제8장 · 산술 종합

이 장

원본 코드	R1-W08
선행 내용	제1~7장 전부
요지	산술의 여섯 장은 여섯 개의 규칙이 아니라 여섯 개의 문장으로 정리된다. 문장을 기억하면 규칙은 다시 유도할 수 있다.

도입

이 장은 제1부 산술 재건의 마지막 장이다. 앞의 여섯 장에서 분수·소수·백분율·음수·지수를 차례로 다시 세웠다. 이 장에서는 이 영역들이 섞여 있는 문제를 직접 풀어, 어느 영역이 정착되었고 어느 영역이 아직 부족한지를 영역 이름으로 확인한다.

이 장의 목적은 총점을 매기는 것이 아니라 부족한 영역의 위치를 특정하는 것이다. 오답이 나온 영역은 대수로 넘어가기 전에 한 번 더 확인할 지점이다. 한 영역을 지금 보강하는 편이, 대수에서 같은 지점에 걸려 진행이 멈추는 경우보다 전체 학습 시간이 짧다.

여섯 문장으로 돌아보기

제2장부터 제7장까지의 내용은 여섯 개의 문장으로 정리된다. 여섯 장의 분량이 여섯 문장으로 압축된 것이다. 이후 어떤 문제에서 진행이 멈추면, 계산 방법을 떠올리기 전에 그 문제가 여섯 문장 중 어느 것에 해당하는지를 먼저 확인한다. 해당하는 문장을 특정하면 계산 방법은 그 문장에서 따라 나온다.

\[\text{제2장} \ : \ \text{크기가 다른 조각은 셀 수 없다. 그래서 조각을 같게 맞춘다(통분).}\]

\[\text{제3장} \ : \ A \div B \ \text{는 “} A \text{ 안에 } B \text{가 몇 번 들어가나”이다.}\]

\[\text{제4장} \ : \ \text{소수는 분모가 } 10, 100, 1000 \text{인 분수다. 소수점은 자릿값의 경계다.}\]

\[\text{제5장} \ : \ \text{빼기는 반대 방향으로 가는 것. } (-)\times(-)=(+) \ \text{는 분배법칙에서 나온다.}\]

\[\text{제6장} \ : \ \text{언제나 “무엇에 대한 퍼센트인가”. 기준량이 전부다.}\]

\[\text{제7장} \ : \ \text{넓이는 더할 수 있지만 변의 길이는 더해지지 않는다.}\]

빈번한 오류

영역이 섞인 문제에서 정답률이 떨어진다

분수 문제만 스무 개를 연속으로 풀 때는 정답률이 높다가, 분수·음수·백분율이 섞이면 절반 가까이 틀리는 경우가 있다. 원인은 앞의 여섯 장을 한 번에 한 영역씩 풀었다는 데 있다. 문제를 보기 전에 이미 해당 영역이 정해져 있었으므로, 훈련된 것은 계산 절차이지 어떤 절차를 적용할지 고르는 판단이 아니다.

이를 보완하는 방법은 계산에 앞서 분류를 먼저 하는 것이다. 이 문제가 분수인지, 백분율인지, 부호인지 — 여섯 문장 중 어느 것에 해당하는지를 먼저 판정한다. 섞인 문제는 여러 문장이 한 줄에 함께 들어 있는 형태이다.

\[\underbrace{\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)}_{\text{제2장}} \underbrace{\div \frac{1}{8}}_{\text{제3장}} + \underbrace{(-3)^2}_{\text{제5·7장}}\]

한 줄에 네 장의 내용이 들어 있다. 각 항의 난도가 높은 것이 아니라 항의 개수가 많은 것이다. 항별로 분리하면 각각은 앞에서 이미 다룬 계산이다. 대수의 식은 대부분 이러한 형태를 가진다.

오답을 “실수”로 처리하고 넘어간다

채점 과정에서 오답을 “알고 있었는데 실수했다”로 분류하고 넘어가면 취약한 영역이 표시되지 않는다. 실수인지 아닌지는 판단이 아니라 행동으로 판정한다. 그 문제를 아무것도 참고하지 않고 \(10\) 초 안에 다시 푼다. 다시 풀리면 실수이고, 풀리지 않으면 실수가 아니라 아직 정착되지 않은 영역이다.

같은 오답이 세 번 반복되면 그것은 실수가 아니라 고정된 오류 패턴이다. 부호를 세 번 틀렸다면 부호 규칙이 취약한 것이다.

종합 자가진단 (20문항)

분수·소수·백분율·음수·지수가 섞인 스무 문항이다. 계산기를 사용하지 않는다. 풀지 못한 문항은 비워 두지 않고 표시한다. 표시한 문항이 다시 확인할 지점이다.

채점 전에 한 단계를 추가한다. 정답을 열기 전에 아래 표에 따라 자신의 답을 검산한다. 앞의 여섯 장에 흩어져 있던 검산 방법을 영역별로 한 줄씩 정리한 표이다.

영역	정답을 열기 전 한 줄 검산	처음 나온 곳
분수 나눗셈	몫에 나눈 수를 곱해 원래 수가 나오는지 본다. \(\dfrac{9}{8} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{4}\)	제3장
소수 곱셈	소수점 아래 자릿수를 더해 맞췄는지, 그리고 대략의 크기가 맞는지. \(0.4 \times 0.06\) 은 \(0.4\) 보다 훨씬 작아야 한다	제4장
백분율	\(10\%\) 를 먼저 구해 어림하고 자릿수를 확인한다	제6장
백분율 되돌리기	되찾은 값에 원래 인자를 다시 곱해 주어진 값이 나오는지 본다	제6장
음수 덧뺄	답의 부호를 수직선 방향으로 되짚는다. 오른쪽으로 갔는가 왼쪽으로 갔는가	제5장
음수 곱나눗	“무엇을 곱해야 이 값이 되나”로 되돌린다. \(-12 \div (-4) = 3\) 은 \((-4) \times 3 = -12\) 로 확인	제5장
제곱근	답을 제곱해 본다. \(\sqrt{196} = 14\) 는 \(14 \times 14 = 196\) 으로 확인	제7장
연산 순서	곱셈·나눗셈에 연필로 괄호를 치고 식을 다시 읽는다	제7장

이 표는 이 장 이후에도 계속 사용된다. 정답이 함께 제시되는 것은 이 장까지이기 때문이다. 제2부부터는 답의 정오를 대부분 스스로 판정해야 한다. 판정 방법은 두 가지이다. 구한 값을 원래 식에 대입하거나, 역연산으로 되돌려 주어진 값이 나오는지 확인한다. 이 절차를 이 장에서 습관으로 정착시킨다.

[분수] 6문항

1. \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\)

2. \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{3}\)

3. \(\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}\)

4. \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}\)

5. \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{9}\)

6. 밀가루가 \(5\) 컵 있다. 쿠키 한 판에 밀가루 \(\dfrac{2}{3}\) 컵이 든다. 몇 판까지 만들 수 있는가?

[소수] 4문항

7. \(0.375\) 를 기약분수로 고쳐라.

8. \(\dfrac{5}{8}\) 을 소수로 고쳐라.

9. \(0.4 \times 0.06\)

10. \(2.5 - 1.75 + 0.4\)

[백분율] 4문항

11. \(45{,}000\) 원짜리 물건을 \(20\%\) 할인한다. 지불할 금액은?

12. 어떤 값이 \(80\) 에서 \(100\) 으로 늘었다. 증가율은 몇 \(\%\) 인가?

13. 어떤 수의 \(15\%\) 가 \(60\) 이다. 그 수는?

14. \(200{,}000\) 원짜리 물건이 \(10\%\) 올랐다가 다시 \(10\%\) 내렸다. 지금 가격은?

[음수] 4문항

15. \(-5 - (-8)\)

16. \((-3) \times (-4)\)

17. \(-12 \div (-4)\)

18. \(-7 + 3 \times (-2)\)

[지수·연산 순서] 2문항

19. \(2 + 3 \times 4^2\)

20. \(\sqrt{9+16}\)

풀이를 마친 뒤 영역별로 맞은 개수를 센다. 총점보다 어느 줄에 오답이 몰렸는지가 중요하다.

영역	문항	만점	맞은 개수	통과 기준	미달 시 복습 위치
분수 덧뺄	1, 2	2		\(2/2\)	제2장 「통분 — 조각 크기를 맞춘다」 + 세트 A
분수 곱나눗	3, 4, 5, 6	4		\(4/4\)	제3장 「나눗셈은 “안에 몇 번 들어가나”이다」 + 세트 A
소수	7, 8, 9, 10	4		\(4/4\)	제4장 「분수를 소수로, 소수를 분수로」 + 세트 B
백분율	11, 12, 13, 14	4		\(4/4\)	제6장 「증가율의 기준은 언제나 “변하기 전”」 + 세트 C
음수	15, 16, 17, 18	4		\(4/4\)	제5장 「마이너스가 두 개 나란히 올 때」 + 세트 D
지수·연산 순서	19, 20	2		\(2/2\)	제7장 「연산 순서는 “힘센 것부터”」 + 세트 E
합계		20

통과 기준을 \(4/4\), \(2/2\) 로 설정한 이유는 다음과 같다. 대수의 모든 계산은 산술 위에서 수행되므로, 열 번에 한 번 흔들리는 영역은 대수에서 식의 매 줄마다 같은 오류를 만든다. 네 문항 중 세 문항을 맞았다는 이유로 통과 처리하는 것이 이 표에서 가장 부정확한 판정이다. 통과 기준에 미달한 영역은 오른쪽 칸의 절을 다시 읽고 해당 세트를 푼다.

지수·연산 순서 영역은 문항이 \(19\)·\(20\) 번 두 개뿐이므로 판정의 해상도가 낮다. 이 영역은 한 문항이라도 틀리면 세트 E를 전부 푼다.

우선 보강 영역

대수로 넘어가기 전에 **분수 나눗셈(4·5·6번)**과 음수(15~18번) 두 영역을 우선 보강한다. 인수분해는 부호 규칙이 정착되지 않으면 전개와 검산이 함께 어긋나고, 문자가 포함된 분수식은 분수 나눗셈이 정착되지 않으면 정리 자체가 진행되지 않기 때문이다. 이 두 영역에서 틀린 문항이 있으면 제3장·제5장을 다시 읽고 아래 보강 문제 은행의 세트 A·D를 푼다.

정답과 해설

1. \(\dfrac{19}{12}\) (또는 \(1\dfrac{7}{12}\)) — \(\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12}\)

2. \(\dfrac{13}{24}\) — \(\dfrac{21}{24} - \dfrac{8}{24}\)

3. \(\dfrac{1}{6}\) — 먼저 약분하면 계산이 간단하다. \(\dfrac{4 \times 3}{9 \times 8} = \dfrac{12}{72}\)

4. \(\dfrac{9}{8}\) — \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2}\). 이렇게 틀린다: \(\dfrac{1}{2}\)(뒤집기를 잊음) 또는 \(\dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{3}\)(앞의 것을 뒤집음). 뒤집는 것은 뒤에 오는 수다.

5. \(\dfrac{3}{4}\) — \(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60}\)

6. 7판 — \(5 \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{15}{2} = 7.5\). 반 판은 구울 수 없으므로 7판이고, 밀가루 \(\dfrac{1}{3}\) 컵이 남는다. \(7.5\) 라고만 쓰면 문장제의 조건을 끝까지 반영하지 않은 것이다.

7. \(\dfrac{3}{8}\) — \(\dfrac{375}{1000}\) 을 약분

8. \(0.625\) — \(5 \div 8\)

9. \(0.024\) — 소수점 아래 자릿수가 \(1 + 2 = 3\) 개. 이렇게 틀린다: \(0.24\)

10. \(1.15\) — 왼쪽부터. \(2.5 - 1.75 = 0.75\), \(0.75 + 0.4 = 1.15\)

11. \(36{,}000\) 원 — \(45{,}000 \times 0.8\). 이렇게 틀린다: \(9{,}000\) 원(할인액을 지불액으로 씀)

12. \(25\%\) — \(\dfrac{20}{80}\). 이렇게 틀린다: \(\dfrac{20}{100} = 20\%\). 기준량은 늘기 전 값 \(80\) 이다.

13. \(400\) — \(60 \div 0.15\). 이렇게 틀린다: \(60 \times 0.15 = 9\). 부분에서 전체로 갈 때는 나눗셈이다.

14. \(198{,}000\) 원 — \(200{,}000 \times 1.1 \times 0.9\). 곱셈 인자가 \(0.99\) 이므로 원래 가격의 \(1\%\) 가 감소한다. 이렇게 틀린다: \(200{,}000\) 원(원래 가격으로 되돌아온다고 판단한 경우).

15. \(3\) — 수직선에서 \(-5\) 에서 오른쪽으로 8칸 이동한 위치

16. \(12\)

17. \(3\)

18. \(-13\) — 곱셈 먼저. \(3 \times (-2) = -6\), \(-7 + (-6) = -13\). 이렇게 틀린다: \(8\)(왼쪽부터 계산)

19. \(50\) — 지수 먼저. \(4^2 = 16\), \(3 \times 16 = 48\), \(+2\). 이렇게 틀린다: \(80\)

20. \(5\) — \(\sqrt{25}\). 이렇게 틀린다: \(7\). 넓이는 더해도 변의 길이는 더해지지 않는다(\(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\) 은 잘못된 계산이다).

혼합 영역 추가 연습문제

영역이 섞인 문제로 분류 판단을 연습한다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

1. A \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\)

2. A \(\dfrac{5}{8} \div \dfrac{1}{4}\)

3. A \(0.8 \times 0.5\)

4. A \(\dfrac{3}{4}\) 를 소수로

5. A \(30{,}000\) 원짜리를 \(25\%\) 할인하면 지불액은?

6. A \(-4 - (-9)\)

7. B \((-2) \times (-3) \times (-1)\)

8. B \(3 + 2 \times 5^2\)

9. B \(2\dfrac{1}{2} \div \dfrac{3}{4}\)

10. B 어떤 값이 \(60\) 에서 \(45\) 로 줄었다. 감소율은 몇 \(\%\) 인가?

11. C \(\left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\right) \div \dfrac{1}{8} + (-3)^2\)

12. C 정가 \(50{,}000\) 원인 옷을 \(20\%\) 할인해서 사고, 카드로 거기서 다시 \(10\%\) 를 더 할인받았다. 지불액은 얼마이고, 정가 대비 전체 할인율은 몇 \(\%\) 인가?

정답과 해설

1. \(\dfrac{11}{12}\) — \(\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12}\)

2. \(\dfrac{5}{2}\) — \(\dfrac{5}{8} \times 4\). “\(\dfrac{5}{8}\) 안에 \(\dfrac{1}{4}\) 이 두 번 반 들어간다.”

3. \(0.4\) — \(\dfrac{8}{10} \times \dfrac{5}{10} = \dfrac{40}{100}\)

4. \(0.75\)

5. \(22{,}500\) 원 — \(30{,}000 \times 0.75\)

6. \(5\) — \(-4\) 에서 오른쪽으로 9칸

7. \(-6\) — 음수 인자가 세 개로 홀수 개이므로 결과는 음수이다. \(6 \times (-1)\)

8. \(53\) — \(5^2 = 25\) 먼저, \(2 \times 25 = 50\), \(+3\)

9. \(\dfrac{10}{3}\) (또는 \(3\dfrac{1}{3}\)) — \(\dfrac{5}{2} \times \dfrac{4}{3}\). 대분수는 먼저 가분수로 고친다.

10. \(25\%\) — 줄어든 양 \(15\), 기준량은 줄기 전 값 \(60\). \(\dfrac{15}{60}\). 이렇게 틀린다: \(\dfrac{15}{45} \approx 33\%\)

11. \(11\) — 괄호 안 \(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{1}{4} \div \dfrac{1}{8} = 2\), \((-3)^2 = 9\), 합쳐서 \(11\). 네 장의 내용이 한 문항에 들어 있다(제2장 뺄셈, 제3장 나눗셈, 제5장 음수, 제7장 지수·순서).

12. \(36{,}000\) 원, 전체 \(28\%\) 할인 — \(50{,}000 \times 0.8 = 40{,}000\), \(40{,}000 \times 0.9 = 36{,}000\). 곱셈 인자는 \(0.8 \times 0.9 = 0.72\) 이므로 정가의 \(72\%\) 를 지불한 것이고, 곧 \(28\%\) 할인이다. 이렇게 틀린다: \(20 + 10 = 30\%\). 두 번째 \(10\%\) 의 기준량은 정가가 아니라 1차 할인가다.

영역별 보강 문제 은행

통과 기준에 미달한 영역이 있으면 해당 세트만 선택해 푼다.

세트 A — 분수 (10문항)

A1. \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}\) A2. \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}\) A3. \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}\) A4. \(\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{2}\) A5. \(\dfrac{3}{7} \times \dfrac{14}{15}\) A6. \(\dfrac{5}{12} \times \dfrac{8}{15}\) A7. \(\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{9}\) A8. \(\dfrac{7}{10} \div \dfrac{7}{5}\) A9. \(1\dfrac{1}{3} \times 2\dfrac{1}{4}\) A10. 리본 \(\dfrac{8}{9}\) m를 \(\dfrac{2}{9}\) m씩 자르면 몇 도막인가?

세트 B — 소수 (8문항)

B1. \(3.7 + 0.45\) B2. \(5 - 1.28\) B3. \(0.6 \times 0.7\) B4. \(1.2 \times 0.05\) B5. \(4.8 \div 0.6\) B6. \(0.9 \div 0.03\) B7. \(0.625\) 를 기약분수로 B8. \(\dfrac{7}{20}\) 을 소수로

세트 C — 백분율 (8문항)

C1. \(250\) 의 \(12\%\) 는? C2. \(80\) 은 \(200\) 의 몇 \(\%\) 인가? C3. 어떤 수의 \(30\%\) 가 \(75\) 다. 그 수는? C4. \(64{,}000\) 원짜리를 \(25\%\) 할인하면 지불액은? C5. \(120\) 에서 \(150\) 으로 늘었다. 증가율은? C6. \(150\) 에서 \(120\) 으로 줄었다. 감소율은? C7. 세전 \(30{,}000\) 원에 부가세 \(10\%\) 가 붙는다. 총액은? C8. \(100\) 만 원을 연 \(4\%\) 복리로 2년 두면?

세트 D — 음수 (10문항)

D1. \(-7 + 12\) D2. \(-8 - 5\) D3. \(-6 - (-10)\) D4. \(4 - (-7)\) D5. \((-5) \times 6\) D6. \((-7) \times (-8)\) D7. \(-36 \div 9\) D8. \(-45 \div (-5)\) D9. \((-2) \times (-3) \times (-4)\) D10. \(-3 - (-3) \times 2\)

세트 E — 지수·연산 순서 (8문항)

E1. \(2^6\) E2. \((-5)^2\) 과 \(-5^2\) E3. \(\sqrt{81}\) 과 \(\sqrt{225}\) E4. \(\sqrt{36+64}\) 와 \(\sqrt{36} + \sqrt{64}\) E5. \(9 + 6 \div 3\) E6. \((9+6) \div 3\) E7. \(4 + 2 \times 3^2\) E8. \(\dfrac{5^2 - 1}{2^3}\)

정답과 해설

세트 A A1. \(\dfrac{11}{15}\) A2. \(\dfrac{7}{12}\) A3. \(\dfrac{11}{8}\)(또는 \(1\dfrac{3}{8}\)) A4. \(\dfrac{5}{18}\) A5. \(\dfrac{2}{5}\) A6. \(\dfrac{2}{9}\) A7. \(\dfrac{3}{2}\) A8. \(\dfrac{1}{2}\) A9. \(3\) A10. 4도막

• A5·A6은 곱하기 전에 약분하면 계산량이 줄어든다.

• A7은 \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4}\). “\(\dfrac{2}{3}\) 안에 \(\dfrac{4}{9}\) 가 한 번 반 들어간다.”

• A9는 먼저 가분수로 고친다. \(\dfrac{4}{3} \times \dfrac{9}{4} = 3\). 이렇게 틀린다: \(2\dfrac{1}{12}\)(정수끼리, 분수끼리 곱함).

• A10은 \(\dfrac{8}{9} \div \dfrac{2}{9} = 4\). 아랫수가 같으면 윗수끼리 나눈다.

세트 B B1. \(4.15\) B2. \(3.72\) B3. \(0.42\) B4. \(0.06\) B5. \(8\) B6. \(30\) B7. \(\dfrac{5}{8}\) B8. \(0.35\)

• B3·B4는 소수점 아래 자릿수를 더한다. B4는 \(1 + 2 = 3\) 자리이므로 \(0.060\), 곧 \(0.06\).

• B5·B6은 위아래에 같은 수를 곱해 나누는 수를 정수로 만든다. B6은 \(\dfrac{0.9}{0.03} = \dfrac{90}{3} = 30\).

세트 C C1. \(30\) C2. \(40\%\) C3. \(250\) C4. \(48{,}000\) 원 C5. \(25\%\) C6. \(20\%\) C7. \(33{,}000\) 원 C8. \(1{,}081{,}600\) 원

• C5와 C6을 나란히 비교한다. 같은 두 수 사이인데 증가율은 \(25\%\), 감소율은 \(20\%\) 이다. 기준량이 \(120\) 인지 \(150\) 인지의 차이에서 비롯된다. 자가진단 14번이 같은 구조를 가진다.

• C8은 \(1{,}000{,}000 \times 1.04 \times 1.04\). 이렇게 틀린다: \(1{,}080{,}000\) 원(단리로 계산).

세트 D D1. \(5\) D2. \(-13\) D3. \(4\) D4. \(11\) D5. \(-30\) D6. \(56\) D7. \(-4\) D8. \(9\) D9. \(-24\) D10. \(3\)

• D3·D4가 핵심이다. 음수를 빼는 것은 수직선에서 오른쪽으로 이동하는 것이다.

• D9는 음수 인자가 세 개로 홀수 개이므로 결과는 음수이다.

• D10은 곱셈을 먼저 계산한다. \((-3) \times 2 = -6\), \(-3 - (-6) = 3\). 이렇게 틀린다: \(0\)(왼쪽부터 계산).

세트 E E1. \(64\) E2. \(25\) 와 \(-25\) E3. \(9\) 와 \(15\) E4. \(10\) 과 \(14\) E5. \(11\) E6. \(5\) E7. \(22\) E8. \(3\)

• E2: \(-5^2\) 은 \(-(5^2)\) 이다.

• E4: 두 값은 다르다. \(\sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\), \(\sqrt{36}+\sqrt{64} = 6+8 = 14\). 자가진단 20번이 이 항목에 해당한다.

• E8: 분수 선은 위아래 각각에 씌워진 괄호다. 위 \(24\), 아래 \(8\).

요약과 다음 부

제1부의 여덟 장에서 수(數)를 다시 세웠다. 분수·소수·백분율·음수·지수는 모두 수를 다루는 방식이다. 여기까지의 자가진단을 통과했다면 산술의 기초는 정착된 상태이다.

다음은 제2부 · 대수 재건이다. 수 대신 문자를 사용한다. \(x\) 는 새로운 종류의 수학이 아니라 값이 아직 정해지지 않은 자리를 나타내는 기호이다. “매달 \(30\) 만 원씩 저축하면 \(1{,}000\) 만 원까지 몇 달인가?” — 이 계산을 이미 수행할 수 있다면, 그 계산에서 구하려 한 값이 곧 \(x\) 이다. 대수는 이 과정을 머릿속이 아니라 식으로 기록하는 방법이다.

(제2부 · 대수 재건은 이후 공개됩니다.)