제32장 · 적분의 도입 — 넓이 문제

내용

제32장 · 적분의 도입 — 넓이 문제#

이 장


원본 코드	R3-W12
선행 내용	제31장(최적화)
요지	정적분은 곡선 아래의 넓이다. 직사각형으로 채우고 극한을 취한다.

도입#

도형 세 개를 나란히 놓는다.

세 번째는 원점에서 \((1,1)\) 까지 올라가는 포물선과 \(x\) 축, 그리고 \(x=1\) 인 세로선으로 둘러싸인 영역이다.

첫 번째 도형의 넓이는 가로 곱하기 세로이다. 초등 과정에서 다루는 공식이다. 두 번째는 밑변 곱하기 높이 나누기 \(2\) 이며, \(2\) 로 나누는 것은 같은 밑변과 높이를 가진 직사각형의 절반이기 때문이다. 결국 두 번째 공식도 첫 번째에서 나온다. 세 번째 도형의 넓이는 이 두 공식만으로는 구해지지 않는다.

세 번째 도형은 초등 도형 공식의 적용 범위 밖에 있다. 기원전 3세기에 아르키메데스가 포물선으로 잘라낸 조각 하나의 넓이를 구했다 — 같은 밑변과 높이를 가진 삼각형의 \(\dfrac{4}{3}\) 배라는 결과이다. 그러나 그 방법을 일반적인 곡선으로 확장하는 데에는 그 뒤로 1900년이 더 걸렸다. 이 장은 그 경로를 따라간다. 출발점은 직사각형 하나이다.

빗금 친 부분의 넓이를 먼저 어림한다. 흔한 대답은 \(0.5\) 이다. 곡선을 감싸는 한 변 \(1\) 인 정사각형의 넓이가 \(1\) 이고, 곡선이 그 정사각형의 대각선에 가깝게 보이므로 절반이라고 추론하는 것이다. 그러나 이 곡선은 직선이 아니라 아래로 처져 있으므로 넓이는 절반보다 작다. 따라서 답은 \(0\) 과 \(0.5\) 사이에 있다. 이 단계에서 이미 범위가 좁아졌다. 이 장의 끝에서는 소수점 셋째 자리까지 확정한다.

이 장 전체를 관통하는 원리는 한 문장이다.

\[\text{“모르는 넓이는, 아는 넓이로 채운다.”}\]

알려진 넓이 공식은 하나이다#

실제로 알려진 넓이 공식은 하나이다. 가로 곱하기 세로. 삼각형은 직사각형의 절반이고, 사다리꼴은 직사각형과 삼각형의 합이며, 평행사변형은 잘라 붙이면 직사각형이 된다. 전부 하나의 공식에서 나온다.

따라서 곡선 아래 넓이를 구하는 방법도 하나이다. 직사각형으로 채운다. 직사각형은 곡선 아래 영역과 정확히 일치하지 않으며, 그 차이를 처리하는 절차가 이 장의 내용이다.

직사각형 두 개로 시작한다#

문제를 확정한다.

\[f(x)=x^2, \quad 0 \le x \le 1 \text{ 구간에서 } x \text{ 축까지의 넓이}\]

구간을 두 조각으로 나눈다. 각 조각의 폭은 \(\dfrac{1}{2}\) 이다.

왼쪽 합은 각 조각에서 왼쪽 끝의 높이로 직사각형을 세운 것이다.

첫 번째 직사각형은 높이가 \(f(0)=0\) 이므로 납작하게 눌린 선분으로 나타난다. 두 번째는 곡선 아래에 완전히 들어간다.

\[L_2 = \frac{1}{2}\cdot f(0) + \frac{1}{2}\cdot f(0.5) = \frac{1}{2}(0) + \frac{1}{2}(0.25) = 0.125\]

직사각형이 전부 곡선 아래에 들어가고, 곡선과 직사각형 사이에 빈틈이 남는다. 따라서 이 값은 참값보다 작다.

오른쪽 합은 각 조각에서 오른쪽 끝의 높이로 세운 것이다.

이 경우에는 직사각형이 곡선을 덮는다.

\[R_2 = \frac{1}{2}\cdot f(0.5) + \frac{1}{2}\cdot f(1) = \frac{1}{2}(0.25) + \frac{1}{2}(1) = 0.625\]

직사각형이 곡선 위로 튀어나오므로 이 값은 참값보다 크다. 두 결과를 한 줄로 묶으면 다음 관계가 성립한다. 이 장에서 가장 중요한 한 줄이다.

\[0.125 \ < \ (\text{참값}) \ < \ 0.625\]

이 시점에서 참값 자체는 아직 확정되지 않았으나, 참값이 놓인 범위는 확정되었다. 미지의 값을 이미 아는 두 값 사이에 가두는 것이 이 절차의 핵심이다. 도입에서 어림한 \(0.5\) 도 이 범위 안에 있다. 다음 단계는 범위를 좁히는 것이다.

왼쪽 합이 작고 오른쪽 합이 큰 이유#

왼쪽 합이 작은 것은 각 조각에서 왼쪽 끝의 높이가 가장 낮기 때문이다. 왼쪽 끝이 가장 낮은 것은 \(f(x)=x^2\) 이 이 구간에서 증가함수이기 때문이다.

\[\text{증가함수} \ \Rightarrow \ L_n < (\text{참값}) < R_n\]

\[\text{감소함수} \ \Rightarrow \ R_n < (\text{참값}) < L_n\]

감소함수에서는 부등호가 뒤집힌다. 왼쪽 끝이 가장 높으므로 왼쪽 합이 참값보다 크다. “왼쪽 합은 항상 작다”로 기억하면 감소함수에서 오류가 발생한다. 규칙을 암기하는 대신 그래프를 그려 어느 쪽 끝이 높은지 확인한다.

범위를 직접 좁힌다. 같은 \(f(x)=x^2\), 구간 \([0,1]\) 을 이번에는 네 조각으로 나눈다. 폭은 \(\dfrac{1}{4}=0.25\) 이다. 네 조각의 왼쪽 끝은 \(x=0,\ 0.25,\ 0.5,\ 0.75\) 이고 높이는 \(0,\ 0.0625,\ 0.25,\ 0.5625\) 이다.

\[L_4 = 0.25 \times (0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625) = 0.25 \times 0.875 = 0.21875\]

오른쪽 끝은 \(x=0.25,\ 0.5,\ 0.75,\ 1\) 이고 높이는 \(0.0625,\ 0.25,\ 0.5625,\ 1\) 이다.

\[R_4 = 0.25 \times 1.875 = 0.46875\]

범위가 \([0.125,\ 0.625]\) 에서 \([0.21875,\ 0.46875]\) 로 좁아졌다. 폭이 \(0.5\) 에서 \(0.25\) 로 정확히 절반이 되었다. 이는 우연이 아니다. 직사각형의 개수를 두 배로 늘리면 범위의 폭도 절반이 된다. 이 관계가 이후 논의의 근거이다. 분할 수를 백 배, 천 배로 늘렸을 때의 결과는 다음 절에서 확인한다.

표에 의한 확인 — 한 값으로 수렴한다#

직사각형의 개수를 늘리면 왼쪽 합과 오른쪽 합은 한 값으로 수렴한다. 그 값이 넓이이다. 이를 표로 확인한다.

직사각형 백 개, 천 개를 일일이 더할 수는 없으므로 도구가 하나 필요하다. 제곱수의 합 공식이다.

\[1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

이 공식은 여기서 유도하지 않고 도구로만 사용한다. 오른쪽 합은 높이가 \(\left(\dfrac{1}{n}\right)^2, \left(\dfrac{2}{n}\right)^2, \ldots, \left(\dfrac{n}{n}\right)^2\) 이고 폭이 \(\dfrac{1}{n}\) 이므로 다음과 같이 정리된다.

\[R_n = \frac{1}{n}\left[\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{n}{n}\right)^2\right] = \frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\]

왼쪽 합은 따로 계산할 필요가 없다. 두 합을 나란히 쓰면 가운데 항이 전부 동일하고, 오른쪽 합에는 맨 끝 \(f(1)\) 이, 왼쪽 합에는 맨 앞 \(f(0)\) 이 하나씩 더 있다. 차이는 그 두 항뿐이다.

이 대응은 항이 \(n\) 개씩인 두 목록을 세로로 나란히 쓰면 직접 확인된다. 구간을 \(n\) 조각으로 자른 경계점을 왼쪽부터 \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) 이라 한다 (\(x_0 = 0\), \(x_n = 1\)).

\[L_n = \frac{1}{n}\left[\,f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})\phantom{{}+f(x_n)}\,\right]\]

\[R_n = \frac{1}{n}\left[\,\phantom{f(x_0)+{}}f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1}) + f(x_n)\,\right]\]

\(R_n\) 을 한 칸 밀어 놓으면 \(f(x_1)\) 부터 \(f(x_{n-1})\) 까지가 위아래로 겹친다. 짝을 이루지 않는 항은 위 줄 맨 앞의 \(f(x_0)\) 과 아래 줄 맨 뒤의 \(f(x_n)\) 둘뿐이다. 두 합을 빼면 겹친 항은 모두 소거되고 이 둘만 남는다.

\(n=4\) 에 수치를 대입하면 이 관계가 확인된다. 바로 앞에서 계산해 둔 높이들이다.

쓰는 높이	\(f(0)\)	\(f(0.25)\)	\(f(0.5)\)	\(f(0.75)\)	\(f(1)\)
\(L_4\)	\(0\)	\(0.0625\)	\(0.25\)	\(0.5625\)	—
\(R_4\)	—	\(0.0625\)	\(0.25\)	\(0.5625\)	\(1\)

가운데 세 칸이 동일하다. \(L_4\) 에만 \(f(0)=0\) 이 있고 \(R_4\) 에만 \(f(1)=1\) 이 있다. 따라서 차는 폭 \(0.25\) 곱하기 \((1-0)\), 곧 \(0.25\) 이다. 앞에서 구한 \(0.46875 - 0.21875 = 0.25\) 와 일치한다.

\[R_n - L_n = \frac{1}{n}\left[f(1) - f(0)\right] = \frac{1}{n}(1-0) = \frac{1}{n}\]

따라서 왼쪽 합은 오른쪽 합에서 \(\dfrac{1}{n}\) 을 빼서 얻는다. 이제 표를 채운다. (\(f(x)=x^2\), 구간 \([0,1]\).)

\(n\)	폭 \(\Delta x\)	왼쪽 합 \(L_n\)	오른쪽 합 \(R_n\)	범위의 폭 \(R_n - L_n\)
\(2\)	\(0.5\)	\(0.125\)	\(0.625\)	\(0.5\)
\(4\)	\(0.25\)	\(0.21875\)	\(0.46875\)	\(0.25\)
\(8\)	\(0.125\)	\(0.2734375\)	\(0.3984375\)	\(0.125\)
\(100\)	\(0.01\)	\(0.32835\)	\(0.33835\)	\(0.01\)
\(1000\)	\(0.001\)	\(0.3328335\)	\(0.3338335\)	\(0.001\)

\(n=8\) 까지는 높이를 직접 더해도 되고, \(n=100\) 과 \(n=1000\) 은 공식으로 얻는다. 표를 모두 채우면 세 가지가 확인된다. 첫째, 왼쪽 열과 오른쪽 열이 \(0.3328\ldots\) 과 \(0.3338\ldots\) 사이, 즉 \(0.333\ldots\) 으로 모인다. 둘째, \(0.333\ldots\) 은 분수로 \(\dfrac{1}{3}\) 이다. 셋째, 도입에서 어림한 값은 대개 \(0.5\) 였으나 참값은 절반이 아니라 \(3\) 분의 \(1\) 이며, 이는 추측이 아니라 계산으로 얻은 값이다.

\[0.3328335 \ < \ (\text{넓이}) \ < \ 0.3338335 \quad\Rightarrow\quad (\text{넓이}) = \frac{1}{3}\]

공식의 적용을 두 값에서 더 확인한다. \(n=10\) 이면 \(R_{10} = \dfrac{11 \times 21}{600} = \dfrac{231}{600} = 0.385\), \(L_{10} = 0.385 - 0.1 = 0.285\) 이다. \(n=20\) 이면 \(R_{20} = \dfrac{21 \times 41}{2400} = 0.35875\), \(L_{20} = 0.35875 - 0.05 = 0.30875\) 이다. 어느 쪽이든 두 값이 \(\dfrac{1}{3}\) 을 위아래에서 감싼다.

극한과 기호#

표는 넓이가 \(\dfrac{1}{3}\) 에 접근함을 보일 뿐 값을 확정하지는 않는다. 확정에는 극한이 필요하다. 오른쪽 합을 전개한다.

\[R_n = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \frac{2n^2+3n+1}{6n^2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}\]

\(n\) 이 커지면 \(\dfrac{1}{2n}\) 은 \(0\) 으로 가고 \(\dfrac{1}{6n^2}\) 은 더 빨리 \(0\) 으로 간다. 남는 것은 \(\dfrac{1}{3}\) 이다.

\[\lim_{n \to \infty} R_n = \frac{1}{3}, \qquad \lim_{n \to \infty} L_n = \lim_{n \to \infty}\left(R_n - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{3}\]

위에서 조인 값도 \(\dfrac{1}{3}\), 아래에서 조인 값도 \(\dfrac{1}{3}\) 이다. 따라서 넓이는 \(\dfrac{1}{3}\) 으로 확정된다.

이 극한에 이름과 기호를 붙인 것이 정적분이다.

\[\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}\]

이 기호는 네 부분으로 이루어지며, 각 부분은 앞에서 수행한 절차에 그대로 대응한다.

\[\int \ \longleftarrow \ \text{“다 더한다”} \ (\text{합을 뜻하는 라틴어 summa의 첫 글자 S를 길게 늘인 것})\]

\[x^2 \ \longleftarrow \ \text{직사각형의 } \textbf{높이} \ f(x)\]

\[dx \ \longleftarrow \ \text{직사각형의 } \textbf{폭}, \text{ 무한히 얇은 } \Delta x\]

\[0 \text{ 과 } 1 \ \longleftarrow \ \textbf{어디서 어디까지} \text{ 더하는가}\]

라이프니츠가 1675년에 이 기호를 도입했다. \(f(x)\,dx\) 는 높이 곱하기 폭, 곧 직사각형 하나의 넓이이다. 그것을 \(\int\) 로 전부 더한다. 표를 채우며 계산기로 수행한 절차를 기호로 축약한 것이며, 절차 자체는 앞에서 한 것과 동일하다.

\[\int_a^b f(x)\,dx \ = \ \text{“}a \text{ 부터 } b \text{ 까지, 높이 } f(x) \text{ 에 얇은 폭 } dx \text{ 를 곱해 전부 더한 것”}\]

도형으로 읽히는 정적분#

피적분함수가 곡선이 아니라 직선이면 근사가 필요하지 않다. 도형의 넓이 공식을 그대로 적용한다.

\[\int_0^3 2\,dx = 3 \times 2 = 6 \qquad (\text{가로 } 3, \text{ 세로 } 2 \text{ 인 직사각형})\]

\[\int_0^4 x\,dx = \frac{1}{2}\times 4 \times 4 = 8 \qquad (\text{밑변 } 4, \text{ 높이 } 4 \text{ 인 삼각형})\]

\[\int_0^2 (x+1)\,dx = \frac{1+3}{2}\times 2 = 4 \qquad (\text{윗변 } 1, \text{ 아랫변 } 3, \text{ 높이 } 2 \text{ 인 사다리꼴})\]

셋째 식에서는 ‘높이’라는 말이 가리키는 대상에 주의해야 한다. 사다리꼴 공식의 ‘높이’ 자리에 들어가는 \(2\) 는 그래프에서는 가로 방향의 길이이다. 이 영역은 통상적으로 그리는 사다리꼴을 \(90\) 도 눕혀 놓은 형태이기 때문이다. 이 영역에서 평행한 두 변은 위아래 가로선이 아니라 좌우 세로선이다. 왼쪽 세로선은 \(x=0\) 자리에 있고 길이가 \(f(0) = 0+1 = 1\), 오른쪽 세로선은 \(x=2\) 자리에 있고 길이가 \(f(2) = 2+1 = 3\) 이다. 그 두 세로선 사이의 거리, 곧 구간의 가로 길이 \(2\) 가 사다리꼴 공식의 ‘높이’ 자리에 들어간다.

사다리꼴 공식의 자리	그래프에서는 무엇인가	이 예제의 값
평행한 두 변 중 하나	왼쪽 끝의 세로선, 길이 \(f(a)\)	\(f(0) = 1\)
평행한 두 변 중 하나	오른쪽 끝의 세로선, 길이 \(f(b)\)	\(f(2) = 3\)
높이	구간의 가로 길이 \(b - a\)	\(2 - 0 = 2\)

검산 방법을 하나 덧붙인다. \(\dfrac{1+3}{2}\) 는 두 세로선 길이의 평균, 곧 \(2\) 이다. 따라서 이 사다리꼴은 높이가 \(2\) 인 직사각형과 넓이가 같다. 가로 \(2\), 세로 \(2\) 이므로 넓이는 \(4\) 이다. 이는 그림에서 직접 확인된다. 기울어진 변이 왼쪽에서 잘라낸 부분과 오른쪽에서 채운 부분이 서로 같기 때문이다. 사다리꼴의 넓이는 언제나 ‘두 세로선 길이의 평균 곱하기 가로 폭’으로 계산된다.

아는 도형이면 근사하지 않고 넓이 공식을 그대로 적용한다.

부호가 있는 넓이#

\(f(x) = -2\) 는 \(x\) 축 아래에 있는 가로선이다. 이 함수의 정적분에서는 높이가 \(-2\) 이고 폭은 여전히 양수이므로, 높이 곱하기 폭은 음수가 된다.

\[\int_0^3 (-2)\,dx = 3 \times (-2) = -6\]

이 값은 다음과 같이 정의된다. 정적분은 넓이를 세되, \(x\) 축 위는 \(+\), 아래는 \(-\) 로 센다. 이를 ‘부호가 있는 넓이’라고 한다.

\[\int_{-1}^{1} x\,dx = 0\]

오른쪽 삼각형이 \(+\dfrac{1}{2}\), 왼쪽 삼각형이 \(-\dfrac{1}{2}\) 이므로 서로 상쇄된다. 도형의 넓이는 \(1\) 이지만 정적분은 \(0\) 이다. 넓이와 정적분은 서로 다른 양이다. 정적분은 부호가 있는 넓이이다.

도형의 넓이 공식으로 계산되는 예를 몇 개 더 든다. 근사는 사용하지 않는다.

\[\int_0^5 4\,dx = 20, \qquad \int_0^2 3x\,dx = 6, \qquad \int_0^4 (-1)\,dx = -4, \qquad \int_0^2 (x+1)\,dx = 4\]

차례로 \(5 \times 4\) 인 직사각형, 밑변 \(2\) 높이 \(6\) 인 삼각형, \(x\) 축 아래의 직사각형(따라서 \(-4\)), 윗변 \(1\) 아랫변 \(3\) 높이 \(2\) 인 사다리꼴 \(\dfrac{1+3}{2}\times 2 = 4\) 이다.

빈번한 오류#

적분을 “그냥 미분의 반대”로만 외운다

적분을 계산 규칙으로만 익히면 적분이 본래 해결하려던 문제가 무엇이었는지는 남지 않는다. 그 결과 “왜 넓이가 나오는가”라는 질문 자체가 성립하지 않는다. 규칙만 남고 문제가 사라진 상태이다. 적분이 미분과 어떻게 이어지는지는 다음 장에서 다룬다. 이 장에서 확정해 둘 것은 그보다 앞선 사실이다. 정적분은 본래 곡선 아래의 넓이를 구하는 절차이다. 이 사실을 전제하지 않으면 다음 장의 결과가 무엇을 의미하는지 파악되지 않는다.

확인 문제: 정적분 \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) 는 무엇인가? (답: 곡선 \(y=x^2\) 아래, \(x=0\) 부터 \(x=1\) 까지의 넓이. 값은 \(\dfrac{1}{3}\).)

“왼쪽 합은 항상 작다”고 외운다

이 장의 첫 예제가 \(x^2\) 이라는 증가함수였기 때문에, 처음 본 한 사례가 일반 규칙으로 굳기 쉽다. 그러나 왼쪽 합이 참값보다 작은 것은 증가함수일 때뿐이다. \(f(x)=4-x^2\) 처럼 감소하는 함수에서는 각 조각의 왼쪽 끝이 가장 높으므로 왼쪽 합이 참값보다 크다. 규칙을 암기하는 대신 그래프에서 어느 쪽 끝이 높은지 확인한다. 그래프를 확인하는 절차가 규칙을 암기하는 것보다 오류가 적다.

확인 문제: \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) 를 \([1,2]\) 에서 근사하면 왼쪽 합과 오른쪽 합 중 어느 쪽이 참값보다 큰가? (답: 왼쪽 합. 감소함수이므로.)

\(dx\) 를 장식으로 본다

\(\displaystyle\int_0^1 x^2\) 이라고 쓰고 \(dx\) 를 빠뜨리는 것은 빈번한 오류 중 하나이다. \(dx\) 는 관습적 표기가 아니라 직사각형의 폭이다. 직사각형 하나의 넓이는 높이 곱하기 폭, 곧 \(f(x)\,dx\) 이다. \(dx\) 를 빼면 넓이가 아니라 높이만 더한 것이 된다. 높이가 미터, 폭이 미터면 곱은 제곱미터가 되어 넓이의 단위가 나오지만, \(dx\) 를 빼면 단위가 미터로 남는다. 길이는 넓이가 아니다. 또한 \(dx\) 는 어느 문자가 변수인지도 지정한다. \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) 와 \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dt\) 는 서로 다른 뜻이다.

확인 문제: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) 에서 \(f(x)\,dx\) 하나는 그림에서 무엇인가? (답: 직사각형 하나의 넓이, 곧 높이 곱하기 폭.)

\(x\) 축 아래를 양수로 센다

“넓이는 음수가 될 수 없다”는 진술은 맞다. 그래서 정적분은 순수한 넓이와 다른 양이다. 정확한 명칭은 부호가 있는 넓이이다. \(x\) 축 위는 \(+\), 아래는 \(-\) 이다. 이 규칙은 따로 부과한 것이 아니라 곱셈에서 자동으로 따라 나온다. 높이가 \(-2\) 인 직사각형은 폭을 곱하면 음수가 된다.

확인 문제: \(\displaystyle\int_0^4 (x-3)\,dx\) 를 구하라. (답: \(-4\). \(x=3\) 왼쪽 삼각형이 \(-4.5\), 오른쪽 삼각형이 \(+0.5\). 부호 없이 \(5\) 라고 쓰면 안 된다.)

연습문제#

계산기를 사용해도 된다. 이 절에서 익히는 것은 계산 기술이 아니라 절차의 구조이다. 근사 문항에서는 반드시 직사각형을 그린다. 그림 없이 수치만 제시한 답안은 불완전한 답안이다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A 도형 넓이로 구하라. (1) \(\displaystyle\int_0^5 3\,dx\) (2) \(\displaystyle\int_1^5 3\,dx\) (3) \(\displaystyle\int_0^6 x\,dx\)
A 도형 넓이로 구하라. (1) \(\displaystyle\int_0^3 2x\,dx\) (2) \(\displaystyle\int_0^2 (3x+1)\,dx\)
A \(f(x)=x^2\), 구간 \([0,2]\), \(n=4\) 일 때 오른쪽 합을 구하라. 직사각형을 그릴 것.
A 3번과 같은 조건에서 왼쪽 합을 구하고, 참값이 어느 범위에 있는지 쓰라.
B \(f(x)=x^3\), 구간 \([0,1]\), \(n=4\) 일 때 왼쪽 합과 오른쪽 합을 구하라. 두 값의 차가 \(\dfrac{1}{n}\left[f(1)-f(0)\right]\) 과 맞는지 확인하라.
B \(f(x)=4-x^2\), 구간 \([0,2]\), \(n=4\) 일 때 왼쪽 합과 오른쪽 합을 구하라. 이번에는 어느 쪽이 크고 어느 쪽이 작은가? 이유를 한 줄로 쓰라.
B \(f(x)=x^2\), 구간 \([0,1]\) 에서 \(n=10\) 일 때 \(L_{10}\) 과 \(R_{10}\) 을 공식 \(R_n=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\) 으로 구하라.
B 도형 넓이로 구하라. \(\displaystyle\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx\) (힌트: 이 곡선은 반지름 \(2\) 인 반원이다)
B 부호에 주의해서 구하라. (1) \(\displaystyle\int_0^4 (x-2)\,dx\) (2) \(\displaystyle\int_0^4 (x-3)\,dx\)
B \(R_n - L_n = \dfrac{b-a}{n}\left[f(b)-f(a)\right]\) 인 이유를 두 합을 나란히 써서 설명하라. (\(f\) 는 증가함수, 구간 \([a,b]\))
C \(f(x)=x^2\), 구간 \([0,1]\), \(n=4\) 일 때 각 조각의 중점의 높이로 직사각형을 만들어 합을 구하라. 왼쪽 합·오른쪽 합과 비교하면 어떤가?
C \(f(x)=\dfrac{1}{x}\), 구간 \([1,2]\), \(n=4\) 일 때 왼쪽 합과 오른쪽 합을 소수점 넷째 자리까지 구하라. 참값은 \(0.6931\ldots\) 이다. 두 합 사이에 있는가?
C 정적분 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) 의 네 부분(\(\int\), \(f(x)\), \(dx\), \(a\) 와 \(b\))이 각각 무엇을 뜻하는지 한 줄씩 쓰라.

정답과 해설

(1) \(15\) (2) \(12\) — 가로가 \(4\) 다. \(0\) 부터가 아니다 (3) \(18\) — 밑변 \(6\), 높이 \(6\) 인 삼각형: \(\dfrac{1}{2}\times6\times6\)
(1) \(9\) — 밑변 \(3\), 높이 \(6\) 인 삼각형 (2) \(8\) — 윗변 \(1\), 아랫변 \(7\), 높이 \(2\) 인 사다리꼴: \(\dfrac{1+7}{2}\times2\)
\(3.75\) — 폭 \(0.5\). 오른쪽 끝 \(x=0.5, 1, 1.5, 2\), 높이 \(0.25, 1, 2.25, 4\). 합 \(7.5 \times 0.5 = 3.75\). 폭을 \(0.25\) 로 쓰는 것이 빈번한 오류이다. 구간 길이 \(2\) 를 \(4\) 로 나누면 \(0.5\) 다.
\(1.75\) — 왼쪽 끝 \(x=0, 0.5, 1, 1.5\), 높이 \(0, 0.25, 1, 2.25\). 합 \(3.5 \times 0.5=1.75\). 범위: \(1.75 < (\text{참값}) < 3.75\). (참값은 \(\dfrac{8}{3} \approx 2.667\) 이며, 이 장의 도구로는 범위만 확정된다.)
폭 \(0.25\). 높이 \(0^3, 0.25^3, 0.5^3, 0.75^3 = 0, 0.015625, 0.125, 0.421875\). \(L_4 = 0.25 \times 0.5625 = 0.140625\). 오른쪽은 \(0.015625, 0.125, 0.421875, 1\) 로 \(R_4 = 0.25 \times 1.5625 = 0.390625\). 차 \(= 0.25 = \dfrac{1}{4}(1-0)\) ✔
폭 \(0.5\). 왼쪽 끝 \(x=0,0.5,1,1.5\), 높이 \(4, 3.75, 3, 1.75\) → \(L_4 = 0.5 \times 12.5 = 6.25\). 오른쪽 끝 높이 \(3.75, 3, 1.75, 0\) → \(R_4 = 0.5 \times 8.5 = 4.25\). 왼쪽 합이 더 크다. 이유: 이 함수는 이 구간에서 감소하므로 각 조각의 왼쪽 끝이 가장 높다. “왼쪽 합은 항상 작다”로 기억하면 여기서 오류가 발생한다.
\(R_{10}=\dfrac{11\times21}{6\times100}=\dfrac{231}{600}=0.385\), \(L_{10}=0.385-0.1=0.285\). 범위 \([0.285, 0.385]\) 가 \(\dfrac{1}{3}\) 을 감싼다.
\(2\pi\) — 반지름 \(2\) 인 반원의 넓이 \(\dfrac{1}{2}\pi(2)^2 = 2\pi \approx 6.28\). 곡선이라고 해서 모두 근사해야 하는 것은 아니다. 아는 도형이면 넓이 공식을 그대로 쓴다.
(1) \(0\) — \(x=2\) 아래쪽 삼각형이 \(-2\), 위쪽 삼각형이 \(+2\). 상쇄된다. (2) \(-4\) — \(x=3\) 왼쪽의 삼각형(밑변 \(3\), 높이 \(3\))이 \(-4.5\), 오른쪽 삼각형(밑변 \(1\), 높이 \(1\))이 \(+0.5\). 합 \(-4\). 부호를 무시하고 \(4.5+0.5=5\) 라고 쓰면 안 된다. \(x\) 축 아래는 음수다.
두 합을 나란히 쓰면 가운데 항이 전부 같다. 오른쪽 합에만 \(f(b)\) 가 있고, 왼쪽 합에만 \(f(a)\) 가 있다. 나머지는 서로 지워진다. 각각 폭 \(\dfrac{b-a}{n}\) 이 곱해지므로 차는 \(\dfrac{b-a}{n}\left[f(b)-f(a)\right]\) 다. (구간 \([0,1]\) 이면 \(\dfrac{1}{n}\left[f(1)-f(0)\right]\).) 이 식은 \(n\) 을 키우면 오차가 줄어든다는 것과, 얼마나 줄어드는지를 함께 알려준다.
중점 \(x=0.125, 0.375, 0.625, 0.875\), 높이 \(0.015625, 0.140625, 0.390625, 0.765625\). 합 \(1.3125 \times 0.25 = 0.328125\). 왼쪽 \(0.21875\), 오른쪽 \(0.46875\) 보다 참값 \(0.3333\ldots\) 에 훨씬 가깝다. 중점을 쓰면 넘치는 부분과 모자란 부분이 서로 상쇄되기 때문이다. 동일한 분할 수로 더 정확한 값을 얻는 방법이 존재한다는 뜻이다.
폭 \(0.25\). 왼쪽 끝 \(x=1, 1.25, 1.5, 1.75\), 높이 \(1, 0.8, 0.666667, 0.571429\) → \(L_4 \approx 0.7595\). 오른쪽 끝 \(x=1.25, 1.5, 1.75, 2\), 높이 \(0.8, 0.666667, 0.571429, 0.5\) → \(R_4 \approx 0.6345\). 참값 \(0.6931\) 은 \(0.6345\) 와 \(0.7595\) 사이에 있다 ✔ 이 함수는 감소하므로 왼쪽 합이 위쪽이다(6번과 같은 구조).
\(\int\) = “다 더한다”(합, summa의 S). \(f(x)\) = 직사각형의 높이. \(dx\) = 직사각형의 폭(무한히 얇은). \(a\) 와 \(b\) = 어디서 어디까지 더하는가.

추가 연습문제#

계산기를 사용한다. 근사 문항에서는 반드시 직사각형을 그린다. 먼저 도형으로 읽는 정적분이다.

\(\displaystyle\int_0^4 5\,dx\) 2. \(\displaystyle\int_1^5 3\,dx\) 3. \(\displaystyle\int_0^3 2x\,dx\) 4. \(\displaystyle\int_0^2 (3x+1)\,dx\)

다음 네 문항은 왼쪽 합과 오른쪽 합을 둘 다 구하고, 참값이 갇히는 범위를 부등식으로 쓴다.

\(f(x)=x^2\), 구간 \([0,1]\), \(n=2\)
\(f(x)=x^2\), 구간 \([0,1]\), \(n=5\)
\(f(x)=x^2\), 구간 \([0,2]\), \(n=8\)
\(f(x)=x^3\), 구간 \([0,2]\), \(n=4\)
\(f(x)=2x\), 구간 \([0,1]\), \(n=4\) — 이 문항은 참값을 삼각형으로 정확히 구할 수 있다. 두 합의 평균과 참값을 비교하라.

다음은 공식 \(R_n = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\) 을 쓴다 (\(f(x)=x^2\), 구간 \([0,1]\)).

\(n=20\) 일 때 \(R_{20}\) 과 \(L_{20}\) 을 구하라.
\(n=1000\) 일 때 \(R_n - L_n\) 은 얼마인가? 계산하지 말고 이유와 함께 답하라.
\(R_n - L_n = \dfrac{1}{n}\) 이 되는 이유를 두 합을 나란히 써서 한두 줄로 설명하라.
\(R_n\) 에 \(n=10\) 을 넣어 앞의 계산과 맞는지 확인하고, \(n \to \infty\) 일 때의 극한을 구하라.

마지막은 부호가 있는 넓이와 설명이다.

그림을 그려 부호에 주의해서 구하라. (1) \(\displaystyle\int_0^3 (-2)\,dx\) (2) \(\displaystyle\int_0^4 (x-3)\,dx\)
정적분 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) 의 네 부분(\(\int\), \(f(x)\), \(dx\), \(a\) 와 \(b\))이 각각 무엇을 뜻하는지 한 줄씩 쓰고, \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\) 을 그림을 그려 세 문장으로 설명하라.

정답과 해설

\(20\) (가로 \(4\), 세로 \(5\) 인 직사각형)
\(12\) — 가로를 \(5\) 로 보면 \(15\) 가 되어 틀린다. \(1\) 부터 \(5\) 까지이므로 가로는 \(4\) 다.
\(9\) (밑변 \(3\), 높이 \(6\) 인 삼각형: \(\dfrac{1}{2}\times3\times6\))
\(8\) (윗변 \(1\), 아랫변 \(7\), 높이 \(2\) 인 사다리꼴: \(\dfrac{1+7}{2}\times2\))
폭 \(0.5\). \(L_2=0.125\), \(R_2=0.625\). \(0.125 < (\text{참값}) < 0.625\)
폭 \(0.2\). 높이 \(0, 0.04, 0.16, 0.36, 0.64\) 와 \(0.04, 0.16, 0.36, 0.64, 1\). \(L_5=0.2\times1.2=0.24\), \(R_5=0.2\times2.2=0.44\). \(0.24 < (\text{참값}) < 0.44\). 공식으로 검산: \(R_5=\dfrac{6\times11}{150}=0.44\) ✔
폭 \(0.25\). 오른쪽 높이의 합이 \(12.75\), 왼쪽 높이의 합이 \(8.75\). \(L_8=2.1875\), \(R_8=3.1875\). 차가 \(1 = \dfrac{2}{8}(4-0)\) ✔ 폭을 \(\dfrac{1}{8}\) 로 쓰면 틀린다. 구간 길이가 \(2\) 다.
폭 \(0.5\). 왼쪽 높이 \(0, 0.125, 1, 3.375\) → \(L_4=2.25\). 오른쪽 높이 \(0.125, 1, 3.375, 8\) → \(R_4=6.25\). 범위가 매우 넓다. \(x^3\) 은 가파르게 증가하므로 같은 \(n\) 에서도 오차가 크다.
폭 \(0.25\). \(L_4=0.75\), \(R_4=1.25\). 참값은 밑변 \(1\), 높이 \(2\) 인 삼각형이므로 \(1\). 두 합의 평균 \(\dfrac{0.75+1.25}{2}=1\) 로 참값과 정확히 같다. 직선일 때 두 합의 평균이 정확해지는 이유는 각 조각에서 넘치는 삼각형과 모자란 삼각형이 합동이기 때문이다. (이 방법에는 ‘사다리꼴 공식’이라는 이름이 있다.)
\(R_{20}=\dfrac{21\times41}{6\times400}=\dfrac{861}{2400}=0.35875\), \(L_{20}=0.35875-0.05=0.30875\)
\(0.001\) — \(R_n-L_n=\dfrac{1}{n}\) 이고 \(n=1000\) 이므로. 직접 계산하지 않고 공식으로 얻는다는 점이 핵심이다.
두 합의 가운데 항이 전부 같다. 오른쪽 합에만 \(f(1)=1\) 이 더 있고 왼쪽 합에만 \(f(0)=0\) 이 더 있다. 폭 \(\dfrac{1}{n}\) 을 곱하면 차는 \(\dfrac{1}{n}(1-0)=\dfrac{1}{n}\).
\(R_{10}=\dfrac{11\times21}{600}=\dfrac{231}{600}=0.385\) — 직접 더해도 같다 ✔ 극한: \(R_n=\dfrac{2n^2+3n+1}{6n^2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{6n^2}\) 이므로 \(n\to\infty\) 에서 \(\dfrac{1}{3}\). (\(L_n = R_n - \dfrac{1}{n}\) 도 같은 극한 \(\dfrac{1}{3}\).)
(1) \(-6\) — 높이 \(-2\), 폭 \(3\). \(x\) 축 아래에 있는 직사각형이다. (2) \(-4\) — \(x=3\) 왼쪽 삼각형(밑변 \(3\), 높이 \(3\))이 \(-4.5\), 오른쪽 삼각형(밑변 \(1\), 높이 \(1\))이 \(+0.5\). 합 \(-4\). 부호 없이 더해 \(5\) 라고 쓰면 안 된다. 넓이가 아니라 부호가 있는 넓이다.
\(\int\) = 다 더한다(합, summa의 S를 늘여 쓴 것). \(f(x)\) = 직사각형의 높이. \(dx\) = 직사각형의 (무한히 얇은) 폭. \(a\), \(b\) = 어디서 어디까지 더하는가. 설명 예시: “곡선 \(y=x^2\) 아래 \(x=0\) 부터 \(x=1\) 까지의 영역을 폭이 같은 직사각형으로 채운다. 직사각형 개수를 늘리면 왼쪽 합은 아래에서, 오른쪽 합은 위에서 같은 수로 다가간다. 그 수가 \(\dfrac{1}{3}\) 이고, 그것이 이 영역의 넓이다.”

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 한 문장이다. 정적분은 곡선 아래의 넓이이고, 그 넓이는 직사각형으로 채운 뒤 개수를 무한히 늘린 극한이다. 왼쪽 합은 참값보다 작고 오른쪽 합은 참값보다 크며(증가함수일 때 그렇고, 감소함수면 뒤집힌다), 개수를 늘리면 두 값이 한 수로 수렴한다. \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\) 을 표로 조여서 얻었고, 기호 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) 의 네 부분이 각각 더하기·높이·폭·구간에 대응한다는 것도 확인했다. \(x\) 축 아래를 음수로 세는 ‘부호가 있는 넓이’까지 정의했다.

여기까지는 넓이를 구하기 위해 매번 직사각형을 수십 개 더해야 했다. 제33장에서 미적분의 기본정리를 다루면, 이 장에서 표를 채워 얻은 \(\dfrac{1}{3}\) 을 직사각형을 그리지 않고 얻는다. 앞 장들에서 다룬 접선(미분) 문제와 이 장의 넓이(적분) 문제가 사실은 같은 문제였다는 것이 그 장에서 밝혀진다.