식의 유무는 함수인지 아닌지와 무관하다. 한 가지를 덧붙인다. $h(x) = \dfrac{1}{x-3}$ 에는 넣을 수 **없는** 입력이 하나 있다. $x = 3$ 이다. 분모가 $0$ 이 되어 값이 정해지지 않기 때문이다. 넣을 수 있는 입력들의 모임을 **정의역**이라고 한다. 용어보다 중요한 것은 넣을 수 없는 입력이 있다는 사실이다. 주의할 곳은 둘, 분모가 $0$ 이 되는 곳과 루트 안이 음수가 되는 곳이다. ## 직선의 기울기는 변화율이다 물탱크에 물이 $200$ 리터 있고, 아래쪽 구멍으로 $1$ 분에 $8$ 리터씩 빠진다. $t$ 분 뒤 남은 양을 $V(t)$ 라 하면 다음이 성립한다. $$V(t) = 200 - 8t$$ $$V(0) = 200 \qquad V(10) = 120 \qquad V(25) = 0$$ 여기서 $-8$ 은 **"1분에 8리터씩 줄어든다"** 를 뜻한다. 기울기는 그래프가 기울어진 정도가 아니라 **변화의 빠르기**, 곧 변화율이다. $$\text{기울기} \ = \ \text{변화율} \ = \ \frac{y \text{의 변화량}}{x \text{의 변화량}}$$ 이 등식은 이후 논의의 기준이 된다. 뒤에서는 직선이 아니라 **곡선**의 기울기를 다루게 되며, 곡선에 기울기를 정의하는 작업이 곧 미분이다. **두 점에서 기울기를 구한다.** $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ 점 $(1, 2)$ 와 $(4, 11)$ 에 적용하면 다음과 같다. $$m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$$ $x$ 가 $3$ 늘 때 $y$ 가 $9$ 늘었으므로, $x$ 가 $1$ 늘 때 $y$ 는 $3$ 는다. 나눗셈은 여기서도 "1당 얼마"를 구하는 연산이다. **$y$ 절편은 출발점이다.** $$y = mx + b \qquad (m = \text{기울기}, \ b = y \text{절편})$$ $b$ 는 $x = 0$ 일 때의 값, 곧 출발점에 해당하는 값이다. 물탱크 예에서 $200$ 이 $b$ 이다. 두 절편은 다음과 같이 구한다. $y = 3x - 6$ 을 예로 든다. $$y \text{절편} \ : \ x = 0 \ \Rightarrow \ y = -6$$ $$x \text{절편} \ : \ y = 0 \ \Rightarrow \ 3x - 6 = 0 \ \Rightarrow \ x = 2$$ $x$ 절편을 구하는 것은 **방정식 풀기**이다. 새로운 기술이 아니라 대수에서 사용한 절차와 같다. ## 이차함수의 그래프 $y = x^2 - 6x + 5$ 를 다룬다. 그래프를 그리는 데 필요한 것은 세 가지이다. **$x$ 절편** — 인수분해로 구한다. $$x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5) = 0 \ \Rightarrow \ x = 1, \ 5$$ **꼭짓점** — 완전제곱으로 구한다. $$x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$$ $$\text{꼭짓점} \ (3, -4)$$ 완전제곱은 앞에서 이차방정식을 풀기 위해 사용한 방법이다. 여기서는 **꼭짓점을 구하는 데** 사용한다. 같은 방법을 다른 목적에 적용한 것이다. $(x-3)^2$ 은 항상 $0$ 이상이고 $x = 3$ 일 때 $0$ 이므로, 그때 $y$ 가 최소가 된다. **모양** — $x^2$ 의 계수가 양수면 아래로 볼록(위로 열림)이다. ```{image} /_static/figs/ch21_parabola.svg :alt: 아래로 볼록한 포물선과 근·꼭짓점 :width: 300px :align: center :class: chfig ``` $x$ 절편 $1$ 과 $5$, 꼭짓점 $(3, -4)$, 그리고 $x = 0$ 일 때 $y = 5$ 인 점을 찍어 잇는다. **점 네 개면 포물선이 그려진다 — 절편 두 개, 꼭짓점 하나, $y$ 절편 하나.** 이 네 점을 찍는 절차가 이차함수 그래프 작도의 전부이다. 앞선 대수에서 판별식 $D$ 의 부호로 이차방정식의 해가 몇 개인지 판정한 것은, **이 포물선이 $x$ 축을 몇 번 자르는가**와 같은 내용이다. 연립방정식의 해가 두 그래프의 교점이라는 것도 같은 내용이다. ## 그래프를 움직인다 이 절은 이 장에서 오류가 가장 자주 발생하는 부분이다. $y = f(x)$ 를 가로 방향으로 옮기면 어느 쪽으로 이동하는지를, 설명에 앞서 값의 표로 확인한다. 함수 $f$ 의 값을 표로 제시한다. 공식은 주어지지 않는다. 표만으로도 대응이 정해지므로 이것은 함수이다. | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | $f(x)$ | $0$ | $1$ | $2$ | $5$ | $8$ | $6$ | $1$ | $0$ | $f$ 가 최댓값 $8$ 을 내놓는 것은 $x = 1$ 일 때이다. 이제 새 함수를 정의한다. $$g(x) = f(x-2)$$ $g$ 의 작동은 다음과 같다. **$x$ 를 받으면 $2$ 를 뺀 다음 $f$ 에 넣는다.** 한 칸씩 채우면 다음을 얻는다. $$g(-1) = f(-3) = 0 \qquad g(0) = f(-2) = 1 \qquad g(1) = f(-1) = 2$$ $$g(2) = f(0) = 5 \qquad g(3) = f(1) = 8 \qquad g(4) = f(2) = 6$$ | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | |---|---|---|---|---|---|---| | $g(x) = f(x-2)$ | $0$ | $1$ | $2$ | $5$ | $8$ | $6$ | $g$ 가 최댓값 $8$ 을 내놓는 $x$ 를 확인한다. $$f \ \text{는} \ x=1 \ \text{에서 } 8 \qquad g \ \text{는} \ x=3 \ \text{에서 } 8$$ **최댓값의 위치가 $1$ 에서 $3$ 으로, 오른쪽으로 $2$ 이동했다.** 식의 $-2$ 만 보고 왼쪽 이동으로 판단하기 쉬우나, 기준은 표의 값이다. $f(x-2)$ 는 왼쪽이 아니라 **오른쪽**으로 이동한다. $$f(x-2) \ : \ \textbf{입력을 늦게 주니 반응도 늦게 나온다}$$ $g$ 는 입력 $x$ 에 대해 $f$ 가 $x-2$ 에서 내던 값을 출력한다. 즉 같은 출력이 나오는 위치가 $2$ 만큼 뒤로 밀리고, 그 결과 그래프 전체가 오른쪽으로 $2$ 이동한다. 이동 방향을 규칙으로만 암기하면 부호를 반대로 적용하기 쉽다. 판단이 서지 않으면 **점 하나를 대입해 확인한다.** $f(0) = 5$ 이므로 $g$ 가 $5$ 를 내놓는 것은 $x - 2 = 0$, 즉 $x = 2$ 일 때이다. 오른쪽 이동이 확인된다. **변환은 네 가지로 정리된다.** $y = f(x)$ 를 기준으로 다음이 성립한다. $$y = f(x - a) \ : \ \text{오른쪽으로 } a \ (\text{입력 쪽, 직관과 반대})$$ $$y = f(x) + b \ : \ \text{위로 } b \ (\text{출력 쪽, 직관과 같음})$$ $$y = k \, f(x) \ : \ \text{세로로 } k \text{배 늘림}$$ $$y = -f(x) \ : \ x \text{축에 대해 뒤집기}$$ 여기에는 규칙성이 있다. **출력 쪽($y$ 쪽) 변환은 부호와 방향이 일치하여** $+3$ 이면 위로 $3$ 이다. **입력 쪽($x$ 쪽) 변환은 부호와 방향이 반대여서** $-2$ 이면 오른쪽으로 $2$ 이다. 반대가 되는 이유는 앞의 표에서 확인했다. 이 비대칭이 이 절의 핵심이다. 예제로 확인한다. $$y = -2(x+1)^2 + 8$$ $x^2$ 을 기준으로 읽는다. $(x+1)$ 이므로 **왼쪽으로 $1$**, $-2$ 배이므로 **세로로 $2$ 배 늘리고 뒤집기**, $+8$ 이므로 **위로 $8$** 이다. 꼭짓점은 $(-1, 8)$ 이고 위로 볼록이다. $x$ 절편은 다음과 같다. $$-2(x+1)^2 + 8 = 0 \ \Rightarrow \ (x+1)^2 = 4 \ \Rightarrow \ x = 1 \ \text{또는} \ x = -3$$ ## 합성함수 — 기계를 이어 붙인다 한 함수로 처리한 값을 다른 함수에 다시 넣을 수 있다. $g$ 로 처리한 값을 $f$ 에 넣는 것을 $f(g(x))$ 라 쓴다. ```{image} /_static/figs/ch21_compose.svg :alt: 합성함수: g로 처리한 값을 f에 넣는다 :width: 520px :align: center :class: chfig ``` 먼저 지나가는 $g$ 가 속, 나중에 지나가는 $f$ 가 겉이다. 이것을 **합성함수**라고 한다. $$f(x) = x^2, \quad g(x) = x+1$$ 여기서는 결과만 옮겨 적지 말고 대입 과정을 직접 확인한다. $f$ 의 규칙을 빈칸으로 다시 쓰면 다음과 같다. $$f(\square) = \square^2$$ "빈칸에 무엇이 들어오든 그것을 **통째로** 제곱한다"는 뜻이다. 따라서 빈칸 자리에 $g(x) = x+1$ 을 통째로 넣으면 다음을 얻는다. $$f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2$$ 순서를 뒤집으면 빈칸의 주인이 바뀐다. 이번에는 $g$ 가 겉이다. $$g(\square) = \square + 1$$ $$g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1$$ 빈칸을 두고 대입하는 이 절차가 합성의 전부이다. 빈칸을 명시하지 않으면 $f(x)=x^2$ 에 $x+1$ 을 넣으면서 $x^2+1$ 이라고 쓰기 쉽다. 이는 이 장 뒤의 빈번한 오류 절에서 다시 다루는 오류 — **$f$ 는 괄호 안으로 분배되지 않는다** — 와 같은 것이다. 대입되는 것은 항 하나가 아니라 식 전체이다. **순서를 바꾸면 결과가 다르다.** $(x+1)^2$ 과 $x^2+1$ 은 서로 다른 식이다. $x = 2$ 를 넣으면 각각 $9$ 와 $5$ 이다. 합성의 순서는 결과를 바꾼다. 여기서 필요한 것은 계산이 아니라 **분해**이다. 다음 세 식을 겉과 속으로 분해한다. $$(2x+1)^5 \ : \ \text{속} = 2x+1, \ \text{겉} = (\ \cdot\ )^5$$ $$\sin(3x) \ : \ \text{속} = 3x, \ \text{겉} = \sin(\ \cdot\ )$$ $$(\sin x)^2 \ : \ \text{속} = \sin x, \ \text{겉} = (\ \cdot\ )^2$$ 뒤의 두 식을 비교한다. $\sin(3x)$ 와 $(\sin x)^2$ 은 **겉과 속이 서로 뒤바뀐** 관계이다. 표기가 비슷해 혼동하기 쉬우나 판단 기준은 하나이다 — **괄호 안에 먼저 들어간 것이 속이다.** ## 역함수 — 기계를 거꾸로 돌린다 $f(x) = 2x + 1$ 이고 $f(a) = 9$ 일 때 $a$ 를 찾는 물음을 생각한다. 답은 $a = 4$ 이다. 이것은 방향이 반대인 물음이다. 넣는 값을 알고 나오는 값을 구하는 것이 보통이라면, 이번에는 **나오는 값을 알고 넣은 값을 되묻는** 것이다. 이 되묻기가 역함수이다. $$f(x) = 3x - 6 \quad \text{에 대해} \quad f(4) = 6 \quad \Rightarrow \quad f^{-1}(6) = 4$$ $f$ 는 $4$ 를 넣으면 $6$ 을 내놓는다. 반대로 $6$ 을 넣으면 $4$ 를 내놓는 함수를 **역함수**라 하고, 기호는 $f^{-1}$, "에프 인버스"라고 읽는다. **$f$ 의 마이너스 1제곱이 아니고, $\dfrac{1}{f}$ 도 아니다.** 구하는 절차는 세 줄이다. $$\text{① } y = 3x - 6 \quad \text{② } x \text{에 대해 푼다: } x = \frac{y+6}{3}$$ ②까지 하면 역함수의 규칙은 이미 정해진다. "$6$ 을 더하고 $3$ 으로 나눈다" — 이것이 $f$ 를 거꾸로 돌리는 규칙이다. 여기서 멈추지 않고 문자를 한 번 더 바꾸는 이유는 **어떤 함수든 입력을 $x$ 로 표기하는 관례를 따르기 때문**이다. ②의 식에서 입력 자리에 있는 것은 $y$ 이므로, 그 $y$ 를 $x$ 로 고쳐 부른다. **규칙이 바뀌는 것이 아니라 이름만 바꾸는 것이다.** $$\text{③ 문자를 바꾼다: } f^{-1}(x) = \frac{x+6}{3}$$ 검산하면 $f^{-1}(6) = \dfrac{6+6}{3} = 4$ 로 일치한다. ③에서 입력과 출력의 이름을 맞바꾸었으므로, 그림에서도 두 좌표가 자리를 맞바꾼다. 역함수의 그래프는 **$y = x$ 에 대해 뒤집은 것**이다. 입력과 출력의 자리를 바꾸는 일이므로 좌표 $(a, b)$ 가 $(b, a)$ 로 간다. ③은 그 뒤집기를 식에서 미리 수행한 것이다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} "함수는 공식이다" :class: warning 그래프만 주어졌을 때 "식이 없는데 어떻게 푸느냐"고 묻거나, 표만 주어졌을 때 함수가 아니라고 판단한다면 이 오류에 해당한다. 원인은 경험의 편향이다. 학교에서 다룬 함수가 거의 전부 식으로 주어졌기 때문에 "함수"와 "공식"이 하나로 결합된 것이다. 두 반례를 나란히 놓으면 구분된다. 어제의 기온 그래프는 **공식이 없어도 함수**이고, 원 $x^2+y^2=25$ 는 **공식이 있어도 함수가 아니다.** 판정 기준은 식의 유무가 아니라 오직 하나, 입력 하나에 출력 하나이다. *확인 문제*: 다음 중 함수인 것을 모두 고르라. (가) 어제의 시각별 기온 그래프 (나) 원 $x^2+y^2=1$ (다) 표: $x=1$ 일 때 $y=3$, $x=2$ 일 때 $y=3$. (답: (가)와 (다). (다)는 출력끼리 같을 뿐이므로 조건에 어긋나지 않는다. 입력이 겹치면서 출력이 다른 경우가 조건에 어긋난다.) ::: :::{admonition} "$f(x)$ 는 $f$ 곱하기 $x$ 다" :class: warning $f(a+b)$ 를 $f \cdot a + f \cdot b$ 로 전개하거나 $f(2x)$ 를 $2f(x)$ 로 쓴다면 이 오류에 해당한다. 괄호 앞에 문자가 있으면 곱셈이라는 대수의 습관이 그대로 적용된 것이다. 두 표기의 형태가 동일하기 때문에 발생하는 혼동이다. 구체적인 수를 대입하면 즉시 반증된다. $$f(x) = x^2 \quad \Rightarrow \quad f(1+2) = f(3) = 9 \qquad f(1) + f(2) = 1 + 4 = 5$$ $9$ 와 $5$ 는 다르다. 괄호 안은 분배되지 않는다. $f$ 는 곱해지는 수가 아니라 함수의 이름이다. *확인 문제*: $f(x) = 3x$ 일 때 $f(2+5)$ 와 $f(2)+f(5)$ 를 각각 구하라. (답: 둘 다 $21$. 이 함수에서는 두 값이 우연히 일치한다. $f(x)=x^2$ 로 다시 계산하면 $f(2+5)=49$, $f(2)+f(5)=29$ 로 서로 다르다. 일부 함수에서 우연히 일치하기 때문에 오류가 발견되지 않은 채 남는다.) ::: :::{admonition} "$y = f(x-2)$ 는 왼쪽으로 간다" :class: warning "$-2$ 이므로 왼쪽으로 $2$" 로 판단하는 오류가 자주 발생하는 자리이다. $y = (x-3)^2$ 의 꼭짓점을 $(-3, 0)$ 으로 쓰는 것이 그 예이다. 원인은 수직선에서 형성된 "$-$ 는 왼쪽"이라는 감각인데, 이 감각은 **부분적으로만 옳다** — 출력 쪽($y$ 쪽)에서는 $-2$ 가 실제로 아래로 $2$ 이다. 출력 쪽에서만 성립하는 규칙을 입력 쪽에 적용한 것이고, 절반이 맞기 때문에 교정될 기회가 없었던 것이다. 처방은 설명이 아니라 표이다. $f$ 값 표를 놓고 $g(x)=f(x-2)$ 를 직접 채워, 최댓값이 나오는 $x$ 가 어디에서 어디로 이동했는지 확인한다. 그리고 다음 문장을 기준으로 삼는다 — **"입력을 늦게 주니 반응도 늦게 나온다."** 판단이 서지 않으면 점 하나를 대입해 확인한다. *확인 문제*: $f(0) = 7$ 이고 $g(x) = f(x-3)$ 일 때, $g$ 가 $7$ 을 내놓는 $x$ 는? (답: $x = 3$. $x-3=0$ 이므로.) ::: :::{admonition} "역함수는 역수다" :class: warning $f^{-1}(x)$ 를 $\dfrac{1}{f(x)}$ 로 쓴다면 이 오류에 해당한다. $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$ 를 지수법칙에서 배웠고 그 규칙이 성립했기 때문에, 위첨자 $-1$ 을 역수로 읽는 반응이 형성된 것이다. 지수의 $-1$ 과 함수의 $-1$ 은 서로 다른 표기 관습이므로 구별해 사용한다 — **괄호 앞에 붙으면 역함수, 숫자 위에 붙으면 역수.** 구별은 검산으로 확인한다. 역함수는 넣었다 되돌리면 처음 값으로 돌아온다. $f(4) = 6$, $f^{-1}(6) = 4$ 는 처음 값으로 돌아오지만 $\dfrac{1}{f(4)} = \dfrac{1}{6}$ 은 그렇지 않다. *확인 문제*: $f(x) = x + 10$ 의 역함수를 구하고, $f(3)$ 과 $f^{-1}$ 에 그 값을 넣은 결과를 확인하라. (답: $f^{-1}(x) = x - 10$, $f(3) = 13$, $f^{-1}(13) = 3$.) ::: ## 연습문제 계산기를 사용하지 않는다. 그래프를 그리라는 문항은 손으로 그린다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` $f(x) = 4x - 5$ 일 때 (1) $f(0)$ (2) $f(3)$ (3) $f(-2)$ 2. `A` $g(x) = x^2 + 1$ 일 때 (1) $g(2)$ (2) $g(-2)$ (3) $g(0)$ 3. `A` 두 점 $(2, 1)$ 과 $(5, 10)$ 을 지나는 직선의 기울기를 구하라. 4. `A` $y = 3x - 6$ 의 $x$ 절편과 $y$ 절편을 구하라. 5. `A` $f(0)=5$, $f(1)=8$, $f(2)=6$ 이다. $g(x) = f(x-2)$ 일 때 $g(2)$, $g(3)$, $g(4)$ 를 구하라. 6. `A` $f(x) = x^2$, $g(x) = x+1$ 일 때 (1) $f(g(3))$ (2) $g(f(3))$ 을 구하고, (3) $f(g(x))$ 와 $g(f(x))$ 를 각각 식으로 쓰라. 7. `B` $y = x^2 - 6x + 5$ 의 $x$ 절편과 꼭짓점을 구하고 **그래프를 그려라.** 8. `B` $y = x^2$ 를 오른쪽으로 $2$, 위로 $3$ 평행이동한 식을 쓰라. 9. `B` $y = -2(x+1)^2 + 8$ 에 대해 (1) 볼록한 방향 (2) 꼭짓점 (3) $x$ 절편을 구하라. 10. `B` 택시 요금은 기본 $4800$ 원에 $1$ km당 $1000$ 원이 붙는다. $d$ km 갔을 때 요금 $C(d)$ 를 식으로 쓰고, 기울기 $1000$ 이 무슨 뜻인지 **문장으로** 쓰고, $7$ km 요금을 구하라. 11. `B` 물탱크에 $200$ L가 있고 $1$ 분에 $8$ L씩 빠진다. $V(t)$ 를 쓰고, 물이 다 빠지는 시각과 $V(10)$ 을 구하라. 12. `B` $f(x) = 3x - 6$ 의 역함수를 구하고, $f(4)$ 와 $f^{-1}(6)$ 을 각각 구하라. 13. `C` $f(x) = x^2$ 일 때 $\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ 을 계산하라. 이 값이 그래프에서 무엇을 뜻하는지 한 문장으로 쓰라. 14. `C` $y = f(x-2)$ 의 그래프가 오른쪽으로 움직이는 이유를, **점 하나를 실제로 대입해서** 두 문장으로 설명하라. 15. `C` 원 $x^2 + y^2 = 25$ 는 함수인가? 근거를 한 문장으로 쓰라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $-5$ (2) $7$ (3) $-13$ — $4 \times (-2) - 5 = -8 - 5$ 2. (1) $5$ (2) $5$ (3) $1$ — (1)과 (2)의 값이 같다. $x^2$ 이 부호를 없앤다. 3. $3$ — $\dfrac{10-1}{5-2} = \dfrac{9}{3}$ 4. $x$ 절편 $(2, 0)$, $y$ 절편 $(0, -6)$ 5. $g(2) = f(0) = 5$, $g(3) = f(1) = 8$, $g(4) = f(2) = 6$. **빈번한 오류**: $g(2) = f(4)$ 로 읽어 오른쪽 대신 왼쪽으로 옮긴다. 괄호 안 $x-2$ 를 먼저 계산하면 이 오류를 피한다. 6. (1) $f(g(3)) = f(4) = 16$ (2) $g(f(3)) = g(9) = 10$ (3) $f(g(x)) = (x+1)^2$, $g(f(x)) = x^2+1$. **빈번한 오류**: $f(g(x))$ 를 $x^2+1$ 이라고 쓴다. $f(\square)=\square^2$ 의 빈칸에는 $x+1$ 이 **통째로** 들어가므로 $(x+1)^2$ 이다. 검산은 (1)·(2)로 한다. $x=3$ 에서 $(3+1)^2 = 16$, $3^2+1 = 10$ — 두 값이 다르므로 두 식도 다른 식이다. 7. $x$ 절편 $1, 5$ / 꼭짓점 $(3, -4)$ — $(x-1)(x-5)$, $(x-3)^2 - 4$. 그래프는 $(0,5)$, $(1,0)$, $(3,-4)$, $(5,0)$ 네 점을 찍고 잇는다. 8. $y = (x-2)^2 + 3$. **빈번한 오류**: $y = (x+2)^2 + 3$. 오른쪽 이동인데 부호를 $+$ 로 쓴다. 꼭짓점이 $(2,3)$ 이 되는지 대입해 확인하면 잡힌다. 9. (1) 위로 볼록 ($x^2$ 계수가 음수) (2) $(-1, 8)$ (3) $x = 1$ 과 $x = -3$ — $(x+1)^2 = 4$ 10. $C(d) = 4800 + 1000d$ / 기울기의 뜻: "1km 더 갈 때마다 요금이 1000원씩 오른다" / $C(7) = 4800 + 7000 = 11800$ 원 11. $V(t) = 200 - 8t$ / $t = 25$ 분에 다 빠진다 / $V(10) = 120$ L 12. $f^{-1}(x) = \dfrac{x+6}{3}$ / $f(4) = 6$ / $f^{-1}(6) = 4$. 두 값이 서로 뒤집힌 관계인지 확인한다. **빈번한 오류**: $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{3x-6}$ 이라고 쓴다. $f^{-1}$ 은 역수가 아니다. 13. $\dfrac{9-1}{2} = 4$. 뜻: "그래프 위의 두 점 $(1,1)$ 과 $(3,9)$ 를 잇는 **직선의 기울기**" 또는 "$x$ 가 1에서 3으로 갈 때 $y$ 의 평균적인 변화율". **이 문항이 미분으로 이어진다.** 뒤에서 두 점을 무한히 가까이 접근시키면 그 점에서의 순간 기울기가 된다. 14. 예시 답안: "$f(0)=5$ 라고 하자. $g(x)=f(x-2)$ 가 5를 내놓으려면 $x-2=0$, 즉 $x=2$ 여야 한다. 원래 $x=0$ 에서 나던 값이 $x=2$ 에서 나므로 오른쪽으로 2 옮겨진 것이다." — 핵심은 **점을 실제로 대입**했는지이다. "입력을 늦게 주니 늦게 반응해서"만 써도 부분 정답. 15. **함수가 아니다.** 근거: "$x=0$ 을 넣으면 $y=5$ 와 $y=-5$ 두 개가 나온다" 또는 "수직선을 그으면 두 점에서 만난다". **요점**: 식이 있어도 함수가 아닐 수 있다. 함수인지 아닌지는 식의 유무가 아니라 **입력 하나에 출력 하나**로 판정한다. ::: ### 추가 연습문제 그래프를 그리라는 문항은 손으로 그린다. 1. $f(x) = 3x - 4$ 일 때 (1) $f(0)$ (2) $f(2)$ (3) $f(-1)$ 2. $g(x) = x^2 - 2x$ 일 때 (1) $g(0)$ (2) $g(3)$ (3) $g(-2)$ 3. $f(x) = 2x + 1$ 이고 $f(a) = 9$ 일 때 $a$ 를 구하라. 4. $h(x) = \dfrac{1}{x-3}$ 에 넣을 수 없는 입력은 무엇인가? 이유도 쓰라. 5. 다음 중 함수인 것을 모두 고르라. (가) 어제의 시각별 기온 그래프 (나) 원 $x^2+y^2=1$ (다) 표: $x=1$ 일 때 $y=3$, $x=2$ 일 때 $y=3$ (라) 표: $x=1$ 일 때 $y=3$, $x=1$ 일 때 $y=5$ 6. $f(x) = x^2$ 일 때 $f(3) - f(1)$ 과 $f(3-1)$ 을 각각 구하고, 두 값이 같은지 다른지 쓰라. 7. 두 점 $(1, 2)$ 와 $(4, 11)$ 을 지나는 직선의 기울기를 구하라. 8. 기울기가 $-2$ 이고 점 $(0, 5)$ 를 지나는 직선의 식을 쓰라. 9. $y = \dfrac{1}{2}x - 3$ 의 기울기와 $y$ 절편을 쓰라. 10. 두 점 $(-2, 7)$ 과 $(3, -3)$ 을 지나는 직선의 식을 구하라. 11. 어떤 직선은 $x$ 가 $1$ 늘 때 $y$ 가 $4$ 줄어든다. 기울기는 얼마인가? 12. 물탱크에 물이 $200$ L 있고 $1$ 분에 $8$ L씩 빠진다. (1) $V(t)$ 를 식으로 쓰라 (2) 기울기 $-8$ 이 무슨 뜻인지 **문장으로** 쓰라 (3) $V(15)$ 를 구하라. 13. $y = (x-3)^2$ 의 꼭짓점을 쓰고, 그래프를 그려라. 14. $y = x^2 + 4x + 1$ 을 완전제곱 꼴로 고치고 꼭짓점을 구하라. 15. $y = x^2$ 를 어떻게 옮기면 $y = (x+1)^2 - 5$ 가 되는가? 16. $f(-1)=2$, $f(0)=5$, $f(1)=8$, $f(2)=6$ 일 때, $g(x) = f(x-2)$ 의 $g(1)$, $g(2)$, $g(3)$, $g(4)$ 를 구하라. 17. $y = -x^2$ 는 $y = x^2$ 를 어떻게 한 것인가? 18. $f(x) = 2x + 6$ 의 역함수를 구하고, $f(1)$ 과 $f^{-1}$ 에 그 값을 넣은 결과로 검산하라. 19. $f(x) = \dfrac{x}{3} - 1$ 의 역함수를 구하라. 그리고 $g(x) = 3x$ 일 때 $f(g(x))$ 와 $g(f(x))$ 를 각각 구하라. 20. $y = f(x-2)$ 의 그래프가 왜 **오른쪽**으로 가는지, 점 하나를 실제로 대입해서 두 문장으로 설명하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $-4$ (2) $2$ (3) $-7$ 2. (1) $0$ (2) $3$ (3) $8$ — $(-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4$ 3. $a = 4$ 4. $x = 3$ — 넣으면 분모가 $0$ 이 되어 값이 정해지지 않는다. 5. **(가), (다)** — (나)는 $x=0$ 에서 출력이 두 개이므로 함수가 아니다. (라)는 같은 입력 $1$ 에 출력이 $3$ 과 $5$ 두 개이므로 함수가 아니다. (다)는 출력끼리 같을 뿐이므로 조건에 어긋나지 않는다. 6. $f(3)-f(1) = 9-1 = 8$, $f(3-1) = f(2) = 4$. **다르다.** **요점**: 괄호 안에서 먼저 빼는 것과, 함수를 통과시킨 뒤 빼는 것은 서로 다른 연산이다. $f$ 는 분배되지 않는다. 7. $3$ — $\dfrac{11-2}{4-1}$ 8. $y = -2x + 5$ 9. 기울기 $\dfrac{1}{2}$, $y$ 절편 $-3$ 10. $y = -2x + 3$ — 기울기 $\dfrac{-3-7}{3-(-2)} = \dfrac{-10}{5} = -2$. 그다음 $(3,-3)$ 을 넣어 절편을 정한다. 검산: $x=-2$ 를 넣으면 $4+3=7$. 11. $-4$ 12. (1) $V(t) = 200 - 8t$ (2) "1분마다 물이 8L씩 줄어든다" (3) $V(15) = 80$ L 13. 꼭짓점 $(3, 0)$ — 오른쪽으로 3 옮긴 것이다. 14. $y = (x+2)^2 - 3$, 꼭짓점 $(-2, -3)$. 검산: 전개하면 $x^2+4x+4-3 = x^2+4x+1$. 15. **왼쪽으로 1, 아래로 5.** $x$ 쪽 $+1$ 은 왼쪽, $y$ 쪽 $-5$ 는 아래이다. 16. $g(1) = f(-1) = 2$, $g(2) = f(0) = 5$, $g(3) = f(1) = 8$, $g(4) = f(2) = 6$. **빈번한 오류**: $g(1)=f(3)$ 으로 읽는다. 괄호 안 $x-2$ 를 먼저 계산한다. 17. $x$ 축에 대해 뒤집은 것(위아래 반사)이다. 아래로 볼록이던 것이 위로 볼록이 된다. 18. $f^{-1}(x) = \dfrac{x-6}{2}$. $f(1) = 8$, $f^{-1}(8) = \dfrac{8-6}{2} = 1$. 처음 값으로 돌아온다. 19. $f^{-1}(x) = 3x + 3$ — $y = \dfrac{x}{3}-1$ 에서 $x = 3(y+1)$. 검산: $f(3x+3) = \dfrac{3x+3}{3} - 1 = x$. / $f(g(x)) = \dfrac{3x}{3} - 1 = x - 1$, $g(f(x)) = 3\left(\dfrac{x}{3}-1\right) = x - 3$. **다르다.** 순서를 바꾸면 다른 함수가 된다. 20. 예시 답안: "$f(0)=5$ 라 하자. $g(x)=f(x-2)$ 에서 출력 5가 나오려면 $x-2=0$, 즉 $x=2$ 여야 한다. 원래 $x=0$ 자리에 있던 값이 $x=2$ 자리로 옮겨 갔으므로 그래프는 오른쪽으로 2 이동한다." — 핵심은 **점을 실제로 대입했는지**이다. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 두 가지이다. **함수는 공식이 아니라 입력 하나에 출력 하나를 정해 주는 대응**이라는 것, 그리고 **$y = f(x-2)$ 는 왼쪽이 아니라 오른쪽으로 옮겨진다**는 것이다. 후자는 규칙으로 암기하지 말고 점 하나를 대입해 확인한다. 여기에 직선의 기울기는 변화율이라는 것, 이차함수 그래프는 절편 두 개·꼭짓점·$y$ 절편 네 점으로 그린다는 것, 합성함수는 겉과 속으로 분해한다는 것, 역함수는 대응을 거꾸로 돌린 것이라는 내용을 더했다. 특히 "기울기 = 변화율"과 연습문제 13번에서 다룬 두 점 사이의 평균 변화율은 미분의 출발점이다. 직선이 아니라 곡선의 기울기를 다루는 지점에서 미적분이 시작된다. 다음 장에서는 함수의 종류를 넓힌다. 급격히 증가하는 **지수함수**와 그 역함수인 **로그함수**, 그리고 직각삼각형의 틀을 벗어나는 **삼각함수**를 다룬다. 역함수의 세 줄 절차가 로그에서 그대로 쓰인다. [제22장](ch22.md)에서 이어 간다.