# 제36장 · 일변수 미적분 종합

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **원본 코드** | R3-W16 |
| **선행 내용** | 제21~35장 전부 |
| **요지** | 미적분은 두 개의 질문으로 이루어진다 — 한 순간의 변화율과 전체의 합. 기본정리는 이 둘이 하나의 문제임을 보인다. |
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## 도입

이 장은 일변수 미적분의 마지막 장이며, 이 책 전체의 마지막 장이다. 앞에서 극한부터 적분과 기본정리까지 미적분의 계산 절차와 개념을 차례로 다루었다. 이 장에서는 그 내용이 **혼합된** 문제를 직접 풀어 정착된 영역과 미흡한 영역을 확인하고, 이후의 학습 방향을 정한다.

먼저 다음 다섯 문제를 계산기 없이 푼다.

1. $1 \div \dfrac{1}{2}$  2. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$  3. $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}$  4. $-5 - (-8)$  5. $3 + 4 \times 2^2$

(답: $2$, $\dfrac{5}{6}$, $\dfrac{9}{8}$, $3$, $19$.)

이 다섯 문항은 이 책의 첫 부분인 [시작 자가진단](../part1/diagnostic_pre.md)에서 오답이 가장 많던 문항이다. 이 문항들을 다시 제시하는 이유는, **현재 훨씬 어려운 문제를 처리할 수 있는 근거가 이 기초 연산에 있기** 때문이다. 3번 분수 나눗셈이 처리되지 않으면 유리식을 다룰 수 없고, 유리식을 다루지 못하면 몫의 법칙으로 얻은 결과를 정리할 수 없다. 4번 음수 연산이 처리되지 않으면 증감표의 부호 판정이 성립하지 않는다. **상위 단계의 내용은 하위 단계의 내용이 정착되어야 성립한다.** 이 책이 처음부터 끝까지 다룬 원칙이 이것이다.

## 열여섯 주를 한 장에

제21장부터 제35장까지의 내용을 한 줄로 요약하면 다음과 같다.

| 장 | 한 줄 요약 |
|---|---|
| 제21~23장 함수·삼각·라디안 | 미적분이 다루는 대상. 그래프가 주어져야 미분을 정의한다 |
| 제24·25장 극한 | 한없이 가까워지는 값을 다루며, 도달 여부는 묻지 않는다 |
| 제26장 도함수의 정의 | 접선의 기울기를 극한으로 정의한다 |
| 제27장 다항 미분 | 지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다 |
| 제28장 곱·몫 | 각 인수를 따로 미분한 결과는 도함수가 아니다 |
| 제29장 연쇄법칙·초월함수 | 겉 미분 곱하기 속 미분 |
| 제30장 그래프 분석 | $f'$ 의 부호가 증가·감소를 결정한다 |
| 제31장 최적화 | 핵심은 미분이 아니라 식 세우기이다 |
| 제32장 넓이 문제 | 곡선 아래를 직사각형으로 채우고 폭을 한없이 줄인다 |
| 제33장 기본정리(FTC) | 넓이 문제와 접선 문제는 동일한 문제이다 |
| 제34장 치환적분 | 연쇄법칙을 거꾸로 읽는다 |
| 제35장 적분의 응용·급수 | 위 빼기 아래. 무한합은 부분합의 극한 |

## 오류가 집중되는 네 지점

미적분에서 오류가 발생하는 지점은 대체로 정해져 있다. 그중 셋은 **원인이 미적분에 있지 않다.**

**원인 1 — 지수 표기.** $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$, $\sqrt{x}=x^{1/2}$. 미분 규칙 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 은 $x^n$ 꼴에만 적용된다. 이 꼴로 고쳐 쓰지 못하면 규칙을 적용할 자리 자체가 생기지 않는다. 이 지점에서 오류가 나면 원인은 미분이 아니라 [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙이다.

**원인 2 — 인수분해.** $0/0$ 꼴이 나오면 인수분해를 적용한다. $\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$ 에서 오류가 발생하는 원인은 극한 규칙이 아니라 인수분해다. 원인은 [제14·15장](../part2/ch14.md)이다.

**원인 3 — 식 세우기.** 둘레 $20$ → $S=x(10-x)$. 최적화에서 미분 과정은 세 줄로 완결되며, 오류는 그 앞 단계인 식 세우기에서 발생한다. 원인은 [제9장](../part2/ch09.md) 식 세우기다.

**원인 4 — 부호.** 증감표에 대표값을 대입할 때 $(-2)^2=4$ 이지 $-4$ 가 아니다. 원인은 [제5장](../part1/ch05.md) 음수다.

넷 중 셋은 대수, 하나는 산술에 속한다. **자가진단에서 오답이 난 문항의 원인이 미적분에 있지 않은 경우가 많다.** 오류가 발생하면 선행 단원으로 내려간다는 이 책의 원칙이 마지막 장까지 그대로 적용된다.

## 빈번한 오류

:::{admonition} "미적분을 다 배웠다"고 판단한다
:class: warning
이 책에서 다룬 범위는 **일변수 미적분의 계산과 개념**이다. 분량은 대학 1학년 한 학기에 해당하며, 그 학기의 내용을 처리할 수 있는 수준이다. 다루지 않은 것은 세 가지 — 변수가 여러 개인 경우, 엄밀한 증명, 급수의 본격적인 이론이다. 이 세 가지가 이후 학습의 대상이 된다(아래 "다음으로"를 참고한다).
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## 종합 자가진단 (20문항)

극한·미분·그래프 분석·최적화·적분·FTC가 혼합된 20문항이다. 계산기를 사용하지 않는다. 모르는 문항은 임의로 답하지 않고 비워 둔다. 빈칸은 우연히 맞은 답보다 정확한 정보를 준다.

**[1–3] 극한**

1. $\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$
2. $\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2+5x+6}{x+2}$
3. $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2-5x+1}{x^2+4}$

**[4–9] 미분**

4. $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$ 의 도함수
5. $f(x) = \sqrt{x} + \dfrac{1}{x^2}$ 의 도함수
6. $y = (x^2+1)(x-3)$ 을 미분하라
7. $y = \dfrac{x}{x+1}$ 을 미분하라
8. $y = \sin(3x^2)$ 을 미분하라
9. 다음을 미분하라. (1) $y = e^{2x}$  (2) $y = \ln(x^2+1)$

**[10–11] 그래프 분석**

10. $f(x) = x^3 - 3x$ 의 극댓값과 극솟값을 구하고, 각각 어느 $x$ 에서 생기는지 쓰라.
11. (1) $f(x) = x^3 - 3x^2$ 의 변곡점의 좌표를 구하라. (2) "$f'(a) = 0$ 이면 $x=a$ 에서 반드시 극값이다"는 참인가? 참이면 이유를, 거짓이면 반례를 하나 쓰라.

**[12–13] 최적화**

12. 둘레가 $20$ 인 직사각형 중 넓이가 최대인 것의 넓이를 구하라.
13. 한 변이 $12$ 인 정사각형 판지의 네 귀퉁이에서 한 변이 $x$ 인 정사각형을 잘라내고 접어 뚜껑 없는 상자를 만든다. 부피가 최대가 되는 $x$ 와 그때의 부피를 구하라.

**[14–18] 적분**

14. $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx$
15. $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$
16. $\displaystyle\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ (치환을 쓸 것)
17. $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$
18. $y = 4 - x^2$ 와 $y = x + 2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이

**[19–20] 기본정리 서술**

19. 미적분의 기본정리(FTC)가 무슨 말인지 **자기 말로 두세 문장**으로 설명하라. 공식만 쓰면 안 되고, "넓이"와 "역도함수"라는 말이 들어가야 한다.
20. $F(x) = \displaystyle\int_0^x t^2\,dt$ 라 하자. (1) $F(x)$ 를 $x$ 의 식으로 구하라. (2) $F'(x)$ 를 구하라. (3) (2)의 결과가 왜 그렇게 나오는지 한 문장으로 설명하라.

영역별로 맞은 개수를 센다.

| 영역 | 문항 | 만점 | 맞은 개수 |
|---|---|---|---|
| 극한 | 1–3 | 3 | |
| 미분 | 4–9 | 6 | |
| 그래프 분석 | 10–11 | 2 | |
| 최적화 | 12–13 | 2 | |
| 적분 | 14–18 | 5 | |
| FTC 서술 | 19–20 | 2 | |
| **합계** | | **20** | |

:::{admonition} 기준에 관하여
:class: tip
이 자가진단이 평가하는 것은 **계산의 유창성**이다. $\varepsilon$-$\delta$ 와 같은 엄밀한 정의는 요구하지 않는다. 19번은 "$x$ 가 한없이 가까워질 때 값이 가까워진다"라는 서술로도 완전한 답이 된다. 다만 19번이 평가하는 것은 공식이 아니라 **설명**이므로, $\int_a^b f = F(b)-F(a)$ 만 제시한 답은 요구 조건을 충족하지 못한다.
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:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $6$ — $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} \to x+3 \to 6$. **빈번한 오류**: 대입 결과 $\dfrac{0}{0}$ 이 나오자 "값이 없다"고 답한다. $0/0$ 은 답이 아니라 인수분해가 필요하다는 표시다.
2. $1$ — $\dfrac{(x+2)(x+3)}{x+2} \to x+3 \to -2+3 = 1$. **빈번한 오류**: $x+3$ 까지 정리한 뒤 $x=-2$ 를 대입하는 과정에서 부호를 놓쳐 $5$ 로 답한다.
3. $3$ — 분자·분모를 $x^2$ 으로 나누면 $\dfrac{3 - 5/x + 1/x^2}{1 + 4/x^2} \to 3$. 최고차항 계수의 비로 판단해도 된다.
4. $f'(x) = 12x^3 - 4x + 5$ — 상수 $-7$ 의 미분은 $0$.
5. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{x^3}$ — 먼저 $x^{1/2} + x^{-2}$ 로 고쳐 쓴 다음 $\dfrac{1}{2}x^{-1/2} - 2x^{-3}$. **빈번한 오류**: 지수 꼴로 고쳐 쓰지 못해 문항 전체를 비운다. 원인은 미분이 아니라 지수법칙([제12장](../part2/ch12.md))이다.
6. $y' = 3x^2 - 6x + 1$ — 곱의 법칙 $2x(x-3) + (x^2+1)\cdot 1$. 전개해서 $x^3 - 3x^2 + x - 3$ 을 미분해도 결과는 같다. **빈번한 오류**: $2x \cdot 1 = 2x$ 와 같이 두 인수를 따로 미분한다.
7. $y' = \dfrac{1}{(x+1)^2}$ — 몫의 법칙 $\dfrac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2}$. **빈번한 오류**: 분자의 순서를 뒤집어 부호가 반대가 된다. 몫의 법칙에서 분모의 미분은 뒤에 온다.
8. $y' = 6x\cos(3x^2)$ — 겉 미분 $\cos(3x^2)$, 속 미분 $6x$. **빈번한 오류**: 속 미분을 빠뜨린다.
9. (1) $2e^{2x}$  (2) $\dfrac{2x}{x^2+1}$ — 둘 다 연쇄법칙. (소문항을 모두 맞혀야 1개로 인정한다.)
10. **극댓값 $2$($x=-1$), 극솟값 $-2$($x=1$).** $f'=3x^2-3=0$ 에서 $x=\pm1$, $f(-1)=2$, $f(1)=-2$. 부호: $f'(-2)=9>0$, $f'(0)=-3<0$, $f'(2)=9>0$. **빈번한 오류**: 극값이 생기는 $x$ 값을 극값으로 답한다. 극값은 $y$ 값이다.
11. (1) $(1, -2)$ — $f''=6x-6=0$ 에서 $x=1$, $f(1)=-2$. (2) **거짓.** 반례 $f(x)=x^3$: $f'(0)=0$ 이지만 좌우에서 $f'=3x^2>0$ 로 부호가 바뀌지 않아 계속 증가한다. $f'=0$ 은 필요조건이며 충분조건이 아니다.
12. $25$ — 가로 $x$, 세로 $10-x$, $S=x(10-x)$, $S'=10-2x=0$ 에서 $x=5$, $S(5)=25$. **빈번한 오류**: 세로를 $20-x$ 로 잡는다. 둘레가 $20$ 이면 가로와 세로의 합이 $10$ 이다. 원인은 식 세우기([제9장](../part2/ch09.md))다.
13. $x=2$, 부피 $128$ — 밑면 $(12-2x)$ 정사각형, 높이 $x$, $V=x(12-2x)^2$. $V'=(12-2x)(12-6x)=0$ 에서 $x=2$ 또는 $x=6$. $x=6$ 이면 밑면이 $0$ 이 되어 상자가 만들어지지 않는다. $V(2)=2\times8^2=128$. **빈번한 오류**: $x=6$ 으로 답한다. 임계점이 둘이면 가능한 범위($0<x<6$)를 확인한다.
14. $x^3 - 2x^2 + x + C$ — **$C$ 가 없으면 오답이다.** 미분하여 검산한다.
15. $\dfrac{1}{3}$ — $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1$.
16. $\dfrac{(x^2+1)^4}{4} + C$ — $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, $\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}$. **빈번한 오류**: $du$ 변환을 누락하고 $2x$ 를 다시 곱한다.
17. $2$ — $\left[-\cos x\right]_0^{\pi} = 1+1 = 2$. **빈번한 오류**: 부호를 놓쳐 $-2$ 또는 $0$ 으로 답한다. $\sin$ 의 역도함수는 $-\cos$ 이다.
18. $\dfrac{9}{2}$ — 교점 $4-x^2=x+2$ → $x^2+x-2=0$ → $x=-2,1$. $x=0$ 에서 $4>2$ 이므로 포물선이 위에 있다. $\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx=\dfrac{9}{2}$. **빈번한 오류**: 교점을 구하지 않고 상·하한을 임의로 정한다.
19. **채점 기준**: ① 정적분(넓이)을 역도함수로 계산할 수 있다는 것 ② 미분과 적분이 서로 반대 연산이라는 것, 둘이 들어가면 정답이다. 예: "곡선 아래 넓이를 구하는 문제와 접선의 기울기를 구하는 문제는 반대 방향의 같은 문제다. 그래서 직사각형을 무한히 쌓는 대신, 미분하면 원래 함수가 되는 함수(역도함수)를 찾아 양 끝값의 차를 구하면 된다." 공식만 제시하고 설명이 없으면 요구 조건을 충족하지 못한다.
20. (1) $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ (2) $F'(x)=x^2$ (3) 예: "$F(x)$ 는 $0$ 부터 $x$ 까지의 넓이인데, $x$ 를 조금 늘리면 늘어난 넓이는 그 지점의 높이 $x^2$ 곱하기 늘어난 폭이다. 그래서 넓이의 변화율이 원래 함숫값이 된다." 또는 "적분한 것을 미분하면 원래 함수로 돌아온다"도 정답으로 인정한다.
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## 영역별 보강 문제 은행

미흡한 영역이 있으면 해당 세트를 선택하여 푼다. 부정적분은 언제나 미분하여 검산할 수 있으므로, 검산을 절차에 포함한다.

**세트 L — 극한 (8문항)**

1. $\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2+3x-1)$  2. $\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{x^2-16}{x-4}$  3. $\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2-1}{x+1}$  4. $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-2x-3}{x-3}$  5. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ (유리화)  6. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{5x^2-x}$  7. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x+1}{x^2+2}$  8. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}$

**세트 D — 미분 규칙 (14문항)**

1. $y=x^5$  2. $y=4x^3-6x^2+2x-9$  3. $y=\dfrac{1}{x^3}$  4. $y=\sqrt{x}$  5. $y=(x^2+3)(2x-1)$  6. $y=x^2\sin x$  7. $y=\dfrac{x+1}{x-1}$  8. $y=\dfrac{x^2}{x+1}$  9. $y=(3x+1)^4$  10. $y=\sqrt{x^2+1}$  11. $y=\sin 5x$  12. $y=e^{3x}$  13. $y=\ln(2x+1)$  14. $y=e^x\cos x$

**세트 G — 그래프·최적화 (10문항)**

1. $f(x)=x^2-4x+1$ 의 극값과 그때의 $x$  2. $f(x)=x^3-3x^2$ 의 극대·극소  3. $f(x)=x^3-12x$ 의 극대·극소  4. $f(x)=x^4-2x^2$ 의 극대·극소(임계점 셋)  5. $f(x)=x^3-6x^2+5$ 의 변곡점  6. $f(x)=x^3$ 에서 $f'(0)=0$ 인데 극값이 아닌 이유를 한 문장으로  7. 둘레 $24$ 인 직사각형의 최대 넓이  8. 합이 $20$ 인 두 양수의 곱의 최댓값과 두 수  9. 한 변 $12$ 인 정사각형 판지로 만든 뚜껑 없는 상자의 최대 부피  10. 강가에 직사각형 땅을 만든다. 강 쪽 한 면은 울타리가 필요 없고 나머지 세 면에 $40$ m가 있다. 최대 넓이는?

**세트 I — 적분 (14문항)**

1. $\displaystyle\int (4x^3-3x^2+2)\,dx$  2. $\displaystyle\int (x^2-5x)\,dx$  3. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\,dx$  4. $\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx$  5. $\displaystyle\int \sin x\,dx$  6. $\displaystyle\int e^{3x}\,dx$  7. $\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx$  8. $\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx$  9. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$  10. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$  11. $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$  12. $\displaystyle\int 2x(x^2+5)^4\,dx$ (치환)  13. $\displaystyle\int_0^1 (3x+1)^2\,dx$  14. $y=x+6$ 와 $y=x^2$ 로 둘러싸인 넓이

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
**세트 L** 1. $9$  2. $8$  3. $-2$  4. $4$  5. $\dfrac{1}{2}$  6. $\dfrac{2}{5}$  7. $0$  8. $3$
- 5번: 분자·분모에 $\sqrt{x+1}+1$ 을 곱하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\to\dfrac{1}{2}$. 근호가 있으면 인수분해 대신 유리화를 적용한다.
- 7번: 분모의 차수가 크면 극한은 $0$ 이다.
- 8번: $\dfrac{\sin 3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\to3$. **라디안일 때만** 성립한다([제29장](ch29.md)).

**세트 D** 1. $5x^4$  2. $12x^2-12x+2$  3. $-\dfrac{3}{x^4}$  4. $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$  5. $6x^2-2x+6$  6. $2x\sin x+x^2\cos x$  7. $-\dfrac{2}{(x-1)^2}$  8. $\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$  9. $12(3x+1)^3$  10. $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$  11. $5\cos 5x$  12. $3e^{3x}$  13. $\dfrac{2}{2x+1}$  14. $e^x(\cos x-\sin x)$
- 3·4번: 먼저 $x^{-3}$, $x^{1/2}$ 로 고쳐 쓴다. 이 지점에서 오류가 나면 원인은 지수법칙이다.
- 7번 **빈번한 오류**: 분자 순서를 뒤집어 부호가 반대가 된다.
- 14번: 곱의 법칙 $e^x\cos x + e^x(-\sin x)$. $\sin$ 의 미분 앞에 오는 부호를 놓치는 오류가 잦다.

**세트 G** 1. 극솟값 $-3$($x=2$)  2. 극댓값 $0$($x=0$), 극솟값 $-4$($x=2$)  3. 극댓값 $16$($x=-2$), 극솟값 $-16$($x=2$)  4. 극댓값 $0$($x=0$), 극솟값 $-1$($x=\pm1$)  5. $(2,-11)$  6. 아래 참조  7. $36$  8. $10$ 과 $10$, 곱 $100$  9. $x=2$ 일 때 $128$  10. $200$($x=10$, 세로 $20$)
- 4번: $f'=4x(x-1)(x+1)$, 임계점 셋. 양쪽 극소가 같은 값 $-1$, 가운데 극대 $0$.
- 6번 예: "$f'(x)=3x^2$ 은 $x=0$ 좌우에서 모두 양수라 부호가 바뀌지 않는다. 계속 증가하므로 극대도 극소도 아니다." 채점의 핵심은 **부호 변화**의 언급 여부다.
- 10번: 강 쪽을 세로로 두면 $2x+y=40$, $A=x(40-2x)$, $x=10$, $A=200$. **빈번한 오류**: 네 면 모두 울타리로 잡아 $2x+2y=40$ 으로 세운다. 조건을 다시 확인한다.

**세트 I** 1. $x^4-x^3+2x+C$  2. $\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{5x^2}{2}+C$  3. $-\dfrac{1}{x}+C$  4. $\dfrac{2}{3}x^{3/2}+C$  5. $-\cos x+C$  6. $\dfrac{e^{3x}}{3}+C$  7. $\ln|x|+C$  8. $4$  9. $10$  10. $1$  11. $1$  12. $\dfrac{(x^2+5)^5}{5}+C$  13. $7$  14. $\dfrac{125}{6}$
- 3번 **빈번한 오류**: $\ln$ 이 나온다고 판단한다. $\ln$ 은 $\dfrac{1}{x}$ 일 때(7번)이며, $x^{-2}$ 의 적분은 $-\dfrac{1}{x}$ 이다.
- 13번: $u=3x+1$, $du=3\,dx$, 상·하한도 $1$ 에서 $4$ 로 바뀐다. **빈번한 오류**: 상·하한을 바꾸지 않는다.
- 14번: 교점 $x^2-x-6=0$ → $x=-2,3$. $x=0$ 에서 직선이 위에 있다. $\int_{-2}^{3}(x+6-x^2)\,dx=\dfrac{125}{6}$.
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## 그전에 — 제4부 모형화 연습

다음 방향을 정하기 전에 거칠 단계가 하나 있다. [제4부 · 수학으로 세상 보기](../part4/index.md)다.

지금까지의 문제는 식이 주어진 상태로 제시되었다. 교실 밖의 상황에서는 식이 주어지지 않는다.
제4부에서는 새로운 수학을 도입하지 않고, **지금까지의 도구로 식을 직접 세우는 연습**을 한다.
물가와 이자, 수요와 공급, 한계와 잉여는 일상에서 자주 접하지만 수치로 옮겨 본 적이 드문 대상이며,
이 책에서 다룬 도구가 그대로 적용되는 영역이다.

제4부는 이 책에서 학습한 내용을 반복 적용하는 단계이기도 하다. 계산 능력은 사용하지 않으면 저하되며,
제4부의 문제는 산술부터 적분까지를 혼합하여 다시 사용하게 한다. 아래 네 방향 중 어느 것을 선택하든,
그전에 제4부를 학습하는 것이 적절하다.

## 다음으로 — 네 방향

이 지점에서 일변수 미적분의 계산과 개념은 정착된 상태다. 이후의 방향은 네 가지다. **한 번에 하나만 선택한다.** 이 책이 적용한 원칙은 "하루 20~30분, 한 번에 하나"였고, 이후에도 동일하다. 네 방향을 동시에 시작하면 몇 주 뒤에 어느 것도 남지 않는다.

| 방향 | 요약 | 대상 | 선행 |
|---|---|---|---|
| **① 선형대수** | 수 대신 표(행렬)를 다룬다 | 데이터·통계·머신러닝·공학 | **대수(제2부)면 충분.** 미적분 점수 무관 |
| **② 다변수 미적분** | 이 책에서 다룬 내용을 변수 여러 개로 확장한다 | 물리·공학·경제 | 미적분 전체(특히 연쇄법칙·정적분) |
| **③ 엄밀한 미적분(해석학)** | "왜 그런가"를 증명으로 확인한다 | 근거를 계속 확인하려는 학습자 | 미적분 + **증명 훈련(④)** |
| **④ 증명** | 수학의 문법을 배운다 | ③을 하려는 모두 / 설명 서술에 어려움이 있는 학습자 | **없음.** 지금부터 가능 |

**① 선형대수** — Gilbert Strang, *Introduction to Linear Algebra* 와 MIT OCW **18.06**(무료). 미적분을 거의 사용하지 않으므로, 미분이 아직 정착되지 않은 상태에서도 진행할 수 있는 유일한 방향이다. 연립방정식([제18장](../part2/ch18.md))을 행렬로 다시 쓰는 데서 시작한다. 실용적 적용은 네 방향 중 가장 즉각적이다.

**② 다변수 미적분** — MIT OCW **18.02**(무료). 편미분은 "다른 변수를 상수로 두고 [제27장](ch27.md) 규칙 그대로" 미분하는 것이고, 중적분은 정적분을 두 번 하는 것이다. 이 책에서 다룬 도구가 곧바로 확장된다. 다만 연쇄법칙([제29장](ch29.md))과 정적분([제33장](ch33.md))이 정착되지 않은 상태에서는 확장 과정에서 동일한 오류가 반복되므로, 해당 영역에 처방을 받았다면 먼저 보강한 뒤 시작한다.

**③ 엄밀한 미적분(해석학)** — Stephen Abbott, *Understanding Analysis*. 명제의 근거를 계속 확인하려는 학습자를 대상으로 한다. 네 방향 중 진도가 가장 느리고 내용이 가장 깊다. 다만 **증명을 작성해 본 경험이 없는 상태에서는 진행이 지속되지 않으므로** ④를 먼저 수행한다. 또한 극한([제25장](ch25.md))이 정착되어 있어야 한다. 이 교재의 처음 100쪽은 극한을 엄밀하게 다시 세우는 내용이다.

**④ 증명** — Richard Hammack, *Book of Proof*(저자 홈페이지 무료 PDF) 또는 Daniel Velleman, *How to Prove It*. **선행 내용이 없다.** 자가진단 결과와 무관하게 시작할 수 있고, 미적분이 정착되지 않은 상태에서도 진행할 수 있다. 읽는 교재가 아니라 **푸는 교재**이므로 매일 연습문제 몇 개를 직접 작성한다. 목표는 "$\sqrt{2}$ 는 무리수다"를 교재를 보지 않고 스스로 서술하는 것이다.

### 다음 트랙 전 — 4주 유지 계획

다음 트랙을 곧바로 시작하지 못하는 경우에도 **하루 10분**은 유지한다. 새로운 내용을 배우는 것이 아니라 이미 익힌 계산 절차를 유지하는 것이 목적이다. 목적은 실력 향상이 아니라 **학습을 재개할 때의 비용을 낮추는 것**이다.

| 주차 | 매일 10분 | 주 1회 30분 |
|---|---|---|
| 1주차 | 세트 D에서 미분 3문항 (순서 말고 아무거나) | 자가진단 오답 전부 다시 (답 안 보고) |
| 2주차 | 세트 I에서 적분 3문항 + 미분으로 검산 | 세트 L(극한) 8문항 |
| 3주차 | 세트 D·I에서 섞어서 3문항 | 세트 G의 문장제 7–10번 |
| 4주차 | 고른 트랙 교재의 첫 장을 하루 2쪽씩 | 트랙 1주차 분량 시작 |

## 요약

산술을 다시 세우고(제1부), 대수를 숙달하고(제2부), 미적분의 기본 과정을 마쳤다(제3부). 한 줄로 요약하면 다음과 같다.

$$\textbf{재건} \ \to \ \textbf{정상} \ \to \ \textbf{그다음 진짜 수학}$$

제1·2부가 재건 단계이며, 정착되지 않은 선행 내용을 다시 세웠다. 제3부가 정상 단계이며, 미적분이라는 첫 과정을 마쳤다. 위에서 선택한 방향이 그다음 단계에 해당한다. 이 책이 사용한 방법은 세 가지다 — 매 회차를 빠짐없이 진행하고, 문제를 직접 손으로 풀고, 오류가 발생하면 선행 단원으로 내려가 확인한다. 이 방법은 여기서 끝나지 않으며, 이후 어느 방향으로 가더라도 동일하게 적용된다.