제18장 · 연립방정식

내용

제18장 · 연립방정식#

이 장


원본 코드	R2-W10
선행 내용	제17장 (근의 공식)
요지	미지수가 두 개면 식도 두 개다. 답은 하나의 수가 아니라 \((x, y)\) 한 쌍이다.

도입#

휴대폰 요금제 두 개가 있다. A는 기본료 \(2\)만 원에 데이터 \(1\text{GB}\)당 \(2\)천 원, B는 기본료 \(3\)만 원에 \(1\text{GB}\)당 \(1\)천 원이다. 어느 쪽이 저렴한지는 하나로 정해지지 않는다.

“B가 싸다”는 답과 “A가 싸다”는 답이 모두 나올 수 있다. 사용량에 따라 결과가 달라지기 때문이다. 표로 확인한다.

데이터 사용량	A 요금제	B 요금제
\(0\text{GB}\)	20,000원	30,000원
\(5\text{GB}\)	30,000원	35,000원
\(10\text{GB}\)	40,000원	40,000원
\(15\text{GB}\)	50,000원	45,000원
\(20\text{GB}\)	60,000원	50,000원

\(10\text{GB}\)에서 두 요금이 같아진다. 그 아래에서는 A가 저렴하고, 위에서는 B가 저렴하다. 경계는 \(10\text{GB}\)이다. 그런데 이 경계를 찾기 위해 표를 다섯 줄 작성했다. 표를 만들지 않고 경계를 직접 구하는 방법이 필요하다.

두 요금을 식으로 쓰면 다음과 같다.

\[y = 20000 + 2000x \qquad y = 30000 + 1000x\]

\(x\) 는 데이터, \(y\) 는 요금이다. 미지수가 두 개이고, 식도 두 개다. 이렇게 미지수가 둘인 식 두 개를 한꺼번에 푸는 것을 연립방정식이라 한다. 이 장에서 다루는 것이 이것이다.

식 하나만 놓고 생각한다. \(y = 20000 + 2000x\) 하나만으로는 \(x\) 와 \(y\) 를 정할 수 없다. \(x\) 에 어떤 값을 넣어도 \(y\) 가 따라 나온다. \(x=0\) 이면 \(y=20000\), \(x=1\) 이면 \(y=22000\), \(x=2\) 면 \(y=24000\) 과 같이 값이 끝없이 이어진다. 답이 무한히 많으므로 하나를 골라낼 수 없다. 따라서 조건이 하나 더, 곧 식이 하나 더 필요하다.

지금까지 다룬 방정식에서 미지수는 언제나 하나였다. 이 장에서는 미지수 두 개를 동시에 다룬다. 답이 하나의 수가 아니라 한 쌍이라는 점이 이 장의 핵심이다.

식 하나는 직선 하나다#

좌표평면#

이 절부터 그림이 계속 나온다. 그 그림들이 놓이는 평면을 먼저 정의한다. 새로 배울 내용은 많지 않다. 제1부에서 다룬 수직선 두 개로 구성된다.

수직선 하나를 가로로 놓고, 또 하나를 세로로 놓아 직각으로 교차시킨다. 가로로 뻗은 것을 \(x\) 축, 세로로 뻗은 것을 \(y\) 축, 두 축이 만나는 자리를 원점이라 한다. 그리고 이렇게 두 축을 얹은 평면 전체를 좌표평면이라 한다. 원점에서 오른쪽으로 갈수록 \(x\) 가 커지고, 위로 갈수록 \(y\) 가 커진다. 수직선에서 오른쪽이 큰 쪽인 것과 같고, 세로 축은 그 수직선을 \(90\) 도 회전시킨 것이다.

이 평면 위에서 점 하나는 수 두 개로 지정한다. \((3,\ 2)\) 는 원점에서 오른쪽으로 3, 위로 2 간 자리다. 앞의 수가 \(x\), 뒤의 수가 \(y\) 이며, 언제나 이 순서다.

여기서 한 가지를 확정한다. \((3,2)\) 와 \((2,3)\) 은 다른 점이다. 앞의 것은 오른쪽 3에 위로 2, 뒤의 것은 오른쪽 2에 위로 3이다. 포함된 수는 같지만 위치가 다르다. 순서가 이름의 일부다. 그래서 이 두 수를 묶은 것을 순서쌍이라 한다. 주소의 동과 호수가 같은 구조를 갖는다. “3동 2호”와 “2동 3호”는 다른 집이다.

음수도 같은 규칙을 따른다. \(x\) 가 음수면 원점의 왼쪽, \(y\) 가 음수면 아래다. 수직선에서 음수가 왼쪽인 것과 같고, 세로 축에서는 그 “왼쪽”이 “아래”에 대응한다.

점	\(x\) (가로)	\(y\) (세로)	원점에서 어디로
\((3,\ 2)\)	\(3\)	\(2\)	오른쪽 3, 위 2
\((2,\ 3)\)	\(2\)	\(3\)	오른쪽 2, 위 3 — 바로 위와 다른 점
\((-2,\ 3)\)	\(-2\)	\(3\)	왼쪽 2, 위 3
\((1,\ -4)\)	\(1\)	\(-4\)	오른쪽 1, 아래 4
\((0,\ 0)\)	\(0\)	\(0\)	이동 없음 — 원점 그 자리

좌표평면의 정의는 이것으로 끝난다. 그리고 이 평면은 앞 장에서 이미 한 번 사용되었다. 제17장에서 판별식을 다룰 때 본 포물선 그림이 이 좌표평면 위에 있었다. 가로가 \(x\), 세로가 \(y\) 이고, “\(x\) 축과 만난다”는 것은 “\(y\) 가 \(0\) 이 되는 자리에 닿는다”는 뜻이다.

좌표평면 위의 일차방정식#

핵심은 다음과 같다. 일차방정식 하나는 직선 하나다. 연립방정식을 푼다는 것은 두 직선이 만나는 점의 좌표를 찾는 일이다. 그 근거를 확인한다.

\[x + y = 5\]

이 식을 만족하는 \((x, y)\) 를 하나씩 적는다.

\(x\)	0	1	2	3	4	5
\(y\)	5	4	3	2	1	0

이 목록은 끝나지 않는다. \(x=100\) 이면 \(y=-95\), \(x=0.5\) 면 \(y=4.5\) 이다. 해가 무한히 많다.

표의 여섯 쌍을 앞에서 정의한 순서쌍으로 다시 적으면 다음과 같다.

\[(0,\ 5) \quad (1,\ 4) \quad (2,\ 3) \quad (3,\ 2) \quad (4,\ 1) \quad (5,\ 0)\]

이 점들을 하나씩 좌표평면에 표시한다. \((0,5)\) 는 원점에서 위로 5, \((1,4)\) 는 오른쪽 1에 위로 4, \((2,3)\) 은 오른쪽 2에 위로 3이다. 오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 정확히 한 칸씩 내려간다. 그래서 여섯 점이 불규칙하게 흩어지지 않고 일정한 기울기로 나란히 늘어선다.

이 점들을 좌표평면에 전부 표시하면 한 줄로 늘어서서 직선이 된다. 곧 \(x+y=5\) 라는 식 하나는 점 하나가 아니라 직선 하나다. 이 직선 위의 모든 점이 이 식의 해다. “해가 무한히 많다”는 서술을 그림으로 나타낸 것이 이 직선이다.

이제 두 번째 식을 같은 평면에 얹는다.

\[x - y = 1\]

A 는 \(x+y=5\), B 는 \(x-y=1\) 이다. 두 직선이 만나는 자리는 \((3, 2)\) 이다. 이 점은 A 위에도 있고 B 위에도 있다. 두 식을 동시에 만족하는 단 하나의 점이다. 확인하면 \(3+2=5\) 가 성립하고 \(3-2=1\) 도 성립한다. 두 식 모두를 만족해야 해다.

\[\text{연립방정식의 해} = \text{두 직선이 만나는 점의 좌표} \ (x,\ y)\]

그래서 답이 하나의 수가 아니라 한 쌍이다. 점 하나를 지정하려면 좌표가 두 개 필요하기 때문이다. \(x\) 만 쓰고 끝내면 점을 절반만 지정한 것이다. 이 장에서 가장 빈번한 오류가 이것이다.

교점의 세 가지 경우#

두 직선이 항상 만나는 것은 아니다. 예외가 두 가지 있다. 계산에서 자주 나타나지는 않지만, 그런 경우가 생기는 이유는 그림으로 확인할 수 있다.

① 해가 없는 경우 — 평행

\[x + y = 5 \qquad x + y = 3\]

기울기가 같아서 나란히 간다. 두 직선은 만나지 않는다. 두 수를 더한 값이 \(5\) 이면서 동시에 \(3\) 일 수는 없다. 식으로도 성립하지 않고 그림으로도 교점이 없다. 해가 없다.

② 해가 무수히 많은 경우 — 일치

\[x + y = 5 \qquad 2x + 2y = 10\]

두 번째 식의 양변을 \(2\) 로 나누면 \(x+y=5\), 곧 첫 번째와 같은 식이다. 양변에 \(2\) 가 곱해져 있을 뿐 같은 관계를 나타낸다. 직선이 둘이 아니라 하나로 겹쳐 있으므로 그 직선 위의 모든 점이 해다. 해가 무수히 많다.

정리하면, 두 직선은 만나거나(해 한 쌍), 나란하거나(해 없음), 겹치거나(해 무수히 많음) 셋 중 하나다. 이 책에서 다루는 문제는 대부분 첫 번째다. 나머지 둘은 계산 도중 \(0 = 2\) 같은 줄이 나올 때 판정한다.

그런데 그 줄에는 두 종류가 있고, 뜻이 정반대다. 변수가 모두 사라진 뒤 남은 줄이 거짓이면 평행이고, 참이면 일치다. 이 구별만 하면 된다.

변수가 다 사라진 뒤 남은 줄	참인가 거짓인가	두 직선은	해는
\(0=2\)	거짓	나란하다	없다
\(0=0\)	참	겹친다	무수히 많다

위의 ②를 실제로 계산한다. \(x+y=5\) 와 \(2x+2y=10\) 이다. 가감법으로 \(x\) 를 지우려면 첫 식에 \(2\) 를 곱해 계수를 맞춘다.

\[\text{(가)}\times2: \ 2x+2y=10 \qquad\qquad \text{(나)}: \ 2x+2y=10\]

\[(2x+2y)-(2x+2y) = 10-10 \ \Rightarrow \ 0=0\]

\(0=0\) 은 언제나 참인 등식이다. 계산이 잘못된 것이 아니라 “어떤 \((x,y)\) 를 넣어도 성립한다”는 뜻이고, 그래서 해가 무수히 많다. 반대로 ①의 \(x+y=5\) 와 \(x+y=3\) 을 빼면 \(0=2\) 가 나오는데, 이것은 언제나 거짓인 등식이므로 이를 성립시키는 \((x,y)\) 가 하나도 없다. 그래서 해가 없다.

변수가 사라졌으면 그 줄은 해가 아니라 판정이다. \(x=0\) 이라고 쓰지 않고, 남은 줄이 참인지 거짓인지만 읽는다.

대입법 — 두 개를 하나로 줄인다#

앞에서 다룬 것은 미지수 하나짜리 방정식이다. 따라서 미지수 두 개짜리를 하나짜리로 바꾸면 나머지는 이미 다룬 계산이다. 새로운 기술이 아니라 변형이다.

대입법은 미지수 두 개를 하나로 줄이는 방법이다. 한 식에서 “\(y=\) 무엇” 꼴을 만들어, 그 무엇을 다른 식에 통째로 넣는다. 예를 들어 \(y = 3 - 2x\) 를 알고 있으면, \(4x + y\) 의 \(y\) 자리에 \(3-2x\) 를 넣어 \(4x + (3-2x) = 2x + 3\) 처럼 \(x\) 만의 식으로 바꿀 수 있다. 미지수가 하나로 줄었다. 이것이 대입법의 내용이다.

절차를 다섯 단계로 적으면 다음과 같다.

\[\text{① 두 식에 (가), (나) 이름을 붙인다}\]

\[\text{② 계수가 } 1 \text{ 또는 } -1 \text{ 인 변수를 골라 “그 변수} = \cdots \text{” 꼴로 만든다}\]

\[\text{(두 식이 이미 같은 변수에 대해 풀려 있으면 이 단계는 할 일이 없다 — 우변끼리 같다고 놓는다)}\]

\[\text{③ 그것을 다른 식에 } \textbf{괄호를 쳐서} \text{ 대입한다}\]

\[\text{④ 남은 한 변수의 값을 구한다}\]

\[\text{⑤ ②의 식에 넣어 } \textbf{나머지 변수까지} \text{ 구하고 } (x,\ y) \text{ 로 쓴다 — 그다음 두 식 모두에 검산}\]

⑤ 단계가 특히 중요하다. 이 단계를 생략하는 경우가 가장 빈번하다. \(x\) 를 구하면 풀이가 끝난 것처럼 보이지만, 답은 점 하나이고 점은 좌표가 두 개다.

예제 1 — 기본형.

\[\text{(가)} \ \ y = 2x - 1 \qquad \text{(나)} \ \ 3x + y = 9\]

(가)가 이미 “\(y=\)” 꼴이므로 ②는 할 일이 없다. (나)의 \(y\) 자리에 대입한다.

\[3x + (2x - 1) = 9\]

\[5x - 1 = 9 \ \Rightarrow \ 5x = 10 \ \Rightarrow \ x = 2\]

이제 (가)에 도로 넣어 \(y\) 를 구한다.

\[y = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \qquad \therefore \ (x,\ y) = (2,\ 3)\]

검산은 두 식 모두에 한다. (가) \(3 = 2\cdot2 - 1\) ✔, (나) \(3\cdot2 + 3 = 9\) ✔. 절차상의 요령이 하나 있다. \(x\) 를 구하면 그 줄 옆에 곧바로 화살표를 그리고 \(y=\) 를 적는다. 표기를 먼저 해 두면 ⑤ 단계를 생략하지 않는다.

예제 2 — 괄호의 필요성.

\[\text{(가)} \ \ x = 3 - 2y \qquad \text{(나)} \ \ 2x - 3y = -1\]

(나)에 대입하는데, 여기서 괄호를 생략하면 결과가 달라진다.

\[2(3 - 2y) - 3y = -1\]

괄호 없이 \(2 \times 3 - 2y - 3y\) 로 쓰면 \(6 - 5y = -1\) 이 되어 \(y = 1.4\) 라는 틀린 답이 나온다. \(2\) 는 괄호 안 두 항 모두에 곱해져야 한다. 올바른 풀이는 다음과 같다.

\[6 - 4y - 3y = -1 \ \Rightarrow \ 6 - 7y = -1 \ \Rightarrow \ -7y = -7 \ \Rightarrow \ y = 1\]

\[x = 3 - 2\cdot1 = 1 \qquad \therefore \ (x,\ y) = (1,\ 1)\]

검산: (가) \(1 = 3 - 2\) ✔, (나) \(2\cdot1 - 3\cdot1 = -1\) ✔. \(x\) 와 \(y\) 가 우연히 같은 값이지만, 그래도 \((1, 1)\) 이라고 쌍으로 쓴다. “\(1\)” 이라고만 쓰면 답이 되지 않는다.

예제 3 — 두 식이 모두 “\(y=\)” 꼴인 경우. 도입의 요금제.

\[\text{(가)} \ \ y = 20000 + 2000x \qquad \text{(나)} \ \ y = 30000 + 1000x\]

②에서 할 일이 없다. 두 식이 이미 둘 다 “\(y=\)” 꼴이기 때문이다. 이때는 (나)의 \(y\) 자리에 (가)의 우변을 통째로 넣는 것과 같으므로, 결과는 우변끼리 같다고 놓는 것이다.

\[20000 + 2000x = 30000 + 1000x\]

여기서부터는 미지수 하나짜리 일차방정식이고, 앞에서 다룬 계산이다. \(x\) 는 왼쪽으로, 상수는 오른쪽으로 이항한다.

\[2000x - 1000x = 30000 - 20000 \ \Rightarrow \ 1000x = 10000 \ \Rightarrow \ x = 10\]

\(x\) 를 구했으므로 곧바로 \(y\) 를 구한다. (가)에 넣는다.

\[y = 20000 + 2000\cdot10 = 20000+20000 = 40000 \qquad \therefore \ (x,\ y) = (10,\ 40000)\]

검산: (가) \(20000+20000=40000\) ✔, (나) \(30000+10000=40000\) ✔.

이제 도입의 표와 비교한다. \(10\text{GB}\) 줄에서 두 요금이 \(40{,}000\) 원으로 같아졌고, 방금 계산한 \((10,\ 40000)\) 이 정확히 그 줄이다. 표 다섯 줄이 계산 두 줄로 줄었다. 또한 표는 \(0,5,10,15,20\) 만 조사한 것이므로 경계가 \(10\) 에 정확히 걸린 것은 우연이다. 경계가 \(12\text{GB}\) 였다면 그 표로는 찾을 수 없다. 계산은 어떤 값을 조사했는지에 의존하지 않는다.

이 꼴 — 두 식이 둘 다 “\(y=\)”인 꼴 — 은 실생활 문장제에서 가장 자주 나타난다. 요금제, 헬스장 회비, 통신사 비교처럼 “두 값이 언제 같아지는가”를 묻는 문제는 대부분 이 형태로 세워진다.

가감법 — 더하거나 빼서 하나를 지운다#

등식은 저울과 같은 구조를 갖는다. 양쪽이 균형을 이룬다. 균형을 이룬 저울 두 개의 양쪽을 각각 합치면 결과도 균형을 이룬다. 이것이 가감법의 근거다. 별도의 규칙이 아니라 등식의 성질이다.

가감법은 두 식을 통째로 더하거나 빼서 변수 하나를 지우는 방법이다. 지우려면 그 변수의 계수를 먼저 맞춰야 한다. 예를 확인한다.

\[\text{(가)} \ \ 2x + y = 7 \qquad \text{(나)} \ \ 3x - y = 8\]

\(y\) 를 보면 하나는 \(+y\), 하나는 \(-y\) 다. 두 식을 더하면 \(y\) 가 소거된다.

\[(2x + y) + (3x - y) = 7 + 8 \ \Rightarrow \ 5x = 15 \ \Rightarrow \ x = 3\]

\(y\) 가 소거되고, 남은 것은 앞에서 다룬 일차방정식이다. (가)에 넣으면 \(2\cdot3 + y = 7 \Rightarrow y = 1\), 곧 \((x, y) = (3, 1)\). 검산: (가) \(6+1=7\) ✔, (나) \(9-1=8\) ✔.

절차를 다섯 단계로 적으면 다음과 같다.

\[\text{① 두 식을 } ax + by = c \text{ 꼴로 세로로 나란히 정렬한다}\]

\[\text{② 지울 변수를 정하고, 그 변수의 계수의 크기를 맞춘다 (양변 } \textbf{모든 항} \text{ 에 곱한다)}\]

\[\text{③ 부호가 다르면 더하고, 같으면 뺀다}\]

\[\text{④ 남은 한 변수의 값을 구한다}\]

\[\text{⑤ 원래 식 하나에 넣어 } \textbf{나머지 변수까지} \text{ 구하고 } (x,\ y) \text{ 로 쓴다 — 그다음 두 식 모두에 검산}\]

예제 1 — 빼야 하는 경우.

\[\text{(가)} \ \ 3x + 2y = 13 \qquad \text{(나)} \ \ x + 2y = 7\]

\(y\) 의 계수가 둘 다 \(+2\) 로 부호가 같다. 이때는 뺀다.

\[(3x + 2y) - (x + 2y) = 13 - 7\]

여기가 주의할 지점이다. 뺄셈은 뒤 식 전체에 적용된다. \(-x\) 만이 아니라 \(-2y\) 까지, 그리고 우변도 뺀다(\(13 - 7\)).

\[3x + 2y - x - 2y = 6 \ \Rightarrow \ 2x = 6 \ \Rightarrow \ x = 3\]

(나)에 넣으면 \(3 + 2y = 7 \Rightarrow y = 2\), 곧 \((x, y) = (3, 2)\). 검산: (가) \(9+4=13\) ✔, (나) \(3+4=7\) ✔. 뺄셈에서 부호 오류가 자주 생기면 다음 방법을 쓴다. 뒤 식 전체에 \(-1\) 을 곱해 부호를 모두 바꾼 다음 더한다. \(-x - 2y = -7\) 을 만들어 놓고 더하면 오류가 줄어든다. 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 것이다.

예제 2 — 계수를 맞춰야 하는 경우.

\[\text{(가)} \ \ 3x + 2y = 16 \qquad \text{(나)} \ \ 2x + 5y = 18\]

\(x\) 계수가 \(3\) 과 \(2\) 로 서로 다르다. 최소공배수 \(6\) 에 맞춘다. (가)에 \(2\) 를, (나)에 \(3\) 을 곱한다. 모든 항에, 우변까지 곱한다.

\[\text{(가)}\times2: \ 6x + 4y = 32 \qquad \text{(나)}\times3: \ 6x + 15y = 54\]

부호가 같으므로 뺀다.

\[(6x + 15y) - (6x + 4y) = 54 - 32 \ \Rightarrow \ 11y = 22 \ \Rightarrow \ y = 2\]

(가)에 넣으면 \(3x + 4 = 16 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4\), 곧 \((x, y) = (4, 2)\). 검산: (가) \(12+4=16\) ✔, (나) \(8+10=18\) ✔.

방법의 선택#

대입법과 가감법 중 무엇을 쓸지는 계수를 보고 정한다.

\[\text{어느 한 변수의 계수가 } 1 \text{ 또는 } -1 \ \Rightarrow \ \textbf{대입법}\]

\[\text{그런 변수가 없다} \ \Rightarrow \ \textbf{가감법}\]

\[\text{두 식이 이미 둘 다 “} y=\cdots \text{” 꼴} \ \Rightarrow \ \textbf{우변끼리 같다고 놓는다} \ (\text{대입법 예제 3})\]

이유는 다음과 같다. 계수가 \(1\) 이면 “\(y = \cdots\)” 꼴을 분수 없이 만들 수 있다. 계수가 \(3\) 인데 대입법을 쓰면 \(y = \dfrac{16 - 3x}{2}\) 같은 식이 나오고, 분수를 유지한 채 계산하는 과정에서 부호 오류가 생기기 쉽다. 둘 다 옳은 방법이지만, 계산이 간단한 쪽이 정답률이 높다. 그리고 어느 쪽으로 풀든 답은 같다. 방법은 선택의 문제이고 답은 하나로 정해진다.

문장제도 계산은 동일하고, 절반은 식을 세우는 데 있다. 커피 \(2\) 잔과 샌드위치 \(3\) 개가 \(19{,}000\) 원이고, 커피 \(3\) 잔과 샌드위치 \(2\) 개가 \(16{,}000\) 원이라 한다. 커피 한 잔의 가격을 구한다. 커피를 \(x\), 샌드위치를 \(y\) 라 두면 식 두 개가 세워진다.

\[\text{(가)} \ \ 2x + 3y = 19000 \qquad \text{(나)} \ \ 3x + 2y = 16000\]

문장제의 절반은 여기까지다. 무엇을 \(x\) 로 둘지 정하고 식 두 개를 세우는 것이다. 그다음은 앞에서 다룬 계산이다. 계수가 모두 \(1\) 이 아니므로 가감법을 쓴다. (가)에 \(3\) 을, (나)에 \(2\) 를 곱하면 \(6x + 9y = 57000\), \(6x + 4y = 32000\). 빼면 \(5y = 25000 \Rightarrow y = 5000\). (가)에서 \(2x = 19000 - 15000 = 4000 \Rightarrow x = 2000\). 곧 \((x, y) = (2000, 5000)\), 커피 \(2{,}000\) 원, 샌드위치 \(5{,}000\) 원이다. 검산: (가) \(4000 + 15000 = 19000\) ✔, (나) \(6000 + 10000 = 16000\) ✔.

빈번한 오류#

\(x\) 만 구하고 멈춘다

\(x = 3\) 까지 정확히 구해 놓고 그 값에 표시를 한 뒤 다음 문항으로 넘어가는 경우다. 이것이 이 장에서 가장 빈번한 오류이며, 계산 능력과는 무관하다. 원인은 습관이다. 그동안 방정식의 답은 언제나 수 하나였고, “\(x=\) 어떤 수”를 쓰는 지점이 풀이의 종료 지점이었기 때문이다.

교정하는 방법은 그림으로 확인하는 것이다. 구한 \(x = 3\) 은 좌표평면에서 세로선 하나이고, 점이 아니다. 점을 지정하려면 \(y\) 도 있어야 한다. 구하려는 것은 두 직선이 만나는 점이다. 답은 수 하나가 아니라 좌표 두 개로 지정되는 위치다. 주소에서 동만 쓰고 호수를 쓰지 않으면 집이 지정되지 않는 것과 같다. 규칙 하나를 적용한다: \(x\) 값을 쓰자마자 그 줄 옆에 화살표를 그리고 \(y=\) 를 적는다.

확인 문제: \(x + y = 9\), \(x - y = 3\) 을 풀어라. (답: \((x, y) = (6, 3)\). \(x = 6\) 만 썼다면 아직 절반만 푼 것이다.)

가감법에서 뺄셈의 부호를 누락한다

\((3x + 2y) - (x + 2y)\) 를 \(3x + 2y - x + 2y\) 로 쓰는 경우다. 또는 좌변만 빼고 우변은 그대로 두는 경우다(\(13\) 을 \(13 - 7\) 로 바꾸지 않는다). 결과가 맞지 않는데 오류 지점을 찾지 못한다. 원인은 괄호 앞의 마이너스가 괄호 안 모든 항에 적용된다는 것이 아직 자동화되지 않은 데 있다. “식을 뺀다”는 것은 좌변과 우변을 동시에 빼는 일이다.

처방은 뺄셈을 사용하지 않는 것이다. 뒤 식 전체에 \(-1\) 을 곱해 새 줄로 다시 쓴 다음 더한다.

\[x + 2y = 7 \quad \xrightarrow{\ \times(-1)\ } \quad -x - 2y = -7\]

\[\text{그다음 } (3x + 2y) + (-x - 2y) = 13 + (-7)\]

우변도 함께 부호가 바뀌었다. 식 전체의 부호가 바뀌는 것이지 좌변만이 아니다. 양변에 같은 연산을 적용하면 등식이 유지된다는 성질과 같은 내용이다.

확인 문제: \(5x + 3y = 19\) 에서 \(2x + 3y = 13\) 을 빼라. (답: \(3x = 6\), 곧 \(x = 2\).)

대입할 때 괄호를 빠뜨린다

\(x = 3 - 2y\) 를 \(2x - 3y = -1\) 에 넣으면서 \(2 \times 3 - 2y - 3y\) 라고 쓰는 경우다. 대입 자체는 옳게 했으나 괄호가 없어서 계수가 앞 항에만 곱해진다. 원인은 대입을 “문자 자리에 문자를 바꿔 넣는 일”로 보는 데 있다. \(3 - 2y\) 는 두 항으로 이루어져 있지만 하나의 수이므로, 항을 나누지 않고 전체가 한 덩어리로 대입되어야 한다. 괄호가 그 범위를 표시한다.

순서를 고정하면 오류가 사라진다. 대입할 자리에 먼저 빈 괄호 \((\ )\) 를 그리고, 그 안에 내용을 쓴다.

\[2x - 3y = -1 \ \Rightarrow \ 2(\ \ ) - 3y = -1 \ \Rightarrow \ 2(3 - 2y) - 3y = -1\]

확인 문제: \(y = 2x - 3\) 을 \(4x - 3y = 1\) 에 대입해 전개까지 하라. (답: \(4x - 3(2x - 3) = 1 \Rightarrow 4x - 6x + 9 = 1 \Rightarrow -2x = -8 \Rightarrow x = 4\), \(y = 5\). \(-3 \times (-3) = +9\) 가 나와야 한다.)

검산을 한 식에만 한다

답을 구한 뒤 첫 번째 식에만 대입해 보고, 성립하면 풀이를 끝내는 경우다. 그런데 계산 도중 두 번째 식을 잘못 썼다면 첫 식만으로는 발견되지 않는다. 예를 들어 \(x + y = 7\), \(x - y = 1\) 의 답을 \((5, 2)\) 라고 했다고 한다. 첫 식은 \(5 + 2 = 7\) 로 성립한다. 그러나 둘째 식은 \(5 - 2 = 3\) 이고 \(1\) 이 아니다. 틀린 답이다.

그림으로 확인하면 분명하다. \((5, 2)\) 는 첫 번째 직선 위에는 있지만 두 번째 직선 위에는 없다. 한 직선 위에만 있는 점은 해가 아니다. 교점은 두 직선 모두 위에 있어야 한다. 따라서 검산도 두 번 한다. 답 옆에 첫 식 ✔, 둘째 식 ✔ 두 줄이 모두 있어야 그 문항이 끝난 것이다.

확인 문제: \(2x + y = 9\), \(x - 2y = 2\) 의 답으로 \((4, 1)\) 은 맞는가? 그리고 \((3, 3)\) 은? (답: \((4,1)\) 은 \(8+1=9\) ✔, \(4-2=2\) ✔ → 맞다. \((3,3)\) 은 \(6+3=9\) ✔, \(3-6=-3\) ✘ → 틀렸다. 첫 식만 보면 둘 다 맞아 보인다.)

연습문제#

계산기를 쓰지 않는다. 규칙 두 개를 지킨다. 하나, 답은 반드시 \((x, y)\) 쌍으로 쓴다. 둘, 두 식 모두에 검산한다. 검산까지 하지 않은 문항은 아직 푼 것이 아니다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A \(y=x+1\), \(2x+y=7\)
A \(x=y+2\), \(3x-2y=10\)
A \(x+y=7\), \(x-y=1\)
A \(2x+y=8\), \(x-y=1\)
A \(3x-2y=8\), \(x+2y=8\)
B \(2x+3y=16\), \(3x-y=2\) (방법을 먼저 고르고 옆에 적어라)
B \(4x+3y=10\), \(3x+2y=8\)
B \(0.2x+0.3y=1.3\), \(x-y=4\) (먼저 양변에 \(10\) 을 곱해 소수를 없앤다)
B \(x+y=4\), \(2x+2y=10\) — 풀고, 어떤 결과가 나오는지 한 줄로 설명하라. 그래프를 이용해 설명해도 된다. 이어서 \(x+y=4\), \(2x+2y=8\) 도 같은 방법으로 풀어 마지막 줄을 나란히 놓아라. 한쪽은 \(0=2\), 다른 쪽은 \(0=0\) 이 나온다. 두 문제의 답은 어떻게 다른가?
B 헬스장 A는 등록비 \(5\) 만 원에 월 회비 \(3\) 만 원, 헬스장 B는 등록비 \(11\) 만 원에 월 회비 \(2\) 만 원이다. 몇 개월을 다니면 총비용이 같아지는가? 그때 총비용은 얼마인가?
B 커피 \(4\) 잔과 샌드위치 \(1\) 개가 \(13{,}000\) 원, 커피 \(1\) 잔과 샌드위치 \(3\) 개가 \(17{,}000\) 원이다. 각각의 가격은?
C 소금물을 섞는다. \(8\%\) 소금물과 \(3\%\) 소금물을 섞어서 \(5\%\) 소금물 \(500\)g 을 만들려면 각각 몇 g 씩 필요한가?
C 집에서 공원까지 \(20\)km 를 가는데, 처음에는 시속 \(4\)km 로 걷고 도중부터 시속 \(12\)km 로 자전거를 탔다. 총 \(3\) 시간이 걸렸다면 걸은 거리와 자전거로 간 거리는 각각 몇 km 인가?
C \(ax+y=5\) 와 \(2x+y=b\) 가 해를 무수히 많이 갖도록 하는 \(a\), \(b\) 를 구하라.

정답과 해설

\((x,y)=(2,3)\) — 대입법. \(2x+(x+1)=7 \Rightarrow 3x=6\). 검산 \(3=2+1\) ✔, \(4+3=7\) ✔
\((x,y)=(6,4)\) — 대입법. \(3(y+2)-2y=10 \Rightarrow y+6=10\). 검산 \(6=4+2\) ✔, \(18-8=10\) ✔
\((x,y)=(4,3)\) — 가감법(더하면 \(2x=8\)). 검산 \(4+3=7\) ✔, \(4-3=1\) ✔
\((x,y)=(3,2)\) — 가감법(더하면 \(3x=9\)). 검산 \(6+2=8\) ✔, \(3-2=1\) ✔
\((x,y)=(4,2)\) — 가감법(더하면 \(4x=16\)). 검산 \(12-4=8\) ✔, \(4+4=8\) ✔
\((x,y)=(2,4)\) — 둘째 식의 \(y\) 계수가 \(-1\) 이므로 대입법. \(y=3x-2\) → \(2x+3(3x-2)=16 \Rightarrow 11x=22\). 검산 \(4+12=16\) ✔, \(6-4=2\) ✔
\((x,y)=(4,-2)\) — 계수 \(1\) 이 없으니 가감법. 첫 식에 \(2\), 둘째 식에 \(3\) 을 곱하면 \(8x+6y=20\), \(9x+6y=24\), 빼면 \(x=4\). 그다음 \(12+2y=8 \Rightarrow y=-2\). 검산 \(16-6=10\) ✔, \(12-4=8\) ✔ 이렇게 틀린다: \(y\) 가 음수로 나오면 잘못 푼 것으로 판단하고 지운다. 음수도 해가 된다. 검산이 성립하면 옳은 답이다.
\((x,y)=(5,1)\) — 양변에 \(10\) 을 곱해 \(2x+3y=13\). \(x=y+4\) 대입 → \(2y+8+3y=13 \Rightarrow 5y=5\). 검산 \(0.2\cdot5+0.3\cdot1=1.0+0.3=1.3\) ✔, \(5-1=4\) ✔ 이렇게 틀린다: \(0.2x\) 만 \(10\) 을 곱하고 우변을 안 곱한다. 모든 항에.
해가 없다. 둘째 식의 양변을 \(2\) 로 나누면 \(x+y=5\) 인데 첫 식은 \(x+y=4\) 다. 같은 값이 \(4\) 이면서 동시에 \(5\) 일 수는 없다. 가감법으로 계산하면 \(0=2\) 라는 거짓 등식이 나온다. 그래프로는 두 직선이 평행해서 만나지 않는다. 이렇게 틀린다: \(0=2\) 를 보고 “\(x=0\)” 이라고 쓴다. 변수가 사라졌으면 그것은 해가 아니라 판정이다. 짝 문항 \(x+y=4\), \(2x+2y=8\): 해가 무수히 많다. 둘째 식의 양변을 \(2\) 로 나누면 \(x+y=4\) — 첫 식과 같은 식이다. 가감법으로 계산하면 첫 식에 \(2\) 를 곱해 \(2x+2y=8\), 빼면 \(0=0\). 이번에는 남은 줄이 참이다. 두 직선이 완전히 겹치고, \(x+y=4\) 위의 모든 점이 해다. 두 문제의 차이는 마지막 줄이 \(0=2\)(거짓)냐 \(0=0\)(참)이냐 하나뿐이다. 거짓이면 해 없음, 참이면 해 무수히 많음.
\(6\) 개월, 총비용 \(23\) 만 원 — 개월 수를 \(x\), 총비용을 \(y\) 라 하면 \(y=50000+30000x\), \(y=110000+20000x\). 둘 다 “\(y=\)” 꼴이므로 우변끼리 같다고 놓는다(대입법 예제 3과 같은 꼴이다). \(50000+30000x=110000+20000x \Rightarrow 10000x=60000 \Rightarrow x=6\), \(y=230000\). 검산: \(50000+180000=230000\) ✔, \(110000+120000=230000\) ✔ 덧붙일 것: \(6\) 개월 미만이면 A가 싸고, 넘으면 B가 싸다. 도입의 요금제와 같은 구조다.
커피 \(2{,}000\) 원, 샌드위치 \(5{,}000\) 원 — \(4x+y=13000\), \(x+3y=17000\). 첫 식의 \(y\) 계수가 \(1\) 이므로 대입법: \(y=13000-4x\) → \(x+39000-12x=17000 \Rightarrow -11x=-22000 \Rightarrow x=2000\), \(y=5000\). 검산 \(8000+5000=13000\) ✔, \(2000+15000=17000\) ✔
\(8\%\) 소금물 \(200\)g, \(3\%\) 소금물 \(300\)g — \(8\%\) 를 \(x\) g, \(3\%\) 를 \(y\) g 이라 하면 조건이 둘이다. 무게: \(x+y=500\). 소금의 양: \(0.08x+0.03y=0.05\times500=25\). 두 번째 식에 \(100\) 을 곱하면 \(8x+3y=2500\). 첫 식에 \(3\) 을 곱한 \(3x+3y=1500\) 을 빼면 \(5x=1000 \Rightarrow x=200\), \(y=300\). 검산: 무게 \(200+300=500\) ✔, 소금 \(16+9=25\) g ✔ 이렇게 틀린다: 농도끼리 더해서 \(8+3=5\times2\) 같은 식을 세운다. 섞이는 것은 농도가 아니라 소금의 양이다.
걸은 거리 \(8\)km, 자전거 \(12\)km — 거리: \(x+y=20\). 시간: \(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{12}=3\). 두 번째에 \(12\) 를 곱하면 \(3x+y=36\). 빼면 \(2x=16 \Rightarrow x=8\), \(y=12\). 검산: 거리 \(8+12=20\) ✔, 시간 \(\dfrac{8}{4}+\dfrac{12}{12}=2+1=3\) ✔ 이렇게 틀린다: 시간 식을 세우지 않고 속력을 그냥 더한다. 거리 \(=\) 속력 \(\times\) 시간, 그러니 시간 \(=\) 거리 \(\div\) 속력이다.
\(a=2\), \(b=5\) — 해가 무수히 많으려면 두 식이 같은 직선이어야 한다. \(ax+y=5\) 와 \(2x+y=b\) 가 같으려면 \(x\) 계수끼리 \(a=2\), 상수끼리 \(5=b\). 확인: 둘 다 \(2x+y=5\) 가 되어 완전히 겹친다. 덧붙일 것: \(a=2\), \(b=3\) 인 경우에는 기울기는 같은데 상수가 다르므로 평행이고, 해가 없다. \(a\ne2\) 면 기울기가 달라 반드시 한 점에서 만난다.

추가 연습문제#

자습용 문항이다. 규칙 두 개는 동일하다 — 답은 \((x, y)\) 로 쓰고, 검산은 두 식 모두에 한다.

대입법

\(y=2x\), \(x+y=9\)
\(y=x-3\), \(2x+y=9\)
\(x=2y+1\), \(3x-y=13\)
\(y=-x+6\), \(3x+2y=14\)
\(x+y=5\), \(2x+3y=13\)
\(2x-y=3\), \(x+2y=14\)
\(x-3y=5\), \(2x+y=17\)

가감법

\(x+y=10\), \(x-y=4\)
\(2x+y=11\), \(x-y=1\)
\(3x+2y=16\), \(3x-2y=8\)
\(5x+2y=11\), \(3x-2y=13\)
\(3x+y=9\), \(2x-3y=-5\)
\(4x+3y=10\), \(3x-2y=16\)
\(5x-2y=11\), \(3x+4y=17\)

방법 선택 · 계수 정리 (각 문항 옆에 고른 방법을 적을 것)

\(x+4y=13\), \(3x-2y=11\)
\(2x+5y=-1\), \(3x-2y=8\)
\(y=3x-5\), \(2x+3y=7\)
\(0.3x+0.2y=1.3\), \(x+y=5\)
\(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=4\), \(x-y=2\)
\(2(x-1)+y=7\), \(3x-y=1\)

문장제 · 서술

통신사 A는 기본료 \(15{,}000\) 원에 데이터 \(1\)GB 당 \(3{,}000\) 원, 통신사 B는 기본료 \(27{,}000\) 원에 \(1\)GB 당 \(1{,}000\) 원이다. 두 요금이 같아지는 데이터 사용량과 그때의 요금을 구하라.
올해 어머니의 나이는 딸 나이의 \(3\) 배다. \(15\) 년 후에는 \(2\) 배가 된다. 두 사람의 현재 나이는?
\(10\%\) 설탕물과 \(4\%\) 설탕물을 섞어 \(6\%\) 설탕물 \(300\)g 을 만들려고 한다. 각각 몇 g 씩 필요한가?
총 \(30\)km 구간을 처음에는 시속 \(5\)km 로 걷고 도중부터 시속 \(20\)km 로 자전거를 탔더니 모두 \(3\) 시간이 걸렸다. 걸은 거리와 자전거로 간 거리는?
“\(3x+2y=12\) 를 풀어라”라고 하면 답이 하나로 정해지지 않는다. 왜 그런지, 그리고 식이 하나 더 있으면 왜 정해지는지 두 문장으로 쓰라. (그래프를 이용해 설명해도 된다)

정답과 해설

\((3,6)\) 2. \((4,1)\) 3. \((5,2)\) 4. \((2,4)\) 5. \((2,3)\) 6. \((4,5)\) 7. \((8,1)\)
\((7,3)\) 9. \((4,3)\) 10. \((4,2)\) 11. \((3,-2)\) 12. \((2,3)\) 13. \((4,-2)\) 14. \((3,2)\)
\((5,2)\) — 대입법(\(x\) 계수 \(1\)) 또는 가감법
\((2,-1)\) — 가감법. 첫 식에 \(2\), 둘째 식에 \(5\) 를 곱하면 \(4x+10y=-2\), \(15x-10y=40\), 더하면 \(19x=38\)
\((2,1)\) — 대입법(이미 “\(y=\)” 꼴)
\((3,2)\) — 양변에 \(10\) 을 곱해 \(3x+2y=13\) 으로 만든 뒤 가감법. 우변까지 \(10\) 을 곱해야 한다.
\((6,4)\) — 양변에 \(6\) 을 곱해 \(2x+3y=24\) 로 만든 뒤 대입법(\(x=y+2\)). 분모의 최소공배수를 양변 모든 항에.
\((2,5)\) — 먼저 괄호를 풀어 \(2x+y=9\) 로 정리한 뒤 가감법. 정리 전에 대입하면 식이 복잡해진다.
\(6\)GB, \(33{,}000\) 원 — \(y=15000+3000x\), \(y=27000+1000x\). 둘 다 “\(y=\)” 꼴이니 우변끼리 놓는다. \(15000+3000x=27000+1000x\) → \(2000x=12000\). 검산: \(15000+18000=33000\) ✔, \(27000+6000=33000\) ✔
어머니 \(45\) 세, 딸 \(15\) 세 — 어머니 \(x\), 딸 \(y\) 라 하면 \(x=3y\), \(x+15=2(y+15)\). 대입하면 \(3y+15=2y+30 \Rightarrow y=15\), \(x=45\). 검산: \(45=3\times15\) ✔, \(15\) 년 후 \(60=2\times30\) ✔ 이렇게 틀린다: 두 번째 식을 \(x+15=2y+15\) 로 쓴다. 두 사람 다 \(15\) 년씩 나이를 먹는다. 괄호가 필요한 이유다.
\(10\%\) 설탕물 \(100\)g, \(4\%\) 설탕물 \(200\)g — \(x+y=300\), \(0.1x+0.04y=0.06\times300=18\). 두 번째에 \(100\) 을 곱하면 \(10x+4y=1800\). 첫 식에 \(4\) 를 곱한 \(4x+4y=1200\) 을 빼면 \(6x=600\). 검산: 무게 \(100+200=300\) ✔, 설탕 \(10+8=18\) g ✔ 핵심: 섞이는 것은 농도가 아니라 설탕의 양이다.
걸은 거리 \(10\)km, 자전거 \(20\)km — \(x+y=30\), \(\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{20}=3\). 두 번째에 \(20\) 을 곱하면 \(4x+y=60\). 빼면 \(3x=30\). 검산: 거리 \(10+20=30\) ✔, 시간 \(2+1=3\) ✔
예시 답안: “\(3x+2y=12\) 를 만족하는 \((x,y)\) 는 \((4,0)\), \((2,3)\), \((0,6)\) 처럼 무한히 많고, 그것들을 좌표평면에 찍으면 직선 하나가 된다. 식이 하나 더 있으면 직선이 하나 더 생기고, 두 직선이 만나는 점은 보통 하나뿐이므로 답이 하나로 정해진다.” — 핵심은 “직선” 과 “교점” 두 단어.

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 한 문장으로 정리된다. 미지수가 둘이면 식도 둘이고, 답은 두 직선이 만나는 점 \((x, y)\) 한 쌍이다. 그 한 쌍을 찾는 방법이 두 가지였다. 계수가 \(1\) 이나 \(-1\) 인 변수가 있으면 대입법으로 미지수를 하나로 줄이고, 없으면 가감법으로 하나를 소거한다. 어느 방법을 쓰든 교점은 하나뿐이므로 답은 같다. 그리고 답을 구했으면 반드시 두 식 모두에 넣어 검산한다. 한 직선 위에만 있는 점은 해가 아니기 때문이다.

여기서 다룬 관점 — 식 하나가 직선 하나라는 것 — 은 이 장으로 끝나지 않는다. 이후에 직선을 \(y = ax + b\) 라는 함수로 다시 다루고, 그다음에 포물선을, 그다음에 미적분을 다룬다. 이 장에서 좌표평면에 표시한 점 몇 개가 그 출발점이다.

제19장에서는 제1부에서 다룬 분수로 돌아간다. 단, 이번에는 분자와 분모에 문자가 들어 있다. \(\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}\) 같은 것이다. 약분하는 방법은 \(\dfrac{12}{18}\) 을 줄일 때와 동일하다.