# 제20장 · 대수 종합

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

| | |
|---|---|
| **원본 코드** | R2-W12 |
| **선행 내용** | 제9~19장 전부 |
| **요지** | 열두 개의 기술이 아니라 하나의 기술이다 — 식의 값을 바꾸지 않고 다른 모양으로 바꾸는 것. |
:::

## 도입

이 장은 제2부 대수 재건의 마지막 장이다. 문자가 처음 등장한 제9장부터 유리식까지, 열한 개의 기술을 차례로 세웠다. 이 장에서는 그 기술들이 **섞여 있는** 문제를 직접 풀어, 어느 영역이 정착되었고 어느 영역이 아직 부족한지를 확인한다.

열한 장의 내용은 하나의 기술로 정리된다. **식의 값을 바꾸지 않고 모양만 바꾸는 것이다.** 방정식을 푸는 것도, 인수분해도, 약분도 모두 여기에 해당한다. 오답이 나온 영역은 미적분으로 넘어가기 전에 한 번 더 확인할 지점이다.

## 열한 장을 한 줄씩

제9장부터 제19장까지의 내용은 각각 한 줄로 정리된다. 어떤 문제에서 진행이 멈추면, 계산 방법을 떠올리기 전에 **그 문제가 아래 목록 중 어느 항목에 해당하는지**를 먼저 확인한다.

| 장 | 한 줄로 말하면 |
|---|---|
| 제9장 변수와 식 | 모르는 수에 이름을 붙이고, 같은 것끼리만 합친다 |
| 제10장 일차방정식 | 양변에 똑같이 해서 $x$ 를 혼자 남긴다 |
| 제11장 부등식 | 방정식과 같다. 단 음수로 나누면 부등호가 뒤집힌다 |
| 제12장 지수법칙 | 곱하면 더하고, 나누면 뺀다 (지수끼리) |
| 제13장 전개 | 괄호를 푼다. 빠짐없이 곱한다 |
| 제14·15장 인수분해 | 전개의 반대. 합을 곱으로 되돌린다 |
| 제16·17장 이차방정식 | 곱이 $0$ 이면 둘 중 하나가 $0$(인수분해) → 안 되면 **완전제곱 5단계** → 그 5단계를 문자로 한 것이 근의 공식 |
| 제18장 연립 | 미지수를 하나씩 없앤다 |
| 제19장 유리식 | 분수의 규칙 그대로. 단 인수분해가 먼저 |

## 오류가 집중되는 네 지점

열한 장 전체를 복습할 필요는 없다. 오답이 가장 자주 발생하는 네 지점만 다시 확인한다.

**지점 ① — 인수분해의 첫 단계는 언제나 공통인수다.**

$2x^2+10x+12$ 에서 두 수를 먼저 찾으려 하면 절차가 어긋난다. 앞에 $2$ 가 붙어 있으므로 공통인수부터 묶는다.

$$2x^2+10x+12 = 2(x^2+5x+6) = 2(x+2)(x+3)$$

인수분해에는 순서가 있다. ① 공통인수가 있는가 → ② 합차나 완전제곱 모양인가 → ③ 아니면 곱해서 $c$, 더해서 $b$. 이 세 단계를 언제나 위에서부터 적용한다. $2(x^2+5x+6)$ 에서 멈추면 인수분해가 끝나지 않은 상태이다.

**지점 ② — 유리식은 곱의 꼴로 만들기 전에는 아무것도 지울 수 없다.**

$$\frac{2+4}{2} = 3 \ (\text{항은 못 지운다}) \qquad \frac{2 \times 4}{2} = 4 \ (\text{인수는 지운다})$$

$$\frac{x^2-9}{x+3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x-3$$

$9$ 와 $3$ 은 항이므로 지울 수 없다. 인수분해가 먼저다. 따라서 지점 ①이 정착되지 않으면 지점 ②도 함께 막힌다. 두 지점은 연결되어 있다.

**지점 ③ — 부호 세 종류.** 오답의 원인은 계산보다 부호인 경우가 많다. 세 자리를 나란히 놓고 확인한다.

$$\text{이항: } 5x-7=2x+8 \Rightarrow 5x-2x=8+7 \quad (\text{넘어가면 부호가 바뀐다})$$
$$\text{부등식: } -2x<6 \Rightarrow x>-3 \quad (\text{음수로 나누면 뒤집힌다})$$
$$\text{인수분해: } c>0,\ b<0 \Rightarrow \text{두 수 모두 음수} \quad (\text{곱이 } + \text{ 면 부호가 같고, 거기에 합이 } - \text{ 면 둘 다 음수})$$

셋째 줄의 괄호가 긴 것은 그 판정이 두 단계로 이루어지기 때문이다. ① **곱이 양수**이면 두 수의 부호가 **같다**(둘 다 양수이거나 둘 다 음수, 둘 중 하나이다). ② 그 상태에서 **합이 음수**이면, 둘 다 양수인 경우 합도 양수가 되므로 남는 경우는 **둘 다 음수**뿐이다. 예를 들어 $x^2-5x+6$ 에서 곱이 $+6$, 합이 $-5$ 이므로 두 수는 $-2$ 와 $-3$ 이다.

네 경우를 한 표에 정리하면 다음과 같다.

| $c$ 의 부호 | $b$ 의 부호 | 두 수는 |
|---|---|---|
| $c>0$ | $b>0$ | 둘 다 양수 |
| $c>0$ | $b<0$ | 둘 다 음수 |
| $c<0$ | $b>0$ | 부호가 다르고, 절댓값이 큰 쪽이 **양수** |
| $c<0$ | $b<0$ | 부호가 다르고, 절댓값이 큰 쪽이 **음수** |

아래 두 줄은 한 문장으로 정리된다. **$c<0$ 이면 부호가 다르고, 절댓값이 큰 쪽이 $b$ 의 부호를 따른다.**

세 자리의 근거는 모두 음수([제5장](../part1/ch05.md))이다. 부호에서 오답이 반복되면 대수가 아니라 음수를 다시 확인할 지점이다.

**지점 ④ — 지수법칙 세 줄.**

$$x^m \cdot x^n = x^{m+n} \qquad \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \qquad (x^m)^n = x^{mn}$$

이 세 줄은 미적분에서 미분을 수행할 때 반복해서 사용된다. 이 세 줄이 정착되지 않으면 미분에서 진행이 멈추는 원인이 미분 자체가 아니라 지수법칙이 된다.

## 빈번한 오류

:::{admonition} 인수분해에서 첫 단계(공통인수)를 건너뛴다
:class: warning
$3x^2-12x$ 에서 곧바로 "곱해서 $-12$, 더해서…"를 찾거나, $3(x^2-4x)$ 에서 멈추는 오류이다. "곱해서 $c$, 더해서 $b$"를 반복해서 연습하면 그 절차가 인수분해의 전부로 인식되어, 그 앞에 공통인수를 확인하는 단계가 있다는 순서가 누락된다. 인수분해는 세 단계(공통인수 → 합차·완전제곱 → 두 수 찾기)이며 언제나 첫 단계부터 적용한다. 그리고 결과가 나오면 더 분해되는지를 한 번 더 확인한다. 분해되면 끝까지 분해한다.

*확인 문제*: $2x^2+10x+12$ 를 끝까지 인수분해하라. (답: $2(x+2)(x+3)$.)
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:::{admonition} 유리식에서 항을 지운다
:class: warning
$\dfrac{x^2+x}{x}$ 를 $x^2$ 으로, $\dfrac{x^2-9}{x+3}$ 을 $x^2-3$ 으로 쓰는 오류이다. "위아래에 같은 것이 보이면 지운다"는 규칙은 제1부 전체에서 예외 없이 적용되었으므로, 새로 배운 "인수만 지운다"보다 먼저 익힌 규칙이 더 강하게 작동한다. 판정 기준은 기억이 아니라 검산이다. **수를 대입해** 확인한다.

$$x=2: \quad \frac{x^2+x}{x} = \frac{6}{2} = 3, \qquad x^2 = 4$$

곱의 꼴로 만들기 전에는 아무것도 지울 수 없다. 이 절차는 미적분의 극한 계산에서 다시 사용된다.

*확인 문제*: $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ 를 약분하고 $x=7$ 로 검산하라. (답: $x+5$; 원식 $\tfrac{24}{2}=12=x+5$.)
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## 종합 자가진단 (24문항)

제9~19장의 내용이 섞인 스물네 문항이다. 계산기를 사용하지 않는다. 풀지 못한 문항은 표시한 뒤 넘어간다. 표시한 문항이 다시 확인할 지점이다.

**[식 정리와 대입]**

1. $5x - 3y + 2x + y$ 를 간단히 정리하라.
2. $x=3$, $y=-2$ 일 때 $2x^2 - 3y$ 의 값을 구하라.

**[일차방정식]**

3. $3(x-4) = 18$
4. $5x - 7 = 2x + 8$

**[부등식]**

5. $-2x + 1 < 7$
6. $4x - 3 \ge 2x + 5$

**[지수법칙]**

7. (1) $x^3 \cdot x^4$  (2) $(x^2)^3$  (3) $x^{-2}$ 를 분수 꼴로
8. (1) $\dfrac{x^5}{x^2}$  (2) $(2x^3)^2$

**[전개]**

9. $(x+3)^2$
10. $(2x-1)(x+4)$

**[인수분해]**

11. $3x^2 - 12x$
12. $x^2 - 9$
13. $x^2 + 6x + 9$
14. $x^2 + 7x + 12$
15. $x^2 - 5x + 6$
16. $x^2 - x - 12$

**[이차방정식]**

17. $x^2 - 5x + 6 = 0$ 을 인수분해로 풀어라.
18. $2x^2 + 3x - 1 = 0$ 을 근의 공식으로 풀어라.

**[연립방정식]**

19. $2x + y = 7$, $x - y = 2$ 를 풀어 $(x, y)$ 를 구하라.
20. $y = 2x - 1$, $3x + 2y = 12$ 를 풀어 $(x, y)$ 를 구하라.

**[유리식]**

21. $\dfrac{x^2-9}{x+3}$ 을 약분하라.
22. $\dfrac{x^2+x}{x}$ 를 약분하라.
23. $\dfrac{x^2-4}{x} \div \dfrac{x+2}{x}$ 를 계산하라.
24. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x+1}$ 을 하나의 분수로 나타내라.

풀이를 마친 뒤 영역별로 맞은 개수를 센다. 총점보다 어느 줄에 오답이 몰렸는지가 중요하다.

| 영역 | 문항 | 만점 | 맞은 개수 | 오답 시 복습 위치 |
|---|---|---|---|---|
| 식 정리·대입 | 1–2 | 2 | | [제9장](ch09.md) → 「추가 연습문제」 1·4번 |
| 일차방정식 | 3–4 | 2 | | [제10장](ch10.md) → 세트 1 |
| 부등식 | 5–6 | 2 | | [제11장](ch11.md) → 세트 1 |
| 지수법칙 | 7–8 | 2 | | [제12장](ch12.md) → 세트 2 |
| 전개 | 9–10 | 2 | | [제13장](ch13.md) → 세트 3 |
| 인수분해 | 11–16 | 6 | | [제14·15장](ch14.md) → 세트 4 |
| 이차방정식 | 17–18 | 2 | | [제16·17장](ch16.md) → 세트 5 |
| 연립방정식 | 19–20 | 2 | | [제18장](ch18.md) → 세트 6 |
| 유리식 | 21–24 | 4 | | [제19장](ch19.md) → 세트 7 |
| **합계** | | **24** | | |

채점표를 채운 뒤에는 판정까지 수행한다. 되돌아갈 것인가 진행할 것인가의 판정 기준은 다음과 같다.

**각 영역에서 하나라도 틀렸으면, 그 영역의 보강 세트를 먼저 푼다. 세트에서도 두 개 이상 틀리면 해당 장으로 돌아간다.**

세트를 전부 맞혔다면 그 영역은 통과로 판정한다. 자가진단의 오답이 계산 실수였다는 뜻이다. 세트에서 다시 틀린다면 계산 실수가 아니라 근거가 정착되지 않은 것이므로, 해당 장으로 돌아가 유도를 다시 확인한다. **총점은 참고 지표이다.** $24$ 점 중 $20$ 점이어도 그 $4$ 점이 한 영역에 몰려 있으면 그 영역은 통과하지 못한 것이고, $16$ 점이어도 아홉 영역에 고르게 흩어져 있으면 대부분 계산 실수이다. 어느 줄에 몰렸는지를 확인한다.

:::{admonition} 우선 보강 영역
:class: tip
미적분으로 넘어가기 전에 **인수분해(11~16번)**와 **유리식(21~24번)** 두 영역을 우선 보강한다. 미적분에서 처음 다루는 극한 계산이 이 두 영역 위에서 수행되기 때문이다. 예를 들어 $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$ 은 분자를 $(x+3)(x-3)$ 으로 인수분해하고 약분하면 계산이 끝난다(답은 $6$ 이며, 미적분 고유의 절차는 사용되지 않는다). 이 두 영역에서 틀린 문항이 있으면 위의 판정 규칙에 따라 아래 세트 4·7을 먼저 풀고, 거기서도 두 개 이상 틀리면 [제14·15장](ch14.md)·[제19장](ch19.md)으로 돌아간다. 이 두 영역은 다른 영역보다 판정 기준을 한 단계 엄격하게 적용한다.
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:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $7x - 2y$ — $x$ 끼리, $y$ 끼리만 합친다. **이렇게 틀린다**: $5x$ 와 $-3y$ 를 합쳐 $2xy$ 류를 만든다.
2. $24$ — $2 \times 3^2 - 3 \times (-2) = 18 + 6 = 24$. **이렇게 틀린다**: $18 - 6 = 12$. $-3y$ 에 $y=-2$ 를 넣으면 $-3 \times (-2) = +6$. **괄호를 쳐서 대입한다.**
3. $x = 10$ — $3x - 12 = 18$, $3x = 30$. 또는 양변을 $3$ 으로 나눠 $x - 4 = 6$.
4. $x = 5$ — $3x = 15$. 검산: $5 \times 5 - 7 = 18 = 2 \times 5 + 8$ ✔
5. $x > -3$ — $-2x < 6$. **음수로 나누므로 부등호가 뒤집힌다.** 확인: $x=0$ 을 원식에 넣으면 $1<7$ 참이므로 $0$ 이 답에 들어가야 한다.
6. $x \ge 4$ — $2x \ge 8$. 양수로 나누므로 부등호는 그대로.
7. (1) $x^7$  (2) $x^6$  (3) $\dfrac{1}{x^2}$ — **이렇게 틀린다**: (1)을 $x^{12}$, (2)를 $x^5$. 곱하면 지수를 **더하고**, 거듭제곱하면 **곱한다**.
8. (1) $x^3$  (2) $4x^6$ — (2)에서 $2$ 도 제곱된다. **이렇게 틀린다**: $2x^6$.
9. $x^2 + 6x + 9$ — **이렇게 틀린다**: $x^2 + 9$. 가운데 $6x$ 는 넓이 그림의 직사각형 두 개다([제13장](ch13.md)).
10. $2x^2 + 7x - 4$ — $2x^2 + 8x - x - 4$. 네 번 곱한다.
11. $3x(x-4)$ — **이렇게 틀린다**: $3(x^2-4x)$ 에서 멈춘다. $x$ 도 공통이다.
12. $(x+3)(x-3)$
13. $(x+3)^2$
14. $(x+3)(x+4)$ — 곱해서 $12$, 더해서 $7$.
15. $(x-2)(x-3)$ — 곱이 $+$, 합이 $-$ 이므로 **둘 다 음수**.
16. $(x-4)(x+3)$ — 곱이 $-$ 이므로 부호가 다르고, 합이 $-$ 이므로 절댓값 큰 쪽이 음수.
17. $x = 2$ 또는 $x = 3$ — $(x-2)(x-3) = 0$. **곱이 $0$ 이면 둘 중 하나가 $0$.** **이렇게 틀린다**: 인수분해만 하고 답을 안 쓴다.
18. $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$ — $a=2$, $b=3$, $c=-1$. 판별식 $9 + 8 = 17 > 0$. **이렇게 틀린다**: 분모를 $2a=4$ 가 아니라 $2$ 로 쓴다. 또는 $c=-1$ 의 부호를 놓쳐 $9-8=1$ 로 계산한다.
19. $(x, y) = (3, 1)$ — 두 식을 더하면 $3x = 9$. 검산: $2(3)+1 = 7$ ✔, $3-1=2$ ✔
20. $(x, y) = (2, 3)$ — 대입법. $3x + 2(2x-1) = 12$, $7x = 14$.
21. $x - 3$ — $\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}$. **이렇게 틀린다**: $9$ 와 $3$ 을 지운다. 항은 못 지운다.
22. $x + 1$ — $\dfrac{x(x+1)}{x}$. **이렇게 틀린다**: $x^2$. $x=2$ 로 검산하면 원식 $3$, $x+1=3$ ✔, $x^2=4$ ✘
23. $x - 2$ — 뒤집어 곱한다. $\dfrac{(x+2)(x-2)}{x} \times \dfrac{x}{x+2}$.
24. $\dfrac{3x+1}{x(x+1)}$ — 통분. $\dfrac{(x+1) + 2x}{x(x+1)}$. **이렇게 틀린다**: $\dfrac{3}{2x+1}$. 분모끼리 더했다.
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## 혼합 영역 추가 연습문제

`A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` $4(x-3) = 20$
2. `A` $-3x + 2 \le 11$
3. `A` (1) $\dfrac{x^6}{x^2}$  (2) $(x^3)^2$
4. `A` $(x-4)(x+2)$ 를 전개
5. `A` (1) $5x^2 - 15x$  (2) $x^2 - 25$ 를 인수분해
6. `B` $x^2 + 8x + 15$ 를 인수분해
7. `B` $x^2 - 2x - 8$ 을 인수분해
8. `B` $x^2 + 2x - 8 = 0$
9. `B` 어른 표 2장과 어린이 표 1장이 $26{,}000$ 원, 어른 표 1장과 어린이 표 2장이 $22{,}000$ 원이다. 각 표의 값은?
10. `B` $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ 를 약분
11. `C` $\dfrac{x^2+3x}{x^2-9}$ 를 약분
12. `C` 시속 $x$ km로 $40$ km를 갔다가 시속 $x+20$ km로 같은 길을 돌아왔다. 왕복 시간을 하나의 유리식으로 나타내라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $x = 8$
2. $x \ge -3$ — $-3x \le 9$. **음수로 나누므로 뒤집힌다.**
3. (1) $x^4$  (2) $x^6$
4. $x^2 - 2x - 8$
5. (1) $5x(x-3)$  (2) $(x+5)(x-5)$
6. $(x+3)(x+5)$
7. $(x-4)(x+2)$ — 곱이 $-8$ 이라 부호가 다르고, 합이 $-2$ 라 절댓값 큰 쪽이 음수.
8. $x = -4$ 또는 $x = 2$ — $(x+4)(x-2)=0$
9. **어른 $10{,}000$ 원, 어린이 $6{,}000$ 원** — 어른 $a$, 어린이 $c$ 로 두면 $2a+c = 26000$, $a+2c = 22000$. 첫 식을 2배 하여 빼면 $3a = 30000$. 검산: $10000 + 2 \times 6000 = 22000$ ✔
10. $x + 5$
11. $\dfrac{x}{x-3}$ — $\dfrac{x(x+3)}{(x+3)(x-3)}$. 위아래를 **둘 다** 인수분해해야 $(x+3)$ 이 보인다. **이렇게 틀린다**: 위아래에 $x^2$ 이 있다고 지운다.
12. $\dfrac{80x + 800}{x(x+20)}$ — $\dfrac{40}{x} + \dfrac{40}{x+20}$. **이렇게 틀린다**: 속력을 평균 내서 나눈다. 왕복은 **시간을 더한다.**
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## 영역별 보강 문제 은행

판정에서 미달한 영역이 있으면 해당 세트만 선택해 푼다.

**세트 1 — 일차방정식·부등식 (10문항)**

1. $2x + 5 = 13$  2. $3x - 7 = 8$  3. $5(x-2) = 20$  4. $3(x-4) = 18$  5. $4x + 3 = 2x + 11$  6. $2(x+1) = 3(x-2)$  7. $\dfrac{x}{3} + 2 = 5$  8. $-2x + 1 < 7$  9. $3x - 2 \ge x + 6$  10. $-\dfrac{x}{2} > 3$

**세트 2 — 지수법칙 (8문항)**

11. $x^3 \cdot x^5$  12. $\dfrac{x^7}{x^3}$  13. $(x^4)^2$  14. $(3x^2)^3$  15. $x^{-3}$ 을 분수 꼴로  16. $\dfrac{x^2}{x^5}$ 를 분수 꼴로  17. $(2x)^0$ (단 $x \ne 0$)  18. $\dfrac{6x^5}{2x^2}$

**세트 3 — 전개 (8문항)**

19. $3(x+4)$  20. $x(x-5)$  21. $(x+2)(x+7)$  22. $(x-3)(x+5)$  23. $(x+4)^2$  24. $(x-6)^2$  25. $(x+5)(x-5)$  26. $(2x-1)(x+4)$

**세트 4 — 인수분해 (14문항)**

앞 6문항은 공통인수·공식, 뒤 8문항은 두 수 찾기이다. 모든 답을 전개해 검산한 뒤 정답을 확인한다.

27. $4x^2 - 8x$  28. $6x^3 + 9x^2$  29. $x^2 - 16$  30. $x^2 - 49$  31. $x^2 + 10x + 25$  32. $x^2 - 8x + 16$  33. $x^2 + 7x + 12$  34. $x^2 + 9x + 20$  35. $x^2 - 5x + 6$  36. $x^2 - 9x + 18$  37. $x^2 - x - 12$  38. $x^2 + 2x - 15$  39. $x^2 - 3x - 10$  40. $2x^2 + 10x + 12$ (공통인수를 먼저, 끝까지 쪼갠다)

**세트 5 — 이차방정식 (10문항)**

이차방정식의 풀이는 세 가지이다. 먼저 **인수분해**를 시도하고, 인수분해가 되지 않으면 **완전제곱 5단계**를 적용한다. 그 5단계를 문자로 수행한 결과가 **근의 공식**이다. 47·48번에서 사용하는 완전제곱 5단계를 아래에 다시 적는다([제16장](ch16.md)).

$$\text{①} \ x^2 \text{ 계수를 } 1 \text{ 로} \ \to \ \text{② 상수를 우변으로} \ \to \ \text{③ 일차항 계수 절반의 제곱을 양변에} \ \to \ \text{④ 좌변을 제곱꼴로} \ \to \ \text{⑤ 제곱근 } \pm$$

41. $x^2 - 4 = 0$  42. $x^2 - 5x + 6 = 0$  43. $x^2 + 7x + 12 = 0$  44. $x^2 - x - 12 = 0$  45. $x^2 + 6x + 9 = 0$  46. $x^2 - 3x = 0$  47. $x^2 + 6x + 2 = 0$ (완전제곱으로)  48. $x^2 - 4x - 1 = 0$ (완전제곱으로)  49. $2x^2 + 3x - 1 = 0$ (근의 공식으로)  50. $x^2 + 2x + 5 = 0$ 의 판별식을 구하고 실근의 개수를 말하라

**세트 6 — 연립방정식 (6문항)**

51. $x + y = 5$, $x - y = 1$  52. $2x + y = 7$, $x - y = 2$  53. $y = 2x - 1$, $3x + 2y = 12$  54. $3x + 2y = 16$, $x - 2y = 0$  55. $2x + 3y = 12$, $4x - 3y = 6$  56. 연필 2자루와 지우개 1개가 $1{,}700$ 원, 연필 1자루와 지우개 2개가 $1{,}600$ 원이다. 각각의 값은?

**세트 7 — 유리식 (10문항)**

57. $\dfrac{9x}{12}$  58. $\dfrac{x^2+2x}{x}$  59. $\dfrac{6x+18}{6}$  60. $\dfrac{x^2-9}{x+3}$  61. $\dfrac{x^2-36}{x-6}$  62. $\dfrac{x^2+7x+12}{x+4}$  63. $\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4}$  64. $\dfrac{x}{4} \times \dfrac{8}{x^2}$  65. $\dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x-1}{x}$  66. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+3}$

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
**세트 1** 1. $x=4$  2. $x=5$  3. $x=6$  4. $x=10$  5. $x=4$  6. $x=8$  7. $x=9$  8. $x>-3$  9. $x \ge 4$  10. $x<-6$
- 6번: $2x+2 = 3x-6$, $-x=-8$. **이렇게 틀린다**: 오른쪽 괄호에서 $3 \times (-2) = -6$ 을 $+6$ 으로 쓴다.
- 8·10번: 음수로 나누므로 **부등호가 뒤집힌다.**

**세트 2** 11. $x^8$  12. $x^4$  13. $x^8$  14. $27x^6$  15. $\dfrac{1}{x^3}$  16. $\dfrac{1}{x^3}$  17. $1$  18. $3x^3$
- 14번 **이렇게 틀린다**: $3x^6$. 괄호 안의 $3$ 도 세제곱된다($3^3=27$).
- 17번: $0$ 이 아니라 $1$ 이다. 어떤 수든 $0$ 제곱은 $1$.

**세트 3** 19. $3x+12$  20. $x^2-5x$  21. $x^2+9x+14$  22. $x^2+2x-15$  23. $x^2+8x+16$  24. $x^2-12x+36$  25. $x^2-25$  26. $2x^2+7x-4$
- 23·24번 **이렇게 틀린다**: $x^2+16$, $x^2+36$. 가운데 항이 사라진다([제13장](ch13.md)의 넓이 그림에서 직사각형 두 개를 버린 것).
- 25번: 가운데 항이 없는 것이 **맞다.** $+5x$ 와 $-5x$ 가 상쇄된다. 23번과 나란히 놓고 비교한다.

**세트 4** 27. $4x(x-2)$  28. $3x^2(2x+3)$  29. $(x+4)(x-4)$  30. $(x+7)(x-7)$  31. $(x+5)^2$  32. $(x-4)^2$  33. $(x+3)(x+4)$  34. $(x+4)(x+5)$  35. $(x-2)(x-3)$  36. $(x-3)(x-6)$  37. $(x-4)(x+3)$  38. $(x+5)(x-3)$  39. $(x-5)(x+2)$  40. $2(x+2)(x+3)$
- 28번 **이렇게 틀린다**: $3x(2x^2+3x)$ 에서 멈춘다. $x^2$ 까지 공통이다.
- 35·36번: 곱이 $+$, 합이 $-$ 이므로 **둘 다 음수**. 오답이 가장 많은 항목이다.
- 40번 **이렇게 틀린다**: $2(x^2+5x+6)$ 에서 멈춘다. 두 단계다.

**세트 5** 41. $x=\pm 2$  42. $x=2, 3$  43. $x=-3, -4$  44. $x=4, -3$  45. $x=-3$ (중근)  46. $x=0, 3$  47. $x = -3 \pm \sqrt{7}$  48. $x = 2 \pm \sqrt{5}$  49. $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$  50. 판별식 $= 2^2 - 4(1)(5) = -16 < 0$, **실근 없음**
- 43번: 인수분해는 $(x+3)(x+4)$ 인데 **답은 $x=-3, -4$**. $(x+3)=0$ 이려면 $x=-3$.
- 46번 **이렇게 틀린다**: 양변을 $x$ 로 나눠 $x=3$ 만 쓴다. **$x$ 로 나누면 $x=0$ 이라는 답이 사라진다.** $x(x-3)=0$ 으로 묶는다.
- 47번(완전제곱 5단계): ① 계수가 이미 $1$ → ② $x^2+6x=-2$ → ③ 일차항 계수 $6$ 의 절반은 $3$, 제곱은 $9$ 이므로 양변에 $9$: $x^2+6x+9=7$ → ④ $(x+3)^2=7$ → ⑤ $x+3=\pm\sqrt7$, 곧 $x=-3\pm\sqrt7$. **이렇게 틀린다**: ③에서 좌변에만 $9$ 를 더한다. **양변에** 더해야 값이 그대로다.
- 48번(완전제곱 5단계): ① 계수 $1$ → ② $x^2-4x=1$ → ③ 절반 $-2$, 제곱 $4$ 를 양변에: $x^2-4x+4=5$ → ④ $(x-2)^2=5$ → ⑤ $x=2\pm\sqrt5$. 부호에 주의 — 일차항이 $-4x$ 이므로 절반은 $-2$ 이고 괄호 안도 $x-2$ 다. 제곱한 $4$ 는 양수다.
- 47·48번을 근의 공식으로 풀어도 답은 같다. **근의 공식이 이 5단계를 문자로 한 번 더 수행한 결과**이기 때문이다([제17장](ch17.md)). 49번이 그 문자 버전을 쓰는 문항이다.

**세트 6** 51. $(3,2)$  52. $(3,1)$  53. $(2,3)$  54. $(4,2)$  55. $(3,2)$  56. **연필 $600$ 원, 지우개 $500$ 원**
- 54번: 두 식을 더하면 $y$ 가 사라진다. 55번: 더하면 $6x=18$. **더할지 뺄지는 부호를 보고 정한다.**
- 56번: 연필 $p$, 지우개 $e$ 로 두면 $2p+e=1700$, $p+2e=1600$. **문장제는 "무엇을 $x$ 로 둘지" 한 줄 쓰는 것이 첫 단계다.**

**세트 7** 57. $\dfrac{3x}{4}$  58. $x+2$  59. $x+3$  60. $x-3$  61. $x+6$  62. $x+3$  63. $\dfrac{x+2}{x-2}$  64. $\dfrac{2}{x}$  65. $x+1$  66. $\dfrac{2x+3}{x(x+3)}$
- 58번 **이렇게 틀린다**: $x^2$. $x=2$ 로 검산하면 원식 $4$, $x+2=4$ ✔, $x^2=4$ — **두 값이 우연히 일치한다.** $x=3$ 으로 다시 확인한다: 원식 $5$, $x+2=5$ ✔, $x^2=9$ ✘. 검산에 사용하는 수는 두 개를 대입하는 것이 안전하다.
- 63번: 위아래를 **둘 다** 인수분해한다. $\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}$, 아래에 $(x-2)$ 가 하나 남는다.
- 66번 **이렇게 틀린다**: $\dfrac{2}{2x+3}$. 분모끼리 더했다 — $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{2}{5}$ 와 같은 오류다.
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## 요약과 다음 부

제2부의 열두 장에서 식을 다루는 방법을 세웠다. 문자·방정식·부등식·지수·전개·인수분해·이차방정식·연립·유리식은 모두 "값을 그대로 두고 모양만 바꾸는" 하나의 기술이다. 여기까지의 자가진단을 통과했다면 대수의 기초는 정착된 상태이다.

다음은 **제3부 · 일변수 미적분**이다. 극한·미분·적분의 절차 자체는 복잡하지 않다. 미적분에서 진행이 멈추는 지점은 대부분 대수에 있다 — 인수분해가 되지 않아서, 약분이 되지 않아서, 지수법칙이 정착되지 않아서 멈춘다. 이 종합 장이 제2부에서 중요한 이유가 여기에 있다.

*(제3부 · 일변수 미적분은 이후 공개됩니다.)*