제23장 · 삼각함수 ② — 라디안

내용

제23장 · 삼각함수 ② — 라디안#

이 장


원본 코드	R3-W03
선행 내용	제22장 (지수·로그·삼각①)
요지	라디안은 임의로 정한 단위가 아니라 호의 길이 그 자체이고, 미적분에는 이 단위가 필요하다.

도입#

한 바퀴는 \(360\) 도이다. \(360\) 이라는 수가 채택된 근거를 확인한다.

\[360^\circ = \text{한 바퀴}\]

\(360\) 을 정해진 사실로 받아들이는 경우가 많으나, 수학에서 근거 없이 주어지는 값은 없다. \(360\) 이 나누기 좋은 수라는 설명은 절반만 옳다 — \(360\) 은 약수가 스물넷이고 \(2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12\) 로 모두 나누어떨어지므로 다루기 편하다. 그러나 그것이 이유의 전부는 아니다.

실제 근거는 다음과 같다. 약 4000년 전 바빌로니아에서 그렇게 정했다. 한 해를 \(360\) 일가량으로 보았고, \(60\) 진법을 사용했으며, \(60\) 의 여섯 배가 \(360\) 이었다. 수학적 필연에서 나온 값이 아니라 인간이 정한 임의의 단위이다. 미터법 이전에 신체 부위의 길이를 기준으로 길이를 재던 방식과 같은 성격의 단위이다.

여기서 문제가 발생한다. degree는 임의로 정한 단위이므로, 이 단위를 그대로 미적분에 도입하면 식마다 여분의 상수가 하나씩 붙는다. 미적분에는 다른 단위가 필요하다. 그 단위의 이름이 라디안이다. 라디안은 인간이 정한 단위가 아니라 원의 성질에서 유도되는 단위이다.

원이 하나 주어져 있다. 그 원의 반지름을 끈으로 재고, 그 끈을 원 둘레에 대고 구부려 붙인다. 이때 그 끈이 원 둘레를 몇 번 감는지 구한다.

지름으로 재면 그 값은 \(3.14\) 번, 곧 \(\pi\) 번이다. 그런데 잰 것은 반지름이고 반지름은 지름의 절반이므로 그 두 배, 약 \(6.28\) 번이다. 정확히는 \(2\pi\) 번이다. 이 수가 이 장의 중심 대상이다. 그리고 이 값은 바빌로니아에서 정한 값이 아니다. 원의 정의로부터 따라 나오는 값이다. 원의 크기와 무관하게 항상 \(6.28\) 이다.

라디안: 반지름으로 각을 재다#

1라디안은 “반지름 길이만큼의 호”에 대응하는 각이다. 각을 각도기가 아니라 그 원 자신의 반지름으로 재는 방식이다.

원형 물건과 끈으로 다음 절차를 수행하면 1라디안을 직접 확인할 수 있다. ① 끈으로 반지름을 잰다. 중심에서 가장자리까지이다. ② 그 길이만큼 끈에 표시한다. ③ 그 끈을 원 둘레에 대고 구부려 표시한 지점까지 붙인다. ④ 시작점과 끝점을 원의 중심과 잇는다. 이때 벌어진 각이 1라디안이다.

중심 \(O\) 에서 반지름 \(r\) 을 오른쪽으로 긋고(점 \(A\)), 원 둘레를 따라 정확히 \(r\) 만큼 호를 그린 뒤, 그 끝점과 \(O\) 를 이으면 그 각이 1라디안이다.

각을 잴 때 지금까지 사용한 것은 외부에서 도입한 눈금, 곧 \(360\) 도짜리 각도기였다. 라디안은 다르다. 그 원 자신의 반지름으로 잰다. 대상이 되는 원의 길이를 그 원의 반지름을 단위로 삼아 환산하는 방식이다. 그러므로 원이 크든 작든 1라디안은 언제나 같은 각이다.

여기서 호의 길이 공식이 곧바로 따라 나온다. 1라디안이 호 \(r\) 에 대응한다고 정의했다. 그러면 2라디안은 그 호를 두 번 이어 붙인 것이므로 호의 길이가 \(2r\) 이고, 3라디안이면 \(3r\) 이다. 반라디안이면 그 절반이므로 \(\dfrac{r}{2}\) 이다.

중심각 (라디안)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(\dfrac12\)	\(\theta\)
호의 길이	\(r\)	\(2r\)	\(3r\)	\(\dfrac{r}{2}\)	\(r\theta\)

따라서 \(\theta\) 라디안일 때 호의 길이 \(\ell\) 은 \(r\theta\) 이다. 공식을 새로 만든 것이 아니라 정의를 그대로 읽은 것이다. 라디안이 “반지름이 몇 개분인가”를 세는 단위이므로, 반지름 \(r\) 에 그 개수 \(\theta\) 를 곱하면 호의 길이가 된다. 검산은 한 줄로 끝난다. \(\theta = 2\pi\)(한 바퀴)를 대입하면 \(\ell = 2\pi r\) 이고, 이는 이미 알고 있는 원주 공식과 정확히 일치한다.

한 바퀴는 몇 라디안인가#

도입에서 제기한 물음에 답한다. 반지름 길이의 끈으로 원 둘레를 몇 번 감는가. 원의 둘레는 \(2\pi r\), 반지름은 \(r\) 이므로

\[\frac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\]

\(r\) 이 약분되어 사라진다. 원이 크든 작든 항상 \(2\pi\) 번이다. 그러므로 한 바퀴는 \(2\pi\) 라디안이다.

\[2\pi \ \text{라디안} \ = \ 360^\circ \ = \ \text{한 바퀴}\]

\[\pi \ \text{라디안} \ = \ 180^\circ\]

실제 계산에서 가장 자주 사용하는 것은 두 번째 등식이다. \(\pi\) 는 \(180\) 도이다. 이 한 줄만 있으면 나머지 값은 전부 비례로 얻어진다.

\[\text{degree} \to \text{라디안} \ : \ \times \frac{\pi}{180} \qquad \text{라디안} \to \text{degree} \ : \ \times \frac{180}{\pi}\]

이 공식을 따로 외울 필요는 없다. \(\pi\) 는 \(180\) 이라는 사실 하나에서 나머지가 그 자리에서 유도된다. \(60^\circ\) 는 \(180^\circ\) 의 3분의 1이므로 \(\pi\) 의 3분의 1, 곧 \(\dfrac{\pi}{3}\) 이다.

\[30^\circ = \frac{180^\circ}{6} \ \Rightarrow \ \frac{\pi}{6} \qquad 45^\circ = \frac{180^\circ}{4} \ \Rightarrow \ \frac{\pi}{4} \qquad 90^\circ = \frac{180^\circ}{2} \ \Rightarrow \ \frac{\pi}{2}\]

앞으로 반복해서 사용하는 주요 각의 표는 다음과 같다.

degree	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)	\(120^\circ\)	\(180^\circ\)	\(270^\circ\)	\(360^\circ\)
라디안	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\dfrac{2\pi}{3}\)	\(\pi\)	\(\dfrac{3\pi}{2}\)	\(2\pi\)

여기서 오류가 자주 발생하는 지점을 미리 밝혀 둔다. \(\pi\) 는 수이다. \(3.14159\ldots\) 라는 하나의 정해진 수이다. 문자와 같은 형태로 표기하지만 \(x\) 와 같은 미지수가 아니다. 계산할 때는 더 이상 곱해지지 않고 그대로 남는 수로 취급한다. \(\pi\) 를 미지수처럼 다루면 단위 변환 계산이 진행되지 않는다.

단위원에서는 호의 길이가 곧 각이다#

여기가 라디안의 핵심이다. 앞에서 얻은 \(\ell = r\theta\) 에 \(r = 1\) 을 대입하면 된다. 반지름이 \(1\) 인 원, 곧 단위원에서 호의 길이는 다음과 같다.

\[\text{호의 길이} = r \times \theta = 1 \times \theta = \theta\]

단위원에서는 호의 길이와 각의 크기가 같은 수이다. 각을 나타내는 수와 길이를 나타내는 수가 일치한다. 각은 “벌어진 정도”이고 길이는 “얼마나 긴가”를 나타내지만, 라디안을 사용하면 이 둘이 같은 수가 된다. 라디안은 임의로 붙인 이름이 아니라 호의 길이 그 자체이다.

degree에서는 이 관계가 성립하지 않는다. \(90^\circ\) 에 대응하는 호의 길이는 \(90\) 이 아니라 \(\dfrac{\pi}{2}\) 이다. 라디안일 때만 각과 길이가 같은 수가 된다. 이것이 미적분에서 라디안을 요구하는 이유의 절반이다. 나머지 절반은 이후 미분에서 드러난다.

일반 반지름으로 돌아오면, 앞에서 정의를 읽어 얻은 식이 그대로 성립한다.

\[\ell = r\theta \qquad (\theta \text{는 반드시 라디안})\]

괄호 안의 조건이 중요하다. \(\theta\) 가 degree이면 이 공식은 성립하지 않는다. 반지름 \(5\), 중심각 \(\dfrac{\pi}{3}\) 라디안이면 호의 길이는 \(5 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}\) 이다. 여기에 \(60\) 을 대입해 \(300\) 이라고 쓰면 아무 의미도 갖지 않는 수가 된다.

단위에 관한 사항을 덧붙인다. 반지름 \(3\) 인 원에서 중심각이 \(2\) 라디안이면 호의 길이는 \(3 \times 2 = 6\) 이다. 여기에는 단위가 붙지 않는다. 각이 라디안이면 호의 길이는 반지름과 같은 단위의 수로 나온다. 반지름이 \(3\,\text{cm}\) 였다면 호는 \(6\,\text{cm}\) 이다. 라디안 자체는 단위가 없는 수이다 — 길이를 길이로 나눈 값이기 때문이다. 이 성질이 이후 미적분에서 결정적으로 사용된다.

계산기의 두 모드#

계산기를 켜면 화면 구석에 D 또는 DEG, 아니면 R 또는 RAD 가 표시된다. 앞쪽이 degree 모드, 뒤쪽이 라디안 모드이다. 같은 버튼을 눌러도 모드가 다르면 결과가 전혀 다르게 나온다.

\[\text{DEG 모드} \ : \ \sin 30 = 0.5\]

\[\text{RAD 모드} \ : \ \sin 30 = -0.988\ldots\]

같은 버튼을 눌렀는데 하나는 양수 \(0.5\), 다른 하나는 음수 \(-0.988\) 이다. 그 이유는 라디안 모드에서 \(30\) 이 30도가 아니라 30라디안이기 때문이다. 30라디안은 약 \(1719^\circ\) 로, 네 바퀴를 넘게 돈 각이다. 서로 다른 각을 입력한 것이다.

따라서 규칙이 하나 필요하다. 각을 표기할 때는 항상 단위를 명시한다. 국제적으로 통용되는 표기 약속은 다음과 같다. 동그라미 표시가 있으면 degree, 없으면 라디안이다. \(\sin 2\) 라고 쓰면 그것은 2라디안이지 2도가 아니다. 계산기를 사용할 때마다 화면 구석의 모드 표시를 먼저 확인한다. 이 절차만으로 단위 혼동에서 오는 오답을 방지할 수 있다.

sin과 cos의 그래프#

단위원 위의 점은 \((\cos\theta, \sin\theta)\) 였다. 이 점을 반시계 방향으로 회전시키면서 세로 높이만 기록한다. 가로축을 각 \(\theta\), 세로축을 그 높이로 두면 표는 다음과 같이 채워진다.

\(\theta\) (라디안)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(\dfrac{3\pi}{2}\)	\(2\pi\)
\(\sin\theta\) (높이)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)
\(\cos\theta\) (가로)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)

이 다섯 점을 찍고 매끄럽게 이으면 \(\sin\) 곡선이 된다. 회전을 계속하면 같은 그림이 반복된다. 그러므로 주기함수이다.

가로축이 라디안이라는 점에 주의한다. 삼각함수 그래프의 가로축은 언제나 라디안으로 표기한다. 눈금도 \(0\), \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(\dfrac{3\pi}{2}\), \(2\pi\) 로 적고, \(90\), \(180\) 이라고 적지 않는다. degree로 그리면 가로축이 \(360\) 까지 늘어나 그래프가 납작해지고, 라디안으로 그리면 한 주기가 \(6.28\) 이므로 세로와 가로의 척도가 서로 맞는다. 이는 외형의 문제가 아니라 두 축의 척도를 일치시키는 문제이다.

\(\cos\) 그래프는 새로 그릴 필요가 없다. \(\sin\) 그래프를 왼쪽으로 \(\dfrac{\pi}{2}\) 옮긴 것과 동일하다.

\[\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\]

이동 방향에 주의한다. 괄호 안이 \(+\) 이므로 왼쪽이다. 확인은 한 점을 대입하면 된다. \(x = 0\) 을 대입하면 \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1 = \cos 0\) 이므로 성립한다.

진폭, 주기, 이동#

\[y = A \sin(Bx)\]

\[A = \text{진폭} \ (\text{세로로 얼마나 크게}) \qquad \text{주기} = \frac{2\pi}{B}\]

세 예를 나란히 비교한다.

\[y = 3\sin x \ : \ \text{진폭 } 3, \ \text{주기 } 2\pi\]

\[y = \sin 2x \ : \ \text{진폭 } 1, \ \text{주기 } \pi\]

\[y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \ : \ \text{오른쪽으로 } \frac{\pi}{2} \ \text{이동}\]

\(3\sin x\) 는 세로 방향으로 세 배 확대한 것이다. \(\sin 2x\) 는 두 배 빠르게 회전하는 것으로, 한 바퀴 도는 데 \(x\) 가 \(\pi\) 만큼만 증가하면 되므로 주기가 절반이다. 이 지점에서 오류가 빈번하다. \(2\) 를 곱했으므로 폭이 두 배로 넓어질 것 같지만 실제로는 좁아진다. \(2\) 가 \(x\) 쪽, 곧 입력 쪽에 붙었기 때문이다. 입력 쪽에 가해진 변환은 직관과 반대 방향으로 작용한다. \(\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\) 도 마찬가지로 괄호 안이 \(-\) 이므로 오른쪽으로 이동한 것이다.

주기함수의 적용 — 관람차#

반지름 \(10\,\text{m}\), 중심 높이 \(12\,\text{m}\), 한 바퀴에 \(12\) 초가 걸리는 관람차를 다룬다. 시각 \(t\) 초일 때 높이는 다음과 같다.

\[h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\]

\[h(0) = 12 \qquad h(3) = 22 \qquad h(6) = 12 \qquad h(9) = 2\]

\(t = 3\) 초에 최고점 \(22\,\text{m}\), \(t = 9\) 초에 최저점 \(2\,\text{m}\) 이다. 주기를 확인하면 \(\dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12\) 로, \(12\) 초에 한 바퀴라는 조건과 일치한다. 밖에 있는 \(12\) 는 중심 높이, 앞에 있는 \(10\) 은 진폭, 안에 있는 \(\dfrac{\pi}{6}\) 은 회전 속도를 결정한다. 세 상수가 각각 서로 다른 역할을 담당한다.

역방향 문제 — 값이 주어졌을 때 각 구하기#

지금까지는 한 방향의 물음만 다루었다. 각이 주어지면 값을 구한다. \(\dfrac{\pi}{6}\) 을 주면 \(\dfrac12\) 이 나온다. 반대 방향의 물음도 있다. “\(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 가 되는 \(x\) 는 무엇인가.” 제21장에서 다룬 역함수, 곧 출력값을 알고 입력값을 되묻는 문제가 삼각함수에 적용된 것이다.

여기에 주의할 점이 하나 있다. 단위원에 높이 \(\dfrac{1}{2}\) 인 수평선을 하나 긋는다. 그 선은 원과 한 점이 아니라 두 점에서 만난다. 높이가 \(\dfrac12\) 인 점이 원 위에 둘이라는 뜻이다. 하나는 1사분면의 \(\dfrac{\pi}{6}\), 다른 하나는 그것을 세로축에 대해 대칭시킨 2사분면의 \(\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\) 이다. 세로축 대칭에서 높이는 보존되므로 두 점 모두 \(\sin\) 값이 \(\dfrac12\) 이다.

	1사분면	2사분면
\(x\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{5\pi}{6}\)
\(\sin x\) (높이)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)
\(\cos x\) (가로)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

따라서 \(0 \le x < 2\pi\) 에서 \(\sin x = \dfrac12\) 의 답은 하나가 아니라 두 개이다. 그래프로도 검산된다. \(y = \sin x\) 위에 수평선 \(y = \dfrac12\) 을 그으면 한 주기 안에서 두 번 만난다. 증가할 때 한 번, 감소할 때 한 번이다.

\(\cos\) 은 수평선 대신 세로선으로 같은 절차를 수행한다. \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 를 풀려면 가로 좌표가 \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 인 세로선을 긋는다. 이 경우에도 원과 두 점에서 만나는데, 이번에는 가로축을 기준으로 위아래 한 쌍이다. 크기 \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) 는 \(\dfrac{\pi}{6}\) 에서 오고 부호가 음수이므로 2사분면과 3사분면이며, 각각 \(\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\) 과 \(\pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}\) 이다.

요약하면 다음과 같다. 하나의 값에 대응하는 각은 일반적으로 둘이다. 답을 확정하기 전에 매번 확인한다 — 그 수평선(또는 세로선)이 원과 몇 번 만나는가.

빈번한 오류#

degree와 라디안을 섞어 쓴다

\(\ell = r\theta\) 에 \(\theta = 60\) 을 그대로 대입하거나, 계산기의 모드를 확인하지 않고 \(\sin\dfrac{\pi}{6}\) 을 입력해 다른 값을 답으로 쓴다. 학교 교육에서 각의 단위로 degree만 사용해 왔기 때문에 단위가 둘일 수 있다는 점을 인식하지 못하고, 라디안은 단위 기호 없이 수로만 표기되므로 표기상 드러나지 않는다. degree에는 동그라미 표시가 있으나 라디안에는 아무 표시도 없어, “표시가 없는 것 \(=\) 도 단위”로 읽히기 쉽다.

표기 약속은 국제적으로 통용된다. 동그라미 표시가 있으면 degree, 없으면 라디안이다. \(\sin 2\) 라고 쓰면 그것은 2라디안이지 2도가 아니다. 그리고 계산기를 사용할 때마다 화면 구석의 D/R 표시를 먼저 확인한다.

확인 문제: \(\sin 2\) 에서 \(2\) 는 몇 도인가? (답: 2도가 아니라 2라디안, 약 \(114.6^\circ\) 이다.)

라디안을 “그냥 관습”으로 넘긴다

라디안은 변환도 되고 값도 구할 수 있으므로 겉으로는 문제가 드러나지 않는다. 그러나 “왜 라디안을 쓰는가”라는 물음에 “수학자들이 그렇게 하기 때문”이라고 답하고 넘어가기 쉽다. 근거 없이 받아들인 규칙은 임의의 관습으로 기억되고, 관습으로 분류된 내용은 이후에 다시 검토되지 않는다. 그 결과 라디안은 근거 없는 규칙으로 남는다.

라디안은 관습이 아니다. 반지름으로 잰 호의 길이 그 자체이고, 원의 정의로부터 정해지는 수이다. 그리고 이 단위를 반드시 사용해야 하는 이유는 이후 미분에서 드러난다 — degree로 \(\sin\) 을 미분하면 도함수에 \(\dfrac{\pi}{180}\) 이라는 상수가 붙지만, 라디안으로 미분하면 \(\sin\) 의 도함수는 \(\cos\) 이며 여분의 상수가 붙지 않는다. 이 내용의 상세한 근거는 미분을 다룰 때 제시한다.

확인 문제: 라디안은 사람이 임의로 정한 단위인가? (답: 아니다. 반지름으로 잰 호의 길이이고, 원의 크기와 무관하게 정해진다.)

\(\sin 2x\) 의 주기를 \(4\pi\) 라고 쓴다

\(2\) 를 곱했으므로 주기도 두 배로 늘어 \(4\pi\) 가 될 것으로 보이지만 결과는 반대이다. 안쪽의 \(2\) 는 \(x\) 쪽, 곧 입력 쪽에 붙은 수이므로 직관과 반대로 작용한다. 값을 추적하면 분명해진다. \(x\) 가 \(\pi\) 까지만 증가해도 안쪽의 \(2x\) 는 이미 \(2\pi\) 로 한 바퀴를 모두 돈다. 두 배 빠르게 회전하므로 한 바퀴에 걸리는 구간, 곧 주기는 절반이 된다. \(\sin 2x\) 의 주기는 \(\pi\) 이다.

확인 문제: \(y = \sin 4x\) 의 주기는? (답: \(\dfrac{\pi}{2}\). \(\dfrac{2\pi}{4}\) 이다.)

\(\pi\) 가 포함된 계산을 소수로 바꾼다

\(\dfrac{5\pi}{6} \times 2\) 같은 간단한 계산에서 진행이 멈춘다. \(\pi\) 가 문자 형태로 표기되는 수여서 취급 방식이 불분명해지고, \(3.14\) 를 대입해 소수 계산을 시작했다가 결과가 정리되지 않으면 틀린 것으로 판단한다. \(\pi\) 는 수이다. \(3.14159\ldots\) 라는 하나의 정해진 수이다. 그러나 계산 과정에서는 문자처럼 그대로 두고 다룬다. \(2x + 3x = 5x\) 인 것처럼 \(2\pi + 3\pi = 5\pi\) 이다. 소수로 바꾸지 않는다. 답에 \(\pi\) 가 남아 있으면 그것이 정답이다.

확인 문제: \(\dfrac{\pi}{6} \times 2\), \(\pi - \dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{3\pi}{4} \div 3\). (답: \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{\pi}{4}\). 소수가 하나도 나오지 않으면 올바르게 계산한 것이다.)

연습문제#

계산기는 11번에서만 사용한다. 이 장의 문항은 대부분 \(\pi\) 를 포함한다. \(\pi\) 는 수이지만 계산 과정에서는 소수로 바꾸지 않고 문자처럼 그대로 두고 다룬다. 답에 \(\pi\) 가 남아 있으면 그것이 정답이다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A degree를 라디안으로 고쳐라. (1) \(30^\circ\) (2) \(45^\circ\) (3) \(60^\circ\) (4) \(90^\circ\)
A 라디안을 degree로 고쳐라. (1) \(\dfrac{\pi}{3}\) (2) \(\dfrac{2\pi}{3}\) (3) \(\dfrac{3\pi}{2}\) (4) \(\dfrac{\pi}{4}\)
A 값을 구하라. (1) \(\sin\dfrac{\pi}{6}\) (2) \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) (3) \(\sin\dfrac{\pi}{2}\) (4) \(\cos\pi\)
A 반지름이 1인 원에서 중심각이 \(2\) 라디안일 때, 그 각에 대응하는 호의 길이는?
B 호의 길이를 구하라. (1) 반지름 3, 중심각 2라디안 (2) 반지름 6, 중심각 \(\dfrac{\pi}{2}\) (3) 반지름 2, 호의 길이 5일 때의 중심각
B 자전거 바퀴의 반지름이 35cm다. 바퀴가 \(2\) 라디안만큼 굴렀다면 자전거는 몇 cm 나아갔는가?
A \(y = \sin x\) 의 주기, 최댓값, 최솟값을 쓰라.
B (1) \(y = 3\sin x\) 의 진폭과 주기 (2) \(y = \sin 2x\) 의 진폭과 주기
B \(y = \sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\) 는 \(y = \sin x\) 를 어떻게 옮긴 것인가? 방향과 크기를 쓰라.
B 관람차의 반지름이 10m, 중심 높이가 12m이고 12초에 한 바퀴 돈다. 높이가 \(h(t) = 12 + 10\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)\) 일 때 (1) \(h(3)\) (2) \(h(9)\) (3) 주기를 각각 구하라.
B 계산기로 DEG 모드에서 \(\sin 30\) 을, RAD 모드에서 \(\sin 30\) 을 각각 구해 적어라. 왜 다른지 한 문장으로 쓰라.
C \(0 \le x < 2\pi\) 에서 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 를 만족하는 \(x\) 를 모두 구하라.
C \(0 \le x < 2\pi\) 에서 \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 를 만족하는 \(x\) 를 모두 구하라.
C 라디안이 무엇인지 자기 말로 두 문장으로 쓰고, “미적분에서 왜 라디안을 쓰는가”에 대해 지금까지 다룬 내용을 한 문장으로 쓰라.

정답과 해설

(1) \(\dfrac{\pi}{6}\) (2) \(\dfrac{\pi}{4}\) (3) \(\dfrac{\pi}{3}\) (4) \(\dfrac{\pi}{2}\) — 전부 “\(180^\circ\) 의 몇 분의 1인가”로 풀린다.
(1) \(60^\circ\) (2) \(120^\circ\) (3) \(270^\circ\) (4) \(45^\circ\)
(1) \(\dfrac{1}{2}\) (2) \(\dfrac{1}{2}\) (3) \(1\) (4) \(-1\) — (1)과 (2)가 같은 값인 것은 우연이 아니다. \(\dfrac{\pi}{6} = 30^\circ\), \(\dfrac{\pi}{3} = 60^\circ\) 이고 \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ\) 이다.
\(2\) — 단위원이므로 \(\ell = 1 \times 2 = 2\). 단위원에서는 각과 호의 길이가 같은 수이다. 라디안일 때만 성립한다.
(1) \(6\) (2) \(3\pi\) (3) \(\dfrac{5}{2}\) 라디안 — \(5 = 2\theta\)
\(70\) cm — \(\ell = 35 \times 2\). 빈번한 오류: \(2\) 를 degree로 보고 \(\dfrac{\pi}{90}\) 로 바꾼다. 단위 표시가 없으면 라디안이다.
주기 \(2\pi\), 최댓값 \(1\), 최솟값 \(-1\)
(1) 진폭 \(3\), 주기 \(2\pi\) (2) 진폭 \(1\), 주기 \(\pi\). 빈번한 오류: \(\sin 2x\) 의 주기를 \(4\pi\) 라고 쓴다. 안쪽의 \(2\) 는 입력 쪽 변환이므로 직관과 반대로 작용한다. 두 배 빠르게 회전하므로 주기는 절반이 된다.
오른쪽으로 \(\dfrac{\pi}{2}\). 괄호 안이 \(-\) 이므로 오른쪽이다. (그 결과는 \(-\cos x\) 와 같은 그래프이다.)
(1) \(22\) m (2) \(2\) m (3) \(12\) 초 — 주기는 \(\dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12\)
DEG 모드 \(\sin 30 = 0.5\) / RAD 모드 \(\sin 30 = -0.988\ldots\) / 이유: “RAD 모드의 \(30\) 은 30도가 아니라 30라디안, 즉 약 \(1719^\circ\) 이므로 서로 다른 각이기 때문.”
\(x = \dfrac{\pi}{6}\) 와 \(x = \dfrac{5\pi}{6}\). 빈번한 오류: \(\dfrac{\pi}{6}\) 하나만 쓴다. 단위원에서 높이가 \(\dfrac{1}{2}\) 인 점은 1사분면과 2사분면에 하나씩, 두 개이다.
\(x = \dfrac{5\pi}{6}\) 와 \(x = \dfrac{7\pi}{6}\) — \(\cos\) 가 음수이므로 2사분면과 3사분면이다. 가로 좌표가 \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 인 두 점이다.
예시 답안: “1라디안은 반지름 길이만큼의 호에 대응하는 각이다. 각도기 같은 외부 눈금이 아니라 그 원 자신의 반지름으로 각을 재는 방식이므로, 원의 크기와 무관하게 정해진다.” — 마지막 한 문장: “degree는 사람이 정한 임의의 단위이므로 미적분 식에 여분의 상수가 붙고, 라디안을 쓰면 그 상수가 붙지 않는다. 정확한 이유는 이후 미분에서 밝혀진다.”

추가 연습문제#

한 번에 몰아서 푸는 것보다 하루 \(20\) 분씩 나누어 푸는 편이 정착에 유리하다. 막히는 문항은 표시해 두고 다음으로 넘어간다. 답에 \(\pi\) 가 남아 있으면 그것이 정답이므로 소수로 바꾸지 않는다(6번과 19번만 예외).

변환

degree를 라디안으로. (1) \(0^\circ\) (2) \(30^\circ\) (3) \(45^\circ\) (4) \(60^\circ\) (5) \(90^\circ\)
degree를 라디안으로. (1) \(120^\circ\) (2) \(135^\circ\) (3) \(150^\circ\) (4) \(180^\circ\)
degree를 라디안으로. (1) \(270^\circ\) (2) \(360^\circ\) (3) \(15^\circ\)
라디안을 degree로. (1) \(\dfrac{\pi}{6}\) (2) \(\dfrac{\pi}{4}\) (3) \(\dfrac{\pi}{3}\)
라디안을 degree로. (1) \(\dfrac{5\pi}{6}\) (2) \(\dfrac{4\pi}{3}\) (3) \(\dfrac{7\pi}{4}\)
\(2\) 라디안은 몇 도인가? 계산기로 구해 소수 첫째 자리까지 답하라.

호의 길이와 삼각함수 값

반지름이 3인 원에서 중심각이 \(2\) 라디안일 때 호의 길이는?
반지름이 6인 원에서 중심각이 \(\dfrac{\pi}{2}\) 일 때 호의 길이는?
반지름이 2인 원에서 호의 길이가 5일 때 중심각은 몇 라디안인가?
값을 구하라. (1) \(\sin\dfrac{\pi}{6}\) (2) \(\cos\dfrac{\pi}{6}\) (3) \(\tan\dfrac{\pi}{4}\)
값을 구하라. (1) \(\sin\dfrac{\pi}{2}\) (2) \(\cos\dfrac{\pi}{2}\) (3) \(\sin\pi\) (4) \(\cos\pi\)
값을 구하라. (1) \(\sin\dfrac{2\pi}{3}\) (2) \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\)

주기함수 그래프

\(y = \sin x\) 의 값을 \(x = 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\) 에서 구해 표로 만들고, 모눈종이에 그려라.
\(y = \cos x\) 를 같은 다섯 점에서 구해 표로 만들고, 모눈종이에 그려라.
\(y = 4\sin x\) 의 진폭과 주기를 쓰라.
\(y = \sin 3x\) 의 진폭과 주기를 쓰라.
\(y = \cos(x + \pi)\) 는 \(y = \cos x\) 를 어떻게 옮긴 것인가? 그 결과는 어떤 함수와 같은가?

문장제와 서술

어느 항구의 수위가 12시간 주기로 오르내린다. 만조 때 6m, 간조 때 2m이고, \(t=0\) 이 만조일 때 수위는 \(h(t) = 4 + 2\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)\) 로 나타낼 수 있다. (1) \(h(0)\) (2) \(h(6)\) (3) \(h(3)\) 을 각각 구하고, (4) 이 함수의 주기가 정말 12인지 확인하라.
계산기를 DEG 모드로 놓고 \(\sin 30\) 을, RAD 모드로 놓고 \(\sin 30\) 을 각각 구해 소수 셋째 자리까지 적어라.
두 가지를 각각 쓰라. (1) 라디안이 무엇인지 자기 말로 두 문장 (2) 미적분에서 라디안을 쓰는 이유로 지금까지 다룬 내용을 한 문장으로.

정답과 해설

(1) \(0\) (2) \(\dfrac{\pi}{6}\) (3) \(\dfrac{\pi}{4}\) (4) \(\dfrac{\pi}{3}\) (5) \(\dfrac{\pi}{2}\)
(1) \(\dfrac{2\pi}{3}\) (2) \(\dfrac{3\pi}{4}\) (3) \(\dfrac{5\pi}{6}\) (4) \(\pi\)
(1) \(\dfrac{3\pi}{2}\) (2) \(2\pi\) (3) \(\dfrac{\pi}{12}\) — \(15^\circ\) 는 \(180^\circ\) 의 12분의 1이다.
(1) \(30^\circ\) (2) \(45^\circ\) (3) \(60^\circ\)
(1) \(150^\circ\) (2) \(240^\circ\) (3) \(315^\circ\)
\(114.6^\circ\) — \(2 \times \dfrac{180}{\pi} = 114.5915\ldots\) 1라디안은 약 \(57.3^\circ\) 이다. 이 수치를 외울 필요는 없으나, 1라디안이 \(60^\circ\) 에 조금 못 미치는 각이라는 크기 감각은 갖추어야 한다.
\(6\) — \(3 \times 2\)
\(3\pi\) — \(6 \times \dfrac{\pi}{2}\)
\(\dfrac{5}{2}\) 라디안 — \(5 = 2\theta\)
(1) \(\dfrac{1}{2}\) (2) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (3) \(1\)
(1) \(1\) (2) \(0\) (3) \(0\) (4) \(-1\)
(1) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (2) \(-\dfrac{1}{2}\) — \(\dfrac{2\pi}{3} = 120^\circ\), 2사분면이다.
\(0\), \(1\), \(0\), \(-1\), \(0\). 가로축 눈금은 반드시 라디안으로 쓴다.
\(1\), \(0\), \(-1\), \(0\), \(1\)
진폭 \(4\), 주기 \(2\pi\)
진폭 \(1\), 주기 \(\dfrac{2\pi}{3}\). 빈번한 오류: 주기를 \(6\pi\) 라고 쓴다. 안쪽의 \(3\) 은 입력 쪽이므로 반대로 작용한다. 세 배 빠르게 회전하므로 주기는 3분의 1이다.
왼쪽으로 \(\pi\). 결과는 \(-\cos x\) 와 같다. 즉 위아래로 뒤집힌 그래프와 같은 모양이 된다. 검산: \(x=0\) 을 대입하면 \(\cos\pi = -1\) 이고 \(-\cos 0 = -1\) 로 일치한다.
(1) \(6\) m (2) \(2\) m (3) \(4\) m (4) 주기 \(= \dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12\) 시간으로 조건과 일치한다. 밖의 \(4\) 는 평균 수위(중심선), 앞의 \(2\) 는 진폭(위아래로 흔들리는 폭), 안의 \(\dfrac{\pi}{6}\) 은 주기를 결정한다. 만조 6과 간조 2에서 중심선 \(\dfrac{6+2}{2}=4\), 진폭 \(\dfrac{6-2}{2}=2\) 가 나온다.
DEG 모드 \(\sin 30 = 0.500\) / RAD 모드 \(\sin 30 = -0.988\). 빈번한 오류: 모드를 바꾸지 않고 같은 값을 두 번 적는다. 화면 구석의 D/R 표시를 확인한다.
예시 답안: (1) “1라디안은 반지름 길이만큼의 호에 대응하는 각이다. 외부에서 도입한 각도기 눈금이 아니라 그 원 자신의 반지름으로 각을 재기 때문에, 원의 크기와 무관하게 항상 같은 각이 된다.” (2) “degree를 쓰면 삼각함수를 미분할 때 \(\dfrac{\pi}{180}\) 같은 상수가 붙고 라디안을 쓰면 그 상수가 붙지 않는다. 정확한 이유는 이후 미분에서 밝혀진다.”

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 한 문장으로 정리된다. 라디안은 임의로 정한 단위가 아니라 반지름으로 잰 호의 길이 그 자체이다. 단위원에서는 각과 호의 길이가 같은 수가 되고, 실제 계산에서는 “\(\pi\) 는 \(180\) 도”라는 한 줄로 나머지 변환이 전부 비례로 유도된다. 삼각함수 그래프의 가로축은 언제나 라디안으로 표기하고, \(\sin\) 을 평행이동하면 \(\cos\) 이 되며, 진폭·주기·이동이라는 세 요소가 그래프의 형태를 결정한다.

라디안이 미적분에 필요한 나머지 절반의 이유는 아직 제시하지 않았다. degree로 삼각함수를 미분하면 식에 \(\dfrac{\pi}{180}\) 같은 여분의 상수가 붙고, 라디안으로 미분하면 그 상수가 붙지 않는다는 사실만 밝혀 둔다. 정확한 근거는 미분을 다룰 때 제시한다.

여기까지 함수가 어떤 형태인가를 다루었다. 다항함수, 지수·로그함수, 그리고 삼각함수까지 — 미적분에서 다루는 함수를 모두 살펴본 셈이다. 다음부터는 이 함수들이 어떻게 변하는가를 다룬다. 그것이 미적분의 시작이다. 제24장에서는 “지금 이 순간의 속도는 얼마인가”라는 물음에서 출발해, 변화율과 극한의 직관을 세운다.