# 제16장 · 이차방정식 ① — 인수분해·완전제곱 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R2-W08 | | **선행 내용** | 제15장(인수분해 ②) | | **요지** | 곱이 $0$ 이면 둘 중 하나는 반드시 $0$ 이다. 이차방정식은 인수분해로 해를 찾는다. | ::: ## 도입 $$x^2 + 10x = 39$$ $1200$ 년 전 바그다드의 수학자 알콰리즈미가 이 문제를 다루었다. 현재 쓰이는 '대수(algebra)'라는 말은 그의 책 제목에서, '알고리즘(algorithm)'은 그의 이름에서 유래했다. 당시에는 **기호가 없었다.** $x$ 라는 문자도, 등호도 없었다. 그가 사용한 방법은 **도형을 그리는 것**이었다. 한 변이 $x$ 인 정사각형에서 시작한다. 넓이는 $x^2$ 이다. 그 오른쪽에 가로가 $5$ 인 직사각형(넓이 $5x$)을 붙이고, 아래에도 세로가 $5$ 인 직사각형(넓이 $5x$)을 붙인다. ```{image} /_static/figs/ch16_x5sq.svg :alt: 넓이격자: (x+5)² 완전제곱 :width: 320px :align: center :class: chfig ``` $x^2$ 이 하나, $5x$ 가 둘이므로 전체 넓이는 $x^2 + 10x$ 이고, 이는 문제에서 주어진 식과 같다. 그 넓이가 $39$ 이다. 그런데 이 도형은 **정사각형이 아니다.** 오른쪽 아래 귀퉁이가 비어 있다. 알콰리즈미가 수행한 조작은 **그 귀퉁이를 채우는 것** 하나다. 귀퉁이는 한 변이 $5$ 인 정사각형이므로 넓이가 $5 \times 5 = 25$ 이다. 이것을 채우면 전체 넓이는 $$39 + 25 = 64$$ 가 된다. 이제 이 도형은 **완전한 정사각형**이다. 넓이가 $64$ 이므로 한 변의 길이는 $8$ 이다. 한 변의 길이는 $x + 5$ 였으므로 $$x + 5 = 8 \quad\Rightarrow\quad x = 3$$ 이다. 이 방법을 **'완전제곱을 만든다'**(completing the square)라고 한다. 이 명칭은 도형의 조작을 그대로 옮긴 것이다. 알콰리즈미는 부족한 귀퉁이를 채워 정사각형을 완성했고, 이 장에서 식으로 수행하는 모든 계산은 그 귀퉁이를 채우는 조작에 대응한다. 검산한다. $x = 3$ 을 원식에 대입하면 $9 + 30 = 39$ 로 성립한다. 여기서 해가 이것뿐인지가 남는다. 알콰리즈미는 해가 하나라고 보았다. 그 시대에는 길이가 음수인 정사각형을 인정하지 않았기 때문이다. 음수를 수로 인정하면 해가 하나 더 나오며, 이 장의 뒷부분에서 그 해를 확인한다. ## 이차방정식이란 무엇인가 풀이 대상을 먼저 정의한다. 정리했을 때 $$ax^2+bx+c=0 \qquad (a \ne 0)$$ 꼴이 되는 방정식을 **이차방정식**이라 한다. $x$ 에 대해 가장 높은 차수가 $2$ 이므로 '이차'라 부른다. 도입에서 다룬 $x^2+10x=39$ 도 $39$ 를 좌변으로 옮기면 $x^2+10x-39=0$ 이 되어 이 꼴에 해당한다. 괄호 안의 조건 $a \ne 0$ 은 필수적이다. **$a$ 가 $0$ 이면 $x^2$ 항이 통째로 사라져 $bx+c=0$, 곧 일차방정식이 된다.** 이차방정식이 되려면 $x^2$ 항이 남아 있어야 하며, 그것이 $a \ne 0$ 의 의미다. 여기서 이 장 전체에서 사용할 검산 기준이 따라 나온다. **이차방정식의 해는 최대 두 개다.** 그 이유는 다음과 같다. 뒤에서 다룰 방법으로 풀려면 좌변을 곱의 꼴로 만들어야 하는데, 이차식을 인수분해하면 **일차식 두 개의 곱**이 되므로 인수가 두 개다. 각 인수를 $0$ 으로 놓아 얻는 값이 하나씩이므로 해는 모두 두 개다. $$(x-2)(x-3)=0 \ \Rightarrow\ x=2 \ \text{또는}\ x=3 \qquad (\text{인수 } 2 \text{ 개} \rightarrow \text{해 } 2 \text{ 개})$$ 두 인수가 **같을 때**는 얻는 값도 하나로 겹친다. $(x+3)(x+3)=0$ 이면 양쪽에서 모두 $x=-3$ 이 나온다. 이것이 뒤에서 다룰 **중근**이다. 그래서 '두 개'가 아니라 '**최대** 두 개'라고 한다. 해가 하나만 나왔을 때 중근인지 아니면 해를 하나 누락했는지 점검하는 근거가 이것이다. [제17장](ch17.md)에서는 구체적인 수가 아니라 $ax^2+bx+c=0$ 자체에 이 장의 다섯 단계를 그대로 적용한다. 그때 ①단계에서 양변을 $a$ 로 나누는데, **나눗셈이 가능한 근거가 $a \ne 0$** 이다. 여기서 명시한 조건이 그 지점에서 사용된다. ## 곱이 $0$ 이면 둘 중 하나는 $0$ 이다 두 수를 곱한 값이 $0$ 인 경우를 본다. $$\square \times \square = 0$$ $0 \times 5$, $3 \times 0$, $0 \times 0$ 등 어느 경우에나 한쪽이 $0$ 이다. **$0$ 이 아닌 두 수의 곱은 결코 $0$ 이 되지 않는다.** 이는 $0$ 만이 가지는 성질이다. 우변을 다른 수로 바꾸어 비교한다. 이 대비가 이 절의 핵심이다. $$\square \times \square = 6$$ 곱이 $6$ 인 두 수는 $1 \times 6$, $2 \times 3$, $12 \times \tfrac12$, $(-2)\times(-3)$ 등 무수히 많다. **한쪽이 $6$ 이어야 할 이유가 없다.** 따라서 곱이 $6$ 이라는 정보는 각 인수에 대해 아무것도 결정하지 못한다. **곱이 $0$ 일 때에만 각 인수를 알 수 있다. $0$ 은 각 인수에 대한 정보를 주고, 다른 수는 주지 않는다.** 이 성질을 **영인수 정리**라 한다. 핵심은 '곱이 $0$ 이면 둘 중 하나는 $0$'이라는 한 문장이다. 이제 숫자를 문자로 바꾼다. $$(x-2)(x-3) = 0$$ 두 인수의 곱이 $0$ 이므로 둘 중 하나가 $0$ 이다. 앞의 인수가 $0$ 이거나, 뒤의 인수가 $0$ 이다. $$x - 2 = 0 \quad\text{또는}\quad x - 3 = 0$$ $$x = 2 \quad\text{또는}\quad x = 3$$ 여기서 '**또는**'이지 '그리고'가 아님에 주의한다. $x$ 가 동시에 $2$ 이면서 $3$ 일 수는 없다. 해가 두 개라는 것은 '$x$ 가 두 개'라는 뜻이 아니라, **$x$ 자리에 들어갈 수 있는 수가 두 개**라는 뜻이다. 검산으로 확인한다. $$x=2:\ (2-2)(2-3) = 0 \times (-1) = 0$$ $$x=3:\ (3-2)(3-3) = 1 \times 0 = 0$$ 둘 다 성립한다. 처음부터 곱의 꼴이 아닌 경우를 본다. $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ 좌변이 아직 곱의 꼴이 아니다. **곱의 꼴로 만들어야 영인수 정리를 적용할 수 있다.** 앞 장에서 다룬 인수분해가 여기서 쓰인다. 이 장에서 인수분해는 목적이 아니라 도구다. $$x^2 - 5x + 6 = 0 \ \Rightarrow\ (x-2)(x-3) = 0 \ \Rightarrow\ x = 2 \ \text{또는}\ x = 3$$ ### 우변이 $0$ 이 아니면 먼저 $0$ 을 만든다 빈번한 오류 중 하나가 여기서 발생한다. $$(x-2)(x-3) = 6$$ 우변이 $0$ 이 아니다. 그럼에도 우변이 $0$ 일 때와 동일하게 처리하여 $x-2=6$ 에서 $x=8$, $x-3=6$ 에서 $x=9$ 를 얻는 경우가 있다. 검산한다. $$x=8:\ (8-2)(8-3) = 6 \times 5 = 30 \ne 6$$ $$x=9:\ (9-2)(9-3) = 7 \times 6 = 42 \ne 6$$ **두 값 모두 해가 아니다.** 곱이 $6$ 이라는 조건은 각 인수를 결정하지 못하기 때문이다. 올바른 절차는 모든 항을 좌변으로 옮겨 우변을 $0$ 으로 만드는 것이다. $$(x-2)(x-3) = 6 \ \Rightarrow\ x^2 - 5x + 6 = 6 \ \Rightarrow\ x^2 - 5x = 0 \ \Rightarrow\ x(x-5) = 0$$ $$x = 0 \quad\text{또는}\quad x = 5$$ 검산하면 $x=0$ 일 때 $(-2)(-3)=6$, $x=5$ 일 때 $3 \times 2 = 6$ 으로 둘 다 성립한다. **규칙은 하나다. 우변이 $0$ 이 아니면 먼저 모든 항을 좌변으로 옮겨 $0$ 을 만들고, 그다음에 인수분해한다.** 순서를 바꾸면 성립하지 않는다. 위에서 우변의 $6$ 을 좌변으로 옮길 때 부호가 $+6$ 에서 $-6$ 으로 바뀌어 좌변의 $+6$ 과 상쇄되었다. 등호를 건너 항을 옮기는 이 조작을 **이항**이라 한다. 옮긴다는 것은 곧 **부호를 바꾼다**는 것이며, 두 동작은 이항할 때 항상 함께 일어난다. ### 한 번 우연히 맞았다고 옳은 방법은 아니다 $$(x-2)(x-3) = 2$$ 우변이 $2$ 이다. 잘못된 방법으로 $x-2=2$, 즉 $x=4$ 를 얻어 검산하면 $(4-2)(4-3)=2\times1=2$ 로 **성립한다.** 이처럼 잘못된 방법이 우연히 맞는 값을 내놓는 경우가 있으므로 오류가 드러나지 않을 수 있다. 올바른 절차로 푼다. $$x^2 - 5x + 6 = 2 \ \Rightarrow\ x^2 - 5x + 4 = 0 \ \Rightarrow\ (x-1)(x-4) = 0$$ $$x = 1 \quad\text{또는}\quad x = 4$$ 해는 $1$ 과 $4$ 이다. 잘못된 방법은 $x=4$ 를 우연히 얻었으나, **해 $x=1$ 을 통째로 누락했고**, $x-3=2$ 에서 $x=5$ 라는 **해가 아닌 값까지 만들어 냈다**($5$ 를 대입하면 $3\times2=6$ 으로 $2$ 가 아니다). 결과가 한 번 일치했다는 사실은 방법의 타당성을 보장하지 않는다. ### 세 가지 예제 **$x^2 - 9 = 0$.** 합차 공식이 그대로 쓰인다. $$x^2 - 9 = 0 \ \Rightarrow\ (x+3)(x-3) = 0 \ \Rightarrow\ x = -3 \ \text{또는}\ x = 3$$ 해는 $3$ 과 $-3$ 이며, 짧게 $x = \pm 3$ 으로 표기한다. **$x^2 + 6x + 9 = 0$.** 이 경우에는 해가 하나다. $$(x+3)^2 = 0 \ \Rightarrow\ x + 3 = 0 \ \Rightarrow\ x = -3$$ 인수가 $(x+3)$ 하나뿐이고 그것이 두 번 곱해져 있기 때문이다. 이것을 **중근**이라 한다. 해가 하나인 것이 아니라, **같은 해가 두 번** 나온 것이다. **$x^2 - 4x = 0$.** 이 형태에서 양변을 $x$ 로 나누어 $x-4=0$, 즉 $x=4$ 만 쓰는 오류가 자주 나타난다. $$x^2 - 4x = 0 \ \xrightarrow{\ \div x\ }\ x - 4 = 0 \ \Rightarrow\ x = 4 \quad(\text{틀렸다})$$ $x=4$ 는 해이다. $x=0$ 을 원식에 대입하면 $0 - 0 = 0$ 이므로 **$x=0$ 도 해이다.** 그런데 위 절차에는 이 해가 나타나지 않는다. **양변을 $x$ 로 나누었기 때문이다.** $x$ 가 $0$ 일 가능성이 있는 상태에서 $0$ 으로 나눈 것이 되고, 그 결과 $x=0$ 이라는 해가 사라진다. **문자로 양변을 나누지 않고 공통인수로 묶는다.** $$x^2 - 4x = 0 \ \Rightarrow\ x(x-4) = 0 \ \Rightarrow\ x = 0 \ \text{또는}\ x = 4$$ 공통인수로 묶으면 두 해가 모두 남는다. ## 완전제곱으로 푸는 다섯 단계 인수분해가 되지 않는 이차방정식도 정사각형을 완성하는 조작을 거치면 제곱근 계산 한 번으로 해를 얻는다. 두 식을 나란히 비교한다. $$x^2 + 6x + 9 = 0 \qquad x^2 + 6x + 2 = 0$$ 왼쪽은 $(x+3)^2 = 0$ 으로 곧바로 정리된다. 오른쪽은 곱이 $2$, 합이 $6$ 인 두 정수가 없으므로 **인수분해되지 않는다.** 그러나 해를 구할 수는 있다. 왼쪽 식과 비교하면 완전제곱이 되기 위한 상수항은 $9$ 인데 실제 상수항은 $2$ 이므로 **$7$ 이 부족하다.** 알콰리즈미가 한 것과 같이 **부족한 만큼을 채우면** 된다. 단, 방정식이므로 **양변에** 같은 값을 더한다. 도입에서 다룬 귀퉁이를 식으로 채우는 조작에 해당한다. 다섯 단계로 정리한다. $$\text{① } x^2 \text{ 의 계수를 } 1 \text{ 로 만든다 (양변을 그 계수로 나눈다)}$$ $$\text{② 상수항을 우변으로 넘긴다 (이항)}$$ $$\text{③ } \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 \text{ 를 } \textbf{양변에} \text{ 더한다}$$ $$\text{④ 좌변을 } \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2 \text{ 로 접는다}$$ $$\text{⑤ 양변에 제곱근을 씌운다 — } \pm \text{ 를 잊지 않는다}$$ 세 번째 단계를 따로 확인한다. $\left(\tfrac{b}{2}\right)^2$ 을 더하는 이유는 다음과 같다. 제13·14장의 완전제곱 $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ 에서 $a$ 자리에 $x$ 를 놓고, 나머지 자리의 수를 $k$ 라 하면 다음 식이 된다. $$x^2 + 2kx + k^2 = (x+k)^2$$ 이 식의 세 자리를 하나씩 읽는다. 첫 항은 $x^2$, 가운데 항의 계수는 $2k$ — 곧 **$k$ 의 두 배** — 이고, 마지막 항은 $k^2$ 이다. 여기서 다루는 식은 $x^2+bx+\ \cdots$ 이므로 가운데 항의 계수끼리 대응시키면 $$b = 2k \quad\Rightarrow\quad k = \frac{b}{2}$$ 가 되고, 마지막 항은 $k^2 = \left(\tfrac{b}{2}\right)^2$ 이다. ③단계는 이 대응에서 나온다. **가운데 항의 계수를 반으로 나눈 뒤 제곱한다.** 두 동작이 순서대로 이어진 것이다. $$x^2 + 6x + \boxed{9} \qquad \frac{6}{2} = 3,\quad 3^2 = 9$$ 문자식과 수식이 정확히 대응한다. $k$ 자리에 있는 수가 $3$ 이고, 마지막 항 $k^2$ 이 $9$ 이다. 네 번째 단계도 확인한다. 좌변을 접을 때 괄호 안에 들어가는 것은 $\tfrac{b}{2}$, 곧 **제곱하기 전의 수**이다. $9$ 를 더했다면 괄호 안은 $3$ 이며 $9$ 가 아니다. 이 지점에서 오류가 빈번하다. 위의 대응 그대로, 괄호 안에 들어가는 것은 $k(=3)$ 이고 $k^2(=9)$ 이 아니다. 실제로 $(x+3)^2 = x^2+6x+9$ 이므로 $3$ 이 들어가야 마지막 항이 $9$ 가 된다. ### 다섯 단계를 따라가는 예제 **$x^2 + 6x + 2 = 0$.** ①은 $x^2$ 의 계수가 이미 $1$ 이므로 생략한다. $$\text{② } x^2 + 6x = -2$$ $2$ 를 우변으로 넘기며 부호가 바뀐다. $$\text{③ } \frac{6}{2} = 3,\quad 3^2 = 9. \qquad x^2 + 6x + 9 = -2 + 9$$ **양변에** 더한다. 한쪽에만 더하면 등식이 성립하지 않는다. 양변에 같은 연산을 적용할 때에만 등식이 유지된다. $$\text{④ } (x+3)^2 = 7$$ $$\text{⑤ } x + 3 = \pm\sqrt{7} \ \Rightarrow\ x = -3 \pm \sqrt{7}$$ 해는 $-3+\sqrt7$ 과 $-3-\sqrt7$ 의 두 개다. **$\sqrt7$ 을 소수로 바꾸지 않는다.** 이 표현이 완성된 해이며, 소수로 바꾸면 근삿값이 되어 정확도가 떨어진다. **$x^2 - 4x - 1 = 0$.** $b$ 가 음수인 경우. $$\text{② } x^2 - 4x = 1$$ $$\text{③ } \frac{-4}{2} = -2,\quad (-2)^2 = 4. \qquad x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$$ $$\text{④ } (x-2)^2 = 5$$ $$\text{⑤ } x - 2 = \pm\sqrt{5} \ \Rightarrow\ x = 2 \pm \sqrt{5}$$ $b$ 가 음수인 경우에도 절차는 동일하다. 반으로 나누면 $-2$, 제곱하면 $+4$ 이다. **제곱한 값은 항상 양수**이므로, ③에서 더하는 값은 언제나 양수다. **$2x^2 + 8x - 10 = 0$.** ①이 필요한 경우. $$\text{① 양변을 } 2 \text{ 로 나눈다: } x^2 + 4x - 5 = 0$$ $x^2$ 의 계수가 $1$ 이 아니면 다섯 단계가 성립하지 않으므로, **먼저 계수를 $1$ 로 만든다.** $$\text{② } x^2 + 4x = 5$$ $$\text{③ } \frac{4}{2} = 2,\quad 2^2 = 4. \qquad x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$$ $$\text{④ } (x+2)^2 = 9$$ $$\text{⑤ } x + 2 = \pm 3 \ \Rightarrow\ x = 1 \ \text{또는}\ x = -5$$ $9$ 가 제곱수이므로 제곱근이 정수로 정리된다. 이 경우에는 인수분해로도 해를 얻는다. $x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1)$ 이므로 같은 해가 나오는 것을 확인할 수 있다. **두 방법은 언제나 같은 해를 준다.** 앞서 미룬 물음으로 돌아가, 도입의 $x^2 + 10x = 39$ 를 다섯 단계로 푼다. $$x^2 + 10x = 39 \ \Rightarrow\ x^2 + 10x + 25 = 39 + 25 \ \Rightarrow\ (x+5)^2 = 64$$ $$x + 5 = \pm 8 \ \Rightarrow\ x = 3 \ \text{또는}\ x = -13$$ $(x+5)^2 = 64$ 는 한 변이 $x+5$ 인 정사각형의 넓이가 $64$ 라는 도형의 관계와 같다. 식으로 수행한 계산이 알콰리즈미가 도형으로 수행한 조작과 일치한다. 다만 해는 $x=3$ 과 $x=-13$ 의 두 개다. 검산하면 $(-13)^2 + 10(-13) = 169 - 130 = 39$ 로 성립한다. $-13$ 은 알콰리즈미의 해에 포함되지 않았다. 길이가 음수인 정사각형은 없기 때문이다. 그러나 여기서 푸는 대상은 길이가 아니라 **방정식**이므로 두 값이 모두 해가 된다. 음수를 수로 인정하면서 $1200$ 년 동안 해의 범위가 넓어진 결과다. ## 말을 식으로 옮기기 지금까지는 방정식이 이미 식의 형태로 주어졌다. 문장제에는 그 앞에 **문장을 식으로 옮기는 단계**가 하나 더 있다. 이 과정을 세 단계로 나누면 동일한 절차를 반복해 적용할 수 있다. **문제.** 어떤 직사각형의 넓이가 $24$ 이고, 가로가 세로보다 $2$ 만큼 길다. 두 변의 길이를 구하라. **① 무엇을 $x$ 로 놓을지 정하고, 나머지를 $x$ 로 쓴다.** 둘 중 **짧은 쪽**을 $x$ 로 두면 나머지가 덧셈 꼴로 정리된다. 세로를 $x$ 라 하면 가로는 $x+2$ 이다. 미지수는 하나만 사용하며, 나머지 양도 반드시 $x$ 로 표현한다. **② 조건을 등식으로 옮긴다.** 넓이는 가로 곱하기 세로다. $$x(x+2) = 24$$ 우변이 $0$ 이 아니므로 앞에서 정한 규칙대로 먼저 $0$ 을 만든다. $$x^2+2x-24 = 0$$ **③ 풀고, 문제의 조건에 비추어 답을 고른다.** 곱해서 $-24$, 더해서 $2$ 인 두 수는 $6$ 과 $-4$ 다. $$(x+6)(x-4) = 0 \ \Rightarrow\ x = -6 \ \text{또는}\ x = 4$$ 세로가 $-6$ 인 직사각형은 존재하지 않으므로 $x=4$ 를 택해 **세로 $4$, 가로 $6$** 이다. 확인하면 $4 \times 6 = 24$ 이고 가로가 세로보다 $2$ 만큼 길다. 여기서 하나의 원칙이 성립한다. **방정식의 해와 문제의 답은 구분된다.** 방정식은 $-6$ 과 $4$ 를 모두 내놓았고, 방정식의 해로서는 둘 다 옳다. 그중 무엇이 **문제의** 답인지는 방정식이 아니라 **문제의 조건이 결정한다.** 길이는 음수가 될 수 없으므로 여기서는 $-6$ 을 버리지만, "연속한 두 정수"를 묻는 문제라면 음수도 정수이므로 버릴 이유가 없다. 형태가 같은 음수 해가 어떤 문제에서는 배제되고 다른 문제에서는 답이 된다. **걸러낼지 여부는 마지막에 문제의 문장으로 돌아가 판단한다.** ①에서 한 번 더 확인해야 하는 경우도 있다. **둘레**가 주어진 문제다. 둘레는 네 변의 합이므로, 둘레가 $20$ 이라면 **가로와 세로의 합은 그 절반인 $10$** 이다. 가로를 $x$ 라 할 때 세로는 $20-x$ 가 아니라 $10-x$ 이다. 이 지점에서 오류가 빈번하다. 둘레가 주어지면 **먼저 반으로 나눈다.** ## 빈번한 오류 :::{admonition} 곱이 $0$ 이 아닐 때도 각 인수를 그 수로 놓는다 :class: warning $(x-2)(x-3)=0$ 을 보고 $x=2,\ 3$ 이라고 바로 쓰면서도 그 근거를 설명하지 못한다면, 절차만 남고 이유가 빠진 상태다. "괄호 안을 $0$ 으로 만드는 값을 쓴다"는 형태는 남았는데, 그 절차가 **$0$ 이라는 특수한 수의 성질**에서 나왔다는 사실이 통째로 빠져 있다. 조건을 잃은 규칙은 조건 밖에서도 그대로 적용된다. 그 결과 $(x-2)(x-3)=6$ 을 보고 $x-2=6$ 이라고 쓰는, 더 큰 오류가 같은 사람에게서 함께 나타난다. 이 절차는 우변이 $0$ 일 때에만 적용한다. 그렇지 않으면 **먼저 $0$ 을 만든다.** 예외는 없다. *확인 문제*: $(x+1)(x-4)=6$ 을 풀어라. (답: 먼저 좌변으로 넘겨 $x^2-3x-4=6$, 곧 $x^2-3x-10=0$, $(x-5)(x+2)=0$ 이므로 $x=5$ 또는 $x=-2$. 첫 줄에 '좌변으로 넘긴다'가 있으면 올바른 절차다.) ::: :::{admonition} 완전제곱에서 상수를 한쪽에만 옮기거나 더한다 :class: warning 완전제곱 풀이에서 오류가 발생하는 지점은 세 곳이다. $x^2+6x+2=0$ 에서 상수를 넘기며 부호를 바꾸지 않아 $x^2+6x=2$ 라고 쓰거나(이항인데 부호가 그대로다), ③단계에서 $9$ 를 좌변에만 더해 $x^2+6x+9=-2$ 라 쓰거나(양변에 같은 값을 더하지 않아 등식이 성립하지 않는다), ④단계에서 괄호 안에 $9$ 를 넣어 $(x+9)^2=7$ 이라 쓰는 것이다(괄호에는 제곱하기 전의 수 $3$ 이 들어간다). 세 오류 모두 다섯 단계를 하나의 덩어리로 암기했을 때 발생한다. **번호 ①②③④⑤ 를 세로로 적고 각 줄 옆에 계산을 쓰는 것**만으로 대부분 방지된다. 한 덩어리로 쓰면 오류가 발생한 지점을 찾기 어렵다. *확인 문제*: $x^2-4x-3=0$ 을 번호를 적으며 풀어라. (답: ② $x^2-4x=3$ → ③ $\left(\tfrac{-4}{2}\right)^2=4$ 를 양변에, $x^2-4x+4=7$ → ④ $(x-2)^2=7$ → ⑤ $x=2\pm\sqrt7$.) ::: :::{admonition} 제곱근을 씌울 때 $\pm$ 를 빠뜨린다 :class: warning $(x+3)^2=7$ 에서 $x+3=\sqrt7$ 만 쓰고 $x=-3+\sqrt7$ 하나로 끝내거나, $(x+5)^2=64$ 에서 $x+5=8$ 만 보고 $x=3$ 하나만 답하는 오류다. 인수분해로 풀 때는 해를 두 개 쓰면서 완전제곱에서는 하나만 쓰는 경우가 많다. 원인은 $\sqrt{\ }$ 기호를 '양의 제곱근'으로 배운 데 있다(정의 자체는 옳다). 그 결과 **'제곱해서 $k$ 가 되는 수'**와 **'$\sqrt k$'**가 같은 것으로 취급된다. 둘은 다르다. 전자는 두 개이고, 후자는 하나다. 제곱해서 $64$ 가 되는 수는 $8$ 뿐만 아니라 $-8$ 도 된다. 제곱 연산이 부호를 없애기 때문이다. **제곱을 벗기는 조작은 부호 정보를 잃는 조작**이므로, 두 가능성을 모두 적어야 한다. 그 표기가 $\pm$ 이다. $$A^2 = k \ (k>0) \ \Rightarrow\ A = \pm\sqrt{k} \quad(\text{항상 두 개})$$ *확인 문제*: $(x-1)^2=9$ 를 풀어라. (답: $x-1=\pm3$ 이므로 $x=4$ 또는 $x=-2$. 하나만 나왔다면 제곱해서 $9$ 가 되는 수가 몇 개인지 다시 확인한다.) ::: :::{admonition} 양변을 문자로 나눠 해를 잃는다 :class: warning $x^2-4x=0$ 을 $x-4=0$ 으로 바꿔 $x=4$ 만 답하거나, $x^2=5x$ 에서 $x=5$ 만 답하는 오류다. 쓴 답이 틀린 것이 아니라 **해가 누락된 것이다.** 검산을 해도 자신이 쓴 답은 성립하므로 스스로 발견하기 어렵다. 원인은 '양변을 같은 것으로 나눈다'는 규칙을 조건 없이 적용하는 데 있다. 그 규칙에는 '$0$ 이 아닌 것으로'라는 조건이 있는데, 수로 연습할 때는 그 조건이 문제되지 않는다($3$ 으로 나누는 것은 언제나 가능하다). 문자로 나누는 순간 조건이 작용한다. $x$ 가 $0$ 일 가능성이 있는 상태에서 $0$ 으로 나눈 것이 되고, 그 결과 $x=0$ 이 사라진다. **문자로 나누지 않고, $0$ 으로 만든 뒤 묶는다.** 이차방정식의 해는 최대 두 개다. 하나만 나왔다면 중근인지 아니면 해를 하나 잃은 것인지 반드시 확인한다. *확인 문제*: $x^2=7x$ 를 풀어라. (답: $x^2-7x=0$, $x(x-7)=0$ 이므로 $x=0$ 또는 $x=7$. $x=7$ 만 썼다면 $x$ 로 나눈 것이다.) ::: ## 연습문제 계산기를 사용하지 않는다. 규칙은 두 개다. 우변이 $0$ 인지 먼저 확인하고, $0$ 이 아니면 $0$ 을 만든다. 완전제곱 문항은 번호 ①부터 ⑤까지 적으며 푼다. 구한 해는 원식에 대입해 검산한다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 해를 쓰라. (1) $(x-4)(x+7)=0$ (2) $x(x-5)=0$ (3) $(2x-1)(x+3)=0$ 2. `A` 인수분해로 풀어라. (1) $x^2-5x+6=0$ (2) $x^2+7x+12=0$ 3. `A` 인수분해로 풀어라. (1) $x^2-9=0$ (2) $x^2+6x+9=0$ (3) $x^2-16=0$ 4. `A` 인수분해로 풀어라. (1) $x^2-7x=0$ (2) $x^2+3x=0$ 5. `A` **5단계를 번호까지 적으며** 풀어라. $x^2+2x-3=0$ 6. `B` 인수분해로 풀어라. (1) $x^2+x-12=0$ (2) $x^2-2x-15=0$ 7. `B` $(x-1)(x-4)=4$ 8. `B` 완전제곱으로 풀어라. (1) $x^2+4x-1=0$ (2) $x^2-6x+4=0$ 9. `B` 완전제곱으로 풀어라. $x^2+6x+2=0$ 10. `B` $2x^2-4x-6=0$ 을 **두 가지 방법**(인수분해 / 완전제곱)으로 각각 풀고, 답이 같은지 확인하라. 11. `B` 어떤 직사각형의 넓이가 $40$ 이고, 가로가 세로보다 $3$ 만큼 길다. 세로를 $x$ 라 하고 방정식을 세워 두 변의 길이를 구하라. 12. `B` "어떤 수를 제곱한 것에 그 수의 $10$ 배를 더하면 $39$ 가 된다." 이 수를 모두 구하라. (알콰리즈미의 문제다. 그가 놓친 답이 무엇인지도 쓰라.) 13. `C` $x^2+2x+5=0$ 을 5단계로 풀어 보라. ④단계까지 갔을 때 무슨 일이 일어나는가? 그 의미를 한 줄로 쓰라. 14. `C` (가) $(x-2)(x-3)=6$ 을 $x-2=6$ 으로 놓고 푸는 것이 왜 틀린지, **검산을 써서** 설명하라. (나) $x^2=5x$ 의 양변을 $x$ 로 나누면 무엇을 잃는가? :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $x=4$ 또는 $x=-7$ (2) $x=0$ 또는 $x=5$ (3) $2x-1=0$ 에서 $x=\dfrac{1}{2}$, 또는 $x=-3$ — (3)에서 $x=1$ 이라 쓰면 틀린다. $2x=1$ 이지 $x=1$ 이 아니다. 2. (1) $(x-2)(x-3)=0$, $x=2$ 또는 $x=3$ (2) $(x+3)(x+4)=0$, $x=-3$ 또는 $x=-4$ — **부호에 주의.** 인수가 $(x+3)$ 이면 해는 $-3$ 이다. 인수의 부호와 해의 부호는 **반대**다. 3. (1) $x = \pm 3$ (2) $(x+3)^2=0$, $x=-3$ (중근, 답 하나) (3) $x = \pm 4$ 4. (1) $x(x-7)=0$, $x=0$ 또는 $x=7$ (2) $x(x+3)=0$, $x=0$ 또는 $x=-3$ — **빈번한 오류**: 양변을 $x$ 로 나눠서 $x=7$, $x=-3$ 만 쓴다. $x=0$ 이 누락된다. 5. ② $x^2+2x=3$ ③ $\left(\dfrac{2}{2}\right)^2 = 1$ 을 양변에: $x^2+2x+1=4$ ④ $(x+1)^2=4$ ⑤ $x+1=\pm2$, $x=1$ 또는 $x=-3$. 인수분해 $(x+3)(x-1)=0$ 으로도 같은 답이 나온다. 6. (1) $(x+4)(x-3)=0$, $x=-4$ 또는 $x=3$ (2) $(x-5)(x+3)=0$, $x=5$ 또는 $x=-3$ 7. $x=0$ 또는 $x=5$ — 전개해서 $x^2-5x+4=4$, 즉 $x^2-5x=0$, $x(x-5)=0$. **빈번한 오류**: $x-1=4$ 에서 $x=5$ (우연히 일치), $x-4=4$ 에서 $x=8$ (틀림, 검산하면 $28$). 그리고 해 $x=0$ 을 놓친다. **우변이 $0$ 이 아니면 먼저 넘긴다.** 8. (1) $(x+2)^2=5$, $x=-2\pm\sqrt5$ (2) $(x-3)^2=5$, $x=3\pm\sqrt5$ 9. $(x+3)^2=7$, $x=-3\pm\sqrt7$ — 이것은 인수분해로는 되지 않는다. 곱해서 $2$, 더해서 $6$ 인 정수가 없다. 10. **$x=3$ 또는 $x=-1$.** 인수분해: $2(x^2-2x-3)=0 \Rightarrow 2(x-3)(x+1)=0$. 완전제곱: ① 양변을 $2$ 로 나눠 $x^2-2x-3=0$ ② $x^2-2x=3$ ③ $+1$: $x^2-2x+1=4$ ④ $(x-1)^2=4$ ⑤ $x-1=\pm2$. **두 방법이 같은 답을 준다.** 두 방법의 결과가 일치함을 확인하는 것이 이 문항의 목적이다. 11. **세로 $5$, 가로 $8$** — $x(x+3)=40 \Rightarrow x^2+3x-40=0 \Rightarrow (x+8)(x-5)=0 \Rightarrow x=5$ 또는 $x=-8$. 길이는 음수일 수 없으므로 $x=5$. 확인: $5 \times 8 = 40$. **빈번한 오류**: $x=-8$ 도 답이라고 쓴다. 방정식의 해는 둘이지만 **문제의 답은 하나**다. 문장제는 마지막에 문제의 조건으로 돌아가 답을 정한다. 12. **$3$ 과 $-13$** — $x^2+10x=39 \Rightarrow x^2+10x-39=0 \Rightarrow (x-3)(x+13)=0$. 알콰리즈미가 놓친 답은 $-13$ 이다. 그 시대에는 음수를 수로 인정하지 않았다. 확인: $(-13)^2 + 10(-13) = 169-130 = 39$. 13. ② $x^2+2x=-5$ ③ $+1$: $x^2+2x+1=-4$ ④ $(x+1)^2 = -4$. **여기서 멈춘다.** 제곱해서 음수가 되는 실수는 없으므로 **실수 범위에 해가 없다.** 5단계가 실패한 것이 아니라, 5단계가 "해가 없다"는 사실을 판정한 것이다. 다음 장에서 이것을 계산 한 번으로 판정하는 **판별식**을 배운다. 14. (가) $x-2=6$ 이면 $x=8$. 검산: $(8-2)(8-3) = 6 \times 5 = 30 \ne 6$. 틀렸다. 이유는 **곱이 $0$ 이 아닌 값일 때는 각 인수에 대해 아무것도 알 수 없기** 때문이다($6 = 1\times6 = 2\times3 = \ldots$ 무한히 많다). 올바른 풀이: $x^2-5x=0$, $x=0$ 또는 $x=5$. (나) $x^2=5x$ 에서 양변을 $x$ 로 나누면 $x=5$ 만 남고 **$x=0$ 을 잃는다.** $x$ 가 $0$ 일 가능성이 있는데 $0$ 으로 나눈 것이 된다. 올바르게는 $x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x=0$ 또는 $x=5$. ::: ### 추가 연습문제 구한 해를 모두 원식에 대입해 검산한다. 이차방정식은 해를 대입하면 성립 여부가 곧바로 확인된다. 완전제곱 묶음(14–20번)은 번호 ①부터 ⑤까지 적으며 푼다. **영인수 정리와 기본** 1. $(x-3)(x+5)=0$ 2. $(x+1)(x+8)=0$ 3. $x(x-7)=0$ 4. $(2x+3)(x-1)=0$ 5. $x^2-5x+6=0$ 6. $x^2+5x+4=0$ 7. $x^2-4=0$ **부호가 섞인 것 · 중근 · 함정** 8. $x^2-8x+15=0$ 9. $x^2+2x-8=0$ 10. $x^2-x-20=0$ 11. $x^2-49=0$ 12. $x^2+10x+25=0$ 13. $x^2-6x=0$ **완전제곱 5단계 (번호를 적으며)** 14. $x^2+2x-5=0$ 15. $x^2-4x-3=0$ 16. $x^2+6x+2=0$ 17. $x^2-8x+5=0$ 18. $x^2+10x+18=0$ 19. $x^2-2x-2=0$ 20. $2x^2+8x-2=0$ — ①번부터 시작해야 한다. **혼합 · 문장제 · 서술** 21. $3x^2-12x+9=0$ — 두 가지 방법으로 풀고 답이 같은지 확인하라. 22. $(x-3)(x+2)=6$ 23. 연속한 두 정수의 곱이 $56$ 이다. 두 정수를 **모두** 구하라. (답이 한 쌍이 아니다.) 24. 둘레가 $26$ m인 직사각형 땅의 넓이가 $40 \text{ m}^2$ 다. 가로와 세로의 길이를 구하라. 25. (가) $(x-1)(x-6)=0$ 과 (나) $(x-1)(x-6)=6$ 을 각각 풀어라. 그리고 **두 문제의 첫 단계가 왜 다른지** 한 문장으로 쓰라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $x=3$ 또는 $x=-5$ 2. $x=-1$ 또는 $x=-8$ 3. $x=0$ 또는 $x=7$ 4. $x=-\dfrac{3}{2}$ 또는 $x=1$ — $2x+3=0$ 에서 $2x=-3$. **빈번한 오류**: $x=-3$ 이라고 씀. 5. $(x-2)(x-3)=0$, $x=2$ 또는 $x=3$ 6. $(x+1)(x+4)=0$, $x=-1$ 또는 $x=-4$ 7. $x=\pm 2$ 8. $(x-3)(x-5)=0$, $x=3$ 또는 $x=5$ 9. $(x+4)(x-2)=0$, $x=-4$ 또는 $x=2$ 10. $(x-5)(x+4)=0$, $x=5$ 또는 $x=-4$ 11. $x=\pm 7$ 12. $(x+5)^2=0$, $x=-5$ (**중근** — 해가 하나다. 두 개로 늘려 쓰지 않는다.) 13. $x(x-6)=0$, $x=0$ 또는 $x=6$ — **빈번한 오류**: 양변을 $x$ 로 나눠 $x=6$ 만 씀. $x=0$ 을 잃는다. 14. $(x+1)^2=6$, $x=-1\pm\sqrt6$ 15. $(x-2)^2=7$, $x=2\pm\sqrt7$ 16. $(x+3)^2=7$, $x=-3\pm\sqrt7$ 17. $(x-4)^2=11$, $x=4\pm\sqrt{11}$ 18. $(x+5)^2=7$, $x=-5\pm\sqrt7$ 19. $(x-1)^2=3$, $x=1\pm\sqrt3$ 20. ① 양변을 $2$ 로 나눠 $x^2+4x-1=0$ ② $x^2+4x=1$ ③ $+4$: $x^2+4x+4=5$ ④ $(x+2)^2=5$ ⑤ $x=-2\pm\sqrt5$. **빈번한 오류**: ①을 건너뛰고 $\left(\dfrac{8}{2}\right)^2=16$ 을 더한다. $x^2$ 의 계수가 $1$ 이 아니면 5단계가 성립하지 않는다. 21. $x=1$ 또는 $x=3$ — 인수분해: $3(x^2-4x+3)=0 \Rightarrow 3(x-1)(x-3)=0$. 완전제곱: ① $x^2-4x+3=0$ ② $x^2-4x=-3$ ③ $+4$: $x^2-4x+4=1$ ④ $(x-2)^2=1$ ⑤ $x-2=\pm1$. 두 방법이 같은 답을 준다. 22. $x=4$ 또는 $x=-3$ — 전개하면 $x^2-x-6=6$, 즉 $x^2-x-12=0$, $(x-4)(x+3)=0$. **빈번한 오류**: $x-3=6$ 에서 $x=9$. 검산하면 $(9-3)(9+2)=66$. 우변이 $0$ 이 아니면 먼저 넘긴다. 23. **$7$ 과 $8$, 또는 $-8$ 과 $-7$** — 작은 수를 $x$ 라 하면 $x(x+1)=56 \Rightarrow x^2+x-56=0 \Rightarrow (x+8)(x-7)=0 \Rightarrow x=7$ 또는 $x=-8$. 두 해가 **모두 문제의 답이다.** 이것은 앞의 직사각형 문항과 다르다. 길이는 음수일 수 없지만 정수는 음수여도 된다. **방정식의 해를 걸러낼지 여부는 문제가 정한다.** 확인: $7\times8=56$, $(-8)\times(-7)=56$. 24. **$5$ m와 $8$ m** — 가로를 $x$ 라 하면 세로는 $13-x$(둘레가 $26$ 이므로 가로와 세로의 합은 $13$). $x(13-x)=40 \Rightarrow x^2-13x+40=0 \Rightarrow (x-5)(x-8)=0 \Rightarrow x=5$ 또는 $x=8$. 두 해가 **같은 직사각형의 가로와 세로**다. 확인: 둘레 $2(5+8)=26$, 넓이 $5\times8=40$. **빈번한 오류**: 둘레 $26$ 을 그대로 한 변의 합으로 씀($x+y=26$). 25. (가) $x=1$ 또는 $x=6$. (나) $x^2-7x+6=6 \Rightarrow x^2-7x=0 \Rightarrow x(x-7)=0 \Rightarrow x=0$ 또는 $x=7$. 예시 답안: "(가)는 **우변이 이미 $0$** 이라 각 인수를 바로 $0$ 으로 놓을 수 있지만, (나)는 우변이 $0$ 이 아니라서 먼저 전부 좌변으로 넘겨 $0$ 을 만들어야 한다." — 답이 $1, 6$ 에서 $0, 7$ 로 **완전히 달라진다**는 점을 확인한다. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 두 문장이다. **곱이 $0$ 이면 둘 중 하나는 반드시 $0$ 이다**(영인수 정리). 따라서 이차방정식을 곱의 꼴로 만들어(인수분해) 각 인수를 $0$ 으로 놓는다. 그리고 인수분해가 되지 않을 때는 **완전제곱 다섯 단계**로 정사각형을 완성해 제곱근을 취한다. 여기에 세 가지 주의 사항이 따른다. 우변이 $0$ 이 아니면 먼저 $0$ 을 만들 것, 문자로 양변을 나누지 말 것, 제곱근을 씌울 때 $\pm$ 를 빠뜨리지 말 것. 특히 숙달해야 할 것은 **번호가 붙은 다섯 단계**다. [제17장](ch17.md)에서는 이 다섯 단계를 구체적인 수가 아니라 $a$, $b$, $c$ 에 그대로 적용한다. $ax^2+bx+c=0$ 에 ①부터 ⑤까지 적용하면 **근의 공식**이 유도된다. 암기의 대상이 아니라 손으로 유도하는 대상이다. 또 연습문제 $13$ 번의 $(x+1)^2=-4$ 처럼 실수 범위에 해가 없는 경우를 계산 한 번으로 미리 판정하는 방법(**판별식**)도 다음 장에서 다룬다.