# 제9장 · 변수와 식 — 문자의 등장

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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| **원본 코드** | R2-W01 |
| **선행 내용** | 제1부 · 산술 재건 (특히 음수·분수) |
| **요지** | 문자는 새로운 수학이 아니라 **빈칸**이다. $2x$ 는 $2+x$ 가 아니라 $x$ 가 두 개라는 뜻이다. |
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## 도입

다음 상황을 생각한다. 통장에 이미 $100$ 만원이 있고, 매달 $30$ 만원씩 저축한다. 잔액이 $1000$ 만원이 되기까지 걸리는 개월 수를 구한다.

답은 $30$ 개월이다. 이때 수행한 계산은 다음과 같다. 이미 있는 $100$ 만원을 먼저 빼고, 남은 $900$ 만원을 $30$ 으로 나눈다. 식으로 쓰면 $(1000-100) \div 30$ 이다. 나눗셈을 사용한 이유는 **구하려는 값이 개월 수**이기 때문이다. 이 '모르는 개월 수'에 이름을 붙인다.

```{image} /_static/figs/ch09_box_to_x.svg
:alt: 빈칸을 상자로, 상자에 이름을 붙이면 x가 된다
:width: 600px
:align: center
:class: chfig
```

위에서 아래로 같은 자리에 세 번 쓴 것이다. 빈칸에 테두리를 치면 상자가 되고, 상자에 이름을 붙이면 그 이름이 $x$ 이다. 정식 표기로 옮기면 다음과 같다.

$$30 \times x + 100 = 1000$$

$$30x + 100 = 1000$$

$x$ 는 새로운 수학이 아니라 **빈칸이다.** 앞의 계산은 이 빈칸을 암산으로 채운 것이다. 문자는 그 암산 과정을 **종이 위에 표기하는** 도구이다.

$x$ 를 처음 배울 때 표기의 의미보다 "구하라"는 지시가 먼저 주어지면, 문자가 무엇을 가리키는지 정해지지 않은 채로 계산을 시작하게 된다. 이 장에서는 $x$ 의 값을 구하지 않는다. **$x$ 가 무엇인지**를 정하는 데까지 다룬다.

봉투 하나에 동전이 여러 개 들어 있고, 그 개수는 알려져 있지 않다. 여기에 동전 $3$ 개를 더 넣으면 봉투 안의 개수는 정확히 특정되지 않는다. 그러나 **"원래 있던 개수에 $3$ 을 더한 값"** 이라는 사실은 확정된다. 이를 짧게 쓴 것이 $x+3$ 이다. 값을 모르는 상태로도 계산이 진행되는 것이 대수(代數)이다. 여기서 빈번한 오류는 답을 $3$ 개라고 하는 것이다. 원래 있던 개수를 누락한 결과이다. **원래 있던 값을 식에 남겨 두기 위해** 이름을 붙인다.

이 장의 요지는 다음과 같다. **문자는 아직 모르는 수의 이름이다.**

$30x+100=1000$ 에서 $x$ 를 정식으로 구하는 절차는 [제10장](ch10.md)에서 다룬다. 이 장의 범위는 식을 세우는 데까지이다. 여기서 세운 식이 다음 장의 재료가 된다.

## 문자는 수를 대신하는 이름이다

**문자는 수를 대신하는 이름이다. 그래서 문자로 쓴 식은 수로 쓴 식과 똑같은 규칙을 따른다.** 이 문장이 나머지 내용 전부의 근거가 된다.

같은 문자라도 역할은 두 가지로 구분된다. 두 역할을 처음부터 나누어 익히면 이후 서술에서 혼동이 줄어든다.

$$30x + 100 = 1000 \qquad \text{“} x \text{는 딱 하나로 정해져 있다. 아직 모를 뿐이다.”}$$

이것을 **미지수**라고 한다. 저축 개월 수는 하나의 값으로 정해져 있으며, 그 값이 아직 알려지지 않았을 뿐이다.

$$\text{시속 } 60 \text{km로 } x \text{시간 달린 거리} = 60x \qquad \text{“} x \text{는 아무거나 될 수 있다.”}$$

이 경우는 다르다. $1$ 시간 달리면 $60$ km, $2$ 시간이면 $120$ km, $2$ 시간 반이면 $150$ km로 $x$ 가 **변한다.** 이것을 **변수**라고 한다. 두 경우에 공통되는 사실은 다음과 같다. **문자 자리에는 수가 들어가며, 어떤 수가 들어가는지는 상황이 정한다.**

## 곱셈 기호를 지운다 — 식을 쓰는 규칙

식을 쓰는 표기 규칙을 하나씩 예와 함께 정리한다.

**규칙 1. 곱셈 기호는 지운다.**

$$3 \times x = 3x \qquad a \times b = ab \qquad 2 \times x \times y = 2xy$$

곱셈 기호를 지우는 이유는 문자 $x$ 와 곱셈 기호 $\times$ 의 모양이 비슷해 혼동이 생기기 때문이다. **없앤 것은 곱셈 기호뿐이며, 곱셈 연산 자체는 그대로 남는다.**

다음 두 관계가 이 규칙의 핵심이다.

$$2x = 2 \times x \qquad 2x \ne 2 + x$$

$2x$ 는 "이엑스"가 아니라 **"$2$ 곱하기 $x$"** 라고 읽는다. 소리 내어 읽으면 곱셈이라는 사실이 표기와 함께 고정된다. 수를 대입하면 차이가 드러난다. $x=5$ 일 때

$$2x = 2 \times 5 = 10 \qquad 2+x = 2+5 = 7$$

$10$ 과 $7$ 은 서로 다른 수이다.

**규칙 2. 수를 앞에, 문자를 뒤에.**

$$x \times 3 = 3x \quad (\text{“} x3 \text{”이라고 쓰지 않는다})$$

**규칙 3. $1$ 은 안 쓰고, $-1$ 은 부호만 남긴다.**

$$1 \times x = x \qquad (-1) \times a = -a$$

**규칙 4. 같은 문자의 곱은 거듭제곱으로.**

$$x \times x = x^2 \qquad x \times x \times x = x^3$$

**규칙 5. 나눗셈은 분수로 쓴다.**

$$x \div 5 = \frac{x}{5} \qquad (a+b) \div 2 = \frac{a+b}{2}$$

오른쪽 식에서는 괄호가 사라졌다. $\div$ 뒤에 항이 두 개 이상 오면 그것을 **통째로** 나누는 것이므로 괄호가 필요하다. 그런데 분수로 옮겨 쓰면 **분수선이 그 괄호의 역할을 대신한다.** 분수선 위에 올라간 식은 이미 하나의 덩어리로 묶여 있으므로, 괄호를 생략해도 뜻이 바뀌지 않는다. 괄호를 없앤 것이 아니라 묶는 방식을 바꾼 것이다.

수로 확인한다.

$$(6+4) \div 2 = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \qquad 6 + \frac{4}{2} = 6+2 = 8$$

$5$ 와 $8$ 이다. 괄호를 잃으면 값이 달라진다. 제1부 제7장에서 "루트 기호는 그 자체가 괄호다"라고 한 것과 **같은 구조**이다. 일부 기호는 괄호를 따로 쓰지 않아도 안에 든 것을 통째로 묶으며, 분수선이 그중 하나이다. 이 사실은 [제10장](ch10.md)에서 분수 방정식의 양변에 수를 곱할 때 다시 사용된다.

## 한국어를 식으로 옮긴다

이 절은 이 장의 핵심 목표를 다룬다. 문장을 식으로 옮기는 작업은 **끊어 읽기**에서 시작한다.

**"어떤 수의 3배에 4를 더한 수"** 를 식으로 옮긴다. "어떤 수"에는 이름이 없으므로 이름을 붙인다. $x$ 이다. "의 3배"는 $3x$ 이고, "에 4를 더한"은 $+4$ 이다.

$$3x + 4$$

다음은 비슷해 보이지만 다른 문장이다. **"어떤 수에서 4를 뺀 것의 3배."** "어떤 수에서 4를 뺀 것"은 $x-4$ 이다. "**것의** 3배"에서는 이 '것'이 통째로 $3$ 배 된다. 통째로 묶으려면 괄호가 필요하다.

$$3(x-4)$$

두 식에 $x=10$ 을 대입해 비교한다.

$$3x+4 = 34 \qquad 3(x-4) = 18$$

$34$ 와 $18$ 로 값이 다르다. 한국어 한 글자 차이가 서로 다른 식을 만든다. 따라서 **문장을 끝까지 읽은 뒤에 식을 쓴다.** 이것이 이 장에서 익히는 가장 실용적인 기술이다.

## 식에 값을 대입한다

**문자 자리에는 수가 들어간다. 그러므로 판단이 서지 않으면 수를 대입한다. 대입 결과가 최종 판정 기준이다.**

대입은 문자 자리에 수를 놓는 조작이다. $3x+2y$ 에 $x=2$, $y=1$ 을 대입한다. 문자를 지우고 그 자리에 **괄호로 묶은 수**를 넣는다.

$$3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8$$

괄호를 치는 이유는, 괄호가 없으면 $32$ 로 읽히기 때문이다. **대입할 때는 항상 괄호를 먼저 친다.** 예외는 없다. 특히 음수를 대입할 때 이 규칙이 부호 오류를 막는다.

$$x=-3 \text{ 일 때}, \quad x^2 = (-3)^2 = 9$$

$$x=-3 \text{ 일 때}, \quad -x^2 = -(-3)^2 = -9$$

두 번째 식에 주의한다. $-x^2$ 은 "$x$ 를 제곱한 다음 부호를 바꾼다"는 뜻이다. **제곱이 먼저 적용된다.** 연산 순서 규칙 그대로이다.

## 동류항 — 같은 종류의 항

두 용어를 먼저 정의한다. 이 책 전체에서 계속 사용하는 용어이다.

**항**은 식을 $+$ 와 $-$ 로 끊었을 때 생기는 한 덩어리이다. 여기서 중요한 것은 **항이 부호를 포함한다**는 점이다. $5a-3a+2b$ 를 끊으면 항이 셋이고, 가운데 항은 $3a$ 가 아니라 **$-3a$** 이다. 마이너스 부호는 그 항의 일부이다.

| 식 | 항 | 개수 |
|---|---|---|
| $3x+4$ | $3x$, $+4$ | 2 |
| $5a-3a+2b$ | $5a$, $-3a$, $+2b$ | 3 |
| $x^2-x+7$ | $x^2$, $-x$, $+7$ | 3 |

**동류항**은 문자 부분이 **글자도 개수도** 똑같은 항이다. 글자만 같아서는 성립하지 않는다. $3x$ 와 $2x$ 는 둘 다 $x$ 가 한 개이므로 동류항이고, $3x$ 와 $2y$ 는 글자가 달라 동류항이 아니며, $x^2$ 과 $x$ 는 글자는 같지만 $x$ 의 개수가 둘과 하나로 달라 동류항이 아니다. 합쳐지는 것은 오직 동류항끼리이다.

같은 종류의 대상을 세는 상황으로 확인한다. 같은 문자끼리는 합쳐지고, 다른 문자끼리는 합쳐지지 않는다.

$$3x + 2x = 5x$$

사과 $3$ 개와 사과 $2$ 개는 사과 $5$ 개이다. 두 항은 합쳐진다.

$$3x + 2y = 3x+2y$$

사과 $3$ 개와 바나나 $2$ 개는 하나의 이름으로 셀 수 없다. 그러므로 **그대로 둔다.** 정리가 끝나지 않은 것이 아니라 이 형태가 결과이다.

$$3x + 2 = 3x+2$$

사과 $3$ 개와 수 $2$ 는 세는 대상이 다르다. $2$ 는 사과의 개수가 아니므로 두 항은 합쳐지지 않는다. 결과는 **$5x$ 가 아니다.**

합쳐지지 않는 경우가 하나 더 있다. 이 경우가 셋 중 가장 식별하기 어렵다.

$$x^2 + x = x^2+x$$

두 항 모두 글자가 $x$ 이므로 합쳐질 것처럼 보인다. 그러나 풀어 쓰면 $x^2$ 은 $x \cdot x$ 이고 뒤의 항은 $x$ 하나이다. **글자는 같은데 개수가 다르다.** 사과에 대응시키면 사과 한 상자와 사과 한 알이며, 둘 다 사과이지만 하나의 단위로 셀 수 없다. 그러므로 **그대로 둔다.** 수를 대입해 확인한다. $x=3$ 이면

$$x^2+x = 9+3 = 12 \qquad 2x = 6 \qquad x^3 = 27$$

$12$, $6$, $27$ 로 세 값이 모두 다르다. 따라서 $x^2+x$ 를 $2x$ 로 쓰는 것도 $x^3$ 으로 쓰는 것도 옳지 않다. 동류항의 조건은 **글자도 개수도 같을 것**이며, 이 경우는 개수 조건을 만족하지 않는다.

이 대응은 덧셈에서만 성립한다. 적용 범위를 여기서 확인한다.

$$3x \times 2 = 6x$$

사과 $3$ 개를 $2$ 배 하면 사과 $6$ 개이므로 이 계산은 **성립한다.** $3x+2$ 는 정리되지 않는데 $3x \times 2$ 는 정리되는 이유는 다음과 같다. **곱셈은 개수를 늘리는 연산이므로 세는 대상의 이름이 바뀌지 않는다.** 사과를 $2$ 배 해도 대상은 여전히 사과이다. 반면 덧셈은 서로 다른 이름을 하나로 세는 것을 요구하며, 이는 성립하지 않는다. 이 대응은 **덧셈에 한해** 유효하다.

$$3x \times 2x = 6x^2$$

사과와 사과의 곱에서는 문자가 $x^2$ 으로 바뀐다. 세는 대상의 대응이 성립하지 않는 지점이다. 따라서 이 대응의 적용 범위는 여기까지이며, 합쳐지는 근거는 따로 제시한다.

**동류항이 합쳐지는 근거는 분배법칙이다.**

$$3x + 2x = (3+2)x = 5x$$

두 항이 합쳐지는 이유는 대상이 같은 종류여서가 아니라 **$x$ 가 공통으로 있어 묶어낼 수 있기** 때문이다. 제1부에서 사용한 규칙과 같다. $3 \times 7 + 2 \times 7 = 5 \times 7$ 에서 $7$ 자리에 $x$ 가 온 것이다. 반대로 $3x+2$ 에는 묶어낼 공통 $x$ 가 없다. $2$ 에는 $x$ 가 포함되어 있지 않기 때문이다. 그러므로 정리는 **여기서 끝난다.**

**최종 판정 기준은 수를 대입하는 것이다.**

$$x=10: \quad 3x+2 = 32 \qquad 5x = 50$$

$32$ 와 $50$ 은 다르다. 따라서 $3x+2=5x$ 는 성립하지 않는다. 규칙을 암기한 결과가 아니라 수를 대입해 직접 확인한 결과이다. 다만 주의할 점이 하나 있다.

$$x=1: \quad 3x+2 = 5 \qquad 5x = 5$$

$x=1$ 을 대입하면 두 값이 모두 $5$ 로 같다. 그러므로 **수는 하나만 대입해서는 안 되며, 두 개 이상 대입한다.** 한 값에서는 우연히 일치할 수 있으나, 두 값에서 연달아 일치하기는 어렵다. 이 장의 도구는 다음과 같이 정리된다. **판단이 서지 않으면 수를 대입한다. 값은 두 개 이상으로 한다.**

정리 예제 두 개로 이 절을 마친다.

**$5a+2b-3a+4b$ 를 정리하라.** 먼저 같은 문자끼리 모아 쓴다. 이때 **부호를 항에 붙인 채로** 통째로 옮긴다. $-3a$ 는 $a$ 가 아니라 $-3a$ 전체가 한 덩어리이다.

$$5a - 3a + 2b + 4b = 2a + 6b$$

**$2(3x-1)-(x+5)$ 를 정리하라.** 괄호 앞의 $2$ 가 안쪽 **두 항 모두**에 곱해진다.

두 항 모두에 곱해지는 이유는 $2$ 배가 **두 번 더한 것**과 같기 때문이다. 두 번 더하면 안쪽 식이 통째로 두 벌 생긴다.

$$2(3x-1) = (3x-1)+(3x-1) = 3x+3x-1-1 = 6x-2$$

$3x$ 도 두 개가 되고 $-1$ 도 두 개가 된다. 앞의 항만 두 배 되는 일은 일어나지 않는다.

다음이 빈번한 오류 지점이다. 괄호 앞에 마이너스 부호만 있는 경우는 $-1$ 이 곱해진 것이다. 규칙 3에서 $-1$ 은 부호만 남기고 쓰지 않는다고 했으므로, 여기서는 생략된 $-1$ 을 **되살려** 쓴다. 그러면 앞의 $2$ 와 동일한 일이 일어난다. 두 항에 각각 곱해진다.

$$-(x+5) = (-1)(x+5) = (-1)\cdot x + (-1)\cdot 5 = -x-5$$

**안쪽 부호가 전부 바뀐다.** 결과는 $-x+5$ 가 아니라 $-x-5$ 이다. $x=1$ 로 확인한다.

$$-(1+5) = -6 \qquad -1-5 = -6 \qquad -1+5 = 4$$

앞의 두 값은 같고 마지막 값은 다르다. 뒤 항까지 마이너스를 곱하지 않으면 $4$ 라는 잘못된 값이 나온다.

$$6x-2-x-5 = 5x-7$$

$x=1$ 로 검산한다. 원식은 $2(3-1)-(1+5) = 4-6 = -2$ 이고, 정리식은 $5-7 = -2$ 이다. 두 값이 일치한다.

## 빈번한 오류

:::{admonition} $2x$ 를 $2+x$ 로 읽는다
:class: warning
생략된 곱셈 기호를 복원할 때 가장 익숙한 연산인 **덧셈**이 기본값으로 채워지는 데서 발생한다. $2$ 와 $x$ 사이에 아무 기호도 없는 표기를 접한 경험이 적을수록 기본값이 덧셈으로 채워진다. 또한 $2\tfrac{1}{2}$ 와 같은 대분수 표기는 실제로 **덧셈**의 생략이므로, 두 표기 관행이 서로 충돌한다. 대응 방법은 하나이다. **소리 내어 읽기.** $2x$ 는 "이엑스"가 아니라 "$2$ 곱하기 $x$"이다. 눈으로만 읽으면 같은 오류가 반복된다. $x=5$ 를 대입하면 $2x = 10$, $2+x = 7$ 로 값이 다르다.

*확인 문제*: $x=4$ 일 때 $3x$ 와 $3+x$ 를 각각 구하라. (답: $12$ 와 $7$.)
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:::{admonition} 동류항이 아닌 것을 합친다 ($3x+2=5x$)
:class: warning
원인은 두 가지이다. 첫째, 제1부까지의 계산은 결과가 **하나의 수로 끝났다.** $3+2$ 는 $5$ 로 끝났고 "$3+2$"로 남지 않았다. 그래서 결과가 두 항으로 남는 형태를 정리가 끝나지 않은 것으로 판단하게 된다. 둘째, "간단히 하라"는 지시가 추가 조작을 요구하는 것으로 해석된다. 그러나 $3x+2x = (3+2)x = 5x$ 처럼 묶어낼 공통 $x$ 가 있어야 합쳐진다. $3x+2$ 에는 묶을 것이 없으므로 **그대로가 답이다.** $x=10$ 을 대입하면 $32 \ne 50$ 으로 확인된다(단 $x=1$ 에서는 우연히 같아지므로 수는 두 개 대입한다). 같은 유형의 오류는 이후 $(a+b)^2 = a^2+b^2$ 의 형태로 다시 나타난다. 서로 다른 것을 같은 것으로 묶는다는 점에서 원인이 같다.

*확인 문제*: $4x+3$ 을 더 간단히 할 수 있는가? $2y+5y$ 는 정리하라. (답: 앞은 할 수 없다, 뒤는 $7y$.)
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:::{admonition} 음수를 대입할 때 부호를 잘못 처리한다
:class: warning
$x=-3$ 일 때 $x^2$ 을 $-9$ 로 쓴다. 대입할 때 **괄호를 치지 않아** $-3^2$ 이 되고, 연산 순서상 이것은 $-(3^2) = -9$ 이다. 음수 개념의 문제가 아니라 표기에서 발생하는 오류인 경우가 많다. 규칙은 하나이다. **대입할 때는 항상 괄호를 먼저 친다.** 문자를 지우고 그 자리에 빈 괄호를 먼저 그린 뒤 수를 넣는다. 세 식을 나란히 두면 차이가 분명하다.

$$(-3)^2 = 9 \qquad -3^2 = -9 \qquad -(-3)^2 = -9$$

음수 계산 자체에서 오류가 반복되면 표기가 아니라 개념의 문제이므로, 제1부의 음수 부분을 다시 확인한다.

*확인 문제*: $x=-2$ 일 때 $x^2$, $-x^2$, $(-x)^2$ 을 각각 구하라. (답: $4$, $-4$, $4$.)
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## 연습문제

이 장에서 확보한 도구는 하나이다. **판단이 서지 않으면 수를 대입해** 스스로 확인한다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` 다음을 식으로 나타내라. (1) 어떤 수 $x$ 의 4배 (2) 어떤 수 $x$ 의 3배에 4를 더한 수 (3) 어떤 수 $x$ 에서 7을 뺀 것의 2배
2. `A` 곱셈·나눗셈 기호를 생략해 간단히 써라. (1) $3 \times x$ (2) $x \times y \times 2$ (3) $1 \times x$ (4) $x \times x$ (5) $a \times (-1)$
3. `A` $x=5$ 일 때 다음 값을 구하라. (1) $2x$ (2) $2+x$ (3) $x^2$ (4) $2x-3$
4. `A` 동류항끼리 정리하라. (1) $3x+5x$ (2) $7a-2a$ (3) $4x+3-x+2$
5. `A` 다음 중 **동류항끼리 합쳐서** 더 간단히 할 수 **없는** 것을 모두 고르라. (1) $2x+3x$ (2) $2x+3$ (3) $5y-y$ (4) $4a+4b$ (5) $x^2+x$
6. `B` $x=-3$ 일 때 다음 값을 구하라. (1) $x^2$ (2) $-x^2$ (3) $(-x)^2$ (4) $2x^2-5x$
7. `B` $x=2$, $y=1$ 일 때 다음 값을 구하라. (1) $3x+2y$ (2) $x^2-y^2$ (3) $\dfrac{4x}{y+1}$
8. `B` 정리하라. (1) $5a+2b-3a+4b$ (2) $3(x+2)+4x$ (3) $2(3x-1)-(x+5)$
9. `B` 한 권에 $x$ 원인 공책 3권과 한 자루에 800원인 볼펜 2자루를 샀다. (1) 지불한 금액을 식으로 나타내라. (2) $x=1500$ 일 때 지불한 금액은?
10. `B` 통장에 이미 100만원이 있고, 매달 30만원씩 넣는다. (금액은 **만원 단위**로 쓴다) (1) $x$ 개월 뒤 잔액을 식으로 나타내라. (2) $x=12$ 일 때 잔액은? (3) 잔액이 1000만원이 되는 것은 몇 개월 뒤인가? — **표를 만들어 찾아라.** (식을 푸는 방법은 다음 장에서 배운다)
11. `B` 가로가 $x$, 세로가 $x+3$ 인 직사각형이 있다. (1) 둘레를 식으로 나타내고 정리하라. (2) $x=5$ 일 때 둘레를 구하라. (3) 넓이를 식으로 나타내라.
12. `C` 어떤 학생이 $3x+2=5x$ 라고 썼다. **수를 넣어서** 이게 틀렸음을 보이고, 왜 틀렸는지 한 문장으로 설명하라. (주의: 넣은 수 하나로 판단하지 말 것)
13. `C` 다음 두 식이 같은지 판단하라. 다르면 $x$ 에 수를 넣어 다르다는 것을 보여라. (1) $2(x+3)$ 과 $2x+6$ (2) $2(x+3)$ 과 $2x+3$ (3) $-(x-4)$ 와 $-x+4$

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $4x$  (2) $3x+4$  (3) $2(x-7)$ — (3)에서 괄호를 생략해 $2x-7$ 로 쓰면 옳지 않다. "것의 2배"는 통째로 2배이다.
2. (1) $3x$  (2) $2xy$  (3) $x$  (4) $x^2$  (5) $-a$
3. (1) $10$  (2) $7$  (3) $25$  (4) $7$ — **빈번한 오류**: (2)를 $10$ 으로 쓴다. 이 장의 대표적 오류이다.
4. (1) $8x$  (2) $5a$  (3) $3x+5$
5. **(2), (4), (5)** — (1)은 $5x$, (3)은 $4y$ 로 정리된다. (4) $4a+4b$ 는 $4(a+b)$ 로 묶을 수는 있지만 **동류항끼리 합쳐지는 것은 아니다**(항이 두 개인 채로 남는다). 묶는 것은 인수분해에서 정식으로 다룬다.
6. (1) $9$  (2) $-9$  (3) $9$  (4) $33$ — (4)는 $2(-3)^2-5(-3) = 2 \times 9 + 15 = 18+15 = 33$. **빈번한 오류**: $(-3)^2$ 을 $-9$ 로 쓰거나, $-5 \times (-3)$ 을 $-15$ 로 쓴다. 대입할 때 괄호를 치지 않아 발생한다.
7. (1) $8$  (2) $3$  (3) $4$ — (3)은 $\dfrac{4 \times 2}{1+1} = \dfrac{8}{2} = 4$. 분모를 먼저 계산한다.
8. (1) $2a+6b$  (2) $7x+6$  (3) $5x-7$ — (3)은 $6x-2-x-5$. **빈번한 오류**: $6x-2-x+5 = 5x+3$. 괄호 앞 마이너스가 뒤 항까지 곱해지지 않은 것이다.
9. (1) $3x+1600$  (2) $6100$원 — $3 \times 1500 + 1600 = 4500+1600$
10. (1) $30x+100$ (만원)  (2) $460$만원  (3) **30개월** — 표: $x=10$ 이면 400, $x=20$ 이면 700, $x=30$ 이면 1000. **빈번한 오류**: $30x$ 라고만 쓰고 원래 있던 100만원을 누락한다. 도입의 봉투 문제에서 $3$ 개라고 답하는 것과 같은 오류이다.
11. (1) $2(x+(x+3)) = 2(2x+3) = 4x+6$  (2) $26$  (3) $x(x+3) = x^2+3x$ — (2) 검산: 가로 5, 세로 8이므로 둘레 $2(5+8)=26$. 식으로도 $4(5)+6=26$. 두 방법이 같은 답을 준다.
12. 예시 답안: "$x=2$ 를 넣으면 $3(2)+2=8$ 이고 $5(2)=10$ 이다. 8과 10이 다르므로 두 식은 같지 않다. $3x$ 와 $2$ 는 동류항이 아니라서 합칠 수 없다." — **주의**: $x=1$ 을 넣으면 양쪽 다 $5$ 가 되어 "같다"는 결론이 나온다. **수 하나로는 판정할 수 없다.** 그러므로 수는 두 개 이상 넣는다.
13. (1) **같다** (분배법칙). (2) **다르다** — $x=1$ 을 넣으면 $2(4)=8$ 과 $2+3=5$. 괄호 앞의 2가 3에도 곱해져야 한다. (3) **같다** — $-(x-4) = -x+4$. $x=1$ 로 확인하면 양쪽 다 $3$.
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### 추가 연습문제

모든 식은 **소리 내어 읽으면서** 직접 쓴다. "$2x$"는 "$2$ 곱하기 $x$"이다.

**문자와 표기**

1. 곱셈 기호를 생략하라. (1) $5 \times a$ (2) $x \times 3$ (3) $a \times b \times c$ (4) $2 \times x \times y$
2. 곱셈 기호를 생략하라. (1) $x \times x \times x$ (2) $(-1) \times y$ (3) $1 \times a$ (4) $0.1 \times x$
3. 나눗셈 기호를 분수로 고쳐라. (1) $x \div 5$ (2) $3 \div x$ (3) $(a+b) \div 2$
4. 다음을 식으로 나타내라. (1) 어떤 수 $x$ 의 5배 (2) 어떤 수 $x$ 보다 6 큰 수 (3) 어떤 수 $x$ 보다 6 작은 수
5. 다음을 식으로 나타내라. (1) $x$ 의 3배에 4를 더한 수 (2) $x$ 에 4를 더한 뒤 3배 한 수
6. $2x$ 와 $2+x$ 는 다른 식이다. 아래 표를 채워라.

| $x$ | $2x$ | $2+x$ |
|---|---|---|
| 1 | | |
| 2 | | |
| 3 | | |
| 10 | | |

7. 한 개에 $a$ 원인 빵 5개와 한 개에 $b$ 원인 우유 2개를 샀다. 지불한 금액을 식으로 나타내라.

**대입** (모든 문항에서 **괄호를 먼저 치고** 수를 넣는다)

8. $x=4$ 일 때. (1) $3x$ (2) $x+9$ (3) $x^2$ (4) $\dfrac{x}{2}$
9. $x=-3$ 일 때. (1) $2x$ (2) $x+5$ (3) $-x$ (4) $x^2$
10. $x=-2$ 일 때. (1) $x^2$ (2) $-x^2$ (3) $(-x)^2$ (4) $x^3$
11. $x=5$ 일 때. (1) $2x-3$ (2) $3(x-1)$ (3) $\dfrac{x+1}{3}$ (4) $x^2-4x$
12. $a=2$, $b=-1$ 일 때. (1) $a+b$ (2) $ab$ (3) $a-2b$ (4) $a^2+b^2$
13. $x=2$, $y=1$ 일 때 $3x+2y$ 의 값
14. $x=3$, $y=-2$ 일 때. (1) $2x+3y$ (2) $xy$ (3) $x^2-y$ (4) $\dfrac{x-y}{5}$

**동류항 정리**

15. 정리하라. (1) $4x+3x$ (2) $9a-4a$ (3) $x+x$ (4) $6y-y$
16. 정리하라. (1) $3x+2y+5x$ (2) $7a-3b-2a+b$ (3) $5m+2-3m+4$
17. 괄호를 풀어라. (1) $2(x+3)$ (2) $3(2a-1)$ (3) $-(x-5)$ (4) $-2(3y+4)$
18. 괄호를 풀고 정리하라. (1) $2(x+1)+3x$ (2) $4(a-2)-2a$ (3) $3(x+2)-2(x-1)$
19. 다음 중 **동류항끼리 합쳐서** 더 간단히 할 수 **없는** 것을 모두 고르라. (1) $2a+3a$ (2) $2a+3b$ (3) $x^2+x^2$ (4) $x^2+x$ (5) $4y-4y$
20. 각 식을 정리하고, **정리 전 식과 정리 후 식에 각각 $x=2$ 를 넣어** 값이 같은지 확인하라. (1) $5x-2x$ (2) $3(x+1)-x$

**식 세우기와 문장제**

21. 다음을 식으로 나타내라. (1) 어떤 수의 3배에 4를 더한 수 (2) 어떤 수에서 4를 뺀 것의 3배
22. 시속 60km로 $x$ 시간 달린 거리를 식으로 나타내라. 또 $x=2.5$ 일 때 거리를 구하라.
23. 정가가 $x$ 원인 물건을 20% 할인해서 샀다. (1) 지불한 금액을 식으로 나타내라. (2) $x=25000$ 일 때 지불한 금액은?
24. 현재 나이가 $x$ 살인 사람의 (1) 7년 뒤 나이 (2) 5년 전 나이를 각각 식으로 나타내라.
25. "어떤 수의 5배에서 3을 뺀 수는, 그 수의 3배에 7을 더한 수와 같다"를 **등식**으로 나타내라. (푸는 것은 다음 장에서 한다. 여기서는 식만 세운다.)

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $5a$  (2) $3x$  (3) $abc$  (4) $2xy$
2. (1) $x^3$  (2) $-y$  (3) $a$  (4) $0.1x$
3. (1) $\dfrac{x}{5}$  (2) $\dfrac{3}{x}$  (3) $\dfrac{a+b}{2}$ — (3)에서 괄호를 놓쳐 $a+\dfrac{b}{2}$ 로 쓰면 옳지 않다.
4. (1) $5x$  (2) $x+6$  (3) $x-6$
5. (1) $3x+4$  (2) $3(x+4)$ — 한국어 어순이 곧 괄호 위치이다. "더한 뒤 3배"는 더한 것 전체를 3배 한다.
6.

| $x$ | $2x$ | $2+x$ |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 2 | 4 | 4 |
| 3 | 6 | 5 |
| 10 | 20 | 12 |

  **확인 사항**: $x=2$ 일 때만 두 값이 우연히 같다. 따라서 **수 하나로 두 식이 같은지 판단할 수 없다.** 두 개 이상 대입한다.
7. $5a+2b$
8. (1) $12$  (2) $13$  (3) $16$  (4) $2$
9. (1) $-6$  (2) $2$  (3) $3$  (4) $9$
10. (1) $4$  (2) $-4$  (3) $4$  (4) $-8$ — **빈번한 오류**: (1)을 $-4$ 로 쓴다. 괄호를 치지 않아 $-2^2$ 이 된 것이다.
11. (1) $7$  (2) $12$  (3) $2$  (4) $5$
12. (1) $1$  (2) $-2$  (3) $4$  (4) $5$ — (3)은 $2-2(-1) = 2+2 = 4$.
13. $8$
14. (1) $0$  (2) $-6$  (3) $11$  (4) $1$ — (3)은 $9-(-2) = 11$.
15. (1) $7x$  (2) $5a$  (3) $2x$  (4) $5y$ — (3)을 $x^2$ 으로 쓰면 덧셈과 곱셈을 혼동한 것이다. (4)를 $6$ 으로 쓰면 $y$ 가 누락된 것이다.
16. (1) $8x+2y$  (2) $5a-2b$  (3) $2m+6$
17. (1) $2x+6$  (2) $6a-3$  (3) $-x+5$  (4) $-6y-8$ — (3)에서 오류가 잦다. 마이너스는 **두 항 모두**에 곱해진다.
18. (1) $5x+2$  (2) $2a-8$  (3) $x+8$ — (3)은 $3x+6-2x+2$.
19. **(2), (4)** — (1)은 $5a$, (3)은 $2x^2$, (5)는 $0$ 으로 정리된다. (5)를 고르는 오류가 잦다. $4y-4y$ 는 동류항이므로 합쳐지고, 결과가 $0$ 이다. **결과가 0인 것과 합칠 수 없는 것은 다르다.**
20. (1) $3x$. $x=2$: 원식 $10-4=6$, 정리식 $6$. 일치.  (2) $2x+3$. $x=2$: 원식 $3(3)-2=7$, 정리식 $4+3=7$. 일치. — **이 확인 절차는 이후에도 계속 사용한다.** 정리 결과의 정확성을 스스로 판정하는 방법이다.
21. (1) $3x+4$  (2) $3(x-4)$ — 두 번째 식은 다음 장에서 다시 사용한다.
22. $60x$ (km). $x=2.5$ 일 때 $150$ km.
23. (1) $0.8x$ (또는 $x-0.2x$)  (2) $20000$원 — **빈번한 오류**: $0.2x$ 로 쓴다. 그것은 할인**액**이며 지불액이 아니다. 20% 할인이면 정가의 80%를 지불한다. (백분율은 제1부에서 다룬 내용이다. 이 문항에서 막히면 해당 부분을 다시 확인한다.)
24. (1) $x+7$  (2) $x-5$
25. $5x-3 = 3x+7$ — 등호를 빠뜨리고 좌변만 쓰면 옳지 않다. "$\sim$ 와 같다"가 등호에 해당한다. (참고: 다음 장에서 풀면 $x=5$ 이다. 양변에 대입하면 둘 다 22가 된다.)
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## 요약과 다음 장

이 장의 요지는 **문자가 아직 모르는 수의 이름**, 곧 빈칸이라는 것이다. 여기에 세 가지를 더했다. 곱셈 기호는 지우되 곱셈 자체는 그대로라는 것($2x \ne 2+x$), 한국어 문장은 끊어 읽어 식으로 옮긴다는 것, 그리고 문자 자리에는 수가 들어가므로 **판단이 서지 않으면 수를 대입해** 스스로 판정한다는 것이다.

특히 $x=1$ 에서 $3x+2$ 와 $5x$ 의 값이 우연히 일치한 사례, 그리고 그로부터 수를 두 개 이상 대입해야 한다는 원칙은 이후에도 계속 사용하는 도구이다. [제10장](ch10.md)에서는 이 장에서 세우기만 하고 풀지 않은 $30x+100=1000$ 을 천칭 모형으로 다시 다룬다. 양변에 같은 연산을 적용하면 이 식은 몇 줄 안에 풀린다.