제16장 · 이차방정식 ① — 인수분해·완전제곱#
이 장
원본 코드 |
R2-W08 |
선행 내용 |
제15장(인수분해 ②) |
요지 |
곱이 \(0\) 이면 둘 중 하나는 반드시 \(0\) 이다. 이차방정식은 인수분해로 해를 찾는다. |
도입#
\(1200\) 년 전 바그다드의 수학자 알콰리즈미가 이 문제를 다루었다. 현재 쓰이는 ‘대수(algebra)’라는 말은 그의 책 제목에서, ‘알고리즘(algorithm)’은 그의 이름에서 유래했다. 당시에는 기호가 없었다. \(x\) 라는 문자도, 등호도 없었다. 그가 사용한 방법은 도형을 그리는 것이었다.
한 변이 \(x\) 인 정사각형에서 시작한다. 넓이는 \(x^2\) 이다. 그 오른쪽에 가로가 \(5\) 인 직사각형(넓이 \(5x\))을 붙이고, 아래에도 세로가 \(5\) 인 직사각형(넓이 \(5x\))을 붙인다.
\(x^2\) 이 하나, \(5x\) 가 둘이므로 전체 넓이는 \(x^2 + 10x\) 이고, 이는 문제에서 주어진 식과 같다. 그 넓이가 \(39\) 이다. 그런데 이 도형은 정사각형이 아니다. 오른쪽 아래 귀퉁이가 비어 있다. 알콰리즈미가 수행한 조작은 그 귀퉁이를 채우는 것 하나다.
귀퉁이는 한 변이 \(5\) 인 정사각형이므로 넓이가 \(5 \times 5 = 25\) 이다. 이것을 채우면 전체 넓이는
가 된다. 이제 이 도형은 완전한 정사각형이다. 넓이가 \(64\) 이므로 한 변의 길이는 \(8\) 이다. 한 변의 길이는 \(x + 5\) 였으므로
이다. 이 방법을 ‘완전제곱을 만든다’(completing the square)라고 한다. 이 명칭은 도형의 조작을 그대로 옮긴 것이다. 알콰리즈미는 부족한 귀퉁이를 채워 정사각형을 완성했고, 이 장에서 식으로 수행하는 모든 계산은 그 귀퉁이를 채우는 조작에 대응한다.
검산한다. \(x = 3\) 을 원식에 대입하면 \(9 + 30 = 39\) 로 성립한다. 여기서 해가 이것뿐인지가 남는다. 알콰리즈미는 해가 하나라고 보았다. 그 시대에는 길이가 음수인 정사각형을 인정하지 않았기 때문이다. 음수를 수로 인정하면 해가 하나 더 나오며, 이 장의 뒷부분에서 그 해를 확인한다.
이차방정식이란 무엇인가#
풀이 대상을 먼저 정의한다. 정리했을 때
꼴이 되는 방정식을 이차방정식이라 한다. \(x\) 에 대해 가장 높은 차수가 \(2\) 이므로 ‘이차’라 부른다. 도입에서 다룬 \(x^2+10x=39\) 도 \(39\) 를 좌변으로 옮기면 \(x^2+10x-39=0\) 이 되어 이 꼴에 해당한다.
괄호 안의 조건 \(a \ne 0\) 은 필수적이다. \(a\) 가 \(0\) 이면 \(x^2\) 항이 통째로 사라져 \(bx+c=0\), 곧 일차방정식이 된다. 이차방정식이 되려면 \(x^2\) 항이 남아 있어야 하며, 그것이 \(a \ne 0\) 의 의미다.
여기서 이 장 전체에서 사용할 검산 기준이 따라 나온다. 이차방정식의 해는 최대 두 개다. 그 이유는 다음과 같다. 뒤에서 다룰 방법으로 풀려면 좌변을 곱의 꼴로 만들어야 하는데, 이차식을 인수분해하면 일차식 두 개의 곱이 되므로 인수가 두 개다. 각 인수를 \(0\) 으로 놓아 얻는 값이 하나씩이므로 해는 모두 두 개다.
두 인수가 같을 때는 얻는 값도 하나로 겹친다. \((x+3)(x+3)=0\) 이면 양쪽에서 모두 \(x=-3\) 이 나온다. 이것이 뒤에서 다룰 중근이다. 그래서 ‘두 개’가 아니라 ‘최대 두 개’라고 한다. 해가 하나만 나왔을 때 중근인지 아니면 해를 하나 누락했는지 점검하는 근거가 이것이다.
제17장에서는 구체적인 수가 아니라 \(ax^2+bx+c=0\) 자체에 이 장의 다섯 단계를 그대로 적용한다. 그때 ①단계에서 양변을 \(a\) 로 나누는데, 나눗셈이 가능한 근거가 \(a \ne 0\) 이다. 여기서 명시한 조건이 그 지점에서 사용된다.
곱이 \(0\) 이면 둘 중 하나는 \(0\) 이다#
두 수를 곱한 값이 \(0\) 인 경우를 본다.
\(0 \times 5\), \(3 \times 0\), \(0 \times 0\) 등 어느 경우에나 한쪽이 \(0\) 이다. \(0\) 이 아닌 두 수의 곱은 결코 \(0\) 이 되지 않는다. 이는 \(0\) 만이 가지는 성질이다.
우변을 다른 수로 바꾸어 비교한다. 이 대비가 이 절의 핵심이다.
곱이 \(6\) 인 두 수는 \(1 \times 6\), \(2 \times 3\), \(12 \times \tfrac12\), \((-2)\times(-3)\) 등 무수히 많다. 한쪽이 \(6\) 이어야 할 이유가 없다. 따라서 곱이 \(6\) 이라는 정보는 각 인수에 대해 아무것도 결정하지 못한다. 곱이 \(0\) 일 때에만 각 인수를 알 수 있다. \(0\) 은 각 인수에 대한 정보를 주고, 다른 수는 주지 않는다.
이 성질을 영인수 정리라 한다. 핵심은 ‘곱이 \(0\) 이면 둘 중 하나는 \(0\)’이라는 한 문장이다.
이제 숫자를 문자로 바꾼다.
두 인수의 곱이 \(0\) 이므로 둘 중 하나가 \(0\) 이다. 앞의 인수가 \(0\) 이거나, 뒤의 인수가 \(0\) 이다.
여기서 ‘또는’이지 ‘그리고’가 아님에 주의한다. \(x\) 가 동시에 \(2\) 이면서 \(3\) 일 수는 없다. 해가 두 개라는 것은 ‘\(x\) 가 두 개’라는 뜻이 아니라, \(x\) 자리에 들어갈 수 있는 수가 두 개라는 뜻이다. 검산으로 확인한다.
둘 다 성립한다.
처음부터 곱의 꼴이 아닌 경우를 본다.
좌변이 아직 곱의 꼴이 아니다. 곱의 꼴로 만들어야 영인수 정리를 적용할 수 있다. 앞 장에서 다룬 인수분해가 여기서 쓰인다. 이 장에서 인수분해는 목적이 아니라 도구다.
우변이 \(0\) 이 아니면 먼저 \(0\) 을 만든다#
빈번한 오류 중 하나가 여기서 발생한다.
우변이 \(0\) 이 아니다. 그럼에도 우변이 \(0\) 일 때와 동일하게 처리하여 \(x-2=6\) 에서 \(x=8\), \(x-3=6\) 에서 \(x=9\) 를 얻는 경우가 있다. 검산한다.
두 값 모두 해가 아니다. 곱이 \(6\) 이라는 조건은 각 인수를 결정하지 못하기 때문이다. 올바른 절차는 모든 항을 좌변으로 옮겨 우변을 \(0\) 으로 만드는 것이다.
검산하면 \(x=0\) 일 때 \((-2)(-3)=6\), \(x=5\) 일 때 \(3 \times 2 = 6\) 으로 둘 다 성립한다. 규칙은 하나다. 우변이 \(0\) 이 아니면 먼저 모든 항을 좌변으로 옮겨 \(0\) 을 만들고, 그다음에 인수분해한다. 순서를 바꾸면 성립하지 않는다.
위에서 우변의 \(6\) 을 좌변으로 옮길 때 부호가 \(+6\) 에서 \(-6\) 으로 바뀌어 좌변의 \(+6\) 과 상쇄되었다. 등호를 건너 항을 옮기는 이 조작을 이항이라 한다. 옮긴다는 것은 곧 부호를 바꾼다는 것이며, 두 동작은 이항할 때 항상 함께 일어난다.
한 번 우연히 맞았다고 옳은 방법은 아니다#
우변이 \(2\) 이다. 잘못된 방법으로 \(x-2=2\), 즉 \(x=4\) 를 얻어 검산하면 \((4-2)(4-3)=2\times1=2\) 로 성립한다. 이처럼 잘못된 방법이 우연히 맞는 값을 내놓는 경우가 있으므로 오류가 드러나지 않을 수 있다. 올바른 절차로 푼다.
해는 \(1\) 과 \(4\) 이다. 잘못된 방법은 \(x=4\) 를 우연히 얻었으나, 해 \(x=1\) 을 통째로 누락했고, \(x-3=2\) 에서 \(x=5\) 라는 해가 아닌 값까지 만들어 냈다(\(5\) 를 대입하면 \(3\times2=6\) 으로 \(2\) 가 아니다). 결과가 한 번 일치했다는 사실은 방법의 타당성을 보장하지 않는다.
세 가지 예제#
\(x^2 - 9 = 0\). 합차 공식이 그대로 쓰인다.
해는 \(3\) 과 \(-3\) 이며, 짧게 \(x = \pm 3\) 으로 표기한다.
\(x^2 + 6x + 9 = 0\). 이 경우에는 해가 하나다.
인수가 \((x+3)\) 하나뿐이고 그것이 두 번 곱해져 있기 때문이다. 이것을 중근이라 한다. 해가 하나인 것이 아니라, 같은 해가 두 번 나온 것이다.
\(x^2 - 4x = 0\). 이 형태에서 양변을 \(x\) 로 나누어 \(x-4=0\), 즉 \(x=4\) 만 쓰는 오류가 자주 나타난다.
\(x=4\) 는 해이다. \(x=0\) 을 원식에 대입하면 \(0 - 0 = 0\) 이므로 \(x=0\) 도 해이다. 그런데 위 절차에는 이 해가 나타나지 않는다. 양변을 \(x\) 로 나누었기 때문이다. \(x\) 가 \(0\) 일 가능성이 있는 상태에서 \(0\) 으로 나눈 것이 되고, 그 결과 \(x=0\) 이라는 해가 사라진다. 문자로 양변을 나누지 않고 공통인수로 묶는다.
공통인수로 묶으면 두 해가 모두 남는다.
완전제곱으로 푸는 다섯 단계#
인수분해가 되지 않는 이차방정식도 정사각형을 완성하는 조작을 거치면 제곱근 계산 한 번으로 해를 얻는다.
두 식을 나란히 비교한다.
왼쪽은 \((x+3)^2 = 0\) 으로 곧바로 정리된다. 오른쪽은 곱이 \(2\), 합이 \(6\) 인 두 정수가 없으므로 인수분해되지 않는다. 그러나 해를 구할 수는 있다. 왼쪽 식과 비교하면 완전제곱이 되기 위한 상수항은 \(9\) 인데 실제 상수항은 \(2\) 이므로 \(7\) 이 부족하다. 알콰리즈미가 한 것과 같이 부족한 만큼을 채우면 된다. 단, 방정식이므로 양변에 같은 값을 더한다. 도입에서 다룬 귀퉁이를 식으로 채우는 조작에 해당한다.
다섯 단계로 정리한다.
세 번째 단계를 따로 확인한다. \(\left(\tfrac{b}{2}\right)^2\) 을 더하는 이유는 다음과 같다. 제13·14장의 완전제곱 \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\) 에서 \(a\) 자리에 \(x\) 를 놓고, 나머지 자리의 수를 \(k\) 라 하면 다음 식이 된다.
이 식의 세 자리를 하나씩 읽는다. 첫 항은 \(x^2\), 가운데 항의 계수는 \(2k\) — 곧 \(k\) 의 두 배 — 이고, 마지막 항은 \(k^2\) 이다. 여기서 다루는 식은 \(x^2+bx+\ \cdots\) 이므로 가운데 항의 계수끼리 대응시키면
가 되고, 마지막 항은 \(k^2 = \left(\tfrac{b}{2}\right)^2\) 이다. ③단계는 이 대응에서 나온다. 가운데 항의 계수를 반으로 나눈 뒤 제곱한다. 두 동작이 순서대로 이어진 것이다.
문자식과 수식이 정확히 대응한다. \(k\) 자리에 있는 수가 \(3\) 이고, 마지막 항 \(k^2\) 이 \(9\) 이다.
네 번째 단계도 확인한다. 좌변을 접을 때 괄호 안에 들어가는 것은 \(\tfrac{b}{2}\), 곧 제곱하기 전의 수이다. \(9\) 를 더했다면 괄호 안은 \(3\) 이며 \(9\) 가 아니다. 이 지점에서 오류가 빈번하다. 위의 대응 그대로, 괄호 안에 들어가는 것은 \(k(=3)\) 이고 \(k^2(=9)\) 이 아니다. 실제로 \((x+3)^2 = x^2+6x+9\) 이므로 \(3\) 이 들어가야 마지막 항이 \(9\) 가 된다.
다섯 단계를 따라가는 예제#
\(x^2 + 6x + 2 = 0\). ①은 \(x^2\) 의 계수가 이미 \(1\) 이므로 생략한다.
\(2\) 를 우변으로 넘기며 부호가 바뀐다.
양변에 더한다. 한쪽에만 더하면 등식이 성립하지 않는다. 양변에 같은 연산을 적용할 때에만 등식이 유지된다.
해는 \(-3+\sqrt7\) 과 \(-3-\sqrt7\) 의 두 개다. \(\sqrt7\) 을 소수로 바꾸지 않는다. 이 표현이 완성된 해이며, 소수로 바꾸면 근삿값이 되어 정확도가 떨어진다.
\(x^2 - 4x - 1 = 0\). \(b\) 가 음수인 경우.
\(b\) 가 음수인 경우에도 절차는 동일하다. 반으로 나누면 \(-2\), 제곱하면 \(+4\) 이다. 제곱한 값은 항상 양수이므로, ③에서 더하는 값은 언제나 양수다.
\(2x^2 + 8x - 10 = 0\). ①이 필요한 경우.
\(x^2\) 의 계수가 \(1\) 이 아니면 다섯 단계가 성립하지 않으므로, 먼저 계수를 \(1\) 로 만든다.
\(9\) 가 제곱수이므로 제곱근이 정수로 정리된다. 이 경우에는 인수분해로도 해를 얻는다. \(x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1)\) 이므로 같은 해가 나오는 것을 확인할 수 있다. 두 방법은 언제나 같은 해를 준다.
앞서 미룬 물음으로 돌아가, 도입의 \(x^2 + 10x = 39\) 를 다섯 단계로 푼다.
\((x+5)^2 = 64\) 는 한 변이 \(x+5\) 인 정사각형의 넓이가 \(64\) 라는 도형의 관계와 같다. 식으로 수행한 계산이 알콰리즈미가 도형으로 수행한 조작과 일치한다. 다만 해는 \(x=3\) 과 \(x=-13\) 의 두 개다. 검산하면 \((-13)^2 + 10(-13) = 169 - 130 = 39\) 로 성립한다. \(-13\) 은 알콰리즈미의 해에 포함되지 않았다. 길이가 음수인 정사각형은 없기 때문이다. 그러나 여기서 푸는 대상은 길이가 아니라 방정식이므로 두 값이 모두 해가 된다. 음수를 수로 인정하면서 \(1200\) 년 동안 해의 범위가 넓어진 결과다.
말을 식으로 옮기기#
지금까지는 방정식이 이미 식의 형태로 주어졌다. 문장제에는 그 앞에 문장을 식으로 옮기는 단계가 하나 더 있다. 이 과정을 세 단계로 나누면 동일한 절차를 반복해 적용할 수 있다.
문제. 어떤 직사각형의 넓이가 \(24\) 이고, 가로가 세로보다 \(2\) 만큼 길다. 두 변의 길이를 구하라.
① 무엇을 \(x\) 로 놓을지 정하고, 나머지를 \(x\) 로 쓴다. 둘 중 짧은 쪽을 \(x\) 로 두면 나머지가 덧셈 꼴로 정리된다. 세로를 \(x\) 라 하면 가로는 \(x+2\) 이다. 미지수는 하나만 사용하며, 나머지 양도 반드시 \(x\) 로 표현한다.
② 조건을 등식으로 옮긴다. 넓이는 가로 곱하기 세로다.
우변이 \(0\) 이 아니므로 앞에서 정한 규칙대로 먼저 \(0\) 을 만든다.
③ 풀고, 문제의 조건에 비추어 답을 고른다. 곱해서 \(-24\), 더해서 \(2\) 인 두 수는 \(6\) 과 \(-4\) 다.
세로가 \(-6\) 인 직사각형은 존재하지 않으므로 \(x=4\) 를 택해 세로 \(4\), 가로 \(6\) 이다. 확인하면 \(4 \times 6 = 24\) 이고 가로가 세로보다 \(2\) 만큼 길다.
여기서 하나의 원칙이 성립한다. 방정식의 해와 문제의 답은 구분된다. 방정식은 \(-6\) 과 \(4\) 를 모두 내놓았고, 방정식의 해로서는 둘 다 옳다. 그중 무엇이 문제의 답인지는 방정식이 아니라 문제의 조건이 결정한다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 여기서는 \(-6\) 을 버리지만, “연속한 두 정수”를 묻는 문제라면 음수도 정수이므로 버릴 이유가 없다. 형태가 같은 음수 해가 어떤 문제에서는 배제되고 다른 문제에서는 답이 된다. 걸러낼지 여부는 마지막에 문제의 문장으로 돌아가 판단한다.
①에서 한 번 더 확인해야 하는 경우도 있다. 둘레가 주어진 문제다. 둘레는 네 변의 합이므로, 둘레가 \(20\) 이라면 가로와 세로의 합은 그 절반인 \(10\) 이다. 가로를 \(x\) 라 할 때 세로는 \(20-x\) 가 아니라 \(10-x\) 이다. 이 지점에서 오류가 빈번하다. 둘레가 주어지면 먼저 반으로 나눈다.
빈번한 오류#
곱이 \(0\) 이 아닐 때도 각 인수를 그 수로 놓는다
\((x-2)(x-3)=0\) 을 보고 \(x=2,\ 3\) 이라고 바로 쓰면서도 그 근거를 설명하지 못한다면, 절차만 남고 이유가 빠진 상태다. “괄호 안을 \(0\) 으로 만드는 값을 쓴다”는 형태는 남았는데, 그 절차가 \(0\) 이라는 특수한 수의 성질에서 나왔다는 사실이 통째로 빠져 있다. 조건을 잃은 규칙은 조건 밖에서도 그대로 적용된다. 그 결과 \((x-2)(x-3)=6\) 을 보고 \(x-2=6\) 이라고 쓰는, 더 큰 오류가 같은 사람에게서 함께 나타난다. 이 절차는 우변이 \(0\) 일 때에만 적용한다. 그렇지 않으면 먼저 \(0\) 을 만든다. 예외는 없다.
확인 문제: \((x+1)(x-4)=6\) 을 풀어라. (답: 먼저 좌변으로 넘겨 \(x^2-3x-4=6\), 곧 \(x^2-3x-10=0\), \((x-5)(x+2)=0\) 이므로 \(x=5\) 또는 \(x=-2\). 첫 줄에 ‘좌변으로 넘긴다’가 있으면 올바른 절차다.)
완전제곱에서 상수를 한쪽에만 옮기거나 더한다
완전제곱 풀이에서 오류가 발생하는 지점은 세 곳이다. \(x^2+6x+2=0\) 에서 상수를 넘기며 부호를 바꾸지 않아 \(x^2+6x=2\) 라고 쓰거나(이항인데 부호가 그대로다), ③단계에서 \(9\) 를 좌변에만 더해 \(x^2+6x+9=-2\) 라 쓰거나(양변에 같은 값을 더하지 않아 등식이 성립하지 않는다), ④단계에서 괄호 안에 \(9\) 를 넣어 \((x+9)^2=7\) 이라 쓰는 것이다(괄호에는 제곱하기 전의 수 \(3\) 이 들어간다). 세 오류 모두 다섯 단계를 하나의 덩어리로 암기했을 때 발생한다. 번호 ①②③④⑤ 를 세로로 적고 각 줄 옆에 계산을 쓰는 것만으로 대부분 방지된다. 한 덩어리로 쓰면 오류가 발생한 지점을 찾기 어렵다.
확인 문제: \(x^2-4x-3=0\) 을 번호를 적으며 풀어라. (답: ② \(x^2-4x=3\) → ③ \(\left(\tfrac{-4}{2}\right)^2=4\) 를 양변에, \(x^2-4x+4=7\) → ④ \((x-2)^2=7\) → ⑤ \(x=2\pm\sqrt7\).)
제곱근을 씌울 때 \(\pm\) 를 빠뜨린다
\((x+3)^2=7\) 에서 \(x+3=\sqrt7\) 만 쓰고 \(x=-3+\sqrt7\) 하나로 끝내거나, \((x+5)^2=64\) 에서 \(x+5=8\) 만 보고 \(x=3\) 하나만 답하는 오류다. 인수분해로 풀 때는 해를 두 개 쓰면서 완전제곱에서는 하나만 쓰는 경우가 많다. 원인은 \(\sqrt{\ }\) 기호를 ‘양의 제곱근’으로 배운 데 있다(정의 자체는 옳다). 그 결과 **’제곱해서 \(k\) 가 되는 수’**와 **’\(\sqrt k\)’**가 같은 것으로 취급된다. 둘은 다르다. 전자는 두 개이고, 후자는 하나다. 제곱해서 \(64\) 가 되는 수는 \(8\) 뿐만 아니라 \(-8\) 도 된다. 제곱 연산이 부호를 없애기 때문이다. 제곱을 벗기는 조작은 부호 정보를 잃는 조작이므로, 두 가능성을 모두 적어야 한다. 그 표기가 \(\pm\) 이다.
확인 문제: \((x-1)^2=9\) 를 풀어라. (답: \(x-1=\pm3\) 이므로 \(x=4\) 또는 \(x=-2\). 하나만 나왔다면 제곱해서 \(9\) 가 되는 수가 몇 개인지 다시 확인한다.)
양변을 문자로 나눠 해를 잃는다
\(x^2-4x=0\) 을 \(x-4=0\) 으로 바꿔 \(x=4\) 만 답하거나, \(x^2=5x\) 에서 \(x=5\) 만 답하는 오류다. 쓴 답이 틀린 것이 아니라 해가 누락된 것이다. 검산을 해도 자신이 쓴 답은 성립하므로 스스로 발견하기 어렵다. 원인은 ‘양변을 같은 것으로 나눈다’는 규칙을 조건 없이 적용하는 데 있다. 그 규칙에는 ‘\(0\) 이 아닌 것으로’라는 조건이 있는데, 수로 연습할 때는 그 조건이 문제되지 않는다(\(3\) 으로 나누는 것은 언제나 가능하다). 문자로 나누는 순간 조건이 작용한다. \(x\) 가 \(0\) 일 가능성이 있는 상태에서 \(0\) 으로 나눈 것이 되고, 그 결과 \(x=0\) 이 사라진다. 문자로 나누지 않고, \(0\) 으로 만든 뒤 묶는다. 이차방정식의 해는 최대 두 개다. 하나만 나왔다면 중근인지 아니면 해를 하나 잃은 것인지 반드시 확인한다.
확인 문제: \(x^2=7x\) 를 풀어라. (답: \(x^2-7x=0\), \(x(x-7)=0\) 이므로 \(x=0\) 또는 \(x=7\). \(x=7\) 만 썼다면 \(x\) 로 나눈 것이다.)
연습문제#
계산기를 사용하지 않는다. 규칙은 두 개다. 우변이 \(0\) 인지 먼저 확인하고, \(0\) 이 아니면 \(0\) 을 만든다. 완전제곱 문항은 번호 ①부터 ⑤까지 적으며 푼다. 구한 해는 원식에 대입해 검산한다. A 기본 · B 표준 · C 도전.
A해를 쓰라. (1) \((x-4)(x+7)=0\) (2) \(x(x-5)=0\) (3) \((2x-1)(x+3)=0\)A인수분해로 풀어라. (1) \(x^2-5x+6=0\) (2) \(x^2+7x+12=0\)A인수분해로 풀어라. (1) \(x^2-9=0\) (2) \(x^2+6x+9=0\) (3) \(x^2-16=0\)A인수분해로 풀어라. (1) \(x^2-7x=0\) (2) \(x^2+3x=0\)A5단계를 번호까지 적으며 풀어라. \(x^2+2x-3=0\)B인수분해로 풀어라. (1) \(x^2+x-12=0\) (2) \(x^2-2x-15=0\)B\((x-1)(x-4)=4\)B완전제곱으로 풀어라. (1) \(x^2+4x-1=0\) (2) \(x^2-6x+4=0\)B완전제곱으로 풀어라. \(x^2+6x+2=0\)B\(2x^2-4x-6=0\) 을 두 가지 방법(인수분해 / 완전제곱)으로 각각 풀고, 답이 같은지 확인하라.B어떤 직사각형의 넓이가 \(40\) 이고, 가로가 세로보다 \(3\) 만큼 길다. 세로를 \(x\) 라 하고 방정식을 세워 두 변의 길이를 구하라.B“어떤 수를 제곱한 것에 그 수의 \(10\) 배를 더하면 \(39\) 가 된다.” 이 수를 모두 구하라. (알콰리즈미의 문제다. 그가 놓친 답이 무엇인지도 쓰라.)C\(x^2+2x+5=0\) 을 5단계로 풀어 보라. ④단계까지 갔을 때 무슨 일이 일어나는가? 그 의미를 한 줄로 쓰라.C(가) \((x-2)(x-3)=6\) 을 \(x-2=6\) 으로 놓고 푸는 것이 왜 틀린지, 검산을 써서 설명하라. (나) \(x^2=5x\) 의 양변을 \(x\) 로 나누면 무엇을 잃는가?
정답과 해설
(1) \(x=4\) 또는 \(x=-7\) (2) \(x=0\) 또는 \(x=5\) (3) \(2x-1=0\) 에서 \(x=\dfrac{1}{2}\), 또는 \(x=-3\) — (3)에서 \(x=1\) 이라 쓰면 틀린다. \(2x=1\) 이지 \(x=1\) 이 아니다.
(1) \((x-2)(x-3)=0\), \(x=2\) 또는 \(x=3\) (2) \((x+3)(x+4)=0\), \(x=-3\) 또는 \(x=-4\) — 부호에 주의. 인수가 \((x+3)\) 이면 해는 \(-3\) 이다. 인수의 부호와 해의 부호는 반대다.
(1) \(x = \pm 3\) (2) \((x+3)^2=0\), \(x=-3\) (중근, 답 하나) (3) \(x = \pm 4\)
(1) \(x(x-7)=0\), \(x=0\) 또는 \(x=7\) (2) \(x(x+3)=0\), \(x=0\) 또는 \(x=-3\) — 빈번한 오류: 양변을 \(x\) 로 나눠서 \(x=7\), \(x=-3\) 만 쓴다. \(x=0\) 이 누락된다.
② \(x^2+2x=3\) ③ \(\left(\dfrac{2}{2}\right)^2 = 1\) 을 양변에: \(x^2+2x+1=4\) ④ \((x+1)^2=4\) ⑤ \(x+1=\pm2\), \(x=1\) 또는 \(x=-3\). 인수분해 \((x+3)(x-1)=0\) 으로도 같은 답이 나온다.
(1) \((x+4)(x-3)=0\), \(x=-4\) 또는 \(x=3\) (2) \((x-5)(x+3)=0\), \(x=5\) 또는 \(x=-3\)
\(x=0\) 또는 \(x=5\) — 전개해서 \(x^2-5x+4=4\), 즉 \(x^2-5x=0\), \(x(x-5)=0\). 빈번한 오류: \(x-1=4\) 에서 \(x=5\) (우연히 일치), \(x-4=4\) 에서 \(x=8\) (틀림, 검산하면 \(28\)). 그리고 해 \(x=0\) 을 놓친다. 우변이 \(0\) 이 아니면 먼저 넘긴다.
(1) \((x+2)^2=5\), \(x=-2\pm\sqrt5\) (2) \((x-3)^2=5\), \(x=3\pm\sqrt5\)
\((x+3)^2=7\), \(x=-3\pm\sqrt7\) — 이것은 인수분해로는 되지 않는다. 곱해서 \(2\), 더해서 \(6\) 인 정수가 없다.
\(x=3\) 또는 \(x=-1\). 인수분해: \(2(x^2-2x-3)=0 \Rightarrow 2(x-3)(x+1)=0\). 완전제곱: ① 양변을 \(2\) 로 나눠 \(x^2-2x-3=0\) ② \(x^2-2x=3\) ③ \(+1\): \(x^2-2x+1=4\) ④ \((x-1)^2=4\) ⑤ \(x-1=\pm2\). 두 방법이 같은 답을 준다. 두 방법의 결과가 일치함을 확인하는 것이 이 문항의 목적이다.
세로 \(5\), 가로 \(8\) — \(x(x+3)=40 \Rightarrow x^2+3x-40=0 \Rightarrow (x+8)(x-5)=0 \Rightarrow x=5\) 또는 \(x=-8\). 길이는 음수일 수 없으므로 \(x=5\). 확인: \(5 \times 8 = 40\). 빈번한 오류: \(x=-8\) 도 답이라고 쓴다. 방정식의 해는 둘이지만 문제의 답은 하나다. 문장제는 마지막에 문제의 조건으로 돌아가 답을 정한다.
\(3\) 과 \(-13\) — \(x^2+10x=39 \Rightarrow x^2+10x-39=0 \Rightarrow (x-3)(x+13)=0\). 알콰리즈미가 놓친 답은 \(-13\) 이다. 그 시대에는 음수를 수로 인정하지 않았다. 확인: \((-13)^2 + 10(-13) = 169-130 = 39\).
② \(x^2+2x=-5\) ③ \(+1\): \(x^2+2x+1=-4\) ④ \((x+1)^2 = -4\). 여기서 멈춘다. 제곱해서 음수가 되는 실수는 없으므로 실수 범위에 해가 없다. 5단계가 실패한 것이 아니라, 5단계가 “해가 없다”는 사실을 판정한 것이다. 다음 장에서 이것을 계산 한 번으로 판정하는 판별식을 배운다.
(가) \(x-2=6\) 이면 \(x=8\). 검산: \((8-2)(8-3) = 6 \times 5 = 30 \ne 6\). 틀렸다. 이유는 곱이 \(0\) 이 아닌 값일 때는 각 인수에 대해 아무것도 알 수 없기 때문이다(\(6 = 1\times6 = 2\times3 = \ldots\) 무한히 많다). 올바른 풀이: \(x^2-5x=0\), \(x=0\) 또는 \(x=5\). (나) \(x^2=5x\) 에서 양변을 \(x\) 로 나누면 \(x=5\) 만 남고 \(x=0\) 을 잃는다. \(x\) 가 \(0\) 일 가능성이 있는데 \(0\) 으로 나눈 것이 된다. 올바르게는 \(x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x=0\) 또는 \(x=5\).
추가 연습문제#
구한 해를 모두 원식에 대입해 검산한다. 이차방정식은 해를 대입하면 성립 여부가 곧바로 확인된다. 완전제곱 묶음(14–20번)은 번호 ①부터 ⑤까지 적으며 푼다.
영인수 정리와 기본
\((x-3)(x+5)=0\)
\((x+1)(x+8)=0\)
\(x(x-7)=0\)
\((2x+3)(x-1)=0\)
\(x^2-5x+6=0\)
\(x^2+5x+4=0\)
\(x^2-4=0\)
부호가 섞인 것 · 중근 · 함정
\(x^2-8x+15=0\)
\(x^2+2x-8=0\)
\(x^2-x-20=0\)
\(x^2-49=0\)
\(x^2+10x+25=0\)
\(x^2-6x=0\)
완전제곱 5단계 (번호를 적으며)
\(x^2+2x-5=0\)
\(x^2-4x-3=0\)
\(x^2+6x+2=0\)
\(x^2-8x+5=0\)
\(x^2+10x+18=0\)
\(x^2-2x-2=0\)
\(2x^2+8x-2=0\) — ①번부터 시작해야 한다.
혼합 · 문장제 · 서술
\(3x^2-12x+9=0\) — 두 가지 방법으로 풀고 답이 같은지 확인하라.
\((x-3)(x+2)=6\)
연속한 두 정수의 곱이 \(56\) 이다. 두 정수를 모두 구하라. (답이 한 쌍이 아니다.)
둘레가 \(26\) m인 직사각형 땅의 넓이가 \(40 \text{ m}^2\) 다. 가로와 세로의 길이를 구하라.
(가) \((x-1)(x-6)=0\) 과 (나) \((x-1)(x-6)=6\) 을 각각 풀어라. 그리고 두 문제의 첫 단계가 왜 다른지 한 문장으로 쓰라.
정답과 해설
\(x=3\) 또는 \(x=-5\)
\(x=-1\) 또는 \(x=-8\)
\(x=0\) 또는 \(x=7\)
\(x=-\dfrac{3}{2}\) 또는 \(x=1\) — \(2x+3=0\) 에서 \(2x=-3\). 빈번한 오류: \(x=-3\) 이라고 씀.
\((x-2)(x-3)=0\), \(x=2\) 또는 \(x=3\)
\((x+1)(x+4)=0\), \(x=-1\) 또는 \(x=-4\)
\(x=\pm 2\)
\((x-3)(x-5)=0\), \(x=3\) 또는 \(x=5\)
\((x+4)(x-2)=0\), \(x=-4\) 또는 \(x=2\)
\((x-5)(x+4)=0\), \(x=5\) 또는 \(x=-4\)
\(x=\pm 7\)
\((x+5)^2=0\), \(x=-5\) (중근 — 해가 하나다. 두 개로 늘려 쓰지 않는다.)
\(x(x-6)=0\), \(x=0\) 또는 \(x=6\) — 빈번한 오류: 양변을 \(x\) 로 나눠 \(x=6\) 만 씀. \(x=0\) 을 잃는다.
\((x+1)^2=6\), \(x=-1\pm\sqrt6\)
\((x-2)^2=7\), \(x=2\pm\sqrt7\)
\((x+3)^2=7\), \(x=-3\pm\sqrt7\)
\((x-4)^2=11\), \(x=4\pm\sqrt{11}\)
\((x+5)^2=7\), \(x=-5\pm\sqrt7\)
\((x-1)^2=3\), \(x=1\pm\sqrt3\)
① 양변을 \(2\) 로 나눠 \(x^2+4x-1=0\) ② \(x^2+4x=1\) ③ \(+4\): \(x^2+4x+4=5\) ④ \((x+2)^2=5\) ⑤ \(x=-2\pm\sqrt5\). 빈번한 오류: ①을 건너뛰고 \(\left(\dfrac{8}{2}\right)^2=16\) 을 더한다. \(x^2\) 의 계수가 \(1\) 이 아니면 5단계가 성립하지 않는다.
\(x=1\) 또는 \(x=3\) — 인수분해: \(3(x^2-4x+3)=0 \Rightarrow 3(x-1)(x-3)=0\). 완전제곱: ① \(x^2-4x+3=0\) ② \(x^2-4x=-3\) ③ \(+4\): \(x^2-4x+4=1\) ④ \((x-2)^2=1\) ⑤ \(x-2=\pm1\). 두 방법이 같은 답을 준다.
\(x=4\) 또는 \(x=-3\) — 전개하면 \(x^2-x-6=6\), 즉 \(x^2-x-12=0\), \((x-4)(x+3)=0\). 빈번한 오류: \(x-3=6\) 에서 \(x=9\). 검산하면 \((9-3)(9+2)=66\). 우변이 \(0\) 이 아니면 먼저 넘긴다.
\(7\) 과 \(8\), 또는 \(-8\) 과 \(-7\) — 작은 수를 \(x\) 라 하면 \(x(x+1)=56 \Rightarrow x^2+x-56=0 \Rightarrow (x+8)(x-7)=0 \Rightarrow x=7\) 또는 \(x=-8\). 두 해가 모두 문제의 답이다. 이것은 앞의 직사각형 문항과 다르다. 길이는 음수일 수 없지만 정수는 음수여도 된다. 방정식의 해를 걸러낼지 여부는 문제가 정한다. 확인: \(7\times8=56\), \((-8)\times(-7)=56\).
\(5\) m와 \(8\) m — 가로를 \(x\) 라 하면 세로는 \(13-x\)(둘레가 \(26\) 이므로 가로와 세로의 합은 \(13\)). \(x(13-x)=40 \Rightarrow x^2-13x+40=0 \Rightarrow (x-5)(x-8)=0 \Rightarrow x=5\) 또는 \(x=8\). 두 해가 같은 직사각형의 가로와 세로다. 확인: 둘레 \(2(5+8)=26\), 넓이 \(5\times8=40\). 빈번한 오류: 둘레 \(26\) 을 그대로 한 변의 합으로 씀(\(x+y=26\)).
(가) \(x=1\) 또는 \(x=6\). (나) \(x^2-7x+6=6 \Rightarrow x^2-7x=0 \Rightarrow x(x-7)=0 \Rightarrow x=0\) 또는 \(x=7\). 예시 답안: “(가)는 우변이 이미 \(0\) 이라 각 인수를 바로 \(0\) 으로 놓을 수 있지만, (나)는 우변이 \(0\) 이 아니라서 먼저 전부 좌변으로 넘겨 \(0\) 을 만들어야 한다.” — 답이 \(1, 6\) 에서 \(0, 7\) 로 완전히 달라진다는 점을 확인한다.
요약과 다음 장#
이 장의 핵심은 두 문장이다. 곱이 \(0\) 이면 둘 중 하나는 반드시 \(0\) 이다(영인수 정리). 따라서 이차방정식을 곱의 꼴로 만들어(인수분해) 각 인수를 \(0\) 으로 놓는다. 그리고 인수분해가 되지 않을 때는 완전제곱 다섯 단계로 정사각형을 완성해 제곱근을 취한다. 여기에 세 가지 주의 사항이 따른다. 우변이 \(0\) 이 아니면 먼저 \(0\) 을 만들 것, 문자로 양변을 나누지 말 것, 제곱근을 씌울 때 \(\pm\) 를 빠뜨리지 말 것.
특히 숙달해야 할 것은 번호가 붙은 다섯 단계다. 제17장에서는 이 다섯 단계를 구체적인 수가 아니라 \(a\), \(b\), \(c\) 에 그대로 적용한다. \(ax^2+bx+c=0\) 에 ①부터 ⑤까지 적용하면 근의 공식이 유도된다. 암기의 대상이 아니라 손으로 유도하는 대상이다. 또 연습문제 \(13\) 번의 \((x+1)^2=-4\) 처럼 실수 범위에 해가 없는 경우를 계산 한 번으로 미리 판정하는 방법(판별식)도 다음 장에서 다룬다.