제36장 · 일변수 미적분 종합

제36장 · 일변수 미적분 종합#

이 장

원본 코드

R3-W16

선행 내용

제21~35장 전부

요지

미적분은 두 개의 질문으로 이루어진다 — 한 순간의 변화율과 전체의 합. 기본정리는 이 둘이 하나의 문제임을 보인다.

도입#

이 장은 일변수 미적분의 마지막 장이며, 이 책 전체의 마지막 장이다. 앞에서 극한부터 적분과 기본정리까지 미적분의 계산 절차와 개념을 차례로 다루었다. 이 장에서는 그 내용이 혼합된 문제를 직접 풀어 정착된 영역과 미흡한 영역을 확인하고, 이후의 학습 방향을 정한다.

먼저 다음 다섯 문제를 계산기 없이 푼다.

  1. \(1 \div \dfrac{1}{2}\) 2. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\) 3. \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}\) 4. \(-5 - (-8)\) 5. \(3 + 4 \times 2^2\)

(답: \(2\), \(\dfrac{5}{6}\), \(\dfrac{9}{8}\), \(3\), \(19\).)

이 다섯 문항은 이 책의 첫 부분인 시작 자가진단에서 오답이 가장 많던 문항이다. 이 문항들을 다시 제시하는 이유는, 현재 훨씬 어려운 문제를 처리할 수 있는 근거가 이 기초 연산에 있기 때문이다. 3번 분수 나눗셈이 처리되지 않으면 유리식을 다룰 수 없고, 유리식을 다루지 못하면 몫의 법칙으로 얻은 결과를 정리할 수 없다. 4번 음수 연산이 처리되지 않으면 증감표의 부호 판정이 성립하지 않는다. 상위 단계의 내용은 하위 단계의 내용이 정착되어야 성립한다. 이 책이 처음부터 끝까지 다룬 원칙이 이것이다.

열여섯 주를 한 장에#

제21장부터 제35장까지의 내용을 한 줄로 요약하면 다음과 같다.

장

한 줄 요약

제21~23장 함수·삼각·라디안

미적분이 다루는 대상. 그래프가 주어져야 미분을 정의한다

제24·25장 극한

한없이 가까워지는 값을 다루며, 도달 여부는 묻지 않는다

제26장 도함수의 정의

접선의 기울기를 극한으로 정의한다

제27장 다항 미분

지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다

제28장 곱·몫

각 인수를 따로 미분한 결과는 도함수가 아니다

제29장 연쇄법칙·초월함수

겉 미분 곱하기 속 미분

제30장 그래프 분석

\(f'\) 의 부호가 증가·감소를 결정한다

제31장 최적화

핵심은 미분이 아니라 식 세우기이다

제32장 넓이 문제

곡선 아래를 직사각형으로 채우고 폭을 한없이 줄인다

제33장 기본정리(FTC)

넓이 문제와 접선 문제는 동일한 문제이다

제34장 치환적분

연쇄법칙을 거꾸로 읽는다

제35장 적분의 응용·급수

위 빼기 아래. 무한합은 부분합의 극한

오류가 집중되는 네 지점#

미적분에서 오류가 발생하는 지점은 대체로 정해져 있다. 그중 셋은 원인이 미적분에 있지 않다.

원인 1 — 지수 표기. \(\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}\), \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). 미분 규칙 \((x^n)'=nx^{n-1}\) 은 \(x^n\) 꼴에만 적용된다. 이 꼴로 고쳐 쓰지 못하면 규칙을 적용할 자리 자체가 생기지 않는다. 이 지점에서 오류가 나면 원인은 미분이 아니라 제12장 지수법칙이다.

원인 2 — 인수분해. \(0/0\) 꼴이 나오면 인수분해를 적용한다. \(\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\) 에서 오류가 발생하는 원인은 극한 규칙이 아니라 인수분해다. 원인은 제14·15장이다.

원인 3 — 식 세우기. 둘레 \(20\) → \(S=x(10-x)\). 최적화에서 미분 과정은 세 줄로 완결되며, 오류는 그 앞 단계인 식 세우기에서 발생한다. 원인은 제9장 식 세우기다.

원인 4 — 부호. 증감표에 대표값을 대입할 때 \((-2)^2=4\) 이지 \(-4\) 가 아니다. 원인은 제5장 음수다.

넷 중 셋은 대수, 하나는 산술에 속한다. 자가진단에서 오답이 난 문항의 원인이 미적분에 있지 않은 경우가 많다. 오류가 발생하면 선행 단원으로 내려간다는 이 책의 원칙이 마지막 장까지 그대로 적용된다.

빈번한 오류#

“미적분을 다 배웠다”고 판단한다

이 책에서 다룬 범위는 일변수 미적분의 계산과 개념이다. 분량은 대학 1학년 한 학기에 해당하며, 그 학기의 내용을 처리할 수 있는 수준이다. 다루지 않은 것은 세 가지 — 변수가 여러 개인 경우, 엄밀한 증명, 급수의 본격적인 이론이다. 이 세 가지가 이후 학습의 대상이 된다(아래 “다음으로”를 참고한다).

종합 자가진단 (20문항)#

극한·미분·그래프 분석·최적화·적분·FTC가 혼합된 20문항이다. 계산기를 사용하지 않는다. 모르는 문항은 임의로 답하지 않고 비워 둔다. 빈칸은 우연히 맞은 답보다 정확한 정보를 준다.

[1–3] 극한

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2+5x+6}{x+2}\)

  3. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2-5x+1}{x^2+4}\)

[4–9] 미분

  1. \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\) 의 도함수

  2. \(f(x) = \sqrt{x} + \dfrac{1}{x^2}\) 의 도함수

  3. \(y = (x^2+1)(x-3)\) 을 미분하라

  4. \(y = \dfrac{x}{x+1}\) 을 미분하라

  5. \(y = \sin(3x^2)\) 을 미분하라

  6. 다음을 미분하라. (1) \(y = e^{2x}\) (2) \(y = \ln(x^2+1)\)

[10–11] 그래프 분석

  1. \(f(x) = x^3 - 3x\) 의 극댓값과 극솟값을 구하고, 각각 어느 \(x\) 에서 생기는지 쓰라.

  2. (1) \(f(x) = x^3 - 3x^2\) 의 변곡점의 좌표를 구하라. (2) “\(f'(a) = 0\) 이면 \(x=a\) 에서 반드시 극값이다”는 참인가? 참이면 이유를, 거짓이면 반례를 하나 쓰라.

[12–13] 최적화

  1. 둘레가 \(20\) 인 직사각형 중 넓이가 최대인 것의 넓이를 구하라.

  2. 한 변이 \(12\) 인 정사각형 판지의 네 귀퉁이에서 한 변이 \(x\) 인 정사각형을 잘라내고 접어 뚜껑 없는 상자를 만든다. 부피가 최대가 되는 \(x\) 와 그때의 부피를 구하라.

[14–18] 적분

  1. \(\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx\)

  2. \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\)

  3. \(\displaystyle\int 2x(x^2+1)^3\,dx\) (치환을 쓸 것)

  4. \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx\)

  5. \(y = 4 - x^2\) 와 \(y = x + 2\) 로 둘러싸인 부분의 넓이

[19–20] 기본정리 서술

  1. 미적분의 기본정리(FTC)가 무슨 말인지 자기 말로 두세 문장으로 설명하라. 공식만 쓰면 안 되고, “넓이”와 “역도함수”라는 말이 들어가야 한다.

  2. \(F(x) = \displaystyle\int_0^x t^2\,dt\) 라 하자. (1) \(F(x)\) 를 \(x\) 의 식으로 구하라. (2) \(F'(x)\) 를 구하라. (3) (2)의 결과가 왜 그렇게 나오는지 한 문장으로 설명하라.

영역별로 맞은 개수를 센다.

영역

문항

만점

맞은 개수

극한

1–3

3

미분

4–9

6

그래프 분석

10–11

2

최적화

12–13

2

적분

14–18

5

FTC 서술

19–20

2

합계

20

기준에 관하여

이 자가진단이 평가하는 것은 계산의 유창성이다. \(\varepsilon\)-\(\delta\) 와 같은 엄밀한 정의는 요구하지 않는다. 19번은 “\(x\) 가 한없이 가까워질 때 값이 가까워진다”라는 서술로도 완전한 답이 된다. 다만 19번이 평가하는 것은 공식이 아니라 설명이므로, \(\int_a^b f = F(b)-F(a)\) 만 제시한 답은 요구 조건을 충족하지 못한다.

정답과 해설

  1. \(6\) — \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} \to x+3 \to 6\). 빈번한 오류: 대입 결과 \(\dfrac{0}{0}\) 이 나오자 “값이 없다”고 답한다. \(0/0\) 은 답이 아니라 인수분해가 필요하다는 표시다.

  2. \(1\) — \(\dfrac{(x+2)(x+3)}{x+2} \to x+3 \to -2+3 = 1\). 빈번한 오류: \(x+3\) 까지 정리한 뒤 \(x=-2\) 를 대입하는 과정에서 부호를 놓쳐 \(5\) 로 답한다.

  3. \(3\) — 분자·분모를 \(x^2\) 으로 나누면 \(\dfrac{3 - 5/x + 1/x^2}{1 + 4/x^2} \to 3\). 최고차항 계수의 비로 판단해도 된다.

  4. \(f'(x) = 12x^3 - 4x + 5\) — 상수 \(-7\) 의 미분은 \(0\).

  5. \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{x^3}\) — 먼저 \(x^{1/2} + x^{-2}\) 로 고쳐 쓴 다음 \(\dfrac{1}{2}x^{-1/2} - 2x^{-3}\). 빈번한 오류: 지수 꼴로 고쳐 쓰지 못해 문항 전체를 비운다. 원인은 미분이 아니라 지수법칙(제12장)이다.

  6. \(y' = 3x^2 - 6x + 1\) — 곱의 법칙 \(2x(x-3) + (x^2+1)\cdot 1\). 전개해서 \(x^3 - 3x^2 + x - 3\) 을 미분해도 결과는 같다. 빈번한 오류: \(2x \cdot 1 = 2x\) 와 같이 두 인수를 따로 미분한다.

  7. \(y' = \dfrac{1}{(x+1)^2}\) — 몫의 법칙 \(\dfrac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2}\). 빈번한 오류: 분자의 순서를 뒤집어 부호가 반대가 된다. 몫의 법칙에서 분모의 미분은 뒤에 온다.

  8. \(y' = 6x\cos(3x^2)\) — 겉 미분 \(\cos(3x^2)\), 속 미분 \(6x\). 빈번한 오류: 속 미분을 빠뜨린다.

  9. (1) \(2e^{2x}\) (2) \(\dfrac{2x}{x^2+1}\) — 둘 다 연쇄법칙. (소문항을 모두 맞혀야 1개로 인정한다.)

  10. 극댓값 \(2\)(\(x=-1\)), 극솟값 \(-2\)(\(x=1\)). \(f'=3x^2-3=0\) 에서 \(x=\pm1\), \(f(-1)=2\), \(f(1)=-2\). 부호: \(f'(-2)=9>0\), \(f'(0)=-3<0\), \(f'(2)=9>0\). 빈번한 오류: 극값이 생기는 \(x\) 값을 극값으로 답한다. 극값은 \(y\) 값이다.

  11. (1) \((1, -2)\) — \(f''=6x-6=0\) 에서 \(x=1\), \(f(1)=-2\). (2) 거짓. 반례 \(f(x)=x^3\): \(f'(0)=0\) 이지만 좌우에서 \(f'=3x^2>0\) 로 부호가 바뀌지 않아 계속 증가한다. \(f'=0\) 은 필요조건이며 충분조건이 아니다.

  12. \(25\) — 가로 \(x\), 세로 \(10-x\), \(S=x(10-x)\), \(S'=10-2x=0\) 에서 \(x=5\), \(S(5)=25\). 빈번한 오류: 세로를 \(20-x\) 로 잡는다. 둘레가 \(20\) 이면 가로와 세로의 합이 \(10\) 이다. 원인은 식 세우기(제9장)다.

  13. \(x=2\), 부피 \(128\) — 밑면 \((12-2x)\) 정사각형, 높이 \(x\), \(V=x(12-2x)^2\). \(V'=(12-2x)(12-6x)=0\) 에서 \(x=2\) 또는 \(x=6\). \(x=6\) 이면 밑면이 \(0\) 이 되어 상자가 만들어지지 않는다. \(V(2)=2\times8^2=128\). 빈번한 오류: \(x=6\) 으로 답한다. 임계점이 둘이면 가능한 범위(\(0<x<6\))를 확인한다.

  14. \(x^3 - 2x^2 + x + C\) — \(C\) 가 없으면 오답이다. 미분하여 검산한다.

  15. \(\dfrac{1}{3}\) — \(\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1\).

  16. \(\dfrac{(x^2+1)^4}{4} + C\) — \(u=x^2+1\), \(du=2x\,dx\), \(\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}\). 빈번한 오류: \(du\) 변환을 누락하고 \(2x\) 를 다시 곱한다.

  17. \(2\) — \(\left[-\cos x\right]_0^{\pi} = 1+1 = 2\). 빈번한 오류: 부호를 놓쳐 \(-2\) 또는 \(0\) 으로 답한다. \(\sin\) 의 역도함수는 \(-\cos\) 이다.

  18. \(\dfrac{9}{2}\) — 교점 \(4-x^2=x+2\) → \(x^2+x-2=0\) → \(x=-2,1\). \(x=0\) 에서 \(4>2\) 이므로 포물선이 위에 있다. \(\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx=\dfrac{9}{2}\). 빈번한 오류: 교점을 구하지 않고 상·하한을 임의로 정한다.

  19. 채점 기준: ① 정적분(넓이)을 역도함수로 계산할 수 있다는 것 ② 미분과 적분이 서로 반대 연산이라는 것, 둘이 들어가면 정답이다. 예: “곡선 아래 넓이를 구하는 문제와 접선의 기울기를 구하는 문제는 반대 방향의 같은 문제다. 그래서 직사각형을 무한히 쌓는 대신, 미분하면 원래 함수가 되는 함수(역도함수)를 찾아 양 끝값의 차를 구하면 된다.” 공식만 제시하고 설명이 없으면 요구 조건을 충족하지 못한다.

  20. (1) \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}\) (2) \(F'(x)=x^2\) (3) 예: “\(F(x)\) 는 \(0\) 부터 \(x\) 까지의 넓이인데, \(x\) 를 조금 늘리면 늘어난 넓이는 그 지점의 높이 \(x^2\) 곱하기 늘어난 폭이다. 그래서 넓이의 변화율이 원래 함숫값이 된다.” 또는 “적분한 것을 미분하면 원래 함수로 돌아온다”도 정답으로 인정한다.

영역별 보강 문제 은행#

미흡한 영역이 있으면 해당 세트를 선택하여 푼다. 부정적분은 언제나 미분하여 검산할 수 있으므로, 검산을 절차에 포함한다.

세트 L — 극한 (8문항)

  1. \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2+3x-1)\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{x^2-16}{x-4}\) 3. \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2-1}{x+1}\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-2x-3}{x-3}\) 5. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\) (유리화) 6. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{5x^2-x}\) 7. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x+1}{x^2+2}\) 8. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}\)

세트 D — 미분 규칙 (14문항)

  1. \(y=x^5\) 2. \(y=4x^3-6x^2+2x-9\) 3. \(y=\dfrac{1}{x^3}\) 4. \(y=\sqrt{x}\) 5. \(y=(x^2+3)(2x-1)\) 6. \(y=x^2\sin x\) 7. \(y=\dfrac{x+1}{x-1}\) 8. \(y=\dfrac{x^2}{x+1}\) 9. \(y=(3x+1)^4\) 10. \(y=\sqrt{x^2+1}\) 11. \(y=\sin 5x\) 12. \(y=e^{3x}\) 13. \(y=\ln(2x+1)\) 14. \(y=e^x\cos x\)

세트 G — 그래프·최적화 (10문항)

  1. \(f(x)=x^2-4x+1\) 의 극값과 그때의 \(x\) 2. \(f(x)=x^3-3x^2\) 의 극대·극소 3. \(f(x)=x^3-12x\) 의 극대·극소 4. \(f(x)=x^4-2x^2\) 의 극대·극소(임계점 셋) 5. \(f(x)=x^3-6x^2+5\) 의 변곡점 6. \(f(x)=x^3\) 에서 \(f'(0)=0\) 인데 극값이 아닌 이유를 한 문장으로 7. 둘레 \(24\) 인 직사각형의 최대 넓이 8. 합이 \(20\) 인 두 양수의 곱의 최댓값과 두 수 9. 한 변 \(12\) 인 정사각형 판지로 만든 뚜껑 없는 상자의 최대 부피 10. 강가에 직사각형 땅을 만든다. 강 쪽 한 면은 울타리가 필요 없고 나머지 세 면에 \(40\) m가 있다. 최대 넓이는?

세트 I — 적분 (14문항)

  1. \(\displaystyle\int (4x^3-3x^2+2)\,dx\) 2. \(\displaystyle\int (x^2-5x)\,dx\) 3. \(\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\,dx\) 4. \(\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx\) 5. \(\displaystyle\int \sin x\,dx\) 6. \(\displaystyle\int e^{3x}\,dx\) 7. \(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx\) 8. \(\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx\) 9. \(\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx\) 10. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx\) 11. \(\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx\) 12. \(\displaystyle\int 2x(x^2+5)^4\,dx\) (치환) 13. \(\displaystyle\int_0^1 (3x+1)^2\,dx\) 14. \(y=x+6\) 와 \(y=x^2\) 로 둘러싸인 넓이

정답과 해설

세트 L 1. \(9\) 2. \(8\) 3. \(-2\) 4. \(4\) 5. \(\dfrac{1}{2}\) 6. \(\dfrac{2}{5}\) 7. \(0\) 8. \(3\)

  • 5번: 분자·분모에 \(\sqrt{x+1}+1\) 을 곱하면 \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\to\dfrac{1}{2}\). 근호가 있으면 인수분해 대신 유리화를 적용한다.

  • 7번: 분모의 차수가 크면 극한은 \(0\) 이다.

  • 8번: \(\dfrac{\sin 3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\to3\). 라디안일 때만 성립한다(제29장).

세트 D 1. \(5x^4\) 2. \(12x^2-12x+2\) 3. \(-\dfrac{3}{x^4}\) 4. \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) 5. \(6x^2-2x+6\) 6. \(2x\sin x+x^2\cos x\) 7. \(-\dfrac{2}{(x-1)^2}\) 8. \(\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}\) 9. \(12(3x+1)^3\) 10. \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) 11. \(5\cos 5x\) 12. \(3e^{3x}\) 13. \(\dfrac{2}{2x+1}\) 14. \(e^x(\cos x-\sin x)\)

  • 3·4번: 먼저 \(x^{-3}\), \(x^{1/2}\) 로 고쳐 쓴다. 이 지점에서 오류가 나면 원인은 지수법칙이다.

  • 7번 빈번한 오류: 분자 순서를 뒤집어 부호가 반대가 된다.

  • 14번: 곱의 법칙 \(e^x\cos x + e^x(-\sin x)\). \(\sin\) 의 미분 앞에 오는 부호를 놓치는 오류가 잦다.

세트 G 1. 극솟값 \(-3\)(\(x=2\)) 2. 극댓값 \(0\)(\(x=0\)), 극솟값 \(-4\)(\(x=2\)) 3. 극댓값 \(16\)(\(x=-2\)), 극솟값 \(-16\)(\(x=2\)) 4. 극댓값 \(0\)(\(x=0\)), 극솟값 \(-1\)(\(x=\pm1\)) 5. \((2,-11)\) 6. 아래 참조 7. \(36\) 8. \(10\) 과 \(10\), 곱 \(100\) 9. \(x=2\) 일 때 \(128\) 10. \(200\)(\(x=10\), 세로 \(20\))

  • 4번: \(f'=4x(x-1)(x+1)\), 임계점 셋. 양쪽 극소가 같은 값 \(-1\), 가운데 극대 \(0\).

  • 6번 예: “\(f'(x)=3x^2\) 은 \(x=0\) 좌우에서 모두 양수라 부호가 바뀌지 않는다. 계속 증가하므로 극대도 극소도 아니다.” 채점의 핵심은 부호 변화의 언급 여부다.

  • 10번: 강 쪽을 세로로 두면 \(2x+y=40\), \(A=x(40-2x)\), \(x=10\), \(A=200\). 빈번한 오류: 네 면 모두 울타리로 잡아 \(2x+2y=40\) 으로 세운다. 조건을 다시 확인한다.

세트 I 1. \(x^4-x^3+2x+C\) 2. \(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{5x^2}{2}+C\) 3. \(-\dfrac{1}{x}+C\) 4. \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}+C\) 5. \(-\cos x+C\) 6. \(\dfrac{e^{3x}}{3}+C\) 7. \(\ln|x|+C\) 8. \(4\) 9. \(10\) 10. \(1\) 11. \(1\) 12. \(\dfrac{(x^2+5)^5}{5}+C\) 13. \(7\) 14. \(\dfrac{125}{6}\)

  • 3번 빈번한 오류: \(\ln\) 이 나온다고 판단한다. \(\ln\) 은 \(\dfrac{1}{x}\) 일 때(7번)이며, \(x^{-2}\) 의 적분은 \(-\dfrac{1}{x}\) 이다.

  • 13번: \(u=3x+1\), \(du=3\,dx\), 상·하한도 \(1\) 에서 \(4\) 로 바뀐다. 빈번한 오류: 상·하한을 바꾸지 않는다.

  • 14번: 교점 \(x^2-x-6=0\) → \(x=-2,3\). \(x=0\) 에서 직선이 위에 있다. \(\int_{-2}^{3}(x+6-x^2)\,dx=\dfrac{125}{6}\).

그전에 — 제4부 모형화 연습#

다음 방향을 정하기 전에 거칠 단계가 하나 있다. 제4부 · 수학으로 세상 보기다.

지금까지의 문제는 식이 주어진 상태로 제시되었다. 교실 밖의 상황에서는 식이 주어지지 않는다. 제4부에서는 새로운 수학을 도입하지 않고, 지금까지의 도구로 식을 직접 세우는 연습을 한다. 물가와 이자, 수요와 공급, 한계와 잉여는 일상에서 자주 접하지만 수치로 옮겨 본 적이 드문 대상이며, 이 책에서 다룬 도구가 그대로 적용되는 영역이다.

제4부는 이 책에서 학습한 내용을 반복 적용하는 단계이기도 하다. 계산 능력은 사용하지 않으면 저하되며, 제4부의 문제는 산술부터 적분까지를 혼합하여 다시 사용하게 한다. 아래 네 방향 중 어느 것을 선택하든, 그전에 제4부를 학습하는 것이 적절하다.

다음으로 — 네 방향#

이 지점에서 일변수 미적분의 계산과 개념은 정착된 상태다. 이후의 방향은 네 가지다. 한 번에 하나만 선택한다. 이 책이 적용한 원칙은 “하루 20~30분, 한 번에 하나”였고, 이후에도 동일하다. 네 방향을 동시에 시작하면 몇 주 뒤에 어느 것도 남지 않는다.

방향

요약

대상

선행

① 선형대수

수 대신 표(행렬)를 다룬다

데이터·통계·머신러닝·공학

대수(제2부)면 충분. 미적분 점수 무관

② 다변수 미적분

이 책에서 다룬 내용을 변수 여러 개로 확장한다

물리·공학·경제

미적분 전체(특히 연쇄법칙·정적분)

③ 엄밀한 미적분(해석학)

“왜 그런가”를 증명으로 확인한다

근거를 계속 확인하려는 학습자

미적분 + 증명 훈련(④)

④ 증명

수학의 문법을 배운다

③을 하려는 모두 / 설명 서술에 어려움이 있는 학습자

없음. 지금부터 가능

① 선형대수 — Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra 와 MIT OCW 18.06(무료). 미적분을 거의 사용하지 않으므로, 미분이 아직 정착되지 않은 상태에서도 진행할 수 있는 유일한 방향이다. 연립방정식(제18장)을 행렬로 다시 쓰는 데서 시작한다. 실용적 적용은 네 방향 중 가장 즉각적이다.

② 다변수 미적분 — MIT OCW 18.02(무료). 편미분은 “다른 변수를 상수로 두고 제27장 규칙 그대로” 미분하는 것이고, 중적분은 정적분을 두 번 하는 것이다. 이 책에서 다룬 도구가 곧바로 확장된다. 다만 연쇄법칙(제29장)과 정적분(제33장)이 정착되지 않은 상태에서는 확장 과정에서 동일한 오류가 반복되므로, 해당 영역에 처방을 받았다면 먼저 보강한 뒤 시작한다.

③ 엄밀한 미적분(해석학) — Stephen Abbott, Understanding Analysis. 명제의 근거를 계속 확인하려는 학습자를 대상으로 한다. 네 방향 중 진도가 가장 느리고 내용이 가장 깊다. 다만 증명을 작성해 본 경험이 없는 상태에서는 진행이 지속되지 않으므로 ④를 먼저 수행한다. 또한 극한(제25장)이 정착되어 있어야 한다. 이 교재의 처음 100쪽은 극한을 엄밀하게 다시 세우는 내용이다.

④ 증명 — Richard Hammack, Book of Proof(저자 홈페이지 무료 PDF) 또는 Daniel Velleman, How to Prove It. 선행 내용이 없다. 자가진단 결과와 무관하게 시작할 수 있고, 미적분이 정착되지 않은 상태에서도 진행할 수 있다. 읽는 교재가 아니라 푸는 교재이므로 매일 연습문제 몇 개를 직접 작성한다. 목표는 “\(\sqrt{2}\) 는 무리수다”를 교재를 보지 않고 스스로 서술하는 것이다.

다음 트랙 전 — 4주 유지 계획#

다음 트랙을 곧바로 시작하지 못하는 경우에도 하루 10분은 유지한다. 새로운 내용을 배우는 것이 아니라 이미 익힌 계산 절차를 유지하는 것이 목적이다. 목적은 실력 향상이 아니라 학습을 재개할 때의 비용을 낮추는 것이다.

주차

매일 10분

주 1회 30분

1주차

세트 D에서 미분 3문항 (순서 말고 아무거나)

자가진단 오답 전부 다시 (답 안 보고)

2주차

세트 I에서 적분 3문항 + 미분으로 검산

세트 L(극한) 8문항

3주차

세트 D·I에서 섞어서 3문항

세트 G의 문장제 7–10번

4주차

고른 트랙 교재의 첫 장을 하루 2쪽씩

트랙 1주차 분량 시작

요약#

산술을 다시 세우고(제1부), 대수를 숙달하고(제2부), 미적분의 기본 과정을 마쳤다(제3부). 한 줄로 요약하면 다음과 같다.

\[\textbf{재건} \ \to \ \textbf{정상} \ \to \ \textbf{그다음 진짜 수학}\]

제1·2부가 재건 단계이며, 정착되지 않은 선행 내용을 다시 세웠다. 제3부가 정상 단계이며, 미적분이라는 첫 과정을 마쳤다. 위에서 선택한 방향이 그다음 단계에 해당한다. 이 책이 사용한 방법은 세 가지다 — 매 회차를 빠짐없이 진행하고, 문제를 직접 손으로 풀고, 오류가 발생하면 선행 단원으로 내려가 확인한다. 이 방법은 여기서 끝나지 않으며, 이후 어느 방향으로 가더라도 동일하게 적용된다.