# 제18장 · 연립방정식

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **원본 코드** | R2-W10 |
| **선행 내용** | 제17장 (근의 공식) |
| **요지** | 미지수가 두 개면 식도 두 개다. 답은 하나의 수가 아니라 $(x, y)$ 한 쌍이다. |
:::

## 도입

휴대폰 요금제 두 개가 있다. **A**는 기본료 $2$만 원에 데이터 $1\text{GB}$당 $2$천 원, **B**는 기본료 $3$만 원에 $1\text{GB}$당 $1$천 원이다. 어느 쪽이 저렴한지는 하나로 정해지지 않는다.

"B가 싸다"는 답과 "A가 싸다"는 답이 모두 나올 수 있다. **사용량에 따라 결과가 달라지기 때문이다.** 표로 확인한다.

| 데이터 사용량 | A 요금제 | B 요금제 |
|---|---|---|
| $0\text{GB}$ | 20,000원 | 30,000원 |
| $5\text{GB}$ | 30,000원 | 35,000원 |
| $10\text{GB}$ | **40,000원** | **40,000원** |
| $15\text{GB}$ | 50,000원 | 45,000원 |
| $20\text{GB}$ | 60,000원 | 50,000원 |

$10\text{GB}$에서 두 요금이 같아진다. 그 아래에서는 A가 저렴하고, 위에서는 B가 저렴하다. 경계는 $10\text{GB}$이다. 그런데 이 경계를 찾기 위해 표를 다섯 줄 작성했다. 표를 만들지 않고 경계를 직접 구하는 방법이 필요하다.

두 요금을 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$y = 20000 + 2000x \qquad y = 30000 + 1000x$$

$x$ 는 데이터, $y$ 는 요금이다. **미지수가 두 개이고, 식도 두 개다.** 이렇게 미지수가 둘인 식 두 개를 한꺼번에 푸는 것을 **연립방정식**이라 한다. 이 장에서 다루는 것이 이것이다.

식 하나만 놓고 생각한다. $y = 20000 + 2000x$ 하나만으로는 $x$ 와 $y$ 를 정할 수 없다. $x$ 에 어떤 값을 넣어도 $y$ 가 따라 나온다. $x=0$ 이면 $y=20000$, $x=1$ 이면 $y=22000$, $x=2$ 면 $y=24000$ 과 같이 값이 끝없이 이어진다. 답이 **무한히 많으므로** 하나를 골라낼 수 없다. 따라서 조건이 하나 더, 곧 식이 하나 더 필요하다.

지금까지 다룬 방정식에서 미지수는 언제나 하나였다. 이 장에서는 미지수 두 개를 동시에 다룬다. 답이 하나의 수가 아니라 **한 쌍**이라는 점이 이 장의 핵심이다.

## 식 하나는 직선 하나다

### 좌표평면

이 절부터 그림이 계속 나온다. 그 그림들이 놓이는 평면을 먼저 정의한다. 새로 배울 내용은 많지 않다. 제1부에서 다룬 **수직선** 두 개로 구성된다.

수직선 하나를 가로로 놓고, 또 하나를 세로로 놓아 **직각으로 교차시킨다.** 가로로 뻗은 것을 **$x$ 축**, 세로로 뻗은 것을 **$y$ 축**, 두 축이 만나는 자리를 **원점**이라 한다. 그리고 이렇게 두 축을 얹은 평면 전체를 **좌표평면**이라 한다. 원점에서 오른쪽으로 갈수록 $x$ 가 커지고, 위로 갈수록 $y$ 가 커진다. 수직선에서 오른쪽이 큰 쪽인 것과 같고, 세로 축은 그 수직선을 $90$ 도 회전시킨 것이다.

이 평면 위에서 **점 하나는 수 두 개로 지정한다.** $(3,\ 2)$ 는 원점에서 **오른쪽으로 3, 위로 2** 간 자리다. 앞의 수가 $x$, 뒤의 수가 $y$ 이며, 언제나 이 순서다.

여기서 한 가지를 확정한다. **$(3,2)$ 와 $(2,3)$ 은 다른 점이다.** 앞의 것은 오른쪽 3에 위로 2, 뒤의 것은 오른쪽 2에 위로 3이다. 포함된 수는 같지만 위치가 다르다. **순서가 이름의 일부다.** 그래서 이 두 수를 묶은 것을 **순서쌍**이라 한다. 주소의 동과 호수가 같은 구조를 갖는다. "3동 2호"와 "2동 3호"는 다른 집이다.

음수도 같은 규칙을 따른다. $x$ 가 음수면 원점의 **왼쪽**, $y$ 가 음수면 **아래**다. 수직선에서 음수가 왼쪽인 것과 같고, 세로 축에서는 그 "왼쪽"이 "아래"에 대응한다.

| 점 | $x$ (가로) | $y$ (세로) | 원점에서 어디로 |
|---|---|---|---|
| $(3,\ 2)$ | $3$ | $2$ | 오른쪽 3, 위 2 |
| $(2,\ 3)$ | $2$ | $3$ | 오른쪽 2, 위 3 — **바로 위와 다른 점** |
| $(-2,\ 3)$ | $-2$ | $3$ | 왼쪽 2, 위 3 |
| $(1,\ -4)$ | $1$ | $-4$ | 오른쪽 1, 아래 4 |
| $(0,\ 0)$ | $0$ | $0$ | 이동 없음 — 원점 그 자리 |

좌표평면의 정의는 이것으로 끝난다. 그리고 이 평면은 앞 장에서 이미 한 번 사용되었다. [제17장](ch17.md)에서 판별식을 다룰 때 본 포물선 그림이 이 좌표평면 위에 있었다. 가로가 $x$, 세로가 $y$ 이고, "$x$ 축과 만난다"는 것은 "$y$ 가 $0$ 이 되는 자리에 닿는다"는 뜻이다.

### 좌표평면 위의 일차방정식

핵심은 다음과 같다. **일차방정식 하나는 직선 하나다. 연립방정식을 푼다는 것은 두 직선이 만나는 점의 좌표를 찾는 일이다.** 그 근거를 확인한다.

$$x + y = 5$$

이 식을 만족하는 $(x, y)$ 를 하나씩 적는다.

| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |

이 목록은 끝나지 않는다. $x=100$ 이면 $y=-95$, $x=0.5$ 면 $y=4.5$ 이다. **해가 무한히 많다.**

표의 여섯 쌍을 앞에서 정의한 순서쌍으로 다시 적으면 다음과 같다.

$$(0,\ 5) \quad (1,\ 4) \quad (2,\ 3) \quad (3,\ 2) \quad (4,\ 1) \quad (5,\ 0)$$

이 점들을 하나씩 좌표평면에 표시한다. $(0,5)$ 는 원점에서 위로 5, $(1,4)$ 는 오른쪽 1에 위로 4, $(2,3)$ 은 오른쪽 2에 위로 3이다. **오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 정확히 한 칸씩 내려간다.** 그래서 여섯 점이 불규칙하게 흩어지지 않고 일정한 기울기로 나란히 늘어선다.

이 점들을 좌표평면에 전부 표시하면 한 줄로 늘어서서 **직선**이 된다. 곧 $x+y=5$ 라는 식 하나는 점 하나가 아니라 **직선 하나**다. 이 직선 위의 모든 점이 이 식의 해다. "해가 무한히 많다"는 서술을 그림으로 나타낸 것이 이 직선이다.

이제 두 번째 식을 같은 평면에 얹는다.

$$x - y = 1$$

```{image} /_static/figs/ch18_intersect.svg
:alt: 두 직선이 (3,2)에서 만난다
:width: 320px
:align: center
:class: chfig
```

`A` 는 $x+y=5$, `B` 는 $x-y=1$ 이다. 두 직선이 만나는 자리는 $(3, 2)$ 이다. 이 점은 **A 위에도 있고 B 위에도 있다.** 두 식을 동시에 만족하는 단 하나의 점이다. 확인하면 $3+2=5$ 가 성립하고 $3-2=1$ 도 성립한다. **두 식 모두를 만족해야 해다.**

$$\text{연립방정식의 해} = \text{두 직선이 만나는 점의 좌표} \ (x,\ y)$$

그래서 답이 하나의 수가 아니라 **한 쌍**이다. 점 하나를 지정하려면 좌표가 두 개 필요하기 때문이다. $x$ 만 쓰고 끝내면 점을 절반만 지정한 것이다. 이 장에서 가장 빈번한 오류가 이것이다.

## 교점의 세 가지 경우

두 직선이 항상 만나는 것은 아니다. 예외가 두 가지 있다. 계산에서 자주 나타나지는 않지만, 그런 경우가 생기는 이유는 그림으로 확인할 수 있다.

**① 해가 없는 경우 — 평행**

$$x + y = 5 \qquad x + y = 3$$

```{image} /_static/figs/ch18_parallel.svg
:alt: 두 직선이 나란하다 — 해가 없다
:width: 320px
:align: center
:class: chfig
```

기울기가 같아서 나란히 간다. **두 직선은 만나지 않는다.** 두 수를 더한 값이 $5$ 이면서 동시에 $3$ 일 수는 없다. 식으로도 성립하지 않고 그림으로도 교점이 없다. **해가 없다.**

**② 해가 무수히 많은 경우 — 일치**

$$x + y = 5 \qquad 2x + 2y = 10$$

```{image} /_static/figs/ch18_coincident.svg
:alt: 두 직선이 겹친다 — 해가 무수히 많다
:width: 320px
:align: center
:class: chfig
```

두 번째 식의 양변을 $2$ 로 나누면 $x+y=5$, 곧 첫 번째와 **같은 식**이다. 양변에 $2$ 가 곱해져 있을 뿐 같은 관계를 나타낸다. 직선이 둘이 아니라 하나로 겹쳐 있으므로 그 직선 위의 모든 점이 해다. **해가 무수히 많다.**

정리하면, 두 직선은 **만나거나(해 한 쌍), 나란하거나(해 없음), 겹치거나(해 무수히 많음)** 셋 중 하나다. 이 책에서 다루는 문제는 대부분 첫 번째다. 나머지 둘은 계산 도중 $0 = 2$ 같은 줄이 나올 때 판정한다.

그런데 그 줄에는 **두 종류가 있고, 뜻이 정반대다.** 변수가 모두 사라진 뒤 남은 줄이 **거짓**이면 평행이고, **참**이면 일치다. 이 구별만 하면 된다.

| 변수가 다 사라진 뒤 남은 줄 | 참인가 거짓인가 | 두 직선은 | 해는 |
|---|---|---|---|
| $0=2$ | **거짓** | 나란하다 | 없다 |
| $0=0$ | **참** | 겹친다 | 무수히 많다 |

위의 ②를 실제로 계산한다. $x+y=5$ 와 $2x+2y=10$ 이다. 가감법으로 $x$ 를 지우려면 첫 식에 $2$ 를 곱해 계수를 맞춘다.

$$\text{(가)}\times2: \ 2x+2y=10 \qquad\qquad \text{(나)}: \ 2x+2y=10$$

$$(2x+2y)-(2x+2y) = 10-10 \ \Rightarrow \ 0=0$$

$0=0$ 은 **언제나 참인 등식**이다. 계산이 잘못된 것이 아니라 "어떤 $(x,y)$ 를 넣어도 성립한다"는 뜻이고, 그래서 해가 무수히 많다. 반대로 ①의 $x+y=5$ 와 $x+y=3$ 을 빼면 $0=2$ 가 나오는데, 이것은 **언제나 거짓인 등식**이므로 이를 성립시키는 $(x,y)$ 가 하나도 없다. 그래서 해가 없다.

**변수가 사라졌으면 그 줄은 해가 아니라 판정이다.** $x=0$ 이라고 쓰지 않고, 남은 줄이 참인지 거짓인지만 읽는다.

## 대입법 — 두 개를 하나로 줄인다

앞에서 다룬 것은 미지수 하나짜리 방정식이다. 따라서 미지수 두 개짜리를 **하나짜리로 바꾸면** 나머지는 이미 다룬 계산이다. 새로운 기술이 아니라 **변형**이다.

**대입법은 미지수 두 개를 하나로 줄이는 방법이다.** 한 식에서 "$y=$ 무엇" 꼴을 만들어, 그 무엇을 다른 식에 통째로 넣는다. 예를 들어 $y = 3 - 2x$ 를 알고 있으면, $4x + y$ 의 $y$ 자리에 $3-2x$ 를 넣어 $4x + (3-2x) = 2x + 3$ 처럼 $x$ 만의 식으로 바꿀 수 있다. 미지수가 하나로 줄었다. 이것이 대입법의 내용이다.

절차를 다섯 단계로 적으면 다음과 같다.

$$\text{① 두 식에 (가), (나) 이름을 붙인다}$$

$$\text{② 계수가 } 1 \text{ 또는 } -1 \text{ 인 변수를 골라 “그 변수} = \cdots \text{” 꼴로 만든다}$$

$$\text{(두 식이 이미 같은 변수에 대해 풀려 있으면 이 단계는 할 일이 없다 — 우변끼리 같다고 놓는다)}$$

$$\text{③ 그것을 다른 식에 } \textbf{괄호를 쳐서} \text{ 대입한다}$$

$$\text{④ 남은 한 변수의 값을 구한다}$$

$$\text{⑤ ②의 식에 넣어 } \textbf{나머지 변수까지} \text{ 구하고 } (x,\ y) \text{ 로 쓴다 — 그다음 두 식 모두에 검산}$$

⑤ 단계가 특히 중요하다. **이 단계를 생략하는 경우가 가장 빈번하다.** $x$ 를 구하면 풀이가 끝난 것처럼 보이지만, 답은 점 하나이고 점은 좌표가 두 개다.

**예제 1 — 기본형.**

$$\text{(가)} \ \ y = 2x - 1 \qquad \text{(나)} \ \ 3x + y = 9$$

(가)가 이미 "$y=$" 꼴이므로 ②는 할 일이 없다. (나)의 $y$ 자리에 대입한다.

$$3x + (2x - 1) = 9$$
$$5x - 1 = 9 \ \Rightarrow \ 5x = 10 \ \Rightarrow \ x = 2$$

이제 (가)에 도로 넣어 $y$ 를 구한다.

$$y = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \qquad \therefore \ (x,\ y) = (2,\ 3)$$

검산은 **두 식 모두에** 한다. (가) $3 = 2\cdot2 - 1$ ✔, (나) $3\cdot2 + 3 = 9$ ✔. 절차상의 요령이 하나 있다. **$x$ 를 구하면 그 줄 옆에 곧바로 화살표를 그리고 $y=$ 를 적는다.** 표기를 먼저 해 두면 ⑤ 단계를 생략하지 않는다.

**예제 2 — 괄호의 필요성.**

$$\text{(가)} \ \ x = 3 - 2y \qquad \text{(나)} \ \ 2x - 3y = -1$$

(나)에 대입하는데, 여기서 괄호를 생략하면 결과가 달라진다.

$$2(3 - 2y) - 3y = -1$$

괄호 없이 $2 \times 3 - 2y - 3y$ 로 쓰면 $6 - 5y = -1$ 이 되어 $y = 1.4$ 라는 틀린 답이 나온다. **$2$ 는 괄호 안 두 항 모두에 곱해져야 한다.** 올바른 풀이는 다음과 같다.

$$6 - 4y - 3y = -1 \ \Rightarrow \ 6 - 7y = -1 \ \Rightarrow \ -7y = -7 \ \Rightarrow \ y = 1$$
$$x = 3 - 2\cdot1 = 1 \qquad \therefore \ (x,\ y) = (1,\ 1)$$

검산: (가) $1 = 3 - 2$ ✔, (나) $2\cdot1 - 3\cdot1 = -1$ ✔. $x$ 와 $y$ 가 우연히 같은 값이지만, 그래도 **$(1, 1)$ 이라고 쌍으로 쓴다.** "$1$" 이라고만 쓰면 답이 되지 않는다.

**예제 3 — 두 식이 모두 "$y=$" 꼴인 경우. 도입의 요금제.**

$$\text{(가)} \ \ y = 20000 + 2000x \qquad \text{(나)} \ \ y = 30000 + 1000x$$

②에서 할 일이 없다. 두 식이 **이미 둘 다** "$y=$" 꼴이기 때문이다. 이때는 (나)의 $y$ 자리에 (가)의 우변을 통째로 넣는 것과 같으므로, 결과는 **우변끼리 같다고 놓는 것**이다.

$$20000 + 2000x = 30000 + 1000x$$

여기서부터는 미지수 하나짜리 일차방정식이고, 앞에서 다룬 계산이다. $x$ 는 왼쪽으로, 상수는 오른쪽으로 이항한다.

$$2000x - 1000x = 30000 - 20000 \ \Rightarrow \ 1000x = 10000 \ \Rightarrow \ x = 10$$

$x$ 를 구했으므로 곧바로 $y$ 를 구한다. (가)에 넣는다.

$$y = 20000 + 2000\cdot10 = 20000+20000 = 40000 \qquad \therefore \ (x,\ y) = (10,\ 40000)$$

검산: (가) $20000+20000=40000$ ✔, (나) $30000+10000=40000$ ✔.

이제 도입의 표와 비교한다. $10\text{GB}$ 줄에서 두 요금이 $40{,}000$ 원으로 같아졌고, 방금 계산한 $(10,\ 40000)$ 이 정확히 그 줄이다. **표 다섯 줄이 계산 두 줄로 줄었다.** 또한 표는 $0,5,10,15,20$ 만 조사한 것이므로 경계가 $10$ 에 정확히 걸린 것은 우연이다. 경계가 $12\text{GB}$ 였다면 그 표로는 찾을 수 없다. 계산은 어떤 값을 조사했는지에 의존하지 않는다.

이 꼴 — 두 식이 둘 다 "$y=$"인 꼴 — 은 실생활 문장제에서 가장 자주 나타난다. 요금제, 헬스장 회비, 통신사 비교처럼 "**두 값이 언제 같아지는가**"를 묻는 문제는 대부분 이 형태로 세워진다.

## 가감법 — 더하거나 빼서 하나를 지운다

등식은 저울과 같은 구조를 갖는다. 양쪽이 균형을 이룬다. 균형을 이룬 저울 두 개의 양쪽을 각각 합치면 결과도 균형을 이룬다. 이것이 가감법의 근거다. 별도의 규칙이 아니라 등식의 성질이다.

**가감법은 두 식을 통째로 더하거나 빼서 변수 하나를 지우는 방법이다.** 지우려면 그 변수의 계수를 먼저 맞춰야 한다. 예를 확인한다.

$$\text{(가)} \ \ 2x + y = 7 \qquad \text{(나)} \ \ 3x - y = 8$$

$y$ 를 보면 하나는 $+y$, 하나는 $-y$ 다. **두 식을 더하면 $y$ 가 소거된다.**

$$(2x + y) + (3x - y) = 7 + 8 \ \Rightarrow \ 5x = 15 \ \Rightarrow \ x = 3$$

$y$ 가 소거되고, 남은 것은 앞에서 다룬 일차방정식이다. (가)에 넣으면 $2\cdot3 + y = 7 \Rightarrow y = 1$, 곧 $(x, y) = (3, 1)$. 검산: (가) $6+1=7$ ✔, (나) $9-1=8$ ✔.

절차를 다섯 단계로 적으면 다음과 같다.

$$\text{① 두 식을 } ax + by = c \text{ 꼴로 세로로 나란히 정렬한다}$$

$$\text{② 지울 변수를 정하고, 그 변수의 계수의 크기를 맞춘다 (양변 } \textbf{모든 항} \text{ 에 곱한다)}$$

$$\text{③ 부호가 다르면 더하고, 같으면 뺀다}$$

$$\text{④ 남은 한 변수의 값을 구한다}$$

$$\text{⑤ 원래 식 하나에 넣어 } \textbf{나머지 변수까지} \text{ 구하고 } (x,\ y) \text{ 로 쓴다 — 그다음 두 식 모두에 검산}$$

**예제 1 — 빼야 하는 경우.**

$$\text{(가)} \ \ 3x + 2y = 13 \qquad \text{(나)} \ \ x + 2y = 7$$

$y$ 의 계수가 둘 다 $+2$ 로 부호가 같다. 이때는 **뺀다.**

$$(3x + 2y) - (x + 2y) = 13 - 7$$

여기가 주의할 지점이다. 뺄셈은 **뒤 식 전체**에 적용된다. $-x$ 만이 아니라 $-2y$ 까지, 그리고 **우변도 뺀다**($13 - 7$).

$$3x + 2y - x - 2y = 6 \ \Rightarrow \ 2x = 6 \ \Rightarrow \ x = 3$$

(나)에 넣으면 $3 + 2y = 7 \Rightarrow y = 2$, 곧 $(x, y) = (3, 2)$. 검산: (가) $9+4=13$ ✔, (나) $3+4=7$ ✔. 뺄셈에서 부호 오류가 자주 생기면 다음 방법을 쓴다. **뒤 식 전체에 $-1$ 을 곱해 부호를 모두 바꾼 다음 더한다.** $-x - 2y = -7$ 을 만들어 놓고 더하면 오류가 줄어든다. 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 것이다.

**예제 2 — 계수를 맞춰야 하는 경우.**

$$\text{(가)} \ \ 3x + 2y = 16 \qquad \text{(나)} \ \ 2x + 5y = 18$$

$x$ 계수가 $3$ 과 $2$ 로 서로 다르다. 최소공배수 $6$ 에 맞춘다. (가)에 $2$ 를, (나)에 $3$ 을 곱한다. **모든 항에, 우변까지 곱한다.**

$$\text{(가)}\times2: \ 6x + 4y = 32 \qquad \text{(나)}\times3: \ 6x + 15y = 54$$

부호가 같으므로 뺀다.

$$(6x + 15y) - (6x + 4y) = 54 - 32 \ \Rightarrow \ 11y = 22 \ \Rightarrow \ y = 2$$

(가)에 넣으면 $3x + 4 = 16 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$, 곧 $(x, y) = (4, 2)$. 검산: (가) $12+4=16$ ✔, (나) $8+10=18$ ✔.

## 방법의 선택

대입법과 가감법 중 무엇을 쓸지는 계수를 보고 정한다.

$$\text{어느 한 변수의 계수가 } 1 \text{ 또는 } -1 \ \Rightarrow \ \textbf{대입법}$$

$$\text{그런 변수가 없다} \ \Rightarrow \ \textbf{가감법}$$

$$\text{두 식이 이미 둘 다 “} y=\cdots \text{” 꼴} \ \Rightarrow \ \textbf{우변끼리 같다고 놓는다} \ (\text{대입법 예제 3})$$

이유는 다음과 같다. 계수가 $1$ 이면 "$y = \cdots$" 꼴을 분수 없이 만들 수 있다. 계수가 $3$ 인데 대입법을 쓰면 $y = \dfrac{16 - 3x}{2}$ 같은 식이 나오고, 분수를 유지한 채 계산하는 과정에서 부호 오류가 생기기 쉽다. **둘 다 옳은 방법이지만, 계산이 간단한 쪽이 정답률이 높다.** 그리고 어느 쪽으로 풀든 **답은 같다.** 방법은 선택의 문제이고 답은 하나로 정해진다.

문장제도 계산은 동일하고, 절반은 식을 세우는 데 있다. 커피 $2$ 잔과 샌드위치 $3$ 개가 $19{,}000$ 원이고, 커피 $3$ 잔과 샌드위치 $2$ 개가 $16{,}000$ 원이라 한다. 커피 한 잔의 가격을 구한다. 커피를 $x$, 샌드위치를 $y$ 라 두면 식 두 개가 세워진다.

$$\text{(가)} \ \ 2x + 3y = 19000 \qquad \text{(나)} \ \ 3x + 2y = 16000$$

**문장제의 절반은 여기까지다.** 무엇을 $x$ 로 둘지 정하고 식 두 개를 세우는 것이다. 그다음은 앞에서 다룬 계산이다. 계수가 모두 $1$ 이 아니므로 가감법을 쓴다. (가)에 $3$ 을, (나)에 $2$ 를 곱하면 $6x + 9y = 57000$, $6x + 4y = 32000$. 빼면 $5y = 25000 \Rightarrow y = 5000$. (가)에서 $2x = 19000 - 15000 = 4000 \Rightarrow x = 2000$. 곧 $(x, y) = (2000, 5000)$, 커피 $2{,}000$ 원, 샌드위치 $5{,}000$ 원이다. 검산: (가) $4000 + 15000 = 19000$ ✔, (나) $6000 + 10000 = 16000$ ✔.

## 빈번한 오류

:::{admonition} $x$ 만 구하고 멈춘다
:class: warning
$x = 3$ 까지 정확히 구해 놓고 그 값에 표시를 한 뒤 다음 문항으로 넘어가는 경우다. 이것이 이 장에서 가장 빈번한 오류이며, **계산 능력과는 무관하다.** 원인은 습관이다. 그동안 방정식의 답은 언제나 수 하나였고, "$x=$ 어떤 수"를 쓰는 지점이 풀이의 종료 지점이었기 때문이다.

교정하는 방법은 그림으로 확인하는 것이다. 구한 $x = 3$ 은 좌표평면에서 세로선 하나이고, 점이 아니다. 점을 지정하려면 $y$ 도 있어야 한다. 구하려는 것은 두 직선이 만나는 **점**이다. 답은 수 하나가 아니라 좌표 두 개로 지정되는 **위치**다. 주소에서 동만 쓰고 호수를 쓰지 않으면 집이 지정되지 않는 것과 같다. 규칙 하나를 적용한다: **$x$ 값을 쓰자마자 그 줄 옆에 화살표를 그리고 $y=$ 를 적는다.**

*확인 문제*: $x + y = 9$, $x - y = 3$ 을 풀어라. (답: $(x, y) = (6, 3)$. $x = 6$ 만 썼다면 아직 절반만 푼 것이다.)
:::

:::{admonition} 가감법에서 뺄셈의 부호를 누락한다
:class: warning
$(3x + 2y) - (x + 2y)$ 를 $3x + 2y - x + 2y$ 로 쓰는 경우다. 또는 좌변만 빼고 우변은 그대로 두는 경우다($13$ 을 $13 - 7$ 로 바꾸지 않는다). 결과가 맞지 않는데 오류 지점을 찾지 못한다. 원인은 괄호 앞의 마이너스가 **괄호 안 모든 항**에 적용된다는 것이 아직 자동화되지 않은 데 있다. "식을 뺀다"는 것은 좌변과 우변을 **동시에** 빼는 일이다.

처방은 뺄셈을 사용하지 않는 것이다. 뒤 식 전체에 $-1$ 을 곱해 **새 줄로 다시 쓴 다음** 더한다.

$$x + 2y = 7 \quad \xrightarrow{\ \times(-1)\ } \quad -x - 2y = -7$$
$$\text{그다음 } (3x + 2y) + (-x - 2y) = 13 + (-7)$$

우변도 함께 부호가 바뀌었다. **식 전체의 부호가 바뀌는 것이지 좌변만이 아니다.** 양변에 같은 연산을 적용하면 등식이 유지된다는 성질과 같은 내용이다.

*확인 문제*: $5x + 3y = 19$ 에서 $2x + 3y = 13$ 을 빼라. (답: $3x = 6$, 곧 $x = 2$.)
:::

:::{admonition} 대입할 때 괄호를 빠뜨린다
:class: warning
$x = 3 - 2y$ 를 $2x - 3y = -1$ 에 넣으면서 $2 \times 3 - 2y - 3y$ 라고 쓰는 경우다. 대입 자체는 옳게 했으나 괄호가 없어서 계수가 앞 항에만 곱해진다. 원인은 대입을 "문자 자리에 문자를 바꿔 넣는 일"로 보는 데 있다. $3 - 2y$ 는 두 항으로 이루어져 있지만 **하나의 수**이므로, 항을 나누지 않고 전체가 한 덩어리로 대입되어야 한다. 괄호가 그 범위를 표시한다.

순서를 고정하면 오류가 사라진다. **대입할 자리에 먼저 빈 괄호 $(\ )$ 를 그리고, 그 안에 내용을 쓴다.**

$$2x - 3y = -1 \ \Rightarrow \ 2(\ \ ) - 3y = -1 \ \Rightarrow \ 2(3 - 2y) - 3y = -1$$

*확인 문제*: $y = 2x - 3$ 을 $4x - 3y = 1$ 에 대입해 전개까지 하라. (답: $4x - 3(2x - 3) = 1 \Rightarrow 4x - 6x + 9 = 1 \Rightarrow -2x = -8 \Rightarrow x = 4$, $y = 5$. $-3 \times (-3) = +9$ 가 나와야 한다.)
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:::{admonition} 검산을 한 식에만 한다
:class: warning
답을 구한 뒤 첫 번째 식에만 대입해 보고, 성립하면 풀이를 끝내는 경우다. 그런데 계산 도중 두 번째 식을 잘못 썼다면 첫 식만으로는 발견되지 않는다. 예를 들어 $x + y = 7$, $x - y = 1$ 의 답을 $(5, 2)$ 라고 했다고 한다. 첫 식은 $5 + 2 = 7$ 로 성립한다. 그러나 둘째 식은 $5 - 2 = 3$ 이고 $1$ 이 아니다. **틀린 답이다.**

그림으로 확인하면 분명하다. $(5, 2)$ 는 첫 번째 직선 위에는 있지만 두 번째 직선 위에는 없다. **한 직선 위에만 있는 점은 해가 아니다.** 교점은 두 직선 **모두** 위에 있어야 한다. 따라서 검산도 두 번 한다. 답 옆에 첫 식 ✔, 둘째 식 ✔ 두 줄이 모두 있어야 그 문항이 끝난 것이다.

*확인 문제*: $2x + y = 9$, $x - 2y = 2$ 의 답으로 $(4, 1)$ 은 맞는가? 그리고 $(3, 3)$ 은? (답: $(4,1)$ 은 $8+1=9$ ✔, $4-2=2$ ✔ → 맞다. $(3,3)$ 은 $6+3=9$ ✔, $3-6=-3$ ✘ → 틀렸다. 첫 식만 보면 둘 다 맞아 보인다.)
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## 연습문제

계산기를 쓰지 않는다. 규칙 두 개를 지킨다. **하나, 답은 반드시 $(x, y)$ 쌍으로 쓴다. 둘, 두 식 모두에 검산한다.** 검산까지 하지 않은 문항은 아직 푼 것이 아니다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` $y=x+1$, $2x+y=7$
2. `A` $x=y+2$, $3x-2y=10$
3. `A` $x+y=7$, $x-y=1$
4. `A` $2x+y=8$, $x-y=1$
5. `A` $3x-2y=8$, $x+2y=8$
6. `B` $2x+3y=16$, $3x-y=2$ (방법을 먼저 고르고 옆에 적어라)
7. `B` $4x+3y=10$, $3x+2y=8$
8. `B` $0.2x+0.3y=1.3$, $x-y=4$ (**먼저 양변에 $10$ 을 곱해 소수를 없앤다**)
9. `B` $x+y=4$, $2x+2y=10$ — 풀고, 어떤 결과가 나오는지 한 줄로 설명하라. 그래프를 이용해 설명해도 된다. **이어서** $x+y=4$, $2x+2y=8$ 도 같은 방법으로 풀어 마지막 줄을 나란히 놓아라. 한쪽은 $0=2$, 다른 쪽은 $0=0$ 이 나온다. 두 문제의 답은 어떻게 다른가?
10. `B` 헬스장 A는 등록비 $5$ 만 원에 월 회비 $3$ 만 원, 헬스장 B는 등록비 $11$ 만 원에 월 회비 $2$ 만 원이다. 몇 개월을 다니면 총비용이 같아지는가? 그때 총비용은 얼마인가?
11. `B` 커피 $4$ 잔과 샌드위치 $1$ 개가 $13{,}000$ 원, 커피 $1$ 잔과 샌드위치 $3$ 개가 $17{,}000$ 원이다. 각각의 가격은?
12. `C` 소금물을 섞는다. $8\%$ 소금물과 $3\%$ 소금물을 섞어서 $5\%$ 소금물 $500$g 을 만들려면 각각 몇 g 씩 필요한가?
13. `C` 집에서 공원까지 $20$km 를 가는데, 처음에는 시속 $4$km 로 걷고 도중부터 시속 $12$km 로 자전거를 탔다. 총 $3$ 시간이 걸렸다면 걸은 거리와 자전거로 간 거리는 각각 몇 km 인가?
14. `C` $ax+y=5$ 와 $2x+y=b$ 가 해를 **무수히 많이** 갖도록 하는 $a$, $b$ 를 구하라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $(x,y)=(2,3)$ — 대입법. $2x+(x+1)=7 \Rightarrow 3x=6$. 검산 $3=2+1$ ✔, $4+3=7$ ✔
2. $(x,y)=(6,4)$ — 대입법. $3(y+2)-2y=10 \Rightarrow y+6=10$. 검산 $6=4+2$ ✔, $18-8=10$ ✔
3. $(x,y)=(4,3)$ — 가감법(더하면 $2x=8$). 검산 $4+3=7$ ✔, $4-3=1$ ✔
4. $(x,y)=(3,2)$ — 가감법(더하면 $3x=9$). 검산 $6+2=8$ ✔, $3-2=1$ ✔
5. $(x,y)=(4,2)$ — 가감법(더하면 $4x=16$). 검산 $12-4=8$ ✔, $4+4=8$ ✔
6. $(x,y)=(2,4)$ — 둘째 식의 $y$ 계수가 $-1$ 이므로 **대입법**. $y=3x-2$ → $2x+3(3x-2)=16 \Rightarrow 11x=22$. 검산 $4+12=16$ ✔, $6-4=2$ ✔
7. $(x,y)=(4,-2)$ — 계수 $1$ 이 없으니 **가감법**. 첫 식에 $2$, 둘째 식에 $3$ 을 곱하면 $8x+6y=20$, $9x+6y=24$, 빼면 $x=4$. 그다음 $12+2y=8 \Rightarrow y=-2$. 검산 $16-6=10$ ✔, $12-4=8$ ✔ **이렇게 틀린다**: $y$ 가 음수로 나오면 잘못 푼 것으로 판단하고 지운다. 음수도 해가 된다. 검산이 성립하면 옳은 답이다.
8. $(x,y)=(5,1)$ — 양변에 $10$ 을 곱해 $2x+3y=13$. $x=y+4$ 대입 → $2y+8+3y=13 \Rightarrow 5y=5$. 검산 $0.2\cdot5+0.3\cdot1=1.0+0.3=1.3$ ✔, $5-1=4$ ✔ **이렇게 틀린다**: $0.2x$ 만 $10$ 을 곱하고 우변을 안 곱한다. **모든 항에.**
9. **해가 없다.** 둘째 식의 양변을 $2$ 로 나누면 $x+y=5$ 인데 첫 식은 $x+y=4$ 다. 같은 값이 $4$ 이면서 동시에 $5$ 일 수는 없다. 가감법으로 계산하면 $0=2$ 라는 거짓 등식이 나온다. 그래프로는 **두 직선이 평행**해서 만나지 않는다. **이렇게 틀린다**: $0=2$ 를 보고 "$x=0$" 이라고 쓴다. 변수가 사라졌으면 그것은 해가 아니라 판정이다.
   **짝 문항 $x+y=4$, $2x+2y=8$**: **해가 무수히 많다.** 둘째 식의 양변을 $2$ 로 나누면 $x+y=4$ — 첫 식과 **같은 식**이다. 가감법으로 계산하면 첫 식에 $2$ 를 곱해 $2x+2y=8$, 빼면 $0=0$. 이번에는 남은 줄이 **참**이다. 두 직선이 완전히 겹치고, $x+y=4$ 위의 모든 점이 해다. **두 문제의 차이는 마지막 줄이 $0=2$(거짓)냐 $0=0$(참)이냐 하나뿐이다.** 거짓이면 해 없음, 참이면 해 무수히 많음.
10. **$6$ 개월, 총비용 $23$ 만 원** — 개월 수를 $x$, 총비용을 $y$ 라 하면 $y=50000+30000x$, $y=110000+20000x$. **둘 다 "$y=$" 꼴이므로 우변끼리 같다고 놓는다**(대입법 예제 3과 같은 꼴이다). $50000+30000x=110000+20000x \Rightarrow 10000x=60000 \Rightarrow x=6$, $y=230000$. 검산: $50000+180000=230000$ ✔, $110000+120000=230000$ ✔ **덧붙일 것**: $6$ 개월 미만이면 A가 싸고, 넘으면 B가 싸다. 도입의 요금제와 같은 구조다.
11. **커피 $2{,}000$ 원, 샌드위치 $5{,}000$ 원** — $4x+y=13000$, $x+3y=17000$. 첫 식의 $y$ 계수가 $1$ 이므로 대입법: $y=13000-4x$ → $x+39000-12x=17000 \Rightarrow -11x=-22000 \Rightarrow x=2000$, $y=5000$. 검산 $8000+5000=13000$ ✔, $2000+15000=17000$ ✔
12. **$8\%$ 소금물 $200$g, $3\%$ 소금물 $300$g** — $8\%$ 를 $x$ g, $3\%$ 를 $y$ g 이라 하면 조건이 둘이다. 무게: $x+y=500$. 소금의 양: $0.08x+0.03y=0.05\times500=25$. 두 번째 식에 $100$ 을 곱하면 $8x+3y=2500$. 첫 식에 $3$ 을 곱한 $3x+3y=1500$ 을 빼면 $5x=1000 \Rightarrow x=200$, $y=300$. 검산: 무게 $200+300=500$ ✔, 소금 $16+9=25$ g ✔ **이렇게 틀린다**: 농도끼리 더해서 $8+3=5\times2$ 같은 식을 세운다. **섞이는 것은 농도가 아니라 소금의 양이다.**
13. **걸은 거리 $8$km, 자전거 $12$km** — 거리: $x+y=20$. 시간: $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{12}=3$. 두 번째에 $12$ 를 곱하면 $3x+y=36$. 빼면 $2x=16 \Rightarrow x=8$, $y=12$. 검산: 거리 $8+12=20$ ✔, 시간 $\dfrac{8}{4}+\dfrac{12}{12}=2+1=3$ ✔ **이렇게 틀린다**: 시간 식을 세우지 않고 속력을 그냥 더한다. **거리 $=$ 속력 $\times$ 시간**, 그러니 시간 $=$ 거리 $\div$ 속력이다.
14. $a=2$, $b=5$ — 해가 무수히 많으려면 **두 식이 같은 직선**이어야 한다. $ax+y=5$ 와 $2x+y=b$ 가 같으려면 $x$ 계수끼리 $a=2$, 상수끼리 $5=b$. 확인: 둘 다 $2x+y=5$ 가 되어 완전히 겹친다. **덧붙일 것**: $a=2$, $b=3$ 인 경우에는 기울기는 같은데 상수가 다르므로 평행이고, 해가 없다. $a\ne2$ 면 기울기가 달라 반드시 한 점에서 만난다.
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### 추가 연습문제

자습용 문항이다. 규칙 두 개는 동일하다 — 답은 $(x, y)$ 로 쓰고, 검산은 두 식 모두에 한다.

**대입법**

1. $y=2x$, $x+y=9$
2. $y=x-3$, $2x+y=9$
3. $x=2y+1$, $3x-y=13$
4. $y=-x+6$, $3x+2y=14$
5. $x+y=5$, $2x+3y=13$
6. $2x-y=3$, $x+2y=14$
7. $x-3y=5$, $2x+y=17$

**가감법**

8. $x+y=10$, $x-y=4$
9. $2x+y=11$, $x-y=1$
10. $3x+2y=16$, $3x-2y=8$
11. $5x+2y=11$, $3x-2y=13$
12. $3x+y=9$, $2x-3y=-5$
13. $4x+3y=10$, $3x-2y=16$
14. $5x-2y=11$, $3x+4y=17$

**방법 선택 · 계수 정리** (각 문항 옆에 고른 방법을 적을 것)

15. $x+4y=13$, $3x-2y=11$
16. $2x+5y=-1$, $3x-2y=8$
17. $y=3x-5$, $2x+3y=7$
18. $0.3x+0.2y=1.3$, $x+y=5$
19. $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=4$, $x-y=2$
20. $2(x-1)+y=7$, $3x-y=1$

**문장제 · 서술**

21. 통신사 A는 기본료 $15{,}000$ 원에 데이터 $1$GB 당 $3{,}000$ 원, 통신사 B는 기본료 $27{,}000$ 원에 $1$GB 당 $1{,}000$ 원이다. 두 요금이 같아지는 데이터 사용량과 그때의 요금을 구하라.
22. 올해 어머니의 나이는 딸 나이의 $3$ 배다. $15$ 년 후에는 $2$ 배가 된다. 두 사람의 현재 나이는?
23. $10\%$ 설탕물과 $4\%$ 설탕물을 섞어 $6\%$ 설탕물 $300$g 을 만들려고 한다. 각각 몇 g 씩 필요한가?
24. 총 $30$km 구간을 처음에는 시속 $5$km 로 걷고 도중부터 시속 $20$km 로 자전거를 탔더니 모두 $3$ 시간이 걸렸다. 걸은 거리와 자전거로 간 거리는?
25. "$3x+2y=12$ 를 풀어라"라고 하면 답이 하나로 정해지지 않는다. 왜 그런지, 그리고 식이 하나 더 있으면 왜 정해지는지 **두 문장**으로 쓰라. (그래프를 이용해 설명해도 된다)

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $(3,6)$  2. $(4,1)$  3. $(5,2)$  4. $(2,4)$  5. $(2,3)$  6. $(4,5)$  7. $(8,1)$

8. $(7,3)$  9. $(4,3)$  10. $(4,2)$  11. $(3,-2)$  12. $(2,3)$  13. $(4,-2)$  14. $(3,2)$

15. $(5,2)$ — 대입법($x$ 계수 $1$) 또는 가감법
16. $(2,-1)$ — 가감법. 첫 식에 $2$, 둘째 식에 $5$ 를 곱하면 $4x+10y=-2$, $15x-10y=40$, 더하면 $19x=38$
17. $(2,1)$ — 대입법(이미 "$y=$" 꼴)
18. $(3,2)$ — 양변에 $10$ 을 곱해 $3x+2y=13$ 으로 만든 뒤 가감법. **우변까지 $10$ 을 곱해야 한다.**
19. $(6,4)$ — 양변에 $6$ 을 곱해 $2x+3y=24$ 로 만든 뒤 대입법($x=y+2$). **분모의 최소공배수를 양변 모든 항에.**
20. $(2,5)$ — 먼저 괄호를 풀어 $2x+y=9$ 로 정리한 뒤 가감법. **정리 전에 대입하면 식이 복잡해진다.**

21. **$6$GB, $33{,}000$ 원** — $y=15000+3000x$, $y=27000+1000x$. 둘 다 "$y=$" 꼴이니 우변끼리 놓는다. $15000+3000x=27000+1000x$ → $2000x=12000$. 검산: $15000+18000=33000$ ✔, $27000+6000=33000$ ✔
22. **어머니 $45$ 세, 딸 $15$ 세** — 어머니 $x$, 딸 $y$ 라 하면 $x=3y$, $x+15=2(y+15)$. 대입하면 $3y+15=2y+30 \Rightarrow y=15$, $x=45$. 검산: $45=3\times15$ ✔, $15$ 년 후 $60=2\times30$ ✔ **이렇게 틀린다**: 두 번째 식을 $x+15=2y+15$ 로 쓴다. **두 사람 다 $15$ 년씩 나이를 먹는다.** 괄호가 필요한 이유다.
23. **$10\%$ 설탕물 $100$g, $4\%$ 설탕물 $200$g** — $x+y=300$, $0.1x+0.04y=0.06\times300=18$. 두 번째에 $100$ 을 곱하면 $10x+4y=1800$. 첫 식에 $4$ 를 곱한 $4x+4y=1200$ 을 빼면 $6x=600$. 검산: 무게 $100+200=300$ ✔, 설탕 $10+8=18$ g ✔ **핵심**: 섞이는 것은 농도가 아니라 **설탕의 양**이다.
24. **걸은 거리 $10$km, 자전거 $20$km** — $x+y=30$, $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{20}=3$. 두 번째에 $20$ 을 곱하면 $4x+y=60$. 빼면 $3x=30$. 검산: 거리 $10+20=30$ ✔, 시간 $2+1=3$ ✔
25. 예시 답안: "$3x+2y=12$ 를 만족하는 $(x,y)$ 는 $(4,0)$, $(2,3)$, $(0,6)$ 처럼 무한히 많고, 그것들을 좌표평면에 찍으면 직선 하나가 된다. 식이 하나 더 있으면 직선이 하나 더 생기고, 두 직선이 만나는 점은 보통 하나뿐이므로 답이 하나로 정해진다." — 핵심은 **"직선"** 과 **"교점"** 두 단어.
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## 요약과 다음 장

이 장의 핵심은 한 문장으로 정리된다. **미지수가 둘이면 식도 둘이고, 답은 두 직선이 만나는 점 $(x, y)$ 한 쌍이다.** 그 한 쌍을 찾는 방법이 두 가지였다. 계수가 $1$ 이나 $-1$ 인 변수가 있으면 **대입법**으로 미지수를 하나로 줄이고, 없으면 **가감법**으로 하나를 소거한다. 어느 방법을 쓰든 교점은 하나뿐이므로 답은 같다. 그리고 답을 구했으면 반드시 **두 식 모두에** 넣어 검산한다. 한 직선 위에만 있는 점은 해가 아니기 때문이다.

여기서 다룬 관점 — 식 하나가 직선 하나라는 것 — 은 이 장으로 끝나지 않는다. 이후에 직선을 $y = ax + b$ 라는 함수로 다시 다루고, 그다음에 포물선을, 그다음에 미적분을 다룬다. 이 장에서 좌표평면에 표시한 점 몇 개가 그 출발점이다.

[제19장](ch19.md)에서는 제1부에서 다룬 분수로 돌아간다. 단, 이번에는 분자와 분모에 문자가 들어 있다. $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$ 같은 것이다. 약분하는 방법은 $\dfrac{12}{18}$ 을 줄일 때와 동일하다.