제15장 · 인수분해 ② (x^2+bx+c 꼴)

내용

제15장 · 인수분해 ② (\(x^2+bx+c\) 꼴)#

이 장


원본 코드	R2-W07
선행 내용	제14장 — 인수분해 ①
요지	\(x^2+bx+c\) 를 인수분해하는 것은 곱해서 \(c\), 더해서 \(b\) 인 두 수를 찾는 일이다.

도입#

다음 한 줄에서 출발한다.

\[\text{곱해서 } 12, \quad \text{더해서 } 7. \quad \text{두 수는?}\]

조건을 만족하는 두 수는 \(3\) 과 \(4\) 이다. 이 두 수가 이 장에서 다루는 내용의 핵심이다. 찾은 두 수를 \(x\) 뒤에 그대로 붙이면 다음 식이 된다.

\[x^2+7x+12 = (x+3)(x+4)\]

\(12\) 는 상수항이고 \(7\) 은 \(x\) 의 계수이다. 곱이 상수항, 합이 \(x\) 의 계수가 되는 두 수를 찾아 \(x\) 뒤에 붙이면 인수분해가 완성된다. 이 한 줄이 이 장의 내용 전체를 요약한다.

상수항과 계수의 부호를 바꾸면 사정이 달라진다.

\[\text{곱해서 } {-12}, \quad \text{더해서 } {-1}. \quad \text{두 수는?}\]

이 경우에서 오류가 자주 발생한다. 곱과 합을 세는 절차는 앞의 경우와 동일하지만 부호를 결정하는 단계가 추가되며, 이 단계는 판단 기준 없이는 처리되지 않는다. 이 장에서 하는 일이 그 판단 기준을 세우는 것이다. (답은 뒤의 부호 규칙 표에서 확정한다.)

두 수는 넓이 그림에서 나온다#

이 규칙은 암기 대상이 아니라 그림에서 유도되는 결과이다. 전개를 다룰 때 사용한 넓이 그림을 반대 방향으로 읽는다.

가로가 \(x+p\), 세로가 \(x+q\) 인 직사각형을 가로는 \(x\) 와 \(p\) 로, 세로는 \(x\) 와 \(q\) 로 쪼갠다. 그러면 네 칸이 생기고, 각 칸의 넓이는 다음과 같다.

네 칸의 넓이를 모두 더한 값은 직사각형 전체의 넓이와 같다.

\[x^2 + px + qx + pq = x^2 + (p+q)x + pq\]

여기서 두 자리를 확인한다. \(x\) 의 계수는 \(p+q\), 곧 두 수의 합이다. 상수항은 \(pq\), 곧 두 수의 곱이다. 따라서 \(x^2+bx+c\) 에서 \(b\) 는 두 수의 합이고 \(c\) 는 두 수의 곱이다. 임의로 정한 규칙이 아니라 그림에서 유도된 사실이다.

\[c = \text{두 수의 곱}, \qquad b = \text{두 수의 합}\]

이 관계식이 이 장 전체의 기준이 된다.

곱부터 세는 이유#

두 수를 찾을 때는 항상 곱부터 센다. 그 이유를 \(x^2+11x+24\) 로 확인한다.

합이 \(11\) 인 두 수는 무수히 많다. \(1+10\), \(2+9\), \(5+6\), \(3.5+7.5\ \dots\) 로 이어져 전부 나열할 수 없다. 반면 곱이 \(24\) 인 정수 쌍은 유한하다.

\[24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6\]

네 쌍뿐이다. 이 중 합이 \(11\) 인 쌍은 \(3\) 과 \(8\) 이다.

\[x^2+11x+24 = (x+3)(x+8)\]

검산은 전개로 한다. 인수분해의 결과는 전개하여 원식과 비교하면 즉시 검증된다.

\[(x+3)(x+8) = x^2+8x+3x+24 = x^2+11x+24\]

전개 결과가 원식과 일치하므로 답이 맞다. 이 책에서는 모든 인수분해를 이와 같이 전개로 검산한다. 정답지는 정오만 알려 주지만, 전개는 오류가 발생한 자리까지 알려 준다.

곱만 확인해서는 안 된다. 조건은 곱과 합 두 개이며, 곱 하나만 확인하고 중단하면 조건의 절반만 만족한 답이 된다. 예를 들어 \(x^2+7x+12\) 를 \((x+2)(x+6)\) 이라 쓰면 곱은 \(2 \times 6 = 12\) 로 맞다. 그러나 전개하면 다음과 같다.

\[(x+2)(x+6) = x^2+8x+12\]

가운데 항이 \(8x\) 이고, 요구된 항은 \(7x\) 이다. 곱이 맞아도 합이 틀리면 오답이다. 후보를 찾으면 두 조건을 모두 확인한다.

음수 부호가 포함된 경우#

먼저 넓이 그림의 적용 범위를 확인한다. 앞 절의 넓이 그림은 \(p\) 와 \(q\) 가 양수인 경우를 나타낸 것이다. 변의 길이가 음수인 직사각형은 존재하지 않기 때문이다. 그러나 그림에서 얻어 낸 등식

\[(x+p)(x+q) = x^2+(p+q)x+pq\]

은 문자끼리 곱하고 더한 결과이므로, \(p\) 나 \(q\) 가 음수여도 그대로 성립한다. 그림으로 나타낼 수 없는 범위는 식이 이어받는다. 따라서 아래의 부호 규칙은 새로 암기할 규칙이 아니라, 이 등식에 음수를 대입해 계산한 결과이다.

필요한 것은 한 줄의 해석이다. 뺄셈은 음수의 덧셈으로 읽는다.

\[(x-3)(x-6) = \big(x+(-3)\big)\big(x+(-6)\big)\]

곧 \(p=-3\), \(q=-6\) 인 경우이다. 위 등식에 그대로 대입하면 합은 \(p+q = (-3)+(-6) = -9\), 곱은 \(pq = (-3) \times (-6) = +18\) 이다.

\[x^2 + (-9)x + 18 = x^2-9x+18\]

뒤에 나오는 부호 규칙 표의 네 행은 전부 이렇게 계산해서 나온 결과이다. 표는 암기 대상이 아니라 확인 대상이다.

상수항이나 계수에 음수가 포함된 두 예제를 비교한다.

예제 1. \(x^2-9x+18\)

곱이 \(18\) 인 쌍은 \(1 \times 18\), \(2 \times 9\), \(3 \times 6\) 이다. 합은 \(-9\) 여야 하는데 이 쌍들의 합은 모두 양수이다. 두 수의 부호를 모두 뒤집으면 \((-3) \times (-6) = 18\), \((-3)+(-6) = -9\) 로 두 조건이 성립한다.

\[x^2-9x+18 = (x-3)(x-6)\]

검산: \((x-3)(x-6) = x^2-6x-3x+18 = x^2-9x+18\) ✔

예제 2. \(x^2+3x-18\)

이 식은 곱이 \(-18\) 로 음수이다. 곱이 음수가 되려면 두 수의 부호가 서로 달라야 한다. \(6\) 과 \(-3\) 은 곱이 \(-18\), 합이 \(3\) 이므로 두 조건이 성립한다.

\[x^2+3x-18 = (x+6)(x-3)\]

검산: \((x+6)(x-3) = x^2-3x+6x-18 = x^2+3x-18\) ✔

두 예제의 차이는 상수항의 부호뿐이다. \(+18\) 인지 \(-18\) 인지에 따라 두 수의 부호가 완전히 달라진다. 이 차이를 표로 정리하면 부호를 일관된 기준으로 결정할 수 있다.

부호 규칙 표#

부호는 추측이 아니라 판단으로 결정한다. 확인 항목은 두 개이다.

확인 1 — \(c\) 의 부호. 두 수의 부호가 같은지 다른지를 정한다. 곱이 양수이면 두 수의 부호는 같고(\((+)(+)\) 또는 \((-)(-)\)), 곱이 음수이면 부호는 다르다. 음수의 곱셈 규칙 그대로이므로 새로 배우는 내용이 아니다.
확인 2 — \(b\) 의 부호. 어느 쪽이 절댓값이 큰지를 정한다. 부호가 같으면 합의 부호가 곧 두 수의 부호이다. 부호가 다르면 합은 절댓값이 큰 쪽의 부호를 따른다(\(-7+3=-4\) 에서 절댓값이 큰 \(-7\) 이 음수이므로 합도 음수이다).

이 두 항목을 네 가지 경우로 펼치면 다음 표가 된다.

\(c\) 의 부호	\(b\) 의 부호	두 수의 부호	예시 식	인수분해
\(c > 0\)	\(b > 0\)	둘 다 \(+\)	\(x^2+7x+12\)	\((x+3)(x+4)\)
\(c > 0\)	\(b < 0\)	둘 다 \(-\)	\(x^2-5x+6\)	\((x-2)(x-3)\)
\(c < 0\)	\(b > 0\)	부호 다름, 절댓값 큰 쪽이 \(+\)	\(x^2+2x-15\)	\((x+5)(x-3)\)
\(c < 0\)	\(b < 0\)	부호 다름, 절댓값 큰 쪽이 \(-\)	\(x^2-x-12\)	\((x-4)(x+3)\)

각 행을 확인한다.

1행 \(c=12>0\), \(b=7>0\): 둘 다 \(+\) 인 \(3\) 과 \(4\). 곱 \(12\), 합 \(7\).

2행 \(c=6>0\), \(b=-5<0\): 둘 다 \(-\) 인 \(-2\) 와 \(-3\). 곱 \((-2)(-3)=6\), 합 \(-5\). 이 행에서 오류가 가장 빈번하다. 곱이 \(+\) 이고 합이 \(-\) 이면 두 수는 둘 다 \(-\) 이다. 곱이 양수이므로 부호가 같아야 하고, 합이 음수이므로 둘 다 음수이다.

3행 \(c=-15<0\), \(b=2>0\): 부호가 다른 \(5\) 와 \(-3\). 곱 \(-15\), 합 \(2\). 절댓값이 큰 \(5\) 가 \(+\).

4행 \(c=-12<0\), \(b=-1<0\): 부호가 다른 \(-4\) 와 \(3\). 곱 \(-12\), 합 \(-1\). 절댓값이 큰 \(4\) 가 \(-\).

\[x^2-x-12 = (x-4)(x+3)\]

도입에서 제시한 식이다. 곱이 \(-12\), 합이 \(-1\) 인 두 수는 \(-4\) 와 \(3\) 이며, 이 답은 추측이 아니라 표에 따라 결정된 것이다. ‘부호가 다르고 절댓값이 큰 쪽이 음수’라고 판단한 다음, 곱이 \(12\) 인 쌍 중 차가 \(1\) 인 \(4\) 와 \(3\) 을 고르고, 큰 쪽인 \(4\) 에 음의 부호를 붙인다.

부호가 다를 때의 처리 방법은 다음과 같다.

\[c<0 \ \Rightarrow \ \text{곱이 } |c| \text{ 인 쌍 중에서 } \textbf{차}\text{가 } |b| \text{ 인 것을 찾는다}\]

부호가 같을 때는 합을 보고, 부호가 다를 때는 차를 본다. 예를 들어 곱이 \(-12\) 라면 \(1\) 과 \(12\)(차 \(11\)), \(2\) 와 \(6\)(차 \(4\)), \(3\) 과 \(4\)(차 \(1\)) 중 차가 \(1\) 인 \(3\) 과 \(4\) 를 고르고, 그다음 큰 쪽에 부호를 붙인다.

숫자 쌍이 같아도 부호가 바뀌면 답이 전부 달라진다. \(x^2-7x+10\), \(x^2+3x-10\), \(x^2-3x-10\) 은 모두 \(2\) 와 \(5\) 로 만들지만 답은 각각 \((x-2)(x-5)\), \((x+5)(x-2)\), \((x-5)(x+2)\) 로 다르다. 인수분해에서 부호는 부수적인 요소가 아니라 문제의 절반이다.

\(x^2\) 의 계수가 \(1\) 이 아닌 경우#

앞에서는 \(x^2\) 의 계수가 \(1\) 인 경우만 다루었다. 계수가 \(1\) 이 아니면 지금까지의 방법이 그대로 적용되지 않는다. 예를 들어 \(2x^2+7x+3\) 에서는 곱이 \(3\), 합이 \(7\) 인 두 수가 존재하지 않는다. 이러한 식은 다음과 같이 분해된다.

\[2x^2+7x+3 = (2x+1)(x+3)\]

검산: \((2x+1)(x+3) = 2x^2+6x+x+3 = 2x^2+7x+3\) ✔

\(2x\) 와 \(x\) 를 앞에 놓고 뒤에 \(1\) 과 \(3\) 을 놓되, 엇갈려 곱한 것의 합(\(2 \times 3 + 1 \times 1 = 7\))이 가운데 계수가 되도록 맞춘 결과이다.

절차는 세 단계이다. 첫째, \(2x^2\) 을 \(2x \cdot x\) 로 가른다. 둘째, \(3\) 을 \(1 \cdot 3\) 으로 가른다. 셋째, 가른 것을 위아래로 놓고 대각선끼리 곱해 더한 값이 가운데 계수 \(7\) 이 되는 배치를 고른다. 이 식에서 가능한 배치는 두 가지이므로 둘 다 계산한다.

배치	엇갈려 곱한 두 개	합	가운데 \(7x\) 와의 일치
\((2x+1)(x+3)\)	\(2x \cdot 3 = 6x\), \(\ 1 \cdot x = x\)	\(7x\)	일치
\((2x+3)(x+1)\)	\(2x \cdot 1 = 2x\), \(\ 3 \cdot x = 3x\)	\(5x\)	불일치

첫 배치가 조건을 만족하므로 \(2x^2+7x+3 = (2x+1)(x+3)\) 이다. 연습문제 \(14\) 번 (1)이 이 식이며, 위 세 단계를 그대로 적용한다. 다만 계수가 커지면 가능한 배치의 수가 급격히 늘어나 손으로 전부 확인하기 어렵다. 손으로 찾는 훈련법도 있으나 이 장에서는 여기까지만 다룬다. 그 이유는 다음과 같다. 이후 근의 공식을 배우면, \(x^2\) 의 계수가 무엇이든, 인수분해가 되든 되지 않든 항상 답을 주는 도구가 마련된다. 그 도구가 이 경우를 통째로 처리한다.

이 장에서 숙달해야 하는 것은 \(x^2\) 의 계수가 \(1\) 인 경우이다. 이 경우를 처리할 수 있으면 다음 단계로 진행할 수 있다.

순서표에 ④를 추가한다#

제14장에서 도구가 셋일 때 순서표를 만들었다. 이 장에서 도구가 하나 늘었으므로 표를 갱신한다. 인수분해 문제를 만나면 다음 네 항목을 순서대로 확인한 뒤 시작한다.

순서	판정 항목	사용 도구
①	공통인수의 유무	가장 먼저 빼낸다
②	항이 \(2\) 개인 경우	\(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)
③	항이 \(3\) 개이면서 완전제곱인 경우	\(a^2 \pm 2ab+b^2 = (a \pm b)^2\)
④	위 세 경우가 아닌 경우	곱해서 \(c\), 더해서 \(b\) 인 두 수

순서를 지키는 이유는 제14장에서와 같다. ①을 건너뛰면 ②③④가 적용되는지 판별되지 않는다. 그리고 순서표는 괄호 안에서 다시 적용된다. ①에서 공통인수를 빼내고 남은 괄호 안을 처음부터 다시 훑는다.

\(3x^2+6x-24\) 에 ①부터 ④까지 순서대로 적용한다.

\[\text{①: 세 항에 공통인 } 3 \text{ 을 빼낸다} \ \Rightarrow\ 3(x^2+2x-8)\]

\[\text{②: 괄호 안은 항이 } 3 \text{ 개다. 두 제곱의 차가 아니다.}\]

\[\text{③: } {-8} \text{ 이 제곱수가 아니니 완전제곱도 아니다.}\]

\[\text{④: 곱해서 } {-8}, \text{ 더해서 } 2 \text{ 인 두 수는 } 4 \text{ 와 } {-2}.\]

\[3x^2+6x-24 = 3(x+4)(x-2)\]

검산: \((x+4)(x-2) = x^2+2x-8\), 여기에 \(3\) 을 곱하면 \(3x^2+6x-24\) ✔ 원식과 일치하므로 답이 맞다.

마지막으로 한 가지를 덧붙인다. ④까지 적용해도 곱과 합이 맞는 정수 쌍이 없으면, 이 단계의 도구로 처리할 수 있는 범위를 넘어선 것이다. \(x^2+3x+7\) 이 그러한 예이다. 곱이 \(7\) 인 정수 쌍은 \(1 \times 7\) 과 \((-1) \times (-7)\) 뿐이고 합은 각각 \(8\) 과 \(-8\) 이므로 \(3\) 이 나올 수 없다. 해가 없는 것이 아니라 현재 단계의 도구로 처리되지 않는 것이며, 제17장의 근의 공식이 그러한 식을 통째로 처리한다.

빈번한 오류#

부호 조합을 추측으로 결정한다

\(x^2-5x+6\) 을 \((x+2)(x+3)\) 이라고 쓰거나, \(c\) 가 음수인 식에서 부호를 정하지 못한 채 중단한다. 원인은 부호를 판단하지 않고 추측으로 정하는 데 있다. 판단 근거가 없으면 네 가지 조합을 무작위로 시도하게 된다. 해결 방법은 순서를 바꾸는 것이다. 부호를 먼저 정하고 숫자를 나중에 찾는다. 확인 항목은 두 개이다 — \(c\) 가 양수인가 음수인가(부호가 같은가 다른가), \(b\) 가 양수인가 음수인가(어느 쪽이 절댓값이 큰가). 부호를 먼저 정하면 후보가 좁혀지고, 순서를 반대로 하면 매번 추측에 의존하게 된다.

확인 문제: \(x^2-8x+15\) 를 인수분해하고, 표 몇 행을 적용했는지 말하라. (답: \((x-3)(x-5)\), 2행.)

곱만 확인하고 합을 확인하지 않는다

\(x^2+7x+12\) 를 \((x+2)(x+6)\) 이라고 쓴다. 곱은 \(12\) 로 맞지만 합이 \(8\) 이라 틀렸다. ‘곱해서 \(c\)’만 기억에 남고 ‘더해서 \(b\)’가 누락된 것이다. 조건이 두 개인데 하나만 검사한 결과이다. 후보를 찾으면 두 조건을 각각 확인한다 — 곱이 \(12\) 인지, 합이 \(7\) 인지. 이어서 전개로 검산하면 틀린 자리가 드러난다.

확인 문제: \(x^2+9x+18\). (\((x+2)(x+9)\) 라고 썼다면 합이 \(11\) 이라 오답. 답: \((x+3)(x+6)\).)

식과 방정식을 혼동한다

\(x^2+7x+12\) 를 인수분해하라고 했는데 \(x=-3, -4\) 라고 답한다. 인수분해가 이차방정식과 함께 제시되는 경우가 많았던 탓에, 인수분해 자체를 ‘\(x\) 를 구하는 일’로 기억한 것이다. 문제에 \(=0\) 이 있는지 확인한다. 없다. 등호가 없으면 방정식이 아니다. 방정식의 답은 수이지만, 식의 답은 식이다. \(x^2+7x+12\) 를 인수분해한 답은 \((x+3)(x+4)\) 라는 식이다. \(\tfrac{12}{18}\) 을 약분한 답이 \(\tfrac{2}{3}\) 라는 분수이지 어떤 수의 값이 아닌 것과 같다. 두 개념이 무관한 것은 아니다. 다음 장에서 \(=0\) 을 붙이면 \(x\) 값이 나온다. 다만 그것은 다음 장의 내용이고, 이 장에서는 식을 식으로 다룬다.

확인 문제: “\(x^2-5x+6\) 을 인수분해하라”와 “\(x^2-5x+6=0\) 을 풀어라”의 답은 각각 무엇인가? (답: \((x-2)(x-3)\) / \(x=2\) 또는 \(x=3\).)

연습문제#

계산기를 쓰지 않는다. 규칙은 하나이다 — 모든 답을 전개로 검산한다. 검산하지 않은 답은 답이 아니라 추측이다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A 인수분해하라. (1) \(x^2+6x+8\) (2) \(x^2+7x+12\) (3) \(x^2+10x+21\)
A 인수분해하라. (1) \(x^2-6x+8\) (2) \(x^2-5x+6\) (3) \(x^2-9x+20\)
A 인수분해하라. (1) \(x^2+2x-8\) (2) \(x^2-x-12\) (3) \(x^2+4x-21\)
A 인수분해하라. (1) \(x^2-2x-15\) (2) \(x^2+x-20\)
A 인수분해하라. (1) \(x^2+8x+7\) (2) \(x^2-4x+3\)
B 인수분해하라. (1) \(x^2-13x+40\) (2) \(x^2+11x+24\)
B 인수분해하라. (1) \(x^2+5x-24\) (2) \(x^2-7x-18\)
B 인수분해하라. 이 장의 방법을 적용하기 전에, 제14장에서 배운 공식이 적용되는지 먼저 확인한다. (1) \(x^2-9\) (2) \(x^2+6x+9\) (3) \(x^2-16x+64\)
B 인수분해하라. 끝까지 분해한다. (1) \(2x^2+10x+12\) (2) \(3x^2-3x-18\)
B 다음 넷 중 정수 범위에서 인수분해되지 않는 것을 고르고, 왜 안 되는지 한 줄로 쓰라. \(x^2+4x+3\), \(x^2+4x+4\), \(x^2+4x+5\), \(x^2+4x-5\)
B 어떤 직사각형 화단의 넓이가 \(x^2+9x+18\) 이고 가로의 길이가 \(x+3\) 이다. 세로의 길이는?
B 11번 화단의 둘레를 \(x\) 에 대한 식으로 나타내라.
C \(x^2+bx+12\) 가 정수 범위에서 인수분해되도록 하는 정수 \(b\) 를 모두 구하라.
C (1) \(2x^2+7x+3\) 을 인수분해하라. (2) \(x^4-5x^2+4\) 를 인수분해하라. (힌트: \(x^2\) 를 하나의 덩어리로 본다)

정답과 해설

(1) \((x+2)(x+4)\) (2) \((x+3)(x+4)\) (3) \((x+3)(x+7)\) — 전부 1행(둘 다 \(+\))
(1) \((x-2)(x-4)\) (2) \((x-2)(x-3)\) (3) \((x-4)(x-5)\) — 전부 2행(둘 다 \(-\)). 빈번한 오류: 곱만 맞춰 \((x+2)(x+4)\) 로 쓴다. 곱이 \(+8\) 이면 부호가 같아야 하고, 합이 \(-6\) 이니 둘 다 음수이다.
(1) \((x+4)(x-2)\) (2) \((x-4)(x+3)\) (3) \((x+7)(x-3)\) — 3행·4행(부호 다름).
(1) \((x-5)(x+3)\) (2) \((x+5)(x-4)\)
(1) \((x+1)(x+7)\) (2) \((x-1)(x-3)\)
(1) \((x-5)(x-8)\) — 곱 \(40\): \(1{\cdot}40\), \(2{\cdot}20\), \(4{\cdot}10\), \(5{\cdot}8\) 중 합이 \(13\) 인 것은 \(5{+}8\), 둘 다 \(-\) (2) \((x+3)(x+8)\)
(1) \((x+8)(x-3)\) — 곱 \(24\) 인 쌍 중 차가 \(5\) 인 쌍은 \(3\) 과 \(8\), 큰 쪽이 \(+\) (2) \((x-9)(x+2)\) — 곱 \(18\) 인 쌍 중 차가 \(7\) 인 쌍은 \(2\) 와 \(9\), 큰 쪽이 \(-\)
(1) \((x+3)(x-3)\) (2) \((x+3)^2\) (3) \((x-8)^2\) — 전부 제14장의 공식. 이 장의 방법으로 풀어도 같은 답이 나온다. 빈번한 오류: (3)에서 \(64\) 를 보고 \(8\) 을 떠올리지 못해 \(1{\cdot}64\), \(2{\cdot}32\) 만 세다가 중단한다. \(8 \times 8 = 64\), \(8+8=16\) 이다.
(1) \(2(x+2)(x+3)\) (2) \(3(x-3)(x+2)\) — 공통인수를 먼저 빼고, 그다음에 이 장의 방법을 적용한다. 두 단계이다. 빈번한 오류: \(2(x^2+5x+6)\) 에서 멈춘다. 괄호 안이 더 분해되면 아직 끝난 것이 아니다.
\(x^2+4x+5\). 곱이 \(5\) 인 정수 쌍은 \(1 \times 5\) 와 \((-1) \times (-5)\) 뿐인데 합이 각각 \(6\) 과 \(-6\) 이라 \(4\) 가 나올 수 없다. (나머지는 \((x+1)(x+3)\), \((x+2)^2\), \((x-1)(x+5)\).) 이런 식은 이후 근의 공식으로 처리한다.
\(x+6\) — \(x^2+9x+18 = (x+3)(x+6)\). 가로가 \(x+3\) 이므로 세로는 \(x+6\).
\(4x+18\) — 둘레 \(= 2\{(x+3)+(x+6)\} = 2(2x+9) = 4x+18\). 빈번한 오류: 넓이 식을 그대로 \(2\) 배 한다. 둘레는 넓이가 아니라 변의 길이에서 나온다. 인수분해를 해야 변의 길이를 알 수 있다 — 이것이 인수분해를 사용하는 실제 이유이다.
\(b = 7, 8, 13, -7, -8, -13\) — 곱이 \(12\) 인 정수 쌍: \((1,12) \to 13\), \((2,6) \to 8\), \((3,4) \to 7\). 부호를 둘 다 뒤집은 경우까지 하면 \(-13, -8, -7\). 총 \(6\) 개. 빈번한 오류: 음수 쌍을 빠뜨리고 \(3\) 개만 쓴다.
(1) \((2x+1)(x+3)\) — \(x^2\) 의 계수가 \(1\) 이 아닌 경우로, 앞에서 다룬 그대로이다. (2) \((x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\) — \(x^2\) 를 한 덩어리로 보면 “곱이 \(4\), 합이 \(-5\) 인 두 수”는 \(-1\) 과 \(-4\). 그래서 \((x^2-1)(x^2-4)\). 여기서 멈추면 안 된다. 둘 다 합차 공식(제14장)으로 한 번 더 분해된다. 빈번한 오류: \((x^2-1)(x^2-4)\) 에서 끝낸다. 분해할 수 있으면 끝까지 분해한다.

추가 연습문제#

총 \(30\) 문제이다. 부호별로 묶어 배치했다 — 앞쪽은 부호 패턴이 같고 뒤로 갈수록 부호가 섞인다. 여기서도 규칙은 하나이다 — 모든 답을 전개로 검산한 뒤에 정답을 확인한다.

둘 다 \(+\) (표 1행)

\(x^2+3x+2\) 2. \(x^2+5x+4\) 3. \(x^2+6x+5\) 4. \(x^2+7x+10\) 5. \(x^2+8x+12\) 6. \(x^2+9x+14\) 7. \(x^2+10x+16\) 8. \(x^2+11x+30\)

둘 다 \(-\) (표 2행)

\(x^2-3x+2\) 10. \(x^2-5x+4\) 11. \(x^2-7x+10\) 12. \(x^2-8x+12\) 13. \(x^2-9x+14\) 14. \(x^2-11x+30\) 15. \(x^2-10x+24\) 16. \(x^2-12x+35\)

부호 다름 (표 3·4행)

같은 숫자 쌍을 부호만 바꿔 연달아 배치했다. \(17\) 번과 \(18\) 번을 나란히 놓고 무엇이 달라졌는지 확인한다.

\(x^2+x-6\) 18. \(x^2-x-6\) 19. \(x^2+4x-12\) 20. \(x^2-4x-12\) 21. \(x^2+5x-14\) 22. \(x^2-5x-14\) 23. \(x^2+2x-35\) 24. \(x^2-2x-35\)

혼합 · 회수 · 서술

\(x^2+7x+12\)
\(x^2-5x+6\)
\(x^2-x-12\)
\(3x^2+6x-24\) (공통인수를 먼저 뺀다. 끝까지 분해한다)
\(x^2+bx+18\) 이 정수 범위에서 인수분해되도록 하는 양수 \(b\) 를 모두 구하라.
어떤 사람이 \(x^2-5x-6\) 을 \((x-2)(x-3)\) 이라고 답했다. 무엇이 틀렸는지, 그리고 어떻게 확인할 수 있는지 두 문장으로 쓰라. 그다음 올바른 답을 구하라.

정답과 해설

\((x+1)(x+2)\) 2. \((x+1)(x+4)\) 3. \((x+1)(x+5)\) 4. \((x+2)(x+5)\) 5. \((x+2)(x+6)\) 6. \((x+2)(x+7)\) 7. \((x+2)(x+8)\) 8. \((x+5)(x+6)\)
\((x-1)(x-2)\) 10. \((x-1)(x-4)\) 11. \((x-2)(x-5)\) 12. \((x-2)(x-6)\) 13. \((x-2)(x-7)\) 14. \((x-5)(x-6)\) 15. \((x-4)(x-6)\) 16. \((x-5)(x-7)\)
\((x+3)(x-2)\) 18. \((x-3)(x+2)\) 19. \((x+6)(x-2)\) 20. \((x-6)(x+2)\) 21. \((x+7)(x-2)\) 22. \((x-7)(x+2)\) 23. \((x+7)(x-5)\) 24. \((x-7)(x+5)\)
\((x+3)(x+4)\) 26. \((x-2)(x-3)\) 27. \((x-4)(x+3)\)
\(3(x+4)(x-2)\) — 두 단계이다. 먼저 공통인수 \(3\) 을 빼서 \(3(x^2+2x-8)\), 그다음 괄호 안을 이 장의 방법으로 분해한다. 빈번한 오류: \(3(x^2+2x-8)\) 에서 멈춘다.
\(b = 9, 11, 19\) — 곱이 \(18\) 인 양수 쌍: \((1,18) \to 19\), \((2,9) \to 11\), \((3,6) \to 9\). (문제에서 양수 \(b\) 만 물었으므로 \(-19, -11, -9\) 는 답이 아니다. 음수까지 포함하면 \(6\) 개이다.)
예시 답안: “\((x-2)(x-3)\) 을 전개하면 \(x^2-5x+6\) 이 되는데, 원식의 상수는 \(+6\) 이 아니라 \(-6\) 이다. 상수가 음수이므로 두 수의 부호가 서로 달라야 하는데 둘 다 음수로 잡은 것이 잘못이다.” 올바른 답: \((x-6)(x+1)\) — 곱 \(-6\), 합 \(-5\). 부호가 다르고 절댓값이 큰 쪽(\(6\))이 음수(표 4행). 검산 \((x-6)(x+1) = x^2+x-6x-6 = x^2-5x-6\) ✔. 전개로 확인하면 즉시 판별된다. 이 문항의 목적은 정답보다 검산 절차의 습관화이다.

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 한 문장이다. \(x^2+bx+c\) 를 인수분해하는 것은 곱해서 \(c\), 더해서 \(b\) 인 두 수를 찾는 일이다. 여기에 두 가지를 더했다 — 부호는 추측이 아니라 표로 판단한다는 것, 그리고 모든 인수분해는 되전개하면 곧바로 검산된다는 것.

부호 규칙 표의 네 행이 정착되면, \(x^2-x-12\) 처럼 부호가 섞인 식도 같은 절차로 처리된다.

지금까지는 \(x^2-5x+6\) 을 \((x-2)(x-3)\) 이라는 식으로 분해했고, \(x\) 의 값은 아직 구하지 않았다. 제16장에서 이 식 뒤에 \(=0\) 을 붙인다. 그러면 식은 두 개의 답을 내놓는다. 그 이유와, \(1200\) 년 전 바그다드에서 정사각형을 직접 그려 이 문제를 풀어 낸 방법을 다음 장에서 다룬다.