제20장 · 대수 종합

이 장

원본 코드	R2-W12
선행 내용	제9~19장 전부
요지	열두 개의 기술이 아니라 하나의 기술이다 — 식의 값을 바꾸지 않고 다른 모양으로 바꾸는 것.

도입

이 장은 제2부 대수 재건의 마지막 장이다. 문자가 처음 등장한 제9장부터 유리식까지, 열한 개의 기술을 차례로 세웠다. 이 장에서는 그 기술들이 섞여 있는 문제를 직접 풀어, 어느 영역이 정착되었고 어느 영역이 아직 부족한지를 확인한다.

열한 장의 내용은 하나의 기술로 정리된다. 식의 값을 바꾸지 않고 모양만 바꾸는 것이다. 방정식을 푸는 것도, 인수분해도, 약분도 모두 여기에 해당한다. 오답이 나온 영역은 미적분으로 넘어가기 전에 한 번 더 확인할 지점이다.

열한 장을 한 줄씩

제9장부터 제19장까지의 내용은 각각 한 줄로 정리된다. 어떤 문제에서 진행이 멈추면, 계산 방법을 떠올리기 전에 그 문제가 아래 목록 중 어느 항목에 해당하는지를 먼저 확인한다.

장	한 줄로 말하면
제9장 변수와 식	모르는 수에 이름을 붙이고, 같은 것끼리만 합친다
제10장 일차방정식	양변에 똑같이 해서 \(x\) 를 혼자 남긴다
제11장 부등식	방정식과 같다. 단 음수로 나누면 부등호가 뒤집힌다
제12장 지수법칙	곱하면 더하고, 나누면 뺀다 (지수끼리)
제13장 전개	괄호를 푼다. 빠짐없이 곱한다
제14·15장 인수분해	전개의 반대. 합을 곱으로 되돌린다
제16·17장 이차방정식	곱이 \(0\) 이면 둘 중 하나가 \(0\)(인수분해) → 안 되면 완전제곱 5단계 → 그 5단계를 문자로 한 것이 근의 공식
제18장 연립	미지수를 하나씩 없앤다
제19장 유리식	분수의 규칙 그대로. 단 인수분해가 먼저

오류가 집중되는 네 지점

열한 장 전체를 복습할 필요는 없다. 오답이 가장 자주 발생하는 네 지점만 다시 확인한다.

지점 ① — 인수분해의 첫 단계는 언제나 공통인수다.

\(2x^2+10x+12\) 에서 두 수를 먼저 찾으려 하면 절차가 어긋난다. 앞에 \(2\) 가 붙어 있으므로 공통인수부터 묶는다.

\[2x^2+10x+12 = 2(x^2+5x+6) = 2(x+2)(x+3)\]

인수분해에는 순서가 있다. ① 공통인수가 있는가 → ② 합차나 완전제곱 모양인가 → ③ 아니면 곱해서 \(c\), 더해서 \(b\). 이 세 단계를 언제나 위에서부터 적용한다. \(2(x^2+5x+6)\) 에서 멈추면 인수분해가 끝나지 않은 상태이다.

지점 ② — 유리식은 곱의 꼴로 만들기 전에는 아무것도 지울 수 없다.

\[\frac{2+4}{2} = 3 \ (\text{항은 못 지운다}) \qquad \frac{2 \times 4}{2} = 4 \ (\text{인수는 지운다})\]

\[\frac{x^2-9}{x+3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x-3\]

\(9\) 와 \(3\) 은 항이므로 지울 수 없다. 인수분해가 먼저다. 따라서 지점 ①이 정착되지 않으면 지점 ②도 함께 막힌다. 두 지점은 연결되어 있다.

지점 ③ — 부호 세 종류. 오답의 원인은 계산보다 부호인 경우가 많다. 세 자리를 나란히 놓고 확인한다.

\[\text{이항: } 5x-7=2x+8 \Rightarrow 5x-2x=8+7 \quad (\text{넘어가면 부호가 바뀐다})\]

\[\text{부등식: } -2x<6 \Rightarrow x>-3 \quad (\text{음수로 나누면 뒤집힌다})\]

\[\text{인수분해: } c>0,\ b<0 \Rightarrow \text{두 수 모두 음수} \quad (\text{곱이 } + \text{ 면 부호가 같고, 거기에 합이 } - \text{ 면 둘 다 음수})\]

셋째 줄의 괄호가 긴 것은 그 판정이 두 단계로 이루어지기 때문이다. ① 곱이 양수이면 두 수의 부호가 같다(둘 다 양수이거나 둘 다 음수, 둘 중 하나이다). ② 그 상태에서 합이 음수이면, 둘 다 양수인 경우 합도 양수가 되므로 남는 경우는 둘 다 음수뿐이다. 예를 들어 \(x^2-5x+6\) 에서 곱이 \(+6\), 합이 \(-5\) 이므로 두 수는 \(-2\) 와 \(-3\) 이다.

네 경우를 한 표에 정리하면 다음과 같다.

\(c\) 의 부호	\(b\) 의 부호	두 수는
\(c>0\)	\(b>0\)	둘 다 양수
\(c>0\)	\(b<0\)	둘 다 음수
\(c<0\)	\(b>0\)	부호가 다르고, 절댓값이 큰 쪽이 양수
\(c<0\)	\(b<0\)	부호가 다르고, 절댓값이 큰 쪽이 음수

아래 두 줄은 한 문장으로 정리된다. \(c<0\) 이면 부호가 다르고, 절댓값이 큰 쪽이 \(b\) 의 부호를 따른다.

세 자리의 근거는 모두 음수(제5장)이다. 부호에서 오답이 반복되면 대수가 아니라 음수를 다시 확인할 지점이다.

지점 ④ — 지수법칙 세 줄.

\[x^m \cdot x^n = x^{m+n} \qquad \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \qquad (x^m)^n = x^{mn}\]

이 세 줄은 미적분에서 미분을 수행할 때 반복해서 사용된다. 이 세 줄이 정착되지 않으면 미분에서 진행이 멈추는 원인이 미분 자체가 아니라 지수법칙이 된다.

빈번한 오류

인수분해에서 첫 단계(공통인수)를 건너뛴다

\(3x^2-12x\) 에서 곧바로 “곱해서 \(-12\), 더해서…”를 찾거나, \(3(x^2-4x)\) 에서 멈추는 오류이다. “곱해서 \(c\), 더해서 \(b\)”를 반복해서 연습하면 그 절차가 인수분해의 전부로 인식되어, 그 앞에 공통인수를 확인하는 단계가 있다는 순서가 누락된다. 인수분해는 세 단계(공통인수 → 합차·완전제곱 → 두 수 찾기)이며 언제나 첫 단계부터 적용한다. 그리고 결과가 나오면 더 분해되는지를 한 번 더 확인한다. 분해되면 끝까지 분해한다.

확인 문제: \(2x^2+10x+12\) 를 끝까지 인수분해하라. (답: \(2(x+2)(x+3)\).)

유리식에서 항을 지운다

\(\dfrac{x^2+x}{x}\) 를 \(x^2\) 으로, \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 을 \(x^2-3\) 으로 쓰는 오류이다. “위아래에 같은 것이 보이면 지운다”는 규칙은 제1부 전체에서 예외 없이 적용되었으므로, 새로 배운 “인수만 지운다”보다 먼저 익힌 규칙이 더 강하게 작동한다. 판정 기준은 기억이 아니라 검산이다. 수를 대입해 확인한다.

\[x=2: \quad \frac{x^2+x}{x} = \frac{6}{2} = 3, \qquad x^2 = 4\]

곱의 꼴로 만들기 전에는 아무것도 지울 수 없다. 이 절차는 미적분의 극한 계산에서 다시 사용된다.

확인 문제: \(\dfrac{x^2-25}{x-5}\) 를 약분하고 \(x=7\) 로 검산하라. (답: \(x+5\); 원식 \(\tfrac{24}{2}=12=x+5\).)

종합 자가진단 (24문항)

제9~19장의 내용이 섞인 스물네 문항이다. 계산기를 사용하지 않는다. 풀지 못한 문항은 표시한 뒤 넘어간다. 표시한 문항이 다시 확인할 지점이다.

[식 정리와 대입]

1. \(5x - 3y + 2x + y\) 를 간단히 정리하라.

2. \(x=3\), \(y=-2\) 일 때 \(2x^2 - 3y\) 의 값을 구하라.

[일차방정식]

3. \(3(x-4) = 18\)

4. \(5x - 7 = 2x + 8\)

[부등식]

5. \(-2x + 1 < 7\)

6. \(4x - 3 \ge 2x + 5\)

[지수법칙]

7. (1) \(x^3 \cdot x^4\) (2) \((x^2)^3\) (3) \(x^{-2}\) 를 분수 꼴로

8. (1) \(\dfrac{x^5}{x^2}\) (2) \((2x^3)^2\)

[전개]

9. \((x+3)^2\)

10. \((2x-1)(x+4)\)

[인수분해]

11. \(3x^2 - 12x\)

12. \(x^2 - 9\)

13. \(x^2 + 6x + 9\)

14. \(x^2 + 7x + 12\)

15. \(x^2 - 5x + 6\)

16. \(x^2 - x - 12\)

[이차방정식]

17. \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 을 인수분해로 풀어라.

18. \(2x^2 + 3x - 1 = 0\) 을 근의 공식으로 풀어라.

[연립방정식]

19. \(2x + y = 7\), \(x - y = 2\) 를 풀어 \((x, y)\) 를 구하라.

20. \(y = 2x - 1\), \(3x + 2y = 12\) 를 풀어 \((x, y)\) 를 구하라.

[유리식]

21. \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 을 약분하라.

22. \(\dfrac{x^2+x}{x}\) 를 약분하라.

23. \(\dfrac{x^2-4}{x} \div \dfrac{x+2}{x}\) 를 계산하라.

24. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x+1}\) 을 하나의 분수로 나타내라.

풀이를 마친 뒤 영역별로 맞은 개수를 센다. 총점보다 어느 줄에 오답이 몰렸는지가 중요하다.

영역	문항	만점	맞은 개수	오답 시 복습 위치
식 정리·대입	1–2	2		제9장 → 「추가 연습문제」 1·4번
일차방정식	3–4	2		제10장 → 세트 1
부등식	5–6	2		제11장 → 세트 1
지수법칙	7–8	2		제12장 → 세트 2
전개	9–10	2		제13장 → 세트 3
인수분해	11–16	6		제14·15장 → 세트 4
이차방정식	17–18	2		제16·17장 → 세트 5
연립방정식	19–20	2		제18장 → 세트 6
유리식	21–24	4		제19장 → 세트 7
합계		24

채점표를 채운 뒤에는 판정까지 수행한다. 되돌아갈 것인가 진행할 것인가의 판정 기준은 다음과 같다.

각 영역에서 하나라도 틀렸으면, 그 영역의 보강 세트를 먼저 푼다. 세트에서도 두 개 이상 틀리면 해당 장으로 돌아간다.

세트를 전부 맞혔다면 그 영역은 통과로 판정한다. 자가진단의 오답이 계산 실수였다는 뜻이다. 세트에서 다시 틀린다면 계산 실수가 아니라 근거가 정착되지 않은 것이므로, 해당 장으로 돌아가 유도를 다시 확인한다. 총점은 참고 지표이다. \(24\) 점 중 \(20\) 점이어도 그 \(4\) 점이 한 영역에 몰려 있으면 그 영역은 통과하지 못한 것이고, \(16\) 점이어도 아홉 영역에 고르게 흩어져 있으면 대부분 계산 실수이다. 어느 줄에 몰렸는지를 확인한다.

우선 보강 영역

미적분으로 넘어가기 전에 **인수분해(11~16번)**와 유리식(21~24번) 두 영역을 우선 보강한다. 미적분에서 처음 다루는 극한 계산이 이 두 영역 위에서 수행되기 때문이다. 예를 들어 \(\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\) 은 분자를 \((x+3)(x-3)\) 으로 인수분해하고 약분하면 계산이 끝난다(답은 \(6\) 이며, 미적분 고유의 절차는 사용되지 않는다). 이 두 영역에서 틀린 문항이 있으면 위의 판정 규칙에 따라 아래 세트 4·7을 먼저 풀고, 거기서도 두 개 이상 틀리면 제14·15장·제19장으로 돌아간다. 이 두 영역은 다른 영역보다 판정 기준을 한 단계 엄격하게 적용한다.

정답과 해설

1. \(7x - 2y\) — \(x\) 끼리, \(y\) 끼리만 합친다. 이렇게 틀린다: \(5x\) 와 \(-3y\) 를 합쳐 \(2xy\) 류를 만든다.

2. \(24\) — \(2 \times 3^2 - 3 \times (-2) = 18 + 6 = 24\). 이렇게 틀린다: \(18 - 6 = 12\). \(-3y\) 에 \(y=-2\) 를 넣으면 \(-3 \times (-2) = +6\). 괄호를 쳐서 대입한다.

3. \(x = 10\) — \(3x - 12 = 18\), \(3x = 30\). 또는 양변을 \(3\) 으로 나눠 \(x - 4 = 6\).

4. \(x = 5\) — \(3x = 15\). 검산: \(5 \times 5 - 7 = 18 = 2 \times 5 + 8\) ✔

5. \(x > -3\) — \(-2x < 6\). 음수로 나누므로 부등호가 뒤집힌다. 확인: \(x=0\) 을 원식에 넣으면 \(1<7\) 참이므로 \(0\) 이 답에 들어가야 한다.

6. \(x \ge 4\) — \(2x \ge 8\). 양수로 나누므로 부등호는 그대로.

7. (1) \(x^7\) (2) \(x^6\) (3) \(\dfrac{1}{x^2}\) — 이렇게 틀린다: (1)을 \(x^{12}\), (2)를 \(x^5\). 곱하면 지수를 더하고, 거듭제곱하면 곱한다.

8. (1) \(x^3\) (2) \(4x^6\) — (2)에서 \(2\) 도 제곱된다. 이렇게 틀린다: \(2x^6\).

9. \(x^2 + 6x + 9\) — 이렇게 틀린다: \(x^2 + 9\). 가운데 \(6x\) 는 넓이 그림의 직사각형 두 개다(제13장).

10. \(2x^2 + 7x - 4\) — \(2x^2 + 8x - x - 4\). 네 번 곱한다.

11. \(3x(x-4)\) — 이렇게 틀린다: \(3(x^2-4x)\) 에서 멈춘다. \(x\) 도 공통이다.

12. \((x+3)(x-3)\)

13. \((x+3)^2\)

14. \((x+3)(x+4)\) — 곱해서 \(12\), 더해서 \(7\).

15. \((x-2)(x-3)\) — 곱이 \(+\), 합이 \(-\) 이므로 둘 다 음수.

16. \((x-4)(x+3)\) — 곱이 \(-\) 이므로 부호가 다르고, 합이 \(-\) 이므로 절댓값 큰 쪽이 음수.

17. \(x = 2\) 또는 \(x = 3\) — \((x-2)(x-3) = 0\). 곱이 \(0\) 이면 둘 중 하나가 \(0\). 이렇게 틀린다: 인수분해만 하고 답을 안 쓴다.

18. \(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}\) — \(a=2\), \(b=3\), \(c=-1\). 판별식 \(9 + 8 = 17 > 0\). 이렇게 틀린다: 분모를 \(2a=4\) 가 아니라 \(2\) 로 쓴다. 또는 \(c=-1\) 의 부호를 놓쳐 \(9-8=1\) 로 계산한다.

19. \((x, y) = (3, 1)\) — 두 식을 더하면 \(3x = 9\). 검산: \(2(3)+1 = 7\) ✔, \(3-1=2\) ✔

20. \((x, y) = (2, 3)\) — 대입법. \(3x + 2(2x-1) = 12\), \(7x = 14\).

21. \(x - 3\) — \(\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}\). 이렇게 틀린다: \(9\) 와 \(3\) 을 지운다. 항은 못 지운다.

22. \(x + 1\) — \(\dfrac{x(x+1)}{x}\). 이렇게 틀린다: \(x^2\). \(x=2\) 로 검산하면 원식 \(3\), \(x+1=3\) ✔, \(x^2=4\) ✘

23. \(x - 2\) — 뒤집어 곱한다. \(\dfrac{(x+2)(x-2)}{x} \times \dfrac{x}{x+2}\).

24. \(\dfrac{3x+1}{x(x+1)}\) — 통분. \(\dfrac{(x+1) + 2x}{x(x+1)}\). 이렇게 틀린다: \(\dfrac{3}{2x+1}\). 분모끼리 더했다.

혼합 영역 추가 연습문제

A 기본 · B 표준 · C 도전.

1. A \(4(x-3) = 20\)

2. A \(-3x + 2 \le 11\)

3. A (1) \(\dfrac{x^6}{x^2}\) (2) \((x^3)^2\)

4. A \((x-4)(x+2)\) 를 전개

5. A (1) \(5x^2 - 15x\) (2) \(x^2 - 25\) 를 인수분해

6. B \(x^2 + 8x + 15\) 를 인수분해

7. B \(x^2 - 2x - 8\) 을 인수분해

8. B \(x^2 + 2x - 8 = 0\)

9. B 어른 표 2장과 어린이 표 1장이 \(26{,}000\) 원, 어른 표 1장과 어린이 표 2장이 \(22{,}000\) 원이다. 각 표의 값은?

10. B \(\dfrac{x^2-25}{x-5}\) 를 약분

11. C \(\dfrac{x^2+3x}{x^2-9}\) 를 약분

12. C 시속 \(x\) km로 \(40\) km를 갔다가 시속 \(x+20\) km로 같은 길을 돌아왔다. 왕복 시간을 하나의 유리식으로 나타내라.

정답과 해설

1. \(x = 8\)

2. \(x \ge -3\) — \(-3x \le 9\). 음수로 나누므로 뒤집힌다.

3. (1) \(x^4\) (2) \(x^6\)

4. \(x^2 - 2x - 8\)

5. (1) \(5x(x-3)\) (2) \((x+5)(x-5)\)

6. \((x+3)(x+5)\)

7. \((x-4)(x+2)\) — 곱이 \(-8\) 이라 부호가 다르고, 합이 \(-2\) 라 절댓값 큰 쪽이 음수.

8. \(x = -4\) 또는 \(x = 2\) — \((x+4)(x-2)=0\)

9. 어른 \(10{,}000\) 원, 어린이 \(6{,}000\) 원 — 어른 \(a\), 어린이 \(c\) 로 두면 \(2a+c = 26000\), \(a+2c = 22000\). 첫 식을 2배 하여 빼면 \(3a = 30000\). 검산: \(10000 + 2 \times 6000 = 22000\) ✔

10. \(x + 5\)

11. \(\dfrac{x}{x-3}\) — \(\dfrac{x(x+3)}{(x+3)(x-3)}\). 위아래를 둘 다 인수분해해야 \((x+3)\) 이 보인다. 이렇게 틀린다: 위아래에 \(x^2\) 이 있다고 지운다.

12. \(\dfrac{80x + 800}{x(x+20)}\) — \(\dfrac{40}{x} + \dfrac{40}{x+20}\). 이렇게 틀린다: 속력을 평균 내서 나눈다. 왕복은 시간을 더한다.

영역별 보강 문제 은행

판정에서 미달한 영역이 있으면 해당 세트만 선택해 푼다.

세트 1 — 일차방정식·부등식 (10문항)

1. \(2x + 5 = 13\) 2. \(3x - 7 = 8\) 3. \(5(x-2) = 20\) 4. \(3(x-4) = 18\) 5. \(4x + 3 = 2x + 11\) 6. \(2(x+1) = 3(x-2)\) 7. \(\dfrac{x}{3} + 2 = 5\) 8. \(-2x + 1 < 7\) 9. \(3x - 2 \ge x + 6\) 10. \(-\dfrac{x}{2} > 3\)

세트 2 — 지수법칙 (8문항)

11. \(x^3 \cdot x^5\) 12. \(\dfrac{x^7}{x^3}\) 13. \((x^4)^2\) 14. \((3x^2)^3\) 15. \(x^{-3}\) 을 분수 꼴로 16. \(\dfrac{x^2}{x^5}\) 를 분수 꼴로 17. \((2x)^0\) (단 \(x \ne 0\)) 18. \(\dfrac{6x^5}{2x^2}\)

세트 3 — 전개 (8문항)

19. \(3(x+4)\) 20. \(x(x-5)\) 21. \((x+2)(x+7)\) 22. \((x-3)(x+5)\) 23. \((x+4)^2\) 24. \((x-6)^2\) 25. \((x+5)(x-5)\) 26. \((2x-1)(x+4)\)

세트 4 — 인수분해 (14문항)

앞 6문항은 공통인수·공식, 뒤 8문항은 두 수 찾기이다. 모든 답을 전개해 검산한 뒤 정답을 확인한다.

27. \(4x^2 - 8x\) 28. \(6x^3 + 9x^2\) 29. \(x^2 - 16\) 30. \(x^2 - 49\) 31. \(x^2 + 10x + 25\) 32. \(x^2 - 8x + 16\) 33. \(x^2 + 7x + 12\) 34. \(x^2 + 9x + 20\) 35. \(x^2 - 5x + 6\) 36. \(x^2 - 9x + 18\) 37. \(x^2 - x - 12\) 38. \(x^2 + 2x - 15\) 39. \(x^2 - 3x - 10\) 40. \(2x^2 + 10x + 12\) (공통인수를 먼저, 끝까지 쪼갠다)

세트 5 — 이차방정식 (10문항)

이차방정식의 풀이는 세 가지이다. 먼저 인수분해를 시도하고, 인수분해가 되지 않으면 완전제곱 5단계를 적용한다. 그 5단계를 문자로 수행한 결과가 근의 공식이다. 47·48번에서 사용하는 완전제곱 5단계를 아래에 다시 적는다(제16장).

\[\text{①} \ x^2 \text{ 계수를 } 1 \text{ 로} \ \to \ \text{② 상수를 우변으로} \ \to \ \text{③ 일차항 계수 절반의 제곱을 양변에} \ \to \ \text{④ 좌변을 제곱꼴로} \ \to \ \text{⑤ 제곱근 } \pm\]

41. \(x^2 - 4 = 0\) 42. \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 43. \(x^2 + 7x + 12 = 0\) 44. \(x^2 - x - 12 = 0\) 45. \(x^2 + 6x + 9 = 0\) 46. \(x^2 - 3x = 0\) 47. \(x^2 + 6x + 2 = 0\) (완전제곱으로) 48. \(x^2 - 4x - 1 = 0\) (완전제곱으로) 49. \(2x^2 + 3x - 1 = 0\) (근의 공식으로) 50. \(x^2 + 2x + 5 = 0\) 의 판별식을 구하고 실근의 개수를 말하라

세트 6 — 연립방정식 (6문항)

51. \(x + y = 5\), \(x - y = 1\) 52. \(2x + y = 7\), \(x - y = 2\) 53. \(y = 2x - 1\), \(3x + 2y = 12\) 54. \(3x + 2y = 16\), \(x - 2y = 0\) 55. \(2x + 3y = 12\), \(4x - 3y = 6\) 56. 연필 2자루와 지우개 1개가 \(1{,}700\) 원, 연필 1자루와 지우개 2개가 \(1{,}600\) 원이다. 각각의 값은?

세트 7 — 유리식 (10문항)

57. \(\dfrac{9x}{12}\) 58. \(\dfrac{x^2+2x}{x}\) 59. \(\dfrac{6x+18}{6}\) 60. \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\) 61. \(\dfrac{x^2-36}{x-6}\) 62. \(\dfrac{x^2+7x+12}{x+4}\) 63. \(\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4}\) 64. \(\dfrac{x}{4} \times \dfrac{8}{x^2}\) 65. \(\dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x-1}{x}\) 66. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+3}\)

정답과 해설

세트 1 1. \(x=4\) 2. \(x=5\) 3. \(x=6\) 4. \(x=10\) 5. \(x=4\) 6. \(x=8\) 7. \(x=9\) 8. \(x>-3\) 9. \(x \ge 4\) 10. \(x<-6\)

• 6번: \(2x+2 = 3x-6\), \(-x=-8\). 이렇게 틀린다: 오른쪽 괄호에서 \(3 \times (-2) = -6\) 을 \(+6\) 으로 쓴다.

• 8·10번: 음수로 나누므로 부등호가 뒤집힌다.

세트 2 11. \(x^8\) 12. \(x^4\) 13. \(x^8\) 14. \(27x^6\) 15. \(\dfrac{1}{x^3}\) 16. \(\dfrac{1}{x^3}\) 17. \(1\) 18. \(3x^3\)

• 14번 이렇게 틀린다: \(3x^6\). 괄호 안의 \(3\) 도 세제곱된다(\(3^3=27\)).

• 17번: \(0\) 이 아니라 \(1\) 이다. 어떤 수든 \(0\) 제곱은 \(1\).

세트 3 19. \(3x+12\) 20. \(x^2-5x\) 21. \(x^2+9x+14\) 22. \(x^2+2x-15\) 23. \(x^2+8x+16\) 24. \(x^2-12x+36\) 25. \(x^2-25\) 26. \(2x^2+7x-4\)

• 23·24번 이렇게 틀린다: \(x^2+16\), \(x^2+36\). 가운데 항이 사라진다(제13장의 넓이 그림에서 직사각형 두 개를 버린 것).

• 25번: 가운데 항이 없는 것이 맞다. \(+5x\) 와 \(-5x\) 가 상쇄된다. 23번과 나란히 놓고 비교한다.

세트 4 27. \(4x(x-2)\) 28. \(3x^2(2x+3)\) 29. \((x+4)(x-4)\) 30. \((x+7)(x-7)\) 31. \((x+5)^2\) 32. \((x-4)^2\) 33. \((x+3)(x+4)\) 34. \((x+4)(x+5)\) 35. \((x-2)(x-3)\) 36. \((x-3)(x-6)\) 37. \((x-4)(x+3)\) 38. \((x+5)(x-3)\) 39. \((x-5)(x+2)\) 40. \(2(x+2)(x+3)\)

• 28번 이렇게 틀린다: \(3x(2x^2+3x)\) 에서 멈춘다. \(x^2\) 까지 공통이다.

• 35·36번: 곱이 \(+\), 합이 \(-\) 이므로 둘 다 음수. 오답이 가장 많은 항목이다.

• 40번 이렇게 틀린다: \(2(x^2+5x+6)\) 에서 멈춘다. 두 단계다.

세트 5 41. \(x=\pm 2\) 42. \(x=2, 3\) 43. \(x=-3, -4\) 44. \(x=4, -3\) 45. \(x=-3\) (중근) 46. \(x=0, 3\) 47. \(x = -3 \pm \sqrt{7}\) 48. \(x = 2 \pm \sqrt{5}\) 49. \(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}\) 50. 판별식 \(= 2^2 - 4(1)(5) = -16 < 0\), 실근 없음

• 43번: 인수분해는 \((x+3)(x+4)\) 인데 답은 \(x=-3, -4\). \((x+3)=0\) 이려면 \(x=-3\).

• 46번 이렇게 틀린다: 양변을 \(x\) 로 나눠 \(x=3\) 만 쓴다. \(x\) 로 나누면 \(x=0\) 이라는 답이 사라진다. \(x(x-3)=0\) 으로 묶는다.

• 47번(완전제곱 5단계): ① 계수가 이미 \(1\) → ② \(x^2+6x=-2\) → ③ 일차항 계수 \(6\) 의 절반은 \(3\), 제곱은 \(9\) 이므로 양변에 \(9\): \(x^2+6x+9=7\) → ④ \((x+3)^2=7\) → ⑤ \(x+3=\pm\sqrt7\), 곧 \(x=-3\pm\sqrt7\). 이렇게 틀린다: ③에서 좌변에만 \(9\) 를 더한다. 양변에 더해야 값이 그대로다.

• 48번(완전제곱 5단계): ① 계수 \(1\) → ② \(x^2-4x=1\) → ③ 절반 \(-2\), 제곱 \(4\) 를 양변에: \(x^2-4x+4=5\) → ④ \((x-2)^2=5\) → ⑤ \(x=2\pm\sqrt5\). 부호에 주의 — 일차항이 \(-4x\) 이므로 절반은 \(-2\) 이고 괄호 안도 \(x-2\) 다. 제곱한 \(4\) 는 양수다.

• 47·48번을 근의 공식으로 풀어도 답은 같다. 근의 공식이 이 5단계를 문자로 한 번 더 수행한 결과이기 때문이다(제17장). 49번이 그 문자 버전을 쓰는 문항이다.

세트 6 51. \((3,2)\) 52. \((3,1)\) 53. \((2,3)\) 54. \((4,2)\) 55. \((3,2)\) 56. 연필 \(600\) 원, 지우개 \(500\) 원

• 54번: 두 식을 더하면 \(y\) 가 사라진다. 55번: 더하면 \(6x=18\). 더할지 뺄지는 부호를 보고 정한다.

• 56번: 연필 \(p\), 지우개 \(e\) 로 두면 \(2p+e=1700\), \(p+2e=1600\). 문장제는 “무엇을 \(x\) 로 둘지” 한 줄 쓰는 것이 첫 단계다.

세트 7 57. \(\dfrac{3x}{4}\) 58. \(x+2\) 59. \(x+3\) 60. \(x-3\) 61. \(x+6\) 62. \(x+3\) 63. \(\dfrac{x+2}{x-2}\) 64. \(\dfrac{2}{x}\) 65. \(x+1\) 66. \(\dfrac{2x+3}{x(x+3)}\)

• 58번 이렇게 틀린다: \(x^2\). \(x=2\) 로 검산하면 원식 \(4\), \(x+2=4\) ✔, \(x^2=4\) — 두 값이 우연히 일치한다. \(x=3\) 으로 다시 확인한다: 원식 \(5\), \(x+2=5\) ✔, \(x^2=9\) ✘. 검산에 사용하는 수는 두 개를 대입하는 것이 안전하다.

• 63번: 위아래를 둘 다 인수분해한다. \(\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}\), 아래에 \((x-2)\) 가 하나 남는다.

• 66번 이렇게 틀린다: \(\dfrac{2}{2x+3}\). 분모끼리 더했다 — \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{2}{5}\) 와 같은 오류다.

요약과 다음 부

제2부의 열두 장에서 식을 다루는 방법을 세웠다. 문자·방정식·부등식·지수·전개·인수분해·이차방정식·연립·유리식은 모두 “값을 그대로 두고 모양만 바꾸는” 하나의 기술이다. 여기까지의 자가진단을 통과했다면 대수의 기초는 정착된 상태이다.

다음은 제3부 · 일변수 미적분이다. 극한·미분·적분의 절차 자체는 복잡하지 않다. 미적분에서 진행이 멈추는 지점은 대부분 대수에 있다 — 인수분해가 되지 않아서, 약분이 되지 않아서, 지수법칙이 정착되지 않아서 멈춘다. 이 종합 장이 제2부에서 중요한 이유가 여기에 있다.

(제3부 · 일변수 미적분은 이후 공개됩니다.)