제9장 · 변수와 식 — 문자의 등장

내용

제9장 · 변수와 식 — 문자의 등장#

이 장


원본 코드	R2-W01
선행 내용	제1부 · 산술 재건 (특히 음수·분수)
요지	문자는 새로운 수학이 아니라 빈칸이다. \(2x\) 는 \(2+x\) 가 아니라 \(x\) 가 두 개라는 뜻이다.

도입#

다음 상황을 생각한다. 통장에 이미 \(100\) 만원이 있고, 매달 \(30\) 만원씩 저축한다. 잔액이 \(1000\) 만원이 되기까지 걸리는 개월 수를 구한다.

답은 \(30\) 개월이다. 이때 수행한 계산은 다음과 같다. 이미 있는 \(100\) 만원을 먼저 빼고, 남은 \(900\) 만원을 \(30\) 으로 나눈다. 식으로 쓰면 \((1000-100) \div 30\) 이다. 나눗셈을 사용한 이유는 구하려는 값이 개월 수이기 때문이다. 이 ‘모르는 개월 수’에 이름을 붙인다.

위에서 아래로 같은 자리에 세 번 쓴 것이다. 빈칸에 테두리를 치면 상자가 되고, 상자에 이름을 붙이면 그 이름이 \(x\) 이다. 정식 표기로 옮기면 다음과 같다.

\[30 \times x + 100 = 1000\]

\[30x + 100 = 1000\]

\(x\) 는 새로운 수학이 아니라 빈칸이다. 앞의 계산은 이 빈칸을 암산으로 채운 것이다. 문자는 그 암산 과정을 종이 위에 표기하는 도구이다.

\(x\) 를 처음 배울 때 표기의 의미보다 “구하라”는 지시가 먼저 주어지면, 문자가 무엇을 가리키는지 정해지지 않은 채로 계산을 시작하게 된다. 이 장에서는 \(x\) 의 값을 구하지 않는다. \(x\) 가 무엇인지를 정하는 데까지 다룬다.

봉투 하나에 동전이 여러 개 들어 있고, 그 개수는 알려져 있지 않다. 여기에 동전 \(3\) 개를 더 넣으면 봉투 안의 개수는 정확히 특정되지 않는다. 그러나 “원래 있던 개수에 \(3\) 을 더한 값” 이라는 사실은 확정된다. 이를 짧게 쓴 것이 \(x+3\) 이다. 값을 모르는 상태로도 계산이 진행되는 것이 대수(代數)이다. 여기서 빈번한 오류는 답을 \(3\) 개라고 하는 것이다. 원래 있던 개수를 누락한 결과이다. 원래 있던 값을 식에 남겨 두기 위해 이름을 붙인다.

이 장의 요지는 다음과 같다. 문자는 아직 모르는 수의 이름이다.

\(30x+100=1000\) 에서 \(x\) 를 정식으로 구하는 절차는 제10장에서 다룬다. 이 장의 범위는 식을 세우는 데까지이다. 여기서 세운 식이 다음 장의 재료가 된다.

문자는 수를 대신하는 이름이다#

문자는 수를 대신하는 이름이다. 그래서 문자로 쓴 식은 수로 쓴 식과 똑같은 규칙을 따른다. 이 문장이 나머지 내용 전부의 근거가 된다.

같은 문자라도 역할은 두 가지로 구분된다. 두 역할을 처음부터 나누어 익히면 이후 서술에서 혼동이 줄어든다.

\[30x + 100 = 1000 \qquad \text{“} x \text{는 딱 하나로 정해져 있다. 아직 모를 뿐이다.”}\]

이것을 미지수라고 한다. 저축 개월 수는 하나의 값으로 정해져 있으며, 그 값이 아직 알려지지 않았을 뿐이다.

\[\text{시속 } 60 \text{km로 } x \text{시간 달린 거리} = 60x \qquad \text{“} x \text{는 아무거나 될 수 있다.”}\]

이 경우는 다르다. \(1\) 시간 달리면 \(60\) km, \(2\) 시간이면 \(120\) km, \(2\) 시간 반이면 \(150\) km로 \(x\) 가 변한다. 이것을 변수라고 한다. 두 경우에 공통되는 사실은 다음과 같다. 문자 자리에는 수가 들어가며, 어떤 수가 들어가는지는 상황이 정한다.

곱셈 기호를 지운다 — 식을 쓰는 규칙#

식을 쓰는 표기 규칙을 하나씩 예와 함께 정리한다.

규칙 1. 곱셈 기호는 지운다.

\[3 \times x = 3x \qquad a \times b = ab \qquad 2 \times x \times y = 2xy\]

곱셈 기호를 지우는 이유는 문자 \(x\) 와 곱셈 기호 \(\times\) 의 모양이 비슷해 혼동이 생기기 때문이다. 없앤 것은 곱셈 기호뿐이며, 곱셈 연산 자체는 그대로 남는다.

다음 두 관계가 이 규칙의 핵심이다.

\[2x = 2 \times x \qquad 2x \ne 2 + x\]

\(2x\) 는 “이엑스”가 아니라 “\(2\) 곱하기 \(x\)” 라고 읽는다. 소리 내어 읽으면 곱셈이라는 사실이 표기와 함께 고정된다. 수를 대입하면 차이가 드러난다. \(x=5\) 일 때

\[2x = 2 \times 5 = 10 \qquad 2+x = 2+5 = 7\]

\(10\) 과 \(7\) 은 서로 다른 수이다.

규칙 2. 수를 앞에, 문자를 뒤에.

\[x \times 3 = 3x \quad (\text{“} x3 \text{”이라고 쓰지 않는다})\]

규칙 3. \(1\) 은 안 쓰고, \(-1\) 은 부호만 남긴다.

\[1 \times x = x \qquad (-1) \times a = -a\]

규칙 4. 같은 문자의 곱은 거듭제곱으로.

\[x \times x = x^2 \qquad x \times x \times x = x^3\]

규칙 5. 나눗셈은 분수로 쓴다.

\[x \div 5 = \frac{x}{5} \qquad (a+b) \div 2 = \frac{a+b}{2}\]

오른쪽 식에서는 괄호가 사라졌다. \(\div\) 뒤에 항이 두 개 이상 오면 그것을 통째로 나누는 것이므로 괄호가 필요하다. 그런데 분수로 옮겨 쓰면 분수선이 그 괄호의 역할을 대신한다. 분수선 위에 올라간 식은 이미 하나의 덩어리로 묶여 있으므로, 괄호를 생략해도 뜻이 바뀌지 않는다. 괄호를 없앤 것이 아니라 묶는 방식을 바꾼 것이다.

수로 확인한다.

\[(6+4) \div 2 = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \qquad 6 + \frac{4}{2} = 6+2 = 8\]

\(5\) 와 \(8\) 이다. 괄호를 잃으면 값이 달라진다. 제1부 제7장에서 “루트 기호는 그 자체가 괄호다”라고 한 것과 같은 구조이다. 일부 기호는 괄호를 따로 쓰지 않아도 안에 든 것을 통째로 묶으며, 분수선이 그중 하나이다. 이 사실은 제10장에서 분수 방정식의 양변에 수를 곱할 때 다시 사용된다.

한국어를 식으로 옮긴다#

이 절은 이 장의 핵심 목표를 다룬다. 문장을 식으로 옮기는 작업은 끊어 읽기에서 시작한다.

“어떤 수의 3배에 4를 더한 수” 를 식으로 옮긴다. “어떤 수”에는 이름이 없으므로 이름을 붙인다. \(x\) 이다. “의 3배”는 \(3x\) 이고, “에 4를 더한”은 \(+4\) 이다.

\[3x + 4\]

다음은 비슷해 보이지만 다른 문장이다. “어떤 수에서 4를 뺀 것의 3배.” “어떤 수에서 4를 뺀 것”은 \(x-4\) 이다. “것의 3배”에서는 이 ‘것’이 통째로 \(3\) 배 된다. 통째로 묶으려면 괄호가 필요하다.

\[3(x-4)\]

두 식에 \(x=10\) 을 대입해 비교한다.

\[3x+4 = 34 \qquad 3(x-4) = 18\]

\(34\) 와 \(18\) 로 값이 다르다. 한국어 한 글자 차이가 서로 다른 식을 만든다. 따라서 문장을 끝까지 읽은 뒤에 식을 쓴다. 이것이 이 장에서 익히는 가장 실용적인 기술이다.

식에 값을 대입한다#

문자 자리에는 수가 들어간다. 그러므로 판단이 서지 않으면 수를 대입한다. 대입 결과가 최종 판정 기준이다.

대입은 문자 자리에 수를 놓는 조작이다. \(3x+2y\) 에 \(x=2\), \(y=1\) 을 대입한다. 문자를 지우고 그 자리에 괄호로 묶은 수를 넣는다.

\[3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8\]

괄호를 치는 이유는, 괄호가 없으면 \(32\) 로 읽히기 때문이다. 대입할 때는 항상 괄호를 먼저 친다. 예외는 없다. 특히 음수를 대입할 때 이 규칙이 부호 오류를 막는다.

\[x=-3 \text{ 일 때}, \quad x^2 = (-3)^2 = 9\]

\[x=-3 \text{ 일 때}, \quad -x^2 = -(-3)^2 = -9\]

두 번째 식에 주의한다. \(-x^2\) 은 “\(x\) 를 제곱한 다음 부호를 바꾼다”는 뜻이다. 제곱이 먼저 적용된다. 연산 순서 규칙 그대로이다.

동류항 — 같은 종류의 항#

두 용어를 먼저 정의한다. 이 책 전체에서 계속 사용하는 용어이다.

항은 식을 \(+\) 와 \(-\) 로 끊었을 때 생기는 한 덩어리이다. 여기서 중요한 것은 항이 부호를 포함한다는 점이다. \(5a-3a+2b\) 를 끊으면 항이 셋이고, 가운데 항은 \(3a\) 가 아니라 \(-3a\) 이다. 마이너스 부호는 그 항의 일부이다.

식	항	개수
\(3x+4\)	\(3x\), \(+4\)	2
\(5a-3a+2b\)	\(5a\), \(-3a\), \(+2b\)	3
\(x^2-x+7\)	\(x^2\), \(-x\), \(+7\)	3

동류항은 문자 부분이 글자도 개수도 똑같은 항이다. 글자만 같아서는 성립하지 않는다. \(3x\) 와 \(2x\) 는 둘 다 \(x\) 가 한 개이므로 동류항이고, \(3x\) 와 \(2y\) 는 글자가 달라 동류항이 아니며, \(x^2\) 과 \(x\) 는 글자는 같지만 \(x\) 의 개수가 둘과 하나로 달라 동류항이 아니다. 합쳐지는 것은 오직 동류항끼리이다.

같은 종류의 대상을 세는 상황으로 확인한다. 같은 문자끼리는 합쳐지고, 다른 문자끼리는 합쳐지지 않는다.

\[3x + 2x = 5x\]

사과 \(3\) 개와 사과 \(2\) 개는 사과 \(5\) 개이다. 두 항은 합쳐진다.

\[3x + 2y = 3x+2y\]

사과 \(3\) 개와 바나나 \(2\) 개는 하나의 이름으로 셀 수 없다. 그러므로 그대로 둔다. 정리가 끝나지 않은 것이 아니라 이 형태가 결과이다.

\[3x + 2 = 3x+2\]

사과 \(3\) 개와 수 \(2\) 는 세는 대상이 다르다. \(2\) 는 사과의 개수가 아니므로 두 항은 합쳐지지 않는다. 결과는 \(5x\) 가 아니다.

합쳐지지 않는 경우가 하나 더 있다. 이 경우가 셋 중 가장 식별하기 어렵다.

\[x^2 + x = x^2+x\]

두 항 모두 글자가 \(x\) 이므로 합쳐질 것처럼 보인다. 그러나 풀어 쓰면 \(x^2\) 은 \(x \cdot x\) 이고 뒤의 항은 \(x\) 하나이다. 글자는 같은데 개수가 다르다. 사과에 대응시키면 사과 한 상자와 사과 한 알이며, 둘 다 사과이지만 하나의 단위로 셀 수 없다. 그러므로 그대로 둔다. 수를 대입해 확인한다. \(x=3\) 이면

\[x^2+x = 9+3 = 12 \qquad 2x = 6 \qquad x^3 = 27\]

\(12\), \(6\), \(27\) 로 세 값이 모두 다르다. 따라서 \(x^2+x\) 를 \(2x\) 로 쓰는 것도 \(x^3\) 으로 쓰는 것도 옳지 않다. 동류항의 조건은 글자도 개수도 같을 것이며, 이 경우는 개수 조건을 만족하지 않는다.

이 대응은 덧셈에서만 성립한다. 적용 범위를 여기서 확인한다.

\[3x \times 2 = 6x\]

사과 \(3\) 개를 \(2\) 배 하면 사과 \(6\) 개이므로 이 계산은 성립한다. \(3x+2\) 는 정리되지 않는데 \(3x \times 2\) 는 정리되는 이유는 다음과 같다. 곱셈은 개수를 늘리는 연산이므로 세는 대상의 이름이 바뀌지 않는다. 사과를 \(2\) 배 해도 대상은 여전히 사과이다. 반면 덧셈은 서로 다른 이름을 하나로 세는 것을 요구하며, 이는 성립하지 않는다. 이 대응은 덧셈에 한해 유효하다.

\[3x \times 2x = 6x^2\]

사과와 사과의 곱에서는 문자가 \(x^2\) 으로 바뀐다. 세는 대상의 대응이 성립하지 않는 지점이다. 따라서 이 대응의 적용 범위는 여기까지이며, 합쳐지는 근거는 따로 제시한다.

동류항이 합쳐지는 근거는 분배법칙이다.

\[3x + 2x = (3+2)x = 5x\]

두 항이 합쳐지는 이유는 대상이 같은 종류여서가 아니라 \(x\) 가 공통으로 있어 묶어낼 수 있기 때문이다. 제1부에서 사용한 규칙과 같다. \(3 \times 7 + 2 \times 7 = 5 \times 7\) 에서 \(7\) 자리에 \(x\) 가 온 것이다. 반대로 \(3x+2\) 에는 묶어낼 공통 \(x\) 가 없다. \(2\) 에는 \(x\) 가 포함되어 있지 않기 때문이다. 그러므로 정리는 여기서 끝난다.

최종 판정 기준은 수를 대입하는 것이다.

\[x=10: \quad 3x+2 = 32 \qquad 5x = 50\]

\(32\) 와 \(50\) 은 다르다. 따라서 \(3x+2=5x\) 는 성립하지 않는다. 규칙을 암기한 결과가 아니라 수를 대입해 직접 확인한 결과이다. 다만 주의할 점이 하나 있다.

\[x=1: \quad 3x+2 = 5 \qquad 5x = 5\]

\(x=1\) 을 대입하면 두 값이 모두 \(5\) 로 같다. 그러므로 수는 하나만 대입해서는 안 되며, 두 개 이상 대입한다. 한 값에서는 우연히 일치할 수 있으나, 두 값에서 연달아 일치하기는 어렵다. 이 장의 도구는 다음과 같이 정리된다. 판단이 서지 않으면 수를 대입한다. 값은 두 개 이상으로 한다.

정리 예제 두 개로 이 절을 마친다.

\(5a+2b-3a+4b\) 를 정리하라. 먼저 같은 문자끼리 모아 쓴다. 이때 부호를 항에 붙인 채로 통째로 옮긴다. \(-3a\) 는 \(a\) 가 아니라 \(-3a\) 전체가 한 덩어리이다.

\[5a - 3a + 2b + 4b = 2a + 6b\]

\(2(3x-1)-(x+5)\) 를 정리하라. 괄호 앞의 \(2\) 가 안쪽 두 항 모두에 곱해진다.

두 항 모두에 곱해지는 이유는 \(2\) 배가 두 번 더한 것과 같기 때문이다. 두 번 더하면 안쪽 식이 통째로 두 벌 생긴다.

\[2(3x-1) = (3x-1)+(3x-1) = 3x+3x-1-1 = 6x-2\]

\(3x\) 도 두 개가 되고 \(-1\) 도 두 개가 된다. 앞의 항만 두 배 되는 일은 일어나지 않는다.

다음이 빈번한 오류 지점이다. 괄호 앞에 마이너스 부호만 있는 경우는 \(-1\) 이 곱해진 것이다. 규칙 3에서 \(-1\) 은 부호만 남기고 쓰지 않는다고 했으므로, 여기서는 생략된 \(-1\) 을 되살려 쓴다. 그러면 앞의 \(2\) 와 동일한 일이 일어난다. 두 항에 각각 곱해진다.

\[-(x+5) = (-1)(x+5) = (-1)\cdot x + (-1)\cdot 5 = -x-5\]

안쪽 부호가 전부 바뀐다. 결과는 \(-x+5\) 가 아니라 \(-x-5\) 이다. \(x=1\) 로 확인한다.

\[-(1+5) = -6 \qquad -1-5 = -6 \qquad -1+5 = 4\]

앞의 두 값은 같고 마지막 값은 다르다. 뒤 항까지 마이너스를 곱하지 않으면 \(4\) 라는 잘못된 값이 나온다.

\[6x-2-x-5 = 5x-7\]

\(x=1\) 로 검산한다. 원식은 \(2(3-1)-(1+5) = 4-6 = -2\) 이고, 정리식은 \(5-7 = -2\) 이다. 두 값이 일치한다.

빈번한 오류#

\(2x\) 를 \(2+x\) 로 읽는다

생략된 곱셈 기호를 복원할 때 가장 익숙한 연산인 덧셈이 기본값으로 채워지는 데서 발생한다. \(2\) 와 \(x\) 사이에 아무 기호도 없는 표기를 접한 경험이 적을수록 기본값이 덧셈으로 채워진다. 또한 \(2\tfrac{1}{2}\) 와 같은 대분수 표기는 실제로 덧셈의 생략이므로, 두 표기 관행이 서로 충돌한다. 대응 방법은 하나이다. 소리 내어 읽기. \(2x\) 는 “이엑스”가 아니라 “\(2\) 곱하기 \(x\)”이다. 눈으로만 읽으면 같은 오류가 반복된다. \(x=5\) 를 대입하면 \(2x = 10\), \(2+x = 7\) 로 값이 다르다.

확인 문제: \(x=4\) 일 때 \(3x\) 와 \(3+x\) 를 각각 구하라. (답: \(12\) 와 \(7\).)

동류항이 아닌 것을 합친다 (\(3x+2=5x\))

원인은 두 가지이다. 첫째, 제1부까지의 계산은 결과가 하나의 수로 끝났다. \(3+2\) 는 \(5\) 로 끝났고 “\(3+2\)”로 남지 않았다. 그래서 결과가 두 항으로 남는 형태를 정리가 끝나지 않은 것으로 판단하게 된다. 둘째, “간단히 하라”는 지시가 추가 조작을 요구하는 것으로 해석된다. 그러나 \(3x+2x = (3+2)x = 5x\) 처럼 묶어낼 공통 \(x\) 가 있어야 합쳐진다. \(3x+2\) 에는 묶을 것이 없으므로 그대로가 답이다. \(x=10\) 을 대입하면 \(32 \ne 50\) 으로 확인된다(단 \(x=1\) 에서는 우연히 같아지므로 수는 두 개 대입한다). 같은 유형의 오류는 이후 \((a+b)^2 = a^2+b^2\) 의 형태로 다시 나타난다. 서로 다른 것을 같은 것으로 묶는다는 점에서 원인이 같다.

확인 문제: \(4x+3\) 을 더 간단히 할 수 있는가? \(2y+5y\) 는 정리하라. (답: 앞은 할 수 없다, 뒤는 \(7y\).)

음수를 대입할 때 부호를 잘못 처리한다

\(x=-3\) 일 때 \(x^2\) 을 \(-9\) 로 쓴다. 대입할 때 괄호를 치지 않아 \(-3^2\) 이 되고, 연산 순서상 이것은 \(-(3^2) = -9\) 이다. 음수 개념의 문제가 아니라 표기에서 발생하는 오류인 경우가 많다. 규칙은 하나이다. 대입할 때는 항상 괄호를 먼저 친다. 문자를 지우고 그 자리에 빈 괄호를 먼저 그린 뒤 수를 넣는다. 세 식을 나란히 두면 차이가 분명하다.

\[(-3)^2 = 9 \qquad -3^2 = -9 \qquad -(-3)^2 = -9\]

음수 계산 자체에서 오류가 반복되면 표기가 아니라 개념의 문제이므로, 제1부의 음수 부분을 다시 확인한다.

확인 문제: \(x=-2\) 일 때 \(x^2\), \(-x^2\), \((-x)^2\) 을 각각 구하라. (답: \(4\), \(-4\), \(4\).)

연습문제#

이 장에서 확보한 도구는 하나이다. 판단이 서지 않으면 수를 대입해 스스로 확인한다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A 다음을 식으로 나타내라. (1) 어떤 수 \(x\) 의 4배 (2) 어떤 수 \(x\) 의 3배에 4를 더한 수 (3) 어떤 수 \(x\) 에서 7을 뺀 것의 2배
A 곱셈·나눗셈 기호를 생략해 간단히 써라. (1) \(3 \times x\) (2) \(x \times y \times 2\) (3) \(1 \times x\) (4) \(x \times x\) (5) \(a \times (-1)\)
A \(x=5\) 일 때 다음 값을 구하라. (1) \(2x\) (2) \(2+x\) (3) \(x^2\) (4) \(2x-3\)
A 동류항끼리 정리하라. (1) \(3x+5x\) (2) \(7a-2a\) (3) \(4x+3-x+2\)
A 다음 중 동류항끼리 합쳐서 더 간단히 할 수 없는 것을 모두 고르라. (1) \(2x+3x\) (2) \(2x+3\) (3) \(5y-y\) (4) \(4a+4b\) (5) \(x^2+x\)
B \(x=-3\) 일 때 다음 값을 구하라. (1) \(x^2\) (2) \(-x^2\) (3) \((-x)^2\) (4) \(2x^2-5x\)
B \(x=2\), \(y=1\) 일 때 다음 값을 구하라. (1) \(3x+2y\) (2) \(x^2-y^2\) (3) \(\dfrac{4x}{y+1}\)
B 정리하라. (1) \(5a+2b-3a+4b\) (2) \(3(x+2)+4x\) (3) \(2(3x-1)-(x+5)\)
B 한 권에 \(x\) 원인 공책 3권과 한 자루에 800원인 볼펜 2자루를 샀다. (1) 지불한 금액을 식으로 나타내라. (2) \(x=1500\) 일 때 지불한 금액은?
B 통장에 이미 100만원이 있고, 매달 30만원씩 넣는다. (금액은 만원 단위로 쓴다) (1) \(x\) 개월 뒤 잔액을 식으로 나타내라. (2) \(x=12\) 일 때 잔액은? (3) 잔액이 1000만원이 되는 것은 몇 개월 뒤인가? — 표를 만들어 찾아라. (식을 푸는 방법은 다음 장에서 배운다)
B 가로가 \(x\), 세로가 \(x+3\) 인 직사각형이 있다. (1) 둘레를 식으로 나타내고 정리하라. (2) \(x=5\) 일 때 둘레를 구하라. (3) 넓이를 식으로 나타내라.
C 어떤 학생이 \(3x+2=5x\) 라고 썼다. 수를 넣어서 이게 틀렸음을 보이고, 왜 틀렸는지 한 문장으로 설명하라. (주의: 넣은 수 하나로 판단하지 말 것)
C 다음 두 식이 같은지 판단하라. 다르면 \(x\) 에 수를 넣어 다르다는 것을 보여라. (1) \(2(x+3)\) 과 \(2x+6\) (2) \(2(x+3)\) 과 \(2x+3\) (3) \(-(x-4)\) 와 \(-x+4\)

정답과 해설

(1) \(4x\) (2) \(3x+4\) (3) \(2(x-7)\) — (3)에서 괄호를 생략해 \(2x-7\) 로 쓰면 옳지 않다. “것의 2배”는 통째로 2배이다.
(1) \(3x\) (2) \(2xy\) (3) \(x\) (4) \(x^2\) (5) \(-a\)
(1) \(10\) (2) \(7\) (3) \(25\) (4) \(7\) — 빈번한 오류: (2)를 \(10\) 으로 쓴다. 이 장의 대표적 오류이다.
(1) \(8x\) (2) \(5a\) (3) \(3x+5\)
(2), (4), (5) — (1)은 \(5x\), (3)은 \(4y\) 로 정리된다. (4) \(4a+4b\) 는 \(4(a+b)\) 로 묶을 수는 있지만 동류항끼리 합쳐지는 것은 아니다(항이 두 개인 채로 남는다). 묶는 것은 인수분해에서 정식으로 다룬다.
(1) \(9\) (2) \(-9\) (3) \(9\) (4) \(33\) — (4)는 \(2(-3)^2-5(-3) = 2 \times 9 + 15 = 18+15 = 33\). 빈번한 오류: \((-3)^2\) 을 \(-9\) 로 쓰거나, \(-5 \times (-3)\) 을 \(-15\) 로 쓴다. 대입할 때 괄호를 치지 않아 발생한다.
(1) \(8\) (2) \(3\) (3) \(4\) — (3)은 \(\dfrac{4 \times 2}{1+1} = \dfrac{8}{2} = 4\). 분모를 먼저 계산한다.
(1) \(2a+6b\) (2) \(7x+6\) (3) \(5x-7\) — (3)은 \(6x-2-x-5\). 빈번한 오류: \(6x-2-x+5 = 5x+3\). 괄호 앞 마이너스가 뒤 항까지 곱해지지 않은 것이다.
(1) \(3x+1600\) (2) \(6100\)원 — \(3 \times 1500 + 1600 = 4500+1600\)
(1) \(30x+100\) (만원) (2) \(460\)만원 (3) 30개월 — 표: \(x=10\) 이면 400, \(x=20\) 이면 700, \(x=30\) 이면 1000. 빈번한 오류: \(30x\) 라고만 쓰고 원래 있던 100만원을 누락한다. 도입의 봉투 문제에서 \(3\) 개라고 답하는 것과 같은 오류이다.
(1) \(2(x+(x+3)) = 2(2x+3) = 4x+6\) (2) \(26\) (3) \(x(x+3) = x^2+3x\) — (2) 검산: 가로 5, 세로 8이므로 둘레 \(2(5+8)=26\). 식으로도 \(4(5)+6=26\). 두 방법이 같은 답을 준다.
예시 답안: “\(x=2\) 를 넣으면 \(3(2)+2=8\) 이고 \(5(2)=10\) 이다. 8과 10이 다르므로 두 식은 같지 않다. \(3x\) 와 \(2\) 는 동류항이 아니라서 합칠 수 없다.” — 주의: \(x=1\) 을 넣으면 양쪽 다 \(5\) 가 되어 “같다”는 결론이 나온다. 수 하나로는 판정할 수 없다. 그러므로 수는 두 개 이상 넣는다.
(1) 같다 (분배법칙). (2) 다르다 — \(x=1\) 을 넣으면 \(2(4)=8\) 과 \(2+3=5\). 괄호 앞의 2가 3에도 곱해져야 한다. (3) 같다 — \(-(x-4) = -x+4\). \(x=1\) 로 확인하면 양쪽 다 \(3\).

추가 연습문제#

모든 식은 소리 내어 읽으면서 직접 쓴다. “\(2x\)”는 “\(2\) 곱하기 \(x\)”이다.

문자와 표기

곱셈 기호를 생략하라. (1) \(5 \times a\) (2) \(x \times 3\) (3) \(a \times b \times c\) (4) \(2 \times x \times y\)
곱셈 기호를 생략하라. (1) \(x \times x \times x\) (2) \((-1) \times y\) (3) \(1 \times a\) (4) \(0.1 \times x\)
나눗셈 기호를 분수로 고쳐라. (1) \(x \div 5\) (2) \(3 \div x\) (3) \((a+b) \div 2\)
다음을 식으로 나타내라. (1) 어떤 수 \(x\) 의 5배 (2) 어떤 수 \(x\) 보다 6 큰 수 (3) 어떤 수 \(x\) 보다 6 작은 수
다음을 식으로 나타내라. (1) \(x\) 의 3배에 4를 더한 수 (2) \(x\) 에 4를 더한 뒤 3배 한 수
\(2x\) 와 \(2+x\) 는 다른 식이다. 아래 표를 채워라.

\(x\)	\(2x\)	\(2+x\)
1
2
3
10

한 개에 \(a\) 원인 빵 5개와 한 개에 \(b\) 원인 우유 2개를 샀다. 지불한 금액을 식으로 나타내라.

대입 (모든 문항에서 괄호를 먼저 치고 수를 넣는다)

\(x=4\) 일 때. (1) \(3x\) (2) \(x+9\) (3) \(x^2\) (4) \(\dfrac{x}{2}\)
\(x=-3\) 일 때. (1) \(2x\) (2) \(x+5\) (3) \(-x\) (4) \(x^2\)
\(x=-2\) 일 때. (1) \(x^2\) (2) \(-x^2\) (3) \((-x)^2\) (4) \(x^3\)
\(x=5\) 일 때. (1) \(2x-3\) (2) \(3(x-1)\) (3) \(\dfrac{x+1}{3}\) (4) \(x^2-4x\)
\(a=2\), \(b=-1\) 일 때. (1) \(a+b\) (2) \(ab\) (3) \(a-2b\) (4) \(a^2+b^2\)
\(x=2\), \(y=1\) 일 때 \(3x+2y\) 의 값
\(x=3\), \(y=-2\) 일 때. (1) \(2x+3y\) (2) \(xy\) (3) \(x^2-y\) (4) \(\dfrac{x-y}{5}\)

동류항 정리

정리하라. (1) \(4x+3x\) (2) \(9a-4a\) (3) \(x+x\) (4) \(6y-y\)
정리하라. (1) \(3x+2y+5x\) (2) \(7a-3b-2a+b\) (3) \(5m+2-3m+4\)
괄호를 풀어라. (1) \(2(x+3)\) (2) \(3(2a-1)\) (3) \(-(x-5)\) (4) \(-2(3y+4)\)
괄호를 풀고 정리하라. (1) \(2(x+1)+3x\) (2) \(4(a-2)-2a\) (3) \(3(x+2)-2(x-1)\)
다음 중 동류항끼리 합쳐서 더 간단히 할 수 없는 것을 모두 고르라. (1) \(2a+3a\) (2) \(2a+3b\) (3) \(x^2+x^2\) (4) \(x^2+x\) (5) \(4y-4y\)
각 식을 정리하고, 정리 전 식과 정리 후 식에 각각 \(x=2\) 를 넣어 값이 같은지 확인하라. (1) \(5x-2x\) (2) \(3(x+1)-x\)

식 세우기와 문장제

다음을 식으로 나타내라. (1) 어떤 수의 3배에 4를 더한 수 (2) 어떤 수에서 4를 뺀 것의 3배
시속 60km로 \(x\) 시간 달린 거리를 식으로 나타내라. 또 \(x=2.5\) 일 때 거리를 구하라.
정가가 \(x\) 원인 물건을 20% 할인해서 샀다. (1) 지불한 금액을 식으로 나타내라. (2) \(x=25000\) 일 때 지불한 금액은?
현재 나이가 \(x\) 살인 사람의 (1) 7년 뒤 나이 (2) 5년 전 나이를 각각 식으로 나타내라.
“어떤 수의 5배에서 3을 뺀 수는, 그 수의 3배에 7을 더한 수와 같다”를 등식으로 나타내라. (푸는 것은 다음 장에서 한다. 여기서는 식만 세운다.)

정답과 해설

(1) \(5a\) (2) \(3x\) (3) \(abc\) (4) \(2xy\)
(1) \(x^3\) (2) \(-y\) (3) \(a\) (4) \(0.1x\)
(1) \(\dfrac{x}{5}\) (2) \(\dfrac{3}{x}\) (3) \(\dfrac{a+b}{2}\) — (3)에서 괄호를 놓쳐 \(a+\dfrac{b}{2}\) 로 쓰면 옳지 않다.
(1) \(5x\) (2) \(x+6\) (3) \(x-6\)
(1) \(3x+4\) (2) \(3(x+4)\) — 한국어 어순이 곧 괄호 위치이다. “더한 뒤 3배”는 더한 것 전체를 3배 한다.

\(x\)	\(2x\)	\(2+x\)
1	2	3
2	4	4
3	6	5
10	20	12

확인 사항: \(x=2\) 일 때만 두 값이 우연히 같다. 따라서 수 하나로 두 식이 같은지 판단할 수 없다. 두 개 이상 대입한다. 7. \(5a+2b\) 8. (1) \(12\) (2) \(13\) (3) \(16\) (4) \(2\) 9. (1) \(-6\) (2) \(2\) (3) \(3\) (4) \(9\) 10. (1) \(4\) (2) \(-4\) (3) \(4\) (4) \(-8\) — 빈번한 오류: (1)을 \(-4\) 로 쓴다. 괄호를 치지 않아 \(-2^2\) 이 된 것이다. 11. (1) \(7\) (2) \(12\) (3) \(2\) (4) \(5\) 12. (1) \(1\) (2) \(-2\) (3) \(4\) (4) \(5\) — (3)은 \(2-2(-1) = 2+2 = 4\). 13. \(8\) 14. (1) \(0\) (2) \(-6\) (3) \(11\) (4) \(1\) — (3)은 \(9-(-2) = 11\). 15. (1) \(7x\) (2) \(5a\) (3) \(2x\) (4) \(5y\) — (3)을 \(x^2\) 으로 쓰면 덧셈과 곱셈을 혼동한 것이다. (4)를 \(6\) 으로 쓰면 \(y\) 가 누락된 것이다. 16. (1) \(8x+2y\) (2) \(5a-2b\) (3) \(2m+6\) 17. (1) \(2x+6\) (2) \(6a-3\) (3) \(-x+5\) (4) \(-6y-8\) — (3)에서 오류가 잦다. 마이너스는 두 항 모두에 곱해진다. 18. (1) \(5x+2\) (2) \(2a-8\) (3) \(x+8\) — (3)은 \(3x+6-2x+2\). 19. (2), (4) — (1)은 \(5a\), (3)은 \(2x^2\), (5)는 \(0\) 으로 정리된다. (5)를 고르는 오류가 잦다. \(4y-4y\) 는 동류항이므로 합쳐지고, 결과가 \(0\) 이다. 결과가 0인 것과 합칠 수 없는 것은 다르다. 20. (1) \(3x\). \(x=2\): 원식 \(10-4=6\), 정리식 \(6\). 일치. (2) \(2x+3\). \(x=2\): 원식 \(3(3)-2=7\), 정리식 \(4+3=7\). 일치. — 이 확인 절차는 이후에도 계속 사용한다. 정리 결과의 정확성을 스스로 판정하는 방법이다. 21. (1) \(3x+4\) (2) \(3(x-4)\) — 두 번째 식은 다음 장에서 다시 사용한다. 22. \(60x\) (km). \(x=2.5\) 일 때 \(150\) km. 23. (1) \(0.8x\) (또는 \(x-0.2x\)) (2) \(20000\)원 — 빈번한 오류: \(0.2x\) 로 쓴다. 그것은 할인액이며 지불액이 아니다. 20% 할인이면 정가의 80%를 지불한다. (백분율은 제1부에서 다룬 내용이다. 이 문항에서 막히면 해당 부분을 다시 확인한다.) 24. (1) \(x+7\) (2) \(x-5\) 25. \(5x-3 = 3x+7\) — 등호를 빠뜨리고 좌변만 쓰면 옳지 않다. “\(\sim\) 와 같다”가 등호에 해당한다. (참고: 다음 장에서 풀면 \(x=5\) 이다. 양변에 대입하면 둘 다 22가 된다.)

요약과 다음 장#

이 장의 요지는 문자가 아직 모르는 수의 이름, 곧 빈칸이라는 것이다. 여기에 세 가지를 더했다. 곱셈 기호는 지우되 곱셈 자체는 그대로라는 것(\(2x \ne 2+x\)), 한국어 문장은 끊어 읽어 식으로 옮긴다는 것, 그리고 문자 자리에는 수가 들어가므로 판단이 서지 않으면 수를 대입해 스스로 판정한다는 것이다.

특히 \(x=1\) 에서 \(3x+2\) 와 \(5x\) 의 값이 우연히 일치한 사례, 그리고 그로부터 수를 두 개 이상 대입해야 한다는 원칙은 이후에도 계속 사용하는 도구이다. 제10장에서는 이 장에서 세우기만 하고 풀지 않은 \(30x+100=1000\) 을 천칭 모형으로 다시 다룬다. 양변에 같은 연산을 적용하면 이 식은 몇 줄 안에 풀린다.